Teoremas e demonstrações uma aula

Matemática Uma aproximação à verdade (aceite para publicação em 11 de Janeiro de 2011)

Clique neste botão para dar o primeiro passo: Fontes e referências

Créditos e autoria

Quid est veritas? (o que é a verdade?) :Definição

Algo que, estando presente em certas proposições, alimenta a convicção dos matemáticos de que pode ser provado!

Objecção!

Esta convicção é, obviamente, de natureza sentimental, ou metafísica!

Para recuar clique neste botão:

Fonte: BOURBAKI, N., Théorie des Ensembles, Masson, 1990, E IV.43.

A objecção pode ser vencida… mas

a) Que certas proposições são aquelas? (…)

b) Que significa “ser provado”? mmmhh… vejamos um étimo afim: “prova”

… prosseguindo:

(…)

b) (…)

“prova”

a) Que certas proposições

… vem de “probus”, a palavra latina

são aquelas?

para “algo que é recto, honesto”, etc… … a qual, por sua vez, deu origem a (…)

“probare”, a palavra latina para “testar, pôr em julgamento”, etc…

Recuando mais no tempo… b) … “probus” e “probare”, por sua vez, pelo (…)

que significam, inspiram-nos as perguntas:

a) Que certas proposições são aquelas?

(…)

- Como dar a ver (em julgamento) aquilo que se quer mostrar (porque é recto, honesto, ou… verdadeiro)? Como, e onde (tribunal)?

- “Visão” e “lugar”…?

Até à época da civilização grega clássica … à qual remontam o étimo thea (ver) e o sufixo tron (lugar), cuja combinação nos trouxe: (…) a) Que certas proposições

são aquelas?

(…)

Thea + tron  theatron:

O teatro, o lugar onde se vê.

Online Etymology Dictionary

‌ onde uma constelação de outros Êtimos afins, como

(‌)

a) thÊôros – espectador, o que contempla; b) thÊôroi – espectåculos, festas solenes; c) thÊôrikon – subvenção para o thÊôros pagar entradas e ter acesso ao que se vê nos thÊôroi;

a) Que certas proposiçþes são aquelas?

Ei-las:

‌ Ê uma constelação que se forma, podemos imaginar, drenando os respectivos sentidos, no molde de uma só palavra:

theĂłrđ?’†ma - teorema

A palavra theór�ma (teorema) significando, sucessivamente: a) A instância (espectåculo) onde, ou a proposição com a qual,

Por isto ĂŠ que, naqueles tempos, dizer “teoremaâ€? era dizer

b) Se visa mostrar, demonstrar ou

“demonstraçãoâ€?

dar a ver, Por isto ĂŠ que, desde entĂŁo,

c) A verdade que o matemĂĄtico contempla.

dizer “matemĂĄticaâ€? ĂŠ dizer “demonstraçãoâ€?

A forma talvez mais comum destas proposições a que chamamos teoremas, é a seguinte:

“Se uma certa hipótese, A, é verificada, então, uma determinada tese, ou conclusão, B, também é”.

Formulações abreviadas equivalentes:

“ Se A, então B ” ;

“ A implica B ” ;

“ A  B ”.

Vamos estudar dois métodos de prova

1º método (prova directa) Nota: Faz-se, ou recomenda-se a prova directa quando a hipótese contém informação suficiente para construir

um

encadeamento

de

passos que conduz à conclusão.

Hipótese (A): Sejam α e β dois números ímpares e seja α + β a sua soma. (clique aqui para ver a hipótese implícita)

Exemplo (provar que a soma de dois números ímpares não é um número ímpar)

Tese (B): α + β não é um número ímpar.

Prova: Sendo ι e β números ímpares, eles não são divisíveis por 2: quando tentamos essa divisão obtemos quocientes inteiros (t e s, digamos) e restos não nulos. Sem perda de generalidade,

pode entĂŁo escrever-se: Îą = đ?&#x;?đ?’• + đ?&#x;?

e

β = đ?&#x;?đ?’” + đ?&#x;? .

Logo, Îą + β = đ?&#x;?đ?’• + đ?&#x;? + đ?&#x;?đ?’” + đ?&#x;? = đ?&#x;? đ?’• + đ?’” + đ?&#x;? .

Ora, o nĂşmero p = đ?’• + đ?’” + đ?&#x;? ĂŠ inteiro (porque t e s sĂŁo inteiros).

Logo, Îą + β = đ?&#x;?đ?’‘ , com p inteiro; Logo, Îą + β ĂŠ divisĂ­vel por 2 ; logo, Îą + β nĂŁo ĂŠ Ă­mpar, tal como querĂ­amos demonstrar.

