Aceite para publicação em 15 de Março de 2010
introdução propriedades
extras créditos
polígonos regulares
agradecimentos
rotações
fim
pré-requisitos indispensáveis para a compreensão do tema em estudo
circunferência
ângulo ao centro
ângulo inscrito
estudo das relações entre a circunferência e os elementos geométricos que lhe estão associados
propriedade 1
propriedade 4
propriedade 7
propriedade 2
propriedade 5
propriedade 8
propriedade 3
propriedade 6
propriedade 9
a circunferência de centro O e raio r é o lugar geométrico dos pontos do plano cuja distância a O é igual a r
um ângulo ao centro é um ângulo cujo vértice coincide com o centro da circunferência e cujos lados contêm raios
S AOB ®
ângulo ao centro
arcoAB ® arco correspondente
um ângulo inscrito é um ângulo cujo vértice é um ponto da circunferência e cujos lados contêm cordas
S ACB ®
ângulo inscrito
arcoAB ® arco correspondente
Qual será a relação entre as amplitudes de um ângulo ao centro e do arco correspondente? Clica na figura e tenta descobrir!
S AOB ®
ângulo ao centro
arcoAB ® arco correspondente
A amplitude de um ângulo ao centro é igual à amplitude do arco correspondente.
µ = 60º AOB »AB = 60º
Qual será a relação entre arcos e cordas de ângulos ao centro geometricamente iguais? Clica na figura e tenta descobrir!
Ao ângulo ao centro
S AOB
correspondem o
arcoAB
e a corda
Ao ângulo ao centro
[ AB ]
S COD
correspondem o
arcoCD
e a corda
[ CD ]
A ângulos ao centro geometricamente iguais correspondem arcos e cordas geometricamente iguais.
µ = COD µ AOB AB = CD »AB = CD »
Qual será a relação entre as amplitudes de um ângulo ao centro e de um ângulo inscrito no mesmo arco? Clica na figura e tenta descobrir!
Ao ângulo ao centro e ao ângulo inscrito
S AOB S ACB arcoAB
corresponde o mesmo
A amplitude de um ângulo inscrito é igual a metade da amplitude do ângulo ao centro correspondente.
µ B = AOB µ :2 AC µ = »AB : 2 ACB
Ângulos inscritos que contêm o mesmo arco são geometricamente iguais.
µ = »AB : 2 ACB µ = »AB : 2 ADB µ = »AB : 2 AEB µ = ADB µ = AE µB ACB
Qualquer triângulo inscrito numa semicircunferência é um triângulo rectângulo.
µ = AOB µ : 2 = 90º ACB O triângulo [ABC] é um triângulo rectângulo.
[
]
O diâmetro AB coincide com a hipotenusa do triângulo rectângulo. Clica aqui para mais informações acerca de triângulos rectângulos
Qual será a relação entre as amplitudes de ângulos opostos de um quadrilátero inscrito numa circunferência? Clica na figura e tenta descobrir!
S DAB
é oposto a
S DCB
S ADC
é oposto a
S ABC
Clica aqui para mais informações acerca de polígonos inscritos em circunferências
Ângulos opostos de um quadrilátero inscrito numa circunferência são suplementares.
µ = 180º D µAB + DCB µ + ABC µ = 180º ADC
Cordas paralelas definem dois ângulos ao centro, dois arcos e duas cordas. Qual será a relação entre eles? Clica na figura e tenta descobrir!
As cordas paralelas
[ AB ] e [ DC ]
os ângulos ao centro S BOC e os arcos
BC
as cordas
e
[ BC ]
AD e
[ AD ]
definem
S AOD
Cordas paralelas definem arcos, cordas e ângulos ao centro geometricamente iguais.
µ = 180º D µAB + DCB µ + ABC µ = 180º ADC
Qual será a posição relativa do raio [OT] e da recta tangente à circunferência em T? Clica na figura e tenta descobrir!
[ OT ] ® TP ®
Raio da circunferência
Recta tangente à circunferência em
T
Uma recta tangente à circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência.
[ OT ] ^ TP OTµ P = 90º
Qual será a posição relativa do centro de uma circunferência e da mediatriz de uma sua corda? Clica na figura e tenta descobrir!
[ AB ] ® corda da circunferência OM ®
Mediatriz de
[ AB ]
A mediatriz de qualquer corda passa no centro da circunferência.
[ OT ] ^ TP OTµ P = 90º
Clica aqui para mais informações sobre a mediatriz
Um polígono regular é um polígono com todos os lados com o mesmo comprimento e todos os ângulos com a mesma amplitude.
Qualquer polígono regular pode ser inscrito numa circunferência.
[
O pentágono ABCDE é um polígono regular
]
Como determinar as amplitudes dos ângulos internos e dos ângulos externos de polígonos regulares? Clica na figura e tenta descobrir!
R ABC ®
ângulo interno
S CBF ®
ângulo externo
Exemplo: Para determinar as amplitudes dos ângulos internos e dos ângulos externos de um pentágono regular:
ângulo externo
µ = AOB µ = 360º: 5 = 72 OBF ângulo interno
µ O = 180º -OBF µ = 108º AB
Para determinar as amplitudes dos ângulos internos e dos ângulos externo de um polĂgono regular com n lados:
Uma rotação de centro O e ângulo de amplitude é uma transformação geométrica que ao ponto O faz corresponder o próprio ponto O e que a cada ponto A da figura inicial faz corresponder o ponto A´ da figura final tal que:
OA = OA´
e
R ( O, +70º , [ ABC ] ) = [ A´ B´C´] centro da rotação
figura inicial
figura final
sentido da rotação ângulo da rotação
-
+
Clica aqui para experimentares outras rotações
µ ´= AOA
nesta secção podem ser recordados outros pré-requisitos
simbologia classificação de ângulos classificação de triângulos
teorema de Pitágoras mediatriz polígonos inscritos em circunferências
Propriedade: A soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é 180º Clica aqui para veres uma demonstração
Num triângulo rectângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
2
2
AB = AC + BC
[ AB ] ® [ AC ] [ BC ]
2
A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo recto.
® Os catetos são os dois
lados perpendiculares. Voltar à propriedade 5
Clica aqui para mais informações sobre o Teorema de Pitágoras
A mediatriz de um segmento de recta [AB] é o conjunto dos pontos do plano que estão à mesma distância de A e de B.
r ® mediatriz de [ AB ] M ® ponto médio de [ AB ]
[ AB ] e r são perpendiculares
As 3 mediatrizes dos lados de um triângulo intersectam-se num ponto que se chama circuncentro.
O circuncentro é o centro da circunferência que contém os 3 vértices do triângulo. Voltar à propriedade 9
Clica aqui para mais informações sobre pontos notáveis de um triângulo
Um polígono está inscrito numa circunferência se cada um dos seus vértices for um ponto da circunferência.
O polígono está inscrito na circunferência
O polígono não está inscrito na circunferência
voltar à propriedade 6
Este trabalho foi integralmente elaborado por Erika Bizarro usando Microsoft PowerPoint e Geogebra e tendo sido convertido posteriormente em documento html.
Este trabalho foi publicado sob licença Creative Commons da Casa das Ciências
À minha colega Emília Valle que me iniciou no Geogebra À minha colega Ana Silva que me apresentou a Casa das Ciências Aos meus colegas da Casa das Ciências pelas dicas e sugestões À minha aluna Ana Beatriz Pinto do 7ºE, pela ideia para a figura da capa Ao meu irmão e à Ana pelo apoio informático Aos meus pais, os meus mais rigorosos revisores Aos meus Davids pela minha falta de tempo para eles
Erika Bizarro 2010