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Módulos para o ensino da Matemática Módulo 1 Título: Costurar curvas Desenvolvido por: João Nuno Tavares (CMUP/FCUP) Tópico de Matemática: Geometria Interdisciplinaridade: Arte e Matemática Ano indicado: 11o ou 12o ano Uso indicado: aula, actividade extra-curricular, área de projecto Palavras-chave: Movimento de uma recta no plano. Família de rectas. Envolvente. Ponto característico.

Tempo de instrução: 1h30m Pré-requisitos: Os alunos devem recordar a noção de limite, derivada e algumas noções sobre simetrias no plano (reflexões em rectas, rotações, etc.).

Objectivos: No final deste módulo os alunos devem estar aptos a fazer o seguinte: 1. Explicar de forma intuitiva a noção de envolvente de uma família de rectas 2. Calcular em exemplos simples a equação da envolvente 3. Construir modelos análogos aos apresentados no módulo, usando o software Geogebra 4. Usar simetrias em rectas para criar exemplos complexos partindo de uma parte simples 5. Apreciar o aspecto artístico dos modelos, educando o gosto 6. Identificar situações reais que possam ser descritas pelos modelos apresentados

Materiais: O professor deve dispôr dos seguintes materiais durante a execução do módulo em ambiente de sala de aula: 1. Os modelos que estão disponíveis na pasta "Modelos", construídos com Geogebra, Os modelos estão disponíveis em ficheiros .html e .ggb 2. Quadro (interactivo, se possível), para explicar os objectivos e algumas situações simples 3. Computador com Geogebra instalado, um browser (Mozilla, Netscape ou Internet Explorer), e Adobe Reader para ler ficheiros pdf. Um projector ou ligação ao quadro interactivo, quando disponível.


2 Os alunos devem ter acesso aos seguintes materiais e equipamento para explorar o módulo, durante a instrução em sala de aula: 1. Papel e caneta 2. Calculadora gráfica 3. Computador com acesso à Internet

Actividades: Quiz de revisão de conceitos: Se os alunos dispõem de computadores pessoais com ligação à Internet, podem resolver o quiz acedendo online. Caso contrário podem resolvê-lo em papel, num formulário previamente distribuído. Devem ainda discutir as respostas em grupo.

QUIZ: 1. O que significa dizer que limx→0 (x2 + 1) = 1? [R: ] 2. O limite seguinte, se existir, o que dá? lim

h→0

f (a + h) − f (a) h

(0.1)

Explique o que significa esse limite. [R: A derivada f 0 (a) de f em a.] 3. Calcule o limite anterior quando f (x) = x2 + 1 e a = 1. [R: f 0 (1) = 2] 4. Qual a relação entre o limite anterior e o seguinte: lim

x→a

f (x) − f (a) x−a

(0.2)

[R: são iguais - ambos dão f 0 (a) quando existem] 5. Qual a relação entre a derivada f 0 (a) e a recta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa x = a? [R: O declive dessa recta, isto é, a tangente do ângulo orientado que ela faz com a parte positiva do eixo dos x’s, é igual a f 0 (a)] 6. O que significa reflectir uma figura plana relativamente a uma recta no plano dessa figura? Dê exemplos. Instrução e discussão: A discussão em grupo das respostas ao quiz anterior, devem incluir as seguintes notas e exemplos adicionais: • A noção de limite, como hoje é usado em Cálculo, aparece formalizada apenas no século XVIII com Cauchy, embora esteja já de certa forma implícito na obra de Newton e Leibniz, os criadores do cálculo diferencial. • Nas fórmulas anteriores, (0.1) e (0.2), é importante notar que h 6= 0 e x 6= a respectivamente. Talvez seja esta a maior dificuldade conceptual na apreensão do conceito de limite. Os alunos devem poder discutir esta parte, fazendo perguntas em completa liberdade.


