Preparaci贸n para el c谩lculo Fracciones Algebraicas
Fracciones Algebraicas
Es el cuociente de dos expresiones algebraicas.
Ejemplo:
2ab 4 a) 5b 2
x 2 5x 6 b) x2
xy c) 3 z 27
Simplificación de una fracción algebraica
1.
2.
Para simplificar una fracción es necesario y suficiente que el numerador y el denominador tenga un factor común. Se distinguen 2 casos: Si el numerador y el denominador son monomios. Ejemplo: 3ab 2 c 5 a) 6c 4 Si el numerador y/o el denominador son polinomios Ejemplo: x2 2x 1 x3 x 2 2 x 4 b) a) 2 x 1 6x
Simplificación de una F. A. con numerador y el denominador monomial.
En este caso la simplificación se hace en forma directa, cancelando los factores comunes. Ejemplo 1. 3 2aaaaabbb 3 2aaaaabbb 6 a 5b 3 2a 3 a) 2 5 3 aabbbbb 3a b 3aabbbbb b2
Ahora ustedes, simplifiquen:
25 p 2 q 5p a) 15 pq 3 3q 2
2m 7 np m3n b) 4 2 18m n p 9n
Simplificación de una F. A. con numerador y/o el denominador polinomial.
En este caso primero se factoriza el polinomio y luego simplifica.
Ejemplo . 2a 2 2 2(a 2 1) a) 4a 4a
2(a 2 1) a 1 2a 4a 2
Ahora ustedes, simplifiquen:
a 2 ab a) ab
a ( a b) ab
a
( x 2)( x 3) ( x 3) x 2 5x 6 b) 2 ( x 2)( x 1) ( x 1) x 3x 2
Multiplicación de fracciones algebraicas.
Se multiplican los numeradores y denominadores entre sí haciéndose todas las simplificaciones posibles.
En el caso que sean monomios la simplificación se puede hacer antes o después de multiplicar. En el caso de polinomios es conveniente hacer todas las simplificaciones (factorizando) y luego las multiplicaciones.
Multiplicación de F.A. con numerador y denominador monomial
Multiplicando y luego Simplificando. Simplificando y luego multiplicando.
3ab 2b 2 2a 3a 2 3ab 2b 6ab 2 b 2 2 3 2a 3a 6a a
Efectuemos el siguiente producto:
b2 3ab 2b 3ab 2b 2 2 2 a 2a 3a 2a 3a
Ahora ustedes: efectúen el siguiente producto
3xy 6ab 5 z 2 a) 2 2a 3xz 10b x
3 yz 2 xb
Multiplicación de F.A. con numerador y/o Como las fracciones Ahora contiene polinomios se denominador polinomial. debe factorizar primero simplificamos
Finalmente multiplicamos
para poder simplificar después.
Efectuemos el siguiente producto:
a b a 2 2ab b 2 2 2 ax bx a b
a b (a b)(a b) x(a b) (a b)(a b)
Ahora ustedes, efectúen los siguientes producto
a 3 a 1 a2 4 a2 9 a) 2 2 a2 a 2 a 4a 3 a 4a 4 2a 4 a 4 a 2 8a 16 2 b) 2 3a 12 a 16 a2 3
1 x
División de fracciones algebraicas. Se convierte a Se factoriza multiplicación y se Para dividir fracciones, se multiplica la primera Se fracción por el simplifica invierte la segunda recíproco de la segunda. Finalmente fracción se multiplica
Ejemplo:
3 2 3a 6 a b a b 6a 2 b a b a b a b 2 a) : 2 2 ( a b) 2ab (a b)(a b) 2ab a b 2ab 6a b 2
2
Ahora ustedes, efectúen la siguiente división
a 3 5a 2 6a a 3 3a 2 a) 2 : 2 a 7a 12 a 16
(a 2)(a 4) a 2 6a 8 a(a 3) a 2 3a
Actividad
Simplifique las siguientes expresiones:
3 p6q3 1. 6 2 24 p q
q 8
3a 3ab 2. 3a 1 b
x2 x 2 5 x 14 3. 2 x2 x 9 x 14 3y 3x 2 y 3xy 2 4. 2 2 x 2 2 xy
Efectúe las siguientes operaciones:
u2 3u 2v 2uv 1. 6 2u 18v 2
a 3 5a 2 6a a 3 3a 2 a 3 6a 2 8 3. 2 : a 7a 12 a 2 16 a 2 3a
a 2 25b 2 a 2 7b 12b 2 2 2. a ab 20b 2 a 3b a 5b
a 3 a 2 8a 15 4. : a 5 a 2 11a 30
a6 a 5
AdiciĂłn y sustracciĂłn de fracciones algebraicas.
