Cálculo Numérico, 2a ed. - Aprendizagem com apoio de Software

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Licenciado em Matemática pela Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de Rio Claro (SP, 1971), mestre em Ciência da Computação e Estatística – opção Computação – pela UFSCar (1978), doutor em Engenharia Civil pela mesma universidade (1996). Desde 1972, é professor vinculado ao Departamento de Matemática da UFSCar, onde exerceu as funções de docente, pesquisador na área de modelagem matemática e métodos numéricos e de coordenador do curso de Matemática. A partir do ano de 2001, como professor aposentado, passou a ser professor convidado voluntário no mesmo Departamento de Matemática até o ano de 2010. Foi também, no período de 2002 a 2005, professor e coordenador do curso de Matemática Aplicada e Computacional do Centro Universitário Central Paulista (Unicep) – São Carlos, SP. Desde o ano de 2006, exerce as funções de Diretor Acadêmico da Escola Superior de Tecnologia e Educação de Rio Claro (SP).

APRENDIZAGEM COM APOIO DE SOFTWARE 2 ª E D I Ç Ã O R E V I S TA E A M P L I A DA

SELMA ARENALES ARTUR DAREZZO

Esta nova edição do livro Cálculo Numérico: Aprendizagem com Apoio de Software, revista e ampliada, foi projetada e escrita com o objetivo de oferecer aos estudantes de ciências exatas um material didático simples e de fácil entendimento. Abrange os tópicos de um curso básico de Cálculo Numérico, de um semestre, nas instituições de ensino superior. Os métodos numéricos são desenvolvidos para resolução de sistemas lineares e não lineares, equações, interpolação polinomial, ajuste de funções, integração numérica, equações diferenciais ordinárias, autovalores e otimização, acompanhados de exemplos resolvidos em detalhes. Exercícios são propostos no final de cada capítulo com diversos graus de dificuldade para fixação do conteúdo. Esta 2ª edição mantém o CD com o Software Numérico atualizado, desenvolvido pelos autores, que serve de apoio ao ensino/aprendizagem de tópicos básicos de Cálculo Numérico. Neste software, conceitos e resultados dados em sala de aula são reforçados em exercícios nos laboratórios computacionais.

A P L I C A Ç Õ E S

:

Livro-texto para as disciplinas de Cálculo Numérico nos cursos de graduação das áreas de Ciências Exatas e Tecnológicas.

ISBN 13: 978-85-221-1287-6 ISBN 10: 85-221-1287-8

Para suas soluções de curso e aprendizado, visite www.cengage.com.br

9 788522 112876

CÁLCULO NUMÉRICO

ARTUR DAREZZO FILHO

1 684 254 07 38 395 8

APRENDIZAGEM COM APOIO DE SOFTWARE

Professora do Departamento de Matemática da Universidade Federal de São Carlos (UFSCar). Graduada em Matemática pela Universidade Estadual Júlio Mesquita Filho (Unesp) e mestre em Matemática Aplicada pela Universidade Estadual de Campinas (Unicamp). Possui experiência na área de matemática, com ênfase em matemática aplicada, atuando em projetos de pesquisa e orientação de alunos nas áreas de Otimização e Análise Numérica, com enfoques na modelagem de problemas e métodos numéricos de resolução. Tem publicado trabalhos em congressos, em ensino de Matemática, principalmente no ensino de Cálculo Numérico com Ferramentas Computacionais. Possui experiência no ensino a distância, lecionou na Universidade Aberta do Brasil (UAB-UFSCar) e publicou livros para esta finalidade.

