Issuu

Tabell 1

Uttryck för att beräkna yttre arbete, inre arbete, maximal förskjutning samt ekvivalen

Uttryck för att beräkna yttre arbete, inre arbete, maximal förskjutning samt ekvivalent statisk last för ett med enfrihetsgradssystem med linjärelastisk eller plastisk respons. statisk last för ett enfrihetsgradssystem linjärelastisk eller plastisk respons. formning och kan således variera massarespons m = κmmb, en ekviElastisk respons vivalent Plastisk Begrepp ElastiskBegrepp respons Plastisk respons stort. Generellt gäller dock att en valent mothållande kraft R(u) = styv konstruktion ger små deforκkRb(u) samt en ekvivalent yttre mationer med krav på stora motlast F = κFFb(t) så att den dynahållande krafter medan en vek konmiska grundekvationen kan utstruktion resulterar i stora deformatryckas som tioner i kombination med små krafκmmbü + κkRb(u) + κFFb(t) (5) ter. Det går att visa att κk = κF och Beräkningsmetod detta tillsammans med definitionen Yttre arbete κmF = κm / κF ger att den dynamiska Om varaktigheten hos lasten F(t) är Yttre arbete grundekvationen för balkens ekviså kort att det inre arbetet ∆Wi som valenta system kan uttryckas som utförts när hela lasten lagts på är Uppdrag Uppdragsnr Sida Inre arbete litet, ∆Wi << Wy, så kan lasten lik-Lilla Bommen 5 Artikel till B&T 8(11 κmFmbü + Rb(u) = Fb(t) (6) nas vid en idealisk impulslast, det411 04 GÖTEBORG Inre arbete Datum Sign Tel 010–211 50 00 Enda skillnaden i detta uttryck Maximal vill säga en tidsberoende last medFax 010–211 50 55 Beräkningsanvisningar för strukturell dynamisk respons vid explosionsbelastning MJ jämfört med ekvation2012-09-09 (4) är paraoändligt högt tryck och infinitesi- förskjutning Maximal metern κmF som applicerats på balmal varaktighet, med den karakteEkvivalent förskjutning kens massa mb. I praktiken innebär ristiska impulsen Ik. För ett sådantFigur 4 Jämförelse av parametrar i balk samt i ekvivalent enfrihetsgradssystem. statisk last detta att det enbart är balkens masfall kan det yttre arbetet Wy likstälEkvivalentför ett odämpat enfrihetsgradssystem sa som behöver transformeras las med den rörelseenergi Ek somDen dynamiska grundekvationen kan tecknas som Vinkelmedan inre kraft (styvhet) och yttre alstras hos en impulsbelastad statisk last frekvens last är desamma som verkar på kropp, och av detta kan kända dy( balken. En sammanställning av Vinkelnamiska samband användas för att Tabell 1: Uttryck för att beräkna yttre arbete, inre För att kunna använda här presenterade uttryck på verkliga konstruktioner är det nödvändigt atttransformationsfaktorer för balk koppla impulslastförst till yttre arbete. studerad frekvens arbete, maximal förskjutning samt ekvivalent statisk transformera konstruktion, exempelvis en balk, till ett enfrihetsgradssystem. Detta är därlast för betecknar systempunktens acceleration. För att transformera system tilllast ett ekvivale belastad medbalkens en jämnt utbredd Inverkan av möjligt en karakteristisk enfrihetsgradssystem med linjärelastisk eller genom att använda så ett kallade transformationsfaktorer som väljs så att rörelseenergi samt ges i tabell 2. impuls Ik på en kropp med massanFör enfrihetsgradssystem utgås från dess respons i vald systempunkt. I systempunkten appliceras plastisk respons. att kunna här presenteradeförblir uttryck på verkliga konstruktioner är det nödvändigt en att uträttat yttre- och inre arbete i balkanvända och enfrihetsgradssystem desamma. För detta nyttjas m kan tecknas som m , en ekvivalent mothållande kraft R(u) = R (u) samt en ekvivalent ytt ekvivalent massa m = m b k b antagandet att utböjningsformen hos belastad balk förblir densamma oavsett lastnivå, något som gör först transformera studerad konstruktion, exempelvis en balk, till ett enfrihetsgradssystem. Detta mü + R(u) = F(t) (4) Illustrerande exempel F (t) så att den dynamiska grundekvationen kan uttryckas som last F = Ik = mv (1) F b att det möjligt att beskriva utböjningen längs hela balken genomtransformationsfaktorer att enbart ange förskjutningen i en väljs så att rörelseenergi sam möjligt genom använda så kallade som där ü betecknar systempunktens acceleraFör förskjutning att övergripande illustrera visad bepunkt. punkt, den såyttrekallade systempunkten, ges egenskaper så att dess us desamma. och rörelseenergin Ek Denna hos samma kropp uträttat och inre arbete i balk och enfrihetsgradssystem förblir Förberäkdetta nyttjas tion. För att transformera balkens system räkningsmetod ges här ett kort speglas av den i ett ekvivalent enfrihetsgradssystem, se Figur 4. med hastigheten v kan uttryckas som antagandet utböjningsformen hos belastad balkningsexempel förblir densamma oavsett lastnivå, något som ( tillattett ekvivalent enfrihetsgradssystem på en impulsbelastad, tvåsi-

