CÁLCULO VOLUME 2 - Tradução da 6ª edição norte-americana

cálculo T RA D U Ç Ã O DA 6 ED I ÇÃ O N O RTE-AM E R ICAN A

POSSUI MATERIAL DE APOIO

VO LU M E 2

JA M E S ST E WA RT

SUMÁRIO TESTES DE VERIFICAÇÃOMMXVII UMA APRESENTAÇÃO DO CÁLCULOMMXXII

9

EQUAÇÕES DIFERENCIAISMM536 9.1 9.2 9.3

9.4 9.5 9.6

Modelagem com Equações DiferenciaisMM537 Campos de Direções e o Método de EulerMM542 Equações SeparáveisMM549 Projeto Aplicado

�

Quão Rapidamente um Tanque Esvazia?MM557

Projeto Aplicado

�

O Que É Mais Rápido: Subir ou Descer?MM559

Modelos para Crescimento PopulacionalMM560 Projeto Aplicado � Cálculo e BeisebolMM569 Equações LinearesMM571 Sistemas Predador-PresaMM576 RevisãoMM583

Problemas QuentesMM586

10

EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS E COORDENADAS POLARESMM588 10.1

Curvas Definidas por Equações ParamétricasMM589 Projeto de Laboratório � Rolando Círculos ao Redor de CírculosMM597

10.2

Cálculo com Curvas Parametrizadas MM598 Projeto de Laboratório � Curvas de BézierMM606

10.3 10.4 10.5 10.6

Coordenadas PolaresMM607 Áreas e Comprimentos em Coordenadas PolaresMM617 Seções CônicasMM621 Seções Cônicas em Coordenadas PolaresMM628 RevisãoMM635

Problemas QuentesMM638

XIII

XIVM||||MCÁLCULO

11

SEQUÊNCIAS E SÉRIES INFINITASMM640 11.1

SequênciasMM641 Projeto de Laboratório

Sequências LogísticasMM652

SériesMM652 11.3 O Teste da Integral e Estimativas de SomasMM661 11.4 Os Testes de ComparaçãoMM668 11.5 Séries AlternadasMM673 11.6 Convergência Absoluta e os Testes da Razão e da RaizMM678 11.7 Estratégia para Testar as SériesMM684 11.8 Séries de PotênciasMM687 11.9 Representações de Funções como Séries de PotênciasMM692 11.10 Séries de Taylor e de MaclaurinMM698 Projeto de Laboratório Um Limite ElusivoMM711 Projeto Escrito Como Newton Descobriu a Série BinomialMM711 11.2

11.11 Aplicações de Polinômios de TaylorMM712

Projeto Aplicado

Radiação Proveniente das EstrelasMM720

RevisãoMM721

Problemas QuentesMM725

12

VETORES E A GEOMETRIA DO ESPAÇOMM728 12.1 12.2 12.3 12.4

LONDRES

12.5 PARIS

12.6

Sistema de Coordenadas TridimensionaisMM729 VetoresMM734 O Produto EscalarMM742 O Produto VetorialMM749 Projeto de Descoberta A Geometria do TetraedroMM756 Equações de Retas e PlanosMM756 Projeto de Laboratório Pondo 3D em PerspectivaMM765 Cilindros e Superfícies QuádricasMM766 RevisãoMM773

Problemas QuentesMM776

13

FUNÇÕES VETORIAISMM778 13.1 13.2 13.3 13.4

Funções Vetoriais e Curvas EspaciaisMM779 Derivadas e Integrais de Funções VetoriaisMM785 Comprimento de Arco e CurvaturaMM791 Movimento no Espaço: Velocidade e AceleraçãoMM799 Projeto Aplicado Leis de KeplerMM807 RevisãoMM809

Problemas QuentesMM812

SUMÁRIOM||||M XV

14

DERIVADAS PARCIAISMM814 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7

14.8

Funções de Várias VariáveisMM815 Limites e ContinuidadeMM829 Derivadas ParciaisMM836 Planos Tangentes e Aproximações LinearesMM848 Regra da CadeiaMM857 Derivadas Direcionais e o Vetor GradienteMM865 Valores Máximo e MínimoMM877 Projeto Aplicado Projeto de uma CaçambaMM887 Projeto de Descoberta Aproximação Quadrática e Pontos CríticosMM887 Multiplicadores de LagrangeMM888 Projeto Aplicado Ciência dos FoguetesMM895 Projeto Aplicado Otimização de uma Turbina HidráulicaMM896 RevisãoMM897

