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CAPĂ?TULO 1
Preliminares matemĂĄticos y anĂĄlisis de error
a)
Cuando el intervalo es [0, 1], el extremo absoluto debe ocurrir en f , f OQ
R f $O HYDOXDU WHQHPRV
f (0) = 2 − e0 + 2(0) = 1 f (ln (2)) = 2 − eln (2) + 2 ln (2) = 2 ln (2) ≈ 1.38629436112 f (1) = 2 − e + 2(1) = 4 − e ≈ 1.28171817154. Por lo tanto, el mĂnimo absoluto de f (x HQ > @ HV f = 1 y el mĂĄximo absoluto es f OQ
= OQ b)
Cuando el intervalo es [1, 2], sabemos que f (x) = 0, por lo que el extremo absoluto se presenta en f \ f 3RU OR WDQWR f (2) = 2 − e2 + 2(2) = 6 − e2 ≈ . −1.3890560983 El mĂnimo absoluto en [1, 2] es 6 − e2 y el mĂĄximo absoluto es 1. Observamos que
mĂĄx | f (x)| = |6 − e2 | ≈ 1.3890560983.
0≤x≤2
En general, el siguiente teorema no se presenta en un curso de cĂĄlculo bĂĄsico, pero se deriva al aplicar el teorema de Rolle sucesivamente a f, f , . . . , \ Ă€QDOPHQWH D f (n−1) . Este resultado se considera en el ejercicio 26. Teorema 1.10
(Teorema generalizado de Rolle) Suponga que f â&#x2C6;&#x2C6; C[a, b] es n veces diferenciable en (a, b 6L f (x = 0 en los n + 1 nĂşmeros distintos a a â&#x2030;¤ x0 < x1 < 7 < xn â&#x2030;¤ b, entonces un nĂşmero c en (x0, xn \ SRU OR WDQWR HQ a, b existe con f (n (c = 0. TambiĂŠn utilizaremos con frecuencia el teorema del valor intermedio. A pesar de que esta declaraciĂłn parece razonable, su prueba va mĂĄs allĂĄ del alcance del curso habitual de cĂĄlculo. Sin embargo, se puede encontrar en muchos textos de anĂĄlisis (consulte, por ejemSOR >)X@ S
Teorema 1.11
(Teorema del valor intermedio) Si f â&#x2C6;&#x2C6; C[a, b] y K es cualquier nĂşmero entre f(a \ f (b HQWRQFHV H[LVWH XQ Q~PHUR c en (a, b SDUD HO FXDO f (c = K. /D Ă&#x20AC;JXUD PXHVWUD XQD RSFLyQ SDUD HO Q~PHUR JDUDQWL]DGD SRU HO WHRUHPD GHO YDORU intermedio. En este ejemplo, existen otras dos posibilidades.
Figura 1.6 y f (a)
(a, f (a)) y 5 f (x)
K f (b)
(b, f (b)) a
c
b
x