3 Estratégia pedagógica: O professor começa por mostrar o primeiro modelo, Modelo1animado.html, já construído, onde se exibe o movimento suave de uma recta no plano e se vê a configuração da curva envolvida pelas diversas posições da recta móvel - neste caso uma parábola. Mais concretamente o movimento da recta é definido da seguinte forma: • Fixamos duas rectas concorrentes no plano, digamos r e s e, em cada uma delas, marcamos um ponto: A ∈ r e B ∈ s. • Na recta r consideramos um ponto P que se move com velocidade uniforme v, sempre na recta r, partindo de A. • Analogamente, na recta s consideramos um ponto Q que se move com a mesma velocidade uniforme v, sempre na recta s, partindo de B. • A recta móvel vai ser a recta que une P com Q. Este é o elemento básico com o qual se constroiem os modelos mais complexos, considerando várias rectas suporte, ou usando várias reflexões em rectas. Está ilustrado no applet Modelo1animado.html que deve, por isso, ser visto em pormenor. Os alunos devem em seguida analisar com detalhe as animações seguintes, todos disponíveis na pasta "Modelos", construídos com Geogebra. Os modelos estão também disponíveis em ficheiros .ggb: • Modelo2animado.html • Modelo3animado.html • Modelo4animado.html • Modelo5animado.html • Modelo6animado.html e 1. descobrir a forma como são construídos partindo do modelo básico. 2. ser estimulados a construir novos modelos, apresentando esboços sobre esses modelos ou construindo-os em Geogebra se tiverem já alguma familiaridade com este sofware de Geometria Dinâmica. 3. fazer pesquisa na web sobre outras ideias. 4. Procurar situações reais, em arte, arquitectura (edifícios, pontes, etc.), design, etc. onde aparecem modelos análogos. Todos estes modelos devem ser apresentados e discutidos em grupo. Podem imprimi-los e exibi-los em exposições da escola, semanas culturais, etc.


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Análise de um exemplo concreto. Alguma teoria: Um exemplo: Considera as duas rectas y = x e y = −x no plano. Sobre a recta y = x desloca-se um ponto, com velocidade uniforme, partindo da origem. Esse ponto no instante t ≥ 0 estará no ponto At = (t, t). Sobre a recta y = −x desloca-se um outro ponto, com a mesma velocidade uniforme, partindo do ponto (−1, 1). Esse segundo ponto no instante t ≥ 0 estará no ponto Bt = (−1 + t, 1 − t). Exercício:

Para cada t ≥ 0, calcular a equação da recta rt que une os pontos At e Bt .

Solução f (x, y, t) = (1 − 2t) x + y − 2t(1 − t) = 0

(0.3)

Analisar com detalhe a animação Modelo7exemplo.html Exercício Solução

Fixa agora um instante t > 0 e a recta rt . Para um h > 0 muito pequeno, considera a recta rt+h . Qual a equação desta recta? f (x, y, t + h) = (1 − 2t − 2h) x + y − 2(t + h)(1 − t − h) = 0

(0.4)

Ponto característico Estas duas rectas intersectam-se num ponto sobre a recta rt . O problema é determinar (com t fixo), a posição limite deste ponto quando h → 0. A este ponto limite chama-se o ponto característico Ct da recta rt . Analisar novamente com detalhe a animação Modelo7exemplo.html Envolvente Envolvente

Quando t varia o ponto caracterítico Ct descreve uma curva que é a envolvente das rectas rt A equação da envolvente calcula-se eliminando t nas duas equações seguintes: f (x, y, t) = 0 (0.5) e

f (x, y, t + h) − f (x, y, t) =0 h→0 h lim

(0.6)

Exercício Fazer e justificar os cálculos com detalhe. Solução y=

1 + x2 2

Avaliação do desempenho: Averigue se os alunos compreenderam as actividades propostas, observando as contribuições individuais e em grupo, quer na sala de aula quer em trabalho de casa. Faça um teste se necessário, com problemas análogos aos propostos na folha de trabalho e outras de carácter mais exploratório. Progrida para actividades de nível mais elevado apenas quando está garantida a compreensão das de nível inferior.

(0.7)


Guião Modulo1_CosturarCurvas