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Aceite para publicação em 15 de Março de 2010


introdução propriedades

extras créditos

polígonos regulares

agradecimentos

rotações

fim


pré-requisitos indispensáveis para a compreensão do tema em estudo

circunferência

ângulo ao centro

ângulo inscrito


estudo das relações entre a circunferência e os elementos geométricos que lhe estão associados

propriedade 1

propriedade 4

propriedade 7

propriedade 2

propriedade 5

propriedade 8

propriedade 3

propriedade 6

propriedade 9


a circunferência de centro O e raio r é o lugar geométrico dos pontos do plano cuja distância a O é igual a r


um ângulo ao centro é um ângulo cujo vértice coincide com o centro da circunferência e cujos lados contêm raios

S AOB ®

ângulo ao centro

arcoAB ® arco correspondente


um ângulo inscrito é um ângulo cujo vértice é um ponto da circunferência e cujos lados contêm cordas

S ACB ®

ângulo inscrito

arcoAB ® arco correspondente


Qual será a relação entre as amplitudes de um ângulo ao centro e do arco correspondente? Clica na figura e tenta descobrir!

S AOB ®

ângulo ao centro

arcoAB ® arco correspondente


A amplitude de um ângulo ao centro é igual à amplitude do arco correspondente.

µ = 60º AOB »AB = 60º


Qual será a relação entre arcos e cordas de ângulos ao centro geometricamente iguais? Clica na figura e tenta descobrir!

Ao ângulo ao centro

S AOB

correspondem o

arcoAB

e a corda

Ao ângulo ao centro

[ AB ]

S COD

correspondem o

arcoCD

e a corda

[ CD ]


A ângulos ao centro geometricamente iguais correspondem arcos e cordas geometricamente iguais.

µ = COD µ AOB AB = CD »AB = CD »


Qual será a relação entre as amplitudes de um ângulo ao centro e de um ângulo inscrito no mesmo arco? Clica na figura e tenta descobrir!

Ao ângulo ao centro e ao ângulo inscrito

S AOB S ACB arcoAB

corresponde o mesmo


A amplitude de um ângulo inscrito é igual a metade da amplitude do ângulo ao centro correspondente.

µ B = AOB µ :2 AC µ = »AB : 2 ACB


Ângulos inscritos que contêm o mesmo arco são geometricamente iguais.

µ = »AB : 2 ACB µ = »AB : 2 ADB µ = »AB : 2 AEB µ = ADB µ = AE µB ACB


Qualquer triângulo inscrito numa semicircunferência é um triângulo rectângulo.

µ = AOB µ : 2 = 90º ACB O triângulo [ABC] é um triângulo rectângulo.

[

]

O diâmetro AB coincide com a hipotenusa do triângulo rectângulo. Clica aqui para mais informações acerca de triângulos rectângulos


Qual será a relação entre as amplitudes de ângulos opostos de um quadrilátero inscrito numa circunferência? Clica na figura e tenta descobrir!

S DAB

é oposto a

S DCB

S ADC

é oposto a

S ABC

Clica aqui para mais informações acerca de polígonos inscritos em circunferências


Ângulos opostos de um quadrilátero inscrito numa circunferência são suplementares.

µ = 180º D µAB + DCB µ + ABC µ = 180º ADC


Cordas paralelas definem dois ângulos ao centro, dois arcos e duas cordas. Qual será a relação entre eles? Clica na figura e tenta descobrir!

As cordas paralelas

[ AB ] e [ DC ]

os ângulos ao centro S BOC e os arcos

BC

as cordas

e

[ BC ]

AD e

[ AD ]

definem

S AOD


Cordas paralelas definem arcos, cordas e ângulos ao centro geometricamente iguais.

µ = 180º D µAB + DCB µ + ABC µ = 180º ADC


Qual será a posição relativa do raio [OT] e da recta tangente à circunferência em T? Clica na figura e tenta descobrir!

