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Modelos Matemáticos na Música

Grupo de Trabalho – Professores:

Ana Cristina de Trigueiros Pinção Ana Maria Loureiro Filipe Branquinho Gomes Bernardino Eugénio da Cruz Jorge Carlos Agostinho Antunes da Silva Jorge Manuel Pacheco Carvalho

Torres Vedras, 04/09/2012


Modelos Matemáticos na Música

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“O piano e a tábua de logaritmos”

“Tocar piano é como dedilhar sobre os logaritmos”

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______________________________________________________________________________ ÍNDICE Página 1. Introdução

4

2. Destinatários

4

3. Objetivos

5

4. Recursos necessários

5

5. Proposta de tarefa

7

6. Sugestões Metodológicas: Guião de Exploração e Tópicos de Resolução

11

7. Avaliação da tarefa

16

Anexo 1: Resolução da questão 5, alínea 5.4 da tarefa proposta

17

Anexo 2: Resolução da questão 5, alínea 5.5 da tarefa proposta

19

Anexo 3: Tabela de descritores (avaliação dos alunos na realização da

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tarefa)

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______________________________________________________________________________ 1. Introdução A atividade investigativa pretende contribuir para o estímulo e o interesse dos alunos pela criação de modelos matemáticos, a partir de experiências vividas no seu quotidiano. As Aplicações e Modelação Matemática e Resolução de Problemas e Atividades investigativa são temas transversais e assumem importância significativa no programa de Matemática do Ensino Secundário. O programa refere que o trabalho de modelação matemática só será plenamente atingido se for possível trabalhar na sala de aula ou no laboratório de matemática as diversas fases do processo de modelação matemática, nomeadamente a utilização de sensores, de recolha de dados acoplados a calculadoras gráficas ou a computadores. Os alunos passam a ter um papel ativo no seu processo aprendizagem, sendo o professor um acompanhante e um orientador dos processos e das tarefas dos alunos. Neste projeto houve a preocupação de propor uma atividade que, sendo apresentada de forma detalhada mas sintética, permita desenvolver a autonomia dos alunos na sua execução. O envolvimento dos alunos é facilitado pelo uso das tecnologias, designadamente computadores, internet, calculadoras gráficas, analisador de dados da Casio EA-200; emulador de um Piano Virtual. Nesta atividade a ligação da matemática à música parece-nos oportuna atendendo a que a música é a arte mais popular e tudo aponta para que seja aquela que mais mobiliza os nossos jovens. Desde o berço foram estimulados à audição de sons harmoniosos e, ainda que só alguns alunos tenham adquirido grande formação musical, o interesse e o gosto pela música é transversal a todos os jovens. Pensamos que qualquer atividade que envolva a música é um fator fortemente mobilizador na aprendizagem dos alunos. Toda a produção musical do nosso tempo tem a sua génese na escala temperada do compositor Johann Sebastian Bach (1685-1750), a qual não é alheio o aparecimento do conceito do logaritmo, alguns anos antes, por John Napier (1550-1617). Uma das ambições deste projeto é mostrar como o conceito de logaritmo e as aplicações matemáticas foram importantes na criação desta escala, assim pretende-se que os alunos aprendam matemática sem estar de costas voltadas para o mundo.

2. Destinatários - Alunos de Matemática A do 12º ano de escolaridade - Alunos de Matemática B do 11º ano de escolaridade Nota: como pré-requisitos à elaboração desta tarefa, os alunos devem já ter conhecimento das funções exponencial e logarítmica.

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3. Objetivos Trabalho de grupo em sala de aula para: - Investigar as relações matemáticas existentes entre as frequências das notas musicais da escala temperada; - Criar modelos matemáticos (função exponencial e função logaritmica) com as frequências das escalas musicais. 4. Recursos necessários Por cada grupo de trabalho: - Computador multimédia, equipado com colunas externas de som e ligação à Internet; - Analisador de Dados Casio EA-200; - Calculadora Gráfica Casio fx-9860 GII SD; - Emulador de um Piano Virtual (49 teclas; 4 escalas), referenciado no endereço Web http://www.buttonbeats.com/

Nota: Para a realização da tarefa numeramos as tecalas de 1 a 49, como sugere a figura adiante.