CÁLCULO NUMÉRICO

SELMA ARENALES ARTUR DAREZZO

SELMA HELENA DE VASCONCELOS ARENALES

1 684 254 07 5 38 39 8

CÁLCULO NUMÉRICO APRENDIZAGEM COM APOIO DE SOFTWARE 2 ª E D I Ç Ã O R E V I S TA E A M P L I A DA

SELMA ARENALES ARTUR DAREZZO


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Cálculo Numérico Aprendizagem com Apoio de Software

Selma Arenales Artur Darezzo


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Prefácio

Desde a publicação da 1ª edição deste livro em 2008, Cálculo Numérico – Aprendizagem com Apoio de Software, recebemos sugestões de correções no texto e solicitação para que novos temas fossem inseridos numa 2ª edição para um curso básico de Cálculo Numérico. Diante da necessidade de uma renovação e atualização do texto atual, juntamente com a reestruturação e modernização do Software Numérico que acompanha o livro, tentamos nesta nova edição contemplar esses pedidos, devido ao fato da aceitação e adoção em várias universidades, com a inclusão de dois novos capítulos sobre os temas de Autovalores e Otimização. Nesta 2ª edição, temos por objetivo oferecer aos estudantes de ciências exatas em geral, um material didático, simples e de fácil entendimento dos tópicos de um curso básico de Cálculo Numérico, desenvolvido nas instituições de ensino superior. Destacamos a importância e a necessidade do estudante adquirir o conhecimento dos conceitos e métodos básicos do Cálculo Numérico, para que posteriormente possa, com segurança, ser capaz de entender e formular problemas do cotidiano e, ainda, resolvê-los usando softwares especializados. Este livro reflete a experiência dos autores, de muitos anos, no ensino de Cálculo Numérico para diferentes cursos do Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia da Universidade Federal de São Carlos–UFSCar. O livro nesta 2ª edição é composto de oito capítulos, com os principais tópicos abordados numa disciplina básica de Cálculo Numérico em universidades: Erros, Sistemas Lineares, Equações, Interpolação e Aproximação de Funções, Integração Numérica, Equações Diferenciais Ordinárias, Autovalores-Autovetores e Otimização. O desenvolvimento teórico de métodos numéricos e os respectivos algoritmos são apresentados de forma simples e didática, com exemplos ilustrativos e listas de exercícios para fixação do conteúdo, com as respostas dos exercícios propostos.


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Cálculo Numérico aprendizagem com apoio de software

Alguns resultados do Cálculo Diferencial Integral, Álgebra Linear e Geometria Analítica, foram utilizados no decorrer dos capítulos, considerando que os alunos tenham estes requisitos básicos. O Software Numérico, parte integrante deste livro, é um software de apoio ao ensino/aprendizagem de tópicos básicos de Cálculo Numérico, no qual conceitos e resultados dados em sala de aula são reforçados em aulas de exercícios nos laboratórios computacionais. O Software Numérico nesta 2ª edição contém oito módulos, com os tópicos de Sistemas Lineares, Inversa de Matriz, Equações, Interpolação e Aproximação de Funções, Integração Numérica, Equações Diferenciais Ordinárias, AutovaloresAutovetores e Otimização, abordados neste livro texto. Este software passou por uma reformulação geral e, a pedido de usuários, projetado para ser compatível com os sistemas operacionais Windows, Linux e Mac OS X. As interfaces do Software Numérico estão atualizadas, voltadas sempre para os objetivos de ensino/aprendizagem dos tópicos, além de um “Arquivo de Correção”, o qual armazena todas as etapas de execução dos exercícios resolvidos pelo aluno. Posteriormente, o professor poderá acessá-lo, analisá-lo e realizar comentários sobre os erros e acertos, permitindo uma interação muito interessante para o ensino/aprendizagem. O Manual do Software Numérico encontra-se disponível no CD que acompanha o livro. Nesse manual, o usuário possui de forma simples e clara, um resumo sobre os métodos numéricos desenvolvidos nos capítulos deste livro com exemplos ilustrativos, além de informações sobre o uso, sintaxe, entrada de dados e todos os esclarecimentos. Este livro pode também ser adotado em cursos na modalidade “Ensino a Distância”, em que o professor reforça e melhora a aprendizagem dos tópicos com listas de exercícios bem elaboradas. Com a aplicação do Software Numérico e acesso ao Arquivo de Correção, posteriormente o professor poderá realizar comentários sobre os erros e acertos dos alunos e estabelecer uma interação frutífera, a distância, professor/aluno objetivando a melhoria do processo ensino/aprendizagem. O usuário pode instalar o software de maneira simples utilizando a Senha 18012015.

