Ron Larson
CÁLCULO APLICADO Curso rápido
Tradução da 8ª edição norte-americana
Sumário
0
Revisão de pré-cálculo
1
Funções, gráficos e limites
2
3
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Reta real e ordem Valor absoluto e distância na reta real Expoentes e radicais Fatoração de polinômios Frações e racionalização
1.1 O Plano Cartesiano e Fórmula da Distância 1.2 Gráficos de equações 1.3 Retas no plano e inclinação
01 02 07 12 18 24
33
Teste preliminar 1.4 Funções 1.5 Limites 1.6 Continuidade Revisão de álgebra do Capítulo 1 Resumo de capítulo e estratégias de estudo Exercícios de revisão Teste do capítulo
34 42 54 65 66 77 88 98 100 102 106
Derivação
107
2.1 2.2 2.3 2.4
Derivada e a inclinação de um gráfico Algumas regras de derivação Taxas de variação: velocidade e marginais Regras de produto e do quociente Teste preliminar 2.5 Regra da cadeia 2.6 Derivadas de ordem superior 2.7 Derivação implícita 2.8 Taxas relacionadas Revisão de álgebra do Capítulo 2 Resumo de capítulo e estratégias de estudo Exercícios de revisão Teste do capítulo
108 118 129 143 153 154 161 168 174 182 184 186 189
Aplicações da derivada
191
Funções crescentes e decrescentes Extremos e Teste da Primeira Derivada Concavidade e Teste da Segunda Derivada Problemas de otimização Teste preliminar 3.5 Aplicações comerciais e econômicas 3.6 Assíntotas 3.7 Esboço de curvas: resumo 3.8 Diferenciais e análise marginal Revisão de álgebra Resumo do capítulo e estratégias de estudo Exercícios de revisão Teste do capítulo
192 200 209 217 226 227 236 247 255 262 264 266 269
3.1 3.2 3.3 3.4
XIIMMMCálculo Aplicado
4
Funções exponenciais e logarítmicas
271
4.1 Funções exponenciais 4.2 Funções exponenciais naturais 4.3 Derivadas das funções exponenciais
Revisão de álgebra Resumo do capítulo e estratégias de estudo Exercícios de revisão Teste do capítulo
272 278 286 293 294 302 310 319 321 323 326
Integração e suas aplicações
329
5.1 Primitivas e integrais indefinidas 5.2 Integração por substituição e Regra da Potência Geral 5.3 Integrais exponenciais e logarítmicas
Revisão de álgebra Resumo do capítulo e estratégias de estudo Exercícios de revisão Teste do capítulo
330 340 348 355 356 367 375 382 384 386 389
Técnicas de integração
391
6.1 Integração por partes e valor presente 6.2 Frações parciais e crescimento logístico 6.3 Tabelas de integração
Teste preliminar 6.4 Integração numérica 6.5 Integrais impróprias Revisão de álgebra Resumo do capítulo e estratégias de estudo Exercícios de revisão Teste do capítulo
392 400 409 418 419 428 438 441 443 445
Funções de várias variáveis
447
Sistema de coordenadas tridimensional Superfícies no espaço Funções de várias variáveis Derivadas parciais 7.5 Extremos de funções de duas variáveis Teste preliminar 7.6 Multiplicadores de Lagrange 7.7 Análise de por regressão por mínimos quadrados 7.8 Integrais duplas e área no plano 7.9 Aplicações da integrais duplas Revisão de álgebra Resumo do capítulo e estratégias de estudo Exercícios de revisão Teste do capítulo
448 455 463 470 479 487 489 497 506 513 520 523 525 528
Teste preliminar 4.4 Funções logarítmicas 4.5 Derivadas de funções logarítmicas 4.6 Crescimento e decaimento exponenciais
5
Teste preliminar 5.4 Área e o Teorema Fundamental do Cálculo 5.5 Área de região limitada por dois gráficos 5.6 Integral definida como limite de uma soma
6
7
7.1 7.2 7.3 7.4
Apêndices Apêndice A: Introdução alternativa ao Teorema Fundamental do Cálculo
532
SumárioMMMXIII
Apêndice B: Fórmulas B.1 Fórmulas de derivação e integração B.2 Fórmulas de negócios e finanças
Apêndice C: Equações diferenciais (apenas na web)* C.1 C.2 C.3 C.4
Soluções de equações diferenciais Separação de variáveis Equações diferenciais lineares de primeira ordem Aplicações de equações diferenciais
Apêndice D: Propriedades e medidas (apenas na web)* D.1 Revisão de álgebra, geometria e trigonometria D.2 Unidades de medida
Apêndice E: Programas de ferramentas gráficas (apenas na web)* E.1 Programas de ferramentas gráficas Respostas de exercícios selecionados Respostas das autoavaliações Índice remissivo
540 543
Funções, gráficos e limites
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
O plano cartesiano e a Fórmula da Distância Gráficos de equações Retas no plano e inclinações Funções Limites Continuidade
Aplicações Os conceitos de funções e limites possuem inúmeras aplicações na vida real. Os itens listados abaixo são exemplos destas aplicações. ■ Saúde, Exercício 36, página 41 ■ Gasto federal com educação, Exercício 70, página 53 ■ Análise de lucro, Exercício 93, página 64 ■ Tomada de decisão: oferta de emprego, Exercício 95, página 64 ■ Medicamentos controlados, Exercício 63, página 76 ■ Conscientização do consumidor, Exercício 61, página 97
1
34MMMCálculo Aplicado
Seção 1.1
O plano cartesiano e a Fórmula da Distância
■ ■ ■ ■
Marcar os pontos em um plano coordenado e ler dados apresentados graficamente. Determinar a distância entre dois pontos em um plano coordenado. Localizar pontos médios de segmentos de reta que unem dois pontos. Transladar pontos no plano coordenado.
