Circunferência

Aceite para publicação em 15 de Março de 2010

introdução propriedades

extras créditos

polígonos regulares

agradecimentos

rotações

fim

pré-requisitos indispensáveis para a compreensão do tema em estudo

circunferência

ângulo ao centro

ângulo inscrito

estudo das relações entre a circunferência e os elementos geométricos que lhe estão associados

propriedade 1

propriedade 4

propriedade 7

propriedade 2

propriedade 5

propriedade 8

propriedade 3

propriedade 6

propriedade 9

a circunferência de centro O e raio r é o lugar geométrico dos pontos do plano cuja distância a O é igual a r

um ângulo ao centro é um ângulo cujo vértice coincide com o centro da circunferência e cujos lados contêm raios

S AOB ®

ângulo ao centro

arcoAB ® arco correspondente

um ângulo inscrito é um ângulo cujo vértice é um ponto da circunferência e cujos lados contêm cordas

S ACB ®

ângulo inscrito

arcoAB ® arco correspondente

Qual será a relação entre as amplitudes de um ângulo ao centro e do arco correspondente?

Clica na figura e tenta descobrir!

S AOB ®

ângulo ao centro

arcoAB ® arco correspondente

A amplitude de um ângulo ao centro é igual à amplitude do arco correspondente.

µ = 60º AOB »AB = 60º

Qual será a relação entre arcos e cordas de ângulos ao centro geometricamente iguais?

Clica na figura e tenta descobrir!

Ao ângulo ao centro

S AOB

correspondem o

arcoAB

e a corda

Ao ângulo ao centro

[ AB ]

S COD

correspondem o

arcoCD

e a corda

[ CD ]

A ângulos ao centro geometricamente iguais correspondem arcos e cordas geometricamente iguais.

µ = COD µ AOB AB = CD »AB = CD »

Qual será a relação entre as amplitudes de um ângulo ao centro e de um ângulo inscrito no mesmo arco?

Clica na figura e tenta descobrir!

Ao ângulo ao centro e ao ângulo inscrito

S AOB S ACB arcoAB

corresponde o mesmo

A amplitude de um ângulo inscrito é igual a metade da amplitude do ângulo ao centro correspondente.

µ B = AOB µ :2 AC µ = »AB : 2 ACB

Ângulos inscritos que contêm o mesmo arco são geometricamente iguais.

µ = »AB : 2 ACB µ = »AB : 2 ADB µ = »AB : 2 AEB µ = ADB µ = AE µB ACB

Qualquer triângulo inscrito numa semicircunferência é um triângulo rectângulo.

µ = AOB µ : 2 = 90º ACB O triângulo [ABC] é um triângulo rectângulo.

[

]

O diâmetro AB coincide com a hipotenusa do triângulo rectângulo.

Clica aqui para mais informações acerca de triângulos rectângulos

Qual será a relação entre as amplitudes de ângulos opostos de um quadrilátero inscrito numa circunferência?

Clica na figura e tenta descobrir!

S DAB

é oposto a

S DCB

S ADC

é oposto a

S ABC

Clica aqui para mais informações acerca de polígonos inscritos em circunferências

Ângulos opostos de um quadrilátero inscrito numa circunferência são suplementares.

µ = 180º D µAB + DCB µ + ABC µ = 180º ADC

Cordas paralelas definem dois ângulos ao centro, dois arcos e duas cordas. Qual será a relação entre eles?

Clica na figura e tenta descobrir!

As cordas paralelas

[ AB ] e [ DC ]

os ângulos ao centro S BOC e os arcos

BC

as cordas

e

[ BC ]

AD e

[ AD ]

definem

S AOD

Cordas paralelas definem arcos, cordas e ângulos ao centro geometricamente iguais.

µ = 180º D µAB + DCB µ + ABC µ = 180º ADC

Qual será a posição relativa do raio [OT] e da recta tangente à circunferência em T? Clica na figura e tenta descobrir!

