PRÉ-CÁLCULO - 2ª edição revista e atualizada

Pré-Cálculo Valéria Zuma Medeiros (Coord.)

André Machado Caldeira Luiza Maria Oliveira da Silva Maria Augusta Soares Machado

Possui material de apoio a professores e alunos com 300 exercícios resolvidos*

Sumário Capítulo 1 – Conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 1.1 Definição de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Relação de pertinência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.3 Descrição ou representação de um conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.4 Conjunto unitário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.5 Conjunto vazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.6 Diagrama de Euler-Venn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.7 Subconjuntos – relação de inclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.7.1 Observações importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 1.7.2 Conjunto das partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

1.8 Operações com conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.8.1 União (reunião) de conjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 1.8.2 Interseção de conjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 1.8.3 Conjunto diferença. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 1.8.4 Conjunto universo ou universo (U) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 1.8.5 Conjunto complementar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 1.8.6 Diferença simétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 1.8.7 Conjunto complementar em relação a U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 1.8.8 Algumas propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

1.9 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.10 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.11 Respostas dos exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Capítulo 2 – Conjuntos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1 Tipos de números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.1 Números naturais (). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 2.1.2 Números inteiros () . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 2.1.3 Números fracionários ou racionais () . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 2.1.4 Números irracionais (decimais infinitos) ( = ’) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 2.1.5 Números reais () . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 2.1.6 Números complexos (). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

2.2 Números reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.1 Operações. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17 2.2.2 Propriedades estruturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17 2.2.3 Outras operações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

VII VII

Pré-cálculo

2.3 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.5 Respostas dos exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.6 Intervalos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.6.1 Números reais e a reta numerada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23 2.6.2 Ordenação dos reais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24 2.6.3 Definições. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24 2.6.4 Algumas propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24 2.6.5 Intervalos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25 2.6.6 Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26 2.6.6.1 Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26 2.6.6.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27 2.6.7 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28 2.6.8 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

2.7 Respostas dos exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Capítulo 3 – Potenciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.3 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.4 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.5 Respostas dos exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.6 Valor absoluto ou módulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.6.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40 3.6.2 Teoremas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40 3.6.3 Raiz quadrada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42 3.6.4 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43 3.6.5 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44

3.7 Respostas dos exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.8 Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.8.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45 3.8.2 Valor numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46 3.8.3 Polinômio nulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47 3.8.4 Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47 3.8.5 Igualdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47 3.8.6 Operações. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48 3.8.6.1 Adição de polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48 3.8.6.2 Diferença de polinômios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48 3.8.6.3 Multiplicação por um número real (ou escalar) . . . . . . . . . . . . . . . . . .48

VIII

Sumário

3.8.6.4 Multiplicação de polinômios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49 3.8.6.5 Divisão de polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49 3.8.7 Produtos notáveis e fatoração. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52 3.8.7.1 Produtos notáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52 3.8.7.2 Completar quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53 3.8.7.3 Fatoração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54 3.8.8 Equações polinomiais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54 3.8.8.1 Leis de cancelamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55 3.8.8.2 Equação do 1o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55 3.8.8.3 Equação do 2o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56 3.8.9 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.8.10 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59

3.9 Respostas dos exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Capítulo 4 – Relações. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.1 Par ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.2 Sistema cartesiano ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.3 Produto cartesiano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.4 Simetria de pontos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.5 Distância entre dois pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.6 Relação binária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.7 Domínio e imagem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.8 Relação inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.9 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.10 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.11 Respostas dos exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.12 Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.12.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90 4.12.2 Notação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91 4.12.3 Domínio e imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91 4.12.4 Funções iguais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93 4.12.5 Gráfico de uma função. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93 4.12.6 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95 4.12.7 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98

4.13 Respostas dos exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Capítulo 5 – Funções do 1o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

IX IX

Pré-cálculo

5.2 Função constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.3 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 5.4 Função identidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5.5 Função linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 5.6 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5.7 Função afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.8 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5.9 Coeficientes e zero da função afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.10 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.11 Funções crescentes e decrescentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 5.12 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.13 Sinais de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5.14 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.15 Equação de uma reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 5.16 Retas paralelas e perpendiculares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 5.17 Interseção entre duas retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 5.18 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 5.19 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 5.20 Respostas dos exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

Capítulo 6 – Relações quadráticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 6.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 6.2 Circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 6.3 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 6.4 Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 6.5 Hipérbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 6.5.1 Hipérbole eqüilátera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .170

6.6 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 6.7 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 6.8 Respostas dos exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