Agradecimentos Aos professores e estudantes da UFSCar e das unidades da ASSER, a todas as pessoas que de alguma forma colaboraram com um retorno positivo e sugestões motivando-nos a publicar esta 2ª edição. Em especial, ao Professor Dr. Marcos Nereu Arenales, docente do Departamento de Matemática Aplicada e Estatística ICMC-USP- São Carlos, pela elaboração e escrita do Capítulo 7 – Autovalores e Autovetores deste livro. Selma Arenales Artur Darezzo Filho


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Sumário

Capítulo 1 – Erros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 – Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 – Erros na fase da modelagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 – Erros na fase de resolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Capítulo 2 – Solução Numérica de Sistemas de Equações Lineares e Matrizes Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1 – Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 – Sistemas de equações lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3 – Métodos diretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.4 – Matrizes inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.5 – Métodos iterativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.6 – Condicionamento de sistemas lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 2.7 – Trabalhando com o Software Numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Capítulo 3 – Solução Numérica de Equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.1 – Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.2 – Solução de uma equação e métodos gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.3 – Métodos numéricos para resolução de equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.4 – Sistemas de equações não lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 3.5 – Equações polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 3.6 – Trabalhando com o Software Numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144


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Cálculo Numérico aprendizagem com apoio de software

Capítulo 4 – Aproximação de Funções: Interpolação e Método dos Mínimos Quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 – Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 – Interpolação polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 – Fórmula interpolatória de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 – Interpolação linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 – Fórmula interpolatória de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 – Interpolação inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 – Fórmula interpolatória de Newton-Gregory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8 – Aproximação de funções – Método dos mínimos quadrados . . . . . . . . . . . . . . 4.9 – Trabalhando com o Software Numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

147 147 147 152 158 161 168 173 177 200 206

Capítulo 5 – Integração Numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 5.1 – Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 5.2 – Integração numérica usando interpolação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 5.3 – Fórmulas de quadratura de Newton-Cotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 5.4 – Erro cometido na integração numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 5.5 – Regra dos trapézios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 5.6 – Regra 1/3 de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 5.7 – Regra 3/8 de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 5.8 – Fórmula de quadratura de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 5.9 – Integração dupla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 5.10 – Trabalhando com o Software Numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 Capítulo 6 – Solução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias . . . . . . . . . . . . 257 6.1 – Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 6.2 – Equações diferenciais ordinárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 6.3 – Problema de Valor Inicial (PVI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 6.4 – Discretização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 6.5 – Métodos de série de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 6.6 – Métodos de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 6.7 – Métodos de previsão-correção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 6.8 – Sistema de equações diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 6.9 – Trabalhando com o Software Numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 Capítulo 7 – Autovalores e Autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 7.1 – Definições e Resultados Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 7.2 – Métodos numéricos para o cálculo de autovalores e autovetores . . . . . . . . 326 7.3 – Trabalhando com o Software Numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362


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Sumário

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Capítulo 8 – Otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 8.1 – Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 8.2 – Forma geral de um problema de Otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 8.3 – Otimização linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 8.4 – Otimização não linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406 8.5 – Trabalhando com o Software Numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441 Apêndice A – Decomposição QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.1 – Método de decomposição QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2 – Construindo a decomposição QR com matrizes de rotação . . . . . . . . . . . . . . . Exercício . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

445 445 449 455

Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457 Respostas dos Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461 Índice Remissivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469