Problemas QuentesMM902

15

INTEGRAIS MÚLTIPLASMM904 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9

Integrais Duplas sobre RetângulosMM905 Integrais IteradasMM913 Integrais Duplas sobre Regiões GeraisMM918 Integrais Duplas em Coordenadas PolaresMM926 Aplicações das Integrais DuplasMM931 Integrais TriplasMM940 Projeto de Descoberta Volumes de HiperesferasMM950 Integrais Triplas em Coordenadas CilíndricasMM950 Projeto de Descoberta A Intersecção de Três CilindrosMM954 Integrais Triplas em Coordenadas EsféricasMM954 Projeto Aplicado Corrida na RampaMM960 Mudança de Variáveis em Integrais MúltiplasMM961 RevisãoMM969

Problemas QuentesMM972

16

CÁLCULO VETORIALMM974 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8

Campos VetoriaisMM975 Integrais de LinhaMM981 Teorema Fundamental das Integrais de LinhaMM992 Teorema de GreenMM1000 Rotacional e DivergenteMM1007 Superfícies Parametrizadas e Suas ÁreasMM1015 Integrais de SuperfícieMM1025 O Teorema de StokesMM1036 Projeto Escrito Três Homens e Dois Teoremas 1041

XVIM||||MCÁLCULO

O Teorema do DivergenteMM1041 16.10 Resumo dos TeoremasMM1047 RevisãoMM1048 16.9

Problemas QuentesMM1051

17

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE SEGUNDA ORDEMMM1052 17.1 17.2 17.3 17.4

Equações Lineares de Segunda OrdemMM1053 Equações Lineares Não HomogêneasMM1058 Aplicações das Equações Diferenciais de Segunda OrdemMM1065 Soluções em SériesMM1072 RevisãoMM1076

APÊNDICES A B C D E F G H I

Números, Desigualdades e Valores AbsolutosMMA2 Geometria Analítica e RetasMMA10 Cônicas: Gráficos das Equações de Segundo GrauMMA16 TrigonometriaMMA23 Notação de Somatória (ou Notação Sigma)MMA32 Demonstrações dos TeoremasMMA37 O Logaritmo Definido como uma IntegralMMA47 Números ComplexosMMA54 Respostas dos Exercícios de Números ÍmparesMMA61

ÍNDICE REMISSIVOMMA93

TESTES DE VERIFICAÇÃO O sucesso no cálculo depende em grande parte do conhecimento da matemática que precede o cálculo: álgebra, geometria analítica, funções e trigonometria. Os testes a seguir têm a intenção de diagnosticar falhas que você possa ter nessas áreas. Depois de fazer cada teste, é possível conferir suas respostas com as respostas dadas e, se necessário, refrescar sua memória consultando o material de revisão fornecido.

A

TESTES DE VERIFICAÇÃO: ÁLGEBRA 1.

Calcule cada expressão sem usar uma calculadora. (a) (�3)4 (b) �34 (c) 3�4 23 5 2 �2 (d) � (e) � (f) 16�3/4 21 5 3

( )

2.

Simplifique cada expressão. Escreva suas respostas sem expoentes negativos.

––– –– (a) √ 200 � √ 32 3 3 (b) (3a b )(4ab2)2 3/2 3 3x y �2 (c) � x2y�1/2

(

)

3.

Expanda e simplifique. (a) 3(x � 6) � 4(2x � 5) – – – – (c) (√a � √b )(√a � √b ) 3 (e) (x � 2)

4.

Fatore cada expressão. (a) 4x2 � 25 (c) x3 � 3x2 � 4x � 12 (e) 3x3/2 � 9x1/2 � 6x�1/2

5.

Simplifique as expressões racionais. x2 � 3x � 2 (a) ���� x2 � x � 2

(b) (x � 3)(4x � 5) (d) (2x � 3)2

(b) 2x2 � 5x � 12 (d) x4 � 27x (f) x3y � 4xy (b)

2x2 � x � 1

���� 2 x �9

y

(c)

2

x

���� 2 x �4

�

x�1

���� x�2

� (d)

x

1

� y

�

x�3

���� 2x � 1

x

�

�

�

�

y

1 x

XVII

XVIIIM||||MCÁLCULO

6.

