Mat 9 N´ umeros Reais
460955058223
84 7093
. . π . . .3.1415
8 4
1
2
5
192
7 68
93 39
5 0
6
6
9 16
59
52
2-
58
10123
3-
1 16
7 47 8 546 19 85 44 4 34 38 718
8
8
24
5
0
0
2
8
4
0212223242
81
1
4
1
4
40
88
75
899
105
57
3
.
80
53637383 9
4
1112131
62 089986280348 04 628 253 42 997 899100. . . 12 . . 117 .2 6 , 0 067 50 9 354 1525 5556 5 8
3. . .
343
´ Numeros Reais 910 . .-
4849505
091929394959
749445923078
8209
16
Cl´ audia Maria Diegues Ara´ ujo
3589793238462643 265 38
13233
9
2 374757677787 795 727 0 9 2
68697071
17
81 5940 253
664
30 82 φ. 32 √2 . . . 1 . 65 8 .. 667 0 656 05 48 64 3 05 6 303 05 62 29 61 28 7 2 78 56
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Mat 9 N´ umeros Reais
N´umeros Os n´ umeros surgiram da necessidade que as pessoas tinham de contar objectos e coisas.
Cl´ audia Maria Diegues Ara´ ujo
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Mat 9 N´ umeros Reais
N´umeros Os n´ umeros surgiram da necessidade que as pessoas tinham de contar objectos e coisas.
Nos primeiros tempos da humanidade, usavam-se para contar, dedos, pedras, n´os feitos numa corda . . .
Cl´ audia Maria Diegues Ara´ ujo
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Mat 9 N´ umeros Reais
˜o . . . Alguns sistemas de numerac¸a
Cl´ audia Maria Diegues Ara´ ujo
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Mat 9 N´ umeros Reais
Antigo Egipto
Os s´ımbolos usados pelos eg´ıpcios para representar quantidades eram: 1
10
100
1000
10000
100000
1000000
|
2
3
4
5
6
7
Por exemplo, o n´ umero 5304 ´e representado por Cl´ audia Maria Diegues Ara´ ujo
444 44
|| 333|| 4/23
Mat 9 N´ umeros Reais
Os Babil´ onios
Os s´ımbolos usados pelos babil´ onios para representar quantidades eram: 1 1
Cl´ audia Maria Diegues Ara´ ujo
2 2
10 3
20 4
100 5
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Mat 9 N´ umeros Reais
Os Maias
Os s´ımbolos usados pelos maias para representar quantidades eram: 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
Cl´ audia Maria Diegues Ara´ ujo
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Mat 9 N´ umeros Reais
Os Romanos
Os s´ımbolos usados pelos romanos para representar quantidades eram: 1 I
5 V
10 X
50 L
100 C
500 D
1000 M
Por exemplo, o n´ umero 3576 ´e representado por MMMDLXXVI Cl´ audia Maria Diegues Ara´ ujo
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Mat 9 N´ umeros Reais
Os Hindus
Os s´ımbolos usados pelos hindus para representar quantidades eram: 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
٠ ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨ ٩ Cl´ audia Maria Diegues Ara´ ujo
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Mat 9 N´ umeros Reais
Se quiseres saber mais:
G www.prof2000.pt/users/hjco/numerweb/index.htm G upf.tche.br/∼pasqualotti/hiperdoc/natural.htm G matematica.no.sapo.pt/nconcreto.htm
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Mat 9 N´ umeros Reais
Os conjuntos que ja´ conheces . . .
Cl´ audia Maria Diegues Ara´ ujo
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Mat 9 N´ umeros Reais
N´ umeros Naturais N = {1, 2, 3, 4, . . .} Exemplo: 5∈N
-3 ∈ /N
Cl´ audia Maria Diegues Ara´ ujo
0∈ /N
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Mat 9 N´ umeros Reais
N´ umeros Naturais N = {1, 2, 3, 4, . . .} Exemplo: 5∈N
-3 ∈ /N
0∈ /N
N´ umeros Inteiros Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .} Exemplo: 5∈Z
-3 ∈ Z
Cl´ audia Maria Diegues Ara´ ujo
0∈Z
1 ∈ /Z 3
4 ∈Z 2 11/23
Mat 9 N´ umeros Reais
Subconjuntos de Z Z− = {. . . , −3, −2, −1} Z+ = {1, 2, 3, . . .}
Inteiros negativos
Inteiros positivos
Z+ 0 = {0, 1, 2, 3, . . .} = N0
Inteiros n˜ao negativos
Z− 0 = {. . . , −3, −2, −1, 0}
Inteiros n˜ao positivos
Cl´ audia Maria Diegues Ara´ ujo
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Mat 9 N´ umeros Reais
N´ umeros Racionais Q = Z ∪ {n´ umeros fraccion´arios} Nota: Um n´ umero fraccion´ario ´e um n´ umero n˜ ao inteiro que pode ser escrito a como a raz˜ao de dois n´ umeros inteiros com b 6= 0. b
Cl´ audia Maria Diegues Ara´ ujo
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Mat 9 N´ umeros Reais
N´ umeros Racionais Q = Z ∪ {n´ umeros fraccion´arios} Nota: Um n´ umero fraccion´ario ´e um n´ umero n˜ ao inteiro que pode ser escrito a como a raz˜ao de dois n´ umeros inteiros com b 6= 0. b Exemplo: 0, 5 ´e um n´ umero fraccion´ario, pois pode ser escrito sob a forma de uma frac¸c˜ao, 12 .
