3.2.1 Ausgangselemente mit einer längs gerichteten Falte 101
3.2.2 Ausgangselemente mit einer Falte parallel zur Schmalkante 106
3.3 Diagonalfalten 108
3.3.1 Grundmodell 108
3.3.2 Rechteckvariante 110
3.3.3 Weitere Varianten 112
3.4 Schraubfiguren aus einem Stück
3.4.1 Grundmodell
3.4.2 Drehungsvarianten
Erweiterte Konzepte der
4.1 Ausgangselemente mit einer Falte
4.2 Ausgangselemente mit zwei Falten
Ausgangselemente mit drei Falten
4.3.1 Variante mit zwei plus x Elementen
4.3.2 Variante mit drei Elementen, Beispiel 1
4.3.3 Variante mit drei und vier Elementen
4.3.4 Variante mit zwölf Elementen
4.3.5 Variante mit drei Elementen, Beispiel 2
4.4 Ausgangselemente mit vier Falten
4.4.1 Variante mit zwei und drei Elementen
4.4.2 Variante mit drei Elementen, Beispiel 1
4.4.3 Variante mit sechs Elementen, Beispiel 1
4.4.4 Variante mit sechs Elementen, Beispiel 2
4.4.5 Variante mit drei Elementen, Beispiel 2
4.4.6 Variante mit sechs Elementen, Beispiel 3
4.5 Weiterführende Erkundungen
4.5.1 Variante mit drei Elementen, Beispiel 1
4.5.2 Kombination unterschiedlicher Elemente, Beispiel 1
4.5.3 Kombination unterschiedlicher Elemente, Beispiel 2
4.5.4 Variante mit sechs Elementen, Beispiel 1
4.5.5 Variante mit sechs Elementen, Beispiel 2
4.5.6 Endlosebene
4.5.7 Endlosspirale
4.6 Abschließende Gedanken
Inhalt
Symmetrien in allen Raumrichtungen 87
Einleitung 88
3.1 Grundlagen räumlicher Ausdehnung 90
3.1.1 Quadratische Ausgangselemente 90
3.1.2 Rechteckige Ausgangselemente 93
3.1.3 Mischformen aus Quadraten und Rechtecken 98
3.2 Von der Ecke zum Würfel 101
3.2.1 Ausgangselemente mit einer längs gerichteten Falte 101
3.2.2 Ausgangselemente mit einer Falte parallel zur Schmalkante 106
3.3 Diagonalfalten 108
3.3.1 Grundmodell 108
3.3.2 Rechteckvariante 110
3.3.3 Weitere Varianten 112
3.4 Schraubfiguren aus einem Stück
3.4.1 Grundmodell
3.4.2 Drehungsvarianten
Erweiterte Konzepte der
4.1 Ausgangselemente mit einer Falte
4.2 Ausgangselemente mit zwei Falten
Ausgangselemente mit drei Falten
4.3.1 Variante mit zwei plus x Elementen
4.3.2 Variante mit drei Elementen, Beispiel 1
4.3.3 Variante mit drei und vier Elementen
4.3.4 Variante mit zwölf Elementen
4.3.5 Variante mit drei Elementen, Beispiel 2
4.4 Ausgangselemente mit vier Falten
4.4.1 Variante mit zwei und drei Elementen
4.4.2 Variante mit drei Elementen, Beispiel 1
4.4.3 Variante mit sechs Elementen, Beispiel 1
4.4.4 Variante mit sechs Elementen, Beispiel 2
4.4.5 Variante mit drei Elementen, Beispiel 2
4.4.6 Variante mit sechs Elementen, Beispiel 3
4.5 Weiterführende Erkundungen
4.5.1 Variante mit drei Elementen, Beispiel 1
4.5.2 Kombination unterschiedlicher Elemente, Beispiel 1
4.5.3 Kombination unterschiedlicher Elemente, Beispiel 2
4.5.4 Variante mit sechs Elementen, Beispiel 1
4.5.5 Variante mit sechs Elementen, Beispiel 2
4.5.6 Endlosebene
4.5.7 Endlosspirale
4.6 Abschließende Gedanken
Einleitung
Schauen Sie sich einmal bewusst um. Sehen Sie nach oben und unten, rechts und links, hinten und vorne. Anders ausgedrückt: Nehmen Sie Höhe, Breite und Tiefe wahr. Diese drei Dimensionen sind so allgegenwärtig, dass wir ihr Vorhandensein im Alltag nur selten realisieren. Doch ohne sie ist die Welt nicht vorstellbar.
Alles, was wir kreieren und erschaffen, wird Teil dieses dreidimensionalen Raums. Für mich ergibt sich daraus eine große und wichtige Frage: Warum nur denken und entwerfen wir so selten in drei Dimensionen? „Was soll die Frage?“, werden Sie vielleicht entgegnen. Immerhin nutzen Sie ja tagtäglich unzählige dreidimensionale Gegenstände, die Menschen erfunden und hergestellt haben. Doch das ist nicht der Punkt. Die meisten Ideen und Entwürfe starten zweidimensional als Skizze – sie kommen flach auf die Welt.