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______________________________________________________________________________ - Teclado do computador. O piano pode ser tocado com o auxílio do rato, clicando sobre a tecla. Sugerimos contudo a utilizado do teclado do computador. As teclas brancas do piano correspondem ao intervalo de teclas do teclado do computador, pela seguinte ordem:

As primeiras teclas do sustenido (cor preta) são accionadas pelas de numeração (de 1 a zero):

O segundo grupo das teclas de sustenido são acionadas pelas teclas de numeração em simultâneo com a tecla SHIFT. A frequência do som emitido por cada tecla varia entre 64,935 e 1052,6 Hz

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______________________________________________________________________________ 5. Proposta de tarefa O som é entendido como uma sensação auditiva, a qual é produzida por ondas sonoras. Estas ondas são geradas por objetos em vibração (ex: cordas vocais, instrumentos musicais, colunas de som). O fato de conseguirmos distinguir os diferentes sons deve-se aos seus atributos: altura, intensidade e timbre. A altura permite distinguir um som agudo de um som grave e está relacionada com o número de vibrações em cada unidade de tempo, isto é, com a frequência de vibração das ondas sonoras. A frequência está associada com a quantidade de ciclos completos (vibrações) de uma onda sonora, que ocorrem num período de 1 segundo, e é expressa em Hertz (Hz). O espetro de frequência que o ouvido humano pode entender abarca sons entre 20 Hz e 20 000 Hz. Os sons com os quais podemos criar as nossas músicas constituem o que chamamos “escala musical”. O nome de oitava tem a ver com a sequência das oito notas da escala: Dó, Ré, Mi, Fá, Sol, Lá, Si, Dó. Diz-se que o segundo Dó, ùltimo grau da escala está “uma oitava acima“ do primeiro. Quando dizemos que um instrumento abrange cinco oitavas, estamos a afirmar que podemos tocar a nota Dó em cinco oitavas diferentes, desde o Dó mais grave, passando por Dó médio e chegando a um Dó mais agudo. O compositor Johann Sebastian Bach (1685-1750) criou uma escala musical definindo uma regra lógica para a construção das notas. Esta escala, designada atualmente na música ocidental como escala temperada, contem doze semitons igualmente distribuídos por uma oitava, sendo designados por Dó, Dó#, Ré, Ré #, Mi, Fá , Fá#, Sol, Sol#, Lá, Lá#, Si e Dó.

A figura apresenta um segmento de um teclado de um piano que corresponde a uma oitava. As teclas brancas reproduzem os sons dos semitons: Dó, Ré, Mi, Fá, Sol, Lá, Si, Dó. As teclas pretas reproduzem os sons dos sustenidos: Dó#, Ré#, Fá#, Sol#, Lá#.

As tarefas que irás desenvolver pretendem dar a conhecer as relações matemáticas existentes na escala temperada.

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______________________________________________________________________________ 5.1. A tabela (I) que a seguir se apresenta faz corresponder às teclas 1, 13, 25, 37 e 49 do piano, a nota musical “DÓ” das sucessivas oitavas. A tecla número 1 corresponde ao 1º DÓ. A tecla número 13 corresponde ao 2º DÓ. A tecla número 25 corresponde ao 3º DÓ. A tecla número 37 corresponde ao 4º DÓ. A tecla número 49 corresponde ao 5º DÓ. ( d n ) representa a sucessão das frequências dos sons produzidos pelos sucessivos n “DÓ’s”.

5.1.1. Completa a tabela (I) Número da tecla

Termos da sucessão ( dn )

Pontos do gráfico (n, d n )

1

d1 = ……….

(1,_______)

13

d 2 = ……….