Racionalize a expressão e simplifique.

–– ––––– √10 √4 � h � 2 (a) ���� (b) ���� – √5 � 2 h

7.

Reescreva, completando o quadrado. (a) x2 � x � 1

8.

Resolva a equação. (Encontre apenas as soluções reais.)

2x 2x � 1 1 (b) ���� � ���� (a) x � 5 � 14 � –2 x x�1 x 2 2 (d) 2x � 4x � 1 � 0 (c) x � x � 12 � 0

(b) 2x2 � 12x � 11

(f) 3| x � 4| � 10

(e) x4 � 3x2 � 2 � 0

(g) 2x(4 � x)

�1/2

9.

––––– � 3√ 4 � x � 0

Resolva cada desigualdade. Escreva suas respostas usando a notação de intervalos. (a) �4 � 5 � 3x � 17

(b) x2 � 2x � 8 (d) | x � 4| � 3

(c) x(x � 1)(x � 2) � 0 2x � 3 (e) ���� � 1 x�1

10. Diga se cada equação é verdadeira ou falsa.

(a) (p � q)2 � p2 � q2

–– – – (b) √ ab � √a √b

–––––– (c) √ a2 � b2 � a � b

(d)

����

(f)

����

(e)

1

1

x�y

y

���� � �

�

1

� x

1 � TC C

1

a/x � b/x

�1�T

�

1

���� a�b

RESPOSTAS DOS TESTES DE VERIFICAÇÃO A: ÁLGEBRA 1.

(a) 81

(d) 25 2.

– (a) 6√ 2

(b) �81 (e) –94

1 (c) –– 81 (f) –18

(b) 48a b

(c)

5 7

3.

(a) 11x � 2 (b) 4x2 � 7x � 15 (c) a � b (d) 4x2 � 12x � 9 (e) x3 � 6x2 � 12x � 8

4.

(a) (2x � 5)(2x � 5) (c) (x � 3)(x � 2)(x � 2) (e) 3x�1/2(x � 1)(x � 2)

5.

x�2

(a)

����

(c)

����

x�2 1

x�2

x

����7 9y

(b) (2x � 3)(x � 4) (d) x(x � 3)(x2 � 3x � 9) (f) xy(x � 2)(x � 2) (b)

x�1

���� x�3

(d) �(x � y)

1

6.

– –– (a) 5√ 2 � 2√ 10

(b)

7.

(a) (x � –) � –

(b) 2(x � 3)2 � 7

8.

(a) 6

9.

1 2 2

3 4

– (d) �1 � –√ 2 –5 (g) 12 1 2

(b) 1

– (e) �1, �√ 2

(a) [�4, 3)

(c) (�2, 0) (1, ∞) (e) (�1, 4] 10. (a) Falso

(d) Falso

(b) Verdadeiro

(e) Falso

���� –––––

√4 � h � 2 (c) �3, 4 – (f) –23 , 22 3

(b) (�2, 4)

(d) (1, 7)

(c) Falso

(f) Verdadeiro

TESTES DE VERIFICAÇÃOM||||MXIX

B

TESTES DE VERIFICAÇÃO: GEOMETRIA ANALÍTICA 1.

Encontre uma equação para a reta que passa pelo ponto (2, �5) e (a) tem inclinação �3 (b) é paralela ao eixo x (c) é paralela ao eixo y (d) é paralela à reta 2x � 4y � 3

2.

Encontre uma equação para o círculo que tem centro (�1, 4) e passa pelo ponto (3, �2).

3.

Encontre o centro e o raio do círculo com equação x2 � y2 � 6x � 10y � 9 � 0.

4.

Sejam A(�7, 4) e B(5, �12) pontos no plano. (a) Encontre a inclinação da reta que contém A e B. (b) Encontre uma equação da reta que passa por A e B. Quais são as intersecções com os eixos? (c) Encontre o ponto médio do segmento AB. (d) Encontre o comprimento do segmento AB. (e) Encontre uma equação para a mediatriz de AB. (f) Encontre uma equação para o círculo para o qual AB é um diâmetro.

5.

Esboce a região do plano xy definidas pelas equações ou inequações. (a) �1 � y � 3 (b) | x | � 4 e | y | � 2 1 – (d) y � x2 � 1 (c) y � 1 � 2 x (e) x2 � y2 � 4 (f) 9x2 � 16y2 � 144

RESPOSTAS DOS TESTES DE VERIFICAÇÃO B: GEOMETRIA ANALÍTICA 1.