Seit fast vier Jahrzehnten unterrichte ich in Europa, Nordamerika und Asien Student:innen und Kunstschaffende. Ich lehre in den unterschiedlichsten Design-Disziplinen, von Mode bis Architektur, von Schmuckdesign bis Keramik. Eine überraschende Erkenntnis aus dieser Zeit ist: Die Herangehensweise bei der Entwicklung dreidimensionaler Objekte ist faktisch überall dieselbe. Sie entstehen als Serie zweidimensionaler Bilder mit diversen Seiten-, Decken- und Bodenansichten. So gut wie kein Objekt wird als dreidimensionales Gebilde erarbeitet.
Also begann ich, meine ahnungslosen Student:innen zu Versuchskaninchen zu machen. Ich entwickelte für sie eine Reihe von Papierfaltaufgaben, um ihre Fähigkeiten im dreidimensionalen Denken und Entwerfen zu testen. Wie erwartet, hatten die meisten Probleme damit. Stellte ich ihnen dagegen praktische Aufgaben, verbesserten sie sich diesbezügliches deutlich. Als maßgeblich für den Erfolg entpuppte es sich dabei, beim Lösen die dreidimensionale Symmetrie anzuwenden: Alles, was entlang der x-Achse geschieht, muss sich hier auch entlang der y- und der z-Achse wiederfinden.
Für dieses Buch habe ich die Übungen zusammengetragen, die sich für meine Student:innen als die sinnvollsten erwiesen
haben. Am besten arbeiten Sie sich Schritt für Schritt durch die Anleitungen und bauen so viele Beispiele wie möglich nach. Ihre Kompetenz im räumlichen Denken und Gestalten wird sich so erheblich verbessern.
Der Vorteil dieser Methode ist, dass sich Ihnen wirklich eine neue Art des Entwerfens eröffnet. Sie werden keine Konzepte von „Grundriss“ und „Seitenansicht“ mehr brauchen, da Sie nun ein Objekt von Beginn an dreidimensional konzipieren können. Die Qualität Ihrer Arbeit erhöht sich, sie wird visuell reicher, interessanter und individueller. Welche:r Designschaffende möchte das nicht?
Es ist eigentümlich, dass sich dreidimensional gestaltete Entwürfe schwer so fotografieren lassen, dass die ihnen zugrundeliegende Struktur mit nur einer Kameraeinstellung sichtbar wird. In diesem Buch finden Sie zahlreiche QR-Codes, die zu kurzen Videosequenzen führen. Die Projekte werden in diesen auf Drehtellern gezeigt, denn nur in der Rotation lässt sich Dreidimensionalität wirklich verstehen.
Lassen Sie sich auf dieses Buch ein. Wenn Sie es sorgfältig durcharbeiten, wird sich Ihnen eine neue Welt des dreidimensionalen Denkens und Entwerfens eröffnen und Ihre Designs werden an Raffinesse und Originalität gewinnen. Bestimmt werden Ihnen einige der Konstruktionen zunächst wie Puzzles erscheinen. Doch mit wachsender Expertise im dreidimensionalen Arbeiten werden Sie auch knifflige Aufgaben schnell lösen können.
Darüber hinaus ist dieses Buch ein hervorragender Ideengeber für Lehrende – vom Grundschulniveau bis zur universitären Ausbildung. Wer einfache, praktikable und ästhetisch ansprechende Ideen sucht, um dreidimensionale Geometrie und Grundlagen sowie Aufbauwissen aus handwerklichen, technologischen und designorientierten Curricula zu vermitteln, wird hier fündig werden.
Ich hoffe, Sie haben Spaß mit diesem Buch. Und dann wünsche ich Ihnen, dass Sie nach dem Üben, Üben und nochmal Üben Ihre neuen Fähigkeiten im dreidimensionalen Arbeiten mit Begeisterung einsetzen werden.
Urheberrechtlich geschütztes Material
1
Denken in der Ebene, Denken im Raum
1.2.3
Von Ecke zu Ecke
Hier geht es um die dritte der in 1.1. beschriebenen Flächen-, Kanten- und Eckensymmetrien.
1.2.3.1
Hilfsmittel Gummiring
AWählen Sie zwei in Maximalabstand zueinander liegende Ecken aus (hier lila dargestellt).
B
Ziehen Sie rund um den Würfel eine durchgehende grüne Linie so, dass diese zu jeder der beiden Ecken den gleichen Abstand hat. Die Linie wird dann genau mittig auf die sechs Kanten treffen. Verbunden ergibt sich aus diesen Punkten erstaunlicherweise ein regelmäßiges Sechseck. Dass eine enge geometrische Relation zwischen einem Würfel und einem Sechseck besteht, mag für viele überraschend sein – immerhin ist ein Würfel dreidimensional, mit quadratischen Flächen, die im 90°-Winkel zueinander liegen; ein Sechseck ist zweidimensional, mit sechs im Winkel von 120° zueinander liegenden Kanten. Doch die simple Konstruktion oben belegt dieses faszinierende Feld der Geometrie.
