Page 1


TORE OLDERVOLL • SIGBJØRN HALS AUDHILD VAAJE • OTTO SVORSTØL

M ATEMAT IKK

R1

LÆREBOK I MATEMATIKK STUDIESPESIALISERENDE PROGRAM BOKMÅL

Book Sinus R1 2018.indb 1

18.05.2018 10:14:36


Foto og grafikk: Omslag og kapittelstart: Colourbox.no. Bildet er fargemanipulert.

© Cappelen Damm AS, Oslo 2018 Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt avtale med Cappelen Damm AS er enhver eksemplarfremstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel. Kilde for alle eksempeloppgaver og eksamensoppgaver er Utdanningsdirektoratet. Alle disse oppgavene er merket med årstall. De er gjengitt med tillatelse. Grafisk formgiver og omslagsdesign: Kristine Steen, 07-Media, 07.no Frihåndstegninger: Per Ragnar Møkleby Tekniske tegninger: Terje Sundby, Keops Redaktør: Bjørn-Terje Smestad og Daniel Haugstvedt Sats: HAVE A BOOK, Polen 2018 Trykk og innbinding: UAB Balto Print, Litauen 2018 Utgave nr. 3 Opplag nr. 1 ISBN: 978-82-02-57335-5 www.cdu.no www.sinus.cdu.no

Book Sinus R1 2018.indb 2

18.05.2018 10:14:36


Forord SINUS ER ET MATEMATIKKVERK for den videregående skolen, utviklet etter læreplanene

fra 2005. Læreboka Sinus R1 er skrevet for programfaget R1 i de studieforberedende utdanningsprogrammene. Boka er tilpasset den nye eksamensordningen fra 2015 der de digitale ferdighetene står sentralt.

Boka legger vekt på den abstrakte matematikken. Elevene får god trening i bokstav­ regning og blir kjent med matematisk tankegang. De får god trening i å løse oppgaver uten bruk av digitale hjelpemidler. Men elevene får i tillegg grundig opplæring i bruk av både dynamisk programvare og CAS-verktøy. I boka finner vi detaljert framgangs­ måte for programmet GeoGebra versjon 6. Boka er utstyrt med QR-koder som gir en direkte tilgang til digitale animasjoner og annet digitalt stoff. Dette gjør det enklere å kombinere bok og digitale ressurser. Sinus R1 gir elevene et godt grunnlag for videre arbeid med matematikkfaget. Teoridelen er ordnet slik at det vanskeligste stoffet vanligvis kommer til slutt. Også delkapitlene er ordnet på den måten. Elever som sliter med faget, kan mange steder bare lese begynnelsen av et delkapittel og likevel få utbytte av stoffet. Oppgavene i teoridelen er plassert inne i delkapitlene, slik at elevene lett kan finne ut hvilke oppgaver som passer til det som er lest. Til slutt i hvert kapittel finner elevene et sammendrag av viktige regler og metoder i kapittelet. Oppgavedelen kommer etter teoridelen, og oppgavene er delt i tre: «Øv mer», «Uten hjelpemiddel» og «Med hjelpemiddel». «Øv mer» er repetisjonsoppgaver ordnet etter delkapitlene som i teoridelen. I «Uten hjelpemiddel»-oppgavene trener elevene på å løse oppgaver som er relevante for del 1 av eksamen. «Med hjelpemiddel»-oppgavene er tilpasset del 2 av eksamen. «Uten hjelpemiddel»- og «Med hjelpemiddel»-oppgavene er merket slik at de viser hvilke oppgaver eleven skal kunne løse når eleven er ferdig med et delkapittel. Når eleven er ferdig med for eksempel delkapittel 4.5, kan eleven 4.5 . arbeide med alle oppgavene foran merket Helt til slutt i boka kommer fasit og stikkordregister. Det er viktig at elevene lærer seg å bruke stikkordregisteret når de støter på ord og uttrykk som de er usikre på. Til verket hører også et nettsted: www.sinus.cdu.no. Her er det mye tilleggsstoff, blant annet interaktive oppgaver, videoer, animasjoner og løsningsforslag som er ordnet etter kapitlene i boka. Nettstedet er fritt tilgjengelig for alle. I arbeidet med å få fram best mulige læremidler er det viktig å ha god kontakt med brukerne av bøkene. Vi vil gjerne ha tilbakemeldinger og innspill til forandringer. Forfatterne vil takke kollegaer og andre for gode råd i arbeidet med boka. Vi ønsker alle lykke til i arbeidet med faget. Tore Oldervoll  Sigbjørn Hals  Audhild Vaaje  Otto Svorstøl

3

Book Sinus R1 2018.indb 3

18.05.2018 10:14:36


Innhold 1

Algebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



1.1 Logikk og mengder. . . . . . . . . . . . . .  1.2 Polynomdivisjon. . . . . . . . . . . . . . . . .  1.3 Resten ved en polynomdivisjon. . .  1.4 Faktorisering av polynomer. . . . .  1.5 Likninger og ulikheter. . . . . . . . . . .  1.6 Forenkling av rasjonale uttrykk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  1.7 Rasjonale likninger. . . . . . . . . . . . . .  1.8 Rasjonale ulikheter. . . . . . . . . . . . . .  1.9 Bevis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  Sam­men­drag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  2

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 3

6

7 14 18 23 29 34 38 42 46 49

Derivasjon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  50

Kontinuerlige funksjoner. . . . . . . .  Noen spesielle grenseverdier . . .  Derivasjon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  Derivasjon av polynomer. . . . . . .  Funksjonsdrøfting . . . . . . . . . . . . . . .  Krumning og vendepunkter. . . . .  Størst og minst. . . . . . . . . . . . . . . . . . .  Sam­men­drag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

51 58 61 66 71 77 85 90

 asjonale funksjoner og R potensfunksjoner. . . . . . . . . . . . . . . .  92

3.1 Vertikale asymptoter. . . . . . . . . . . . .  93 3.2 Horisontale og skrå asymptoter. . .  98 3.3 Derivasjon av rasjonale funksjoner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.4 Potensfunksjoner og rotfunksjoner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 3.5 Sammensatte funksjoner. . . . . . . . 112 3.6 Derivasjon av et produkt. . . . . . . . 117 Sam­men­drag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5

Logaritmer og eksponential­ funksjoner.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 22

4.9

Briggske logaritmer . . . . . . . . . . . . . 123 Eksponentiallikninger. . . . . . . . . . . 128 Ulikheter med lg x . . . . . . . . . . . . . . . 131 Den naturlige logaritmen. . . . . . . . 134 Likninger og den naturlige logaritmen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 Ulikheter med den naturlige logaritmen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Funksjonen f (x) = ln x. . . . . . . . . . . 145 Derivasjon av eksponentialfunksjoner. . . . . . . . . . 148 Mer om funksjonsdrøfting. . . . . . 154 Sam­men­drag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

5

Geometri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 60

6

Vektorer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 94

4.6 4.7 4.8

5.1 Entydige og kongruente trekanter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 5.2 Formlike trekanter. . . . . . . . . . . . . . . 165 5.3 Sentralvinkel og periferivinkel. . . 169 5.4 Konstruksjon med passer og linjal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 5.5 Medianer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 5.6 Midtnormaler i trekanter. . . . . . . . 182 5.7 Høyder i trekanter . . . . . . . . . . . . . . . 184 5.8 Halveringslinjer. . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 5.9 Bevis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 Sam­men­drag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7

Vektor og skalar. . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 Sum og differanse av vektorer. . . 198 Produkt av tall og vektor. . . . . . . . 204 Vektorer på koordinatform. . . . . . 209 Regning med vektorkoordinater. . .213 Vektoren mellom to punkter. . . . 218 Lengde og avstand. . . . . . . . . . . . . . . 222 Sam­men­drag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

4

Book Sinus R1 2018.indb 4

18.05.2018 10:14:36


7

Vektorregning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

7.1 P  arallelle vektorer i koordinat­ systemet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 7.2 Parallelle vektorer uten koordinater. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 7.3 Skalarproduktet. . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 7.4 Skalarproduktet i koordinat­ systemet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 7.5 Bruk av skalarproduktet. . . . . . . . . 241 7.6 Regneregler for skalar-­ produktet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 7.7 Mer om lengder og vinkler. . . . . . 251 Sam­men­drag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 8

9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Algebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 Derivasjon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 Rasjonale funksjoner og potensfunksjoner. . . . . . . . . . . . . . . . . 367 Logaritmer og eksponentialfunksjoner. . . . . . . . . . 381 Geometri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400 Vektorer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426 Vektorregning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436 Vektorer og kurver. . . . . . . . . . . . . . . 448 Sannsynlighetsregning . . . . . . . . . . 463

Fasit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 89

Vektorer og kurver. . . . . . . . . . . . . . . 254

8.1 Sirkellikningen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 8.2 Sirkelen som grafen til to funksjoner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 8.3 Parameterframstillinger. . . . . . . . . 262 8.4 Kurver og vektorfunksjoner . . . . 270 8.5 Derivasjon av vektorfunksjoner. . . 278 8.6 Fartsvektor og akselerasjons­­vektor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 Sam­men­drag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 9

Oppgaver. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 32

Stikkord. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 26

Sannsynlighetsregning. . . . . . . . . . 288

Betinget sannsynlighet. . . . . . . . . . 289 Total sannsynlighet. . . . . . . . . . . . . . 294 Bayes-setningen . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 Uavhengige hendinger . . . . . . . . . . 299 Ordnede utvalg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 Uordnede utvalg. . . . . . . . . . . . . . . . . 308 Binomiske forsøk. . . . . . . . . . . . . . . . 312 Hypergeometriske forsøk. . . . . . . 319 Valg av sannsynlighetsmodell. . . 327 Sam­men­drag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

5

Book Sinus R1 2018.indb 5

18.05.2018 10:14:36


1 Algebra MÅL for opplæringen er at eleven skal kunne

6

Book Sinus R1 2018.indb 6

faktorisere polynomer ved hjelp av nullpunkter og polynomdivisjon og bruke dette til å løse likninger og ulikheter med polynomer og rasjonale uttrykk

omforme og forenkle sammensatte rasjonale funksjoner og andre symbolske uttrykk med og uten bruk av digitale hjelpemiddel

gjøre rede for implikasjon og ekvivalens og gjennomføre direkte og kontrapositive bevis

1 • Algebra

18.05.2018 10:14:37


1.1 Logikk og mengder For ca. 2500 år siden fant grekerne ut at de måtte bevise all matematisk kunnskap ved hjelp av logikk. Denne tankegangen har etter det vært grunnlaget for faget matematikk. I den norske skolen ble det rundt 1970 tatt i bruk mange symboler fra logikk og mengdelære. Vi skal nå gjøre oss kjent med noen av symbolene fra logikken og gjennomføre noen små bevis. Vi vet at hvis 2 x  1  4, så er 2x = 3. Med bruk av symboler fra logikken skriver vi

2x  1  4  2x  3

Tegnet ⇒ er en implikasjonspil som vi leser «fører til at», «medfører at» eller «impliserer at». Vi bruker denne pila mellom to likninger, påstander eller utsagn. Skrivemåten

A⇒B

betyr at hvis påstanden A er sann, så er også påstanden B sann. Slike påstander trenger ikke være matematiske. Vi kan for eksempel skrive

Personen heter Ola ⇒ Personen er en gutt

Det er en riktig slutning. Men slutningen

Personen er en gutt ⇒ Personen heter Ola

er ikke riktig. Hvis x = 2, fører det til at x 2 = 4. Med symboler skriver vi

x  2  x2  4

Men hvis x 2 = 4, behøver ikke det bety at x = 2. Det riktige kan være at x = -2. Derfor kan vi ikke skrive at x 2  4  x  2. Det riktige er

x 2  4  x  2 eller x  2

Mange bruker et eget logisk symbol for «eller» og skriver

x 2  4  x  2  x  2

Tegnet ∨ leser vi altså «eller». Vi bruker det mellom to påstander for å fortelle at minst én av påstandene må være riktig.

7

01 Sinus R1 (2018) kap1 teori.indd 7

24.05.2018 09:38:14


Likningene 2 x 2 = 8 og x 2 = 4 har nøyaktig de samme løsningene, nemlig x = 2 og x  2. Vi sier at de to likningene er ekvivalente og skriver

2 x2  8  x2  4

Tegnet ⇔ kaller vi et ekvivalenstegn. Vi leser «er ekvivalent med», «har samme løsning som» eller «hvis og bare hvis». Vi kan også skrive

x 2  4  x  2  x  2

Det er ikke bare i matematikk vi bruker ekvivalenstegnet. Vi kan skrive

Ola er faren til Jens ⇔ Jens er sønnen til Ola To påstander A og B er ekvivalente dersom påstand A er riktig hvis og bare hvis påstand B er riktig. Vi skriver

A⇔B

To likninger er ekvivalente hvis de har nøyaktig de samme løsningene. På vg1 lærte vi å løse likninger. Når vi løser en likning, gjør vi likningen om på en slik måte at vi får en ny likning med den samme løsningen. Vi kan for eksempel flytte ledd over på den andre siden av likhetstegnet når vi samtidig skifter fortegn på leddet. Vi kan også multiplisere eller dividere på begge sidene av likhetstegnet med tall som ikke er null. Når vi omformer en likning på denne måten, får vi en ekvivalent likning som har nøyaktig de samme løsningene som den likningen vi begynte med. Da kan vi bruke ekvivalenstegnet mellom likningene. Når vi flytter et ledd over på det andre siden av likhetstegnet og skifter fortegn på leddet, får vi en ekvivalent likning. Når vi dividerer eller multipliserer på begge sidene av likhetstegnet med et tall som ikke er null, får vi en ekvivalent likning.

!

I denne boka kommer vi normalt ikke til å skrive ekvivalenstegnet ⇔ når vi løser likninger, slik vi gjør i det neste eksempelet. Vi forutsetter vanligvis at likningene er ekvivalente når det ikke står noe symbol mellom dem. EKSEMPEL

Løs likningen

8

Book Sinus R1 2018.indb 8

3x 2  2 x  3  4 x  3

1 • Algebra

18.05.2018 10:14:41


LĂ˜SNING:

3x 2  2 x  3  4 x  3 ď Ł 2 3x  2 x  3  4 x  3  0 ď Ł 2 3x  6 x  0 ď Ł 3x   x  2   0 ď Ł 3x  0  x  2  0 ď Ł x  0 x  2

OPPGAVE 1.10

Sett inn ett av symbolene �, ⇒ eller ⇔ i rutene der det er mulig. a) Jeg er fra Hamar Jeg er fra Norge b) Jeg er fra Bergen c) Jeg er fra Oslo

Jeg er bergenser Jeg heter Odd

d) Jeg er fra Finnmark e) Jeg er fra Oslo

Jeg er fra Alta

Jeg bor i Oslo

OPPGAVE 1.11

Sett inn ett av symbolene �, ⇒ eller ⇔ i rutene der det er mulig. a) 3x2 = 12 x2 = 4 b) x = 4 x2 = 16 c) x2 = 9

x = 3 ∨ x = −3

d) x3 = x

x=0

I tillegg til tegnet ∨ (ÂŤellerÂť) har vi tegnet ∧ for ÂŤogÂť. Tegnet ∧ bør vi lese ÂŤog samtidigÂť. Vi kan for eksempel bruke det nĂĽr vi løser to likninger med to ukjente. Likningssettet

2x  y  1 x y 2

betyr at de to likningene skal vĂŚre oppfylt samtidig. Vi kan derfor skrive

2x  y  1  x  y  2

9

Book Sinus R1 2018.indb 9

18.05.2018 10:14:42


!

Tegnet ∧ kan vi ikke alltid erstatte med ordet ÂŤogÂť, for tegnet ∧ betyr ÂŤog samtidigÂť. Vi kan gjerne si at en likning har løsningene x = 2 og x = 3. Det er ikke det samme som ĂĽ si at likningen har løsningene x  2  x  3. Variabelen x kan ikke samtidig vĂŚre bĂĽde 2 og 3. Det riktige er at likningen har løsningen x  2  x  3. OPPGAVE 1.12

I denne oppgaven sier vi at det er 0,5 millioner trøndere, 5 millioner nordmenn, 10 millioner svensker og 7,5 milliarder mennesker i verden. Omtrent hvor mange nĂĽlevende personer passer med beskrivelsen? a) Jeg er norsk ∧ Jeg er kvinne b) Jeg er norsk ∨ Jeg er kvinne c) Jeg er trønder ∧ Jeg er svensk d) Jeg er trønder ∨ Jeg er svensk OPPGAVE 1.13

Finn løsningene. a) x 2  9  x  0 b) x 2  9  x  0 c) x 2  x  2  0  x  0 d) x  2  x 2  2 x  1  0

Tallene deler vi ofte opp i naturlige tall, hele tall, rasjonale tall, irrasjonale tall og reelle tall. De naturlige tallene er tallene 1, 2, 3, 4, ‌ . Vi bruker symbolet N for dem. De hele tallene omfatter alle de naturlige tallene, tallet 0 og alle de hele negative tallene. Z er symbolet for de hele tallene. De rasjonale tallene er sammensatt av alle tall som kan skrives som brøker. Det vanlige symbolet for de rasjonale tallene er Q. Alle hele tall kan skrives som brøker og er dermed rasjonale tall. Det fins mange tall som verken er hele tall eller brøker. Det er de irrasjonale tallene. Tallene π og 2 er eksempler pü irrasjonale tall. De reelle tallene er sammensatt av de rasjonale tallene og de irrasjonale tallene. De reelle tallene omfatter dermed alle hele tall, alle brøker og alle tall som ikke kan skrives som en brøk. Det blir alle tallene i det vanlige tall­ systemet vürt. R er det vanlige symbolet for de reelle tallene. Vi har nü sett pü noen tallmengder. Det er mengder som inneholder tall, men mengder kan ogsü bestü av andre typer elementer. Vi kan snakke om mengden av alle førstegradsuttrykk eller mengden av alle byene i Norge.

10

Book Sinus R1 2018.indb 10

1 • Algebra

18.05.2018 10:14:45


Fra vg1 kjenner vi symbolet ∈, som vi leser ‘tilhører’ eller ‘er element i’. Hvis vi skriver x ∈ ď‚Ľ, betyr det at tallet x tilhører de naturlige tallene. Det er det samme som ĂĽ si at x er et naturlig tall. NĂĽr vi skriver at x ∈ ď‚Ą, betyr det at x er et hvilket som helst tall. Vi kan ogsĂĽ skrive 2   nĂĽr vi vil si at tallet −2 er et helt tall. Vi skriver 2  ď‚Ľ nĂĽr vi vil si at −2 ikke er et naturlig tall. Alle tallmengdene N, Z, Q og R inneholder uendelig mange tall. Tallmengder med et endelig antall elementer kan vi skrive pĂĽ listeform: Tallmengden 2, 4, 6 bestĂĽr av tallene 2, 4 og 6. NĂĽr vi skriver x  2, 4, 6, sier vi at x er ett av tallene 2, 4 eller 6. I stedet for ĂĽ skrive at likningen x 2  5 x  6  0 har løsningen x = 2 eller x = 3, kan vi skrive at

x 2  5 x  6  0  x  2, 3

Vi sier ogsü at likningen x 2  5 x  6  0 har løsningsmengden L  2, 3. Funksjonen f gitt ved

f ( x) 

x2 x 1

er ikke definert for x = 1, for da er nevneren null. Funksjonen er definert for alle reelle tall unntatt for x = 1. Med symboler skriver vi at funksjonen er definert nür x   \ 1. Dette er en mengdedifferanse. Nür vi skriver  \ 1, tar vi bort tallet 1 fra de reelle tallene. Definisjonsmengden til funksjonen f er

D f  ď‚Ą \ 1

Funksjonen g gitt ved

g ( x) 

x2  1 x2  5x  6

har definisjonsmengden

Dg  ď‚Ą \ 2, 3

OPPGAVE 1.14

Sett inn symbolet ∈ eller ∉ i de tomme rutene. 2 a) –5 Z b) –5 N c) 3 2 d) Q e) 5 R f) 5 3

Z Q

OPPGAVE 1.15

Finn løsningsmengden til likningene. a) 2 x  4  6 b) x 2  3x  0 c) x 2  x  2  0 d) x3  4 x  0

11

Book Sinus R1 2018.indb 11

18.05.2018 10:14:54


OPPGAVE 1.16

Skriv definisjonsmengdene med mengdesymboler. 2x  1 a) f ( x)  x3 b) f ( x) 

2x  1 x2  9

c) f ( x) 

2x  5 x  2x  8 2

Pü vg1 brukte vi intervaller nür vi løste ulikheter. Intervallet  2, 5 bestür av alle tall fra og med 2 til og med 5. Vi kaller det et lukket intervall. Vi kan skrive x   2, 5  2  x  5

PĂĽ tallinja kan vi illustrere intervallet slik: 0

1

2

3

4

5

6

7

Intervallet 2, 5 er et üpent intervall. Det bestür av alle tall som er større enn 2 og mindre enn 5. x  2, 5  2  x  5

Dette ĂĽpne intervallet ser slik ut pĂĽ tallinja: 0

1

2

3

4

5

6

7

Dermed er

2, 5   2, 5 \ 2, 5

De halvĂĽpne intervallene kan vi definere slik:

x   2, 5  2  x  5

x  2, 5  2  x  5

Vi bruker ogsĂĽ disse skrivemĂĽtene:

x  2,   x  2 x  , 2  x  2 x   2,   x  2 x  , 2  x  2

12

Book Sinus R1 2018.indb 12

1 • Algebra

18.05.2018 10:15:02


I 1T brukte vi ogsĂĽ symbolene ∊ (snitt) og âˆŞ (union). NĂĽr A og B er to mengder, bestĂĽr A ∊ B av de elementene som er med i bĂĽde A og B. Aâ€‰âˆŞâ€‰B bestĂĽr av de elementene som er med enten i A eller i B eller i begge. Vi kan skrive det slik:

x A B  x A xB x A B  x A xB

Vi kan illustrere disse mengdene med et venndiagram: A

A

B

B

A∊B

 

AâˆŞB

EKSEMPEL

Skriv enklest mulig med mengdesymboler. a) 1, 4 \ 1 b) 1, 3  1, 3 c) 1, 5  3, 7 d) 1, 5  3, 7 LĂ˜SNING:

a) 1, 4 \ 1  1, 4 b) 1, 3  1, 3  1, 3 c) 1, 5  3, 7  3, 5 d) 1, 5  3, 7  1, 7

OPPGAVE 1.17

Finn mengdene. a) 2, 4, 6, 8, 10 \ 4, 8

b)  2, 7  \ 2, 7

c) ⌊5, 5 \ 5 d) 1, 3 \ 2 OPPGAVE 1.18

Skriv som intervaller. a)  2, 2  1, 5 b)  2, 2  1, 5 c)  2, 2 \ 1, 5 d) 3, 6  5, 6 e) 3, 6  5, 6 f) 3, 6 \ 5, 6

13

Book Sinus R1 2018.indb 13

18.05.2018 10:15:07


1.2 Polynomdivisjon Uttrykket P( x)  2 x3  6 x 2  20 x  48 er et eksempel pü et polynom. Dette polynomet er av tredje grad. Vi sier derfor at P(x) er et tredjegradspolynom. Tallene 2, –6 og –20 kaller vi koeffisientene i polynomet. Tallet 2 kaller vi tredjegradskoeffisienten, tallet –6 er andregradskoeffisienten, –20 er førstegradskoeffisienten, og tallet 48 er konstantleddet. Vi multipliserer uttrykket  2 x  4    x  4  og für

 2 x  4    x  4   2 x 2  8 x  4 x  16  2 x 2  4 x  16

Dermed er

2 x 2  4 x  16   2 x  4    x  4 

Da er 2 x 2  4 x  16  2 x  4   x  4    2x  4 x4  x  4

I stedet for brøkstrek bruker vi ofte divisjonstegn. Med den skrivemüten blir

 2x

2



 4 x  16 :  x  4   2 x  4

Vi skal nü lÌre ü dividere to polynomer uten ü faktorisere først. Metoden likner pü den vi bruker nür vi dividerer tall.