2º mÊtodo (prova indirecta) (ou pelo contrarrecíproco, ou converso, tambÊm dita prova por contradição ou por redução ao absurdo)

Nota: Este mĂŠtodo baseia-se na equivalĂŞncia lĂłgica entre “ đ?‘¨ ď‚” đ?‘Š â€? e

HipĂłtese (A):

đ?’™ďƒŽQ e đ?’š

(clique aqui para ver a hipĂłtese implĂ­cita)

“ ~ đ?‘Š ď‚” ~ đ?‘¨ â€?. Clique aqui para uma discussĂŁo desta equivalĂŞncia.

Tese (B): đ?’™ + đ?’š ďƒ? Q. Exemplo (provar que a soma de um nĂşmero racional com um nĂşmero irracional nĂŁo ĂŠ um nĂşmero racional)

Q.

(đ?‘„ denota o conjunto dos nĂşmeros racionais)

Prova : Suponhamos que B ĂŠ falsa. Ou seja, suponhamos, ~ đ?‘Š, que

đ?’™ + đ?’š ďƒŽ đ?‘„.

EntĂŁo, por definição, existem inteiros, đ?’? e đ?’‘ , com đ?’‘ ≠đ?&#x;Ž, tais que đ?’™+đ?’š=đ?’?

đ?’‘

,

e tambĂŠm, aliĂĄs por hipĂłtese, inteiros đ?œś e đ?œˇ , com đ?œˇ ≠đ?&#x;Ž, tais que

đ?’™=đ?œś

đ?œˇ.

Logo, đ?’™+đ?’š=

đ?’? đ?’‘

ď‚–

đ?œś đ?œˇ

+đ?’š=

đ?’? đ?’‘

ď‚–

đ?’š=

đ?’? đ?’‘

−

đ?œś đ?œˇ

ď‚–

com đ?’‘đ?œˇ ≠đ?&#x;Ž (đ?‘?đ?‘œđ?‘–đ?‘ đ?’‘ ≠đ?&#x;Ž e đ?œˇ ≠đ?&#x;Ž) (continua)

đ?’š =

đ?’?đ?œˇâˆ’đ?œśđ?’‘ đ?’‘đ?œˇ

,

(continuação)

Ora, tanto đ?’?đ?œˇ − đ?œśđ?’‘ como đ?’‘đ?œˇ sĂŁo nĂşmeros inteiros (porque đ?œś, đ?œˇ, đ?’? e đ?’‘ o sĂŁo), logo,

đ?’š ĂŠ um đ??§Ăşđ??Śđ??žđ??Ťđ??¨ đ??˘đ??§đ??­đ??žđ??˘đ??Ťđ??¨ , logo, ď ž A ĂŠ verdadeira ,

logo,

A ĂŠ falsa .

Ou seja, assumindo a negação da tese, concluĂ­mos pela negação da hipĂłtese: ď žB ď‚” ď žA Logo, A ď‚” B (tal como querĂ­amos demonstrar) exercĂ­cio : ď‚Š

Exercícios (demonstração de dois teoremas).

A compreensĂŁo, de verdades matemĂĄticas simples pode revolucionar a visĂŁo que temos do

mundo. Por vezes, com consequências‌ Foi o que sucedeu com a descoberta – intelectual – de que certas grandezas naturais, como sejam, certas distâncias, não se podem exprimir como razþes: os seus valores são irracionais!

1. Seja đ?’‚ um nĂşmero inteiro. Usando o mĂŠtodo directo, prove que: Se đ?’‚đ?&#x;? ĂŠ divisĂ­vel por 2, entĂŁo, a ĂŠ divisĂ­vel por 2

(isto ĂŠ, que đ?&#x;?|đ?’‚đ?&#x;? ď‚” đ?&#x;?|đ?’‚ )

2. Usando o resultado do exercĂ­cio 1, prove, pelo mĂŠtodo indirecto, que:

Resolução de 1

Resolução de 2

đ?&#x;? ďƒ? đ?‘¸

(ver nota)

1. Dado qualquer đ?’‚ ďƒŽ Z, đ?&#x;?|đ?’‚đ?&#x;? ď‚” đ?&#x;?|đ?’‚ .

HipĂłtese: đ?’‚ ďƒŽ Z ď‚™ ď‚™ 2|đ?‘Ž2

Prova:

Se đ?‘Ž ďƒŽ Z, entĂŁo, para algum đ?‘› ďƒŽ Z,

đ?’‚ = đ?&#x;?đ?’?

ou

đ?‘Ž = 2đ?‘› + 1

logo, HipĂłtese: đ?‘Ž ďƒŽ Z đ?&#x;?|đ?’‚đ?&#x;? ď‚™ ď‚™

đ?’‚đ?&#x;? = đ?&#x;’đ?’?đ?&#x;? ou đ?‘Ž2 = 4đ?‘›2 + 4đ?‘› + 1 logo,

đ?’‚đ?&#x;? = đ?&#x;’đ?’?đ?&#x;?

logo, đ?’‚ = đ?&#x;?đ?’? logo Tese ď‚™ ď‚™

đ?&#x;?|đ?’‚

2.

