Escuela Nacional de Ciencias Comerciales “Francisco Marroquín”, Morales, Izabal.
[William O. de León Z., Catedrático]
Metodología para la resolución de problemas En todo campo del saber, y específicamente en las matemáticas financieras, un alto porcentaje del trabajo consiste en el manejo de problemas. Según Albert Einstein, “un problema es una situación interesante”; por tanto, su resolución requiere procedimientos y metodologías adecuadas. Aquí proponemos el camino sugerido por el ilustre físico, autor de la teoría de la relatividad, que nos lleva a lograr éxito en la solución de problemas. Los pasos que deben seguirse son los siguientes: a) b) c) d)
Entender el problema Plantear el problema Resolver el problema Interpretar resultados
a) Entender el problema: se refiere a la etapa crítica en todo problema, pues para ello no se cuenta ni con reglas ni con modelos que permitan a la persona entender el problema. Si existen procedimientos que hacen posible un buen acercamiento a él, como, entre otros, una buena lectura (de ahí la expresión “comprensión de lectura”), concentración en lo que se lee, no preocuparse en ese momento por el cómo se va a resolver el problema y un conocimiento de cada uno de los términos que intervienen en el enunciado del problema. b) Plantear el problema: corresponde al paso que debe darse una vez entendido el enunciado del problema. Consiste en interrelacionar las proposiciones que conforman el problema en términos de ecuaciones, desigualdades o cualquier otra expresión matemática que sustituya a la proposición o proposiciones del enunciado. Si el problema ha sido entendido, el planteamiento no debe ofrecer mayor dificultad. c) Resolver el problema: consiste en ejecutar las operaciones matemáticas propias para hallar el valor de la variable o variables involucradas en el problema y expresadas en su planteamiento. Aquí desempeña un papel importante el manejo de la tecnología computacional que permite resolver las operaciones planteadas y dar solución a la pregunta del problema. d) Interpretar resultados: todo problema contiene una pregunta que, por lo general, se presenta con una variable. Una vez resuelto el problema, o hallado el valor o valores de la variable, debe no solamente informarse sobre este valor numérico sino que también se debe interpretar financieramente ese valor, indicando lo que significa de acuerdo con el enunciado del problema. Se sugiere al estudiante que no intente mecanizar procedimientos para resolver problemas, sino que plantee diferentes alternativas de resolución justificando en cada caso su decisión de resolverlo de una u otra manera. Documento de Apoyo al Estudiante [Cálculo Mercantil y Financiero]
www.williamdeleon.wordpress.com
Página 1 de 10
Escuela Nacional de Ciencias Comerciales “Francisco Marroquín”, Morales, Izabal.
[William O. de León Z., Catedrático]
Son procedimientos matemáticos que permiten calcular el valor de las nuevas obligaciones en renegociaciones de deudas. Se trata de igualar el valor de las viejas obligaciones con el valor de las nuevas obligaciones. Se acostumbra escribir en la parte superior de la gráfica de tiempo-valor, los valores de las viejas obligaciones y en la parte inferior, el valor de las nuevas obligaciones.
1.
Cuando la fecha de valuación o fecha focal corresponde o es posterior al vencimiento de la última obligación. Entonces tendremos una serie de montos para sumar.
2.
Cuando la fecha focal corresponde o es anterior al vencimiento de la primera obligación. Entonces tendremos una serie de valores actuales para sumar.
3.
Cuando la fecha focal corresponde a una fecha intermedia entre los vencimientos de las distintas obligaciones. Entonces tendremos una suma de montos y valores actuales según sean los vencimientos con relación a la fecha focal.
Principalmente se utiliza en la consolidación de deudas, es decir cuando el deudor considera conveniente que una serie de obligaciones las puede pagar de una sola vez o en otra cantidad de pagos, diferentes a los pagos inicialmente acordados. Para ello es importante establecer un nuevo acuerdo con el acreedor y fijar los términos de la operación. Entre estos términos los más importantes son: la fecha focal y la tasa de interés a aplicarse en la transacción.
1.
Establecer las fechas de vencimiento de cada una de las obligaciones a sustituir, con sus respectivos valores al vencimiento.
2.
Determinar la fecha de valuación o fecha focal.
3.
Valuar en la fecha focal, cada una de las obligaciones a sustituir, ya sea aplicando montos o valores actuales, luego sumar todos esos nuevos valores y determinar así el total de las obligaciones a la fecha focal, consolidando en una sola cifra el total de todas las obligaciones.
4.
Si es necesario, el total consolidado en la fecha focal, trasladarlo hacia los nuevos vencimientos.
