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Capítulo 23
rˆ2
q 1
rˆ1
q 2
Campos eléctricos
q 3 rˆ3
r1
r2
r3
P S
S
E3
S
E2
E1
Figura 23.14
El campo eléctrico en P debido a una distribución continua de carga es el vector suma de S los campos D E i debidos a todos los elementos ȟqi de la distribución de carga. Se muestran tres elementos como ejemplo.
23.5 Campo eléctrico de una distribución de carga continua La ecuación 23.10 es útil para calcular el campo eléctrico debido a un pequeño número de cargas. En muchos casos, tenemos una distribución continua de carga en vez de una colección de cargas discretas. En esta situación, la carga puede ser descrita como continuamente distribuida a lo largo de alguna recta, sobre alguna superficie, o por todo un volumen. Para establecer el proceso de evaluación del campo eléctrico producido por una distribución de carga continua, utilice el siguiente procedimiento: primero, divida la distribución de cargas en pequeños elementos, cada uno con una pequeña carga ȟq, como se observa en la figura 23.14. Después, aplique la ecuación 23.9 para calcular el campo eléctrico debido a uno de estos elementos en el punto P. Por último, evalúe el campo eléctrico total en P debido a la distribución de carga sumando las contribuciones de todos los elementos de carga (es decir, aplicando el principio de superposición). El campo eléctrico en P debido a un elemento de carga con una carga ȟq es S
D E 5 ke
Dq r2
r^
donde r es la distancia desde el elemento de carga hasta el punto P y r^ es el vector unitario dirigido desde el elemento de carga hasta P. El campo eléctrico total en P debido a todos los elementos en la distribución de carga es aproximadamente Dqi E < ke a r^ i ri 2 i
S
donde el índice i se refiere al i-ésimo elemento de orden i en la distribución. Ya que el número de elementos es muy grande y la distribución de carga ha sido modelada como continua, el campo total en P en el límite Dqi S 0 es Campo eléctrico debido X a una distribución de carga continua
Dqi dq E 5 ke lim a 2 r^ i 5 k e 3 2 r^ ri r Dqi S 0 i
S
(23.11)
donde la integración es sobre toda la distribución de carga. La integración en la ecuación 23.11 es una operación vectorial y debe ser tratada en forma apropiada. Este tipo de cálculo se ilustra con varios ejemplos en los que la carga está distribuida a lo largo de una recta, sobre una superficie o en un volumen. Cuando realice estos cálculos es conveniente que use el concepto de densidad de carga junto con las siguientes observaciones: r Si una carga Q está uniformemente distribuida en un volumen V, la densidad de carga volumétrica r se define como
Densidad de carga volumétrica X
r;
Q V
donde r está en coulombs por metro cúbico (C/m3). r Si una carga Q está uniformemente distribuida sobre una superficie de área A, la densidad de carga superficial s (griega minúscula sigma) se define como Densidad de carga superficial X
s;
Q A
donde s está en coulombs por metro cuadrado (C/m2). r Si una carga Q está uniformemente distribuida a lo largo de una recta de longitud ,, la densidad de carga lineal l se define como Densidad de carga lineal X
l;
Q ,
donde l está en coulombs por metro (C/m).