Rectas y planos en el espacio

Ecuaciones de la recta en el espacio Ecuación vectorial de la recta

Sea P(x0, y0, z0) un punto de la recta r y

su vector director. Para cualquier otro punto de la recta

X, el vector

, luego es igual a

tiene igual dirección que

multiplicado por un escalar:

Ecuaciones paramétricas de la recta Operando en la ecuación vectorial de la recta llegamos a la igualdad:

Esta igualdad se verifica si:

Ecuaciones continuas de la recta Despejando e igualando λ en las ecuaciones paramétricas se tiene:

Ecuaciones implícitas de la recta Una recta puede venir determinada por la intersección de los planos.

Si en las ecuaciones continuas de la recta quitamos denominadores y pasamos todo al primer miembro, obtenemos también las ecuaciones implícitas.

Ejemplos 1.Hallar las ecuaciones paramétricas, en forma continua e implícitas de la recta que pasa por el punto A = (−1, 2, 1) y cuyo vector director es

.

2.Hallar las ecuaciones paramétricas, en forma continua e implícita de la recta que pasa por los puntos A(1, 0, 1) y B(0, 1, 1).

3.Sea r la recta de ecuación:¿Pertenecen a r los puntos A(0, −2, −2) y B(3, 2, 6)?

4.-Dada la recta r:

Hallar las ecuaciones en forma continua y paramétrica.

Ecuaciones del plano Ecuación vectorial Un plano queda determinado por un punto P y un par de vectores con distinta dirección definidos en él.

Para que el punto P pertenezca al plano π el vector combinación lineal de ellos)

tiene que ser coplanario con

Ecuaciones paramétricas del plano Operando en la ecuación vectorial del plano llegamos a la igualdad:

Esta igualdad se verifica si:

y

.(o

Ecuación general o implícita del plano Un punto está en el plano π si tiene solución el sistema:

Este sistema tiene que ser compatible determinado en las incógnitas λ y µ· Por tanto el determinante de la matriz ampliada del sistema con la columna de los términos independientes tiene que ser igual a cero.

Desarrollamos el determinante.

Damos los valores:

Sustituimos:

Realizamos las operaciones y le damos a D el valor:

Obtenemos la ecuación general de plano:

Vector normal El vector

es un vector normal al plano, es decir, perpendicular al plano.

Si P(x0, y0, z0) es un punto del plano, el vector perpendicular al vector

es

, y por tanto el producto escalar es cero.

De este modo también podemos determinar la ecuación general del plano, a partir de un punto y un vector normal.

Ecuación canónica o segmentaria del plano

Sean los puntos A(a, 0, 0), B(0, b, 0) y C(0, 0, c), la ecuación canónica viene dada por:

Ejercicios resueltos 1.Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del plano que pasa por el punto A(1, 1, 1) y tiene como vectores directores a

y

.

2.Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del plano que pasa por los puntos A(−1, 2, 3) y B(3, 1, 4) y contiene al vector

.

3.Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del plano que pasa por los puntos A(−1, 1, −1), B(0, 1, 1) y C(4, −3, 2).

4.Sea π el plano de ecuaciones paramétricas:

Se pide comprobar si los puntos A (2, 1, 9/2) y B(0, 9, −1) pertenecen al plano.

5.Hallar la ecuación segmentaria del plano que pasa por los puntos A(1, 1, 0), B(1, 0, 1) y C(0, 1, 1).

Dividiendo por −2 obtenemos la ecuación segmentaria:

5.Hallar la ecuación de la recta r, que pasa por el punto (1, 0, 0) y es perpendicular al plano x − y − z + 2 = 0.

Por ser la recta perpendicular al plano, el vector normal del plano, director de la recta que pasa por el punto (1, 0, 0).

, será el vector

7.Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto A(2, 0, 1 y contiene a la recta de ecuación:

De la ecuación de la recta obtenemos el punto B y el vector

.

Puntos en el espacio Coordenadas del punto medio de un segmento Sean A (x1, y1, z1) y B (x2, y2, z2) los extremos de un segmento, el punto medio del segmento viene dado por:

Ejercicio Dados los puntos A(3, −2, 5) y B(3, 1, 7) , hallar las coordenadas del punto medio del segmento que determinan.

Coordenadas del baricentro de un triángulo Sean A (x1, y1, z1), B (x2, y2, z2) y C (x3, y3, z3) los vértices de un triángulo, las coordenadas del baricentro son:

Ejercicio Sean A = (2, 1, 0), B = (1, 1, 1) y C = (4, 1, −2) los vértices de un triángulo. Determinar las coordenadas del baricentro e indica el tipo de triángulo que es atendiendo a la longitud de sus lados y a sus ángulos.

Puntos alineados Tres o más puntos esán alineados si están en una misma recta, y por tanto el rango de los vectores determinados por ellos es 1.

Ejercicio:Comprobar si los puntos A(2, 3, 1), B(5, 4, 3) y C(2, 1, 2) están alineados.

Puntos coplanarios Dos o más vectores son coplanarios si son linealmente dependientes, y por tanto sus componentes son proporcionales y su rango es 2.

Dos o más puntos son coplanarios, si los vectores determinados por ellos también son coplanarios.

Ejemplo 1. Comprobar si los puntos A(1, 2, 3), B(4, ,7, 8), C(3, 5, 5), D(−1, −2, −3) y E(2, 2, 2) son coplanarios.

Los puntos A, B, C, D y E son coplanarios si:

Los puntos A, B, C, D y E no son coplanarios.

Ejercicios de puntos en el espacio 1 Las coordenadas de los vértices consecutivos de un paralelogramo son A (1, 0, 0) y B(0, 1, 0). Las coordenadas del centro M son M(0, 0, 1). Hallar las coordenadas de los vértices C y D. 2 Dado el triángulo de vértices A(2, 3, 4), B(1, −1, 5) y C(5, 5, 4), hallar: 1. Las ecuaciones de las medianas del triángulo.

