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Trigonometria

Aceite para publicação em 22 de Setembro de 2011


Trigonometria

Ficha técnica

Autor da atividade :

Licença da atividade:

José António Fernandes de Freitas

José António Fernandes de Freitas

Creative Commons da Casa das Ciências

Página 2


Trigonometria CURSO Ciências e Tecnologias

ANO 11º

TEMA Funções Trigonométricas

Obs:

FICHA ORIENTADA DE MATEMÁTICA A ESTUDO DA FUNÇÃO SENO

Na sequência de mover o ponto C, de forma a visualizar o gráfico da restrição da função seno ao intervalo [0, 2π], responda às seguintes questões.

1. Mova o ponto C, no sentido anti-horário, sobre o arco que corresponde ao primeiro quadrante e conjeture sobre a monotonia e sinal da função seno, registando as suas conclusões. Proceda de igual forma para os restantes quadrantes.

Função

Quadrantes

Monotonia

Sinal

1º quadrante

2º quadrante

3º quadrante

4º quadrante

José António Fernandes de Freitas

Página 3


Trigonometria 2. Identificar as raízes e os pontos de máximo e mínimo de [0, 2π].

no intervalo

Explore o gráfico da função para completar as informações a seguir: de 0 a 2 são …….. e …….

2.1.

As raízes de

2.2.

O valor mínimo de

de 0 a 2 é …….. e ocorre quando

……..

2.3.

O valor máximo de

de 0 a 2 é …….. e ocorre quando

……..

Observe agora parte da representação gráfica da função

.

3. Complete as seguintes afirmações: é …………;

3.1.

o domínio da função

3.2.

o contradomínio da função

3.3.

zeros da função :

…………………;

3.4.

o máximo da função

é ….. para

……………………;

3.5.

o mínimo da função

é ….. para

……………………;

4. Como classifica a função

é ………..;

relativamente à paridade?

É uma função …………… , ou seja, . 5. Dada qualquer amplitude , qual o menor valor positivo ? …………………………………….. José António Fernandes de Freitas

que satisfaz a condição

Página 4


Trigonometria

6. A função seno é ……………………. e ………….. é o período positivo mínimo.

7. Preencha a tabela seguinte: Domínio

Contradomínio

Zeros

Extremos

Período

k = -2 k = -1 k= k=3 a = -3 a = -1 a= a=2 m = -1 m=m=2 m=3 b = -2 b=b= b=2

José António Fernandes de Freitas

Página 5


Trigonometria Após uma análise dos resultados obtidos na tabela anterior, responda às questões seguintes. 8. Que pode concluir relativamente à influência do parâmetro ?

em funções do tipo

……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………

9. Que pode concluir relativamente à influência do parâmetro ?

em funções do tipo

……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………

10. Que pode concluir relativamente à influência do parâmetro ?

em funções do tipo

……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………

11. Que pode concluir relativamente à influência do parâmetro ?

em funções do tipo

……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………

José António Fernandes de Freitas

Página 6


Trigonometria ESTUDO DA FUNÇÃO COSSENO

Na sequência de mover o ponto C, de forma a visualizar o gráfico da restrição da função cosseno ao intervalo [0, 2π], responda às seguintes questões.

12. Mova o ponto C, no sentido anti-horário, sobre o arco que corresponde ao primeiro quadrante e conjeture sobre a monotonia e sinal da função cosseno, registando as suas conclusões. Proceda de igual forma para os restantes quadrantes.

Função

Quadrantes

Monotonia

Sinal

1º quadrante

2º quadrante

3º quadrante

4º quadrante

José António Fernandes de Freitas

Página 7


Trigonometria 13. Identificar as raízes e os pontos de máximo e mínimo de [0, 2π].

no intervalo

Explore o gráfico da função para completar as informações a seguir: de 0 a 2 são …….. e …….

13.1. As raízes de 13.2. O valor mínimo de

de 0 a 2 é …….. e ocorre quando

……..

13.3. O valor máximo de

de 0 a 2 é …….. e ocorre quando

……..

Observe agora parte da representação gráfica da função

.

14. Complete as seguintes afirmações: 14.1. o domínio da função

é …………;

14.2. o contradomínio da função

é ………..;

14.3. zeros da função :

…………………;

14.4. o máximo da função

é ….. para

……………………;

14.5. o mínimo da função

é ….. para

……………………;

15. Como classifica a função

relativamente à paridade?

É uma função …………… , ou seja,

.

16. Dada qualquer amplitude , qual o menor valor positivo ? …………………………………….. José António Fernandes de Freitas

que satisfaz a condição Página 8


Trigonometria

17. A função cosseno é ……………………. e ………….. é o período positivo mínimo.

ESTUDO DA FUNÇÃO TANGENTE

Na sequência de mover o ponto C, de forma a visualizar o gráfico da restrição da função tangente ao intervalo [0, 2π], para os valores de x onde a tangente está definida, responda às seguintes questões.