O plano cartesiano eixo y
Reta real vertical
4 3
Quadrante II
Quadrante I
2
Origem1
Reta real horizontal eixo x
−4 − 3 − 2 − 1 −1
1
−2
Quadrante III
2
3
4
Quadrante IV
−3 −4
FIGURA 1.1
O plano cartesiano
Assim como é possível representar números reais por meio de pontos em uma reta real, é possível representar pares ordenados de números reais por pontos em um plano denominado sistema de coordenadas retangulares ou plano cartesiano, assim chamado em homenagem ao matemático francês René Descartes (1596-1650). O plano cartesiano é formado pela utilização de duas retas reais que se cruzam em ângulos retos, como mostra a Figura 1.1. A reta real horizontal costuma ser chamada de eixo x, e a reta real vertical costuma ser chamada de eixo y. O ponto de interseção desses dois eixos é a origem e os dois eixos dividem o plano em quatro partes denominadas quadrantes. Cada ponto no plano corresponde a um par ordenado (x, y) de números reais x e y, chamados coordenadas do ponto. A coordenada x representa a distância orientada do eixo y até o ponto, e a coordenada y representa a distância orientada do eixo x até o ponto, como mostra a Figura 1.2.
x, y eixo y
distância orientada do eixo y
x
distância orientada do eixo x
(x, y) y eixo x
FIGURA 1.2
AT E N Ç Ã O A notação (x, y) denota tanto um ponto no plano como um intervalo aberto na reta real. O contexto esclarece o significado pretendido.
Exemplo 1 y
Marque os pontos 1, 2 , 3, 4 , 0, 0 , 3, 0 e 2, 3 . (3, 4)
4
SOLUÇÃO Para marcar o ponto
3
1, 2
(−1, 2) 1 −4 −3 −2 − 1 −1 −2
(−2, −3)
Marcação de pontos no plano cartesiano
(0, 0) 1
coordenada x
(3, 0) 2
3
x 4
coordenada y
imagine uma reta vertical por 1 no eixo x e uma reta horizontal por 2 no eixo y. A interseção dessas duas retas é o ponto ( 1, 2). Os outros quatro pontos podem ser marcados da mesma maneira e estão mostrados na Figura 1.3.
−3 −4
FIGURA 1.3
✓AUTOAVALIAÇÃO 1 Marque os pontos 3, 2 , 4, 2 , 3, 1 , 0, 2 , e 1, 2 .
■
O sistema de coordenadas retangulares permite a visualização de relações entre duas variáveis. No Exemplo 2, observe o quanto sua intuição é facilitada pelo uso da representação gráfica.
Funções, gráficos e limitesMMM35
A
Os valores A (em milhões de dólares) gastos em veículos para neve nos Estados Unidos de 1997 a 2006 são mostrados na tabela, em que t representa o ano. Faça o esboço de um diagrama de dispersão com os dados fornecidos. (Fonte: Interna-
1.200
Dólares (em milhões)
Esboço de um diagrama de dispersão
Exemplo 2
Valores gastos com veículos para neve
1.000
tional Snowmobile Manufacturers Association)
800 600
1997 1999 2001 2003 2005
t
Ano
FIGURA 1.4
AT E N Ç Ã O No Exemplo 2, pode-se fazer com que t 1 represente o ano de 1997. Nesse caso, o eixo horizontal não estaria interrompido e as marcas teriam sido identificadas com números de 1 a 10 (em vez de 1997 a 2006).
t
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
A
1.006
975
883
821
894
817
779
712
826
741
SOLUÇÃO Para compor um diagrama de dispersão com os dados fornecidos na ta-
bela, simplesmente representa-se cada par de valores por um par ordenado (t, A) e marca-se os pontos resultantes, como mostra a Figura 1.4. Por exemplo, o primeiro par de valores é representado pelo par ordenado (1997, 1.006). Observe que há uma quebra no eixo t, indicando que os números entre 0 e 1996 foram omitidos.
