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Preparaci贸n para el c谩lculo Factorizaci贸n de expresiones algebraicas


Factorización 

Factorizar una expresión algebraica es hallar dos o más factores cuyo producto es igual a la expresión algebraica original, es decir, es el proceso inverso a la multiplicación. Veremos los siguientes casos: 

 

 

Factor común   

Monomio Polinomio Compuesto

  

Factorización de in trinomio cuadrado perfecto Factorización de un trinomio de la forma x²+bx + c Factorización de un trinomio de la forma ax²+bx+c

Factorización de la diferencia de cuadrados Factorización de trinomios ordenados

Diferencia de cubos Suma de cubos


Monomio como factor común 

Aquí todos los términos presentan un factor común, que es un monomio, por el cual se factoriza, es decir, el término común es uno de los factores de la multiplicación. El otro se determina aplicando la regla de la multiplicación.

Ejemplo:

a) mx  my  mz  m( x  y  z)

b) 6ab 2  18a 2b3  6ab 2 (1  3ab) 

Ahora ustedes, factoricen:

b) 5a 2bx 4  15ab 2 x3  20ab3 x 4  5abx3 (ax  3b  4b 2 x)


Polinomio como factor común  En este caso es un polinomio que aparece en cada término.  Ejemplo:

a) x(a  b)  y(a  b)  (a  b)( x  y) Aquí el factor común es (a+b) b) m(a  c)  a  c  m(a  c)  (a  c)  (a  c)(m  1) 

Ahora ustedes, factoricen:

a) a( x 2  y 2  z 2 )  x 2  y 2  z 2 

( x 2  y 2  z 2 )(a  1)


Factor común compuesto 

Muchas veces , no todos los términos de una expresión algebraica contienen un factor común, pero haciendo una agrupación adecuada de ellos, podemos encontrar factores comunes a cada grupo. Agrupando

Ejemplo:

a) 2 xa  2ay  3bx  3by  ( 2 xa  2ay)  (3bx  3by)  2a( x  y)  3b( x  y)  ( x  y)(2a  3b) 

Ahora ustedes, factoricen:

a) xp  2 xq  2 yp  4 yq  4 zp  8zq  R : ( x  2 y  4 z)( p  2q)


Factorización de la diferencia de cuadrados  Recordemos que el producto de la suma de dos términos por su diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados de ambos términos. (a+b)(a-b)=a²-b²  Por lo tanto inversamente se tendrá:

a 2  b 2  (a  b)(a  b) 

Ejemplo:

a) m4 n6  z 2  (m2 n3 ) 2  z  (m2 n3  z )(m2 n3  z ) 

Ahora ustedes, factoricen:

a) 49a 2b 4c 6  121m6 n10  (7ab2c3  11m3n5 )(7ab2c3  11m3n5 )


Factorización de un trinomio cuadrado perfecto  Este trinomio procede de la multiplicación de un binomio por sí mismo (o un cuadrado de binomio), es decir, (a±b)²=a²±2ab+b².  Inversamentente se tendrá:

a  2ab  b  (a  b) 2

2

Ejemplo:

a) 9x 2  30 x  25  (3x  5) 2 

2

Ahora ustedes, factoricen:

a) 4t 2  12t  9  (2t  3) 2

b) 25y 4  20 y 2  4  (5 y 2  2) 2


Factorización de un trinomio de la forma x²+bx+c  

Este trinomio se obtiene de la multiplicación de dos binomios con un término común, es decir,(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab Inversamente se tendrá:

x  (a  b) x  ab  ( x  a)( x  b) 2

Ejemplo:

a) x 2  6 x  5  ( x  5)( x  1) 

b) x 2  4 xy  12 y 2  ( x  6 y)( x  2 y)

Ahora ustedes, factoricen:

a) r 2  12r  27  (r  3)(r  9) b) a 2  a  30  (a  6)(a  5)


Factorización de un trinomio de la forma ax²+bx+c 

Este trinomio se obtiene de la multiplicación de dos binomios de términos semejantes.Ej: (2x+1)(x+2)=2x²+5x+2.

Para factorizarlos hay que seguir los siguientes pasos:  

Hallar las parejas de factores (d y e) del primer término (a) y los factores (f y g) del último término c Hallar las parejas que las sumas de sus productos (e·f + d·g) sea igual al término del medio (b).

ax² +bx +c d f e 

dg +ef =b

g

La factorización del trinomio es: ax²+bx+c=(dx+f)(ex+g)


Primero descomponemos el primer término en dos factores

Luego, Descomponemos el tercer término en dos factores

Recuerden que al Ejemplo: Factorice 6x²+7x+2 multiplicarlos Elegimos y debe dar el termino del medio

ordenamos los factores

6x²+7x+2

Posibles valores: 2 y 1 o -2 y-1 Finalmente

3x 2x

2

4x+ 3x =7x

1

agrupamos los términos para factorizar

La factorización del trinomio 6x²+7x+2 = (3x+2)(2x+1) 

Ahora ustedes, factoricen: a) 4x²+ 4x -3 = (2x+3)(2x-1) b) 3y²+ 6y -45 = 3(3y-9)(y+5)


Diferencia de cubos  Los factores de una diferencia de cubos son:

a3  b3  (a  b)(a 2  ab  b 2 ) 

Ejemplo: 2 a) a 3  8  a 3  23  (a  2)(a  2a  4)

b) 27a 3  125b3  (3a)3  (5b)3  (3a  5b)((3a) 2  3a  5b  (5b) 2 ) Desarrollando las potencias quedaría: (3a  5b)(9a 2 

Ahora ustedes, factoricen:

a) a 3b12  27  (ab 4  3)(a 2b8  3ab 4  9)

 15ab  25b 2 )


Suma de cubos  Los factores de una diferencia de cubos son:

a3  b3  (a  b)(a 2  ab  b 2 ) 

Ejemplo:

2 3 3 ( a  3 )( a  3a  9) a  3  a) a  27  3

b) 8a  1

 

 (2a)  1

3

 

2

 (2a  1 )((2a) 2  2a  1  1 ) 3 b b b b b 2 Desarrollando las potencias quedaría:  (2a  1 )(4a  2a  1 2 ) b b b 3

3

Ahora ustedes, factoricen:

a) 8t 3  64  (2t  4)(4t 2  8t  16)  8(t  2)(t 2  2t  4)


Ejercicios  Factorice las siguientes expresiones: a) 6 x 2 y 5  12 x 2 y 6  18x3 y 4 b) a( x 2  y 2  z 2 )  x 2  y 2  z 2 c) a 2 x 2 y 2  b 2 x 2 y 2  2a 2  2b 2 d ) 49a 2b 4c6  121m6 n10 e) 9 x 2  30 xy  25 y 2 f ) a 2  3a  40

facto  
facto  

ASDASDFSDF

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