[ OT ] ® TP ®

Raio da circunferência

Recta tangente à circunferência em

T

Uma recta tangente à circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência.

[ OT ] ^ TP OTµ P = 90º

Qual será a posição relativa do centro de uma circunferência e da mediatriz de uma sua corda?

Clica na figura e tenta descobrir!

[ AB ] ® corda da circunferência OM ®

Mediatriz de

[ AB ]

A mediatriz de qualquer corda passa no centro da circunferência.

[ OT ] ^ TP OTµ P = 90º

Clica aqui para mais informações sobre a mediatriz

Um polígono regular é um polígono com todos os lados com o mesmo comprimento e todos os ângulos com a mesma amplitude.

Qualquer polígono regular pode ser inscrito numa circunferência.

[

O pentágono ABCDE é um polígono regular

]

Como determinar as amplitudes dos ângulos internos e dos ângulos externos de polígonos regulares?

Clica na figura e tenta descobrir!

R ABC ®

ângulo interno

S CBF ®

ângulo externo

Exemplo: Para determinar as amplitudes dos ângulos internos e dos ângulos externos de um pentágono regular:

ângulo externo

µ = AOB µ = 360º: 5 = 72 OBF ângulo interno

µ O = 180º -OBF µ = 108º AB

Para determinar as amplitudes dos ângulos internos e dos ângulos externo de um polígono regular com n lados:

Uma rotação de centro O e ângulo de amplitude  é uma transformação geométrica que ao ponto O faz corresponder o próprio ponto O e que a cada ponto A da figura inicial faz corresponder o ponto A´ da figura final tal que:

OA = OA´

e

R ( O, +70º , [ ABC ] ) = [ A´ B´C´] centro da rotação

figura inicial

figura final

sentido da rotação ângulo da rotação

-

+

Clica aqui para experimentares outras rotações

µ ´=  AOA

nesta secção podem ser recordados outros pré-requisitos

simbologia classificação de ângulos classificação de triângulos

teorema de Pitágoras mediatriz polígonos inscritos em circunferências

Propriedade: A soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é 180º Clica aqui para veres uma demonstração

Num triângulo rectângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.

2

2

AB = AC + BC

[ AB ] ® [ AC ] [ BC ]

2

A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo recto.

® Os catetos são os dois

lados perpendiculares.

Voltar à propriedade 5

Clica aqui para mais informações sobre o Teorema de Pitágoras

A mediatriz de um segmento de recta [AB] é o conjunto dos pontos do plano que estão à mesma distância de A e de B.

r ® mediatriz de [ AB ] M ® ponto médio de [ AB ]

[ AB ] e r são perpendiculares

As 3 mediatrizes dos lados de um triângulo intersectam-se num ponto que se chama circuncentro.

O circuncentro é o centro da circunferência que contém os 3 vértices do triângulo.

Voltar à propriedade 9

Clica aqui para mais informações sobre pontos notáveis de um triângulo

Um polígono está inscrito numa circunferência se cada um dos seus vértices for um ponto da circunferência.

O polígono está inscrito na circunferência

O polígono não está inscrito na circunferência

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Este trabalho foi integralmente elaborado por Erika Bizarro usando Microsoft PowerPoint e Geogebra e tendo sido convertido posteriormente em documento html.

Este trabalho foi publicado sob licença Creative Commons da Casa das Ciências

À minha colega Emília Valle que me iniciou no Geogebra À minha colega Ana Silva que me apresentou a Casa das Ciências Aos meus colegas da Casa das Ciências pelas dicas e sugestões À minha aluna Ana Beatriz Pinto do 7ºE, pela ideia para a figura da capa Ao meu irmão e à Ana pelo apoio informático Aos meus pais, os meus mais rigorosos revisores Aos meus Davids pela minha falta de tempo para eles

Erika Bizarro 2010