18. Mova o ponto C, no sentido anti-horário, sobre o arco que corresponde ao primeiro quadrante e conjeture sobre a monotonia e sinal da função tangente, registando as suas conclusões. Proceda de igual forma para os restantes quadrantes.

Função

Quadrantes

Monotonia

Sinal

1º quadrante

2º quadrante

3º quadrante

4º quadrante

19. Identificar as raízes e conjeturar sobre a existência de máximos e mínimos de no intervalo [0, 2π], para valores de x onde a tangente está definida.

José António Fernandes de Freitas

Página 9


Trigonometria Explore o gráfico da função para completar as informações a seguir: de 0 a 2 são …….., ……. e ….…

19.1. As raízes de 19.2. O valor mínimo de

de 0 a 2 ………………………….

19.3. O valor máximo de

de 0 a 2 …………………………

Observe agora parte da representação gráfica da função

.

20. Complete as seguintes afirmações: 20.1. o domínio da função

é …………;

20.2. o contradomínio da função 20.3. zeros da função : 20.4. A função

é ………..;

…………………;

não tem …………………………..

21. Como classifica a função

relativamente à paridade?

É uma função …………… , ou seja, José António Fernandes de Freitas

. Página 10


Trigonometria

22. Dada qualquer amplitude , qual o menor valor positivo ? ……………………………………..

que satisfaz a condição

23. A função tangente é ……………………. e ………….. é o período positivo mínimo.

EXERCÍCIOS 1. Na figura está representada a trajectória de uma bola num relvado, depois de ter sido pontapeada por um atleta.

Seja h uma função, de domínio , definida por . Admita que h dá a altura, em metros, da bola ao solo em função da amplitude , em radianos, do arco SPB (S é o ponto de saída da bola, P é um ponto fixo do relvado e B é o ponto onde se encontra a bola). 1.1.

Calcule h(0,7), apresentando o resultado arredondado às centésimas. Interprete o resultado no contexto do problema.

1.2.

Recorra à calculadora para determinar graficamente as soluções da equação que lhe permite resolver o seguinte problema: Quais são os valores para a amplitude, em radianos, do arco SPB, para que a altura da bola seja igual a 1 metro? Apresente todos os elementos recolhidos na utilização da calculadora, nomeadamente o gráfico, ou gráficos obtido(s). Apresente os resultados na forma de dízima, arredondado às centésimas.

1.3.

Num certo instante, a bola encontra-se a uma distância do ponto P que é igual ao dobro da distância da projecção da bola no relvado (ponto R, como se pode ver na figura ao lado) a esse ponto P. Qual á a altura da bola? Apresente o resultado em metros, arredondado às centésimas.

2. Na figura está representada uma circunferência de centro C e raio 60 m. O quadrado [ABCD] tem 120 m de lado. EF é um arco de circunferência de centro em C e o ponto P move-se ao longo desse arco; em consequência, o ponto Q desloca-se sobre o segmento [AB], de tal forma que se tem sempre .

José António Fernandes de Freitas

Página 11


Trigonometria Então, P é um ponto da circunferência cuja posição depende do ângulo trapézio. 2.1.

2.2.

e o quadrilátero [CPQB] é um

Qual seria a área do trapézio se: 2.1.1.

?

2.1.2.

?

Mostre sucessivamente que: 2.2.1.

2.2.2.

2.2.3.

a altura h do trapézio é dada pela expressão : é dado em função de ;

por

a área, A, do trapézio é dada em função de

por

.

2.3.

Determine o comprimento do arco PF se

2.4.

Recorra à calculadora para determinar graficamente a solução da equação que permite resolver o seguinte problema: “Qual o valor de

.

para o qual a área do trapézio [CPQB] é 6000 m2?”

Num pequeno texto, explique as conclusões a que chegou, incluindo o(s) gráfico(s) obtido(s), bem como as coordenadas de pontos relevantes. Apresente o valor pedido em radianos e na forma de dízima arredondado às milésimas.

3. A nossa respiração é um fenómeno cíclico, com períodos alternados de inspiração e expiração. Em determinado adulto, a velocidade do ar nos pulmões em função do tempo, em segundos, decorrido a partir do início de uma inspiração

é

dada

pela

equação

Qual é o ciclo respiratório

completo desse adulto?

4. Num determinado lugar, as marés altas ocorrem às 0h e às 12h, com altitude de 0,9m, enquanto as marés baixas ocorrem às 6h e às 18h com altitude de 0,1m. Nessas condições, qual a função que descreve a altitude do mar em relação ao horário t, em horas?

Sugestão: Feito este estudo das funções trigonométricas, deve resolver os exercícios propostos no manual escolar.

FIM

José António Fernandes de Freitas

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Ficha orientada do material Funções Trigonométricas