[ OT ] ® TP ®

Raio da circunferência

Recta tangente à circunferência em

T


Uma recta tangente à circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência.

[ OT ] ^ TP OTµ P = 90º


Qual será a posição relativa do centro de uma circunferência e da mediatriz de uma sua corda? Clica na figura e tenta descobrir!

[ AB ] ® corda da circunferência OM ®

Mediatriz de

[ AB ]


A mediatriz de qualquer corda passa no centro da circunferência.

[ OT ] ^ TP OTµ P = 90º

Clica aqui para mais informações sobre a mediatriz


Um polígono regular é um polígono com todos os lados com o mesmo comprimento e todos os ângulos com a mesma amplitude.

Qualquer polígono regular pode ser inscrito numa circunferência.

[

O pentágono ABCDE é um polígono regular

]


Como determinar as amplitudes dos ângulos internos e dos ângulos externos de polígonos regulares? Clica na figura e tenta descobrir!

R ABC ®

ângulo interno

S CBF ®

ângulo externo


Exemplo: Para determinar as amplitudes dos ângulos internos e dos ângulos externos de um pentágono regular:

ângulo externo

µ = AOB µ = 360º: 5 = 72 OBF ângulo interno

µ O = 180º -OBF µ = 108º AB


Para determinar as amplitudes dos ângulos internos e dos ângulos externo de um polígono regular com n lados:


Uma rotação de centro O e ângulo de amplitude  é uma transformação geométrica que ao ponto O faz corresponder o próprio ponto O e que a cada ponto A da figura inicial faz corresponder o ponto A´ da figura final tal que:

OA = OA´

e

R ( O, +70º , [ ABC ] ) = [ A´ B´C´] centro da rotação

figura inicial

figura final

sentido da rotação ângulo da rotação

-

+

Clica aqui para experimentares outras rotações

µ ´=  AOA


nesta secção podem ser recordados outros pré-requisitos

simbologia classificação de ângulos classificação de triângulos

teorema de Pitágoras mediatriz polígonos inscritos em circunferências


Propriedade: A soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é 180º Clica aqui para veres uma demonstração


Num triângulo rectângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.

2

2

AB = AC + BC

[ AB ] ® [ AC ] [ BC ]

2

A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo recto.

® Os catetos são os dois

lados perpendiculares. Voltar à propriedade 5

Clica aqui para mais informações sobre o Teorema de Pitágoras


A mediatriz de um segmento de recta [AB] é o conjunto dos pontos do plano que estão à mesma distância de A e de B.

r ® mediatriz de [ AB ] M ® ponto médio de [ AB ]

[ AB ] e r são perpendiculares


As 3 mediatrizes dos lados de um triângulo intersectam-se num ponto que se chama circuncentro.

O circuncentro é o centro da circunferência que contém os 3 vértices do triângulo. Voltar à propriedade 9

Clica aqui para mais informações sobre pontos notáveis de um triângulo


Um polígono está inscrito numa circunferência se cada um dos seus vértices for um ponto da circunferência.

O polígono está inscrito na circunferência

O polígono não está inscrito na circunferência

voltar à propriedade 6


Este trabalho foi integralmente elaborado por Erika Bizarro usando Microsoft PowerPoint e Geogebra e tendo sido convertido posteriormente em documento html.

Este trabalho foi publicado sob licença Creative Commons da Casa das Ciências


À minha colega Emília Valle que me iniciou no Geogebra À minha colega Ana Silva que me apresentou a Casa das Ciências Aos meus colegas da Casa das Ciências pelas dicas e sugestões À minha aluna Ana Beatriz Pinto do 7ºE, pela ideia para a figura da capa Ao meu irmão e à Ana pelo apoio informático Aos meus pais, os meus mais rigorosos revisores Aos meus Davids pela minha falta de tempo para eles


Erika Bizarro 2010

Circunferência  

Parte do material da Casa das Ciências disponível para download em: http://www.casadasciencias.org/cc/redindex.php?idart=303&gid=35247538

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