✓AUTOAVALIAÇÃO 2 São mostradas as matrículas E (em milhões) de estudantes norte-americanos em faculdades públicas entre 1995 a 2004, em que t representa o ano. Faça um esboço do diagrama de dispersão para os dados fornecidos. (Fonte: U.S. National Center for Education Statistics)
t
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
E
11,1
11,1
11,2
11,1
11,3
11,8
12,2
12,8
12,9
13,0
TECNOLOGIA Valores gastos com veículos para neve
Valores gastos com veículos para neve
A
A 1.200
Dólares (em milhões)
1.200
Dólares (em milhões)
O diagrama de dispersão no Exemplo 2 é apenas uma das maneiras de representar graficamente os dados fornecidos. Duas outras técnicas são mostradas à direita. A primeira é um histograma gráfico de barras e a segunda é o gráfico de linhas. As três representações gráficas foram criadas em um computador. Se tiver acesso fácil a um software de gráficos, tente utilizá-lo para representar graficamente os dados do Exemplo 2.
1.000 800 600
1997 1999 2001 2003 2005
t
1.000 800 600
1997 1999 2001 2003 2005
t
Ano
Ano
Fórmula da Distância a2 + b2 = c2
Lembre-se de que pelo Teorema de Pitágoras, para um triângulo retângulo com hipotenusa de comprimento c e lados de comprimento a e b, temos a2 b2 c2
c
a
b
FIGURA 1.5
Teorema de Pitágoras
Teorema de Pitágoras
como mostra a Figura 1.5 (o oposto também é verdadeiro. Ou seja, se a 2 b 2 c 2, então o triângulo é um triângulo retângulo). Suponha que se deseje determinar a distância d entre dois pontos x1, y1 e x2, y2 no plano. Com esses dois pontos, é possível formar um triângulo retângulo, como mostra a Figura 1.6. O comprimento do lado vertical do triângulo é
y2 y1
36MMMCĂĄlculo Aplicado
e o comprimento do lado horizontal ĂŠ
y
x2 x1 .
(x1, y1)
y1
Pelo Teorema de PitĂĄgoras, pode-se escrever que d
â??y2 − y1â??
(x2, y2)
y2
x
x2
x1
Esse resultado Ê a Fórmula da Distância.
â??x2 − x1â??
FIGURA 1.6 pontos
d 2 x2 x1 2 y2 y1 2 d x2 x1 2 y2 y1 2 d x2 x1 2 y2 y1 2.
Distância entre dois
Fórmula da Distância
A distância d entre dois pontos x1, y1 e x2, y2 no plano Ê d x2 x1 2 y2 y1 2.
Exemplo 3
Determinação de uma distância
Determine a distância entre os pontos 2, 1 e 3, 4 . y 4 3
SOLUĂ‡ĂƒO Sejam x1, y1 2, 1 e x2, y2 3, 4 . EntĂŁo, aplique a FĂłrmula
(3, 4)
da Distância como mostrado.
d 3
(−2, 1) 5 −3
−2
−1
x 1
2
3
4
−1
d x2 x1 2 y2 y1 2 3 2 2 4 1 2 5 2 3 2 34 5.83
Fórmula da Distância Substitua os valores de x1, y1, x2 e y2. Simplifique.
Utilize uma calculadora.
Observe na Figura 1.7 que uma distância de 5,83 parece coerente.
FIGURA 1.7
✓AUTOAVALIAĂ‡ĂƒO 3 Determine a distância entre os pontos 2, 1 e 2, 4 . y
Exemplo 4
8
â–
Verificação de um triângulo retângulo
Utilize a Fórmula da Distância para mostrar que os pontos 2, 1 , 4, 0 e 5, 7 são vÊrtices de um triângulo retângulo.
(5, 7)
6
SOLUĂ‡ĂƒO Os trĂŞs pontos estĂŁo marcados na Figura 1.8. Ao utilizar a FĂłrmula da Distância, ĂŠ possĂvel determinar o comprimento dos trĂŞs lados conforme abaixo. d1
4
d1 5 2 2 7 1 2 9 36 45 d2 4 2 2 0 1 2 4 1 5 d3 5 4 2 7 0 2 1 49 50
d3 2
(2, 1)
d2 2
FIGURA 1.8
Como
(4, 0) 4
x 6
d12 d 22 45 5 50 d 32 ĂŠ possĂvel aplicar a recĂproca do Teorema de PitĂĄgoras para concluir que este triângulo deve ser um triângulo retângulo.
✓AUTOAVALIAĂ‡ĂƒO 4 Utilize a FĂłrmula da Distância para mostrar que os pontos 2, 1 , 5, 5 e 6, 3 sĂŁo vĂŠrtices de um triângulo retângulo. â–
Funçþes, gråficos e limitesMMM37
As figuras fornecidas nos Exemplos 3 e 4 não foram essenciais na resolução. No entanto, recomendamos fortemente que se adquira o håbito de incluir esboços em suas soluçþes – mesmo quando não for solicitado.
Exemplo 5
(50, 45)
Determinação do comprimento de um passe
Em um jogo de futebol americano, o quarterback arremessa a bola a partir da linha das 5 jardas, a 20 jardas de distância da linha lateral. O recebedor agarra a bola na linha de 45 jardas, distando 50 jardas da mesma linha lateral, como mostra a Figura 1.9. QuĂŁo longo foi o passe? SOLUĂ‡ĂƒO É possĂvel determinar o comprimento do passe encontrando a distância entre os pontos (20, 5) e (50, 45).
