Triângulo de Pascal e Binómio de Newton

Triângulo de Pascal, numa obra do matemático chinês Zhou Jipe, publicada em 1303.

Versão de Pascal do triângulo

Blaise Pascal (1623 - 1662) Na sua vida curta mas cheia de acontecimentos, o filósofo e matemático Francês trabalhou em muitos problemas e tópicos diferentes. Inventou uma máquina de calcular e produziu um tratado sobre secções cónicas.

O triângulo que leva o seu nome era já conhecido na China por volta do ano 1300 a.C. e, provavelmente também o era na Europa. Mas foi o extenso trabalho de Pascal na teoria das probabilidades que levou a que lhe fosse dado o seu nome.

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

9

84

3

10

21

1

10 20

35 56 126

1 4

6

15

28 36

3

5

7 8

2

4

6

1

5 15

35 70

1 1 6 21

56 126

1 7

28 84

1 8

36

1 9

1

“O padrão é tão simples que uma criança de 10 anos o consegue escrever, no entanto, com tantos 210 aspectos 1 10 contém 45 tantas 120 ligações 210 252 120 aparentemente 45 10 não1 relacionados da Matemática, que é seguramente uma das mais elegantes construções ... ... Matemáticas.” ... ... ... ... ... ... ... ...

Martin Gardner

Linha n=0

10 C

0

1

1

10 C

n=1 2

2

10 C

n=2 3 4

5

6

6

10 C

n=6 7

10 C

n=7

7 C1

7

21 C2

6

35 C4

15 C

6

15 C4

7

5

54 C

6

20 C3

35 C3

14 C

5

103 C

7

4

43 C

5

10 C2

15 C2

1 C 3

4

6C2

6

61 C

7

4

5

51 C

3

3 C 2

41 C

5

10 C

n=5

12 C

3

3 C 1

4

1C0

n=4

2

21 C

3

1 C 0

n=3

11 C

6

16 C

65 C

7

7

21 C5

7

76 C

17 C

… n

n

C0

n

C1

…

n

Cp

…

n

C n −p

…

n

Cn −1

n

Cn

0

C10

1

1

C10

2

3

4

10 C

5

C 10

6

6

C1 0

7

7

10 C

8

10 C

61 C

71 C

8

81 C

8

15 C2

7

28 C2

6

21 C2 8

56 C3

353 C

15 C4

7

56 C5

1 6 C

7

21 C5

8

70 C4

6

65 C

7

35 C4

8

C 1 5

6

7

7 6 C

8

28 C6

Cp = nCn −p

com n, p ∈IN 0 e 0 ≤ p ≤ n

5

C 54

6

20 C3

7

14 C

5

C 103

n

4

4 3 C

5

C 102

6

1 C 3

4

6 2 C

5

C 51

3

3 C 2

4

41 C

5

1 C2

3

3 C 1

2. O triângulo é simétrico, uma vez que , em cada linha, valores equidistantes dos extremos são iguais.

2

21 C

3

1 C 0

4

1 C 1

2

C10

1. Todas as linhas começam e acabam em 1. n Efetivamente, C0 = nCn =1

1 C7

8

8C7

8

3. A soma de dois números consecutivos de uma linha é igual ao número que se situa entre eles, na linha seguinte:

1 C8

n

Cp +n Cp +1 = n +1Cp +1

com n, p ∈IN 0 e 0 ≤p ≤n IN 0 é 2 n 4. A soma dos elementos de qualquer linha n, com n ∈ n

C0 + nC1 +... +nCn =2 n

IN 0 , é n+1.

5. O número de elementos de uma linha n, com n ∈

Quantos Caminhos diferentes tem a Ana para chegar à Escola, se andar sempre apenas para Este (E) ou para Sul (S)?

CASA DA ANA

E

Comecemos por contar o número de caminhos diferentes que ela tem para chegar à esquina

A!

(clica em A)

S

A

B’

B

C

E até à esquina (clica em C)

E para chegar à esquina

E, finalmente, até à

B?...

(clica em B)

E se fosse para chegar à esquina

B'?...

C?...

Escola?...

ESCOLA

(clica na “Escola”)

Contemos, então, o número de caminhos diferentes que ela tem para chegar à esquina A! E 1

1

(S , E) S A

(E , S)

2

1

Número de maneiras diferentes de: Dos 2 troços a percorrer, escolher 1 desvio para Este e o outro para Sul! 2

C1

(clica aqui)

Continuemos a contar caminhos! Agora para chegar à esquina B...