(2,_______)

25

d3 = ………..

(3,_______)

37

d 4 = ……….

(4,_______)

49

d5 = ……….

(5,_______)

5.1.2. Tendo em conta a última coluna apresentada na tabela e recorrendo à calculadora, constroi o diagrama n de dispersão e encontra a regressão exponencial do tipo d n = a . b .

5.1.3. Comente a afirmação:”A sucessão ( d n ) é uma progressão geométrica de razão 2”. Ou seja, no mundo da música, uma oitava é um intervalo entre uma nota musical e outra com o dobro da sua frequência.

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______________________________________________________________________________ 5.2. Na tabela (II) pretende-se efetuar o registo das frequências das doze notas musicais da escala temperada. Sugere-se a escolha da oitava a que corresponde as teclas 25 a 37 do piano. Número da tecla

Frequência (Hz)

( n)

( fn )

Pontos do gráfico

25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37

(25,_______) (26,_______) (27,_______) (28,_______) (29,_______) (30,_______) (31,_______) (32,_______) (33,_______) (34,_______) (35,_______) (36,_______) (37,_______)

5.2.1. Complete a tabela (II).

5.2.2 Tendo em conta a última coluna apresentada na tabela (II) e recorrendo à calculadora, constroi o diagrama de dispersão e encontra a regressão exponencial do tipo f (n) = a . b n .

5.2.3. Comente a afirmação:” f ( n) é uma progressão geométrica de razão

1

212 ”. A nota musical Lá, que no

piano utilizado corresponde à tecla 34, é o nome que se dá ao som que produz uma vibração de 440 Hz e serve como padrão de referência para a afinação de instrumentos musicais. O Lá 440 é a nota que se encontra acima do Dó central do piano. Assim, tendo em conta que a tecla número 34 tem a frequência de 440 Hz, e que a relação matemática entre as frequências de teclas consecutivas é uma progressão geométrica de razão

1

212 , podemos generalizar o modelo que permite obter a frequência de qualquer

tecla do piano f ( n) = 440 × 2

n −34 12

, sendo f ( n) o valor da frequência (em Hz) da tecla n .

5.3. Mostre que o número da tecla do piano pode ser expresso em função da frequência, em hertz, por

 f  N = 34 + 12 log 2  ÷  440  ____________________________________________________________________________________________________________ Grupo de Trabalho - Professores: Ana Cristina de Trigueiros Pinção; Ana Maria Loureiro Filipe Branquinho Gomes; Bernardino Eugénio da Cruz Jorge; Carlos Agostinho Antunes da Silva; Jorge Manuel Pacheco Carvalho Página 9 de 19


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______________________________________________________________________________ 5.4. Preenche a tabela tendo em conta a fórmula obtida anteriormente. Frequência

Número da Tecla

349,23 392,00 440,00 349,23 349,23 392,00 440,00 349,23 440,00 493,88 523,25 440,00 493,88 523,25 523,25 587,33 523,25 493,88 440,00 349,23 523,25 587,33 523,25 493,88 440,00 349,23 349,23 261,63 349,23 349,23 261,63 349,23

5.5. No piano virtual toca as teclas correspondentes aos números obtidos pela ordem indicada e tenta descobrir a canção reproduzida. -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------“A música é um exercício inconsciente de cálculos” (Leibniz, 1646-1716)

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______________________________________________________________________________ 6. Sugestões Metodológicas: Guião de Exploração e Tópicos de Resolução “Setup” da Calculadora gráfica Casio fx-9860 GII (ou equivalente) necessária à recolha de dados a. Liga o Analisador de Dados Casio EA-200 à Calculadora Gráfica b. Acede na calculadora ao menu “E-CON2”

c. Seleciona consecutivamente a tecla F1: para escolher “Setup EA-200” e “Wiz”

d. Seleciona a tecla F1 para escolher “CASIO”

e. Escolhe a opção “Microphone”

f. Escolhe a opção “Sound wave”

g. Define o intervalo de tempo de gravação da nota musical entre 0 e 1 segundos. À medida que a frequência aumenta o intervalo de tempo diminui. Por exemplo: entre duas notas DÓ o intervalo de tempo deverá reduzir-se a metade. h. Seleciona F1

i. Executar “Start Setup”