 2x

2



 

 4 x  16 :  x  4   2 x  4

 2 x  8x  4 x  16  4 x  16 0  2

Her er en forklaring pĂĽ de seks punktene ovenfor: ď ľ 2x er det vi mĂĽ multiplisere leddet x i  x  4  med for ĂĽ fĂĽ leddet 2x2 i 2 x 2  4 x  16 . ď ś Her regner vi ut  x  4   2 x og fĂĽr 2 x 2 + 8 x. ď ˇ NĂĽ regner vi ut 2 x 2  4 x  2 x 2  8 x og fĂĽr –4x. Deretter flytter vi ned leddet –16. ď ¸ Vi multipliserer x med −4 for ĂĽ fĂĽ −4x. ď š Vi regner ut  x  4    4  og fĂĽr −4 x − 16. ď ş Til slutt regner vi ut  4 x  16    4 x  16  og fĂĽr resten, som her blir 0.







 



Vi kan dividere et polynom av tredje grad eller høyere med et polynom av første grad pü tilsvarende müte.

14

01 Sinus R1 (2018) kap1 teori.indd 14

1 • Algebra

24.05.2018 09:40:42


EKSEMPEL

Utfør divisjonen.

 2x

3



 6 x 2  20 x  48 :  2 x  4 

LĂ˜SNING:

 2x

3



 6 x 2  20 x  48 :  2 x  4   x 2  x  12

2x  4x  2 x 2  20 x 2 x 2  4 x 24 x  48 24 x  48 0 3

2

Divisjonen ovenfor gav resten 0. I slike tilfeller sier vi at divisjonen gĂĽr opp. Men det er mange divisjoner som ikke gĂĽr opp. Her er en slik divisjon:

 4x

2



 2x  1 :  2x  2  2x  1

4x  4x 2x  1 2x  2 3 2

Her fikk vi resten 3. Dermed stĂĽr vi igjen med 3 :  2 x  2 , som er det samme som 2 x3- 2 . Divisjonen gir da dette svaret:

 4x

2



 2x  1 :  2x  2  2x  1 

3 2x  2

EKSEMPEL

Utfør divisjonen uten og med hjelpemiddel.

x

3



 4 x 2  8 x  13 :  x  1

LĂ˜SNING:

x

3



 4 x 2  8 x  13 :  x  1  x 2  3x  11 

x3  x 2 3x 2  8 x 3x 2  3x 11x  13 11x  11 2

2 x 1

15

Book Sinus R1 2018.indb 15

18.05.2018 10:15:41


I CAS skriver vi divisjonen slik:    

1





Legg merke til hvordan GeoGebra skriver svaret. x 2  3x  11, 2 betyr at svaret er x 2 - 3x - 11 med rest 2. AltsĂĽ er

x



 4 x 2  8 x  13 :  x  1  x 2  3x  11 

3

2 x 1

OPPGAVE 1.20

Utfør polynomdivisjonene uten hjelpemiddel. a) x 2  5 x  4 :  x  1 b) 2 x 2  4 x  2 :  x  3

 c)  3x



2



 5 x  2 :  3x  1

 d)  2 x

2

  4 x  3 :  4 x  2 

OPPGAVE 1.21

Regn ut uten og med hjelpemiddel. a) x3  x 2  5 x  3 :  x  1

  b)  x  x  5 x  3 :  x  2  c)  8 x  4 x  16 x  60  :  2 x  5  d)  x  x  x  x  1 :  x  1 3

2

3

2

4

3

2

Vi kan ogsü dividere med polynomer av andre grad eller høyere. EKSEMPEL

Utfør divisjonen.

 2x

3









 x 2  4 x  4 : 2 x 2  3x  2

LĂ˜SNING:

 2x

3

 x 2  4 x  4 : 2 x 2  3x  2  x  2

2 x  3x  2 x 4 x 2  6 x  4 4 x 2  6 x  4 0 3

16

Book Sinus R1 2018.indb 16

2

1 • Algebra

18.05.2018 10:15:58


Før vi gjør en slik divisjon, mü vi ordne polynomene slik at ledd med høy grad stür først. Det kan ogsü lønne seg ü sette inn ledd med koeffisient 0 der det mangler ledd. Nür graden til resten er lavere enn graden til det polynomet vi dividerer med, avslutter vi divisjonen som vist i eksempelet nedenfor. EKSEMPEL

Utfør divisjonen

 4x

3



 2 x2  3 : 2  x2



LĂ˜SNING:

 4x

3





 2 x 2  0 x  3 :  x 2  0 x  2  4 x  2 

4 x3  0 x 2  8 x 2 x 2  8 x  3 2 x 2  0 x  4 8x  1

8x  1 2  x2

Nür vi dividerer et polynom P(x) med et polynom Q(x), für vi en rest med lavere grad enn Q(x). Hvis Q(x) er et førstegradsuttrykk, blir resten et tall.

OPPGAVE 1.22

Utfør polynomdivisjonene uten og med hjelpemiddel. a) 2 x3  3x 2  2 x  1 : x 2  x  1

   b)  2 x  5 x  x  6 x  :  2 x  x  3 c)  x  3x  2 x  6  :  x  2  d)  x  x  2  :  x  3 e)  2 x  5 x  2  :  2 x  1 f)  4 x  3x  x  :  x  1 4

3

3

2

2

2

2

3

4

2

4

3

2

OPPGAVE 1.23

Utfør polynomdivisjonen P( x) :  x  2  og finn resten r. Regn deretter ut P(2). Hva ser du? a) P( x)  x 2  4 x  3 b) P( x)  x3  2 x 2  6 x  4 c) P( x)  x3  3x 2  2 x  3

17

Book Sinus R1 2018.indb 17

18.05.2018 10:16:17


1.3 Resten ved en polynomdivisjon NĂĽr vi dividerer P( x)  x 2  x  1 med  x  2 , fĂĽr vi

x

2



 x  1 :  x  2  x  3 

x2  2 x 3x  1 3x  6 5

5 x2

Resten r er 5. Uttrykket x - 2 har nullpunktet x = 2. NĂĽr vi regner ut P(2), fĂĽr vi

P(2)  22  2  1  5

Vi ser at P(2) er lik resten r etter divisjonen med  x  2 . I slutten av delkapittelet viser vi at dette er en generell regel. NĂĽr vi dividerer polynomet P(x) med  x  x0 , blir resten r = P( x0 ).

EKSEMPEL





a) Finn resten ved divisjonen x 2  2 x  1 :  x  3 uten ĂĽ utføre divisjonen. b) Kontroller dette ved ĂĽ utføre divisjonen. LĂ˜SNING:

a) Her er P( x)  x 2  2 x  1 og x0 = 3. Vi fĂĽr r  P(3)  32  2  3  1  4

Resten blir 4.

b)

x

2

x 2  3x x 1 x3 4

18

Book Sinus R1 2018.indb 18



 2 x  1 :  x  3  x  1 

4 x-3

Vi ser at resten er 4. Det stemmer.

1 • Algebra

18.05.2018 10:16:40


OPPGAVE 1.30

Finn resten uten ü dividere. Kontroller svaret ved ü utføre divisjonen. a) x 2  2 x  3 :  x  1

  b)  2 x  5 x  7  :  x  2  c)  x  2 x  x  2  :  x  3 d)  2 x  2 x  3x  3 :  x  1 2

3

2

3

2

Nür vi dividerer et polynom P(x) med  x  x0 , vet vi at resten er P( x0 ). En divisjon gür opp hvis og bare hvis resten er 0. Det er nür P( x0 ) = 0 . La P(x) vÌre et polynom. Divisjonen P( x) :  x  x0  gür opp ⇔ P( x0 ) = 0

EKSEMPEL

Avgjør om divisjonen

x

3



 2 x2  7 x  4 :  x  4

gĂĽr opp uten at du gjør divisjonen. Kontroller dette ved ĂĽ utføre divisjonen. LĂ˜SNING:

Her er P( x)  x3  2 x 2  7 x  4 og x0 = 4.

P(4)  43  2  42  7  4  4  64  32  28  4  0

Ettersom P(4)  0, gür divisjonen med  x  4  opp. Vi utfører divisjonen.

x

3

x  4x 2 x2  7 x 2 x2  8x x4 x4 0 3



 2 x2  7 x  4 :  x  4  x2  2 x  1 2

Divisjonen gikk opp.

19

Book Sinus R1 2018.indb 19

18.05.2018 10:16:59


I eksempelet pü forrige side fant vi ut at divisjonen med ( x – 4) mütte gü opp fordi P(4) = 0. Vi sü at

x

3



 2 x2  7 x  4 :  x  4  x2  2 x  1

Dermed er

x

3







 2 x2  7 x  4   x  4  x2  2 x  1

Vi ser at ( x – 4) er en faktor i polynomet. Hvis P(x) er et polynom der P( x0 ) = 0, gür divisjonen P( x) :  x  x0  opp. Dermed fins det et polynom Q(x) slik at

P( x) :  x  x0   Q( x)

Da er

P( x)   x  x0   Q( x)

og  x  x0  er en faktor i P(x). Og omvendt: Hvis  x  x0  er en faktor i P(x), sĂĽ fins det et polynom Q(x) slik at P( x)   x  x0   Q( x). Da er

P( x0 )   x0  x0   Q( x0 )  0  Q( x0 )  0

Vi har bevist denne regelen: La P(x) vÌre er et polynom. P(x) har faktoren  x  x0  ⇔ P( x0 ) = 0

EKSEMPEL

Finn ut om  x  2  er en faktor i polynomet P(x). a) P( x)  2 x 2  3x  2 b) P( x)  x3  3x 2  2 x  4 LĂ˜SNING:

a) Ettersom  x  2    x   2  , må vi undersøke om P(2)  0. P(2)  2   2   3   2   2  8  6  2  0 2

 x  2  er en faktor.

b) P(2)   2   3   2   2   2   4  8  12  4  4  4 3

20

Book Sinus R1 2018.indb 20

2

Ettersom P(2)  0, er  x  2  ikke en faktor i P( x).

1 • Algebra

18.05.2018 10:17:31


OPPGAVE 1.31

Avgjør om divisjonen gür opp, uten ü utføre divisjonen. a) x 2  2 x  3 :  x  1

  b)  x  3x  2 x  2  :  x  2  c)  2 x  4 x  10 x  12  :  x  2  d)  x  10 x  8  :  x  3 3

2

3

2

4

2

OPPGAVE 1.32

Avgjør om  x  2  er en faktor i P(x), uten ü dividere. a) P( x)  2 x 2  4 x  6 b) P( x)  2 x 2  6 x  20 c) P( x)  x3  3x 2  3x  2 d) P( x)  x 4  3x3  4 x  1 OPPGAVE 1.33

Avgjør om  x  1 og om  x  2  er faktorer i P(x) nür a) P( x)  x 2  4 x  3 b) P( x)  x3  2 x 2  x  2 c) P( x)  2 x3  3x 2  2 x  1 d) P( x)  x 4  2 x3  2 x 2  x  2

EKSEMPEL

Bestem tallet a uten og med hjelpemiddel slik at divisjonen gĂĽr opp. a) x 2  ax  6 :  x  3

 b)  x

3

  3x  a  :  x  a 

LĂ˜SNING:

a) Vi setter P( x)  x 2  ax  6. Divisjonen med  x  3   x  (3)  gĂĽr opp hvis og bare hvis P(3)  0

 3

 a   3  6  0 9  3a  6  0 3a  15 a5 2

21

Book Sinus R1 2018.indb 21

18.05.2018 10:18:01


Husk ĂĽ skrive mellomrom eller gangetegn mellom a og x i uttrykket ax! 1

   

2

 Løs: 

b) NĂĽ setter vi P( x)  x3  3x  a. Divisjonen med  x  a  gĂĽr opp hvis og bare hvis P(a)  0 a 3  3a  a  0 a 3  4a  0 a  a2  4  0





a  0 a  4 a  0  a  2  a  2 2

1

   

2

 Løs: 

OPPGAVE 1.34

Bestem tallet a uten og med hjelpemiddel slik at divisjonen gĂĽr opp. a) x 2  ax  2 :  x  2 

  b)  x  3x  a  :  x  5  c)  x  ax  ax  4  :  x  2  d)  ax  ax  2  :  x  1 e)  x  5 x  6  :  x  a  2

3

2

2

2

OPPGAVE 1.35

En polynomfunksjon P er gitt ved at

P( x)  x3  4 x 2  ax  b

Bestem tallene a og b slik at en divisjon med büde  x  2  og  x  3 gür opp. Løs oppgaven büde uten og med hjelpemiddel.

22

Book Sinus R1 2018.indb 22

1 • Algebra

18.05.2018 10:18:17


OPPGAVE 1.36

Bruk CAS til ĂĽ bestemme tallene a, b, og c slik at:

P( x)  x 4  x3  ax 2  bx  c

fĂĽr faktorene  x  2  ,  x  3 og  x  1. Finn den fjerde faktoren.

BEVIS

Bevis for at divisjonen P(x) : (x − x0) gir resten r = P(x0)

La P(x) vÌre et polynom. Nür vi utfører divisjonen, finner vi et polynom Q(x) slik at

P( x) :  x  x0   Q( x) 

r x  x0

Det er det samme som at

P( x) r  Q( x)  x  x0 x  x0

Hvis x ≠x0 , kan vi multiplisere med  x  x0  pĂĽ begge sidene av likhetstegnet. Det gir P( x)   x  x0   Q( x)  r Her er høyre og venstre side av likhetstegnet to polynomer som er like for alle x ≠ x0 . De mĂĽ da vĂŚre like ogsĂĽ for x = x0 . Dermed er

P( x0 )   x0  x0   Q( x0 )  r  0  Q( x0 )  r  r

Dermed har vi vist at resten r = P( x0 ).

1.4 Faktorisering av polynomer Ă… faktorisere et polynom vil si ĂĽ skrive polynomet som et produkt av polynomer av lavere grad. PĂĽ vg1 lĂŚrte vi ĂĽ faktorisere andregradspolynomer pĂĽ to mĂĽter. NĂĽ repeterer vi begge metodene. Den ene metoden gikk ut pĂĽ ĂĽ faktorisere ved hjelp av denne regelen: Hvis vi finner to tall d og e slik at d  e  b og d  e  c, sĂĽ er

x 2  bx  c   x  d   x  e 

23

01 Sinus R1 (2018) kap1 teori.indd 23

24.05.2018 09:41:39


EKSEMPEL

Faktoriser uttrykkene. a) x 2 + 5 x + 6 b) x 2 - x - 2 c) 2 x 2 + 8 x + 8 LĂ˜SNING:

a) Her mĂĽ vi finne to tall som er slik at produktet blir 6 og summen blir 5. Tallene er 2 og 3. Dermed er x 2  5 x  6   x  2   x  3 b) Her mĂĽ produktet av tallene vĂŚre −2 og summen −1. Tallene er da −2 og 1. Det gir x 2  x  2   x  2   x  1 c) Først setter vi 2 utenfor en parentes.



2 x 2  8 x  8  2  x 2  4 x  4



NĂĽr vi nĂĽ skal faktorisere x + 4 x + 4, mĂĽ vi finne to tall slik at bĂĽde summen og produktet blir 4. Tallene er 2 og 2. Dermed er 2





2 x2  8x  8  2 x2  4 x  4 2  2  x  2 x  2  2  x  2

Vi kan ogsĂĽ faktorisere ved hjelp av nullpunktene. Dersom andregradsuttrykket ax 2 + bx + c har de to nullpunktene x = x1 og x = x2 , er

ax 2  bx  c  a   x  x1    x  x2 

Dersom andregradsuttrykket har ett nullpunkt x = x1, kaller vi det et dobbelt nullpunkt. Da er

ax 2  bx  c  a   x  x1 

2

Hvis andregradsuttrykket ikke har nullpunkter, er det ikke mulig ü faktorisere uttrykket i førstegradsfaktorer.

24

Book Sinus R1 2018.indb 24

1 • Algebra

18.05.2018 10:19:02


EKSEMPEL

Faktoriser polynomene i førstegradsfaktorer hvis det er mulig. a) 2 x 2 − 2 x − 24 b) x 2 + 6 x + 9 c) 2 x 2 + 4 x + 5 LĂ˜SNING:

a) Først finner vi nullpunktene til uttrykket ved hjelp av andregradsformelen. 2 x 2  2 x  24  0 x

  2  

 2 

2

 4  2   24 

22

2  196 4 2  14 x 4 16 12 eller x  x 4 4 x  3 eller x  4 x

Dermed er

2 x 2  2 x  24  2  x   3   x  4   2  x  3 x  4  b) Likningen x 2  6 x  9  0 har løsningene 6  62  4 1  9 2 6  0 x  2 6 x 2 x  3 x

Uttrykket har bare ett nullpunkt. Da er

x 2  6 x  9   x   3    x  3 2

2

c) Nullpunktene finner vi slik: 2 x2  4 x  5  0 4  42  4  2  5 4 4  24 x 4

x 

25

01 Sinus R1 (2018) kap1 teori.indd 25

24.05.2018 09:42:54


Det gĂĽr ikke an ĂĽ regne ut -24. Uttrykket har dermed ikke noen nullpunkter.

Dette uttrykket kan vi ikke faktorisere.

OPPGAVE 1.40

Faktoriser andregradsuttrykkene i førstegradsuttrykk pü begge mütene hvis det lar seg gjøre. a) x 2  4 x  3 b) 2 x 2  4 x  2 c) 3x 2  6 x  9 d) 2 x 2 + 8 x + 10

Nür vi skal faktorisere et tredjegradsuttrykk, mü vi kjenne en førstegradsfaktor. Vi utfører en polynomdivisjon og skriver tredjegradsuttrykket som et produkt av et førstegradsuttrykk og et andregradsuttrykk. Til slutt undersøker vi om vi kan faktorisere andregradsuttrykket. EKSEMPEL

Et polynom er gitt ved

P( x)  x3  2 x 2  x  2

a) Vis at  x  1 er en faktor i P(x). b) Faktoriser P(x) mest mulig bĂĽde uten og med hjelpemiddel. LĂ˜SNING:

a) Vi må undersøke om P(1)  0. P(1)   1  2   1   1  2  1  2  1  2  0 3

2

 x  1 er en faktor.

b) NĂĽ vet vi at divisjonen P( x) :  x  1 gĂĽr opp.

x

3



 2 x 2  x  2 :  x  1  x 2  3x  2

x x  3x 2  x 3x 2  3x 2x  2 2x  2 0 3

26

Book Sinus R1 2018.indb 26

2

1 • Algebra

18.05.2018 10:19:11


Dermed er



x3  2 x 2  x  2   x  1 x 2  3x  2



Det neste er ü faktorisere uttrykket x  3x  2 hvis det lar seg gjøre. Ettersom  2    1  3 og  2    1  2, er 2

x 2  3x  2   x  1 x  2 

Dermed er





x3  2 x 2  x  2   x  1 x 2  3x  2   x  1 x  1 x  2 

Tredjegradsuttrykket er dermed faktorisert i tre førstegradsuttrykk.

Vi skriver uttrykket i CAS og trykker pĂĽ faktoriseringsknappen Det gir dette svaret:

15 3•5

.

 Faktoriser: 

1

EKSEMPEL

Et polynom er gitt ved

P( x)  x3  x 2  4 x  6

a) Vis at P(3) = 0. b) Faktoriser P(x) mest mulig uten og med hjelpemiddel. LĂ˜SNING:

a) P(3)  33  32  4  3  6  27  9  12  6  0 b) Ettersom P(3) = 0, vet vi at divisjonen P(x) :  x  3 gĂĽr opp.

x

3



 x 2  4 x  6 :  x  3  x 2  2 x  2

x  3x 2 x2  4 x 2 x2  6 x 2x  6 2x  6 0 3

2

Dermed er







x3  x 2  4 x  6   x  3  x 2  2 x  2

 27

Book Sinus R1 2018.indb 27

18.05.2018 10:19:15


Det neste er ü faktorisere uttrykket x 2 + 2 x + 2 hvis det lar seg gjøre. Vi løser derfor likningen x2  2 x  2  0 2  22  4 1  2 2 2  4 x 2

x 

Andregradslikningen har ingen nullpunkter, og vi kan derfor ikke faktorisere andregradsuttrykket. Den beste faktoriseringen av tredjegradsuttrykket er dermed







x3  x 2  4 x  6   x  3  x 2  2 x  2 1



 Faktoriser:   

OPPGAVE 1.41

Et polynom er gitt ved

P( x)  x3  4 x 2  x  6

a) Vis at  x  1 er en faktor i P(x). b) Faktoriser P(x) mest mulig bĂĽde uten og med hjelpemiddel. OPPGAVE 1.42

Et polynom er gitt ved

P( x)  2 x3  2 x 2  16 x  24

a) Vis at P(3) = 0. b) Faktoriser P(x) mest mulig bĂĽde uten og med hjelpemiddel. OPPGAVE 1.43

Et polynom er gitt ved

P( x)  x3  2 x 2  3x  10

a) Vis at  x  2  er en faktor. b) Faktoriser P(x) mest mulig bĂĽde uten og med hjelpemiddel.

28

Book Sinus R1 2018.indb 28

1 • Algebra

18.05.2018 10:19:18


1.5 Likninger og ulikheter Pü vg1 lÌrte vi ü løse andregradsulikheter. Vi repeterer metoden ved hjelp av to eksempler. EKSEMPEL

Løs ulikheten

x2  2 x  8  0

LĂ˜SNING:

Vi mĂĽ faktorisere andregradsuttrykket x 2 - 2 x - 8. Ettersom 4  2  2 og 4  2  8, er

x2  2 x  8   x  4  x  2

for alle verdier av x. Ulikheten blir

 x  4 x  2  0

Nü tegner vi fortegnslinjer for faktorene  x  4  og  x  2  og lager deretter ei fortegnslinje for produktet  x  4   x  2  ved ü utnytte at to negative faktorer gir et positivt svar, at en positiv og en negativ faktor gir et negativt svar, og at to positive faktorer gir et positivt svar. –4 –3 –2 –1 0 1 2 x–4

3 4

5 6

x

0

x+2

0

(x – 4)(x + 2)

0

0

Vi skulle finne de verdiene av x der  x  4   x  2   0. Da mĂĽ vi plukke ut de x-verdiene der fortegnslinja for uttrykket er sammenhengende. Det gir at

 x  4   x  2   0  x  2  x  4

Ulikheten i oppgaven har den samme løsningen:

x 2  2 x  8  0 nĂĽr x  2  x  4

EKSEMPEL

Løs ulikheten

x2  2 x  3  0

29

Book Sinus R1 2018.indb 29

18.05.2018 10:19:22


LØSNING:

Vi prøver å faktorisere x 2  2 x  3 ved hjelp av nullpunktene. x2  2 x  3  0

x

2  4  12 2  8  2 2

Kvadratrota av –8 fins ikke. Dermed har ikke x 2  2 x  3 noen nullpunkter, og uttrykket kan da heller ikke skifte fortegn. Uttrykket er da enten positivt for alle verdier av x, eller så er uttrykket negativt for alle verdier av x. Det finner vi ut ved å sette inn én verdi for x. Vi velger x = 0. Det gir

x 2  2 x  3  02  2  0  3  3

Ettersom uttrykket er positivt for x = 0, må uttrykket være positivt for alle verdier av x.

x 2  2 x  3  0 for alle x  

Det kan vi også se ved å tegne grafen til f ( x)  x 2  2 x  3. y 8 7 6 5 4 3 2 1 –2 –1 0

x 1

2 3

4 5

6

Grafen ligger over x-aksen for alle x, og dermed er f ( x) > 0 for alle x.