Cl´ audia Maria Diegues Ara´ ujo
13/23
Mat 9 N´ umeros Reais
N´ umeros Racionais Q = Z ∪ {n´ umeros fraccion´arios} Nota: Um n´ umero fraccion´ario ´e um n´ umero n˜ ao inteiro que pode ser escrito a como a raz˜ao de dois n´ umeros inteiros com b 6= 0. b Exemplo: 0, 5 ´e um n´ umero fraccion´ario, pois pode ser escrito sob a forma de uma frac¸c˜ao, 12 . 0, (6) tamb´em pode ser escrito sob a forma de uma frac¸c˜ao, 23 , ent˜ao 0, (6) ´e um n´ umero fraccion´ario.
Cl´ audia Maria Diegues Ara´ ujo
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Mat 9 N´ umeros Reais
A qualquer n´ umero racional corresponde uma d´ızima. 1 2
= 0, 5
1 3
= 0, 333 . . .
Cl´ audia Maria Diegues Ara´ ujo
3 2
= 1, 5 2 9
63 25
= 2, 52
= 0, 2222 . . .
4 33
5 = 5, 0 = 0, 121212 . . .
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Mat 9 N´ umeros Reais
A qualquer n´ umero racional corresponde uma d´ızima. 1 2
= 0, 5
1 3
= 0, 333 . . .
3 2
= 1, 5 2 9
63 25
= 2, 52
= 0, 2222 . . .
4 33
5 = 5, 0 = 0, 121212 . . .
No primeiro caso obtivemos d´ızimas finitas, no segundo caso obtivemos d´ızimas infinitas peri´ odicas.
Cl´ audia Maria Diegues Ara´ ujo
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Mat 9 N´ umeros Reais
` d´ızimas infinitas peri´ As odicas est´a sempre associado um per´ıodo, que ´e o algarismo ou conjunto de algarismos que se repete a partir de uma certa ordem.
Cl´ audia Maria Diegues Ara´ ujo
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Mat 9 N´ umeros Reais
` d´ızimas infinitas peri´ As odicas est´a sempre associado um per´ıodo, que ´e o algarismo ou conjunto de algarismos que se repete a partir de uma certa ordem. 0, 121212 . . . = 0, (12) ´e uma d´ızima infinita peri´odica de per´ıodo 12
Cl´ audia Maria Diegues Ara´ ujo
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Mat 9 N´ umeros Reais
` d´ızimas infinitas peri´ As odicas est´a sempre associado um per´ıodo, que ´e o algarismo ou conjunto de algarismos que se repete a partir de uma certa ordem. 0, 121212 . . . = 0, (12) ´e uma d´ızima infinita peri´odica de per´ıodo 12 0, 35666 . . . = 0, 35(6) ´e uma d´ızima infinita peri´odica de per´ıodo 6
Cl´ audia Maria Diegues Ara´ ujo
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Mat 9 N´ umeros Reais
` d´ızimas infinitas peri´ As odicas est´a sempre associado um per´ıodo, que ´e o algarismo ou conjunto de algarismos que se repete a partir de uma certa ordem. 0, 121212 . . . = 0, (12) ´e uma d´ızima infinita peri´odica de per´ıodo 12 0, 35666 . . . = 0, 35(6) ´e uma d´ızima infinita peri´odica de per´ıodo 6 A qualquer n´ umero racional corresponde uma d´ızima finita ou d´ızima infinita peri´ odica.
Cl´ audia Maria Diegues Ara´ ujo
15/23
04 58
6 8 3 4 3 6 5 63 81 17 72 03 091 79
4 8 4 7 5 4 0 8 8 0 7 5 3 8 6 8 91
80 5
7 62
21
75
006
86 21354
11 3 7
07 7 . . .
39
8
189
φ
48 2
0 7 20 338622235369317931 7204 0 4 6 2 8 1 8 9 0 24 4 97
48
266
7052 6
16/23 89
62 2
033988749 18 1.6
48
79
8 7 2 4 2 0 9 69 80 78 56 96 718
7 5 37
7 3 5 0 1 3 8 4 6 2 3 0 9 1 2 2 97
694
49
02
71 0 . . .
149
32
38 4
62 64
3 3 8 3 2 7 9 50 28 84 19 71 693 9
70 6 7
9 8 2 1 4 8 0 8 6 5 1 3 2 8 2 3 06
9 37 5
64
81 3 . . .
