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CAPĂ?TULO 1
Preliminares matemĂĄticos y anĂĄlisis de error
Teorema 1.13
(Teorema del valor promedio para integrales) Suponga que f ∈ C[a, b], la integral de Riemann de g existe en [a, b], y g(x QR FDPELD GH signo en [a, b]. Entonces existe un nĂşmero c en (a, b FRQ b a
f (x)g(x) d x = f (c)
b a
g(x) d x.
Cuando g(x ≥ HO WHRUHPD HV HO WHRUHPD GHO YDORU PHGLR SDUD LQWHJUDOHV eVWH proporciona el valor promedio de la función f sobre el intervalo [a, b] como (consulte la ÀJXUD
f (c) =
1 b−a
b a
f (x) d x.
Figura 1.8 y y 5 f (x) f (c)
a
c
b
x
(Q JHQHUDO OD SUXHED GHO WHRUHPD QR VH GD HQ XQ FXUVR EiVLFR GH FiOFXOR SHUR VH SXHGH HQFRQWUDU HQ PXFKRV WH[WRV GH DQiOLVLV FRQVXOWH SRU HMHPSOR >)X@ S
Polinomios y series de Taylor (O WHRUHPD Ă€QDO HQ HVWD UHYLVLyQ GH FiOFXOR GHVFULEH ORV SROLQRPLRV GH 7D\ORU (VWRV SROLQRmios se usan ampliamente en el anĂĄlisis numĂŠrico. Teorema 1.14 %URRN 7D\ORU ² describiĂł esta serie en 1715 en el artĂculo Methodus incrementorum directa et inversa (MĂŠtodos para incrementos directos e inversos). Isaac Newton, James Gregory y otros ya conocĂan algunos casos especiales del resultado y, probablemente, el resultado mismo.
(Teorema de Taylor) Suponga que f ∈ C n [a, b], f (n + existe en [a, b], y x0 ∈ [a, b]. Para cada x ∈ [a, b], existe un nĂşmero Ξ(x) entre x0 y x con
f (x) = Pn (x) + Rn (x), donde
Pn (x) = f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) + n
= k=0
f (k) (x0 ) (x − x0 )k k!
f (x0 ) f (n) (x0 ) (x − x0 )2 + ¡ ¡ ¡ + (x − x0 )n 2! n!