OPPGAVE 1.50

Løs ulikhetene ved å bruke fortegnslinjer. a) x 2  5 x  6  0 b) x 2  x  2  0 c) 2 x 2  4 x  2  0 d) 2 x 2  4 x  3  0 Det fins en formel som vi kan bruke til å løse tredjegradslikninger. Den lærer vi ikke i dette kurset. En tredjegradslikning kan ha inntil tre løsninger. Vi må kjenne en av dem for å kunne finne de to andre.

30

Book Sinus R1 2018.indb 30

1 • Algebra

18.05.2018 10:19:27


EKSEMPEL

a) Vis at x = 2 er en løsning av tredjegradslikningen x3  2 x 2  5 x  6  0 b) Løs tredjegradslikningen büde uten og med hjelpemiddel. c) Løs ulikheten x3  2 x 2  5 x  6  0

uten og med hjelpemiddel.

LĂ˜SNING:

a) La P( x)  x3  2 x 2  5 x  6. Da er P(2)  23  2  22  5  2  6  8  8  10  6  0

x = 2 er en løsning av likningen.

b) Ettersom P(2) = 0, er  x  2  en faktor i P(x). Da vet vi at denne polynomdivisjonen gĂĽr opp:

x

3



 2 x2  5x  6 :  x  2  x2  4 x  3

x  2x 4 x2  5x 4 x2  8x 3x  6 3x  6 0 3

2

Dermed er







x3  2 x 2  5 x  6   x  2  x 2  4 x  3



Ettersom 1  3  4 og 1  3  3, er

x 2  4 x  3   x  1  x  3

Dermed er





x3  2 x 2  5 x  6   x  2  x 2  4 x  3   x  2   x  1  x  3

Nü løser vi likningen.

x3  2 x 2  5 x  6  0  x  2   x  1  x  3  0 x  2  0  x 1  0  x  3  0 x  2  x  1  x  3

31

Book Sinus R1 2018.indb 31

18.05.2018 10:19:32


1

 Løs: 

c) I oppgave b fant vi at x3  2 x 2  5 x  6   x  2   x  1  x  3

Dermed kan vi skrive ulikheten som

 x  2   x  1  x  3  0

Nü lager vi fortegnslinjer for faktorene og bruker dem til ü lage fortegnslinje for P( x). –4 –3 –2 –1 0 1 2 x–2

x

0

x+3

0

x+1

3

0

P(x)

0

0

0

x3  2 x 2  5 x  6  0 nĂĽr x  3  1  x  2 1

 Løs: 

EKSEMPEL

a) Vis at x  2 er en løsning av tredjegradslikningen x3  x 2  3x  6  0 b) Løs tredjegradslikningen. c) Løs ulikheten x3  x 2  3x  6  0 LĂ˜SNING:

a) Vi setter P( x)  x3  x 2  3x  6. Da er P(2)   2    2   3   2   6  8  4  6  6  0 3

32

Book Sinus R1 2018.indb 32

2

x  2 er en løsning av likningen.

1 • Algebra

18.05.2018 10:19:35


b) Ettersom P(2)  0, er  x  2  en faktor i P(x). Denne polynom­ divisjonen gür da opp:

x

3



 x 2  3x  6 :  x  2   x 2  3x  3

x  2x 3x 2  3x 3x 2  6 x 3x  6 3x  6 0 3

2





Dermed er x3  x 2  3x  6   x  2  x 2  3x  3 .

Nü prøver vi ü faktorisere x 2  3x  3 ved hjelp av nullpunktene. x 2  3x  3  0

x

3  32  4 1  3 3  3  2 2

Uttrykket x 2  3x  3 har ingen nullpunkter. Dermed er  x  2  x 2  3x  3  0 bare nĂĽr





x20 x  2

c) Ettersom x 2  3x  3 ikke har nullpunkter, er uttrykket enten positivt for alle x eller negativt for alle x. Uttrykket er 3 nĂĽr x = 0. Dermed mĂĽ x 2  3x  3 vĂŚre positivt for alle verdier av x. NĂĽ kan vi lage fortegnslinje for



P( x)  x3  x 2  3x  6   x  2  x 2  3x  3 –4 –3 –2 –1 0 1 2 x+2

3



x

0

x2 – 3x + 3

P(x)

0

x3  x 2  3x  6  0 nĂĽr x  2 OPPGAVE 1.51

a) Vis x  1 er en løsning av likningen x3  4 x 2  x  6  0 b) Finn alle løsningene uten og med hjelpemiddel. c) Løs ulikheten x3  4 x 2  x  6  0

Book Sinus R1 2018.indb 33

bĂĽde uten og med hjelpemiddel.

33

18.05.2018 10:19:40


OPPGAVE 1.52

Polynomfunksjonen P er gitt ved

P( x)  x3  2 x 2  3x  10

a) Vis at  x  2  er en faktor i P(x). b) Faktoriser P(x) mest mulig. c) Finn nullpunktene til P uten og med hjelpemiddel. d) Finn ved regning for hvilke verdier av x grafen til P ligger under x-aksen. OPPGAVE 1.53

a) Bestem tallet a slik at x = -2 blir en løsning av likningen x3  2 x 2  ax  8  0 b) Løs likningen for denne verdien av a. c) Løs ulikheten x3  2 x 2  ax  8  0

for denne verdien av a.

1.6 Forenkling av rasjonale uttrykk Et rasjonalt uttrykk er på formen QP((xx)) , der P(x) og Q(x) er polynomer. Hvis polynomene har felles faktorer, kan vi bruke det vi nå har lært om faktorisering, til å forkorte uttrykket. Da finner vi først faktorene i det polynomet som har lavest grad. Deretter undersøker vi om disse faktorene også er faktorer i polynomet av høyest grad. EKSEMPEL

Forkort uttrykket

x3  2 x 2  5 x  6 hvis det er mulig. x3

LØSNING:

Først undersøker vi om vi kan forkorte uttrykket. Det er mulig hvis telleren P( x) = 0 når x = 3.

P(3)  33  2  32  5  3  6  27  18  15  6  0

Dermed er  x  3 en faktor i telleren, og vi utfører polynom­divisjonen på neste side.

34

Book Sinus R1 2018.indb 34

1 • Algebra

18.05.2018 10:19:44


x

3



 2 x 2  5 x  6 :  x  3  x 2  x  2

x  3x x2  5x x 2  3x 2 x  6 2 x  6 0 3

2

Dermed er



x 3  2 x 2  5 x  6   x  3 x 2  x  2



og





2 x 3  2 x 2  5 x  6  x  3 x  x  2   x2  x  2 x3  x  3

EKSEMPEL

Undersøk om vi kan forkorte uttrykket

x3  x  2 . x2

LĂ˜SNING:

Det er mulig ĂĽ forkorte uttrykket hvis telleren P( x) = 0 nĂĽr x  2.

P(2)   2    2   2  8  2  2  4 3

Det er ikke mulig ĂĽ forkorte uttrykket.

EKSEMPEL

Forkort uttrykket uten og med hjelpemiddel.

x3  3x 2  x  3 x2  5x  6

LĂ˜SNING:

Ettersom  2    3  5 og  2    3  6, er

x 2  5 x  6   x  2  x  3

Nü undersøker vi om  x  2  eller  x  3 er faktorer i telleren.

 x  2  er en faktor i telleren hvis den er 0 nĂĽr x = 2.

23  3  22  2  3  8  12  2  3  3

35

Book Sinus R1 2018.indb 35

18.05.2018 10:19:49


Dermed er ikke  x  2  en faktor i telleren.

 x  3 er en faktor i telleren hvis telleren er 0 nĂĽr x = 3. 33  3  32  3  3  27  27  3  3  0

AltsĂĽ er  x  3 en faktor, og denne divisjonen gĂĽr opp:

x

3



 3 x 2  x  3 :  x  3  x 2  1

x  3x 3

2

x  3 x  3 0

Flytt ned 2 ledd nĂĽr alt forsvinner!

Etter dette er

x

3

 



 3 x 2  x  3  x 2  1  x  3

Dermed er





x 2  1  x  3 x 2  1 x3  3x 2  x  3   x2  5x  6  x  2   x  3 x  2

1

   

OPPGAVE 1.60

Forkort uttrykkene om mulig bĂĽde uten og med hjelpemiddel. x3  x  2 x3 + 6 x 2 + 11x + 6 a) b) x 1 x+3 x3  9 x x +1 c) d) 3 3x  6 x + 2 x2 + 2 x + 1 OPPGAVE 1.61

Forkort uttrykkene hvis det lar seg gjøre, büde uten og med hjelpemiddel. x3  2 x  4 x2  4 x  3 a) b) x2  4 x3  3x 2  4 x  12 OPPGAVE 1.62

For hvilke verdier av a kan vi forkorte uttrykkene? x2 + 5x + a x3  4 x 2  6 x  a a) b) x+2 x2  4 x  3

36

Book Sinus R1 2018.indb 36

1 • Algebra

18.05.2018 10:19:54


Nür vi skal legge sammen rasjonale uttrykk, faktoriserer vi alle nevnerne, finner fellesnevneren og setter pü felles brøkstrek. Sü trekker vi sammen telleren og undersøker til slutt om vi kan forkorte brøken. EKSEMPEL

Trekk sammen og forkort uten og med hjelpemiddel.

2x x2 6x  4   x  2 x  2 x2  4

LĂ˜SNING:

Først faktoriserer vi nevnere, finner fellesnevneren og setter på felles brøkstrek. 2x 6x  4 2x 6x  4 x2 x2   2    x  2 x  2 x  4 x  2 x  2  x  2  x  2 x2   x  2



 x  2   x  2

x 

3



 

2x   x  2

 x  2   x  2





6x  4 x   2  x  2

 2 x2  2 x2  4 x   6 x  4

 x  2  x  2

x3  2 x  4 x  2 x  2 x2  4 x  6 x  4   x  2  x  2  x  2  x  2 3



2

Nü undersøker vi om vi kan forkorte brøken. Da mü  x  2  eller  x  2  vÌre faktorer i tellerne. Det er de hvis telleren er 0 nür x  2 eller nür x = 2.

 2 

3

 2   2   4  8  4  4  8

2  22  4  8 4  4  0 3

Der er  x  2  en faktor og ikke  x  2 .

x

3

x  2x 2 x2  2 x 2 x2  4 x 2x  4 2x  4 0 3



 0 x2  2 x  4 :  x  2  x2  2 x  2 2

37

Book Sinus R1 2018.indb 37

18.05.2018 10:19:57


Dermed er



x3  2 x  4   x  2  x 2  2 x  2







 x  2 x  2 x  2 x2  2 x  2 x  2x  4   x2  x  2 x  2  x  2  x  2

3

1

2

         

OPPGAVE 1.63

Trekk sammen og forkort uttrykkene bĂĽde uten og med hjelpemiddel. x3 2 x2  5 x2  5 a) 2  b)  3x  9 x 2  3x x 4 x2 OPPGAVE 1.64

Trekk sammen og forkort uttrykkene bĂĽde uten og med hjelpemiddel. 4x 2x x2 1 3 1 a)   2 b)  2  2 x  3 x  4 x  5x  6 x 1 x 1 x 1

1.7 Rasjonale likninger En brøk er ikke definert nür nevneren er null. I rasjonale uttrykk mü vi derfor passe pü at nevneren ikke blir null. I uttrykket x(xx12) er nevneren null nür x = 0 og nür x = 2. Det er ikke mulig ü sette inn x = 0 eller x = 2 i uttrykket. Derfor mü vi forutsette at x ≠0 og at x ≠ 2 nür vi regner med dette uttrykket. Slike forutsetninger er svÌrt viktige nür vi løser likninger der den ukjente er med i nevneren. EKSEMPEL

Løs likningen uten og med hjelpemiddel.

38

Book Sinus R1 2018.indb 38

2 2 1   x2  2 x x x  2

1 • Algebra

18.05.2018 10:20:02


LĂ˜SNING:

Faktorisering av en nevner gir 2 2 1   x  x  2 x x  2

Nevneren er lik null nür x = 0 og nür x = 2. Vi mü derfor forutsette at x ≠0 og x ≠ 2

NĂĽ multipliserer vi med fellesnevneren x  x  2  pĂĽ begge sidene av likhetstegnet. 2  x  x  2 x  x  2



2  x  x  2 x



1 x  x  2 

 x  2

2  2   x  2   1 x 2  2x  4  x 2x  2  x 2x  x  2 x2 Ingen løsning

Likningen har ingen løsning fordi vi forutsatte at x ≠2. Det er ikke mulig ü sette inn x = 2 i den likningen vi skulle løse. Vi skriver likningen i CAS og trykker pü 1

.

        Løs: 

Legg merke til hvordan GeoGebra skriver ingen løsning!

EKSEMPEL

Løs likningen uten og med hjelpemiddel.

2 4 x   2 x  3 x 1 x  4x  3

LĂ˜SNING:

Først faktoriserer vi nevneren x 2  4 x  3. Ettersom  1   3  4 og  1   3  3, er

x 2  4 x  3   x  1 x  3

39

Book Sinus R1 2018.indb 39

18.05.2018 10:20:06


Likningen blir 2 4 x   x  3 x  1  x  1  x  3

I denne likningen mü x ≠1 og x ≠ 3

for nevnerne kan ikke vÌre lik null. Nü multipliserer vi med felles­ nevneren  x  1  x  3. x   x  1  x  3



2   x  1  x  3

 x  3  x  1 x  x  1  2  x  3  4 x2  x  2 x  6  4 x 2  3x  2  0  x  1  x  2   0 x 1  0  x  2  0 x 1  x  2



4   x  1  x  3

 x  1  x  3

(–1) + (–2) = –3 og (–1) ¡ (–2) = 2

Svaret x = 1 passer ikke inn i likningen i oppgaven. 1

        Løs: 

OPPGAVE 1.70

Løs likningene uten og med hjelpemiddel. 1 1 2 2 4 1 a)   2 b)  2  x x  2 x  2x x  3 x  3x x 2 3 4 c)   x  1 x  1 x2  1 OPPGAVE 1.71

Løs likningene uten og med hjelpemiddel. x 8 3 x 2 9 a)  2  b)   2 x  2 x  2x x x  3 x x  3x 18 3 x x 30 5 c)   d) 2   x  4x  5 x  1 x  5 x  2 x2  2 x  8 x  4 Hvis den rasjonale likningen gir oss en tredjegradslikning, mü vi vanligvis kjenne en av løsningene for ü finne de andre.

40

Book Sinus R1 2018.indb 40

1 • Algebra

18.05.2018 10:20:11


EKSEMPEL

a) Vis at x = 1 er en løsning av likningen

35 x  6 8x x2  2  x  3 x  5x  6 x  2

b) Finn de andre løsningene. LĂ˜SNING:

a) Vi setter inn x = 1 pü venstre og høyre side av likhetstegnet og sammenlikner.

V.s. =

12 35 1  6 1 29 3 29 32 8  2       1  3 1  5 1  6 4 12 12 12 12 3

H.s. =

8 1 8  1 2 3

x = 1 er en løsning.

b) Ettersom 2 + 3 = 5 og 2 ⋅ 3 = 6, er x 2  5 x  6   x  2  x  3

Likningen blir

x2

 x  3

35 x  6 8x x2   x  3  x  2   x  3 x  2

Her mü x ≠-2 og x ≠ -3. Fellesnevneren er  x  2  x  3. Vi ganger med den pü begge sidene av likhetstegnet.

  x  2   x  3 

35 x  6

  x  2   x  3 

 x  2   x  3 x 2   x  2   35 x  6  8 x   x  3

8x

 x  2

  x  2   x  3

x3  2 x 2  35 x  6  8 x 2  24 x 3 2 x  6 x  11x  6  0

x = 1 er en løsning av likningen og mü derfor ogsü vÌre et nullpunkt for dette tredjegradsuttrykket. Denne divisjonen mü da gü opp:

x

3



 6 x 2  11x  6 :  x  1  x 2  5 x  6

x x 5 x 2  11x  5 x 2  5 x 6x  6 6x  6 0 3

2

41

Book Sinus R1 2018.indb 41

18.05.2018 10:20:14


Dermed er



x3  6 x 2  11x  6   x  1 x 2  5 x  6



Likningen blir

 x  1  x 2  5 x  6   0 x  1  0  x2  5x  6  0 x  1   x  2   x  3  0 x  1 x  2  0  x  3  0 x  1 x  2  x  3

(–2) + (–3) = –5 og (–2) ¡ (–3) = 6

Ingen av løsningene= x 1,= x 2 eller x = 3 gir null i noen nevner i likningen i oppgaven. Alle disse tre verdiene av x er dermed riktige løsninger.

OPPGAVE 1.72

a) Vis at x = 2 er en løsning av likningen

10 x  4 x2 2x   x  2x  3 x  3 x 1 2

b) Finn de andre løsningene.

1.8 Rasjonale ulikheter Ulikheten

x3 0 4  2x

kaller vi en rasjonal ulikhet. Vi kan ikke multiplisere med  4  2 x  pü begge sidene av ulikhetstegnet. Hvis vi multipliserer med et negativt tall pü begge sidene av ulikhetstegnet, mü vi snu tegnet. Uttrykket  4  2 x  er positivt for noen verdier av x og negativt for andre verdier. Hvis vi multipliserer med  4  2 x , vet vi ikke lenger hvilken vei ulikhetstegnet skal vende. Derfor mü vi lage ei fortegnslinje. Vi lager fortegnslinjer for telleren og for nevneren hver for seg. –4 x+3 4 – 2x x+3 4 – 2x

42

01 Sinus R1 (2018) kap1 teori.indd 42

–2

0

2

4

x

0 0 0

1 • Algebra

24.05.2018 09:43:53


Hvis telleren og nevneren har samme fortegn, blir brøken positiv. Hvis telleren og nevneren har motsatt fortegn, blir brøken negativ. Brøken er null nür telleren er null ( x  3). Brøken er ikke definert nür nevneren er null ( x = 2). Det punktet markerer vi med to piler som møtes og danner et kryss. Kryssene stür alltid under nullpunktene til nevneren. Vi skal finne ut nür uttrykket er positivt. Svaret finner vi der fortegnslinja er heltrukket.

!

x3  0 nĂĽr 3  x  2 4  2x

Fortegnslinjemetoden fungerer bare nür vi har null pü høyre side av ulikhets­ tegnet. Hvis vi har andre tall eller uttrykk pü høyre side, mü vi ordne ut­trykket vürt slik at vi für null pü høyre side. EKSEMPEL

Løs ulikheten

x  2. x2

LĂ˜SNING:

x 2 x2 x 20 x2 2  x  2 x 0  x2 x2 x   2x  4 0 x2 x  2x  4 0 x2 x  4 0 x2

Legg merke til hvordan vi gjør om tallet 2 til en brøk med x – 2 som nevner.

NĂĽ kan vi lage fortegnslinje. 1

2

4

5

x

0

–x + 4 x–2 –x + 4 x–2

3

0 0

Her skal vi finne ut nĂĽr uttrykket er negativt eller 0. Svaret finner vi der vi har stiplet linje eller 0.

x  4  0 nĂĽr x < 2 og nĂĽr x  4 x2

43

Book Sinus R1 2018.indb 43

18.05.2018 10:20:19


!

Multipliser aldri begge sidene av et ulikhetstegn med et uttrykk som kan vĂŚre bĂĽde positivt og negativt. OPPGAVE 1.80

Løs ulikhetene. 2 x  4 x3 2 4 x a)  0 b)  0 c)  0 d) 0 x3 x 1 3  2x x 1 OPPGAVE 1.81

Løs ulikhetene. x 1 2x  4 a)  1 b)  3 x 1 x 1

c)

2  2 x 1

d)

2x  4 3 x2

Noen ganger mü vi faktorisere andre- eller tredjegradsuttrykk nür vi løser rasjonale ulikheter. EKSEMPEL

Løs ulikheten uten og med hjelpemiddel.

x 1 

5x  1 x 1

LĂ&#x2DC;SNING:

Vi flytter brøkuttrykket over pü venstre side og setter alt pü felles brøkstrek. 5x  1 x 1  x  1  x  1

x 1 

x

44

Book Sinus R1 2018.indb 44

x 1

2





5x  1 0 x 1

 2 x  1   5 x  1

x 1 2 x  2 x  1  5x  1 0 x 1 x 2  3x  2 0 x 1  x  1  x  2   0 x 1

0

Pass pĂĽ parentesen om 5x â&#x20AC;&#x201C; 1!

(â&#x20AC;&#x201C;1) + (â&#x20AC;&#x201C;2) = â&#x20AC;&#x201C;3 og (â&#x20AC;&#x201C;1) ¡ (â&#x20AC;&#x201C;2) = 2

1 â&#x20AC;˘ Algebra

18.05.2018 10:20:23


NĂĽ lager vi fortegnslinjer: â&#x20AC;&#x201C;3

â&#x20AC;&#x201C;2

â&#x20AC;&#x201C;1

0

1

2

xâ&#x20AC;&#x201C;2

0

x+1 (x â&#x20AC;&#x201C; 1)(x â&#x20AC;&#x201C; 2) x+1

x 1 

0 0

0

5x  1 nĂĽr  1  x  1 og nĂĽr x  2 x 1

Vi skriver inn ulikheten og trykker pĂĽ 1

x

0

xâ&#x20AC;&#x201C;1

3



.

 

Løs: 

OPPGAVE 1.82

Løs ulikheten uten og med hjelpemiddel.