2.

3.

4.

(a) y � �3x � 1 (c) x � 2

(b) y � �5 (d) y � –12 x � 6

5. (a)

(x � 1)2 � (y � 4)2 � 52

(b)

y

3

2

0

x

�1

Centro (3, �5), raio 5 (a) � –43 (b) 4x � 3y � 16 � 0; intersecção com o eixo x, �4; – intersecção com o eixo y, � 16 3 (c) (�1, �4) (d) 20 (e) 3x � 4y � 13 2 2 (f) (x � 1) � (y � 4) � 100

(d)

�4

1

0

(e)

4x

0

1

x

y � x2 � 1

(f)

y 2

0

y 1

y � 1 � 2x 2

x

�2

y

�1

(c)

y

0

Se você teve dificuldade com estes problemas, consulte a revisão de geometria analítica, nos Apêndices B e C.

x2 � y2 � 4 2

x

y

3

0

4 x

XXM||||MCÁLCULO

C

TESTES DE VERIFICAÇÃO: FUNÇÕES 1.

O gráfico de uma função f é dado à esquerda. (a) Diga o valor de f (�1). (b) Estime o valor de f (2). (c) Para quais valores de x vale que f (x) � 2? (d) Estime os valores de x tais que f (x) � 0. (e) Diga qual é o domínio e a imagem de f.

2.

Se f (x) � x , calcule o quociente da diferença sua resposta.

3.

Encontre o domínio da função – √3 x 2x � 1 (a) f (x) � ���� (b) t(x) � ���� x2 � 1 x2 � x � 2

4.

Como os gráficos das funções são obtidos a partir do gráfico de f ? (a) y � �f (x) (b) y � 2 f (x) � 1 (c) y � f (x � 3) � 2

5.

Sem usar uma calculadora, faça um esboço grosseiro do gráfico. (a) y � x3 (b) y � (x � 1)3 (c) y � (x � 2)3 � 3 – – 2 (d) y � 4 � x (e) y � √ x (f) y � 2√ x (g) y � �2x (h) y � 1 � x�1

6.

Seja f (x)�

7.

Se f (x) � x � 2x � 1 e t(x) � 2x � 3, encontre cada uma das seguintes funções. (a) f � t (b) t � f (c) t � t � t

y

1 0

x

1

FIGURA PARA O PROBLEMA 1

3

f (2 � h) � f (2)

���� h

e simplifique

––––– ––––– (c) h(x) � √ 4 � x � √ x2 � 1

{ 2x � 1 1 � x2

se x � 0 se x � 0 (a) Calcule f (�2) e f (1).

(b) Esboce o gráfico de f.

2

RESPOSTAS DOS TESTES DE VERIFICAÇÃO C: FUNÇÕES 1.

(a) �2 (c) �3,1 (e) [�3, 3], [�2, 3]

2.

12 � 6h � h2

3.

(a) (�∞, �2) (�2, 1) (1, ∞) (b) (�∞, ∞) (c) (�∞, �1] [1, 4]

4.

5.

(b) 2,8 (d) �2,5, 0,3

(d)

0

(g)

(a) Refletindo em torno do eixo x. (b) Expandindo verticalmente por um fator 2, a seguir transladando 1 unidade para baixo. (c) Transladando 3 unidades para a direita e duas unidades para cima. (a)

(b)

y

(c)

y

1 0

y

x

�1

0

x

1

x

1

x

y

0

1

x

y 1

1

�1

6.

(f )

y

0

x

(h)

0

0

x

(a) �3, 3 (b) y

7. (a) ( f � t)(x) � 4x � 8x � 2 2

(b) (t � f )(x) � 2x2 � 4x � 5 (c) (t � t � t)(x) � 8x � 21

1

�1 0

2

y

(2, 3)

1 1

(e)

y 4

0

x

x

Se você teve dificuldade com estes problemas, consulte as Seções 1.1 a 1.3 deste livro.

TESTES DE VERIFICAÇÃOM||||MXXI

D

TESTES DE VERIFICAÇÃO: TRIGONOMETRIA

24 u

1.

Converta de graus para radianos. (a) 300º (b) �18º

2.

Converta de radianos para graus. (a) 5p/6 (b) 2

3.