Linha de passe
d 50 20 2 45 5 2 900 1.600 50
(20, 5) 10
20
30
40
50
FIGURA 1.9
Fórmula da Distância
Simplifique.
Portanto, o passe terĂĄ 50 jardas de comprimento.
✓AUTOAVALIAĂ‡ĂƒO 5 Um quarterback lança a bola da linha das 10 jardas, a 10 jardas de distância da linha lateral. O recebedor agarra a bola na linha das 30 jardas, a uma distância de 25 jardas da mesma linha lateral. Qual ĂŠ o comprimento do passe? â–
AT E N Ç Ăƒ O No Exemplo 5, a escala sobre a linha do gol, que mostra a distância da linha lateral, nĂŁo aparece usualmente no campo de futebol. No entanto, ao utilizar a geometria de coordenadas para resolver questĂľes da vida real, pode-se posicionar o sistema de coordenadas da forma mais conveniente para a solução do problema.
FĂłrmula do ponto mĂŠdio Para determinar a fĂłrmula do ponto mĂŠdio do segmento de reta que une dois pontos em um plano coordenado, basta determinar os valores mĂŠdios das respectivas coordenadas das duas extremidades. FĂłrmula do ponto mĂŠdio
O ponto mĂŠdio do segmento que une os pontos x1, y1 e x2, y2 ĂŠ Ponto mĂŠdio
y
Exemplo 6
6
(2, 0) −6
−3
(−5, − 3)
3 −3
x 6
Ponto mĂŠdio
x1 x2 y1 y2 , . 2 2
Determinação do ponto mÊdio de um segmento
Localize o ponto mĂŠdio do segmento de reta que une os pontos 5, 3 e 9, 3 , como mostra a Figura 1.10.
(9, 3)
3
SOLUĂ‡ĂƒO Sejam x1, y1 5, 3 e x2, y2 9, 3 .
9
Ponto mĂŠdio
x1 x 2 y 1 y2 5 9 3 3 , , 2, 0 2 2 2 2
−6
FIGURA 1.10
✓AUTOAVALIAĂ‡ĂƒO 6 Localize o ponto mĂŠdio do segmento de reta que une 6, 2 e 2, 8 .
â–
38MMMCĂĄlculo Aplicado
Vendas (em bilhĂľes de dĂłlares)
Vendas anuais da Starbucks Corporation 7 6
(2005, 6,37) Ponto mĂŠdio
5 4
(2004, 5,23) (2003, 4,08)
3
2003
2004
Ano
FIGURA 1.11
Estimativa das vendas anuais
Exemplo 7
A Starbucks Corporation teve vendas anuais de $ 4,08 bilhĂľes em 2003 e $ 6,37 bilhĂľes em 2005. Sem qualquer informação adicional, determine uma estimativa das vendas em 2004. (Fonte: Starbucks Corp.) SOLUĂ‡ĂƒO Uma solução para o problema ĂŠ assumir que as vendas seguiram um padrĂŁo linear. Com essa hipĂłtese, pode-se estimar as vendas de 2004 encontrando-se o ponto mĂŠdio do segmento que une os pontos (2003, 4,08) e (2005, 6,37).
Ponto mĂŠdio
2005
2003 2 2005, 4,08 2 6,37 2004, 5,23
Portanto, pode estimar que as vendas em 2004 foram de $ 5,23 bilhĂľes, como mostra a Figura 1.11. (O valor real das vendas em 2004 foi de $ 5,29 bilhĂľes.)
✓AUTOAVALIAĂ‡ĂƒO 7 A Whirlpool Corporation teve vendas anuais de $ 12,18 bilhĂľes em 2003 e $ 14,32 bilhĂľes em 2005. Determine uma estimativa das vendas em 2004. (Fonte: Whirl-
pool Corporation.) â–
Translação de pontos no plano Translação de pontos no plano
Exemplo 8
A Figura 1.12(a) mostra os vĂŠrtices de um paralelogramo. Localize os vĂŠrtices do paralelogramo depois dele ter sido transladado duas unidades para baixo e quatro unidades para a direita. SOLUĂ‡ĂƒO Para transladar cada vĂŠrtice duas unidades para baixo, subtraia 2 de cada coordenada y. Para transladar cada vĂŠrtice quatro unidades Ă direita, some 4 a cada coordenada x.
Ponto original
Ponto transladado
1, 0 3, 2 3, 6 1, 4
1 4, 0 2 5, 2 3 4, 2 2 7, 0 3 4, 6 2 7, 4 1 4, 4 2 5, 2
O paralelogramo transladado ĂŠ mostrado na Figura 1.12(b) 8
8
(3, 6)
(3, 6) (3, 2)
(3, 2) (7, 4)
(1, 4) −6
(1, 4) (1, 0)
12
−6
(5, 2) (1, 0)
(7, 0)
12
(5, − 2) −4
(a)
−4
(b)
FIGURA 1.12
✓AUTOAVALIAĂ‡ĂƒO 8 Localize os vĂŠrtices do paralelogramo no Exemplo 8 apĂłs este ter sido transladado duas unidades para a esquerda e quatro unidades para baixo. â–
Funçþes, gråficos e limitesMMM39
VERIFICAĂ‡ĂƒO DOS CONCEITOS 1. Qual ĂŠ a coordenada y de qualquer ponto no eixo x? Qual ĂŠ a coordenada x de qualquer ponto no eixo y? 2. Descreva os sinais das coordenadas x e y de pontos que estĂŁo no primeiro e no segundo quadrantes. 3. Quantas vezes a fĂłrmula do ponto mĂŠdio ĂŠ utilizada para que um segmento de reta seja dividido em quatro partes iguais? 4. Ao determinar a distância entre dois pontos, faz alguma diferença qual dos pontos ĂŠ escolhido como x1, y1 ? Explique.