đ?&#x;? ďƒ? Q

Negação da tese 

Prova:

Suponhamos que đ?&#x;? ďƒŽ Q. EntĂŁo, đ?&#x;? pode escrever-se como uma fracção irredutĂ­vel, digamos, đ?’‘ đ?’’, com đ?’’ ≠đ?&#x;Ž. Ora, đ?’‘ đ?’’

Logo, đ?’‘ = đ?&#x;?đ?’“.

=

đ?&#x;?

ďƒž

đ?’‘đ?&#x;? đ?’’đ?&#x;?

đ?&#x;?|đ?’‘đ?&#x;? . Logo, đ?&#x;?|đ?’‘

=đ?&#x;?

Contradição  

đ?’‘đ?&#x;? = đ?&#x;?đ?’’đ?&#x;?

(pelo exercĂ­cio 1).

EntĂŁo, đ?’‘đ?&#x;? = đ?&#x;?đ?’’đ?&#x;? ď‚• đ?&#x;’đ?’“đ?&#x;? = đ?&#x;?đ?’’đ?&#x;?

Logo, đ?&#x;?|đ?’’đ?&#x;? . Logo, đ?&#x;?|đ?’’

ď‚•

Logo, existe r tal que

ď‚• 2đ?’“đ?&#x;? = đ?’’đ?&#x;? .

(novamente pelo exercĂ­cio 1).

Logo, p e q tĂŞm đ?&#x;? como factor comum e

đ?’‘

đ?’’

nĂŁo ĂŠ irredutĂ­vel !

… pelo teorema de Pitágoras

Clique aqui para voltar aos exercícios.

… pois, que a verdade é um valor, isto é algo que todos sentimos; e é este sentimento que nos determina a procurá-la.

… então, continuemos, com um clique aqui

Hipótese implícita: Valem, para α e para β, as propriedades das operações com

números inteiros.

Clique aqui para voltar à prova.

Hipótese implícita: Valem, para x e para y, as propriedades das operações com números reais.

Clique aqui para voltar à prova.

Tabelas de verdade

A

B

AB

A

V

V

V

lê-se “não A”

V

F

F

V

F

F

V

V

F

V

F

F

V

A

(Clique aqui para retroceder

para a apresentação do 2º método)

A

B

B

A

AB

B  A

V

V

F

F

V

V

V

F

V

F

F

F

F

V

F

V

V

V

F

F

V

V

V

V

d|n lĂŞ-se “d divide nâ€?

Recorde-se que, por definição, Dados dois nĂşmeros inteiros, đ?’… e đ?’?,

đ?’…|đ?’?

ď‚– đ?’? = đ?’„đ?’… ,

para algum nĂşmero inteiro đ?’„ (dito quociente de d por n).

Clique aqui para voltar ao enunciado do exercĂ­cio.

Irracionais, sim… mas nem por isso menos razoáveis

Recorde-se que, no nosso contexto, irracionalidade significa

apenas impossibilidade de expressão como razão, ou quociente!

Clique aqui para voltar ao enunciado dos exercícios.

Fontes e referências para esta aula/apresentação: ALLENDOERFER, C.B., OAKLEY, C.O., Principles of Mathematics, 2nd ed., McGraw-

Hill, 1963.

BOURBAKI, N., Théorie des Ensembles, Masson, 1990.

CUPILLARI, A., The Nuts and Bolts of Proofs, 2nd ed., Academic Press, 2001.

DAREMBERG, CH., SAGLIO, EDM., Dictionnaire des Antiquités Grecques et Romaines, Librairie Hachette, 1877 (pode ser consultado aqui) GRIZE, J.-B., Lógica Moderna, Livraria Civilização, 1984.

MACHADO, J.P., Dicionário Etimológico da Língua Portuguesa, 6ª ed., Livros Horizonte, 1990.

PETITOT, J., “Local/Global”, in GIL, F., coord., Enciclopédia Einaudi, vol. 4, INCM, 1985.

Voltar ao início

Autor: Luís G.D.C. Borges Ano lectivo de 2010/2011; Escola Secundária c/3º Ciclo EB de Pedro Nunes.

Publicação sob uma licença Creative Commons da Casa das Ciências.

Voltar ao início