denna. Osäkerheten i utvärderingen av en egenskap, till exempel odränerad skjuvhållfasthet (cu), består en rad faktorer såsom, rumslig naturlig variation, mätfel och transformationsfel. Vid en konventionell geoteknisk undersökning är det den rumsliga naturliga variationen vi vill uppskatta. Den totala osäkerheten baserat på undersökningsresultatet är dock normalt större eftersom andra osäkerheter är involverade. Mätfelet kan reduceras genom att utföra flera sonderingar men transformationsfelet är däremot kopplat till ”översättningen” från det man faktiskt mäter till den egenskap man avser att utvärdera, till exempel när nettospetstrycket från en CPT-sondering divideras med en empirisk konfaktor för att erhålla cu. Om vi inte har en korrekt kalibrering av den empiriska konfaktorn så hjälper det inte med fler sonderingar för att reducera transformationsfelet. Ofta är vi intresserade av medelvärdet av en serie mätningar över en viss jordvolym, till exempel medelvärdet i cu (c-u) då en glidyteberäkning för att uppskatta stabiliteten för en konstruktion på lös lera ska utföras. Osäkerheten i medelvärdet från en serie sonderingar kan reduceras genom att utföra fler sonderingar. Man måste dock också ta hänsyn till medelvärdets variation inom den betraktade volymen. Det kan finnas zoner med lösare och zoner med fastare jord inom volymen även om medelvärdet över den större volymen är konstant. Storleken på dessa zoner är relaterat till det vi kallar fluktuationsavstånd. Ett jordbrott kommer att ske i den del av jorden där hållfastheten är lägst vilket innebär att storleken på dessa lösare zoner (fluktuationsavståndet) i relation till jordbrottets storlek måste beaktas. Denna osäkerhet kan uppskattas genom att betrakta konstruktionens inverkan på det mekaniska systemet med en variansreduktionsfaktor.
Bayes’ sats och multivariabel analys
Thomas Bayes, en engelsk matematiker (och munk!) som levde på 1700-talet, presenterade det som numera benämns som Bayes’ sats, Bayes & Price (1763). Denna sats, eller teorem, används för att bestämma sannolikheten för ett utfall givet ett annat utfall. Man kan med denna sats kombinera data från en källa med information från andra källor såsom subjektiva expertutlåtanden, kompletterande undersökningar etcetera och kan på så sätt dra en mer objektiv slutsats. Denna matematik är som gjord för den process vi normalt utför när vi värderar vår tillgängliga geotekniska information för att utföra beräkningar och göra bedömningar. Vinsten är att vi på ett mer objektivt sätt kan kvantifiera osäkerheten i våra utsagor, bedömningar och prediktioner. Som sagt kan osäkerheterna som härrör från rumslig naturlig variation och mätfel reduceras genom att utföra flera 72
Figur 1: Vägbank på lös lera.
mätningar medan transformationsfelet (som ofta är relativt stort jämfört med de andra två) inte kan reduceras på detta sätt. Rent intuitivt känner nog de flesta av oss säkrare om vi bestämmer en egenskap genom att väga samman resultat från flera olika metoder, men hur mycket säkrare känner vi oss? Genom att använda Bayes’ sats via så kallad multivariabel analys, Ching et al (2010), där information från flera källor kombineras, kan vi på ett indirekt sätt reducera även transformationsfelen för de olika metoderna. Principen är att vi uppdaterar vår a´ priori kunskap (förkunskap), vilken till exempel kan utgöras av vår seniora kollegas erfarenhet eller av empiriska samband, med sonderingsresultat och/eller laboratorieförsök. Det vi behöver för att kunna utföra en multivariabel analys är data för medelvärdet av egenskapen från respektive metod, försöksresultatens spridning, fluktuationsavståndet samt en god uppskattning av mätfelen och transformationsfelen för respektive metod. Vi kan då med relativt enkel matematik räkna fram den sammanvägda osäkerheten för det aktuella fallet. Konceptuellt är detta inget nytt från vad vi vanligtvis gör, men nu får vi en mer objektiv värdering av osäkerheten vilket underlättar beslutsprocessen. Den metod som har lägst osäkerhet kommer att påverka resultatet mest vilket betyder att vi även kan bedöma vilken metod som är mest lämplig för den aktuella jorden.
och cu antas vara oberoende av djupet under markytan. Tre olika metoder har använts för att bestämma cu i den aktuella leran, vingförsök (två punkter), fallkonförsök (två punkter) och CPT-sondering (fyra punkter). Vår a priori i detta fall baseras på det empiriska sambandet mellan cu och förkonsolideringstrycket i leran, vilket har bestämts via ett CRS-försök. Beräkningen (den multivariabla analysen) är som sagt relativt enkel men omfattande varför den inte redovisas här. Med relevanta antaganden vad gäller försöksresultatens spridning, den naturliga rumsliga variationen, mätfelen, transformationsfelen samt fluktuationsavståndet för cu i leran för de tre metoderna och det empiriska sambandet erhålls den totala osäkerheten COVc-u för respektive metod enligt figur 2. I detta fall har antagandena baserats på information i Müller & Larsson (2012). I figuren syns även hur stor andel av den totala osäkerheten för respektive metod som härrör från naturlig rumslig variation, mätfel och transformationsfel. Som synes har transformationsfelen en betydande inverkan på den totala osäkerheten.
Exempel
Effekten av en multivariabel analys illustreras här av ett enkelt hypotetiskt exempel där stabiliteten för en två meter hög bankkonstruktion på lös lera analyseras, se figur 1. Hur säkra vi är på vår beräknade säkerhetsfaktor mot stabilitetsbrott i leran beror som bekant till stor del av hur säker vår beFigur 2: Relativ inverkan av stämning av cu i leran är, eller delosäkerheterna för respektive metod. rättare sagt vår bestämning av medelvärdet c-u längs den potentiEffekten på osäkerheten av att utföra ella glidytan. Vi fokuserar därför på vår bestämning av variationskoefficienten multivariabel analys syns i figur 3a, där COVc-u för vår bestämning av c-u. Leran olika uppsättningar av mätmetoderna antas för enkelhetens skull vara homogen kombinerats och den sammanvägda COVc-u Bygg & teknik 1/13