Encontre o comprimento de um arco de um círculo de raio 12 cm cujo ângulo central é 30º.

4.

Encontre os valores exatos. (a) tg(p/3) (b) sen(7p/6)

5.

Expresse os comprimentos a e b na figura em termos de u.

6.

Se sen x � –13 e sec y � –54 , onde x e y estão entre 0 e p/2, calcule sen(x � y).

a

b

FIGURA PARA O PROBLEMA 5

7.

(c) sec(5p/3)

Demonstre as identidades. (a) tg u sen u � cos u � sec u (b)

2 tg x

���� 2 1 � tg x

� sen 2x

8.

Encontre todos os valores de x tais que sen 2x � sen x e 0 � x � 2p.

9.

Esboce o gráfico da função y � 1 � sen 2x sem usar uma calculadora.

RESPOSTAS DOS TESTES DE VERIFICAÇÃO D: TRIGONOMETRIA –

1.

(a) 5p/3

(b) �p/10

2.

(a) 150º

(b) 360/p 114,6º

2p cm – 4. (a) √ 3 3.

5.

(a) 24 sen u

–1 (4 � 6√ 2) 6. 15 8.

0, p/3, p, 5p/3, 2p y 2

9.

(b) � – 1 2

(b) 24 cos u

(c) 2 �p

0

p

x

Se você teve dificuldade com estes problemas, consulte o Apêndice D deste livro.

UMA APRESENTAÇÃO DO CÁLCULO

O cálculo é fundamentalmente diferente da matemática que você já estudou. O cálculo é menos estático e mais dinâmico. Ele trata de variação e de movimento, bem como de quantidades que tendem a outras quantidades. Por essa razão, pode ser útil ter uma visão geral do assunto antes de começar um estudo mais aprofundado. Vamos dar aqui uma olhada em algumas das principais ideias do cálculo, mostrando como surgem os limites quando tentamos resolver diversos problemas.

XXII

UMA APRESENTAÇÃO DO CÁLCULOM||||MXXIII

O PROBLEMA DA ÁREA

A1 A2

A5 A4

A3

A � A1 � A2 � A3 � A4 � A5 FIGURA 1

A3

As origens do cálculo remontam à Grécia antiga, pelo menos 2.500 anos atrás, quando foram encontradas áreas usando o chamado “método da exaustão”. Naquela época, os gregos já sabiam encontrar a área de qualquer polígono dividindo-o em triângulos, como na Figura 1 e, em seguida, somando as áreas obtidas. É muito mais difícil achar a área de uma figura curva. O método da exaustão dos antigos gregos consistia em inscrever e circunscrever a figura com polígonos e então aumentar o número de lados deles. A Figura 2 ilustra esse procedimento no caso especial de um círculo, com polígonos regulares inscritos.

A4

A5

A6

A7

���

A12

���

FIGURA 2

Seja An a área do polígono inscrito com n lados. À medida que aumentamos n, fica evidente que An ficará cada vez mais próxima da área do círculo. Dizemos então que a área do círculo é o limite das áreas dos polígonos inscritos, e escrevemos A � lim An n m∞

Os gregos, porém, não usaram explicitamente os limites. Todavia, por um raciocínio indireto, Eudoxo (século V a.C.) usou a exaustão para demonstrar a conhecida fórmula da área do círculo: A � pr2.

Usamos uma ideia semelhante no Capítulo 5 para encontrar a área de regiões do tipo mostrado na Figura 3. Vamos aproximar a área desejada A por áreas de retângulos (como na Figura 4), fazer decrescer a largura dos retângulos e então calcular A como o limite dessas somas de áreas de retângulos. y

y

y

(1, 1)

y

(1, 1)

(1, 1)

(1, 1)

y � x2 A 0

FIGURA 3

1

x

0

1 4

1 2

3 4

1

x

0

1

x

0

1 n

1

x

FIGURA 4

O problema da área é central no ramo do cálculo chamado cálculo integral. As técnicas que desenvolvemos no Capítulo 5 para encontrar áreas também possibilitam o cálculo do volume de um sólido, o comprimento de um arco, a força da água sobre um dique, a massa e o centro de gravidade de uma barra e o trabalho realizado ao se bombear a água para fora de um tanque.