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______________________________________________________________________________ j. Questiona se os equipamentos estão devidamente preparados para a gravação dos dados. Em caso afirmativo, seleciona a tecla [EXE]

k. Para iniciar a recolha de dados pressiona [EXE] (na calculadora). Simultaneamente clica na tecla da nota do Piano Virtual que corresponde à recolha de dados (frequência e período)

Exemplo 1: Recolha de dados (“sound wave”) referente ao “Do” – teclas 1, 13, 25, 37 e 49

Clica na tecla da nota DO (tecla nº 1)do Piano Virtual e simultaneamente pressiona “EXE” (na calculadora) para dar início à gravação dos dados (relação do tempo com o volume/intensidade). O eixo das abcissas define a variável “tempo” em microsegundos.

Utiliza o “TRACE” da calculadora para identificar um ponto (máximo da função).

Avança o cursor para o máximo consecutivo, para determinar o período da função volume. A diferença das abcissas desses pontos dá o valor do período. A calculadora, simultaneamente, responde com o valor da frequência (f= 1/T). O período e a frequência desta nota são respetivamente 0,0154 segundos (15400 microsegundos) e 64,935 Hz.

Repete-se esta experiência (recolha do valor da frequência da nota musical) com a tecla “DO” das oitavas seguintes.

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______________________________________________________________________________ Refª Nota

Período (microsegundos)

Frequência (Hz)

1

15400

64,935

13

7600

131,57

25

3800

263,15

37

1900

526,31

49

950

1052,6

Gráfico

Estes valores originam um diagrama de dispersão que conduz a uma regressão exponencial do tipo f ( x ) = a . b x , sendo b = 1, 99920817 ≈ 2 . Confirma-se que a razão das frequências de dois DO consecutivos é 2.

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______________________________________________________________________________ Exemplo 2 Recolha de dados (“sound wave”) referentes à escala média (DO, DO#, RE, RE#, MI, FA, FA#, SOL, SOL#, LA, LA#, SI e DO: teclas 25 a 37)

Refª Nota

Período (microsegundos)

Frequência (Hz)

25

3800

263,15

26

3600

277,77

27

3400

294,11

28

3200

312,5

29

3050

327,86

Gráfico

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______________________________________________________________________________ Refª Nota

Período (microsegundos)

Frequência (Hz)

30

2850

350,87

31

2700

370,37

32

2550

392,15

33

2400

416,66

34

2250

444,44

35

2150

465,11

36

2050

487,8

37

1900

526,31

Gráfico

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Estes valores originam um diagrama de dispersão que conduz a uma regressão exponencial do tipo f ( x) = a . b x , sendo b = 1, 05912745 , um valor aproximado de

1

212 .

Confirma-se que os intervalos entre dois semitons consecutivos é de

1

212

7. Avaliação da tarefa Sugere-se que a avaliação dos alunos na realização da tarefa seja feita de acordo com as seguintes dimensões: “Conhecimento Matemático”, “Processos” e “Comunicação”, utilizando a tabela de descritores existente no Anexo 3.

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______________________________________________________________________________ ANEXO 1 Resolução da questão 5, alínea 5.4 da tarefa proposta Frequência 349,23 392,00 440,00 349,23