8  6x  x2 1 x

OPPGAVE 1.83

Løs ulikhetene uten og med hjelpemiddel. x  x  2 x3 a)  0 b)  x 1 x 1 x 3x 3x  1 c)   x d)  2x  3 x 1 x2 OPPGAVE 1.84

a) Vis at x = 2 er en løsning av likningen

x3  4 x 2  x  6 =0 2x  2

b) Finn alle løsningene av likningen. c) Løs ulikheten

x3  4 x 2  x  6 0 2x  2

45

Book Sinus R1 2018.indb 45

18.05.2018 10:20:26


1.9 Bevis I dette kapittelet har vi bevist noen matematiske regler slik matematikere har gjort i flere tusen ĂĽr. De gamle grekerne beviste mange setninger som gjaldt geometri og tallteori. Tallteori er lĂŚren om de hele tallene. Vi skal nĂĽ se pĂĽ noen slike bevis. Et partall er et tall i 2-gangen. Det er dermed et tall som vi kan skrive som 2k, der k er et helt tall. Et oddetall er alltid 1 større enn et partall. Alle oddetallene kan vi dermed skrive som 2k +â&#x20AC;&#x2030;1, der k er et helt tall. Et tall x er et partall hvis det fins et helt tall k slik at x = 2k . Et tall x er et oddetall hvis det fins et helt tall k slik at x  2k  1. Tallet 26 er et partall fordi 26 = 2â&#x20AC;&#x2030;â&#x2039;&#x2026;â&#x20AC;&#x2030;13. Tallet 15 er et oddetall fordi 15 = 2â&#x20AC;&#x2030;â&#x2039;&#x2026;â&#x20AC;&#x2030;7â&#x20AC;&#x2030;+â&#x20AC;&#x2030;1. Vi har mange forskjellige typer bevis. Et direkte bevis er en serie med logiske slutninger som fører oss direkte til den setningen vi vil bevise. Vi skal se pĂĽ et eksempel. EKSEMPEL

La x vĂŚre et helt tall. Bevis setningene. a) x er et partall â&#x2021;&#x2019; x2 er et partall b) x er et oddetall â&#x2021;&#x2019; x2 er et oddetall LĂ&#x2DC;SNING:

a) Hvis x er et partall, fins det et helt tall k slik at x = 2k . Da er

 

x 2   2  k   22  k 2  2  2  k 2  2  2k 2  2  s 2

2

2

Tallet s = 2k er et helt tall, og da er x  2  s et partall.

b) Hvis x er et oddetall, fins det et helt tall k slik at x  2k  1. Da er x 2   2k  1   2k   2  2k 1  12   4k 2  4k  1  2  2k 2  2k  1  2  r  1 2

2





Tallet r  2k 2  2k er et helt tall, og da er x 2  2  r  1 et oddetall.

Andre ganger fører vi et indirekte bevis eller et kontrapositivt bevis. NĂĽr vi skal bevise at ÂŤA sann â&#x2021;&#x2019; B sannÂť beviser vi stedet at ÂŤB usann â&#x2021;&#x2019; A usannÂť. Hvis A da er sann, kan ikke B vĂŚre usann, for da ville A vĂŚre usann. AltsĂĽ mĂĽ B vĂŚre sann.

46

01 Sinus R1 (2018) kap1 teori.indd 46

1 â&#x20AC;˘ Algebra

24.05.2018 09:45:19


Vi ser på et eksempel. EKSEMPEL

La x være et helt tall. Bevis setningene. a) x2 er et partall ⇒ x er et partall b) x2 er et oddetall ⇒ x er et oddetall LØSNING:

a) Her er påstand A at x2 er et partall og påstand B at x er et partall. Hvis B er usann, er x et oddetall. På forrige side beviste vi at da er x2 et oddetall. Altså er påstand A usann. Vi har da bevist at B usann ⇒ A usann

Da vet vi at hvis A er sann, er B sann.

Dersom x2 er et partall, må altså x være et partall. b) Vi går fram som i oppgave a, men nå uten å sette navn på påstandene. Hvis x ikke er et oddetall, er x et partall. Da er x2 et partall og dermed ikke et oddetall. Dersom x2 er et oddetall, må altså x være et oddetall.

Vi har nå bevist disse to setningene: x er et partall ⇒ x2 er et partall x2 er et partall ⇒ x er et partall Eller sagt med ord: Hvis x er et partall, så er x2 et partall. Og hvis x2 er et partall, så er x et partall. Da har vi vist at x er et partall hvis og bare hvis x2 er et partall. Dette kan vi skrive med symboler:

x er et partall ⇔ x2 er et partall

Vi har også bevist denne ekvivalensen:

x er et oddetall ⇔ x2 er et oddetall Når vi skal bevise påstanden A ⇔ B, må vi vise at A ⇒ B og at B ⇒ A.

Når vi skal bevise en matematisk påstand som skal gjelde for alle tall, er det ikke nok å vise at setningen er riktig for noen tall. Hvis vi derimot skal vise at en setning er feil, er det nok å finne et moteksempel. Hvis noen påstår at n er et irrasjonalt tall for alle hele tall n, kan vi motbevise det ved å finne et eksempel som viser at det er galt. Hvis n = 4, er 4 = 2, og det er ikke noe irrasjonalt tall. Påstanden er altså ikke riktig.

47

01 Sinus R1 (2018) kap1 teori.indd 47

18.05.2018 11:56:30


OPPGAVE 1.90

Bevis setningene: a) x er et helt tall, og y er et partall ⇒ x ⋅ y er et partall b) x og y er oddetall ⇒ x ⋅ y er et oddetall OPPGAVE 1.91

Bevis setningen: x og y er oddetall ⇔ x ⋅ y er et oddetall OPPGAVE 1.92

Bevis at begge disse setningene er feil: x er et oddetall ⇒ minst ett av tallene  x  2  og  x  2  er primtall x er et tall i 4-gangen ⇒ minst ett av tallene  x  1 og  x  1 er primtall

Vi kan også bevise at en påstand er sann ved å vise at hvis påstanden er feil, så fører det til en selvmotsigelse. I oppgaven nedenfor beviser vi at 2 er et irrasjonalt tall slik de gamle grekerne beviste det. OPPGAVE 1.93

Vi skal bevise at 2 er et irrasjonalt tall. Vi antar at det ikke er sant. Da må 2 være en brøk. La

2=

a b

der brøken

a b

er ferdig forkortet.

a) Vis at da er a 2  2  b 2 . b) Forklar at da er a 2 et partall, og at a da må være et partall. c) Forklar at a  2  c der c er et helt tall. d) Bruk oppgave a til å bevise at b 2  2  c 2. e) Bevis at b er et partall, og at det fins et helt tall d slik at b  2  d . f) Bevis at vi kan forkorte brøken ba .

48

Book Sinus R1 2018.indb 48

Dette er en selvmotsigelse, og 2 må da være et irrasjonalt tall.

1 • Algebra

18.05.2018 10:20:34


SAM­M EN­DRAG Implikasjon SkrivemĂĽten A â&#x2021;&#x2019; B betyr at hvis pĂĽstanden A er sann, sĂĽ er ogsĂĽ pĂĽstanden B sann. Ekvivalens To pĂĽstander A og B er ekvivalente dersom pĂĽstand A er riktig hvis og bare hvis pĂĽstand B er riktig. Vi skriver A â&#x2021;&#x201D; B. To likninger er ekvivalente hvis de har nøyaktig de samme løsningene. Polynomdivisjon NĂĽr vi dividerer et polynom P(x) med et polynom Q(x), fĂĽr vi en rest med lavere grad enn Q(x). Hvis Q(x) er et førstegradsuttrykk, blir resten et tall. Resten ved en polynomdivisjon NĂĽr vi dividerer polynomet P(x) med  x  x0 , blir resten r = P( x0 ). Divisjonen P( x) :  x  x0  gĂĽr opp hvis og bare hvis P( x0 ) = 0 . Faktor i et polynom

 x  x0  er en faktor i polynomet P(x) hvis og bare hvis P( x0 ) = 0.

Faktorisering av andregradsuttrykk Hvis vi finner to tall d og e slik at d  e  b og d  e  c, sĂĽ er

x 2  bx  c   x  d   x  e 

Dersom andregradsuttrykket ax 2 + bx + c har de to nullpunktene x = x1 og x = x2 , er

ax 2  bx  c  a   x  x1    x  x2 

Dersom andregradsuttrykket har ett nullpunkt x = x1, kaller vi det et dobbelt nullpunkt. Da er

ax 2  bx  c  a   x  x1 

2

Hvis andregradsuttrykket ikke har nullpunkter, er det ikke mulig ü faktorisere uttrykket i førstegradsfaktorer. Rasjonale uttrykk Et rasjonalt uttrykk er pü formen

P( x) , Q( x)

der P(x) og Q(x) er polynomer.

Forkorting av rasjonale uttrykk Vi kan forkorte xP-( xx) hvis og bare hvis P( x0 ) = 0 . 0

49

Book Sinus R1 2018.indb 49

18.05.2018 10:20:40


2 Derivasjon MÅL for opplæringen er at eleven skal kunne

50

Book Sinus R1 2018.indb 50

gjøre rede for begrepene grenseverdi, kontinuitet og deriverbarhet og gi eksempler på funksjoner som ikke er kontinuerlige eller deriverbare

bruke førstederiverte og andrederiverte til å drøfte forløpet til funksjoner og tolke de deriverte i modeller av praktiske situasjoner

tegne grafer til funksjoner med og uten digitale hjelpemiddel og tolke grunnleggende egenskaper hos en funksjon ved hjelp av grafen

2 • Derivasjon

18.05.2018 10:20:40


2.1 Kontinuerlige funksjoner En funksjon er kontinuerlig i et intervall hvis grafen er en sammenhengende kurve i intervallet. Da kan vi tegne grafen uten å løfte blyanten fra papiret. Grafen nedenfor viser sammenhengen mellom poengene på en eksamens­ besvarelse i R1 og karakteren. Karakteren er en funksjon av poengene. 7

y

karakter

6 5 4 3 2 1

x 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 poeng

Denne grafen er ikke sammenhengende i intervallet  0, 60, og funksjonen er dermed ikke kontinuerlig i det intervallet. Funksjonen er derimot kontinuerlig i intervallet 0, 10 . Nedenfor har vi tegnet grafen til en funksjon f. y 7 6

f

5 4 f(x) 3 f(2) 2 1 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

x 1

2x 3

4

–2

Grafen er sammenhengende, fordi funksjonen f er kontinuerlig. Men hva vil det si at grafen er sammenhengende i punktet x = 2? Hvis vi velger en x nær 2 og lar x nærme seg 2, vil f (x) nærme seg f (2). Vi kan få f (x) så nær f (2) som vi vil, bare vi velger x nær nok 2. Vi skriver

f ( x) → f (2) når x → 2

51

02 Sinus R1 (2018) kap2 teori.indd 51

24.05.2018 09:46:45


eller

lim f ( x)  f (2) x2

Uttrykket lim f ( x) leser vi ÂŤgrenseverdien avâ&#x20AC;&#x201E;f (x) nĂĽr x gĂĽr mot 2Âť. xâ&#x2020;&#x2019;2

At lim f ( x)  f (2) kan vi bruke som en definisjon av at en funksjonâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;er x2

kontinuerlig for x = 2. Kontinuitet i punktet x = a definerer vi pĂĽ tilsvarende mĂĽte: Funksjonenâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;er kontinuerlig for x = a dersomâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x2030;(a) eksisterer og

lim f ( x)  f (a)

xa

Hvis en funksjonâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;er kontinuerlig i alle punktene i definisjonsmengden, sier vi atâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;er en kontinuerlig funksjon. Hvordan kan vi sĂĽ vise ved regning at en funksjonâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;er kontinuerlig for alle aâ&#x20AC;&#x2030;â&#x2C6;&#x2C6;â&#x20AC;&#x2030;R? Jo, vi kan bruke disse grenseverdisetningene: Dersom lim f ( x) og lim g ( x) eksisterer, sĂĽ er xâ&#x2020;&#x2019;a

xâ&#x2020;&#x2019;a

lim  f ( x)  g ( x)   lim f ( x)  lim g ( x)

xa

xa

xa

lim  f ( x)  g ( x)   lim f ( x)  lim g ( x)

xa

xa

xa

lim k  f ( x)  k  lim f ( x) der k er en konstant

xa

lim

xa

xa

lim f ( x)

f ( x) x  a  g ( x) lim g ( x)

hvis lim g ( x)  0 xa

xa

Hvis f ( x)  x 2  2 x  1, gir disse reglene at





lim f ( x)  lim x 2  2 x  1  lim x 2  lim  2 x   lim 1

xa

xa

xa

xa

xa

 lim  x  x   2  lim x  1  lim x  lim x  2  a  1 xa

xa

xa

xa

 a  a  2a  1  a  2a  1  f ( a ) 2

Ettersomâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x2030;(a) eksisterer og lim f ( x)  f (a) for alle aâ&#x20AC;&#x2030;â&#x2C6;&#x2C6;â&#x20AC;&#x2030;R, erâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;kontinuerlig xa for alle xâ&#x20AC;&#x2030;â&#x2C6;&#x2C6;â&#x20AC;&#x2030;R. PĂĽ den samme mĂĽten som ovenfor kan vi vise at alle polynomfunksjoner P er kontinuerlige for alle xâ&#x20AC;&#x2030;â&#x2C6;&#x2C6;â&#x20AC;&#x2030;R. Grafen blir derfor sammenhengende, og vi kan finne grenseverdier ved innsetting.

52

02 Sinus R1 (2018) kap2 teori.indd 52

lim P( x)  P(a)

xa

2 â&#x20AC;˘ Derivasjon

24.05.2018 09:47:55


Alle polynomfunksjoner er kontinuerlige funksjoner. Grafene er dermed sammenhengende, og vi kan finne grenseverdier ved innsetting.

EKSEMPEL





Regn ut lim 2 x 2  3x  4 . x3

LĂ&#x2DC;SNING:





lim 2 x 2  3x  4  2  32  3  3  4  18  9  4  23 x3

For en rasjonal funksjon er funksjonsuttrykket en brøk med polynom i telleren og i nevneren. Funksjonenâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;gitt ved

f ( x) 

2x 1 x 1

er en rasjonal funksjon. Den har definisjonsmengden D f  ď&#x201A;Ą \ 1. y 5

f

4

f(2) f(x) 3 2 1 â&#x20AC;&#x201C;2 â&#x20AC;&#x201C;1 â&#x20AC;&#x201C;1

1

2x 3

x 4 5

â&#x20AC;&#x201C;2

Ifølge grenseverdisetningene er

 2 x  1 2  2  1 2 x  1 lim x2    f (2) x  2 x 1 lim  x  1 2 1

lim f ( x)  lim x2

x2

Funksjonen er dermed kontinuerlig for x = 2. La a â&#x2C6;&#x2C6; D f . Da er a â&#x2030;  1, og vi kan regne slik:

 2 x  1 2a  1 2 x  1 xlim a    f (a) x  a x 1 a 1 lim  x  1

lim f ( x)  lim

xa

xa

Dermed har vi vist at lim f ( x)  f (a), ogâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;er altsĂĽ kontinuerlig for alle xa

a â&#x2C6;&#x2C6; D f . Grafen er dermed sammenhengende for alle a â&#x2030; 1.

53

Book Sinus R1 2018.indb 53

18.05.2018 10:20:50


Tilsvarende gjelder for alle rasjonale funksjoner. En rasjonal funksjon er kontinuerlig i alle punkter der nevneren ikke er lik null. Dermed kan vi finne grenseverdier for rasjonale funksjoner ved innsetting hvis nevneren ikke blir 0.

EKSEMPEL

x2  1 . x  2 x  3

Regn ut lim LĂ&#x2DC;SNING:

Nevneren er ikke null nĂĽr x  2, og vi finner derfor grenseverdien ved innsetting. x 2  1  2   1 4  1 lim   5 x  2 x  3 2  3 1 2

OPPGAVE 2.10

Regn ut. a) lim  2 x  3 b) lim x 2 + x  2 x2

x  2





c) lim x3  2 x  3 x0





x 3 x 1 x  1 2

d) lim

NĂĽ skal vi se pĂĽ en funksjonstype som ikke trenger ĂĽ vĂŚre kontinuerlig. La funksjonenâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;vĂŚre gitt ved

 x 2  2, x  1 f ( x)    2 x  5, x  1

Vi sier at funksjonen har et delt funksjonsuttrykk. Nür vi skal regne ut funksjonsverdier, bruker vi funksjonsuttrykket x 2 + 2 for alle x som er mindre enn 1, og uttrykket 2 x  5 nür x er større enn eller lik 1. Etter dette blir

54

Book Sinus R1 2018.indb 54

f (1)   1  2  1  2  3 f (0)  02  2  2 f (1)  2 1  5  3 f (2)  2  2  5  1 2

2 â&#x20AC;˘ Derivasjon

18.05.2018 10:20:55


Vi regner ut noen funksjonsverdier til og samler dem i en tabell. x

â&#x2C6;&#x2019;2

â&#x2C6;&#x2019;1

0

1

2

3

fâ&#x20AC;&#x2030;(x)

6

3

2

3

1

â&#x2C6;&#x2019;1

NĂĽ tegner vi grafen tilâ&#x20AC;&#x201E;f. y 6 5 4 3 2 1

x

â&#x20AC;&#x201C;3 â&#x20AC;&#x201C;2 â&#x20AC;&#x201C;1 â&#x20AC;&#x201C;1

1

2 3

4 5 f

â&#x20AC;&#x201C;2

Det kan se ut som grafen henger sammen for x = 1. Det undersøker vi ved regning pĂĽ denne mĂĽten: Først finner vi ut hva som skjer med funksjonsverdiene nĂĽr x nĂŚrmer seg 1 og er mindre enn 1. Vi skriver at x  1 . Se figuren til venstre nedenfor. Vi ser at fâ&#x20AC;&#x2030;(x) nĂŚrmer seg 3. Vi skriver





lim f ( x)  lim x 2  2  12  2  3

x  1

x 1

y

f(x)

y

6 5

6 5

4 3

4 3

f(x)

2 1

1

x

â&#x20AC;&#x201C;3 â&#x20AC;&#x201C;2 â&#x20AC;&#x201C;1 1 â&#x20AC;&#x201C;1 x â&#x20AC;&#x201C;2

2 3

4 5 f

2

â&#x20AC;&#x201C;3 â&#x20AC;&#x201C;2 â&#x20AC;&#x201C;1 â&#x20AC;&#x201C;1

â&#x20AC;&#x201C;2

x 1 2 3 x

4 5 f

Deretter undersøker vi hva som skjer med funksjonsverdiene nĂĽr x nĂŚrmer seg 1 og er større enn 1. Vi skriver at x  1 . Se figuren til høyre ovenfor. OgsĂĽ nĂĽ nĂŚrmer fâ&#x20AC;&#x2030;(x) seg 3. Det regner vi ut pĂĽ denne mĂĽten:

lim f ( x)  lim  2 x  5   2 1  5  3

x  1

x 1

55

Book Sinus R1 2018.indb 55

18.05.2018 10:20:57


I tillegg er

f (1)  2 1  5  3

Vi ser at grenseverdiene lim f ( x) og lim f ( x) samt funksjonsverdienâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x2030;(1) x 1

x 1

er like. Det er det som skal til for at funksjonen skal vĂŚre kontinuerlig i delingspunktet x = 1. En funksjonâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;med delt forskrift er kontinuerlig i delingspunktet x = a hvis

lim f ( x)  lim f ( x)  f (a)

x  a

xa

EKSEMPEL

Funksjonenâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;er gitt ved x2  2 x  1, f ( x)   2  x  6 x  2, x  2 a) Undersøk om funksjonenâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;er kontinuerlig for x = 2. b) Tegn grafen tilâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;uten hjelpemiddel. c) Tegn grafen tilâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;digitalt.

LĂ&#x2DC;SNING:

a) Vi regner ut de to grenseverdiene og funksjonsverdienâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x2030;(2). lim f ( x)  lim  2 x  1  2  2  1  5

x  2

x2





lim f ( x)  lim  x 2  6 x  2  22  6  2  2  6 x2

x2

f (2)  2  2  1  5

De to grenseverdiene er ikke like.

Funksjonenâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;er ikke kontinuerlig for x = 2.

b) Vi har denne funksjonstabellen:

56

02 Sinus R1 (2018) kap2 teori.indd 56

x

0

1

2

3

4

5

fâ&#x20AC;&#x2030;(x)

1

3

5

7

6

3

NĂĽr vi tegner grafen, tar vi ogsĂĽ hensyn til at lim f ( x)  6. x2

2 â&#x20AC;˘ Derivasjon

18.05.2018 12:14:36


y 7 6 5

f

4 3 2 1

x

â&#x20AC;&#x201C;3 â&#x20AC;&#x201C;2 â&#x20AC;&#x201C;1 â&#x20AC;&#x201C;1

1

2 3

4 5

6

Legg merke til hvordan vi markerer delingspunktet pĂĽ grafen. Ettersom f ( x)  2 x  1 nĂĽr x er mindre enn eller lik 2, hører punktet der x = 2, med pĂĽ den rette linja. Vi markerer derfor det punktet med ] pĂĽ grafen. Punktet der x = 2, skal ikke vĂŚre med pĂĽ den høyre delen av grafen. Punktet er derfor markert med en â&#x2020;? der. c) I algebrafeltet i GeoGebra skriver vi Dersom (x â&#x2030;¤ 2, 2x + 1, -x2 + 6x - 2) Tegnet â&#x2030;¤ finner vi pĂĽ tastaturet . Vi kan ogsĂĽ skrive <= og fĂĽ fram tegnet â&#x2030;¤. Det gir dette funksjonsuttrykket: 

    

 

Grafen ser nĂĽ slik ut:

 



   

  



    





















OPPGAVE 2.11

Undersøk om funksjonenâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;er kontinuerlig i delingspunktet, og tegn deretter grafen. 2  x  1, x  2  2 x  4, x  1 a) f ( x)   b) f ( x)   2  x  4 x  3, x  1  x  5, x  2

57

Book Sinus R1 2018.indb 57

18.05.2018 10:21:02


OPPGAVE 2.12

Funksjonenâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;er gitt ved

7  x, x  2 f ( x)  10  x, x  2 

a) Tegn grafen tilâ&#x20AC;&#x201E;f. Kan du avgjøre ut fra grafen om funksjonen er kontinuerlig i x = 2? b) Finn ut ved regning om funksjonen er kontinuerlig i x = 2. OPPGAVE 2.13

En funksjonâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;er gitt ved at

  x 2  4 x, x  1  f ( x)  2, x 1  x 2  4 x  6, x  1 

a) Vis at funksjonenâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;ikke er kontinuerlig for x = 1. b) Hva mĂĽâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x2030;(1) vĂŚre for at funksjonen skal bli kontinuerlig for x = 1?

2.2 Noen spesielle grenseverdier Funksjonenâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;gitt ved

f ( x) 

x2  2 x  8 2x  4

er ikke definert for x = 2 fordi nevneren da blir lik null. Det er ikke mulig ĂĽ regne ut f (2) . Definisjonsmengden er

D f  ď&#x201A;Ą \ 2

Grafen tilâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;har et bruddpunkt for x = 2. y 5 4 3 2 1 â&#x20AC;&#x201C;5 â&#x20AC;&#x201C;4 â&#x20AC;&#x201C;3 â&#x20AC;&#x201C;2 â&#x20AC;&#x201C;1

58

Book Sinus R1 2018.indb 58

x 1

2 3

4 5

2 â&#x20AC;˘ Derivasjon

18.05.2018 10:21:06


Av grafen ser det ut til at hvis vi velger x nĂŚr 2, vil fâ&#x20AC;&#x2030;(x) bli nĂŚr 3. Vi kan fĂĽ fâ&#x20AC;&#x2030;(x) sĂĽ nĂŚr 3 vi vil hvis vi bare velger x nĂŚr nok 2. Vi skriver

f ( x) â&#x2020;&#x2019; 3 nĂĽr x â&#x2020;&#x2019; 2

eller

lim f ( x)  3 x2

Dette skal vi nĂĽ vise ved regning. I funksjonsuttrykket

x2  2 x  8 2x  4

er bĂĽde telleren og nevneren null nĂĽr x = 2. Da er  x  2  en faktor bĂĽde i telleren og i nevneren. Ettersom  2   4  2 og  2   4  8, er

x2  2 x  8   x  2  x  4

Videre er

2x  4  2  x  2

NĂĽ finner vi grenseverdien pĂĽ denne mĂĽten:

!

 x  2   x  4 x2  2 x  8 x4 24  lim  lim  3 x2 x2 x2 2x  4 2 2 2   x  2

lim f ( x)  lim x2

Merk at vi mĂĽ ha med lim i hvert ledd helt til vi setter inn x = 2 i telleren. xâ&#x2020;&#x2019;2

Metoden ovenfor kan vi bruke i alle brøkuttrykk der büde telleren og nevneren er polynomer som nÌrmer seg null. Grenseverdien av et rasjonalt uttrykk der büde telleren og nevneren er polynomer som gür mot null, finner vi ved ü faktorisere og forkorte uttrykket.

