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Preparaci贸n para el c谩lculo Fracciones Algebraicas


Fracciones Algebraicas 

Es el cuociente de dos expresiones algebraicas. 

Ejemplo:

2ab 4 a) 5b 2

x 2  5x  6 b) x2

xy c) 3 z  27


Simplificación de una fracción algebraica 

1.

2.

Para simplificar una fracción es necesario y suficiente que el numerador y el denominador tenga un factor común. Se distinguen 2 casos: Si el numerador y el denominador son monomios. Ejemplo: 3ab 2 c 5 a) 6c 4 Si el numerador y/o el denominador son polinomios Ejemplo: x2  2x 1 x3  x 2  2 x 4 b) a) 2 x 1 6x


Simplificación de una F. A. con numerador y el denominador monomial. 

En este caso la simplificación se hace en forma directa, cancelando los factores comunes. Ejemplo 1. 3  2aaaaabbb 3  2aaaaabbb 6 a 5b 3 2a 3  a)   2 5 3 aabbbbb 3a b 3aabbbbb b2

Ahora ustedes, simplifiquen:

25 p 2 q 5p a)   15 pq 3 3q 2

 2m 7 np  m3n b)   4 2 18m n p 9n


Simplificación de una F. A. con numerador y/o el denominador polinomial. 

En este caso primero se factoriza el polinomio y luego simplifica.

Ejemplo . 2a 2  2 2(a 2  1) a)   4a 4a

2(a 2  1) a  1  2a 4a 2

Ahora ustedes, simplifiquen:

a 2  ab a)  ab

a ( a  b)  ab

a

( x  2)( x  3) ( x  3) x 2  5x  6  b) 2  ( x  2)( x  1) ( x  1) x  3x  2


Multiplicación de fracciones algebraicas. 

Se multiplican los numeradores y denominadores entre sí haciéndose todas las simplificaciones posibles. 

En el caso que sean monomios la simplificación se puede hacer antes o después de multiplicar. En el caso de polinomios es conveniente hacer todas las simplificaciones (factorizando) y luego las multiplicaciones.


Multiplicación de F.A. con numerador y denominador monomial 

Multiplicando y luego Simplificando. Simplificando y luego multiplicando. 

3ab 2b  2 2a 3a 2 3ab  2b 6ab 2 b   2 2 3 2a  3a 6a a

Efectuemos el siguiente producto:

b2 3ab 2b 3ab 2b  2   2  2 a 2a 3a 2a 3a

Ahora ustedes: efectúen el siguiente producto

3xy 6ab  5 z 2 a)    2 2a 3xz 10b x

 3 yz 2 xb


Multiplicación de F.A. con numerador y/o Como las fracciones Ahora contiene polinomios se denominador polinomial. debe factorizar primero simplificamos

Finalmente multiplicamos

para poder simplificar después. 

Efectuemos el siguiente producto:

a  b a 2  2ab  b 2   2 2 ax  bx a b 

a  b (a  b)(a  b)   x(a  b) (a  b)(a  b)

Ahora ustedes, efectúen los siguientes producto

a 3 a 1 a2  4 a2  9 a)  2  2  a2 a  2 a  4a  3 a  4a  4 2a  4 a  4 a 2  8a  16 2 b)  2   3a  12 a  16 a2 3

1 x


División de fracciones algebraicas. Se convierte a Se factoriza multiplicación y se  Para dividir fracciones, se multiplica la primera Se fracción por el simplifica invierte la segunda recíproco de la segunda. Finalmente fracción se multiplica 

Ejemplo:

3 2 3a 6 a b a  b 6a 2 b a  b a b a b     2 a) :  2 2 ( a  b) 2ab (a  b)(a  b) 2ab a  b 2ab 6a b 2

2

Ahora ustedes, efectúen la siguiente división

a 3  5a 2  6a a 3  3a 2 a) 2 : 2  a  7a  12 a  16

(a  2)(a  4) a 2  6a  8  a(a  3) a 2  3a


Actividad 

Simplifique las siguientes expresiones:

