ESCOLA SECUNDÁRIA FRANCISCO DE HOLANDA FICHA de TRABALHO 10º Ano
Função Módulo Quando se representam dois pontos de abcissas simétricas sobre uma reta real, como por exemplo, os pontos A e B de abcissas 2 e -2, respetivamente, observa-se que a sua distância à origem da reta é a mesma, ou seja, para cada ponto essa distância é de 2 unidades. Distância = 2
Distância = 2
B
A -2
2
O
Geometricamente, a distância entre um ponto da reta real e a origem dessa reta é dada pelo valor absoluto da abcissa do ponto, usando-se a notação módulo ou valor absoluto para o exprimir simbolicamente. 2 .......
2 .......
0 .......
0,1 .......
20 ....... 3
Como vimos, estabeleceu-se uma correspondência entre cada número real e o seu valor absoluto, essa correspondência é unívoca, tratando-se, portanto, de uma função, designada por função módulo.
DEFINIÇÃO Chama-se função módulo à função que associa a cada número real x o seu valor absoluto x f : IR IR x f x x
e
............. x .............
se x 0 se x 0
Mais genericamente, dada uma função real de variável real definida por p x : ............. p x .............
se p x 0 se p x 0
O gráfico de x x é constituído por duas semirretas com a mesma origem:
a reta ……………… para x 0, e a reta ……………… para x ,0
O gráfico da função y x também pode ser obtido através da representação da função y x substituindo os pontos de ordenada menor do que zero pelos seus simétricos relativamente ao eixo das abcissas.
y x
Vamos estudar a família de funções escritas na forma y a x h k , a 0
1. Comecemos por estudar AS FUNÇÕES DO TIPO y a x No referencial da figura ao lado tens representadas graficamente as funções y x e y 2 x , aproveita-o para nele representares também as funções y 0,5 x , y 2 x e y x Procura retirar conclusões sobre os gráficos das funções deste tipo.
Conclusões: Gráficos de y a x
a 0
O gráfico de uma função do tipo y a x
a 0 tem a forma de um “V” com a abertura voltada para
cima se ………., com a abertura voltada para baixo se ……….. O vértice é o ponto de coordenadas (.... , ....) O eixo de simetria do gráfico é o eixo dos ….... , de equação ….... Domínio: ........ Contradomínio: . se
a 0 :.......... a 0 :..........
Quanto à paridade, são funções ……..….. O gráfico de uma função do tipo y a x
a 0 obtém-se do gráfico da função y x , efetuando uma
dilatação vertical de coeficiente a (se a 1 a 1 ) ou uma contração vertical coeficiente a (se 1 a 0 0 a 1 ).
2. FUNÇÕES DO TIPO y a x k
a 0
Sabendo que V1 é a representação gráfica da função y x , quais as expressões analíticas das funções representadas graficamente por V2 e V3 ? Nota: a abertura dos gráficos mantém-se.
Procura retirar conclusões sobre os gráficos das funções deste tipo. Como obter o gráfico das funções y 2 x 1 e y 2 x 3 a partir do gráfico da função y x ?
Conclusões:
a 0
Gráficos de funções y a x k
São gráficos com a mesma ....................... de y a x e que sofreram uma translação vertical de ...….... unidades - translação associada ao vetor ………….. O sentido da translação é igual ao sinal de ....... O vértice é o ponto de coordenadas (.... , ....) O eixo de simetria do gráfico é o eixo dos ….... , de equação ….... Domínio: .............. Contradomínio: . se
a 0 :.......... a 0 :..........
Quanto à paridade, são funções ……..…..
3. FUNÇÕES DO TIPO y a x h
a 0
Sabendo que V1 é a representação gráfica da função y 2,5 x , quais as expressões analíticas graficamente por V2 e V3 ?
das
funções
representadas
Nota: a abertura dos gráficos mantém-se.
Procura retirar conclusões sobre os gráficos das funções deste tipo. Como obter o gráfico das funções y 2 x 1 e y 2 x 4 a partir do gráfico da função y x ?
Conclusões: Gráficos de y a x h
a 0
São gráficos com a mesma ....................... de y a x e que sofreram uma translação horizontal de ...….... unidades - translação associada ao vetor ………….. O sentido da translação é igual ao sinal de ....... O vértice é o ponto de coordenadas (.... , ....) O eixo de simetria do gráfico é a reta vertical de equação ….... Domínio: .............. Contradomínio: . se
a 0 :.......... a 0 :..........
É uma função par se …………
4. FUNÇÕES DO TIPO y a x h k Sabendo que V1
é
a 0
a representação gráfica da função
y 0,8 x , quais as expressões analíticas das funções
representadas graficamente por V2 e V3 ? Nota: a abertura dos gráficos mantém-se.
Procura retirar conclusões sobre os gráficos das funções deste tipo. Que se pode prever sobre o gráfico da função y 2 x 2 1 ?