E 1

1

(S , S , E) S

1

2

(E , S , S) (S , E , S)

B 1

3

Número de maneiras diferentes de: Dos 3 troços a percorrer, escolher 1 desvio para Este (e os 2 restantes para Sul)!

3 C1 ou 3C2 (clica aqui)

E até à esquina C!...

E 1

1

1

(E , E , S , S) (E , S , E , S)

S

1

2

(E , S , S , E)

3

(S , E , E , S) (S , E , S , E) (S , S , E , E) 1

3

6

C Número de maneiras diferentes de: Dos 4 troços a percorrer, escolher 2 desvios para Este (e os 2 restantes para Sul)!

4

C2

(clica aqui)

Sintetizando, sabemos que: 0

C1 0

1

11

C1 0

C1

2

21

C0 3

A

B

C2

33

C1 3

21

C1 2

C2

4

C

C2 6

E… retomando o esquema inicial com uma outra inclinação, podemos conjeturar: CASA DA ANA 1 0C 0

1C1 0 2C2 1

1 2C 0

3C1 0 4C1 0 5C1 0 6C1 0

8C1 0

5 5C 1

7C7 1

7C1 0 8C8 1

3C3 1

8C28 2

3C3 2

5C10 2 6C15 2

4C4 3

6C20 3

8C56 3

ESCOLA

1 3C 3

10 5C 3

7C35 3

7C21 2

1 2C 2

4C6 2

4C4 1

6C6 1

1 1C 1

8C70 4

4C1 4 5C5 4

15 6C 4

7C35 4

5C1 5 6C6 5

7C21 5 8C56 5

6C1 6 7C1 7

7C7 6 28 8C 6

8C8 7

8C1 8

A Ana tem 70 = 8C4 caminhos diferentes para chegar à Escola (dos oito troços a percorrer, escolher 4 desvios para Este e os 4 restantes para

E se a situação fosse esta: O Rui e a Ana, quando vão de casa para o ginásio, utilizam as ruas só nos sentidos WE e SN.

G A N

R – Casa do Rui A – Casa da Ana G – Ginásio

S

O Rui, numa deslocação de casa para o ginásio, escolhe o percurso totalmente ao acaso. A probabilidade de o Rui passar no cruzamento onde se situa a casa da Ana é: (A)

13 70

E

W

(B)

3 7

C2 × 3C1 8 C4

R A figura representa parte da planta das ruas de uma cidade.

(C)

5

8 70

C3 × 3C2 8 C4

5

ou

(D)

18 70

Triângulo de Pascal

Números 1 Naturais 1 1 Números Triangulares 1 2 1

1 1 1+1=2 Sucessão de 1+2=3 2+3=5 Fibonacci 3+5=8 5+8=13 8+13=21

.

1 3 3 1 . .

1 4 6 4 1 .

1 5 10 10 5 1 .

1 6 15 20 15 6 1 .

1 7 21 35 35 21 7 1 . .

1 8 28 56 70 56 28 8 1 .

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 .

1 10 45 120 210 252 210120 45 10 1 .

1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 . . . . . . . . . . . . . . . .

Somas “rastejantes”!

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

9

1 3

6

1 4

10 10

1 5

15 20 15

1 6

21 35 35 21

1 7

28 56 70 56 28

1 8

36 84 126 126 84 36

1 9

1

10 45 120 210 252 210 120 45 10

1

11 55 165 330 462 462 330 165 55 11

1 .

7

8

4

6

2 3

5

1

1

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

1 .

.

Adicionando os elementos de uma diagonal descendente, até uma certa linha, vamos obter o elemento da linha seguinte, por baixo do último elemento adicionado.

Todos diferentes, todos iguaisNúmeros Números & pares ímpares 1

Diferentes procedimentos matemáticos podem conduzir-nos ao mesmo objeto, mesmo que os caminhos tomados sejam consideravelmente diferentes.