det möjligt att beskriva längs hela balken genom att enbart i en utgås från dessutböjningen respons i vald systemdigt upplagd platta enligtange figurförskjutningen 5. Trycket Det(2) gårDenna att visa kden = så detta tillsammans definitionen / Fförskjutning ger att den us F och m punkt. Iatt systempunkten appliceras en ek- med approximeras att mF vara över punkt. punkt, kallade systempunkten, ges egenskaper så =att detsamma dess dynamiska grundekvationen balkens ekvivalenta system speglas av den i ett ekvivalentför enfrihetsgradssystem, se Figurkan 4. uttryckas som Tillsammans ger detta att rörelseener-

mv2 Ek = ––– 2

gin, och därmed det yttre arbetet Wy, som alstras i den belastade kroppen kan uttryckas som

(

Ik2 Wy = Ek = ––– 2m

Enda skillnaden i detta uttryck jämfört med ekvation (4) är parametern kmF som applicerats på (3) massa mb. I praktiken innebär detta att det enbart är balkens massa som behöver balkens transformeras medanstiginre kraft (styvhet) ochb&tyttre lastrespons_mj_120909 är desamma(kopia).doc som verkar på balken. En d:users:stig:documents:7/12:artikel - dynamisk Det yttre arbetet Wy ska balanseras av sammanställning av transformationsfaktorer för balk belastad med en jämnt utbredd last ges i ett inre arbete Wi. Här utgås från tvåTabell idea- 2.

liserade fall – linjärelastisk samt plastisk respons – där uttryck för inre arbete, maxTabell 2 imal förskjutning samt ekvivalent statisk last sammanfattas i tabell 1. För att kunna använda här presenterade uttryck på verkliga konstruktioner är det nödvändigt att först transformera studerad konstruktion, exempelvis en balk, till ett enfrihetsgradssystem. Detta är möjligt genom att använda så kallade transformationsfaktorer κ som väljs så att rörelseenergi samt uträttat yttre- och inre arbete i balk och enfrihetsgradssystem förblir desamma. För detta nyttjas antagandet att utböjningsformen hos belastad balk förblir densamma oavsett lastnivå, något som gör det möjligt att beskriva utböjningen längs hela balken genom att enbart ange förskjutningen i en punkt. Denna punkt, den så kallade systempunkten, ges egenskaper så att dess förskjutning us speglas av den i ett ekvivalent enfrihetsgradssystem, se figur 4. Den dynamiska grundekvationen för ett odämpat enfrihetsgradssystem kan tecknas som 40

Figur 4: Jämförelse av parametrar samt med i ekvivalent enfrihetsgradssystem. Transformationsfaktorer för balki balk belastad en jämnt utbredd last. Svart punkt stig d:users:stig:documents:7/12:artikel b&t - dynamisk respons_mj_120909 (kopia markerar läget för vald systempunkt.

Jämnt utbredd last

Utböjningskurva vid elastisk respons 0,504

0,406

0,483

0,257

0,640

0,533

0,600

0,400

0,787

0,762

0,805

0,642

Utböjningskurva vid plastisk respons 0,333

0,333

0,500

0,667

Tabell 2: Transformationsfaktorer för balk belastad med en jämnt utbredd last. Svart punkt markerar läget för vald systempunkt. Bygg & teknik 7/12 stig d:users:stig:documents:7/12:artikel b&t - dynamisk respons_mj_120909 (kopia).