EKSEMPEL

Finn grenseverdien

x2  1 x  1 x2  x  2

lim

LĂ&#x2DC;SNING:

BĂĽde telleren og nevneren nĂŚrmer seg null nĂĽr x nĂŚrmer seg 1, og  x  1 er derfor en faktor i bĂĽde telleren og nevneren.

59

Book Sinus R1 2018.indb 59

18.05.2018 10:21:10


Telleren faktoriserer vi ved hjelp av den tredje kvadratsetningen.

x 2  1   x  1  x  1

Ettersom 2   1  1 og 2   1  2, er

x 2  x  2   x  2   x  1

Vi fĂĽr

 x  1  x  1 x2  1 x  1 1 1 2  lim  lim   x  1 x2  x  2 x 1 x 1 x  2 1 2 3  x  2   x  1

lim

Grenseverdien lim â&#x20AC;&#x2030;xx ++ 12 kan vi finne ved innsetting fordi nevneren ikke er x â&#x2020;&#x2019;1 null nĂĽr x = 1.

OPPGAVE 2.20

Finn grenseverdiene. 3x 2  12 2 x2  2 a) lim b) lim x2 x  1 x  1 x2 x2  5x  6 2 x 2  10 x  8 d) lim x3 x 1 2x  2 x3

c) lim

OPPGAVE 2.21

Finn grenseverdiene. 2x  4 2 x2  2 a) lim 2 b) lim 2 x  2 x  2x x 1 x  2x  3 x2  x  6 x2  5x  4 d) lim 2 2 x2 x 1 x  2x  3 x 4

c) lim

OPPGAVE 2.22

Funksjonenâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;er gitt ved

f ( x) 

2 x3  6 x 2  4 x x 2  3x  2

Finn grenseverdiene. a) lim f ( x) b) lim f ( x) x â&#x2020;&#x2019;1

60

Book Sinus R1 2018.indb 60

xâ&#x2020;&#x2019;2

2 â&#x20AC;˘ Derivasjon

18.05.2018 10:21:16


2.3 Derivasjon PĂĽ kurset 1T lĂŚrte vi ĂĽ finne den momentane vekstfarten til en funksjon ved hjelp av en grenseverdi. Vi repeterer tankegangen ved hjelp av denne figuren: y 8

f

7

f(x + â&#x2C6;&#x2020;x)

f(x)

6 5

Tangent

B

4 3

â&#x2C6;&#x2020;y = f(x + â&#x2C6;&#x2020;x) â&#x20AC;&#x201C; f(x)

A

2

â&#x2C6;&#x2020;x

1

â&#x20AC;&#x201C;4 â&#x20AC;&#x201C;3 â&#x20AC;&#x201C;2 â&#x20AC;&#x201C;1 â&#x20AC;&#x201C;1

Sekant

1

2

â&#x20AC;&#x201C;2

4 5 6 7 x + â&#x2C6;&#x2020;x x

x 8

9 10 11 12 13 14

Vi skal finne vekstfarten i punktet A pĂĽ grafen. Punktet A har koordinatene

 x, f ( x )  .

Først lar vi B vĂŚre et punkt pĂĽ grafen nĂŚr punktet A. La koordinatene til B vĂŚre  x  x, f ( x  x) , der â&#x2C6;&#x2020;x er et lite tall. Se figuren ovenfor. Linja gjennom A og B kaller vi en sekant for grafen tilâ&#x20AC;&#x201E;f. Den gjennomsnittlige vekstfarten tilâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;i intervallet  x, x  x  er det samme som stigningstallet til denne sekanten. Stigningstallet er

a

y f ( x  x)  f ( x)  x x

NĂĽ lar vi â&#x2C6;&#x2020;x â&#x2020;&#x2019; 0. Da vil den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet  x, x  x  nĂŚrme seg vekstfarten i punktet A. Den er dermed gitt ved

lim

x  0

f ( x  x)  f ( x) x

NĂĽr â&#x2C6;&#x2020;x â&#x2020;&#x2019; 0, vil sekanten gjennom punktene A og B nĂŚrme seg tangenten til grafen i punktet A. Grenseverdien ovenfor gir stigningstallet til denne tangenten. Vi kaller grenseverdien den deriverte avâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;og skriver

f ( x)  lim

x  0

f ( x  x)  f ( x) x

61

02 Sinus R1 (2018) kap2 teori.indd 61

24.05.2018 09:48:41


Symbolet f ′( x) leser vi «f derivert av x». Vi har disse tolkningene av den deriverte: 1 f ′( x) gir vekstfarten til f i punktet ( x, f (x)) på grafen. 2 f ′( x) gir stigningstallet for tangenten til grafen i punktet ( x, f (x)) . Grenseverdien på forrige side eksisterer ikke alltid for alle verdier av x. Vi sier at f er deriverbar for x = a hvis grenseverdien eksisterer når x = a, altså når grenseverdien

lim

x  0

f (a  x)  f (a) x

eksisterer. I dette uttrykket går nevneren mot null, og da vet vi at telleren også må gå mot null hvis grenseverdien skal eksistere. Da må

lim f (a  x)  f (a)

x  0

Når vi setter x  a  x , ser vi at det er det samme som at

lim f ( x)  f (a)

xa

Dette er kravet for at f skal være kontinuerlig for x = a. Dermed har vi vist at hvis f skal være deriverbar for x = a, må f være kontinuerlig i det punktet. På side 57 tegnet vi denne grafen: y 7 6 5

f

4 3 2 1 –3 –2 –1 –1

x 1

2 3

4 5

6

Funksjonen kan ikke være deriverbar for x = 2, for funksjonen er ikke kontinuerlig i punktet. Vi har denne regelen: f er deriverbar for x = a ⇒  f er kontinuerlig for x = a

62

Book Sinus R1 2018.indb 62

2 • Derivasjon

18.05.2018 10:21:21


Men den omvendte implikasjonen er ikke riktig: Selv om en funksjon er kontinuerlig, trenger den ikke være deriverbar. Ettersom den deriverte i et punkt er stigningstallet til tangenten i punktet, må grafen ha en entydig tangent hvis den skal være deriverbar. Vi kan altså ikke ha flere mulige tangenter i punktet hvis funksjonen skal være deriverbar der. På side 55 tegnet vi grafen til en funksjon og viste at den var kontinuerlig for x = 1. y 6 5 4 3 2 1

x

–3 –2 –1 –1

1

2 3

4 5 f

–2

I punktet 1, 3 kan vi trekke mange rette linjer som tangerer grafen. Funksjonen kan dermed ikke være deriverbar for x = 1. OPPGAVE 2.30

En funksjon f har denne grafen: y 6 5 4 3

f

2 1 –4 –3 –2 –1

x 1

2 3

4

a) For hvilke verdier av x er funksjonen f ikke kontinuerlig? b) For hvilke verdier av x er f ikke deriverbar? OPPGAVE 2.31

a) Tegn grafen til en funksjon som ikke er kontinuerlig for x = 1, og kontinuerlig men ikke deriverbar for x = 3. b) Tegn grafen til en funksjon som er kontinuerlig og deriverbar for x = 1, kontinuerlig og ikke deriverbar for x = 2 og verken kontinuerlig eller deriverbar for x = 3.

63

Book Sinus R1 2018.indb 63

18.05.2018 10:21:23


Den deriverte av en funksjonâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;gir stigningstallet for tangenter. NĂĽr vi skal finne likningen for en tangent, bruker vi ettpunktsformelen: Ei rett linje gjennom punktet  x0 , y0  med stigningstallet a har likningen

y  y0  a   x  x0 

Hvis linja er en tangent for grafen til en funksjonâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;i punktet

 x0 , f ( x0 ) , er stigningstallet

a  f ( x0 )

PĂĽ kurset 1T lĂŚrte vi ĂĽ finne den deriverte ved hjelp av definisjonen. NĂĽÂ repeterer vi metoden ved hjelp av et eksempel. EKSEMPEL

Funksjonenâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;er gitt ved

f ( x)  x 2  2 x

a) Finn f â&#x20AC;˛(3) ved hjelp av definisjonen og digitalt.

b) Finn likningen for tangenten i  3, f (3)  uten og med hjelpemiddel. c) Tegn grafen tilâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;og tangenten. LĂ&#x2DC;SNING:

a) Definisjonen av den deriverte gir



 

 3  x   2   3  x   32  2  3 f (3  x)  f (3) f (3)  lim  lim x  0 x  0 x x 2

9  6x   x   6  2x   9  6  lim 3  4x   x   3  lim 2



2

x

x  0

x  0

x

4x   x   4  x   x  lim 4  x  4  0  4  lim   x  0 x  0 x  0 x x 2

 lim

I GeoGebra finner vi den deriverte slik: 

64

Book Sinus R1 2018.indb 64

 

2 â&#x20AC;˘ Derivasjon

18.05.2018 10:21:26


b) NĂĽr x = 3, er y  f (3)  32  2  3  3

Tangenten gĂĽr dermed gjennom punktet  3, 3. Stigningstallet til tangenten er

a  f (3)  4

Ettpunktsformelen gir tangentlikningen. y  y0  a   x  x0 

y  3  4   x  3 y  4 x  12  3 y  4x  9

Vi skriver Tangent(3, f ) enten i algebrafeltet eller i CAS.  

c) I grafikkfeltet finner vi nĂĽ grafen og tangenten. 

 

   

  





  













OPPGAVE 2.32

Funksjonenâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;er gitt ved

f ( x)  2 x 2  x

a) Finn f â&#x20AC;˛(1) ved hjelp av definisjonen og digitalt. b) Finn likningen for tangenten i 1, f (1)  uten og med hjelpemiddel. c) Tegn grafen tilâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;og tangenten. OPPGAVE 2.33

Funksjonenâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;er gitt ved

f ( x) = x3

a) Finn f â&#x20AC;˛(2) ved hjelp av definisjonen og digitalt. b) Finn likningen for tangenten i  2, f (2)  uten og med hjelpemiddel. c) Tegn grafen tilâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;og tangenten.

65

Book Sinus R1 2018.indb 65

18.05.2018 10:21:29


2.4 Derivasjon av polynomer PĂĽ vg1 lĂŚrte vi ĂĽ derivere noen funksjoner uten ĂĽ bruke definisjonen av den deriverte. Hvis c er en konstant, er

 c   0

 x   1

 x   2 x

 x   3x I kapittel 4.8 viser vi at formelen  x   n  x 2

3

2

n

n 1

gjelder for alle reelle tall n,

büde hele tall, brøker og irrasjonale tall.

 x   n  x n

n 1

PĂĽ vg1 brukte vi ogsĂĽ disse reglene som vi beviser pĂĽ slutten av dette delkapittelet: For alle deriverbare funksjoner u og v og for alle konstanter k er

 u ( x)  v( x)   u( x)  v( x)  k  u ( x)   k  u( x)

Ved hjelp av reglene ovenfor kan vi derivere alle polynomer. EKSEMPEL

Finn f â&#x20AC;˛( x) nĂĽr a) f ( x)  3x  2 b) f ( x) = 2 x3 c) f ( x)  3x 2  2 x  3 d) f ( x)  x3  2 x 2  4 x  5 LĂ&#x2DC;SNING:

a) f ( x)   3x  2   3  0  3

    c) f ( x)   3x  2 x  3  3  2 x  2  0  6 x  2 d) f ( x)   x  2 x  4 x  5   3x  2  2 x  4  0  3x b) f ( x)  2 x3   2  x3   2  3x 2  6 x 2 2

3

66

Book Sinus R1 2018.indb 66

2

2

2

 4x  4

2 â&#x20AC;˘ Derivasjon

18.05.2018 10:21:34


Ved hjelp av derivasjonsreglene kan vi finne vekstfart og tangentlikninger for alle polynomfunksjoner uten hjelpemiddel. EKSEMPEL

Vi har gitt funksjonen

f ( x)   x 2  4 x  1

a) Finn f â&#x20AC;˛( x). b) Finn vekstfarten nĂĽr x = 1. c) Finn likningen for tangenten i punktet 1, f (1) . d) Tegn grafen og tangenten. LĂ&#x2DC;SNING:

a) f ( x)   x 2  4 x  1 f ( x)  2 x  4 b) Vekstfarten nĂĽr x = 1 er f (1)  2 1  4  2 c) NĂĽr x = 1, er y  f (1)  12  4 1  1  4

Stigningstallet til tangenten er

a  f (1)  2

Ettpunktsformelen gir tangentlikningen.

y  4  2   x  1 y  4  2 x  2 y  2x  2 d) NĂĽ tegner vi grafen og tangenten: y 6

y = 2x + 2

5 4 3

f

2 1 â&#x20AC;&#x201C;2 â&#x20AC;&#x201C;1 â&#x20AC;&#x201C;1

x 1

2 3

4 5

â&#x20AC;&#x201C;2

â&#x20AC;&#x201C;3

67

Book Sinus R1 2018.indb 67

18.05.2018 10:21:37


OPPGAVE 2.40

Deriver funksjonene. a) f ( x)  2 x  1 b) f ( x) = x5

c) f ( x) 

2 3 3 2 x  x 7 3 2

OPPGAVE 2.41

Deriver funksjonene. a) f ( x)  x 2  3x  6 b) g ( x)  4 x3  5 x 2  2 x  1 c) s (t )  t 4  4t 2  2t  3 OPPGAVE 2.42

Funksjonenâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;er gitt ved

f ( x)  x 2  3x  2

a) Finn f â&#x20AC;˛( x). b) Finn vekstfarten for x = 3. c) Finn likningen for tangenten i  3, f (3) . d) Tegn grafen og tangenten. OPPGAVE 2.43

Funksjonenâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;er gitt ved

1 5 f ( x)  x3  x 2  x  3 3

a) Finn f â&#x20AC;˛( x). b) Finn vekstfarten for x = 1. c) Finn likningen for tangenten i punktet 1, f (1) . d) Grafen har en tangent som er parallell med tangenten i oppgave c. Finn likningen for denne tangenten. e) Tegn grafen og de to tangentene.

I praktiske oppgaver har ofte vekstfarten en konkret tolkning. EKSEMPEL

Høyden av et tre i centimeter t ür etter at frøet spirte, er gitt ved

h(t )  

1 3 t  2t 2 , t   0, 40 30

Finn høyden og vekstfarten til treet etter 10 ür büde uten og med hjelpemiddel.

68

Book Sinus R1 2018.indb 68

2 â&#x20AC;˘ Derivasjon

18.05.2018 10:21:42


LĂ&#x2DC;SNING:

Høyden etter 10 ür er h(10)  

1 103  2 102  167 30

Treet er 167 cm høyt etter 10 ür. Den deriverte er h(t )  

1 1  3t 2  2  2t   t 2  4t 30 10

Dermed er h(10)  

1 102  4 10  10  40  30 10

Vekstfarten er 30 cm per ĂĽr etter 10 ĂĽr. Vi gĂĽr fram pĂĽ denne mĂĽten i CAS: 1

        



2

  

3

 

Etter 10 ür er høyden 167 cm og vekstfarten 30 cm per ür.

OPPGAVE 2.44

Folketallet i en kommune om x ür er ifølge beregninger gitt ved

B( x)  6 x 2  120 x  2400, x   0, 15

a) Finn folketallet i dag, om 5 ür og om 10 ür. b) Finn vekstfarten for folketallet i dag, om 5 ür og om 10 ür. Nür tror du folketallet er pü sitt høyeste ut fra denne modellen?

69

Book Sinus R1 2018.indb 69

18.05.2018 10:21:44


BEVIS

Bevis for at (u(x) + v(x))' = u'(x) + v'(x), og at (k ¡ u(x))' = k ¡ u'(x)

Først setter vi f ( x)  u ( x)  v( x), der u og v er deriverbare funksjoner. SĂĽ bruker vi definisjonen av f â&#x20AC;˛( x) og grenseverdisetningene fra kapittel 2.1. f ( x  x)  f ( x) x u ( x  x)  v( x  x)   u ( x)  v( x)   lim x  0 x u ( x  x)  v( x  x)  u ( x)  v( x)  lim x  0 x u ( x  x)  u ( x)  v( x  x)  v( x)  lim x  0 x (  )  ( ) v( x  x)  v( x)  u x  x u x   lim    x  0 x x   u ( x  x)  u ( x) v( x  x)  v( x)  lim  lim x  0 x  0 x x  u( x)  v( x)

f ( x)  lim

x  0

Vi har nĂĽ bevist at  u ( x)  v( x)   u( x)  v( x). Denne regelen gjelder ogsĂĽ for en sum av flere deriverbare funksjoner. Med f ( x)  k  u ( x) der k er en konstant, fĂĽr vi f ( x  x)  f ( x) x k  u ( x  x)  k  u ( x)  lim x  0 x  u ( x  x)  u ( x)   lim  k   x  0 x   u ( x  x)  u ( x)  k  lim x  0 x  k  u( x)

f ( x)  lim

x  0

NĂĽ har vi vist at  k  u ( x)   k  u( x).

70

Book Sinus R1 2018.indb 70

2 â&#x20AC;˘ Derivasjon

18.05.2018 10:21:47


2.5 Funksjonsdrøfting På vg1 lærte vi om toppunkter og bunnpunkter. Et toppunkt er et punkt på en graf der funksjonsverdien er større enn funksjonsverdiene i nabopunktene. Et bunnpunkt er et punkt på en graf der funksjonsverdien er mindre enn funksjonsverdiene i nabopunktene. Et ekstremalpunkt er enten et toppunkt eller et bunnpunkt. Grafen nedenfor har toppunktet 1, 4  og bunnpunktet  3, 2 . y 6 5

Toppunkt (1, 4)

Maksimalverdi 4 3 Minimalverdi 2 Bunnpunkt (3, 2)

1 –4 –3 –2 –1 –1 –2

1

x

2 3

4 5 6 7 8 Minimalpunkt Maksimalpunkt

Vi kaller x-verdien til toppunktet for et maksimalpunkt og y-verdien for en maksimalverdi. Funksjonen ovenfor har maksimalpunktet x = 1 og maksimalverdien y = 4. På tilsvarende måte kaller vi x-verdien til bunnpunktet for et minimalpunkt og y-verdien for en minimalverdi. Funksjonen ovenfor har minimalpunktet x = 3 og minimalverdien y = 2. Vi ser av grafen ovenfor at maksimalverdien ikke trenger å være den største verdien, og at minimalverdien ikke trenger å være den minste verdien. Funksjonen ovenfor har ingen største eller minste verdi. En funksjon f er voksende i et intervall dersom en større x-verdi i intervallet alltid gir en større funksjonsverdi. Funksjonen f er dermed voksende hvis

x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )

Funksjonen er minkende dersom en større x-verdi alltid gir en mindre funksjonsverdi. Funksjonen f er minkende hvis

x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )

Funksjonen ovenfor er voksende når x < 1 og når x > 3, altså i intervallet ←,1 og i 3, → . Den er minkende når 1 < x < 3, altså i intervallet 1, 3 . Dette kaller vi monotoniegenskapene til funksjonen.

71

02 Sinus R1 (2018) kap2 teori.indd 71

24.05.2018 09:49:22


5

y

4 3

A

C

B

2 1 –2 –1

x 1

2 3

4

5

6

Vi har tegnet tangenter i punktene A, B og C. I punktet A har tangenten negativt stigningstall, og da må funksjonen f være minkende rundt punktet. I punktet C har tangenten positivt stigningstall, og da må f være voksende i en omegn om punktet. Ettersom f ′( x) gir stigningstallet til tangentene, kan vi bruke f ′( x) til å finne ut om funksjonen vokser eller minker. Funksjonen vokser der f ( x)  0, og minker der f ( x)  0. Generelt har vi denne sammenhengen for en deriverbar funksjon f : f ( x)  0 i et intervall ⇒ f er voksende i intervallet f ( x)  0 i et intervall ⇒ f er minkende i intervallet I punktet B  3, 2  har grafen en horisontal tangent, og da er f (3)  0. Dermed er x = 3 et stasjonært punkt for f. Det stasjonære punktet er her et minimalpunkt. I et stasjonært punkt x = a er f (a )  0. Grafen har da en horisontal tangent i punktet  a, f (a) . Et stasjonært punkt vil som oftest være et maksimalpunkt eller et minimalpunkt. Funksjonen med grafen nedenfor har tre stasjonære punkter: x  2, x = 0 og x = 2. y f

6 5 4 3 2 1 –4 –3 –2 –1 –1

x 1

2 3

4 5

–2 –3 –4

72

Book Sinus R1 2018.indb 72

2 • Derivasjon

18.05.2018 10:21:56


Funksjonen pĂĽ forrige side har maksimalpunktet x  2 og minimalpunktet x = 2. Vi ser at f â&#x20AC;˛( x) skifter fortegn i disse x-verdiene. Punktet x = 0 er et stasjonĂŚrt punkt som verken er maksimalpunkt eller minimalpunkt. Funksjonen er minkende pĂĽ begge sidene av x = 0, og f â&#x20AC;˛( x) er dermed negativ pĂĽ begge sidene av punktet. Et slikt punkt pĂĽ grafen der f ( x)  0 uten at f â&#x20AC;˛( x) skifter fortegn, kaller vi et terrassepunkt. En kontinuerlig funksjonâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;har altsĂĽ ekstremalpunkter der f â&#x20AC;˛( x) skifter fortegn. Hvisâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;er kontinuerlig og f â&#x20AC;˛( x) skifter fortegn i x = a , er x = a et maksimalpunkt eller et minimalpunkt forâ&#x20AC;&#x201E;f. Den deriverte trenger ikke vĂŚre null for at vi skal ha et ekstremalpunkt. y f

3 2 1

(1, 1)

â&#x20AC;&#x201C;2 â&#x20AC;&#x201C;1 0 1

x 2 3

4

Funksjonen ovenfor har et maksimalpunkt x = 1, men f â&#x20AC;˛(1) er ikke lik null. Det fins ingen entydig tangent i punktet, og funksjonen er dermed ikke deriver­bar i punktet, f â&#x20AC;˛(1) eksisterer ikke. EKSEMPEL

Funksjonenâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;er gitt ved

1 f ( x)  x3  2 x 2  3x  1 3

a) Finn toppunktet og bunnpunktet tilâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;ved regning. b) Bestem monotoniegenskapene tilâ&#x20AC;&#x201E;f. c) Tegn grafen tilâ&#x20AC;&#x201E;f. LĂ&#x2DC;SNING:

a) Vi derivererâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;og fĂĽr 1 f ( x)   3x 2  2  2 x  3  x 2  4 x  3 3

Andregradsformelen gir at f ( x)  0 nĂĽr x = 1 og nĂĽr x = 3. Det er de stasjonĂŚre punktene tilâ&#x20AC;&#x201E;f.