Capítulo 7 – Inequações do 2o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 7.1 Conceitos iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 7.2 Resolução de uma inequação do 2o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 7.3 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

X

Sumário

7.4 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 7.5 Respostas dos exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 7.6 Função modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 7.6.1 Função definida por várias sentenças . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .232 7.6.2 Função modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .233 7.6.3 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .234 7.6.4 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .245

7.7 Respostas dos exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

Capítulo 8 – Outras funções. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 8.1 Função par e função ímpar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 8.2 Função f(x) = x3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 1 8.3 Função f ( x ) = x ou função recíproca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 8.4 Função máximo inteiro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 8.5 Função composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 8.6 Funções injetora, sobrejetora e bijetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 8.7 Função inversa e função simétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 8.8 Função exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 8.9 Função logarítmica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 8.10 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 8.11 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 8.12 Respostas dos exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

Capítulo 9 – Trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 9.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 9.2 Arcos e ângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 9.3 Ciclo trigonométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 9.4 Funções periódicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 9.5 Funções trigonométricas ou circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 9.6 Função seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 9.7 Função cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 9.8 Função tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 9.9 Função cotangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 9.10 Função secante e função cossecante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 9.11 Relações fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

XI XI

Pré-cálculo

9.12 Propriedades trigonométricas em triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 9.13 Funções trigonométricas simétricas (funções arco) . . . . . . . . . . . . . 349 9.14 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 9.15 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 9.16 Respostas dos exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

Capítulo 10 – Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375 10.1 Conceitos econômicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375 10.2 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 10.3 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398 10.4 Respostas dos exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402

Capítulo 11 – Álgebra matricial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409 11.1 Definições iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409 11.2 Matrizes especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410 11.3 Igualdade de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412 11.4 Adição de matrizes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412 11.5 Multiplicação de um escalar por uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414 11.6 Matriz transposta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415 11.7 Produto de matrizes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416 11.8 Inversa de uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418 11.9 Determinante de uma matriz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419

11.9.1 Determinante de 1a ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .419 11.9.2 Determinante de 2a ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .419 11.9.3 Determinante de 3a ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .420

11.10 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425 11.11 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434 11.12 Respostas dos exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437

Capítulo 12 – Sistemas lineares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441 12.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441 12.2 Matrizes de um sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 12.3 Solução de um sistema linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 12.4 Determinante do sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443 12.5 Regra de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444 12.6 Sistemas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446

XII

Sumário

12.7 Escalonamento de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447 12.8 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450 12.9 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452 12.10 Respostas dos exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454

Capítulo 13 – Binômio de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457 13.1 Fatorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457 13.2 Coeficientes binomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457 13.3 Triângulo de Pascal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459 13.4 Binômio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462 13.5 Termo geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463 13.6 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464 13.7 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468 13.8 Respostas dos exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471

Capítulo 14 – Análise combinatória. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473 14.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473 14.2 Princípio fundamental da contagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474 14.3 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476 14.4 Agrupamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481 14.5 Arranjo simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481 14.6 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482 14.7 Arranjo com repetição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484 14.8 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485 14.9 Permutação simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486 14.10 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488 14.11 Combinação simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490 14.12 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491 14.13 Permutação com elementos repetidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493 14.14 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495 14.15 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496 14.16 Respostas dos exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502

Capítulo 15 – Números complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505 15.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505 15.2 Representação algébrica (forma de Gauss) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506

XIII XIII

Pré-cálculo

15.3 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507 15.4 Igualdade de números complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507 15.5 Adição e subtração de números complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508 15.6 Multiplicação de números complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508 15.7 O conjugado de um número complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509 15.8 O quociente entre números complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510 15.9 As potências de i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511 15.10 Raiz quadrada de números negativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512 15.11 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512 15.12 Representação algébrica (forma de Hamilton) . . . . . . . . . . . . . . . . 515 15.13 Módulo de um número complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515 15.14 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516 15.15 Inverso de um número complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517 15.16 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517 15.17 Representação geométrica – plano complexo ou plano de Argand-Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519 15.18 Forma trigonométrica ou polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520 15.19 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521 15.20 Produto e potenciação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522 15.21 Radiciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523 15.22 Equações binômias e trinômias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525 15.23 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526 15.24 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530 15.25 Respostas dos exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535

XIV

capítulo

1

Conjunto Este capítulo tem por objetivo habilitar o aluno para lidar com os con­ juntos numéricos e suas operações, principalmente pela sua importân­ cia para o processo de contagem. Além disso, uma grande parte da matemática é desenvolvida a partir de conjuntos.