ď Ž
Si las fracciones tienen el mismo denominador, entonces se suman (o restan) los numeradores y se conserva el denominador.
Adición y sustracción de fracciones algebraicas con igual denominador. Ejemplo:
a)
a 2 2a 5 a 2 2a 5 3a 7 3 3 3 3
b)
2 x 2 3x 1 4 x 4 2 x 2 3x 1 (4 x 4) x6 x6 x6 x6 2 x 2 3x 1 4 x 4 x6
Ahora ustedes:
7 p 3q 6 p 4q 2p 3p q a) 2 2 2 p 1 p 1 p 1 p2 1
x 1 x6
Adición y sustracción de fracciones algebraicas con distinto denominador.
Si los denominadores son diferentes, se debe buscar el mínimo común múltiplo de ellos y se amplifica cada fracción por el factor necesario, de modo que queden todas con el mismo denominador.
Mínimo Común Múltiplo (M.C.M) de expresiones algebraicas.
El mínimo común múltiplo de expresiones algebraicas es aquella expresión que las contiene, como factores, a todas. Para encontrarlo conviene primero, si se puede, factorizar las expresiones.
Ejemplos, Encuentre el mcm entre:
a, 2a y a² 2x, 3xy, x² a – b y a² - b² a +2 y a+3 3a + 6 y a² - 4
Ahora ustedes, encuentre el mcm entre:
x², y², xy 4p²q , 5pq² x +a , x² - a², x - a x²+9x +14 , x² - 4 , x² +5x -14
Adición y sustracción de fracciones algebraicas con distinto denominador.
4 5 3 2 Ejemplo: Resuelva las siguientes operaciones: x 2 x 5x
1. Buscamos el mcm, entre x , 2x y 5x². El mcm es 10x². 2. Luego amplificamos cada fracción por el factor necesario para igual el denominador común.
4 5 3 4 10 x 5 5 x 3 2 2 2 2 2 x 2 x 5x 10 x 10 x 10 x
3. Ahora que todas las fracciones tienen el mismo denominador podemos sumar.
4 10 x 5 5 x 3 2 40 x 25 x 6 65 x 6 2 2 2 2 2 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x
Adición y sustracción de fracciones algebraicas con distinto denominador. m 1 m 1 1 2m 2 4m m 2 4 m 2
Ejemplo: Resuelva las siguientes operaciones:
Factorizemos los denominadores para encontrar el mcm
m 1 m 1 1 2m(m 2) (m 2)(m 2) m 2
El mcm es 2m(m+2)(m-2)
Amplifiquemos cada fracción (m 1)(m 2) (m 1)2m 2m(m 2) 2m(m 2)(m 2) 2m(m 2)(m 2) 2m(m 2)(m 2)
Resolvemos las multiplicaciones de los numeradores y sumamos m2 m 2 m 2 m 2m 2 2m 2 2m 2m 2 4m 2m(m 2)(m 2) 2m(m 2)(m 2) (m 2)(m 1) m 1 Factorizamos y simplificamos 2m(m 2)(m 2) 2m(m 2)
Ahora ustedes….
Resuelvan las siguientes operaciones.
a a a a) 3 2 4
13a 12
3x 2x 11x b) x 3 2x 6 2 3x 5 2 x 7 x 1 c) x 1 x2 1 x 1
41x 11x 2 2x 6 4 x 2 2 x 11 x2 1
2 x 2 8x 2 x 2x x2 d) 4x2 9 2x 3 2x 3 4x2 9