73

Book Sinus R1 2018.indb 73

18.05.2018 10:22:02


Vi faktoriserer f â&#x20AC;˛( x) og lager fortegnslinje for f â&#x20AC;˛( x).

f ( x)   x  1  x  3 â&#x20AC;&#x201C;1

0

1

xâ&#x20AC;&#x201C;1

2

3

4

5

x

0

xâ&#x20AC;&#x201C;3

0 0

f'(x)

0

f

Under fortegnslinja for f â&#x20AC;˛( x) har vi tegnet en veldig grov skisse av grafen tilâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;der vi utnytter atâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;vokser der f ( x)  0 og minker der f ( x)  0.

Skissen viser atâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;har et maksimalpunkt x = 1.

1 1 7 y  f (1)  13  2 12  3 1  1   2  3  1  3 3 3

Funksjonen har et minimalpunkt x = 3.

1 y  f (3)   33  2  32  3  3  1  9  18  9  1  1 3

Funksjonen har toppunktet ( 1,

7 3

) og bunnpunktet ( 3, 1) .

b) Monotoniegenskapene finner vi ut fra fortegnslinja i oppgave a.

Funksjonen er voksende nĂĽr x  1 og nĂĽr x  3. Funksjonen er minkende nĂĽr 1  x  3.

c) Nür vi nü skal tegne grafen, merker vi først av toppunktet og bunnpunktet. I tillegg regner vi ut funksjonsverdier i noen punkter. Det gir denne grafen: y 7

f

6 5 4 3 2 1 â&#x20AC;&#x201C;4 â&#x20AC;&#x201C;3 â&#x20AC;&#x201C;2 â&#x20AC;&#x201C;1 â&#x20AC;&#x201C;1

x 1

2 3

4 5

6

â&#x20AC;&#x201C;2

74

Book Sinus R1 2018.indb 74

â&#x20AC;&#x201C;3

2 â&#x20AC;˘ Derivasjon

18.05.2018 10:22:06


OPPGAVE 2.50

Lag fortegnslinje for f ′ når f har denne grafen: y 8 7 6 5 4 3 2 1

x

–3 –2 –1 –1

1 2

3

4

5

–2 –3 –4 OPPGAVE 2.51

Skisser grafen til f når f ′ har denne fortegnslinja: –1

a)

0

1

–4

–2

0

4

2

0

f’(x) –4

c)

3

5

x

0

f’(x)

b)

2

f’(x)

–2 0

4

x

4

x

0 0

2 0

0

OPPGAVE 2.52

Finn toppunkt, bunnpunkt og monotoniegenskapene til f ved regning, og tegn deretter grafen til f. a) f ( x)  x 2  4 x  1 b) f ( x)   x 2  2 x  5 c) f ( x)  x3  3x OPPGAVE 2.53

Finn toppunkt, bunnpunkt og monotoniegenskapene til f ved regning. a) f ( x)  2 x3  9 x 2  6 b) f ( x)  2 x3  3x 2  36 x  5 c) f ( x)  x 4  2 x 2  2

75

Book Sinus R1 2018.indb 75

18.05.2018 10:22:09


Når vi skal finne ut om et stasjonært punkt er et maksimalpunkt eller et minimalpunkt, er det helt nødvendig å vise at den deriverte skifter fortegn. Det er ikke nok å vise at den deriverte er lik 0. Noen ganger er et slikt stasjonært punkt verken et maksimalpunkt eller et minimalpunkt. Det kan være et terrassepunkt. EKSEMPEL

Finn stasjonære punkter til funksjonen f gitt ved

f ( x)  x3  3x 2  3x  1

og undersøk om de stasjonære punktene er maksimalpunkter eller minimalpunkter. Tegn deretter grafen til f. LØSNING:

Først deriverer vi funksjonen.

f ( x)  3x 2  6 x  3

De stasjonære punktene er punkter der

f ( x)  0 3x 2  6 x  3  0

Andregradsformelen gir x = 1. Funksjonen har det stasjonære punktet x = 1. Nå faktoriserer vi f ′( x). Ettersom andregradsuttrykket bare har ett nullpunkt, må vi ta med det nullpunktet to ganger når vi faktoriserer uttrykket.

f '( x)  3  x  1  x  1  3  x  1

2

Vi ser at f ( x)  0 for alle x. Dermed skifter ikke f ′( x) fortegn i det stasjonære punktet. Punktet er da ikke noe toppunkt eller bunnpunkt. Grafen ser slik ut: y 5

f

4 3 2 1 –2 –1 –1

x 1

2 3

4

Grafen har en horisontal tangent i punktet 1, 2 , men punktet er likevel ikke noe toppunkt eller bunnpunkt. Det er et terrassepunkt.

76

Book Sinus R1 2018.indb 76

2 • Derivasjon

18.05.2018 10:22:12


OPPGAVE 2.54

Finn ved regning eventuelle topp- eller bunnpunkter for funksjonen f gitt ved

f ( x)  x3  6 x 2  12 x  10

OPPGAVE 2.55

Finn ved regning eventuelle topp- eller bunnpunkter for funksjonen f gitt ved

f ( x)  3x 4  4 x3

2.6 Krumning og vendepunkter Den deriverte til funksjonen gitt ved

f ( x)  x 4  5 x 2  6 x  1

er

f ( x)  4 x3  10 x  6

Nå kan vi derivere funksjonen f ′. Vi får da funksjonen f ′′, som vi kaller den andrederiverte av f eller den dobbeltderiverte til f.

f ( x)  12 x 2  10

Hvis vi deriverer den andrederiverte f ′′, får vi den tredjederiverte f ′′′.

f ( x)  24 x

Vi finner den fjerdederiverte f ( 4) ved å derivere den tredjederiverte.

f ( 4) ( x) = 24 f ( 5) ( x) = 0

Slik kan vi fortsette. Legg merke til at vi skriver den n-te deriverte som f ( n ) når n ≥ 4. OPPGAVE 2.60

Regn ut f ′( x), f ′′( x), f ′′′( x) og f ( 4) ( x) . a) f ( x)  x 2  2 x  1 b) f ( x)  x3  x 2  2 x  1 c) f ( x)  2 x 4  3x3  2 x 2  3x  2

77

Book Sinus R1 2018.indb 77

18.05.2018 10:22:18


Nedenfor har vi tegnet grafen til funksjonen gitt ved f ( x)  x3  6 x 2  9 x

y 5 4

C

T

f

3 V

2 1 –1

–1

x

B 1

2

3

4

5

–2 –3 –4 A –5

Vi skal studere krumningen til grafen. Grafen til f vender den hule siden nedover fra punktet A og til punktet V. Da sier vi at funksjonen er konkav. Den hule siden vender oppover fra V til C. Funksjonen er da konveks. Punktet V kaller vi vendepunktet for funksjonen. Det er vanskelig å finne vendepunktet nøyaktig uten regning. Hvordan gjør vi det? Vi undersøker hvordan vekstfarten f ′( x) varierer langs grafen. Når vi flytter oss fra punktet A mot vendepunktet V, så minker vekstfarten f ′( x). Funksjonen f ′ er dermed minkende nøyaktig i det intervallet der den hule siden vender ned. Men f ′( x) er minkende der den deriverte av f ′( x), som er f ′′( x), er negativ. Altså er f ( x)  0 i det området der grafen vender den hule siden ned. I området fra vendepunktet V til punktet C øker vekstfarten f ′( x). Funksjonen f ′ er dermed voksende nøyaktig i det intervallet der grafen vender den hule siden opp. Men da er f ( x)  0 i intervallet. La oss finne vendepunktet til f ( x)  x3  6 x 2  9 x ved regning.

f ( x)  3x 2  12 x  9 f ( x)  6 x  12

Den hule siden vender ned der f ( x)  0. Det gir

6 x  12  0 6 x  12 x2

Ut fra dette må den hule siden vende ned når x < 2. Det stemmer godt med grafen ovenfor.

78

Book Sinus R1 2018.indb 78

2 • Derivasjon

18.05.2018 10:22:23


Når vi løser ulikheten f ( x)  0, finner vi at den hule siden vender opp når x > 2. Etter dette må f ′′( x) skifte fortegn i vendepunktet V. Hvis f ′′( x) er kontinuerlig, kan vi dermed finne vendepunktet ved å løse likningen f ( x)  0.

f ( x)  0 6 x  12  0 6 x  12 x2

Andrekoordinaten til vendepunktet er

y  f (2)  23  6  22  9  2  2

Vendepunktet har dermed koordinatene  2, f (2)    2, 2 . Krumning finner vi på denne måten: f ( x)  0 i et intervall ⇒  f vender den hule siden opp i intervallet f ( x)  0 i et intervall ⇒  f vender den hule siden ned i intervallet For å huske hvilken vei grafen snur, kan vi bruke denne huskeregelen: Positiv andrederivert gir blid graf: Negativ andrederivert gir sur graf: Vendepunktene er de punktene der krumningen skifter. Dermed finner vi dem slik: Et vendepunkt er et punkt på grafen til f der f ′′( x) skifter fortegn. Hvis f ′′ er kontinuerlig, er f ( x)  0 i vendepunktet. Vi kan bruke f ′′( x) til å avgjøre om et stasjonært punkt er et toppunkt eller et bunnpunkt. Da slipper vi å lage fortegnslinje for f ′( x). Hvis f (a )  0 og f (a)  0, vender den hule siden ned i punktet. Det stasjonære punktet må da være et toppunkt. Hvis f (a )  0 og f (a)  0, vender den hule siden opp. Det stasjonære punktet må da være et bunnpunkt. f (a )  0 og f (a)  0 ⇒  a, f (a)  er et toppunkt

f (a )  0 og f (a)  0 ⇒  a, f (a)  er et bunnpunkt

79

Book Sinus R1 2018.indb 79

18.05.2018 10:22:31


EKSEMPEL

Funksjonenâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;er gitt ved

f ( x)   x3  3x 2  1

a) Finn toppunktet og bunnpunktet tilâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;uten hjelpemiddel. b) Bestem krumningen og vendepunktet tilâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;uten hjelpemiddel. c) Finn likningen til tangenten i vendepunktet uten hjelpemiddel. d) Tegn grafen tilâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;og tangenten uten hjelpemiddel. LĂ&#x2DC;SNING:

a) Vi finner først f â&#x20AC;˛( x) og f â&#x20AC;˛â&#x20AC;˛( x). f ( x)  3x 2  6 x f ( x)  6 x  6

Først finner vi de stasjonÌre punktene.

f ( x)  0 3x 2  6 x  0 3x  x  2   0 3x  0  x  2  0 x  0 x  2

SĂĽ regner vi ut funksjonsverdien og den andrederiverte i punktene.

f (0)  03  3  02  1  1 3 2 f (2)  2  3  2  1  8  12  1  3 f (0)  6  0  6  6 f (2)  6  2  6  6

Ettersom f (0)  0, vender grafen den hule siden opp nĂĽr x = 0. Da mĂĽ  0, f (0)    0,  1 vĂŚre et bunnpunkt.

Ettersom f (2)  0, vender grafen den hule siden ned nĂĽr x = 2. Da er  2, f (2)    2, 3 et toppunkt.

Funksjonen f har bunnpunktet  0, 1 og toppunktet  2, 3 .

b) Ettersom f â&#x20AC;˛â&#x20AC;˛ er kontinuerlig, er f ( x)  0 i et eventuelt vendepunkt. f ( x)  0 6 x  6  0 6 x  6 x 1

80

Book Sinus R1 2018.indb 80

Dermed kan x = 1 gi et vendepunkt. Men f â&#x20AC;˛â&#x20AC;˛( x) mĂĽ i tillegg skifte fortegn i x = 1. Det viser vi ved ĂĽ tegne fortegnslinja til f â&#x20AC;˛â&#x20AC;˛( x).

2 â&#x20AC;˘ Derivasjon

18.05.2018 10:22:38


â&#x20AC;&#x201C;3

â&#x20AC;&#x201C;2

â&#x20AC;&#x201C;1

0

1

2

3

4

5

x

0

fâ&#x20AC;&#x2122;â&#x20AC;&#x2122;(x) f

Den andrederiverte skifter fortegn for x = 1. Funksjonsverdien er

f (1)  13  3 12  1  1  3  1  1

Funksjonen har vendepunktet 1, f (1)   1, 1 .

Skissen viser ogsĂĽ dette:

Grafen vender den hule siden opp nĂĽr x  1 og ned nĂĽr x  1.

c) Tangenten i vendepunktet 1, 1 har stigningstallet a  f (1)  3 12  6 1  3

Ettpunktsformelen gir tangentlikningen.

y  1  3   x  1 y  1  3x  3 y  3x  2 d) Når vi skal tegne grafen for hånd, plasserer vi først vendepunktet, toppunktet og bunnpunktet. Da ser vi at vi trenger å bestemme ett punkt til venstre for bunnpunktet og ett til høyre for toppunktet. f (1)    1  3   1  1  1  3  1  3 3

2

f (3)  33  3  32  1  27  27  1  1

Vi plasserer disse punktene og trekker grafen. Til slutt tegner vi tangenten. y 4 3 2 1 â&#x20AC;&#x201C;1

â&#x20AC;&#x201C;1

x 1

2

3

4

â&#x20AC;&#x201C;2

â&#x20AC;&#x201C;3

f

81

Book Sinus R1 2018.indb 81

18.05.2018 10:22:41


Tangenten i vendepunktet kaller vi vendetangenten. Den har en spesiell egenskap: Den krysser grafen. I eksempelet foran ligger tangenten under grafen til venstre for tangeringspunktet og over grafen til høyre for tangeringspunktet.

!

Når vi tegner en graf, er det svært viktig at nullpunkter, toppunkter, bunnpunkter og vendepunkter blir plassert riktig. Videre må vi passe på at krumningen er riktig. Husk at krumningen bare kan skifte i vendepunktene. Det kan være lurt å tegne grafen fra et vendepunkt til neste vendepunkt i én bevegelse for å få riktig krumning. OPPGAVE 2.61

Lag ei fortegnslinje for f ′′ når f har denne grafen. y 7

f

6 5 4 3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1 –1

x 1

2

3

4

5

–2 –3

OPPGAVE 2.62

Skisser grafen til f ut fra fortegnslinja til f ′′. a) –1 0 1 2 3 4 5 x 0

f’’(x)

b)

–3 –2 –1 0 f’’(x)

0

1

2

3

x

0

OPPGAVE 2.63

Funksjonen f er gitt ved

f ( x)  2 x 2  3x  2

a) Finn toppunktet eller bunnpunktet til f uten hjelpemiddel. b) Bestem krumningen til f uten hjelpemiddel.

82

Book Sinus R1 2018.indb 82

2 • Derivasjon

18.05.2018 10:22:42


OPPGAVE 2.64

Funksjonenâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;er gitt ved

f ( x)   x3  3x 2

a) Finn nullpunktene uten hjelpemiddel. b) Finn toppunktet og bunnpunktet tilâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;uten hjelpemiddel. c) Bestem krumningen og vendepunktet tilâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;uten hjelpemiddel. d) Finn likningen til tangenten i vendepunktet uten hjelpemiddel. e) Tegn grafen tilâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;og tangenten uten hjelpemiddel.

Oppgaven i eksempelet pü side 80 kan vi ogsü løse digitalt. EKSEMPEL

Funksjonenâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;er gitt ved

f ( x)   x3  3x 2  1

a) Finn toppunktet og bunnpunktet tilâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;i CAS. b) Bestem vendepunktet tilâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;i CAS. c) Finn likningen til tangenten i vendepunktet i CAS. d) Tegn grafen tilâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;og tangenten digitalt. LĂ&#x2DC;SNING:

a) I CAS gĂĽr vi fram slik: T 1 2

   Løs: 

3

 

4

 

5



6

  

7



8

  

I rad 5 üpnet vi menyen øverst og trykte pü tekst i raden. Tilsvarende gjorde vi i rad 7.

. Da kan vi skrive en

83

Book Sinus R1 2018.indb 83

18.05.2018 10:22:44


b) Vi finner vendepunktet slik:  

9

Her trenger vi ikke kontrollere at f â&#x20AC;˛â&#x20AC;˛( x) skifter fortegn, for det gjør programvaren for oss.

c)

10

 

d) NĂĽ trykker vi pĂĽ sirkelen foran tangentlikningen og fĂĽr tegnet tangenten sammen med grafen.       









  















OPPGAVE 2.65

Funksjonenâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;er gitt ved

f ( x)  x 4  6 x 2

a) Finn nullpunktene tilâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;i CAS. b) Finn toppunktene og bunnpunktene i CAS. c) Bestem vendepunktene tilâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;i CAS. d) Finn likningene for vendetangentene digitalt. e) Tegn grafen tilâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;og tangentene digitalt.

84

Book Sinus R1 2018.indb 84

2 â&#x20AC;˘ Derivasjon

18.05.2018 10:22:44


2.7 Størst og minst En funksjonâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;trenger ikke ha den største verdien i et toppunkt eller den minste verdien i et bunnpunkt. Den trenger heller ikke ha noen største eller minste verdi. Men dersomâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;er kontinuerlig ogâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;har definisjonsmengden D f   a, b , harâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;alltid en største verdi og en minste verdi. Det er enten i et ekstremalpunkt eller i et av endepunktene x = a eller x = b . Den største verdien til en funksjon kaller vi maksimumsverdien. Den minste verdien heter minimumsverdien. Hvis grafen tilâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;ser ut som vist nedenfor, harâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;minimumsverdien i endepunktet x = a og maksimumsverdien i toppunktet. y Maksimumsverdi

Minimumsverdi a

x

b

Legg merke til at minimumsverdien til en funksjon er den absolutt minste verdien til en funksjon. Minimalverdien er funksjonsverdien i et bunnpunkt. Tilsvarende gjelder for maksimumsverdi og maksimalverdi. EKSEMPEL

En sommerdag var temperaturen i celsiusgrader x timer etter midnatt gitt ved

3 21 T ( x)   x 2  x  50, x  8, 20 8 2

a) Finn ved regning nür temperaturen var høyest. Hva var temperaturen da? b) Nür var temperaturen lavest, og hva var temperaturen da?

85

Book Sinus R1 2018.indb 85

18.05.2018 10:22:46


LĂ&#x2DC;SNING:

a) Den deriverte er 3 21 3 21 T ( x)    2 x   x 8 2 4 2 Det stasjonĂŚre punktet er bestemt ved at T ( x)  0 3 21  x  0 | 4 4 2 3x  42  0 3x  42 42 x 3 x  14

NĂĽ lager vi fortegnslinje for T'. 8 T â&#x20AC;&#x2122;(x)

10

12

14

16

18

20

x

0

T

Grafen viser at T har sin største verdi for x = 14. Den største verdien er

3 21 T (14)   142  14  50  23, 5 8 2

Maksimumsverdien er dermed 23,5.

Temperaturen var høyest kl. 14. Den var da 23,5 °C.

b) Grafskissen i oppgave a viser at funksjonen mĂĽ ha sin minste verdi for x = 8 eller for x = 20. Temperaturen for disse verdiene er 3 21 T (8)    82   8  50  10 8 2 21 3 2 T (20)    20   20  50  10 8 2

86

Book Sinus R1 2018.indb 86

Funksjonen har den minste verdien 10 bĂĽde for x = 8 og for x = 20. Minimumsverdien er 10.

Temperaturen var lavest kl. 8 og kl. 20. Den var da 10 °C.

2 â&#x20AC;˘ Derivasjon

18.05.2018 10:22:49


EKSEMPEL

En funksjonâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;er gitt ved

1 f ( x)  x3  x 2  2, x   2, 3 3

a) Finn topp- og bunnpunktet tilâ&#x20AC;&#x201E;f. b) Finn maksimumsverdien og minimumsverdien. LĂ&#x2DC;SNING:

a) Vi deriverer funksjonen og lager fortegnslinje. 1 f ( x)   3x 2  2 x  x 2  2 x  x   x  2  3 â&#x20AC;&#x201C;2

â&#x20AC;&#x201C;1

x

0

1

3 x

0

xâ&#x20AC;&#x201C;2 fâ&#x20AC;&#x2122;(x)

2

0 0

0

f

Funksjonen har maksimalpunktet x = 0. Maksimalverdien er

y = f= (0) 2

Funksjonen har minimalpunktet x = 2. Minimalverdien er

1 8 2 y  f (2)   23  22  2   4  2  3 3 3 Funksjonen har toppunktet ( 0, 2) og bunnpunktet ( 2,

2 3

).

b) Grafskissen i oppgave a viser at funksjonen har sin største verdi i toppunktet eller i endepunktet x = 3. Funksjonsverdien i endepunktet er 1 y  f (3)   33  32  2  9  9  2  2 3 Den største verdien er dermed 2, som funksjonen oppnår både i maksimal­punktet og i endepunktet. Funksjonen har den minste verdien i bunnpunktet eller i endepunktet x  2. Verdien i det endepunktet er 1 8 14 3 2 f (2)    2    2   2    4  2   3 3 3

Den minste verdien er dermed -â&#x20AC;&#x2030;14 . 3

Funksjonen har maksimumsverdien 2 og minimumsverdien -â&#x20AC;&#x2030;14 . 3

87

Book Sinus R1 2018.indb 87

18.05.2018 10:22:53


OPPGAVE 2.70

Funksjonenâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;er gitt ved

f ( x)   x 2  4 x  5 , x   0, 5

a) Finn ekstremalpunktet tilâ&#x20AC;&#x201E;f. b) Finn maksimumsverdien og minimumsverdien forâ&#x20AC;&#x201E;f. OPPGAVE 2.71

Folketallet i en kommune om x ür er ifølge beregninger gitt ved

B( x)  6 x 2  120 x  2400, x   0, 15

a) Finn ekstremalpunktet til funksjonen B uten hjelpemidler. b) Finn maksimumsverdien og minimumsverdien. c) Tegn grafen til B.

I et vendepunkt gür vekstfarten over fra ü øke til ü minke, eller fra ü minke til ü øke. Vekstfarten vil derfor ofte ha sin største eller minste verdi i et vendepunkt. Vekstfarten til en funksjon har ofte den største eller den minste verdien i et vendepunkt. Hvis definisjonsmengden er et lukket intervall  a, b , kan funksjonen ogsü ha den største eller minste vekstfarten for x = a eller x = b .

EKSEMPEL

Et ür fant en kjøpmann ut at inntekten I(t) i kroner per müned t müneder etter 1. januar var gitt ved funksjonen

I (t )  200t 3  4200t 2  24 000t  100 000, Dt =  0,12

NĂĽr vokste inntekten raskest? Hvor mye vokste inntekten per mĂĽned da? LĂ&#x2DC;SNING:

Vi finner den dobbeltderiverte til I.

I (t )  600t 2  8400t  24 000 I (t )  1200t  8400

I (t )  0 nĂĽr

88

Book Sinus R1 2018.indb 88

12t  84  0 84 7 t 12

2 â&#x20AC;˘ Derivasjon

18.05.2018 10:22:56


Vi lager nĂĽ fortegnslinje for I". 0

2

4

6

8

10

12 t

0

Iâ&#x20AC;&#x2122;â&#x20AC;&#x2122;(t) I

Vekstfarten er størst i vendepunktet t = 7. Det svarer til 1. august. Vekstfarten er da

I (7)  600  7 2  8400  7  24 000  5400

Inntekten øker raskest 1. august. Inntekten er da i ferd med ü øke med 5400 kr per müned.