11
940
1 05
82
80
7
31766
15 7 2
70
01 68
64
09749
48 8
2
50
√
2 4 7 8 4 6 2 1 0 70 3 88
09
5
342
π
6 4 0 6 2 8 6 2 0 89 9 86
5 0 38 360558507372126441 7534
2
2 8 03 446095505822317253 4825
248
9907 3
327
938
3078 1
592653589 41 3.1
59 2
73 7
213562373 14 1.4
Cl´ audia Maria Diegues Ara´ ujo 44
79
´ Outros numeros ... N´ umeros Reais
Mat 9
Mat 9 N´ umeros Reais
N´ umeros irracionais
Por volta do ano 600 a.C., Pit´agoras e os seus disc´ıpulos, estudavam as propriedades dos n´ umeros inteiros, atrav´es de constru¸c˜oes geom´etricas.
Cl´ audia Maria Diegues Ara´ ujo
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Mat 9 N´ umeros Reais
N´ umeros irracionais
Por volta do ano 600 a.C., Pit´agoras e os seus disc´ıpulos, estudavam as propriedades dos n´ umeros inteiros, atrav´es de constru¸c˜oes geom´etricas. At´e essa data, os pitag´ oricos acreditavam que tudo no universo estava relacionado com os n´ umeros inteiros, ou ent˜ao, raz˜oes de n´ umeros inteiros (que conhecemos hoje, como o conjunto dos n´ umeros racionais).
Cl´ audia Maria Diegues Ara´ ujo
17/23
Mat 9 N´ umeros Reais
A sua cren¸ca foi abalada, quando descobriram que havia segmentos de recta cuja medida n˜ao podia ser expressa por um n´ umero racional. Por exemplo a diagonal de um quadrado de lado 1. √
2
1
1
Cl´ audia Maria Diegues Ara´ ujo
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Mat 9 N´ umeros Reais
A sua cren¸ca foi abalada, quando descobriram que havia segmentos de recta cuja medida n˜ao podia ser expressa por um n´ umero racional. Por exemplo a diagonal de um quadrado de lado 1. √
2
1
1
A esta nova classe de n´ umeros, chamamos n´ umeros irracionais.
Cl´ audia Maria Diegues Ara´ ujo
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Mat 9 N´ umeros Reais
A sua cren¸ca foi abalada, quando descobriram que havia segmentos de recta cuja medida n˜ao podia ser expressa por um n´ umero racional. Por exemplo a diagonal de um quadrado de lado 1. √
2
1
1
A esta nova classe de n´ umeros, chamamos n´ umeros irracionais. Um n´ umero irracional n˜ao pode ser expresso, como uma raz˜ao de n´ umeros inteiros, ou seja, n˜ao pode ser escrito na forma ab .
Cl´ audia Maria Diegues Ara´ ujo
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Mat 9 N´ umeros Reais
Um n´ umero irracional ´e todo o n´ umero que n˜ao pode exprimir-se por uma d´ızima finita, ou infinita peri´odica. S˜ao exemplos de n´ umeros irracionais: √
Cl´ audia Maria Diegues Ara´ ujo
2;
π;
√ − 5;
√ 1+ 5 φ= 2
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Mat 9 N´ umeros Reais
Qualquer n´ umero irracional pode ser representado por uma d´ızima infinita n˜ ao peri´ odica.
Exemplos: √
2 = 1, 41421356 . . . ;
Cl´ audia Maria Diegues Ara´ ujo
π = 3, 14159265 . . . ;
φ = 1, 61803398 . . .
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Mat 9 N´ umeros Reais
N´ umeros Reais
Ao reunir os novos n´ umeros (irracionais) com o conjunto Q (racionais), criou-se um novo conjunto de n´ umeros:
Cl´ audia Maria Diegues Ara´ ujo
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Mat 9 N´ umeros Reais
N´ umeros Reais
Ao reunir os novos n´ umeros (irracionais) com o conjunto Q (racionais), criou-se um novo conjunto de n´ umeros: o conjunto dos n´ umeros reais.
Cl´ audia Maria Diegues Ara´ ujo
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Mat 9 N´ umeros Reais
N´ umeros Reais
Ao reunir os novos n´ umeros (irracionais) com o conjunto Q (racionais), criou-se um novo conjunto de n´ umeros: o conjunto dos n´ umeros reais. R = Q ∪ {n´ umeros irracionais}
Cl´ audia Maria Diegues Ara´ ujo
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Mat 9 N´ umeros Reais
Q N
Assim,
Cl´ audia Maria Diegues Ara´ ujo
R
Z
N⊂Z⊂Q⊂R
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Mat 9 N´ umeros Reais
N´ umeros Reais
Racionais
d´ızimas finitas
Cl´ audia Maria Diegues Ara´ ujo
d´ızimas infinitas peri´ odicas
Irracionais d´ızimas infinitas n˜ao peri´odicas
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