Número da Tecla 30 32 34 30

Nota correspondente Fá Sol Lá Fá

349,23 392,00 440,00 349,23

30 32 34 30

Fá Sol Lá Fá

440,00 493,88 523,25

34 36 37

Lá Si Dó

440,00 493,88 523,25

34 36 37

Lá Si Dó

523,25 587,33 523,25 493,88 440,00 349,23

37 39 37 36 34 30

Dó Ré Dó Si Lá Fá

523,25 587,33 523,25 493,88 440,00 349,23

37 39 37 36 34 30

Dó Ré Dó Si Lá Fá

349,23 261,63 349,23

30 25 30

Fá Dó Fá

349,23 261,63 349,23

30 25 30

Fá Dó Fá

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______________________________________________________________________________ ANEXO 2 Resolução da questão 5, alínea 5.5 da tarefa proposta Música "Frère Jacques"

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______________________________________________________________________________ ANEXO 3 Tabela de Descritores

Conhecimento Matemático

Processos

Comunicação

Nível 4 Mostra compreender os conceitos e princípios matemáticos envolvidos na situação. Usa terminologia e notação apropriada. Utiliza representações adequadas. Executa completa e correctamente algoritmos.

Pode usar informação exterior relevante de uma natureza formal ou informal. Identifica os elementos importantes da situação mostrando compreensão de relações entre eles. Formula questões que orientam/viabilizam uma estratégia de investigação. Formula e testa conjecturas. A procura de soluções é feita de uma forma organizada e sistemática. Apresenta uma resposta completa com uma clara e não ambígua descrição ou explicação. Pode incluir diagramas elucidativos e apropriados. Comunica de modo eficaz. Apresenta argumentos fortes e lógicos. Pode incluir exemplos e contra exemplos.

Nível 3 Mostra compreender conceitos e princípios matemáticos da situação. Usa quase correctamente a terminologia e notação apropriada. Utiliza representações corretas mas não muito adequadas. Executa completamente algoritmos. Os cálculos estão na generalidade correctos mas podem conter erros menores Pode usar informação exterior relevante de uma natureza formal ou informal. Identifica elementos importantes da situação mostrando compreensão de relações entre eles. Formula algumas questões que orientam/viabilizam uma estratégia de investigação. Formula conjecturas. A procura de soluções é feita de uma forma organizada e sistemática. Apresenta uma resposta completa com uma razoável e não ambígua descrição ou explicação. Pode apresentar diagramas apropriados. Em geral comunica eficazmente. Apresenta argumentos que podem conter pequenas imperfeições.

Nível 2 Mostra compreender alguns dos conceitos e princípios matemáticos da situação. A resposta pode ter erros computacionais. Utilizar representações com algumas incorrecções.

Nível 1 Mostra uma compreensão muito limitada dos conceitos e princípios matemáticos da situação. Pode trocar ou falhar no uso dos termos matemáticos. A resposta pode ter graves erros computacionais.

Nível 0 Mostra não compreender os conceitos e princípios matemáticos da situação.

Pode usar informação exterior com alguma relevância. Identifica alguns elementos importantes da situação mas mostra uma compreensão limitada de relações entre eles. É identificável a procura de situações mas este processo pode estar incompleto ou pouco sistematizado.

Informação exterior quando usada é irrelevante. Não identifica elementos importantes da situação nas relações entre eles. Pode reflectir uma estratégia inapropriada O processo de procura de soluções está incompleto ou é difícil de identificar.

O trabalho relatado se existente é inadequado e/ou irrelevante.

Apresenta uma resposta satisfatória mas a descrição ou explicações pode ser por vezes ambígua ou pouco clara. Pode incluir diagramas pouco claros ou precisos. A comunicação pode ser por vezes vaga ou de difícil interpretação. Os argumentos podem ser incompletos ou baseados em premissas pouco importantes.

Apresenta alguns elementos satisfatórios omitindo partes significativas da resolução ou contendo incorrecções. Pode incluir diagramas que representam de uma forma incorrecta a situação, pouco claros ou de difícil interpretação. A explicação ou descrição pode não existir ou ser de difícil leitura.

Comunica de forma ineficaz. Pode integrar desenhos que não representam de todo a situação.

Fonte: Varandas, J. (2000). Avaliação de investigação matemática: uma experiência. (Tese de mestrado, Universidade de Lisboa) Lisboa: APM

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