Recapitulação 1.11
Os exercĂcios preparatĂłrios a seguir envolvem conceitos vistos em seçþes anteriores. Esses conceitos serĂŁo utilizados no conjunto de exercĂcios desta seção. Para obter mais ajuda, veja novamente a Seção 0.3.
Nos ExercĂcios 1-6, simplifique cada expressĂŁo. 1. 3 6 2 1 5 2 3.
2. 2 0 2 7 3 2
5 4 2
4.
5. 27 12
3 1 2
6. 8 18
Nos ExercĂcios 7–10, determine x ou y. 7. 3 x 2 7 4 2 45 9.
x 5 7 2
8. 6 2 2 2 y 2 52 10.
7 y 3 2
ExercĂcios 1.1 Nos ExercĂcios 1 e 2, marque os pontos no plano cartesiano. 1. 5, 3 , 1, 1 , 2, 4 , 2, 0 , 1, 6 2. 0, 4 , 5, 1 , 3, 5 , 2, 2 , 6, 1
Nos ExercĂcios 13-16, (a) determine o comprimento de cada lado do triângulo retângulo e (b) demonstre que essas medidas satisfazem o Teorema de PitĂĄgoras. 13.
5.
1 2,
1 ,
32,
5
7. 2, 2 , 4, 14
c (0, 0)
23, 13 , 56, 1
15.
c a (1, 1)
x
16.
(13, 1)
y
(2, 5)
8. 3, 7 , 1, 1
10. 2, 0 , 0, 2
11. 0, 4,8 , 0,5, 6 12. 5,2, 6,4 , 2,7, 1,8
As respostas para os exercĂcios de recapitulação estĂŁo no final do livro.
b x
(4, 0)
y
9. 1, 3 , 1, 1
1
(13, 6)
b a
4. 3, 2 , 3, 2 6.
y
(4, 3)
Nos ExercĂcios 3-12, (a) marque os pontos, (b) determine a distância entre os pontos e (c) localize o ponto mĂŠdio do segmento de reta que une os pontos. 3. 3, 1 , 5, 5
14.
y
(− 3, 1)
c a
(7, 4) b (7, 1)
b
c x
x
a (2, − 2)
(6, −2)
40MMMCálculo Aplicado
Nos Exercícios 17-20, mostre que os pontos formam os vértices da figura dada. (Um losango é um quadrilátero cujos lados têm o mesmo comprimento.) Vértices
Figura
Ano
1996
1997
1998
1999
2000
Assinantes
44,0
55,3
69,2
86,0
109,5
17. 0, 1 , 3, 7 , 4, 1
Triângulo retângulo
Ano
2001
2002
2003
2004
2005
18. 1, 3 , 3, 2 , 2, 4
Triângulo isósceles
Assinantes
128,4
140,8
158,7
182,1
207,9
19. 0, 0 , 1, 2 , 2, 1 , 3, 3
Losango
20. 0, 1 , 3, 7 , 4, 4 , 1, 2
Paralelogramo
21. 1, 0 , x, 4
22. 2, 1 , x, 2
Nos Exercícios 23 e 24, determine y de forma que a distância entre os pontos seja 8. 23. 0, 0 , 3, y
24. 5, 1 , 5, y
25. Dimensão de construções A base e a altura da armação do telhado de uma casa são 32 pés e 5 pés, respectivamente (veja a figura). (a) Determine a distância dos beirais até o topo do telhado. (b) O comprimento da casa é de 40 pés. Utilize o resultado da questão (a) para determinar o número de pés quadrados do telhado.
d
5
40
c
Dow Jones Industrial Average
Nos Exercícios 21 e 22, determine x de forma que a distância entre os pontos seja 5.
Dow Jones Industrial Average Nos Exercícios 29 e 30, utilize a figura abaixo, que mostra o índice Dow Jones Industrial Average (ou simplesmente Dow Jones) para ações comuns. (Fonte: Dow Jones, Inc.) 29. Calcule uma estimativa do índice Dow Jones para cada data. (a) março de 2005 (b) dezembro de 2005 (c) maio de 2006 (d) janeiro de 2007 30. Calcule uma estimativa da queda ou do aumento porcentual no índice Dow Jones (a) de março a novembro de 2005 e (b) de maio 2006 a fevereiro de 2007. 13,200 12,800 12,400 12,000 11,600 11,200 10,800 10,400 10,000
Jan. Maio Mar.
Dez.