1.1 Definição de conjuntos Trata-se de uma noção primitiva, sem definição própria, podendo o conjunto ser considerado qualquer coleção de objetos ou entidades.

Os objetos que compõem a coleção são os elementos do conjunto.

Designamos, normalmente, por letras maiúsculas os conjuntos e por letras minúsculas seus elementos.

1.2 Relação de pertinência Relaciona elemento com conjunto. Para indicarmos que um objeto x é (lê-se: x pertence a A). Se o elemento do conjunto A, escrevemos objeto x não for elemento do conjunto A, escrevemos x ∉ A (lê-se: x não pertence a A).

1.3 Descrição ou representação de um conjunto Para a descrição de um conjunto, são utilizados dois recursos principais:

1o Enumeração: Quando escrevemos entre chaves, e separados por vírgulas, os seus elementos formadores do conjunto.

1

Pré-cálculo

Exemplos: a) A = {a,b,c} b) B = {1,2,3,4,5} c) C = {2,3,5,7,11,...}

2o Compreensão: Quando escrevemos, entre chaves, uma característica comum a todos os elementos formadores do conjunto.

Exemplos: a) A = {x | x é divisor inteiro de 7} = {–7,–1,1,7} b) B = {x | x é vogal} = {a,e,i,o,u}

1.4 Conjunto unitário É o conjunto que possui apenas um elemento.

Exemplos: a) A = {x | x é par compreendido entre 9 e 11} = {10} b) B = {x | x é satélite natural da Terra} = {Lua}

1.5 Conjunto vazio É o que não possui elementos e denota-se por

{ } ou Æ.

Exemplos: a) A = {x | x2 = 9 e x é par} = Æ b) B = {x | x é ímpar e múltiplo de 2} = Æ

1.6 Diagrama de Euler-Venn Uma boa maneira de se visualizar as relações entre conjuntos é por meio dos diagramas de Euler-Venn. Os conjuntos são representados por regiões planas interiores a uma curva fechada e simples.

2

1

Conjunto

Exemplo: A = {1, 2, 3, 4}

A

1 3

2 4

1.7 Subconjuntos – relação de inclusão Se todo elemento de um conjunto A também for um elemento de um conjunto B, então podemos dizer que A é um subconjunto de B. Para indicarmos que A é subconjunto de B, escreveremos: • A ⊂ B (lê-se: A está contido em B); • B ⊃ A (lê-se: B contém A); • A é parte de B. Se o conjunto A não for subconjunto de B, escreveremos A ⊄ B (lê-se: A não está contido em B).

1.7.1 Observações importantes • Todo conjunto é subconjunto dele mesmo ( A ⊂ A) .

• Æ é subconjunto de qualquer conjunto

.

• O total de subconjuntos que podemos formar a partir de um conjunto A, constituído por n elementos, é dado por 2n, e denota-se por # A (# A = 2n).

•

A ⊂ B e B ⊂ A se, e somente se, A = B .

• A é subconjunto próprio de B se, e somente se, A ⊂ B e A ≠ B .

1.7.2 Conjunto das partes Consideremos um conjunto A. Denominamos conjunto das partes (P(A)) o conjunto formado por todos os subconjuntos de A.

3

Pré-cálculo

Exemplo: Seja A = {1, 2, 3} . Então: .

Observe que, por exemplo, {1,2} ⊂ A , mas

.

1.8 Operações com conjuntos 1.8.1 União (reunião) de conjuntos O conjunto P é a união dos conjuntos A e B, se todos os elementos de A e B, e apenas estes, estiverem presentes em P. P= A= ∪B A

B

{x

}

x ∈ A ou x ∈ B

A

B

A B

A∪B

A∪B

A∪B

Exemplos: a) Se A = {1,2,3,4} e B = {2, 4, 6} , então A ∪ B = {1,2,3,4,6} . b) Se A = {1,2,3,4} e B = {1, 4} , então A ∪ B = {1,2,3,4} = A . c) Se A = {1,2,3} e B = {4, 5, 6} , então

.

1.8.2 Interseção de conjuntos P é o conjunto interseção de A e B, se ele for composto por todos os elementos comuns a A e B, ao mesmo tempo.

P= A= ∩B A

B

{x

}

x ∈ A e x ∈B

A

B

A B

A∩B

4

A∩B

A∩B

1

Conjunto

Exemplos: a) Se A = {1,2,3,4} e B = {2, 4, 6}, então A ∩ B = {2,4}. b) Se A = {1,2,3,4} e B = {1, 4} , então A ∩ B = {1,4} = B . c) Se A = {1,2,3} e B = {4, 5, 6}, então

. Nesse caso, A e B são cha-

mados conjuntos disjuntos.