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Erros

1.1

1

Introdução

De uma maneira geral, a resolução de um problema em qualquer área do conhecimento científico passa inicialmente por uma fase de observação e entendimento do fenômeno físico envolvido. Com conhecimentos já estabelecidos, buscamos, usando simplificações, quando necessárias, a construção de um modelo matemático que represente o problema que desejamos tratar com a maior fidelidade possível. Esta etapa é caracterizada como fase de modelagem do problema real. Com o problema representado por um modelo matemático, buscamos, para a sua resolução, um método exato quando possível, ou, quando não, um método numérico aproximado. Mesmo quando utilizamos na resolução do modelo matemático um método exato, isto é, um método que apresenta a solução exata, pelo fato de este envolver um número muito grande de operações elementares como adição, multiplicação, subtração e divisão e sendo estas processadas em equipamento com capacidade limitada para armazenar dados, podemos cometer erros. Por outro lado, quando optamos, em razão da complexidade do modelo matemático, pela resolução usando um método numérico, além dos erros no processamento anteriormente mencionados, podemos também cometer erros provenientes do fato de utilizarmos um algoritmo aproximado. Esta etapa é caracterizada como fase de resolução do modelo matemático. Podemos entender as duas fases descritas anteriormente utilizando o esquema representado na Figura 1.1. Neste capítulo apresentamos os principais erros que podem ocorrer na fase da resolução de um problema. Os erros cometidos devido à mudança da base de representação de números devido ao sistema utilizado pelos computadores para armazenar dados numéricos; ainda os erros de arredondamento e truncamento, erros absolutos e relativos e, finalmente, a propagação dos erros.


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2

Cálculo Numérico aprendizagem com apoio de software

Fase de modelagem Erros de simplificação

Problema Problemareal real

Fase de resolução Erros numéricos

Modelo matemático

Solução do modelo matemático

Figura 1.1

1.2

Erros na fase da modelagem

São os erros decorrentes de simplificações, muitas vezes necessárias, para que o fenômeno da natureza que estivermos observando possa ser representado por um modelo matemático e que tenha condições de ser tratado com as ferramentas matemáticas disponíveis.

1.3

Erros na fase de resolução

São erros provenientes da utilização de um computador, para processarmos os cálculos necessários na obtenção de uma solução para o modelo matemático. Tais erros ocorrem devido ao fato de os equipamentos terem capacidade limitada para armazenar dados numéricos utilizados nas operações elementares de adição, multiplicação, subtração e divisão. Os erros nesta fase de resolução podem ser classificados em erros na mudança de base e erros de representação de números, apresentados a seguir:

1.3.1 Erros de mudança da base A maioria dos equipamentos computacionais representa os valores numéricos no sistema binário. Assim, quando os dados numéricos presentes nos modelos matemáticos são lidos, estes são transformados em uma outra base de representação. Acontece, muitas vezes, que esta transformação pode ser acometida de erros, em razão da limitação da representação do equipamento computacional que estamos utilizando para o processamento dos dados numéricos. Dado um número real, N , é sempre possível representá-lo em qualquer base b , da seguinte forma: m X ai × b i Nb = i =n

em que a i ∈ {0, 1, 2, 3, . . . , (b − 1)}, com n e m inteiros.


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#1 Erros

3

Base binária N2 =

m X

i =n

a i × 2i ,

a i ∈ {0,1}

Exemplo 1.1 a) (1011)2 = 1 × 20 + 1 × 21 + 0 × 22 + 1 × 23 Neste caso, o binário só tem a parte inteira, isto é, i = 0, 1, 2, 3 e temos: a 0 = 1,

a 1 = 1,

a 2 = 0,

a3 = 1

b) (111.01)2 = 1 × 2−2 + 0 × 2−1 + 1 × 20 + 1 × 21 + 1×2 Neste caso, o binário tem parte inteira e parte fracionária, isto é, n = −2 e m = 2 e, portanto: a −2 = 1,

a −1 = 0,

a 0 = 1,

a 1 = 1,

a2 = 1

Base decimal N10 =

m X

i =n

a i × 10i ,

a i ∈ {0, 1, . . . , 9}, com n e m inteiros.

Exemplo 1.2 a) (231)10 = 1 × 100 + 3 × 101 + 2 × 102 Neste caso, o número na base decimal é inteiro, i = 0, 1, 2 e temos: a 0 = 1,

a 1 = 3,

a2 = 2

b) (231.35)10 = 5 × 10−2 + 3 × 10−1 + 1 × 100 + 3 × 101 + 2 × 102 Neste caso, o número na base decimal tem parte inteira e parte fracionária, n = −2 e m = 2 e temos: a −2 = 5,

a −1 = 3,

a 0 = 1,

a 1 = 3,

a2 = 2

Assim, dado um número real qualquer numa base b , podemos escrevê-lo em uma outra base b ′ , a partir de adequação conveniente de seus coeficientes, a i = 0, 1, 2, 3, . . . , (b − 1)

e de uma potência adequada na nova base b ′ .


