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Exe rcícios sobre Complexos Michael Fowler 1. Localize no plano complexo os números e escreva-os na forma . 2. Escreva a regra de multiplicação de dois números complexos da forma e descubra como calcular o inverso de um número complexo, isto é, exprima como . 3. Descubra como inverter um número na outra notação: se , exprima e em termos de e . Dica: multiplique por . 4. Mostre, num diagrama, onde está a raiz cúbica de -1, chamemos-lhe . Quantas raízes cúbicas tem -1? Mostre todas as possibilidades no diagrama. De seguida, faça o mesmo para as raízes cúbicas de 1. (Nota: é usualmente usado para a raiz cúbica de -1; nós também a usamos para frequência angular, claro. Tenha cuidado e não os confunda.) 5. Desenhe um número complexo como um vector (apontando da origem para ), e depois desenhe no mesmo diagrama os vectores (sendo a raiz cúbica de -1). 6. Usando e deduza as fórmulas para 7. Suponha que o ponto se move no plano complexo de um modo tal que no instante com real e . Onde está em ? E em ? E ? E ? Descreva o movimento no tempo. Como é que se alteraria a sua resposta se A fosse um imaginário puro em vez de real? 8. Considere novamente . Derive ambos os lados para encontrar uma expressão para a velocidade à medida que o ponto se move ao longo da sua trajectória. Qual a relação entre o vector velocidade e o vector posição? Derive novamente para achar o vector aceleração, e comente a sua direcção e sentido. 9. Descreva brevemente o comportamento de no tempo se para real. Como se alteraria este comportamento se tivesse uma pequena parte imaginária, , com pequeno? Esboce o movimento de no plano complexo para positivo e negativo. 10. Considere a equação quadrática . Para , ambas as raízes são iguais a 1. Esboce (no plano complexo) o movimento da raiz maior quando varia de 1.2 até 0.8 passando por 1. Repita para


a outra raiz, de preferência com uma cor diferente.

Tradução/Adaptação Casa das Ciências 2009


Exercícios sobre Complexos