Documento de Apoyo al Estudiante [Cálculo Mercantil y Financiero]
www.williamdeleon.wordpress.com
Página 2 de 10
Escuela Nacional de Ciencias Comerciales “Francisco Marroquín”, Morales, Izabal.
•
[William O. de León Z., Catedrático]
El 26 de agosto 2013 vence un pagaré de Q15,000.00 que se emitió desde el 14 de diciembre del año 2012 y devenga el 18% de interés anual. El 18 de octubre 2013 vencerá una letra de cambio con valor nominal de Q20,000.00. Y el 29 de diciembre 2013 tiene que pagarse una factura de Q18,000.00 emitida a un año plazo, que devenga el 20% de interés anual. Todas estas obligaciones se van a consolidar en una sola, a la cual se le fijó como fecha de pago el 18 de octubre del 2013 y se estableció en la operación el 12% semestral de interés simple exacto. Procedimiento Lógico
GRÁFICA PRELIMINAR DE TIEMPO Y VALOR Fecha Focal Letra de Cambio Vence 18-10-2013
Pagaré que vence el 26-08-2013
Q15,000.00 + intereses
Factura que vence el 29-12-2013
Q20,000.00
Q18,000.00 + intereses
Primero se determina el valor al vencimiento del pagaré que fue emitido el 14-12-2012 y vence el 26-08-2013, devengando el 18% de interés anual (método ordinario) S = P (1 + ni )
FACTORES P = Q15,000.00 n = 255 días i = 18% anual S =?
ESTANDARIZACIÓN Q15,000.00 255/360 = 0.70833 18/100 = 0.18
El tiempo (n) = Dic. Ene. 31-14 + 31 n= 255 días
+
Feb. 28
+
Mar. 31
+
Abril 30
+
May. 31
+
Jun. 30
+
Jul. 31
+
Ago. 26
S=Q 15 , 000. 00( 1+0.70833∗0 .18 ) S=Q 15 , 000. 00( 1+0.1274994 ) S=Q 15 , 000. 00( 1.1274994 ) S=Q16 , 912.49 Documento de Apoyo al Estudiante [Cálculo Mercantil y Financiero]
www.williamdeleon.wordpress.com
Página 3 de 10
Escuela Nacional de Ciencias Comerciales “Francisco Marroquín”, Morales, Izabal.
[William O. de León Z., Catedrático]
Ahora nos corresponde determinar el valor al vencimiento de la factura que posee un valor de Q18,000.00 emitida a un año plazo con una tasa del 20% de interés anual. FACTORES P = Q18,000.00 n = 1 año i = 20% anual S =?
S=P 1ni ESTANDARIZACIÓN Q18,000.00 1 año 20/100 = 0.20
S=Q 18 , 000 .00 11∗0 . 20 S=Q 18 , 000 .00 10 .20 S=Q 18 , 000 .00 1 . 20 S=Q 21 , 600. 00 Como ya se establecieron los valores de las obligaciones hasta la fecha de vencimiento procedemos a proyectar la siguiente gráfica de tiempo y valor. ¡¡Como he pensado!!
GRÁFICA DE TIEMPO Y VALOR
Pagaré que vence el 26-08-2013
Fecha Focal Letra de Cambio Vence 18-10-2013
Factura que vence el 29-12-2013
Q16,912.49
Q20,000.00
Q21,600.00
n = 53 días
¿? ¿?
n = 72 días
Tiempo del Pagaré que vence el 26-08-2013 hasta la fecha focal 18-10-2013 (31 - 26) + 30 + 18 = 53 días. [Este es el valor de n] Tiempo: Factura que vence el 29-12-2013 Del 18-10-2013 al 29-12-2013 Aquí se buscará el valor actual en la operación final porque la fecha focal (1810-2013) es anterior al vencimiento (29-12-2013). (31 - 18) + 30 + 29 = 72 días. [Este es el valor de n] se deduce que la factura será pagada con 72 días de anticipación.
Documento de Apoyo al Estudiante [Cálculo Mercantil y Financiero]
www.williamdeleon.wordpress.com
Página 4 de 10
Escuela Nacional de Ciencias Comerciales “Francisco Marroquín”, Morales, Izabal.
[William O. de León Z., Catedrático]
[Este ejercicio corresponde al caso número tres porque la fecha focal es intermedia entre los vencimientos de las obligaciones, por tal razón tendremos una suma de montos y valor actual] Pagaré que vence el 26-08-2013 [Método Exacto] FACTORES P = Q16,912.49 n = 53 días i = 12% semestral S =?