J F MAM J J A S O N D J F MAM J J A S O N D J F 2005 2006 2007
200 pés
32 Figura para os Exercícios 29 e 30
Figura para o Exercício 25
Figura para o Exercício 26
26. Comprimento de um cabo Um cabo é esticado de uma torre de transmissão em um ponto a 200 pés acima do chão até uma estaca, 125 pés a partir da base (veja a figura). Qual o comprimento do cabo? Nos exercícios 27 e 28, use uma ferramenta gráfica para fazer um diagrama de dispersão, um gráfico de barras ou de linhas para representar os dados. Descreva quaisquer tendências que apareçam. 27. Tendência de consumo O número (em milhões) de assinantes do plano básico de TV a cabo nos Estados Unidos de 1996 a 2005 é mostrado na tabela. (Fonte: National Cable & Telecommunications Association) Ano
1996
1997
1998
1999
2000
Assinantes
62,3
63,6
64,7
65,5
66,3
Ano
2001
2002
2003
2004
2005
Assinantes
66,7
66,5
66,0
65,7
65,3
28. Tendência de consumo O número (em milhões) de assinantes de telefonia celular nos Estados Unidos de 1996 a 2005 é mostrado na tabela. (Fonte: Cellular Telecommunications & Internet Association)
Construção Nos Exercícios 31 e 32, utilize a figura que mostra os preços médios de venda de imóveis (casa ou apartamento) (em milhares de dólares) nos Estados Unidos de 1990 a 2005. (Fonte: National Association of Realtors) 31. Calcule uma estimativa do preço médio de venda de imóveis para cada ano. (a) 1990 (b) 1992 (c) 1997 (d) 2005 32. Calcule uma estimativa dos aumentos porcentuais do preço dos imóveis (a) de 1993 a 1994 e (b) de 2003 a 2004.
Preço médio de venda (em milhares de dólares)
125 pés
220 200 180 160 140 120 100 80 60 1991 1993 1995 1997 1999 2001 2003 2005
Ano Figura para os Exercícios 31 e 32
Projeto de pesquisa Nos Exercícios 33 e 34, (a) utilize a fórmula do ponto médio para estimar a receita e o lucro das empresas em 2003. (b) Em seguida, utilize uma
Funçþes, gråficos e limitesMMM41
Receita (em milhĂľes de dolĂĄres) Lucro (milhĂľes de dĂłlares)
2001
2003
2005
25,269
31,944
2.058,0
2.729,0
34. CVS Corporation Ano Receita (em milhĂľes de dolĂĄres) Lucro (milhĂľes de dĂłlares)
2001
2003
2005
22,241
37,006
638,0
1.172,1
35. Economia A tabela mostra o nĂşmero de inflamaçþes no ouvido, tratadas por mĂŠdicos de clĂnicas que fazem parte das Organizaçþes Mantenedoras de SaĂşde de trĂŞs tamanhos diferentes: pequenas, mĂŠdias e grandes.
Ano
2001
2002
2003
2004
2005
Consumidores de ĂĄlcool
20,0
19,9
19,1
19,1
19,5
Fumantes
22,7
22,4
21,6
20,9
20,9
(a) Esboce de um grĂĄfico de linhas para cada conjunto de dados. (b) Descreva quaisquer tendĂŞncias que aparecerem. GrĂĄficos com Computadores Nos ExercĂcios 37 e 38, a figura com linha cheia ĂŠ transladada para uma nova posição no plano para formar a figura tracejada. (a) Determine os vĂŠrtices da figura deslocada. (b) Em seguida, use uma ferramenta grĂĄfica para desenhar as figuras. 37. 3 1
(− 3, −1)
0
1
2
3
4
Casos por clĂnica pequena
0
20
28
35
40
Casos por clĂnica mĂŠdia
0
30
42
53
60
Casos por clĂnica grande
0
35
49
62
70
(a) Mostre a relação entre os mÊdicos e as inflamaçþes tratadas utilizando três curvas, de maneira que o número de mÊdicos esteja no eixo horizontal e o número de inflamaçþes tratadas esteja no eixo vertical. (b) Compare as três relaçþes. (Fonte: Adaptado de Taylor, Economics, Quinta edição) 36. Saúde O porcentual de adultos considerados consumidores de ålcool ou fumantes são mostrados na tabela. Os consumidores de ålcool foram definidos como aqueles que
y
(1, 3)
3
(0, 2)
(3, 1)
3 unids. 1 x
1
2
(0, 0) (−1, −2)
−3
NĂşmero de mĂŠdicos
38.
y
x 1
3
(2, 0)
2 unids.
3
3 unids.