 3 p6q3 1.  6 2 24 p q

q 8

3a  3ab 2.  3a 1 b 

x2 x 2  5 x  14 3. 2  x2 x  9 x  14 3y 3x 2 y  3xy 2 4.  2 2 x 2  2 xy

Efectúe las siguientes operaciones:

u2 3u 2v 2uv 1.   6 2u 18v 2

a 3  5a 2  6a a 3  3a 2 a 3  6a 2  8 3. 2 :  a  7a  12 a 2  16 a 2  3a

a 2  25b 2 a 2  7b  12b 2 2 2.  a  ab  20b 2 a  3b a  5b

a  3 a 2  8a  15 4. :  a  5 a 2  11a  30

a6 a 5


AdiciĂłn y sustracciĂłn de fracciones algebraicas.

ď Ž

Si las fracciones tienen el mismo denominador, entonces se suman (o restan) los numeradores y se conserva el denominador.


Adición y sustracción de fracciones algebraicas con igual denominador. Ejemplo:

a)

a  2 2a  5 a  2  2a  5 3a  7    3 3 3 3

b)

2 x  2 3x  1 4 x  4 2 x  2  3x  1  (4 x  4)     x6 x6 x6 x6 2 x  2  3x  1  4 x  4  x6

Ahora ustedes:

7 p  3q 6 p  4q 2p 3p  q a) 2  2  2  p 1 p 1 p 1 p2 1

x 1 x6


Adición y sustracción de fracciones algebraicas con distinto denominador.

Si los denominadores son diferentes, se debe buscar el mínimo común múltiplo de ellos y se amplifica cada fracción por el factor necesario, de modo que queden todas con el mismo denominador.


Mínimo Común Múltiplo (M.C.M) de expresiones algebraicas. 

El mínimo común múltiplo de expresiones algebraicas es aquella expresión que las contiene, como factores, a todas. Para encontrarlo conviene primero, si se puede, factorizar las expresiones.

Ejemplos, Encuentre el mcm entre:    

a, 2a y a² 2x, 3xy, x² a – b y a² - b² a +2 y a+3 3a + 6 y a² - 4

Ahora ustedes, encuentre el mcm entre:    

x², y², xy 4p²q , 5pq² x +a , x² - a², x - a x²+9x +14 , x² - 4 , x² +5x -14


Adición y sustracción de fracciones algebraicas con distinto denominador. 

4 5 3   2  Ejemplo: Resuelva las siguientes operaciones: x 2 x 5x

1. Buscamos el mcm, entre x , 2x y 5x². El mcm es 10x². 2. Luego amplificamos cada fracción por el factor necesario para igual el denominador común.

4 5 3 4 10 x 5  5 x 3 2   2     2 2 2 x 2 x 5x 10 x 10 x 10 x

3. Ahora que todas las fracciones tienen el mismo denominador podemos sumar.

4 10 x 5  5 x 3  2 40 x  25 x  6 65 x  6      2 2 2 2 2 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x


Adición y sustracción de fracciones algebraicas con distinto denominador. m 1 m 1 1   2m 2  4m m 2  4 m  2

Ejemplo: Resuelva las siguientes operaciones:

Factorizemos los denominadores para encontrar el mcm

m 1 m 1 1    2m(m  2) (m  2)(m  2) m  2 

El mcm es 2m(m+2)(m-2)

Amplifiquemos cada fracción (m  1)(m  2) (m  1)2m 2m(m  2)    2m(m  2)(m  2) 2m(m  2)(m  2) 2m(m  2)(m  2)

Resolvemos las multiplicaciones de los numeradores y sumamos m2  m  2 m 2  m  2m  2  2m 2  2m  2m 2  4m  2m(m  2)(m  2) 2m(m  2)(m  2) (m  2)(m  1) m 1  Factorizamos y simplificamos   2m(m  2)(m  2) 2m(m  2) 


Ahora ustedes…. 

Resuelvan las siguientes operaciones.

a a a a)    3 2 4

13a 12

3x 2x 11x b)    x  3 2x  6 2 3x  5 2 x  7 x  1 c)    x 1 x2 1 x 1

41x  11x 2 2x  6 4 x 2  2 x  11 x2 1

 2 x 2  8x  2 x 2x x2 d)    4x2  9 2x  3 2x  3 4x2  9


frac