S=P 1ni ESTANDARIZACIÓN Q16,912.49 53/366 = 0.14480 12/100 = 0.12 * 2 = 0.24
S =Q16 ,912.49(1+0.14480∗0.24) S =Q16 ,912.49(1+0.03475) S =Q16 ,912.49(1.03475) S=Q17 , 500.19 Letra de cambio que vence el 18-10-201 3 Se queda igual porque su valor nominal Q20,000.00 no gana intereses, por lo cual, la cantidad permanece hasta su vencimiento como VF o S. Factura que vence el 29-12-2013 [Método Exacto] Se aplicará el procedimiento para deducir el valor actual porque se pagará antes de su vencimiento. VA= FACTORES S = Q21,600.00 n = 72 días i = 12% semestral VA = ? VA=
Q 21 ,600 . 00 1+0 . 19672∗0 . 24
Q 21 ,600 . 00 1+0 . 04721 Q 21 ,600 . 00 VA= 1 .04721 VA=Q20 , 626 . 23
VA=
S 1+ni ESTANDARIZACIÓN Q21,600.00 72/366 = 0.19672 12/100 = 0.12 * 2 = 0.24
TOTAL A PAGAR EN LA FECHA FOCAL Q17,500.19 Q20,000.00 Q20,626.23 Q58,126.42
La deuda a pagar según las condiciones renegociadas asciende al total consolidado Q58,126.42
Documento de Apoyo al Estudiante [Cálculo Mercantil y Financiero]
www.williamdeleon.wordpress.com
Página 5 de 10
Escuela Nacional de Ciencias Comerciales “Francisco Marroquín”, Morales, Izabal.
[William O. de León Z., Catedrático]
GRÁFICA FINAL - TIEMPO Y VALOR
Pagaré Vence 26-08-2013
Letra de cambio Vence 18-10-2013 Fecha Focal
Factura Vence 29-12-2013
Q16,912.49
Q20,000.00
Q21,600.00
n = 53 días
Q17,500.19 Q20,626.23
Total a pagar en fecha focal ..................
n = 72 días
Q58,126.42
Documento de Apoyo al Estudiante [Cálculo Mercantil y Financiero]
www.williamdeleon.wordpress.com
Página 6 de 10
Escuela Nacional de Ciencias Comerciales “Francisco Marroquín”, Morales, Izabal.
[William O. de León Z., Catedrático]
Una persona en pago de una deuda, firmó tres letras de cambio. La primera con valor nominal de Q 800.00 y vence dentro de 90 días, la segunda con valor nominal de Q3,300.00 vence dentro de 1 año y 60 días; la tercera letra con valor de Q5,000.00 y vence dentro de 2 años. El deudor acuerda con el acreedor cancelar las tres letras en la fecha de vencimiento de la última, reconociendo en la operación el 20.25% anual de interés simple. ¿Cuánto debe pagarse en la fecha focal? Procedimiento Lógico
GRÁFICA DE TIEMPO Y VALOR Letra de cambio vence dentro de 90 días
Letra de Cambio Vence dentro de 1 año y 60 días.
Letra de Cambio Vence dentro de 2 años Fecha Focal
Q800.00
Q3,300.00
Q5,000.00
n = 300 días n = 630 días
? ?
Analizamos a qué caso pertenece esta ecuación de valor: Como la fecha de valuación o fecha focal corresponde al vencimiento de la última obligación, pertenece al caso número 1. Por lo tanto las operaciones que se aplicarán es el cálculo del monto y al final en la fecha focal tendremos la suma de montos. Primera Letra que vence dentro de 90 días. S=P 1ni FACTORES P = Q800.00 n = 630 días i = 20.25% anual S =?
ESTANDARIZACIÓN Q800.00 630/360 = 1.75 20.25/100 = 0.2025
S=Q 800. 00 11. 75∗0 . 2025 S=Q 800. 00 10 . 354375 S=Q 800. 00 1 . 354375 S=Q1 , 083 .5
Documento de Apoyo al Estudiante [Cálculo Mercantil y Financiero]
www.williamdeleon.wordpress.com
Página 7 de 10
Escuela Nacional de Ciencias Comerciales “Francisco Marroquín”, Morales, Izabal.
[William O. de León Z., Catedrático]
Segunda Letra que vence dentro de 1 año y 60 días S=P 1ni FACTORES ESTANDARIZACIÓN P = Q3,300.00 Q3,300.00 n = 300 días 300/360 = 0.83333 i = 20.25% anual 20.25/100 = 0.2025 S =? S=Q3, 300 . 00 10 . 83333∗0 . 2025 S=Q3, 300 . 00 10 . 16874 S=Q3, 300 . 00 1. 16874 S=Q 3,856 .84 Tercera Letra que vence dentro de 2 años Esta obligación financiera se deja con la misma cantidad porque su fecha de vencimiento no cambió en el acuerdo entre deudor y acreedor y además no se le aplica ninguna tasa de interés adicional.