XXIVM||||MCÁLCULO

O PROBLEMA DA TANGENTE y

t y � ƒ(x) P

0

x

FIGURA 5 A reta tangente em P y

Considere o problema de tentar determinar a reta tangente t a uma curva com equação y � f (x), em um dado ponto P. (Demos uma definição precisa de reta tangente no Capítulo 2. Por ora, você pode pensá-la como a reta que toca a curva em P, como na Figura 5.) Uma vez que sabemos ser P um ponto sobre a reta tangente, podemos encontrar a equação de t se conhecermos sua inclinação m. O problema está no fato de que, para calcular a inclinação, é necessário conhecer dois pontos sobre t, e temos somente o ponto P. Para contornar esse problema, determinamos primeiro uma aproximação para m, tomando sobre a curva um ponto próximo Q e calculando a inclinação mPQ da reta secante PQ. Da Figura 6 vemos que mPQ �

1 t Q (x, f (x)) f (x) � f (a)

P(a, f (a)) x�a

f (x) � f (a)

���� x�a

Imagine agora o ponto Q movendo-se ao longo da curva em direção a P, como na Figura 7. Você pode ver que a reta secante gira e aproxima-se da reta tangente como sua posição-limite. Isso significa que a inclinação mPQ da reta secante fica cada vez mais próxima da inclinação m da reta tangente. Isso é denotado por m � lim mPQ Q mP

a

0

x

x

FIGURA 6 A reta secante PQ y

e dizemos que m é o limite de mPQ quando Q tende ao ponto P ao longo da curva. Uma vez que x tende a a quando Q tende a P, também podemos usar a Equação 1 para escrever m � lim

2

t Q P

0 FIGURA 7 Retas secantes aproximando-se da reta tangente

x

x ma

f (x) � f (a)

���� x�a

Exemplos específicos desse procedimento foram dados no Capítulo 2.

O problema da tangente deu origem ao ramo do cálculo chamado cálculo diferencial, que não foi inventado até mais de 2 mil anos após o cálculo integral. As principais ideias por trás do cálculo diferencial devem-se ao matemático francês Pierre Fermat (1601-1665) e foram desenvolvidas pelos matemáticos ingleses John Wallis (1616-1703), Isaac Barrow (1630-1677) e Isaac Newton (1642-1727) e pelo matemático alemão Gottfried Leibniz (1646-1716).

Os dois ramos do cálculo e seus problemas principais, o da área e o da tangente, apesar de parecerem completamente diferentes, têm uma estreita conexão. O problema da área e o da tangente são problemas inversos, em um sentido que foi explicado no Capítulo 5.

VELOCIDADE Quando olhamos no velocímetro de um carro e vemos que ele está a 48 km/h, o que essa informação indica? Sabemos que, se a velocidade permanecer constante, após uma hora o carro terá percorrido 48 km. Porém, se a velocidade do carro variar, qual o significado de a velocidade ser, em um dado momento, 48 km/h?

Para analisar essa questão, vamos examinar o movimento de um carro percorrendo uma estrada reta e suponha que possamos medir a distância percorrida por ele (em metros) em intervalos de 1 segundo, como na tabela a seguir: t � Tempo decorrido (s)

d � Distância (m)

0

0

2

2

4

10

6

25

8

43

10

78

UMA APRESENTAÇÃO DO CÁLCULOM||||MXXV

Como primeiro passo para encontrar a velocidade após 4 segundos de movimento, calcularemos qual a velocidade média no intervalo de tempo 4 t 8: distância percorrida

velocidade média

tempo decorrido

43 10

8 4

8,25 m/s Analogamente, a velocidade média no intervalo 4 t 6 é velocidade média

25 10

7,5 m/s 5 4

Nossa intuição é de que a velocidade no instante t 4 não pode ser muito diferente da velocidade média durante um pequeno intervalo de tempo que começa em t 4. Assim, imaginaremos que a distância percorrida foi medida em intervalos de 0,2 segundo, como na tabela a seguir: t

d

4,0

10,00

4,2

11,02

4,4

12,16

4,6

4,8

13,45

5,0

14,96

16,80

Então, podemos calcular, por exemplo, a velocidade média no intervalo de tempo [4, 5]: velocidade média

16,80 10,00

6,8 m/s 5 4

Os resultados desses cálculos estão mostrados na tabela: Intervalo de tempo

Velocidade média (m/s)

[4, 6] 7,5

[4, 5] 6,8

[4, 4,8] 6,2

[4, 4,6] 5,75

[4, 4,4] 5,4

[4, 4,2] 5,1

As velocidades médias em intervalos cada vez menores parecem ficar cada vez mais próximas de 5; dessa forma, esperamos que exatamente em t 4 a velocidade seja cerca de 5 m/s. No Capítulo 2 definimos a velocidade instantânea de um objeto em movimento como o limite das velocidades médias em intervalos de tempo cada vez menores.