Conclusões: Gráficos de y a x h k
a 0
(caso geral)
O gráfico de uma função do tipo y a x h k
a 0
obtém-se do gráfico da função y x ,
efetuando uma dilatação vertical de coeficiente a (se a 1 a 1 ) ou uma contração vertical coeficiente a (se 1 a 0 0 a 1 ), seguida de uma ………………………. associada ao vetor…………….. O vértice é o ponto de coordenadas (.... , ....) O eixo de simetria do gráfico é a reta vertical de equação ……... Domínio: .............. Contradomínio: . se
a 0 :.......... a 0 :..........
É uma função par se ……….…
Exemplos 1. Associa a cada uma das funções representadas graficamente no referencial da figura ao lado a sua expressão analítica:
f x 2 x 1 2 g x
1 x 1 2 3
h x x 1 ix x 2 1 jx 3 x 2 1
2. Determina uma expressão analítica da função representada graficamente na figura ao lado. (Nota: o ponto de coordenadas (0 , 8) pertence ao gráfico da função e o seu vértice é o ponto de coordenadas (4 , 2)). 3. Seja g a função real de variável real definida por g ( x) 3 2 x 1 1 . Apresenta uma expressão analítica que represente g na forma y a x h k , a 0 e esboça o gráfico de g, começando por determinar as coordenadas do respetivo vértice. Assinala, na tua representação, o eixo de simetria, o vértice e mais dois pontos do gráfico, simétricos relativamente ao eixo de simetria.
p x 4. Tendo em atenção que p x p x
se
p x 0
se
p x 0
define analiticamente, por ramos, sem usar o símbolo
de valor absoluto, as funções representas a seguir: f ( x) x 3 e g ( x) 1 2 x 5. Explica como se pode obter o gráfico de cada uma das funções reais de variável real definidas pelas expressões seguintes, a partir do gráfico da função real de variável real definida por y x , utilizando a linguagem das transformações de funções. a)
y x 1
b) y 2 x 1
c) y 2 x 2
d) y
2 x 1 3 3
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES COM MÓDULO Vamos começar por considerar equações e inequações do tipo x a , x a e x a , com a IR
EXEMPLO: Determina o conjunto-solução de: 1.
x 3
2.
x 3
3.
x 3
Vamos começar por fazer resoluções gráficas que nos vão orientar para os processos a seguir nas resoluções analíticas. 1.
x 3 y
y
y x
3
x
O
-3
O conjunto-solução é: .....,.....
x 3 x .....
x .....
No caso geral, x a , com a IR , temos: ▪
Se a 0 - a equação é impossível;
▪
Se a 0 - x 0 x 0 ;
▪
Se a 0 -
x a x a x a
O
x 3
3
x
2.
x 3 y
x 3
3
-3
O
3
x
O conjunto-solução é: ..... , .....
x 3 ...... x ...... x ....... x ....... No caso geral, x a , com a IR , temos:
3.
▪
se a 0 - a condição é impossível;
▪
se a 0 -
x a x a x a
x 3
y 3
-3
x 3
O
3
x
O conjunto-solução é: ......,...... ......,.......
x 3
x ....... x ....... No caso geral, x a , com a IR , temos: ▪
se a 0 - a condição é universal e o conjunto-solução é IR ;
▪
se a 0 -
x 0 x IR \ 0
▪
se a 0 -
x a x a x a
Exemplos 1. Determina o conjunto-solução da: a) equação 4 x 2 3 0 b) inequação 1 3 x 4 c) inequação 2 x 1 1
2. Resolve a equação 1 2x x 3 Nota: para resolver esta equação tem em atenção uma destas duas propriedades: I.
a b a b a b
II.
a b a2 b2 , sendo a e b números reais não negativos.
3. Resolve a inequação x 3 x 2 Nota: para resolver esta inequação tem em atenção a seguinte propriedade:
a b a2 b2 , sendo a e b números reais não negativos.
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO: 1. Considere a função g, de domínio IR , definida por g x x 3 Qual das equações seguintes tem duas soluções distintas? (A) g x 1
(B) g x 2
(C) g x 3
(D) g x 4
2. Em IR , qual das condições seguintes é equivalente à inequação x 2 4 ? (A) x 2
(B) x 4
(C)
x 2
(D) x 4
3. Na figura está o gráfico de uma função, de domínio IR , definida por
f x x a b , em que a e b designam dois números reais. Qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) a 0 b 0
(B) a 0 b 0
(C) a 0 b 0
(D) a 0 b 0
4. Considera a função f tal que f x 1 6 2 x a) Escreve f x sem utilizar módulos. b) Representa graficamente a função f c) Resolve as seguintes inequações: c1) f x 5 c2) f x 4
5. Na figura ao lado está representada graficamente a função f, definida por f x 2 x 1 3 .
f
y
a) Explica como se poderá obter o gráfico de f a partir do gráfico de
y 2 x b) A partir do gráfico de y f x , esboça, justificando, o gráfico de
x y = -1
y f x , y f x 3 e de y f x 2 c) Indica, justificando, os valores de x para os quais f x 1
Olívia Canedo Maria José Vaz da Costa