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4

Cálculo Numérico aprendizagem com apoio de software

Mudança da base binária para a base decimal

Procedimento:

multiplicar o dígito binário por uma potência adequada de 2.

Exemplo 1.3 a) (1101)2 = 1 × 20 + 0 × 21 + 1 × 22 + 1 × 23 = (13)10

b) (111.011)2 = 1 × 2−3 + 1 × 2−2 + 0 × 2−1 + 1 × 20 + 1 × 2−1 + 1 × 22 = (7.375)10

Mudança da base decimal para a base binária (número na base decimal tem somente a parte inteira)

Procedimento:

divisões sucessivas. O procedimento consiste na divisão do número N na base decimal sucessivamente por 2, armazenando, a cada passo, os restos, r i i = n − 1, n − 2, . . . , 1 até que o quociente da divisão seja igual a 1. O número binário é constituído do quociente 1 e pelos restos das divisões r n−1 , r n−2 , . . . , r 1 nesta ordem como segue:

Assim, temos: N10 = (1r n−1 r n−2 . . . r 2 r 1 )2

Exemplo 1.4 a) O número 25 na base 10 para a base 2,

Assim, (25)10 = (11001)2 = 1 × 20 + 0 × 21 + 0 × 22 + 1 × 23 + 1 × 24


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#1 Erros

5

b) O número 11 na base 10 para a base 2, (11)10 = (1011)2 = 1 × 20 + 1 × 21 + 0 × 22 + 1 × 23

pois

Mudança da base decimal para a base binária (número na base decimal tem somente a parte fracionária)

Procedimento:

multiplicações sucessivas. O procedimento é constituído dos seguintes passos:

a) Multiplicamos o número fracionário por 2. b) Do resultado do passo a), a parte inteira é o primeiro dígito binário. c) Do resultado do passo b), a parte fracionária é novamente multiplicada por 2. d) O processo continua até que a parte fracionária seja nula.

Exemplo 1.5 a) (0.1875)10 = (0.0011)2 = 0 × 2−1 + 0 × 2−2 + 1 × 2−3 + 1 × 2−4 = (3/16)10 , isto é: (0.1875) × (2) = 0.375 → parte inteira = 0 e parte fracionária = 0.375 (0.375) × (2) = 0.75

→ parte inteira = 0 e parte fracionária = 0.75

(0.75) × (2) = 1.5

→ parte inteira = 1 e parte fracionária = 0.5

(0.5) × (2) = 1.0

→ parte inteira = 1 e parte fracionária = 0

b) (13.25)10 = (13)10 + (0.25)10 = (1101)2 + (0.01)2 = (1101.01)2 c) (0.2)10 = (0.001100110011...)2

Observe que (0.2)10 é uma dízima periódica de período (0.0011). Assim, o decimal (0.2)10 não tem uma representação binária exata, isto é, a representação é aproximada e, portanto, apresenta erro.


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Cálculo Numérico aprendizagem com apoio de software

1.3.2 Erros de representação de números Na construção de um equipamento computacional, uma questão importante a ser considerada em sua arquitetura é a forma que será adotada para representar os dados numéricos. Basicamente, na memória de um equipamento, cada número é armazenado em uma posição que consiste de um sinal, que identifica se é positivo ou negativo, e um número fixo e limitado de dígitos. De maneira geral, destacamos o seguinte sistema de armazenamento de valores numéricos:

Sistema de ponto flutuante normalizado Um número no sistema de ponto flutuante é caracterizado por uma base b, um número de dígitos significativos n e um expoente exp. Dizemos que um número real nr está representado no sistema de ponto flutuante se for possível escrevê-lo na forma: n r = ±0.d 1 d 2 . . . d n × b exp

em que m = ±0.d 1 d 2 . . . d n

é a mantissa, com n dígitos significativos d 1 ,d 2 , . . . , d n , satisfazendo 0 ≤ d i ≤ (b − 1),

i = 1, 2, . . . , n

e d 1 6= 0.