1 1

1 5

1 1

1

1 1

66

13 14

15

55

12

1

45

11

1

78 91

105

21

84

4

1

10

5

35

70

126 126

1

15

20

35

56

1

6

15

28 36

10

1

7

1 3

10

6

8 9

3 4

1

1

2

1

1º caminho diferente

1

1

1

6 21

56

7

1

28

84

36

120 210 252 210 120 165 330 462 462 330

8

1 1

9

45

165

1

10 55

220 495 792 924 792 495 220

286 715 1287 1716 1716 1287 715 286

11 66

1 12

1

78

364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364

13 91

455 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 455

1 14

105

1 15

1

Todos diferentes, todos iguais 2º caminho diferente Considera um

Em cada um dos

Em cada grupo de

triângulo equilátero

triângulos exteriores

quatro triângulos que

qualquer e une os

repete o procedimento

obtiveres, repete o

pontos médios dos

(isto é, só não fazes

procedimento nos

lados. Obténs quatro

mais nada no triângulo

três triângulos

triângulos mais

que está no meio).

exteriores.

pequenos.

Todos diferentes, todos iguais Que padr達o observas?

Todos diferentes, todos iguais 3º caminho diferente

O jogo do Caos

Considera três quaisquer pontos

Se obtiveres 1 ou 4, une X1 com A

Retoma o processo a partir de X2.

do plano A, B e C.

e toma X2 como o ponto médio

Vai assinalando sempre os pontos

Marca numa folha de papel

desse segmento.

médios obtidos X3, X4, etc.

esses três pontos assim como um

Se obtiveres 2 ou 5, une X1 com B

Repete o procedimento uma boa

quarto ponto X1.

e toma X2 como o ponto médio

vintena de vezes.

Pega num dado normal e lança o

desse segmento.

Se tiveres um computador ou

dado.

Se obtiveres 3 ou 6, une X1 com C

uma calculadora gráfica podes

e toma X2 como o ponto médio

programá-los para eles te

desse segmento.

traçarem os pontos médios

http://demonstrations.wolfram.com/ChaoticItineraryButRegularPattern/

sucessivos.

Que padr達o observas?

Todos iguais O padrão que aparece neste três procedimentos tão diferentes é conhecido como Triângulo de Sierpinski.

Sierpinski Foi descoberto em 1917 pelo matemático polaco Waclaw Sierpinski. Tem várias propriedades curiosas como a de ter tantos pontos como o do conjunto dos números reais, ter área igual a zero, e ser autossemelhante (isto é, uma pequena porção do triângulo é idêntica ao triângulo todo a menos de uma escala adequada).

Quem diria que seria possível obter a mesma figura por processos tão diferentes! Ainda por cima este padrão aparece em vários fenómenos naturais, como por exemplo a formação das conchas de certos seres marinhos.

Assim se vê a beleza e poder da Matemática.

Jaime Carvalho e Silva (colaborador do Ciência com Todos e docente/investigador de Matemática/Educação Matemática na U. de Coimbra) http://www.mat.uc.pt/~jaimecs/pessoal/

Aplicações

ALGUMAS QUESTÕES DE EXAMES NACIONAIS 1. a b c d e g representa uma linha completa do Triângulo de Pascal, onde todos os elementos estão substituídos por letras.

Qual das seguinte igualdades é verdadeira? c = 6C3

(A)

6 (B) c = C2

7 (C) c = C3

7 (D) c = C2

2. Uma certa linha do Triângulo de Pascal tem quinze elementos.

Qual é o sexto elemento dessa linha?

(A)

14

C5

(B)

15

C5

(C)

14

C6

(D)

15

C6

3. A soma dos dois últimos elementos de uma certa linha do Triângulo de Pascal é 31. Qual é o quinto elemento da linha anterior?

(A) 23 751

(B) 28 416

(C) 31 465

(D) 36 534

Aplicações

ALGUMAS QUESTÕES DE EXAMES NACIONAIS 4. No Triângulo de Pascal, considere a linha que contém os elementos da forma 2006 Ck Quantos elementos dessa linha são menores do que (A)

8

(B) 6

(C) 5

2006

C4 ?

(D) 3

5. O quarto número de uma certa linha do Triângulo de Pascal é 19 600. A soma dos quatro primeiros números dessa linha é 20 876.

Qual é o terceiro número da linha seguinte?

(A) 1275

(B) 1581

(C) 2193

(D) 2634

6. Numa certa linha do triângulo de Pascal, o segundo número é 2009.

Quantos elementos dessa linha são maiores que um milhão?

(A) 23 751

(B) 28 416

(C) 31 465

(D) 36 534

O binómio de Newton é tão belo como a Vénus de Milo.