CSpannen Sie nun den – echten oder gedachten –Gummiring entlang dieser Linie um den Würfel. Können Sie nachvollziehen, wo der Gummi zu verlaufen hat, steht dem Bau der nachfolgend beschriebenen Würfelkonstruktion nichts mehr im Wege.
1.2.3.2
Trennung der Würfelhälften
Wird der Würfel entlang der Linie in zwei Hälften geteilt, zeigt sich die Schnittstelle als regelmäßiges Sechseck. Abgesehen von der Sechseckseite betragen alle übrigen Winkel 45° beziehungsweise 90°. Fast scheint es, als seien zwei unterschiedliche Systeme der Geometrie kombiniert worden, nämlich das an Quadraten (orthogonale) und das an Dreiecken beziehungsweise an Sechsecken ausgerichtete (isometrische).
1.2.3.3
Körpermodule
Das hier erforderliche Körpernetz ist, obwohl es nur drei verschiedene Winkel und Längen aufweist, eine relativ komplexe Konstruktion. Doch die Mühe lohnt sich, denn eine der überraschendsten und schönsten Halbierungen, die man mit einem Würfel (und vielen anderen Körpern) machen kann, erwartet Sie.
Urheberrechtlich geschütztes Material
ADie beiden Steckmodule sind einfacher zu bauen als die Körpermodule, da man keine stabilen Sechseckflächen konstruieren muss. Tatsächlich geht die Sechseckfläche bei all den unterschiedlichen Kanten, Winkeln und Laschen im Körpernetz völlig unter.
BPlatzieren Sie die beiden Module so, dass sich die quadratischen Laschen des einen Moduls und die 45°-Kanten des anderen Moduls gegenüberliegen. Verbinden Sie die Module, indem Sie die Laschen unter die Kanten schieben. Da jedes Modul über Laschen verfügt, die entlang der drei kartesischen Ebenen (xy, xz und yz) verlaufen, erfolgt die Verzahnung dreidimensional. Dadurch bekommt der Gesamtkörper große Stabilität, denn egal, in welche Richtung man den Würfel auseinanderziehen möchte – eine Lasche widersetzt sich immer. Das ist ein Anwendungsbeispiel für dreidimensionale Geometrie, das unerwartet, aber trotzdem sehr zufriedenstellend ist.
Urheberrechtlich geschütztes Material
2.2.4
Das Kanten-Ikosaeder
Das komplexe Ikosaeder ist derjenige platonische Körper, der am wenigsten Beachtung findet. Vielleicht ist dem so, weil jede seiner zwanzig Flächen eine ungerade Anzahl von Kanten aufweist (drei) und ebenfalls eine ungerade Anzahl von Kanten an jedem Eckpunkt zusammentrifft (fünf). Diese asymmetrischen (ungeraden) Eigenschaften scheinen für jemanden, der räumliche Symmetrie erforscht, zunächst uninteressant zu sein. Dies zu glauben, wäre jedoch ein Irrtum.
B
Nachdem man die ersten sechs Kanten mit einer Farbe versehen hat, wählt man eine zufällige, noch nicht eingefärbte weitere Kante und markiert sie mit einer zweiten Farbe. Ausgehend von dieser Kante erstellen Sie ein Verteilungsmuster über sechs Kanten, das mit der ersten Verteilung über sechs Kanten identisch ist. Dann wiederholen Sie den Vorgang mit der dritten, vierten und fünften Farbe, wobei Sie jedes Mal mit einer zufällig ausgewählten, noch nicht gekennzeichneten Kante beginnen. Nehmen Sie sich Zeit, um die Logik hinter der Verteilung zu verstehen. Auf den ersten Blick mag diese zufällig erscheinen, was sie aber nicht ist.
Ist Ihnen die Anordnung der farbigen Kanten klar geworden, sollte es kein Problem mehr sein, das Ikosaeder aus dreißig Kantenelementen nachzubauen. Beachten Sie dabei, dass an jedem Eckpunkt fünf Elemente zusammentreffen.
Ein symmetrisches Anordnen der farbigen Elemente lässt die Konstruktion zu einer echten Herausforderung werden. Wer durchhält, wird viel über räumliches Denken gelernt haben.
AEs ist nämlich möglich, die dreißig Kanten des Ikosaeders mit nur fünf Farben symmetrisch zu markieren. Je eine Farbe zeichnet dabei sechs Kanten aus. Diese sechs Kanten sind in der Abbildung dargestellt.
Das Ikosaeder unten besteht aus den in 2.2.2 dargestellten einfachen Grundelementen. Diese ergeben kein so ästhetisches und ordentliches Bild wie die komplexeren Elemente, aus denen sich der Würfel aus 2.2.3 C zusammensetzt, dafür sind sie schneller angefertigt und zusammengefügt.