O expoente exp da base b varia da seguinte maneira: expmín ≤ exp ≤ expmáx

sendo expmín ≤ 0 e expmáx ≥ 1 com expmín e expmáx números inteiros. Todos os números em ponto flutuante, juntamente com a representação do zero, constitui o sistema de ponto flutuante normalizado, que indicamos por: SPF (b, n, expmín , expmáx ). Neste sistema, o zero é representado da seguinte maneira: expmín zero: 0. |0000 {z. . . 0} b n vezes

Considerando o sistema de ponto flutuante normalizado dado na forma genérica por SPF (b, n, expmín , expmáx ), temos: a) O menor positivo exatamente representável, não nulo, é o real formado pela menor mantissa multiplicada pela base elevada ao menor expoente, isto é: expmín menor = (0.1000 | {z. . . 0} ) b (n−1) vezes


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#1 Erros

b) O maior positivo exatamente representável é o real formado pela maior mantissa multiplicada pela base elevada ao maior expoente, isto é: maior = (0 · [b − 1][b − 1] . . . [b − 1]) b expmáx | {z } n vezes

c) O número máximo de mantissas positivas possíveis é dado por: mantissas+ = (b − 1)b n −1 d) O número máximo de expoentes possíveis é dado por: exppossíveis = expmáx − expmín +1

e) O número de reais positivos representáveis é dado pelo produto entre o número máximo de mantissas pelo máximo de expoentes, isto é: NR+ = mantissas+ × exppossíveis Se considerarmos que dado um número real nr ∈ SPF temos que −nr ∈ SPF e a representação do zero, podemos concluir que o número total de elementos exatamente representáveis NRt é dado por: NRt = 2 × NR+ + 1

Exemplo 1.6 Considere o sistema de ponto flutuante, SPF (b, n, expmín , expmáx ) = SPF (3, 2, -1, 2) isto é, de base 3, 2 dígitos na mantissa, menor expoente igual a −1 e maior expoente 2. Para este sistema temos: a) O menor exatamente representável: 0.10 × 3−1 = (1 × 3−1 + 0 × 3−2 ) × 3−1 =

1 9

b) O maior exatamente representável: 0.22 × 32 = (2 × 3−1 + 2 × 3−2 ) × 32 = 8

c) A quantidade de reais positivos exatamente representáveis: A quantidade de reais positivos exatamente representáveis é dada pelo produto entre todas as mantissas possíveis de dois dígitos, formadas com os dígitos da base 3, isto é, 0.10, 0.11, 0.12, 0.20, 0.21, 0.22, e todas as possibilidades de expoentes, que no caso são −1, 0, 1, 2.


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Desta forma, os 24 positivos exatamente representáveis estão listados a seguir:         4/27 3−1 1/9 3−1              4/9  30  30  1/3 = 0.11 × 0.10 × =     1 4/3 31 31               2   2 4 3 3 3     5/27 3−1        5/9  30 = 0.12 ×   5/3 31         2 5 3

    7/27 3−1        7/9  30 = 0.21 ×  7/3  31         2 7 3

    3−1 2/9        30  2/3 = 0.20 ×   31 2        2  3 6

    8/27 3−1        8/9  30 = 0.22 ×  8/3  31         2 8 3

Observe que o menor real positivo representável é 19 e o maior positivo representável é o real 8. Por outro lado, sabemos que se um real x ∈ SPF então −x ∈ SPF e, como no sistema de ponto flutuante normalizado o zero é uma representação, temos que os representáveis de SPF pertencem ao conjunto: ½ · ¸ ¾ ¸ · 1 −1 R = x; x ∈ ,8 ∪ −8, ∪0 9 9 Todos os reais que não pertencem à união dos intervalos anteriores não são representáveis e qualquer tentativa de representação fora dos intervalos anteriores constitui-se em uma mensagem de erro, isto é, Erro de Underflow, se a tentativa de representação satisfizer: ¶¾ ¶ µ ½ µ 1 −1 , 0 ∪ 0, Under = x; x ∈ 9 9 Erro de Overflow, se a tentativa de representação satisfizer: Over = {x; x ∈ (−∞, −8) ∪ (8, +∞)} Se marcarmos os reais exatamente representáveis na reta real, verificaremos, num primeiro momento, uma maior concentração de representáveis nas proximidades do zero e uma menor concentração à medida que nos


