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LABORATÓRIO DE MATEMÁTICA

8º ANO

1ª Sessão. Hoje, vamos usar um programa de geometria dinâmica (Geometer’s Sketchpad) para estudar um dos resultados basilares da geometria euclideana, conhecido como Teorema de Pitágoras. A sua importância decorre da relação que estabelece entre, por um lado, a perpendicularidade entre dois segmentos de recta com uma extremidade comum (os catetos de um triângulo que, por isto, se diz rectângulo) e, por outro lado, a distância entre as duas outras respectivas extremidades (o comprimento da correspondente hipotenusa). Cf. BOURBAKI, N., Elements of the History of Mathematics, Springer-Verlag, 1999, p. 125. Actividade: propõe-se uma prática – dirigida e interactiva – tendente à criação autónoma de condições para a intuição da geometria associada a uma demonstração particular do teorema de Pitágoras. Objectivos: a) potenciar ou reforçar a compreensão do significado do teorema de Pitágoras, bem como de algumas das aplicações práticas que permite; b) tematizar e problematizar a ideia de rigor numa demonstração matemática; c) desenvolver perícia no uso de um programa de geometria dinâmica. Método: a) construção de um triângulo rectângulo relativamente arbitrário; b) construção de três quadrados sobre os seus lados; c) decomposição do quadrado construído sobre o cateto maior; d) pavimentação do quadrado construído sobre a hipotenusa, com as partes resultantes da decomposição anterior. Pressupostos: a) conhecimento do teorema de Pitágoras e de alguma sua demonstração analítica; b) instalação do programa Geometer’s Sketchpad (e alguma familiaridade com ele, embora não estritamente necessária).

Abra o programa Geometer’s Sketchpad, clicando em

no ambiente de trabalho.

Maximize a janela de trabalho. A execução dos passos seguintes vai permitir-lhe intuir a geometria associada a uma demonstração particular do teorema de Pitágoras. Passo 1. Sempre com o botão do lado esquerdo do rato, clique na opção ‘Graph’ ( menu principal e, em seguida, na janela que se abrir, sobre ‘Show Grid’

)do . Depois,

clicando sobre a origem do sistema de eixos que surgirá, arraste-a para um canto da janela. Passo 2. Usando o botão

(clique sobre ele para activar esta ferramenta, de construção de

segmentos de recta) construa um segmento de recta horizontal, com duas unidades de comprimento, sensivelmente a meio do ecrã. Depois, sem perder a respectiva selecção (assinalada 1


pelas linhas vermelhas paralelas), active a ferramenta

. Vá ao menu principal e clique,

sucessivamente, em ‘Display’ → ‘Line Width’ → ‘Thick’:

Em seguida, indexe as extremidades do segmento. Para inserir as letras, active

; escreva-as

longe da posição em que criou o segmento (depois, para as arrastar até eles, terá de activar

).

Finalmente, volte ao menu principal, clique sobre ‘Graph’ e, em seguida, sobre ‘Hide grid’. Deverá ter obtido uma sucessão de imagens como a que a figura 1 documenta:

(Fig. 1)

Passo 3. Usando a ferramenta

, seleccione o ponto A. Em seguida, vá ao menu principal, opção

‘Transform’ e, aberta a janela correspondente, clique sobre ‘Mark Center’ (alternativa: clicar duas vezes seguidas – rapidamente – sobre A). Depois, seleccione, por esta ordem, o segmento AB e o ponto B (nas versões antigas deste programa, a tecla ‘shift’ faz o papel da tecla ‘ctrl’ nas aplicações mais comuns). Volte à opção ‘Transform’ e clique sobre ‘Rotate’. Escreva 90º na janela que se abre e clique sobre ‘Rotate’ novamente. Deverá ter visualizado algumas imagens parecidas com as da figura 2:

→ (Fig. 2)

2


Passo 4. Usando a ferramenta

, seleccione de novo o ponto A. Apenas com A seleccionado, vá

ao menu principal, opção ‘Transform’ e, aberta a janela correspondente, clique sobre ‘Mark Center’ (alternativa: clicar duas vezes seguidas – rapidamente – sobre A). Depois, seleccione, por esta ordem, o segmento vertical e o ponto da respectiva extremidade superior. Volte à opção ‘Transform’ e clique sobre ‘Dilate’. Na janela que se abrir, escreva um número arbitrário – escolhido ao acaso – entre 3,5 e 4 no campo superior, mantendo 2,0 no campo inferior. Clique sobre ‘Dilate’ novamente. Deverá ter visualizado algumas imagens parecidas com as da figura 3:

(Fig. 3)

Passo 5. Indexe o ponto na extremidade superior do segmento com a letra C. Para isto, active ; escreva longe da posição em que criou os segmentos. Depois, para a arrastar, terá de activar

.

Com esta ferramenta activa, seleccione o ponto para o qual aponta a primeira seta da figura 4; em seguida, abra a janela da opção ‘Display’, no menu principal e clique sobre ‘Hide Point’. Finalmente, voltando a activar a ferramenta

, construa o segmento CB (ver fig. 4):

(Fig. 4)

Está assim construído um triângulo rectângulo (cujos catetos têm dimensões relativas razoavelmente arbitrárias). Vamos ver que consequências isto acarreta, com respeito à medida do segmento CB.

