o. ro
VIII. 223 Determinaţi numerele naturale care au exact 6 divizori naturali şi pentru care suma inverşilor acestor divizori este egală cu 2. Mircea Lascu, Zalău
VIII. 229 Se consideră un pentagon convex ABCDE în care A ( ΔABC ) = A ( ΔABD ) = A ( ΔACD ) = A ( ΔADE ) = s. Exprimaţi, în funcţie de s , A ( ΔBCE ). Olimpiadă Austria
VIII. 224 Se consideră numerele reale x1 , x2 , x3 distincte două câte două.
Arătaţi că dacă numerele reale y1 , y2 , y3 satisfac simultan
Clasa a IX-a
relaţiile: y1 ( x3 − x2 ) + y2 ( x1 − x3 ) + y3 ( x2 − x1 ) = 0 şi
IX. 195 Fie x1 o rădăcină a ecuaţiei x 2 + px + q = 0, p, q ∈ \. Arătaţi
Andrei Eckstein, Timişoara ' ' '
'
VIII. 226 Determinaţi numerele naturale
x 2 + 3 = 2 y.
x
şi
y
pentru care
Mircea Lascu, Zalău
w .n
VIII. 227 Se consideră un triunghi ABC şi se notează cu G centrul său de greutate şi cu D punctul în care mediana din A intersectează a doua oară cercul circumscris triunghiului ABC . Demonstraţi că BGCD este AB 2 + AC 2 paralelogram dacă şi numai dacă BC 2 = . 2 Dan Ştefan Marinescu, Hunedoara
w
VIII. 228 Arătaţi că nu există numere naturale nenule a şi b astfel încât N = (15a + b )( a + 15b ) să fie o putere a lui 3. Olimpiadă Grecia
59
Bogdan Enescu, Buzău
IX. 196 Determinaţi numerele naturale nenule n pentru care numărul ⎡ n 3 + 8n 2 + 1 ⎤ ⎥ este prim. N=⎢ ⎢ ⎥ n 3 ⎣ ⎦
Gabriel Popa, Iaşi
eu
VIII. 225 Se consideră un cub ABCDA B C D cu lungimea laturii de 6 dm şi în care se notează { O } = AC ' ∩ A'C. Pentru vopsirea cubului se folosesc 180 g de vopsea. Se taie cubul vopsit în cubuleţe cu latura de 2 dm. Ce cantitate de vopsea este necesară pentru a vopsi suprafeţele noi apărute, nevopsite ? ***
că, dacă p + q < 1, atunci x1 < 1.
tri n
y1 ( x32 − x22 ) + y2 ( x12 − x32 ) + y3 ( x22 − x12 ) = 0 , atunci y1 = y2 = y3 .
IX. 197 Determinaţi numerele reale pozitive x, y , z pentru care ( x + y )(1 + z ) = 8 şi xyz = 4. Antoanela Buzescu, Caransebeş
IX. 198 Se consideră un triunghi ABC , un punct M în planul său şi se notează cu G A , GB , GC centrele de greutate ale triunghiurilor BMC , CMA, AMB . Arătaţi că se poate forma un triunghi cu vectorii JJJJG JJJJG JJJJG AG A , BGB , CGG dacă şi numai dacă M este centrul de greutate al triunghiului ABC. Florin Stănescu, Găeşti IX. 199 Determinaţi numerele reale a şi b astfel încât ecuaţiile x 2 − ax + b = 0 şi x 2 − bx + a = 0 să aibă soluţiile numere naturale distincte. Gheorghe Andrei, Constanţa
60