OPPGAVE 2.72

Høyden h(x) av en solsikke i centimeter etter x dager er gitt ved formelen

h( x )  

1 3 9 2 x  x , x   0, 90 1200 80

a) Finn høyden etter 30 dager. b) Lag fortegnslinje for h' og finn monotoniegenskapene til h. c) Finn vekstfarten etter 30 dager. d) Nür vokser solsikken fortest, og hvor raskt vokser den da? e) Tegn grafen til h. OPPGAVE 2.73

Antallet dyr i en bestand om t ĂĽr er gitt ved

B(t )  3t 3  45t 2  144t  1000,

t   0, 11

a) Finn toppunktet og bunnpunktet til B. b) Finn maksimumsverdien og minimumsverdien for bestanden. c) NĂĽr minker bestanden fortest, og hvor mye minker bestanden per ĂĽr da?

89

Book Sinus R1 2018.indb 89

18.05.2018 10:22:58


SAM­M EN­DRAG Kontinuerlige funksjoner Hvis en funksjon er kontinuerlig, er grafen en sammenhengende kurve. Funksjonenâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;er kontinuerlig for x = a dersom fâ&#x20AC;&#x2030;(a) eksisterer og

lim f ( x)  f (a)

xa

For kontinuerlige funksjoner finner vi dermed grenseverdier ved innsetting i funksjonsuttrykket. Alle polynomfunksjoner er kontinuerlige. Alle rasjonale funksjoner er kontinuerlige i de punktene der nevneren ikke er lik null. Grenseverdisetningene Dersom lim f ( x) og lim g ( x) eksisterer, gjelder grenseverdisetningene: xâ&#x2020;&#x2019;a

xâ&#x2020;&#x2019;a

lim  f ( x)  g ( x)   lim f ( x)  lim g ( x)

xa

xa

xa

lim  f ( x)  g ( x)   lim f ( x)  lim g ( x) xa

xa

xa

lim k  f ( x)  k  lim f ( x)

xa

lim

xa

xa

der k er en konstant

f ( x) f ( x) xlim a  hvis lim g ( x)  0 xa g ( x) lim g ( x) xa

Grenseverdier av rasjonale uttrykk Grenseverdien av et rasjonalt uttrykk der bĂĽde telleren og nevneren er polynomer som gĂĽr mot null, finner vi ved ĂĽ faktorisere og forkorte uttrykket. Funksjoner med delt funksjonsuttrykk En funksjonâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;med delt funksjonsuttrykk er kontinuerlig i delingspunktet x = a hvis fâ&#x20AC;&#x2030;(a) eksisterer og

lim f ( x)  lim f ( x)  f (a)

x  a

xa

Derivert En funksjonâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;er deriverbar hvis grenseverdien nedenfor eksisterer.

f ( x  x)  f ( x) x f â&#x20AC;˛( x) gir vekstfarten tilâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;i punktet  x, f ( x)  pĂĽ grafen.

f â&#x20AC;˛( x) gir stigningstallet for tangenten til grafen i punktet  x, f ( x) .

90

Book Sinus R1 2018.indb 90

f ( x)  lim

x  0

2 â&#x20AC;˘ Derivasjon

18.05.2018 10:23:02


Derivasjonsregler

 ax  b   a  x n   n  x n  1

 u ( x)  v( x)   u( x)  v( x)  k  u ( x)   k  u( x)

Toppunkt og bunnpunkt Hvisâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;er kontinuerlig og f â&#x20AC;˛( x) skifter fortegn i et punkt, er punktet et toppunkt eller et bunnpunkt forâ&#x20AC;&#x201E;f.

f (a)  0 og f (a)  0 â&#x2021;&#x2019;  a, f (a)  er et toppunkt f (a)  0 og f (a)  0 â&#x2021;&#x2019;  a, f (a)  er et bunnpunkt

Monotoniegenskaper

f ( x)  0 i et intervall â&#x2021;&#x2019; â&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;er voksende i intervallet f ( x)  0 i et intervall â&#x2021;&#x2019; â&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;er minkende i intervallet

Krumning

 rafen tilâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;vender den hule siden opp f ( x)  0 i et intervall â&#x2021;&#x2019; G i intervallet

 rafen tilâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;vender den hule siden ned f ( x)  0 i et intervall â&#x2021;&#x2019; G i intervallet

Vendepunkt Et vendepunkt er et punkt pĂĽ grafen tilâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;der f â&#x20AC;˛â&#x20AC;˛( x) skifter fortegn. Hvis f â&#x20AC;˛â&#x20AC;˛ er kontinuerlig, er f ( x)  0 i vendepunktet. Vekstfarten tilâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;har ofte den største eller den minste verdien i et vendepunkt.

91

Book Sinus R1 2018.indb 91

18.05.2018 10:23:08


3 Rasjonale funksjoner og potensfunksjoner MÅL for opplæringen er at eleven skal kunne

92

Book Sinus R1 2018.indb 92

finne likningene for horisontale og vertikale asymptoter til rasjonale funksjoner og tegne asymptotene

bruke formler for den deriverte til potens-, eksponential- og logaritmefunksjoner og derivere summer, differanser, produkter, kvotienter og sammensetninger av disse funksjonene

3 • Rasjonale funksjoner og potensfunksjoner

18.05.2018 10:23:09


3.1 Vertikale asymptoter På vg1 lærte vi litt om vertikale og horisontale asymptoter. I de to neste delkapitlene skal vi gå grundigere inn på dette stoffet. La funksjonen f være gitt ved

f ( x) =

P( x) Q( x)

der P og Q er to polynomfunksjoner. I kapittel 2.1 fant vi ut at hvis Q(a) ≠ 0, er

lim f ( x) 

xa

P(a) Q(a)

Hvis Q(a ) = 0 og P(a) = 0, så vet vi fra kapittel 2.2 at vi kan forkorte brøken. Deretter kan vi som oftest finne lim f ( x). x→a

Men hva skjer om Q(a) = 0 og P(a) ≠ 0? For å finne ut av det ser vi på funksjonen

f ( x) 

x 1 , D f   \ 2 x2

Når x = 2, blir telleren lik 1 og nevneren lik 0. Da kan vi ikke regne ut f (2). Vi ser på noen funksjonsverdier der x er litt større enn 2. 2,1  1 1,1   11 2,1  2 0,1 2, 01  1 1, 01   101 f (2, 01)  2, 01  2 0, 01 2, 001  1 1, 001   1001 f (2, 001)  2, 001  2 0, 001 f (2,1) 

Funksjonen vokser over alle grenser når x nærmer seg 2, og er litt større enn 2. I matematikk bruker vi symbolet ∞ for uendelig og skriver

f ( x)   når x  2

Nå regner vi ut noen funksjonsverdier når x er litt mindre enn 2. 1, 9  1 0, 9   9 1, 9  2 0,1 1, 99  1 0, 99  f (1, 99)   99 1, 99  2 0, 01 1, 999  1 0, 999 f (1, 999)    999 1, 999  2 0, 001 f (1, 9) 

93

03 Sinus R1 (2018) kap3 teori.indd 93

24.05.2018 09:50:21


Vi finner ut at

f ( x)   nĂĽr x  2

Vi ser atâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x2030;(x) gĂĽr enten mot +â&#x2C6;&#x17E; eller mot â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; nĂĽr x nĂŚrmer seg 2. Dette skriver vi ogsĂĽ slik:

f ( x)   nĂĽr x  2

Vi tegner grafen tilâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;sammen med den rette linja x = 2 i et koordinatsystem. y 6 5 4 3 2

f

1

x

â&#x20AC;&#x201C;3 â&#x20AC;&#x201C;2 â&#x20AC;&#x201C;1 â&#x20AC;&#x201C;1

1

2 3

4 5

6

7

â&#x20AC;&#x201C;2 â&#x20AC;&#x201C;3 â&#x20AC;&#x201C;4

Grafen nĂŚrmer seg den vertikale linja x = 2 nĂĽr x nĂŚrmer seg 2. Vi sier at x = 2 er en vertikal asymptote. En funksjonâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;har en vertikal asymptote x = a dersom f ( x)   nĂĽr x â&#x2020;&#x2019; a. Funksjonen

f (x) =

P( x) Q( x)

har en vertikal asymptote x = a hvis Q(a) = 0 og P(a) â&#x2030;  0.

EKSEMPEL

En funksjonâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;er gitt ved

f ( x) 

x2  1 , D f  ď&#x201A;Ą \ 1 x 1

Finn den vertikale asymptoten tilâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;og tegn deretter grafen.

94

03 Sinus R1 (2018) kap3 teori.indd 94

3 â&#x20AC;˘ Rasjonale funksjoner og potensfunksjoner

18.05.2018 12:23:18


LĂ&#x2DC;SNING:

Først finner vi nullpunktet til nevneren.

x 1  0 x 1

NĂĽr x =â&#x20AC;&#x2030;1, er telleren x2 + 1 lik 2. Den er ikke 0. Dermed vil

f ( x)   nĂĽr x â&#x2020;&#x2019; 1

Linja x =â&#x20AC;&#x2030;1 er en vertikal asymptote forâ&#x20AC;&#x201E;f . NĂĽ tegner vi grafen tilâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;og linja x =â&#x20AC;&#x2030;1. y 12 10 f

8 6 4 2 â&#x20AC;&#x201C;4 â&#x20AC;&#x201C;3 â&#x20AC;&#x201C;2 â&#x20AC;&#x201C;1 â&#x20AC;&#x201C;2

x 2 3

4 5

6

â&#x20AC;&#x201C;4 â&#x20AC;&#x201C;6 â&#x20AC;&#x201C;8

EKSEMPEL

En funksjonâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;er gitt ved

f ( x) 

x2  x  2 , D f  ď&#x201A;Ą \ 2 x2

Undersøk omâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;har vertikale asymptoter, og tegn deretter grafen. LĂ&#x2DC;SNING:

Vi finner nullpunktet til nevneren:

x20 x2

Nür vi setter inn x = 2 i telleren, blir ogsü den lik null. Vi faktoriserer telleren og für

x 2  x  2   x  2   x  1

95

Book Sinus R1 2018.indb 95

18.05.2018 10:23:18


Dermed er

 x  2    x  1 x2  x  2  lim  lim  x  1  2  1  3 x2 x2 x2 x2  x  2

lim f ( x)  lim x2

Funksjonen nĂŚrmer seg ikke Âąâ&#x2C6;&#x17E; nĂĽr x â&#x2020;&#x2019; 2, og x = 2 er derfor ikke noen vertikal asymptote. Funksjonenâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;har ingen vertikale asymptoter. Av utregningene av grenseverdien ser vi at f ( x)  x 1 nĂĽr x â&#x2030; Â 2. NĂĽr x = 2, er fâ&#x20AC;&#x2030;(x) ikke definert. Det gir denne grafen: y 6 5

f

4 3 2 1 â&#x20AC;&#x201C;3 â&#x20AC;&#x201C;2 â&#x20AC;&#x201C;1 â&#x20AC;&#x201C;1

x 1

2 3

4 5

6

â&#x20AC;&#x201C;2

OPPGAVE 3.10

Undersøk om funksjonenâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;har en vertikal asymptote, og tegn deretter grafen tilâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;digitalt. x 3x  3 a) f ( x)  b) f ( x)  x3 2x  2 x2  x  2 x2  x  2 c) f ( x)  d) f ( x)  x 1 x 1

Noen funksjoner kan ha mer enn ĂŠn vertikal asymptote. EKSEMPEL

Finn de vertikale asymptotene og tegn grafen til funksjonenâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;gitt ved

96

Book Sinus R1 2018.indb 96

f ( x) 

2 x2  3 , D f  ď&#x201A;Ą \ 2, 2 x2  4

3 â&#x20AC;˘ Rasjonale funksjoner og potensfunksjoner

18.05.2018 10:23:21


LØSNING:

Først finner vi nullpunktene til nevneren.

x2  4  0 x2  4 x  2

Telleren 2 x 2 - 3 er lik 5 når x = ±2. Den er ikke lik 0. Da vil

2 x2  3   x2  4

både når x → 2 og når x → -2. Funksjonen f har de to vertikale asymptotene x = 2 og x = -2. Funksjonen har denne grafen: y 6 5 4 3

f

2 1 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

x 1

2 3

4 5

6

–2

OPPGAVE 3.11

Finn de vertikale asymptotene til f ved regning når x2 2 x  4 a) f ( x)  2 b) f ( x)  2 x  2x  3 x  3x  2 c) f ( x) 

2x  2 x  2x  1 2

OPPGAVE 3.12

Funksjonen f er gitt ved

f ( x) 

x 1 x  x6 2

a) Finn nullpunktet til f. b) Finn de vertikale asymptotene til f. c) Tegn grafen.

97

Book Sinus R1 2018.indb 97

18.05.2018 10:23:23


3.2 Horisontale og skrĂĽ asymptoter I kapittel 3.1 fant vi den vertikale asymptoten til funksjonenâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;gitt ved

f ( x) 

x 1 , D f  ď&#x201A;Ą \ 2 x2

NĂĽ skal vi se at funksjonen ogsĂĽ har en horisontal asymptote. Det kan vi finne ut ved ĂĽ multiplisere med 1x i telleren og nevneren.

f ( x) 

 x  1  1x  x  2

1 x



x x x x

1 

x 2 x

For store tallverdier av x vil

f ( x) 

 1 x

1 1 1

x 2 x

â&#x2030;&#x2C6; 0 og

2 x

â&#x2030;&#x2C6; 0. Da er

1 0 1  1 1 0 1

Grafen tilâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;vil da nĂŚrme seg den horisontale linja y = 1. Linja y = 1 er en horisontal asymptote forâ&#x20AC;&#x201E;f. Vi kan føre utregningene slik:

lim f ( x)  lim

x  

x  

 x  1  1x  x  2

1 x

 lim

x  

1 1 1

x 2 x

 1 0  1  1 1 0 1

I kapittel 3.1 fant vi atâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;har en vertikal asymptote x = 2. Vi tegner nĂĽ de to asymptotene sammen med grafen. y 6 5 4 3 2

f

1 â&#x20AC;&#x201C;3 â&#x20AC;&#x201C;2 â&#x20AC;&#x201C;1 â&#x20AC;&#x201C;1

x 1

2

3

4

5

6

7

â&#x20AC;&#x201C;2 â&#x20AC;&#x201C;3 â&#x20AC;&#x201C;4

!

98

03 Sinus R1 (2018) kap3 teori.indd 98

Nür vi skal tegne en graf for hünd, bør vi alltid tegne asymptotene før vi tegner grafen. Da blir det lettere ü tegne grafen, for vi vet at grafen skal nÌrme seg asymptotene.

3 â&#x20AC;˘ Rasjonale funksjoner og potensfunksjoner

24.05.2018 09:51:08


Linja y = a er en horisontal asymptote for en funksjonâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;dersom lim f ( x)  a eller lim f ( x)  a. x

x  

Som oftest er begge grenseverdiene lik a, men ikke alltid. Den rasjonale funksjonen f (x) = QP((xx)) har en horisontal asymptote hvis graden av telleren er mindre enn eller lik graden av nevneren. NĂĽr vi skal finne asymptoten, multipliserer vi telleren og nevneren med 1n , der n er graden til x nevneren Q( x). EKSEMPEL

Funksjonenâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;er gitt ved

f ( x) 

2 x2  4 x  6 x2  1

a) Finn den horisontale asymptoten uten hjelpemiddel. b) Finn den horisontale asymptoten med hjelpemiddel. c) Tegn grafen og asymptoten digitalt. LĂ&#x2DC;SNING:

a) Den horisontale asymptoten finner vi slik: 2 x2  4 x  6 lim f ( x )  lim  lim x   x   x   x2  1

2 x

2



 4x  6 

x

2



1 

1 x2

1 x2

2 x2 4 x 6 4 6  2  2 2  2 2 200 2 x x x  lim  2   lim x 2 x x   x   1 1 0 1 1 x 1   2 2 2 x x x

Ettersom lim f ( x)  2, har funksjonenâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;en horisontal asymptote x  

y = 2 b) I GeoGebra legger vi inn funksjonsuttrykket og skriver deretter Asymptote( f ). 

 

   

99

Book Sinus R1 2018.indb 99

18.05.2018 10:23:30


c) Vi tegner asymptoten og grafen:     





      

 















EKSEMPEL

En funksjonâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;er gitt ved

f ( x) 

x 1 2 x2  1

Finn den horisontale asymptoten, og tegn grafen tilâ&#x20AC;&#x201E;f. LÃ&#x2DC;SNING:

1 1 1  2 x 1 x  lim x x 2 lim f ( x )  lim  lim x   x   2 x 2  1 x   1 x   1 2 x2  1  2 2 2 x x 00 0  0  20 2

 x  1 





Altså er lim f ( x)  0. x  

Horisontal asymptote: y = 0 Grafen ser slik ut: 2

y

1 â&#x20AC;&#x201C;5 â&#x20AC;&#x201C;4 â&#x20AC;&#x201C;3 â&#x20AC;&#x201C;2 â&#x20AC;&#x201C;1 â&#x20AC;&#x201C;1

1

f 2 3 4

x 5

â&#x20AC;&#x201C;2

100

Book Sinus R1 2018.indb 100

3 â&#x20AC;¢ Rasjonale funksjoner og potensfunksjoner

18.05.2018 10:23:32


OPPGAVE 3.20

Finn eventuelle vertikale og horisontale asymptoter forâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;uten hjelpemiddel. 3x  1 2 x2  1 2x 1 a) f ( x)  b) f ( x)  2 c) f ( x)  2 2x  4 x 1 x  3x  2 OPPGAVE 3.21

En funksjonâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;er gitt ved

f ( x) 

3x 2  3 x2  4

a) Tegn grafen tilâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;digitalt. b) Finn nullpunktene tilâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;uten og med hjelpemiddel. c) Finn alle asymptotene uten og med hjelpemiddel. OPPGAVE 3.22

Finn den horisontale asymptoten til f, og tegn deretter asymptoten og grafen tilâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;digitalt. 2 x2  x 3x 2  2 x  2 a) f ( x)  2 b) f ( x)  2 x2  4 x x 1 c) f ( x) 

x3  2 x 2  1 x2  2 x d) f ( x )  2 x3  x 2  3 x3  x 2  3x

P( x)

Den rasjonale funksjonen f (x) = Q( x) har en horisontal asymptote hvis graden av telleren er mindre enn eller lik graden av nevneren. Nür graden av telleren er 1 større enn graden av nevneren, har funksjonen en skrü asymptote. Nü viser vi hvordan vi finner den. EKSEMPEL

En funksjonâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;er gitt ved

f ( x) 

x2  x  1 , D f  ď&#x201A;Ą \ 1 x 1

a) Finn den skrĂĽ asymptoten uten hjelpemiddel. b) Tegn grafen og asymptotene digitalt. LĂ&#x2DC;SNING:

a) Først utfører vi en polynomdivisjon. Det gir





x 2  x  1 :  x  1  x  2 

1 x 1

101

Book Sinus R1 2018.indb 101

18.05.2018 10:23:36


Dermed er

f ( x)  x  2 

For positive eller negative tall x med stor tallverdi er

f ( x)  x  2 

1 x 1 1 x -1

â&#x2030;&#x2C6; 0. Da er

1  x20 x2 x 1

Grafen nĂŚrmer seg da den rette linja y  x  2. Funksjonen har den skrĂĽ asymptoten

y  x  2 b) I GeoGebra gĂĽr vi fram slik: 

 

 

 

I grafikkfeltet finner vi nĂĽ grafen med asymptoter: 

y

     















  











x 

   

OPPGAVE 3.23

Finn alle asymptotene bĂĽde uten og med hjelpemiddel og tegn grafen tilâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;digitalt. 2 x 2  3x  2 x2 2 x3  x 2 a) f ( x)  b) f ( x)  c) f ( x)  2 x 1 x2 x 1

102

Book Sinus R1 2018.indb 102

3 â&#x20AC;˘ Rasjonale funksjoner og potensfunksjoner

18.05.2018 10:23:39


3.3 Derivasjon av rasjonale funksjoner La funksjonenâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;vĂŚre gitt ved

f ( x) 

x2  x  1 x 1

Hvis vi setter u ( x)  x 2  x  1 og v( x)  x 1, er

f ( x) =

u ( x) v( x)

Vi kan ogsĂĽ skrive

f =

u v

NĂĽ skal vi lĂŚre ĂĽ derivere slike funksjoner. Hvis u og v er to deriverbare funksjoner, har vi denne derivasjonsformelen:  u  u  v  u  v v  v2   Beviset for denne kvotientregelen stĂĽr pĂĽ slutten av kapittel 3.6. EKSEMPEL

Deriver funksjonen

f ( x) 

x2  3 x 1

LĂ&#x2DC;SNING:

x f ( x)  

2







 3    x  1  x 2  3   x  1 



 x  1

2



2 x   x  1  x 2  3 1

 x  1

2



2 x  2 x  x2  3



x2  2 x  3

2

 x  1

 x  1

2

2

103

Book Sinus R1 2018.indb 103

18.05.2018 10:23:42


OPPGAVE 3.30

Deriver uttrykkene. x x +1 b) a) x +1 x 2 2x -1 x 1 c) d) 2x 1 x -1 OPPGAVE 3.31

Deriver funksjonene. x 1 a) f ( x)  2 x 1

b) g ( x) 

x2  3 x2  3

c) h( x) 

x2  2 x  1 x2  x

EKSEMPEL

En funksjonâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;er gitt ved

f ( x) 

2 x 2  3x  3 x 1

a) Finn f â&#x20AC;²( x). b) Finn topp- og bunnpunktet tilâ&#x20AC;&#x201E;f. c) Finn alle asymptotene. d) Tegn asymptotene og grafen tilâ&#x20AC;&#x201E;f. LÃ&#x2DC;SNING:

 2x a) f ( x) 

2







 3x  3    x  1  2 x 2  3x  3   x  1

 x  1

2

 4 x  3   x  1   2 x 2  3x  3 1  2  x  1

104

Book Sinus R1 2018.indb 104



4 x 2  4 x  3x  3  2 x 2  3x  3



2x2  4x

 x  1

 x  1

2

2

3 â&#x20AC;¢ Rasjonale funksjoner og potensfunksjoner

18.05.2018 10:23:45


b) NĂĽ faktoriserer vi f â&#x20AC;˛( x) og lager fortegnslinje. f ( x) 

2 x2  4 x

 x  1

â&#x20AC;&#x201C;2

2

â&#x20AC;&#x201C;1



2x  x  2

 x  1

0

1

2

2

3

4

x

0

2x

0

xâ&#x20AC;&#x201C;2 (x â&#x20AC;&#x201C; 1)2

0 0

f(x)

0

f

Funksjonen har maksimalpunktet x = 0 og minimalpunktet x = 2. Funksjonsverdiene er

2  02  3  0  3 3   3 1 0 1 2  22  3  2  3 8  6  3  5 f (2)  2 1 1 f (0) 

Funksjonen har toppunktet ( 0, -3) og bunnpunktet ( 2, 5) .