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#1 Erros

afastamos da origem e que, aparentemente, não existe uma uniformidade na sua distribuição. No entanto, é possível observar que os representáveis definidos pelo produto de cada uma das mantissas multiplicada pela base elevada ao mesmo expoente são igualmente espaçados na representação sobre a reta. Assim, os reais 0.10 × 3−1 , 0.11 × 3−1 , 0.12 × 3−1 , 0.20 × 3−1 , 0.21 × 3−1 , 0.22 × 3−1

são igualmente espaçados por h 3 = Os reais

1 . 27

0.10 × 30 , 0.11 × 30 , 0.12 × 30 , 0.20 × 30 , 0.21 × 30 , 0.22 × 30 1 são igualmente espaçados por h 2 = . 9 Enquanto que os reais 0.10 × 31 , 0.11 × 31 , 0.12 × 31 , 0.20 × 31 , 0.21 × 31 , 0.22 × 31 1 são espaçados por h 1 = . 3 E os reais representados por 0.10 × 32 , 0.11 × 32 , 0.12 × 32 , 0.20 × 32 , 0.21 × 32 , 0.22 × 32

são igualmente espaçados por h 0 = 1. De modo geral, podemos representar o espaçamento entre os representáveis exatamente da seguinte maneira: hi =

1 3i

,

i = 0, 1, 2, 3

Exemplo 1.7 Considere o sistema de ponto flutuante SPF (2, 3, −1, 2), isto é, de base 2, 3 dígitos na mantissa, menor expoente igual a −1 e maior expoente 2. Para este sistema temos 16 reais positivos exatamente representáveis além do zero. A representação na reta real de alguns dos reais positivos do sistema SPF (2, 3, −1, 2) pode ser visualizada na Figura 1.2:


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Figura 1.2

Neste caso, temos os números formados com 3 dígitos 0.100, 0.101, 0.110 e 0.111 e os expoentes −1, 0, 1 e 2. Assim:   0.100 × 2−1 = (1 × 2−1 + 0 × 2−2 + 0 × 2−3 )2−1 = 1/4     0.101 × 2−1 = (1 × 2−1 + 0 × 2−2 + 1 × 2−3 )2−1 = 5/16  0.110 × 2−1 = (1 × 2−1 + 1 × 2−2 + 0 × 2−3 )2−1 = 3/8     0.111 × 2−1 = (1 × 2−1 + 1 × 2−2 + 1 × 2−3 )2−1 = 7/16

Estes são os menores números representáveis, e o maior número representável neste sistema é dado por: 0.111 × 22 = (1 × 2−1 + 1 × 2−2 + 1 × 2−3 )22 = 7/2

Observe que o menor positivo exatamente representável é 1/4 e o maior é 7/2. Os demais números representáveis neste sistema ficam a cargo do leitor.

Exemplo 1.8 Considere o sistema de ponto flutuante normalizado SPF (3, 2,−1, 2), de base 3, 2 dígitos na mantissa, menor expoente igual a −1 e maior expoente 2. Para este sistema, temos que x=

1 = (0.10)3 × 3−1 e y = 5 = (0.12)3 × 32 9

são exatamente representáveis, no entanto, (x + y) = (0.00010)3 × 32 + (0.12)3 × 32 = (0.1201)3 × 32

não é exatamente representável em SPF, uma vez que no sistema de ponto flutuante considerado a mantissa é de 2 dígitos. Neste sistema aproximamos (x + y) = (0.12)3 × 32 .