Ano
tomaram cinco ou mais doses alcoĂłlicas em um mesmo dia, pelo menos uma vez durante o ano. Os fumantes foram definidos como aqueles que fumaram mais de cem cigarros durante a vida inteira e fumam todos ou quase todos os dias. (Fonte: National Health Interview Survey)
3 unids.
biblioteca, a internet ou outra fonte de referĂŞncia para determinar a receita e o lucro real de 2003. (c) A receita e o lucro aumentaram em um padrĂŁo linear de 2001 a 2005? Explique sua conclusĂŁo. (d) Quais foram os gastos da empresa durante cada um dos anos mencionados? (e) Como o crescimento da empresa poderia ser classificado de 2001 a 2005? (Fonte: The Walt Disney Company e CVS Corporation) 33. The Walt Disney Company
39. Utilize a fórmula do ponto mÊdio repetidamente para determinar os três pontos que dividem o segmento que une x1, y1 e x2, y2 em quatro partes iguais. 40. Mostre que 13 2x1 x2 , 13 2y1 y2 Ê um dos pontos da trisseção do segmento de reta que une x1, y1 e x2, y2 . Em seguida, determine o segundo ponto da trisseção pela determinação do ponto mÊdio do segmento que une
13 2x
1
1 x2 , 2y1 y2 e x2, y2 . 3
41. Utilize o ExercĂcio 39 para determinar os pontos que dividem o segmento de reta que une os pontos dados em quatro partes iguais. (a) 1, 2 , 4, 1
(b) 2, 3 , 0, 0
42. Utilize o ExercĂcio 40 para determinar os pontos de trisseção do segmento de reta que une os pontos dados. (a) 1, 2 , 4, 1
(b) 2, 3 , 0, 0
42MMMCálculo Aplicado
Seção 1.2
Gráficos de equações
Esboçar gráficos e equações à mão. Localizar as interseções com os eixos x e y de gráficos de equações. Escrever as formas-padrão das equações das circunferências. Determinar os pontos de interseção de dois gráficos. Utilizar modelos matemáticos para resolver problemas da vida real.
■ ■ ■ ■ ■
Gráfico de uma equação Na Seção 1.1, um sistema de coordenadas foi utilizado para representar graficamente a relação entre duas quantidades. Lá, a figura gráfica consistia em um conjunto de pontos em um plano coordenado (observe o Exemplo 2 na Seção 1.1). Frequentemente, a relação entre duas quantidades é expressa na forma de uma equação. Por exemplo, os graus na escala Fahrenheit relacionam-se aos graus na escala Celsius pela equação F 95C 32. Nesta seção, serão estudados alguns procedimentos básicos para esboçar os gráficos destas equações. O gráfico de uma equação é o conjunto de todos os pontos que são soluções da equação.
Exemplo 1
Esboço do gráfico de uma equação
Esboce o gráfico de y 7 3x. SOLUÇÃO A maneira mais simples de esboçar o gráfico de uma equação é por meio do método de representação de pontos. Com ele, é possível construir uma tabela de valores formada por diversos pontos que satisfazem a equação, como mostra a tabela abaixo. Por exemplo, se x 0
y 8 6
(0, 7)
4
o que significa que (0, 7) é um ponto-solução do gráfico.
2 −6 −4 −2
y 7 3 0 7
(1, 4) (2, 1) x
−2 −4 −6
FIGURA 1.13 de y 7 3x
2
4
6
(3, − 2)
8
(4, − 5)
0
1
2
3
4
y 7 3x
7
4
1
2
5
A tabela mostra que 0, 7 , 1, 4 , 2, 1 , 3, 2 e 4, 5 são pontos que satisfazem a equação. Depois de marcar esses pontos, vê-se que eles parecem estar em uma reta, como mostra a Figura 1.13. O gráfico da equação é a reta que passa pelos cinco pontos marcados.
Pontos-soluções
✓AUTOAVALIAÇÃO 1 Esboce o gráfico de y 2x 1.
x
■
AT E N Ç Ã O Muito embora as pessoas se refiram ao esboço mostrado na Figura 1.13 como o gráfico de y 7 3x, ele representa, na verdade, somente uma parte do gráfico. O gráfico completo é uma reta que se estende para além das margens da página.
Exemplo 2
Esboço do gráfico de uma equação
Esboce o gráfico de y x 2 2. SOLUÇÃO
Comece pela construção de uma tabela de valores, como mostrado
abaixo. x
2
1
0
1
2
3
y x2 2
2
1
2
1
2
7
Funções, gráficos e limitesMMM43
Em seguida, marque os pontos fornecidos na tabela, como mostra a Figura 1.14(a). Finalmente, una os pontos com uma curva lisa, como mostra a Figura 1.14(b) y
y
8
8
(3, 7)
(− 2, 2)
−4
6
6
4
4
(2, 2)
2
2 x
−2
(− 1, − 1)
(1, − 1) 4
y = x2 − 2
−4
6
x
−2
2
4
6
−2
(0, − 2)
(a)
(b)
FIGURA 1 .14
✓AUTOAVALIAÇÃO 2 Esboce o gráfico de y x2 4.
■
y
AT E N Ç Ã O O gráfico mostrado no Exemplo 2 é uma parábola. O gráfico de qualquer equação do segundo grau da forma x
y ax 2 bx c, a 0 possui uma forma parecida. Se a > 0, a parábola se abre para cima, como na Figura 1.14(b); e se a < 0, a parábola se abre para baixo.