Na Figura 8 mostramos uma representação gráfica do movimento de um carro traçando a distância percorrida como uma função do tempo. Se escrevermos d f (t), então f (t) é o número de metros percorridos após t segundos. A velocidade média no intervalo de tempo [4, t] é

d

velocidade média

Q (t, f (t))

distância percorrida

tempo decorrido

f (t) f (4)

t 4

que é a mesma coisa que a inclinação da reta secante PQ da Figura 8. A velocidade v quando t 4 é o valor-limite da velocidade média quando t aproxima-se de 4; isto é, v lim

20 10 0 FIGURA 8

t m4

P(4, f (4)) 2

4

6

8

10

t

f (t) f (4)

t 4

e, da Equação 2, vemos que isso é igual à inclinação da reta tangente à curva em P. Dessa forma, ao resolver o problema da tangente em cálculo diferencial, também estamos resolvendo problemas relativos à velocidade. A mesma técnica aplica-se a problemas relativos à taxa de variação nas ciências naturais e sociais.

XXVIM||||MCÁLCULO

O LIMITE DE UMA SEQUÊNCIA No século V a.C., o filósofo grego Zenão propôs quatro problemas, hoje conhecidos como Paradoxos de Zenão, com o intento de desafiar algumas das ideias correntes em sua época sobre espaço e tempo. O segundo paradoxo de Zenão diz respeito a uma corrida entre o herói grego Aquiles e uma tartaruga para a qual foi dada uma vantagem inicial. Zenão argumentava que Aquiles jamais ultrapassaria a tartaruga: se ele começasse em uma posição a1 e a tartaruga em t1 (veja a Figura 9), quando ele atingisse o ponto a2 � t1 a tartaruga estaria adiante, em uma posição t2. No momento em que Aquiles atingisse a3 � t2, a tartaruga estaria em t3. Esse processo continuaria indefinidamente, e, dessa forma, aparentemente a tartaruga estaria sempre à frente! Todavia, isso desafia o senso comum.

Aquiles

a1

a2

a3

a4

a5

...

t1

t2

t3

t4

...

tartaruga FIGURA 9

Uma forma de explicar esse paradoxo usa a ideia de sequência. As posições sucessivas de Aquiles e da tartaruga são respectivamente (a1, a2, a3, . . .) e (t1, t2, t3, . . .), conhecidas como sequências.

Em geral, uma sequência {an} é um conjunto de números escritos em uma ordem definida. Por exemplo, a sequência

{1, –12, –13 , –14 , –15 , . . .}

pode ser descrita pela seguinte fórmula para o n-ésimo termo: an �

a4 a 3

a2

0

1

� n

Podemos visualizar essa sequência marcando seus termos sobre uma reta real, como na Figura 10(a), ou desenhando seu gráfico, como na Figura 10(b). Observe em ambas as figuras que os termos da sequência an � 1/n tornam-se cada vez mais próximos de 0 à medida que n cresce. De fato, podemos encontrar termos tão pequenos quanto desejarmos, bastando para isso tomarmos n suficientemente grande. Dizemos então que o limite da sequência é 0 e indicamos isso por

a1 1

lim

(a)

n m∞

1

1

� n

�0

Em geral, a notação 1 2 3 4 5 6 7 8

(b) FIGURA 10

n

lim an � L n m∞

será usada se os termos an tendem a um número L quando n torna-se grande. Isso significa que podemos tornar os números an tão próximos de L quanto quisermos escolhendo n suficientemente grande.

O conceito de limite de uma sequência ocorre sempre que usamos a representação decimal de um número real. Por exemplo, se a1 � 3,1

UMA APRESENTAÇÃO DO CÁLCULOM||||MXXVII

a2 � 3,14 a3 � 3,141 a4 � 3,1415 a5 � 3,14159 a6 � 3,141592 a7 � 3,1415926 . . . lim an � p

então

n m∞

Os termos nessa sequência são aproximações racionais de p.