1.8.3 Conjunto diferença P é o conjunto diferença de A e B, se for composto pelos elementos de A que não são elementos de B.

{x

P= A = −B

A

B

}

x ∈ A e x ∉B

A

B

A B

A–B

A–B

A–B

Exemplo: Se A = {1,2,3,4} e B = {2,4,6} , então A − B = {1,3} e B − A = {6} .

1.8.4 Conjunto universo ou universo (U) É um conjunto especificado que contém todos os elementos de interesse para um determinado problema.

1.8.5 Conjunto complementar • Se •

, então o complementar de B em relação a A é o conjunto , denotado por CBA= A − B .

A C= A' = A= U − A .

U

Exemplo:

Se A = {1,2,4} e

, então CBA = {0, 6, 9} .

5

Pré-cálculo

1.8.6 Diferença simétrica Dados dois conjuntos A e B, chamamos diferença simétrica entre A e B o conjunto denotado por A∆B e definido por A∆B = ( A − B) ∪ ( B − A) .

Exemplo:

Se A = {1,2,4,7} e B = {1,3,6,7,10 }, então A∆B = {2, 4} ∪ {3, 6, 10} = {2, 3, 4, 6, 10} .

1.8.7 Conjunto complementar em relação a U U

U A

B B

U A

B

, (A ∪ B)

,

A

1.8.8 Algumas propriedades União 1

A∪A = A

União 2 União 3

A ∪ B =∪ B A

União 4

A∪U = U

Interseção 1

A∩A = A

Interseção 2 Interseção 3

A ∩ B =∩ B A

Interseção 4

A∩U = A

Diferença 1 Diferença 2 Diferença 3

A − B ≠ B − A , em geral

Diferença 4

U−A= A'

6

A

B

, (A ∩ B)

1

Complementar 1

Conjunto

( A') ' = A

Complementar 2 Complementar 3 Complementar 4

( A ∪ B)=' A' ∩ B'

Complementar 5

( A ∩ B)=' A' ∪ B'

1.9 Exercícios resolvidos 1) Dados os conjuntos A = {1,2,3,4} e B = {2,4,5} , pede-se para escrever simbolicamente as sentenças a seguir, classificando-as em verdadeiras (V) ou falsas (F): a) 2 é elemento de A. b) 4 pertence a B. c) B é parte de A. d) 1 não é elemento de B. e) A é igual a B.

Solução: a) 2 ∈ A. É verdadeira. b) 4 ∈ B . É verdadeira. c) B ⊂ A. É falsa, pois 5 ∈ B , mas 5 ∉ A . d) 1 ∉B . É verdadeira. e) A = B. É falsa (pode-se usar o mesmo elemento 5 para verificar a falsidade).

2) Classifique em verdadeiras (V) ou falsas (F) as sentenças a seguir: a) {1} ∈{1}

e)

i)

b) {1} ⊂ {1}

f) {1} ⊂ {{1} , {2}}

j)

c) 1 ∈{1}

g) {1} ⊂ {1, {1}}

k)

d) {1} ∈{{1} , {2}}

h)

l)

{{1}} ⊂ {1,2, {1}}

7

Pré-cálculo

Solução: a) b) c) d)

F V V V

e) f) g) h)

V F V F

i) j) k) l)

V V V V

3) Sendo A = {a,b,c,d} , determine P(A).

Solução: Como A tem quatro elementos, P(A) tem 2 = 16 elementos.

4

Daí,

{a,b,c} , {a,b,d} , {a,c,d} , { b,c,d} , {a,b,c,d}} .

4) Dados os conjuntos A = {2, 4, 6, 8, 10, 12}, B = {3, 6, 9, 12, 15} e C = {0, 5, 10, 15, 20}, determine: a) A ∩ B

h) A ∪ B ∪ C

b) A ∪ B

i) A ∩ ( B ∪ C)

c) A ∩ C

j) ( A ∩ B) ∪ (B − A)

d) C − A

k) ( A − B) ∩ ( C − A)

e) B ∪ C

l) ( A ∩ B) ∩ (B ∪ C)

f) B − C

m) ( A − B) ∩ ( B ∪ C)

g) A ∩ B ∩ C

n) ( B − C) ∪ ( A − C) ∪ ( B − A)

Solução: a) A ∩ B = {6,12} b) c) A ∩ C = {10}

d) C − A = {0,5,15,20} {0,3,5,6,9, 10,12,15,20} e) B ∪ C = f) B − C = {3,6,9,12} g)

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ISBN 13 978-85-221-0735-3 ISBN 10 85-221-0735-1

9 788522 107353