Procedimiento lógico
GRÁFICA FINAL DE TIEMPO Y VALOR Letra de cambio vence dentro de 90 días
Letra de Cambio Vence dentro de 1 año y 60 días.
Letra de Cambio Vence dentro de 2 años Fecha Focal
Q800.00
Q3,300.00
Q5,000.00
n = 300 días n = 630 días TOTAL A PAGAR EN FECHA FOCAL:
Documento de Apoyo al Estudiante [Cálculo Mercantil y Financiero]
www.williamdeleon.wordpress.com
Q3,856.84 Q1,083.50 Q9,940.34
Página 8 de 10
Escuela Nacional de Ciencias Comerciales “Francisco Marroquín”, Morales, Izabal.
[William O. de León Z., Catedrático]
Una persona en pago de una deuda, firmó tres letras de cambio. La primera con valor nominal de Q 980.00 y vence dentro de 100 días, la segunda con valor nominal de Q3,600.00 vence dentro de 1 año y 3 meses; la tercera letra con valor de Q4,750.00 y vence dentro de 2 1/4 años. El deudor acuerda con el acreedor la cancelación de las obligaciones en la fecha de vencimiento de la última, aplicándole el 13.65% semestral de interés simple. ¿Cuánto debe pagarse en la fecha focal? Procedimiento Lógico
GRÁFICA DE TIEMPO Y VALOR Letra de cambio vence dentro de 100 días
Letra de Cambio Vence dentro de 1 año y 3 meses.
Letra de Cambio Vence dentro de 2 1/4 años Fecha Focal
Q980.00
Q3,600.00
Q4,750.00
n = 360 días = 1 año n = 710 días
? ?
Analizamos a qué caso pertenece esta ecuación de valor: Como la fecha de valuación o fecha focal corresponde al vencimiento de la última obligación, pertenece al caso número 1. Por lo tanto las operaciones que se aplicarán es el cálculo del monto y al final en la fecha focal tendremos la suma de montos. Primera Letra que vence dentro de 100 días. S=P 1ni FACTORES P = Q980.00 n = 710 días i = 13.65% semestral S =?
ESTANDARIZACIÓN Q980.00 710/360 = 1.97222 13.65/100 = 0.1365 * 2 = 0.273
S=Q 980 . 00 11 .97222∗0 . 273 S=Q 980 . 00 10 . 53841 S=Q 980 . 00( 1 .53841) S=Q 1,507. 64 Documento de Apoyo al Estudiante [Cálculo Mercantil y Financiero]
www.williamdeleon.wordpress.com
Página 9 de 10
Escuela Nacional de Ciencias Comerciales “Francisco Marroquín”, Morales, Izabal.
[William O. de León Z., Catedrático]
Segunda Letra que vence dentro de 1 año y 3 meses S=P 1ni FACTORES P = Q3,600.00 n = 1 año i = 13.65% semestral S =?
ESTANDARIZACIÓN Q3,600.00 1 año 13.65/100 = 0.1365 * 2 = 0.273
S=Q3, 600 . 00 11∗0 . 273 S=Q3, 600 . 00 10 . 273 S=Q3, 600 . 00 1. 273 S=Q 4,582 . 80 Tercera Letra que vence dentro de 2 1/4 años Esta obligación financiera se deja con la misma cantidad porque su fecha de vencimiento no cambió en el acuerdo entre deudor y acreedor y además no se le aplica ninguna tasa de interés adicional. Procedimiento lógico
GRÁFICA FINAL DE TIEMPO Y VALOR Letra de cambio vence dentro de 100 días
Letra de Cambio Vence dentro de 1 año y 3 meses.
Letra de Cambio Vence dentro de 2 1/4 años Fecha Focal
Q980.00
Q3,600.00
Q4,750.00
n = 360 días = 1 año n = 710 días TOTAL A PAGAR EN FECHA FOCAL:
Q4,750.00 Q4,582.80 Q1,507.64 Q10,840.44
BIBLIOGRAFÍA Apuntes de Matemática Financiera I Rivera Avila, Jorge Luis Guatemala, 2003
Documento de Apoyo al Estudiante [Cálculo Mercantil y Financiero]
www.williamdeleon.wordpress.com
Página 10 de 10