Vamos voltar ao paradoxo de Zenão. As posições sucessivas de Aquiles e da tartaruga formam as sequências {an} e {tn}, nas quais an � tn para todo n. Podemos mostrar que ambas as sequências têm o mesmo limite: lim an � p � lim tn n m∞

n m∞

É precisamente nesse ponto p que Aquiles ultrapassa a tartaruga.

A SOMA DE UMA SÉRIE Outro paradoxo de Zenão, conforme nos foi passado por Aristóteles, é o seguinte: “Uma pessoa em certo ponto de uma sala não pode caminhar até a parede. Para tanto ela deveria percorrer metade da distância, depois a metade da distância restante, e então novamente a metade da distância que restou e assim por diante, de forma que o processo pode ser sempre continuado e não terá um fim”. (Veja a Figura 11.)

1 2

FIGURA 11

1 8

1 4

1 16

Como, naturalmente, sabemos que de fato a pessoa pode chegar até a parede, isso sugere que a distância total possa ser expressa como a soma de infinitas distâncias cada vez menores, como a seguir: 3

1�

1

� 2

1

�

�

4

�

1

�

�

8

1

�

16

�...�

1

�n � . . .

2

Zenão argumentava que não fazia sentido somar um número infinito de números. Porém, há situações em que fazemos implicitamente somas infinitas. Por exemplo, na notação de– cimal, o símbolo, 0,3 = 0,3333… significa 3

�

10

�

3

�

100

�

3

�

1.000

�

3

�

10.000

�...

dessa forma, em algum sentido, deve ser verdade que 3

�

10

�

3

�

100

�

3

�

1.000

�

3

�

10.000

�...�

1

� 3

XXVIIIM||||MCÁLCULO

Mais geralmente, se dn denotar o n-ésimo algarismo na representação decimal de um número, então 0,d1d2 d3 d4. . . �

d

�1

10

�

d

�22

10

�

d

�33

10

�...�

d

�nn

10

�...

Portanto, algumas somas infinitas, ou, como são chamadas, séries infinitas, têm um significado. Todavia, é necessário definir cuidadosamente o que é a soma de uma série.

Retornando à série da Equação 3, denotamos por sn a soma dos n primeiros termos da série. Assim s1 � –12 � 0,5 s2 � –12 � –14 � 0,75

s3 � –12 � –14 � –18 � 0,875 1 – s4 � –12 � –14 � –18 � 16 � 0,9375 1 1 1 1 1 –� – s5 � –2 � –4 � –8 � 16 � 0,96875 32 1 1 1 1 1 1 –� – – s6 � –2 � –4 � –8 � 16 � 64 � 0,984375 32

1 1 1 1 1 1 1 – – – � – � 64 � 128 � 0,9921875 s7 � –2 � –4 � –8 � 16 32 . . .

1 –– s10 � –12 � –14 � . . . � 1024 0,99902344 . . .

1 1 1 s16 � � � � � . . . � � 0,99998474 2 4 216

Observe que à medida que somamos mais e mais termos, as somas parciais ficam cada vez mais próximas de 1. De fato, pode ser mostrado que tomando n suficientemente grande (isto é, adicionando um número suficientemente grande de termos da série), podemos tornar a soma parcial sn tão próxima de 1 quanto quisermos. Parece então razoável dizer que a soma da série infinita é 1 e escrever 1

� 2

�

1

� 4

�

1

� 8

�...�

1

�n � . . . � 1 2

Em outras palavras, a razão de a soma da série ser 1 é que lim sn � 1 n m∞

No Capítulo 11 discutiremos mais essas ideias. Usaremos então a ideia de Newton de combinar séries infinitas com cálculo diferencial e integral.

RESUMO Vimos que o conceito de limite surge de problemas tais como encontrar a área de uma região, a tangente a uma curva, a velocidade de um carro ou a soma de uma série infinita.

Em cada um dos casos, o tema comum é o cálculo de uma quantidade como o limite de outras quantidades mais facilmente calculáveis. É essa ideia básica que coloca o cálculo à parte de outras áreas da matemática. Na realidade, poderíamos definir o cálculo como aquele ramo da matemática que trata de limites.

Depois de inventar sua versão de cálculo, sir Isaac Newton a usou para explicar o movimento dos planetas em torno do Sol. Hoje, o cálculo é usado na determinação de órbitas de satélites e naves espaciais, na predição do tamanho de uma população, na estimativa

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