FIGURA 1.15
A técnica de representação de pontos ilustrada nos Exemplos 1 e 2 é de fácil utilização, porém apresenta alguns inconvenientes. Com poucos pontos demais, pode-se representar o gráfico de determinada equação de forma extremamente inadequada. Por exemplo, como é que os quatro pontos na Figura 1.15 poderiam ser unidos? Sem informações adicionais, qualquer um dos três gráficos na Figura 1.16 seria aceitável. y
y
x
y
x
x
FIGURA 1 .16
Revisão de álgebra A localização de interseções com os eixos envolve resolver equações. Para rever algumas técnicas de resolução de equações, consulte a página 99.
Interseção de um gráfico com os eixos Geralmente, é fácil determinar os pontos-soluções que têm zero ou na coordenada x ou na coordenada y. Esses pontos são chamados de interseções com os eixos porque são pontos nos quais o gráfico intercepta os eixos x ou y.
44MMMCálculo Aplicado
Alguns textos denotam a interseção com o eixo x como a coordenada x do ponto (a, 0) em vez do próprio ponto. A menos que seja necessário fazer essa distinção, utiliza-se o termo interseção com o eixo atribuído tanto ao ponto como à coordenada. O gráfico pode ter poucas ou nenhuma interseção com os eixos, como mostra a Figura 1.17. y
y
y
x
y
x
Três interseções com o eixo x Uma interseção com o eixo y
Não há interseção com o eixo x Uma interseção com o eixo y
x
Uma interseção com o eixo x Duas interseções com o eixo y
x
Não há interseções com os eixos
FIGURA 1.17
Localização de interseções com os eixos
1. Para localizar interseções com o eixo x, suponha que y seja zero e resolva a equação em x. 2. Para localizar interseções com o eixo y, suponha que x seja zero e resolva a equação em y. y
Exemplo 3
y = x 3 − 4x 4
Localize as interseções com os eixos x e y do gráfico de cada equação.
3
a. y x 3 4x (− 2, 0) −4 −3
(0, 0) −1 −1
(2, 0)
1
3
x 4
−2
−4
1
Veja a Figura 1.18.
interseções com o eixo x: 3, 0
2
(0,
3)
(−3, 0)
interseções com o eixo y: 0, 3 , 0, 3
Veja a Figura 1.19.
x
−1
1 −1 −2
FIGURA 1.19
a. Suponha que y 0. Então 0 x x 2 4 x x 2 x 2 possui soluções x 0 e x ± 2. Suponha que x 0. Então y 0 3 4 0 0.
b. Suponha que y 0. Então x 0 2 3 3. Suponha que x 0. Então y 2 3 0 possui soluções y ± 3.
y
−2
SOLUÇÃO
interseções com o eixo y: 0, 0
FIGURA 1.18
−4
b. x y 2 3
interseções com o eixo x: 0, 0 , 2, 0 , 2, 0
−3
x = y2 − 3
Localização de interseções com os eixos x e y
(0, −
3)
✓AUTOAVALIAÇÃO 3 Localize as interseções com os eixos x e y do gráfico das equações. a. y x2 2x 3 b. y2 4 x ■
Funções, gráficos e limitesMMM45
TECNOLOGIA
Dando zoom para localizar interseções com os eixos Pode-se utilizar o recurso zoom de uma ferramenta gráfica para aproximar as interseções com o eixo x de um gráfico. Suponha que se deseje aproximar a(s) interseção(ões) do gráfico de y 2x3 3x 2. AT E N Ç Ã O Algumas ferramentas gráficas têm programas embutidos que localizam as interseções com o eixo x de um gráfico. Se sua ferramenta gráfica tiver esse recurso, tente utilizá-lo para localizar a interseção com o eixo x desse gráfico à esquerda. (Sua calculadora pode chamá-lo de recurso de root ou zero.)
Comece traçando o gráfico da equação, como mostrado abaixo na parte (a). Na janela de visualização, o gráfico parece ter somente uma interseção com o eixo x. Essa interseção está entre 2 e 1. Ao dar outro zoom na interseção, pode-se melhorar a aproximação, como mostra a parte (b). Com três casas decimais, a solução é x 1,476. y = 2x 3 − 3x + 2
y = 2x 3 − 3x + 2
4
−6
0,1
6
−1,48
−1,47
−4
− 0,1
(a)
(b)
Abaixo estão listadas algumas sugestões de utilização do zoom. 1. A cada zoom aplicado, ajuste a escala x de forma que a janela de visualização mostre pelo menos uma marcação de cada lado da interseção com o eixo x. 2. O erro na aproximação será menor do que a distância entre duas marcações da escala. 3. Geralmente, o recurso trace pode ser utilizado para adicionar mais uma casa decimal de precisão sem alterar a janela de visualização. A parte (a) abaixo mostra o gráfico de y x 2 5x 3. As partes (b) e (c) mostram as visualizações após o zoom das duas interseções. Com essas visualizações, pode-se aproximar as interseções com o eixo x para os valores x 0,697 e x 4,303. 0,01
10
− 10
10
− 10
(a)
y = x 2 − 5x + 3
0,01
0,68
− 0,01
(b)
0,71
y = x 2 − 5x + 3
4,29
−0,01
(c)
4,32
y = x 2 − 5x + 3
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