Observação Pode ocorrer de propriedades consagradas no conjunto dos números reais não serem verdadeiras, no sentido da exatidão da representação, no sistema de ponto flutuante


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#1 Erros

11

normalizado, como as propriedades comutativa e associativa na adição e as propriedades comutativa e distributiva na multiplicação. Por exemplo, considere um sistema de ponto flutuante, base decimal, 3 dígitos e arredondamento, conforme seção 1.3.3. Se x = 5.26

y = 9.34

e

z = 5.04

(x + y) + z = (5.26 + 9.34) + 5.04 = 14.6 + 5.04 = 19.6 x + (y + z) = 5.26 + (9.34 + 5.04) = 5.26 + 14.4 = 19.7

Podemos observar que, x + (y + z) 6= (x + y) + z

ou seja, a propriedade associativa válida nos números reais não é, neste caso, válida no sistema de ponto flutuante. Quando estamos utilizando um equipamento computacional para processar uma determinada operação aritmética, se o número obtido não pertencer às regiões de Underflow ou de Overflow e este não for representável exatamente no sistema de ponto flutuante SPF, o mesmo será representado de forma aproximada por nra , o que acarreta erros. Esta aproximação será caracterizada como um arredondamento do real nr, para que sua representação seja possível no SPF e que denominamos de erro de arredondamento.

1.3.3 Erro de arredondamento Dizemos que um número na base decimal nr foi arredondado na posição k se todos os dígitos de ordem maior que k forem descartados segundo o seguinte critério: O dígito de ordem k é acrescido de uma unidade se o de ordem (k + 1) for maior ou igual a metade da base. Caso contrário, o número nr é representado com os k dígitos iniciais.

Exemplo 1.9 Consideremos um equipamento com o sistema de ponto flutuante normalizado SPF (b, n, expmín , expmáx ) = SPF (10, 4, −5, 5). a) Se a = 0.5324 × 103 e b = 0.4212 × 10−2 , então a × b = 0.22424688 × 101 , que é arredondado e armazenado como (a × b)a = 0.2242 × 101 .

b) Se a = 0.5324 × 103 e b = 0.1237 × 102 , então a + b = 0.54477 × 103 , que é arredondado e armazenado como (a + b)a = 0.5448 × 103 . Os erros podem ser mensurados de duas formas básicas: erro absoluto e erro relativo, definidos a seguir.


Licenciado em Matemática pela Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de Rio Claro (SP, 1971), mestre em Ciência da Computação e Estatística – opção Computação – pela UFSCar (1978), doutor em Engenharia Civil pela mesma universidade (1996). Desde 1972, é professor vinculado ao Departamento de Matemática da UFSCar, onde exerceu as funções de docente, pesquisador na área de modelagem matemática e métodos numéricos e de coordenador do curso de Matemática. A partir do ano de 2001, como professor aposentado, passou a ser professor convidado voluntário no mesmo Departamento de Matemática até o ano de 2010. Foi também, no período de 2002 a 2005, professor e coordenador do curso de Matemática Aplicada e Computacional do Centro Universitário Central Paulista (Unicep) – São Carlos, SP. Desde o ano de 2006, exerce as funções de Diretor Acadêmico da Escola Superior de Tecnologia e Educação de Rio Claro (SP).

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Professora do Departamento de Matemática da Universidade Federal de São Carlos (UFSCar). Graduada em Matemática pela Universidade Estadual Júlio Mesquita Filho (Unesp) e mestre em Matemática Aplicada pela Universidade Estadual de Campinas (Unicamp). Possui experiência na área de matemática, com ênfase em matemática aplicada, atuando em projetos de pesquisa e orientação de alunos nas áreas de Otimização e Análise Numérica, com enfoques na modelagem de problemas e métodos numéricos de resolução. Tem publicado trabalhos em congressos, em ensino de Matemática, principalmente no ensino de Cálculo Numérico com Ferramentas Computacionais. Possui experiência no ensino a distância, lecionou na Universidade Aberta do Brasil (UAB-UFSCar) e publicou livros para esta finalidade.

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