O que há é pouca gente para dar por isso. óóóó---óóóóóóóóó---óóóóóóóóóóóóóóó (O vento lá fora.) Álvaro de Campos

Calculemos: 0 ( a + b) = 1

( a + b) = a + b 1

( a + b ) = ( a + b ) ( a + b ) = a + 2a b + b 2

2

( a + b) = ( a + b) 3

2

Caso notável da multiplicação de polinómios

( a + b ) = ( a 2 + 2a b + b 2 ) ( a + b ) =

= a + 3a b + 3a b + b 3

2

2

2

3

( a + b ) = ( a + b ) ( a + b ) = ( a 2 + 2 a b + b 2 ) ( a 2 + 2a b + b 2 ) = 2

4

2

= a + 4 a b + 6a b + 4 a b + b 4

3

2

2

..….

a + b) = ? ( ( a + b ) = (1a 4+ b4) 4( a44+ b2) ......

4 4 4 4 43 n

n fatores

3

4

Podemos escrever

( a + b ) = 1a 0 b0 0

( a + b) = 1

1a1b 0 + 1a 0 b1

1 a+b

( a + b ) = 1a 2b0 + 2a1 b1 + 1a 0 b2 2

a 2 + 2a b + b 2

( a + b ) = 1a 3b0 + 3a 2 b1 + 3a1 b2 + 1a 0 b3 3

a 3 + 3a 2 b + 3a b 2 + b3

4 0 3 1 2 2 1 3 0 4 1 a b + 4 a b + 6 a b + 4 a b + 1 a b a + b = ( )

4

..…. e observar que:

a 4 + 4 a 3 b + 6a 2 b 2 + 4 a b3 + b 4

Para cada valor natural de n, os coeficientes do desenvolvimento de

( a + b) n

são os

números combinatórios que constituem a linha n do Triângulo de Pascal.

A soma dos expoentes de a e b é sempre igual a n, diminuindo os expoentes de

a de n até zero, enquanto os de b aumentam de zero a n. concluindo que

( a + b)

n

(pode demonstrar-se recorrendo ao Método de Indução Matemática):

= nC0a n b o + nC1a n−1b1 + nC2a n−2 b 2 + .................. + nCn−1a1b n−1 + nCna 0 bn

( a + b)

n

= nC0a n bo + nC1a n−1b1 + nC2a n−2 b 2 + .................. + nCn−1a1bn−1 + nCna 0 bn n

= ∑ nCk a n −k bk k =0

Repara:

O termo de ordem p+1, designado por Tp +1 com 0 ≤ p ≤ n

( a + b) n do desenvolvimento de

, éndado pela expressão −p p

Tp +1 = Cp a n

b

( a + b)

0

( a + b)1 ( a + b)

2

( a + b)

3

( a + b) 4

( a + b) 5

• • • •

1 ..........................

1 1 .......................

1 2 1 ..................... ................... 1 3 3 ................. 1 4 6 4 .............. 1 5 10 10 1 1 1 •

7

8 •

6 21

28 •

15 35

56 •

20

•

1 1 5

1

15

35

6 21

1 7

70

56

28

•

•

•

1 8 •

1 •

( a + b ) n = nC0a n bo + nC1a n−1b1 + nC2a n−2b2 + .................. + nCn−1a1b n−1 + nCna 0b n

Aplicações ALGUMAS QUESTÕES DE EXAMES NACIONAIS 1. Indique qual das equações seguintes é equivalente à equação ( x + 1) 4 = 4 x 3 + 6 x 2 4 3 2 (A) x − 4 x − 6 x + 1 = 0 4 3 2 (C) x − 4 x − 4 x + 1 = 0

2.

4 x + 1 = x 4 + 4x3 + x + 1 ? ( ) Quantas são as soluções da equação

(A) 3.

4 (B) x + 1 = 0 4 x + 4x + 1 = 0 (D)

1

(B)

2

(C)

3

n π + e ( ) Um dos termos do desenvolvimento de

(D)

4

7 3 é 120π e

Indique o valor de n?

(A) 10

(B) 12

(C) 20

(D) 21

Bibliografia: Infinito 12 Matemática A -12º ano Autores: Ana Maria Brito Jorge| Conceição Barroso | Alves Cristina Cruchinho Gabriela Fonseca | Judite Barbedo | Manuela Simões Novo Espaço Matemática A -12º ano Autores: Belmiro Costa | Ermelinda Rodrigues Jaime Carvalho e Silva (colaborador do Ciência com Todos e docente/investigador de Matemática/Educação Matemática na U. de Coimbra) Página pessoal do autor: http://www.mat.uc.pt/~jaimecs/pessoal/

Maria José Guimarães Vaz da Costa