Legg merke til at her er minimalverdien 5 større enn maksimalverdien â&#x20AC;&#x201C;3.

c) Nevneren er 0 nĂĽr x = 1. Da er telleren 2 12  3 1  3  2. Den er ikke 0, og dermed har funksjonen den vertikale asymptoten x = 1

Graden av telleren er 1 større enn graden av nevneren. Funksjonen har da en skrü asymptote som vi finner slik:

 2x

2



 3x  3 :  x  1  2 x  1 

2 x2  2 x x  3 x 1 2

2 x 1

105

Book Sinus R1 2018.indb 105

18.05.2018 10:23:48


Når x har en stor tallverdi, blir

f ( x)  2 x  1 

2  2x 1  0  2x 1 x 1

Funksjonen har en skrå asymptote

y  2 x  1 d) Nå tegner vi asymptotene og grafen: y f(x) =

x2 + x – 1 8 x–1 6 4 2

–5 –4 –3 –2 –1 1 –2 A –4 –6

B y = 2x – 1 x 2 3

4

5 6

x=1

–8

OPPGAVE 3.32

Funksjonen f er gitt ved

f ( x) 

x2 x 1

a) Finn nullpunktet ved regning. b) Finn alle asymptotene ved regning. c) Finn bunnpunkter og toppunkter ved regning. d) Tegn asymptotene og grafen til f uten hjelpemiddel. OPPGAVE 3.33

Funksjonen f er gitt ved

f ( x) 

x2  4 x  5 x2

a) Finn definisjonsmengden til f. b) Finn eventuelle nullpunkt ved regning. c) Finn alle asymptotene ved regning. d) Finn bunnpunkter og toppunkter ved regning. e) Tegn asymptotene og grafen til f digitalt.

106

Book Sinus R1 2018.indb 106

3 • Rasjonale funksjoner og potensfunksjoner

18.05.2018 10:23:50


3.4 Potensfunksjoner og rotfunksjoner I kapittel 2 brukte vi derivasjonsformelen

 x   n  x n

n 1

nür n var et naturlig tall. Men formelen gjelder ogsü nür n er et negativt tall, et desimaltall eller en brøk. Det beviser vi i kapittel 4.8. Nü skal vi se pü noen eksempler. EKSEMPEL

Finn f â&#x20AC;˛( x) nĂĽr a) f ( x) = x 2,3

1 1 b) f ( x) = c) f ( x) = 3 x x

LĂ&#x2DC;SNING:

a)

f ( x)  x 2,3  f ( x)  2, 3  x 2,3  1  2, 3x1,3

b) Fra 1T vet vi at

1  an an

Dermed er

1  x 1 x 1 f ( x)  x 1    1  x 1  1   x 2   2 x f ( x) 

 

1  x 3 x3 3 f ( x)  x 3    3  x 3  1  3x 4   4 x

c) f ( x) 

 

EKSEMPEL

La funksjonenâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;vĂŚre gitt ved at

f ( x) = x , Df = [ 0, â&#x2020;&#x2019;â&#x152;Ş

a) Finn f â&#x20AC;˛( x). b) Finn vekstfarten nĂĽr x = 4. c) Finn likningen for tangenten i punktet  4, f (4) . d) Tegn grafen tilâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;og tangenten i et koordinatsystem.

107

Book Sinus R1 2018.indb 107

18.05.2018 10:23:55


LĂ&#x2DC;SNING:

n

a) Fra 1T vet vi at m a n = a m . Dermed er f (= x)

1

= x

2

x1 = x 2

1  12 1 1 1 1 1 x   1    2 2 2 2 x 2 x x b) Vekstfarten nĂĽr x = 4 er f ( x) 

1 12 x 2

f (4) 

1

1



2 4



1 1  22 4

c) Stigningstallet til tangenten i  4, f (4)  er a  f (4) 

Funksjonsverdien er

y = f= (4)

1 4 4 =2

Ettpunktsformelen gir

1   x  4 4 1 y  2  x  1 4 1 y  x 1 4 y2

d) NĂĽ tegner vi grafen og tangenten. y 4 3

f

2 1 x

108

03 Sinus R1 (2018) kap3 teori.indd 108

1

2

3

4

5

6 7

8

9 10

3 â&#x20AC;˘ Rasjonale funksjoner og potensfunksjoner

24.05.2018 09:52:15


I eksempelet foran har vi vist disse derivasjonsreglene: 1  1    x x2  

 x   2 1 x

OPPGAVE 3.40

Finn f â&#x20AC;˛( x) nĂĽr

a) f ( x) = x1,7 b) f ( x) =

1 x5

c) f ( x) = x3

OPPGAVE 3.41

La funksjonenâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;vĂŚre gitt ved at

f ( x) =

1 x2

a) Finn f â&#x20AC;˛( x). b) Finn vekstfarten nĂĽr x = 1. c) Finn likningen for tangenten i punktet 1, f (1) . d) Tegn grafen tilâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;og tangenten digitalt.

EKSEMPEL

Deriver funksjonene. a) f ( x)  3x 2,3  4 x 2,3 b) f ( x)  x3  4 x

c) f ( x) 

x 1 x

LĂ&#x2DC;SNING:

a) f ( x)  3  2, 3x 2,3  1  4   2, 3 x 2,3  1  6, 9 x1,3  9, 2 x 3,3 b) f ( x)  3x 2  4 

c) f ( x) 

 x  1 

1 2 x

 3x 2 

x   x  1 

 x

2

2 x

 x   1

 1   x   x  1  2 x 2 x   x2 x 2x  x  1 x  1   2x x 2x x

x   x  1  x

1 2 x

x  2 x   x  1 2x x

109

Book Sinus R1 2018.indb 109

18.05.2018 10:24:04


EKSEMPEL

Funksjonenâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;er gitt ved

f ( x)  x 

4 x

a) Finn f â&#x20AC;˛( x) og f â&#x20AC;˛â&#x20AC;˛( x). b) Finn topp- og bunnpunkter uten hjelpemiddel. c) Finn alle asymptotene tilâ&#x20AC;&#x201E;f. d) Tegn grafen tilâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;uten hjelpemiddel. LĂ&#x2DC;SNING:

a) f ( x)  x 

4  x  4 x 1  x

f ( x)  1  4   1  x 1  1  1  4 x 2  1 

4 x2

f ( x)  1  4 x 2  f ( x)  0  4   2   x 2  1  8 x 3 

8 x3

b) Først finner vi de stasjonÌre punktene. f ( x)  0 4 1  2  0 | x 2 x x 2  4  0 x2  4 x  2  x  2

NĂĽ regner vi ut funksjonsverdiene og f â&#x20AC;˛â&#x20AC;˛( x) i de stasjonĂŚre punktene. f (2)  2 

4  2  2  4 2

4 224 2 8 8   1 f (2)  3  2  8 f (2)  2 

f (2) 

110

Book Sinus R1 2018.indb 110

8 8  1 23 8

Ettersom f (2)  0, er x  2 et maksimalpunkt. Da f (2)  0, er x = 2 et minimalpunkt. Funksjonen har et toppunkt  2, 4  og et bunnpunkt  2, 4 .

3 â&#x20AC;˘ Rasjonale funksjoner og potensfunksjoner

18.05.2018 10:24:08


c) Da 1x → ±∞ når x → 0, vil også f (x) = x + vertikal asymptote

4 x

→ ±∞. Dermed har f en

x = 0

Ettersom f (x) = x + asymptote

4 x

≈ x + 0 = x når x er stor i tallverdi, har f en skrå

y = x d) Når vi skal tegne grafen uten hjelpemiddel, tegner vi først asymptotene. Deretter plasserer vi topp- og bunnpunktet. Da trenger vi bare regne ut noen få ekstra punkter når vi skal tegne grafen. y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

x 1

2 3

4

5 6

7

–2 –3 –4 –5 –6 –7 –8

–9

OPPGAVE 3.42

Deriver funksjonene. 2 3 2 2 a) f ( x)  x 2  2 x  b) f ( x)  2 x  3  2 c) f ( x)  2   3 x x x x

111

Book Sinus R1 2018.indb 111

18.05.2018 10:24:11


OPPGAVE 3.43

Funksjonen f er gitt ved

f ( x)  x  2 x

a) Finn f ′( x). b) Finn likningen for tangenten til grafen i punktet  4, f (4) . c) Tegn grafen til f og tangenten i et koordinatsystem. OPPGAVE 3.44

Funksjonen f er gitt ved

f ( x)  2 x  1 

2 x

a) Finn f ′( x) og f ′′( x). b) Finn topp- og bunnpunkter uten hjelpemiddel. c) Finn alle asymptotene til f. d) Tegn grafen til f uten hjelpemiddel. OPPGAVE 3.45

Funksjonen f er gitt ved

f ( x) 

x x 1

a) Finn definisjonsmengden til f. b) Finn toppunktet ved regning. c) Tegn grafen til f digitalt.

3.5 Sammensatte funksjoner Funksjonen

f ( x)  x 2  1

kan vi oppfatte som en sammensatt funksjon. Hvis vi setter u ( x)  x 2  1 blir

f ( x) = u ( x)

Funksjonen u ( x)  x 2  1 kaller vi kjernen eller den indre funksjonen. Kvadratrotfunksjonen kaller vi den ytre funksjonen. Hvis vi kaller kvadratrotfunksjonen g, blir

f ( x)  g  u ( x) 

En sammensatt funksjon kan vi alltid skrive på denne måten.

112

03 Sinus R1 (2018) kap3 teori.indd 112

3 • Rasjonale funksjoner og potensfunksjoner

24.05.2018 09:53:42


EKSEMPEL

Funksjonenâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;er gitt ved

f ( x )   2 x  3

3

Skrivâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;som en sammensatt funksjon. LĂ&#x2DC;SNING:

Her er det naturlig ĂĽ velge kjernen

u ( x)  2 x  3

Da blir

f ( x)   u ( x) 

3

OPPGAVE 3.50

Finn en kjerne u(x) og skrivâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;som en sammensatt funksjon.



a) f ( x)  2 x  1 b) f ( x)  x 2  2 x c) f ( x)   2 x  1 2 ,7



3

d) f ( x)  23 x  1

Nür vi skal derivere sammensatte funksjoner, bruker vi kjerneregelen. Vi beviser den pü slutten av dette delkapittelet. Hvis f ( x)  g  u ( x) , sü er

f ( x)  g   u ( x)   u( x)

Det kan vÌre vanskelig ü skjønne innholdet i denne regelen. Det viktige er ü lÌre hvordan vi bruker den. Det er ikke sü vanskelig. EKSEMPEL

Deriver funksjonene ved hjelp av kjerneregelen. 4 a) f ( x)  x 2  1





b) f ( x)   2 x  1

3

c) f ( x)  x 2  1 1 d) f ( x)  2x  1

113

Book Sinus R1 2018.indb 113

18.05.2018 10:24:19


LĂ&#x2DC;SNING:

a) Vi setter kjernen u ( x)  x 2  1. Da er





f ( x)  x 2  1   u ( x) 

4

4

Den ytre funksjonen er g (u ) = u 4. Da er f ( x)  g  u ( x) . NĂĽ er g (u )  u 4   4u 3 og u( x)  2 x. Kjerneregelen gir

 





f ( x)  g   u ( x)   u( x)  4   u ( x)   u( x)  4  x 2  1  2 x 3



3



 8x  x2  1

3

Med litt trening gjør vi dette uten ü bruke u ( x). Da gjør vi det slik:

f ( x) 

 x  1   4   x  1   x  1  4   x  1  2x 4

2

3

2



2

3

2



 8x  x2  1

3

b) Her velger vi kjernen u ( x)  2 x  1. Dermed er f ( x)   2 x  1   u ( x)  3

3

 

Ettersom u 3   3u 2 og u( x)  2, blir

f ( x)  3   u ( x)   u( x)  3   2 x  1  2  6   2 x  1 2

2

2

Dette kan vi ogsü gjøre slik:



f   x    2 x  1

3

  3   2x  1   2x  1  3   2x  1  2  6   2x  1 2

2

2

c) NĂĽ setter vi u ( x)  x 2  1, som gir f ( x)  x 2  1  u ( x)

Fordi

 u  = 2 1u og u( x)  2 x, fĂĽr vi

f ( x) 



Book Sinus R1 2018.indb 114



 u ( x) 

1 1 2x  u( x)   2x   2 2 u ( x) 2 x 1 2 x2  1

x x 1 2

Dette kan vi ogsü gjøre slik: f ( x) 

114







 x2  1  2x

2 x2  1



1 2 x 1 x 2





 x2  1  

1 2 x2  1

 2x

x2  1

3 â&#x20AC;˘ Rasjonale funksjoner og potensfunksjoner

18.05.2018 10:24:27


d) Med u ( x)  2 x  1 blir f ( x) 

Vi vet at

1 1  2 x  1 u ( x)

 u1  = -â&#x20AC;&#x2030;u1

2

og at u( x)  2. Det gir

 1  1 1 2  u( x)   2   f ( x)     2 2 2  u ( x)   2 x  1  2 x  1  u ( x) 

I praksis gjør vi det slik:

1 1 2  1  f ( x)    2 x  1   2     2  2 2  2x  1   2 x  1  2 x  1  2 x  1

OPPGAVE 3.51

Deriver funksjonene. 2 3 a) f ( x)   2 x  3 b) f ( x)  x 2  1 c) f ( x)  x3  5 x



d) f ( x)  2 x  3 e) f ( x) 







2

1 x2  1

NĂĽr vi skal derivere en sum av flere ledd der leddene er sammensatte funksjoner, mĂĽ vi kunne derivere uten ĂĽ bruke u ( x). EKSEMPEL

Deriver funksjonen gitt ved

f ( x) 

LĂ&#x2DC;SNING:

f ( x) 

x

2



 1   2 x  3 2

3

 x  1    2x  3  2

2

3

    2   x  1  2 x  3   4 x  12 x  9   2  4 x   x  1  6   4 x  12 x  9 

2  2  x 2  1  x 2  1   3   2 x  3   2xx  3

2

2

2

2

 4 x3  4 x  24 x 2  72 x  54  4 x3  24 x 2  76 x  54

115

Book Sinus R1 2018.indb 115

18.05.2018 10:24:33


OPPGAVE 3.52

Deriver funksjonene. 4 a) f ( x)  5 x   2 x  1







c) h( x)   3x  1  x 2  3

2

b) g ( x)  3 x 2  2

3



4

OPPGAVE 3.53

Deriver funksjonene.





2

a) f ( x)  x 2  1  x 2  1 b) f ( x) 

1  2x  1 x 3 2

BEVIS

Beviset for kjerneregelen

Vi skal finne f â&#x20AC;˛( x) nĂĽr

f ( x)  g  u ( x) 

Vi forutsetter at g og u er deriverbare og dermed kontinuerlige funksjoner. Videre forutsetter vi at u( x)  0. Da er u ( x  x)  u ( x)  0 nĂĽr â&#x2C6;&#x2020;x er nĂŚr 0. f ( x  x)  f ( x) x g  u ( x  x)   g  u ( x)   lim x  0 x  g  u ( x  x)   g  u ( x)    u ( x  x)  u ( x)   lim x  0  u ( x  x)  u ( x)   x

f ( x)  lim

x  0

 g  u ( x  x)   g  u ( x)  u ( x  x)  u ( x)    lim   x  0 u ( x  x)  u ( x) x   g  u ( x  x)   g  u ( x)  u ( x  x)  u ( x)  lim  lim x  0  x  0 u ( x  x)  u ( x) x Ovenfor multipliserte vi med u ( x  x)  u ( x) i telleren og i nevneren. Deretter brukte vi en grenseverdisetning. NĂĽ setter vi t = u ( x) og t  u ( x  x)  u ( x). Da er u ( x  x)  u ( x)  t  t  t . Ettersom u er kontinuerlig, nĂŚrmer u ( x  x) seg u ( x) nĂĽr â&#x2C6;&#x2020;x â&#x2020;&#x2019; 0. Dermed nĂŚrmer â&#x2C6;&#x2020;t seg 0 nĂĽr â&#x2C6;&#x2020;x â&#x2020;&#x2019; 0. Vi setter inn i uttrykket ovenfor og fĂĽr

f ( x)  lim

t  0

g (t  t )  g (t ) u ( x  x)  u ( x)  lim x  0 t x

Etter definisjonen av derivert er den første grenseverdien lik g â&#x20AC;˛(t ), og den andre er lik uâ&#x20AC;˛( x). Dermed er

116

Book Sinus R1 2018.indb 116

f ( x)  g (t )  u( x)  g   u ( x)   u( x)

3 â&#x20AC;˘ Rasjonale funksjoner og potensfunksjoner

18.05.2018 10:24:40


3.6 Derivasjon av et produkt Funksjonen f ( x)  x 2  x er et produkt av de to funksjonene u ( x) = x 2 og v( x) = x . Vi kan skrive f ( x)  u ( x)  v( x) eller bare f  u  v. NĂĽr vi skal derivere slike funksjoner, bruker vi denne regelen:

 u  v   u  v  u  v Denne formelen kaller vi produktregelen. Vi beviser den pĂĽ slutten av dette delkapittelet. EKSEMPEL

Vi har gitt funksjonen





f ( x )  x 2  1  2 x  3

a) Finn f â&#x20AC;˛( x) ved hjelp av produktregelen. b) Finn f â&#x20AC;˛( x) ved først ĂĽ gange parentesene. LĂ&#x2DC;SNING:

a) Produktregelen gir









f ( x)  x 2  1    2 x  3  x 2  1   2 x  3





 2 x   2 x  3  x 2  1  2

 4x  6x  2x  2  6 x2  6 x  2 2

2

b) Vi ganger parentesene før vi deriverer.





f ( x )  x 2  1  2 x  3  2 x 3  3 x 2  2 x  3 f ( x)  6 x  6 x  2 2

EKSEMPEL

Vi har gitt funksjonen

f ( x)  x 2  x

a) Finn f â&#x20AC;˛( x) ved hjelp av produktregelen. b) Finn f â&#x20AC;˛( x) ved ĂĽ skrive funksjonen som en potensfunksjon.

117

Book Sinus R1 2018.indb 117

18.05.2018 10:24:45


LĂ&#x2DC;SNING:

a) Produktregelen gir

 

f ( x)  x 2   x  x 2   2 x  x  x2 

x2  2x x  2 x

 x 

1 2 x

Ettersom x  x  x , kan vi forenkle svaret slik: x x  x xx  2x x  2 x 2 x 1 5  2x x  x x  x x 2 2

f ( x)  2 x x 

b) Denne funksjonen kan vi skrive som en potensfunksjon slik: 1

f ( x)  x 2 x  x 2  x 2  x

2

1 2

5

 x2

5 52  1 5 32 x  x 2 2 5 1  12 5 1 12  x  x x 2 2 5  x x 2

f ( x) 

OPPGAVE 3.60

Vi har gitt funksjonen





f ( x)  x 2  2 x  1 x 2  3



a) Finn f â&#x20AC;˛( x) ved hjelp av produktregelen. b) Finn f â&#x20AC;˛( x) ved ĂĽ gange parentesene. OPPGAVE 3.61

Vi har gitt funksjonen

f ( x) =

2 4 x x 9

a) Finn f â&#x20AC;˛( x) ved hjelp av produktregelen. b) Finn f â&#x20AC;˛( x) ved ĂĽ skrive funksjonen som en potensfunksjon.

118

Book Sinus R1 2018.indb 118

3 â&#x20AC;˘ Rasjonale funksjoner og potensfunksjoner

18.05.2018 10:24:49


Noen ganger mĂĽ vi kombinere produktregelen og kjerneregelen. EKSEMPEL

Finn f â&#x20AC;˛( x) nĂĽr

f ( x)  x   2 x  1

3

LĂ&#x2DC;SNING:



f ( x)  x   2 x  1  x   2 x  1 3

3



3 2  1   2 x  1  x  3   2 x  1   2 x  1

  2 x  1  3x   2 x  1  2 3

2

  2 x  1  6 x   2 x  1 3

2

   2 x  1  6 x    2 x  1   8 x  2    2 x  1

2

2

OPPGAVE 3.62

Deriver funksjonene. 2 a) f ( x)  2 x  x 2  1 3 b) g ( x)   2 x  1   x  2  3 c) h( x)  x 2   2 x  3





OPPGAVE 3.63

En funksjonâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;er gitt ved

f ( x)  x   x  4 

3

a) Finn nullpunktene tilâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;uten hjelpemiddel. b) Finn f â&#x20AC;˛( x) uten hjelpemiddel. c) Finn eventuelle toppunkt, bunnpunkt og terrassepunkt uten hjelpemiddel. d) Tegn grafen tilâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;digitalt.

119

Book Sinus R1 2018.indb 119

18.05.2018 10:24:52


BEVIS

Bevis for formelen (u ¡ v)' = u' ¡ v + u ¡ v'

Vi forutsetter nĂĽ at f  u  v, der u og v er to deriverbare funksjoner. Funksjonene er da ogsĂĽ kontinuerlige. f ( x  x)  f ( x) u ( x  x)  v( x  x)  u ( x)  v( x)  lim  x  0 x x u ( x  x)  v( x  x)  u ( x)  v( x  x)  u ( x)  v( x  x)  u ( x)  v( x)  lim x  0 x u ( x  x)  u ( x)   v( x  x)  u ( x)   v( x  x)  v( x)    lim x  0 x v( x  x)  v( x)   u ( x  x)  u ( x)  lim   v( x  x)  u ( x)   x  0 x x   u ( x  x)  u ( x) v( x  x)  v( x)  lim  lim v( x  x)  u ( x)  lim x  0 x  0 x  0 x x  u( x)  v( x)  u ( x)  v( x)

f ( x)  lim

x  0

I den tredje linja trakk vi fra og la til leddet u ( x)  v( x  x) i telleren. I den nest siste linja brukte vi grenseverdisetninger. Til slutt brukte vi definisjonen av uâ&#x20AC;˛( x) og vâ&#x20AC;˛( x) og at v er en kontinuerlig funksjon slik at lim v( x  x)  v( x). x  0

BEVIS u ' u' v u v' = v v2

Beviset for formelen

Vi skriver først om funksjonen pü denne müten:

f ( x)  u ( x) 

1 1  u ( x)   v( x)  v( x)

Nü kan vi derivere funksjonen ved hjelp av produktregelen og kjerne­regelen.



f ( x)  u( x)   v( x)   u ( x)   v( x)  1

1



 u( x)   v( x)   u ( x)  (1)   v( x)   v( x) 1

 u( x) 

120

Book Sinus R1 2018.indb 120



2

1 1  u ( x)   v( x) 2 v( x)  v( x) 

u( x) u ( x)  v( x)  2 v( x)  v( x) 



u( x)  v( x)



u( x)  v( x)  u ( x)  v( x)

 v( x) 

2



u ( x)  v( x)

 v( x) 

 v( x) 

2

2

3 â&#x20AC;˘ Rasjonale funksjoner og potensfunksjoner

18.05.2018 10:24:56


SAM­M EN­DRAG Vertikal asymptote En funksjonâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;har en vertikal asymptote x = a dersom f ( x)   nĂĽr x â&#x2020;&#x2019; a. En rasjonal funksjon

f (x) =

P( x) Q( x)

har en vertikal asymptote x = a hvis Q(a) = 0 og P(a) â&#x2030;  0. Horisontal asymptote Linja y = a er en horisontal asymptote for en funksjonâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;dersom lim f ( x)  a eller lim f ( x)  a. x

x  

SkrĂĽ asymptote En rasjonal funksjon

f (x) =

P( x) Q( x)

har en skrü asymptote nür graden av telleren er 1 større enn graden av nevneren. Kjerneregelen Hvis f ( x)  g  u ( x) , sü er

f ( x)  g   u ( x)   u( x)

Derivasjon av produkt og kvotient

 u  v   u  v  u  v

 u  u  v  u  v v  v2  

Ekstra derivasjonsregler

1  1   x    x2   1  x  2 x

 

121

Book Sinus R1 2018.indb 121

18.05.2018 10:25:00

Profile for Cappelen Damm

Sinus R1 (2018) kap. 1-3  

Sinus R1 (2018) kap. 1-3