2. Las coordenadas del baricentro del triángulo.

3. Las coordenadas del baricentro del triángulo cuyos vértices son los puntos medios de los lados del triángulo anterior.

3 Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (2, 3, 4) y B(8, −2, 3). Estudiar si el punto C(2, 1, 3) está alineado con A y B. 4 Determinar los valores de m para que los puntos A(m, 2, −3), B(2, m, 1) y C(5, 3, −2) estén alineados y hallar las ecuaciones de la recta que los contiene.

5 Determinar el valor de x para que los puntos A(0, 0, 1), B(0, 1, 2), C(−2, 1, 3) y D(x, x-1, 2) sean coplanarios.

6 ¿Qué en relación se ha de verificar entre los parámetros a, b y c para que los puntos A(1, 0, 1), B(1, 1, 0), C(0, 1, 1) y D(a, b, c) sean coplanarios?

7 Calcular el valor de a para que los puntos (a, 0, 1), (0, 1, 2), (1, 2, 3) y (7, 2, 1) sean coplanarios.

Calcular también la ecuación del plano que los contiene.

Problemas resueltos de rectas 1 Obtener la ecuación de la recta que, siendo paralela la recta dada por x = 3λ, y = λ, z = 2λ + 2, contiene al punto P(0, 1, −1).

2Una recta es paralela a los planos x + y = 0, x + z = 0 y pasa por por el punto (2, 0, 0).

Hallar sus ecuaciones.

3Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (8, 2, 3) y lleva la dirección del vector

.

4Dados los puntos A(2, 6, −3) y B(3, 3, −2), hallar aquellos puntos de la recta AB que tienen al menos una coordenada nula.

5Hallar una ecuación continua de la recta que es paralela a los planos: x − 3y + z = 0 y 2x − y + 3z − 5 = 0, y pasa por el punto (2, −1, 5).

6Determinar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto A(1, −1, 0) y corta a las dos rectas:

Solución1 1.Hallar las ecuaciones paramétricas, en forma continua e implícitas de la recta que pasa por el punto A = (−1, 2, 1) y cuyo vector director es .

Solución 2 2.Hallar las ecuaciones paramétricas, en forma continua e implícita de la recta que pasa por los puntos A(1, 0, 1) y B(0, 1, 1).

Solución 3 Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (8, 2, 3) y lleva la dirección del vector j.

Solución 4 1.Dados los puntos A(2, 6, −3) y B(3, 3, −2), hallar aquellos puntos de la recta AB tenían al menos una coordenada nula.

Solución 5 Hallar una ecuación continua de la recta que es paralela a los planos: x − 3y + z = 0 y 2x − y + 3z − 5 = 0, y pasa por el punto (2, −1, 5).

El vector director de la recta es perpendicular a a los vectores normales de cada plano.

Solución 6 Determinar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto A(1, −1, 0) y corta a las dos rectas: La recta pedida es la intersección de los dos planos que pasan por A y contienen a las rectas r y s.

Plano que contiene a A y r.

Plano que contiene a A y s.

La recta pérdida es:

Problemas resueltos del plano.

1Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos A(1, −2, 4), B(0, 3, 2) y es paralelo a la recta

.

2Dadas las rectas

Determinar la ecuación del plano que contiene a r y es paralelo a s.

3Sea π un plano que pasa por P(1, 2, 1) y corta a los semiejes coordenados positivos en los puntos A, B y C. Sabiendo que el triángulo ABC es equilátero, hallar las ecuaciones de π.

4Hallar la ecuación del plano que contienen a las rectas:

5Hallar las ecuaciones de los ejes coordenados y de los planos coordenados.

6 Hallar las coordenadas del punto común al plano x + 2y − z − 2 = 0 y a la recta determinada por el punto (1, −3, 2) y el vector

.

7Hallar la ecuación implícita del plano que pasa por el punto P(1, 1, 1) y es paralelo a:

8Hallar la ecuación del plano que contiene al punto A(2, 5, 1) y a la recta de ecuación:

9Hallar la cual del plano que contiene a la recta

y es paralelo a la recta

.

10Hallar la ecuación del plano paralelo a las rectas de ecuaciones:

y que pasa por el punto (1, 1, 2).

1 Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos A(1, −2, 4), B(0, 3, 2) y es paralelo a la recta:

2 Dadas las rectas

Determinar la ecuación del plano que contiene a r y es paralelo a s.

3 Sea π un plano que pasa por P(1, 2, 1) y corta a los semiejes coordenados positivos en los puntos A, B y C. Sabiendo que el triángulo ABC es equilátero, hallar las ecuaciones de π.

Como el triángulo es equilátero, los tres segmentos son iguales.

4 2.Hallar la ecuación del plano que contienen a las rectas:

5 Hallar las ecuaciones de los ejes coordenados y de los planos coordenados.

6 Hallar las coordenadas del punto común al plano x + 2y − z − 2 = 0 y a la recta determinada por el punto (1, −3, 2) y el vector

.

7 Hallar la ecuación implícita del plano que pasa por el punto P(1, 1, 1) y es paralelo a:

8 3.Hallar la ecuación del plano que contiene al punto A(2, 5, 1) y a la recta de ecuación:

9 Hallar la cual del plano que contiene a la recta

y es paralelo a la recta

.

El punto A(2, 2, 4) y el vector contenida en el plano.

El vector

pertenecen al plano, ya que la primera recta estรก

es un vector del plano, por ser paralelo a la recta.

10 Hallar la ecuaciรณn del plano paralelo a las rectas de ecuaciones:

y que pasa por el punto (1, 1, 2).