Passo 6. Usando a ferramenta

, seleccione o ponto A. Em seguida, 3


vá ao menu principal, opção ‘Transform’ e, aberta a janela correspondente, clique sobre ‘Mark Center’. Depois, seleccione, por esta ordem, o segmento AC (tenha o cuidado de clicar sobre ele perto do ponto C) e o ponto C. Volte à opção ‘Transform’ e clique (fig.5)

sobre ‘Rotate’. Escreva 90º na janela que se abre e clique sobre ‘Rotate’ novamente. Deverá ter obtido algo como o que se mostra na figura 5. Assinale o ponto D.

Passo 7. Seleccione o ponto D. Volte ao menu principal, opção ‘Transform’ e, aberta a janela correspondente, clique sobre ‘Mark Center’. Depois, seleccione, por esta ordem, o segmento AD e o ponto A. Volte à opção ‘Transform’ e clique sobre ‘Rotate’. Escreva 90º na janela que se abre e clique sobre ‘Rotate’ novamente. Deverá

(fig.6)

ter obtido algo como o que se mostra na figura 6. Assinale o ponto E.

Passo 8. Faça como nos passos 4 e 5. Marque o ponto E como centro de rotação. Depois, seleccione, por esta ordem, o segmento DE e o ponto D. Volte à opção ‘Transform’ e clique sobre ‘Rotate’. Escreva 90º na janela que se abre e clique sobre ‘Rotate’ novamente. Deverá ter completado um quadrado, tal como se mostra na figura 7.

(fig.7)

Passo 9. Repita o procedimento dos passos 4, 5 e 6, mudando o que tiver de ser mudado, para construir sobre os dois segmentos de recta que são lados do triângulo original, BA e BC, outros tantos quadrados (BAFG e BCHJ), tal como se mostra na figura 8. (fig. 8)

A parte mais interessante do trabalho começa aqui. Trata-se de mostrar que a área do quadrado grande (quadrado da hipotenusa) é igual à soma das áreas dos outros dois quadrados (quadrados dos catetos), usando uma decomposição conveniente do quadrado construído sobre o cateto maior (ACED). 4


Passo 10. Usando a ferramenta

, construa os

segmentos de recta diagonais do quadrado ACED. Depois, seleccione-os a ambos simultaneamente ( ), abra a janela da opção ‘Construct’, no menu principal e clique sobre ‘Intersection’. Deverá surgir o ponto (O) que é a intersecção das duas diagonais (ver figura 9).

Passo 11. Usando a ferramenta

(fig. 9)

, seleccione o

ponto O e o segmento BC, simultaneamente; depois abra a janela da opção ‘Construct’, no menu principal e clique sobre ‘Parallel Line’. Repita este passo, fazendo exactamente o mesmo que antes, mas terminando com um clique em ‘Perpendicular Line’. Deverá ter obtido aquilo que se mostra na figura 10: duas rectas que passam ambas pelo ponto O e que,

(fig. 10)

relativamente ao segmento BC, são, a primeira, paralela, a segunda, perpendicular. Passo 12. Usando a ferramenta

, seleccione um

dos lados do quadrado ACED e, ao mesmo tempo, aquela das rectas desenhadas no passo 11 que o intersecta (e só essa); depois, abra a janela da opção ‘Construct’, no menu principal e clique sobre ‘Intersection’. Repita este procedimento para os outros 3 lados do mesmo quadrado. A figura 11 mostra os pontos que deverão ter sido construídos (comparar com a figura 10).

(fig. 11)

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Passo 13. Usando a ferramenta

, seleccione,

simultaneamente, as duas rectas traçadas no passo 11 e as diagonais traçadas no passo 10; depois, abra a janela da opção ‘Display’, no menu principal e clique sobre ‘Hide Straight Objects’. As rectas e as diagonais desaparecem, mas os pontos de intersecção ficam, nas posições que a figura 12 realça. (fig. 12)

Os pontos realçados permitem a decomposição do quadrado ACED em 4 quadriláteros irregulares, todos iguais, que devem agora ser construídos. O passo catorze dá o exemplo da construção de um (de vértices 1º(E), 2º, 3º(O) e 4º, ver figura 13):

Passo

14.

Usando

a

ferramenta

,

seleccione, simultaneamente, circulando com o cursor sempre no mesmo sentido, os vértices 1º(E), 2º, 3º(O) e 4º. Feita esta selecção, por esta ordem, abra a janela da opção ‘Construct’ e clique sobre ‘Quadrilateral Interior’.

(fig. 13)

Passo 15. Procedendo como no passo anterior, construa os restantes quadriláteros. Use a opção dada em ‘Display’, no menu principal, para lhes dar cores diferentes. Faça o mesmo para o quadrado ABGF, isto é, ‘construa o seu interior’ (ver figura 14) (fig. 14)

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Passo 16. Clique sobre o interior, copie e cole cada um dos quadriláteros coloridos, arrastando depois as respectivas cópias para o interior do quadrado maior, construído sobre a hipotenusa. Dispondo aqueles cinco quadriláteros de modo conveniente, deverá conseguir cobrir, ao menos numa boa aproximação, toda a área deste último. (fig. 15)

Passo 15. Discuta aquilo que, no método seguido, pode ser usado para justificar a sua generalização. Isto é, aquilo que, independentemente do ajuste mais ou menos fino da pavimentação, ou de outras limitações do computador, torna razoável afirmar que o resultado alcançado é válido para todo e qualquer triângulo rectângulo. Exponha o seu argumento numa composição com um máximo de 10 linhas.

Bom trabalho!

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Labmat 8