Issuu on Google+

Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Varianta 1

5p 5p 5p

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 001 1. Să se determine numărul natural x din egalitatea 1 + 5 + 9 + ... + x = 231 . 2. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale inecuaţia 2 x 2 − 5 x + 3 ≤ 0 . 3. Să se determine inversa funcţiei bijective f : (0, ∞) → (1, ∞ ), f ( x) = x 2 + 1 .

5p

4. Se consideră mulţimea A = {1,2,3,...,10} . Să se determine numărul submulţimilor cu trei elemente ale mulţimii A, care conţin elementul 1. 5. Să se determine m ∈ \ , astfel încât distanţa dintre punctele A(2, m) şi B (m, −2) să fie 4.

5p

6. Să se calculeze cos

23π π ⋅ sin . 12 12

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

5p

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r o r . Va o n i r t u e n . www

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 001 a b 1. Se consideră matricea A =   , cu a, b ∈ \ şi b ≠ 0 . b a a) Să se arate că dacă matricea X ∈ M 2 (\ ) verifică relaţia AX = XA , atunci există u , v ∈ \ , astfel

sc u

,1

u v  încât X =  . v u

5p 5p

a) Să se verifice că, pentru orice b ∈ ] 7 , b ≠ 0ˆ , are loc relaţia b6 = 1ˆ . ˆ x3 + 4), ˆ ∀x ∈ ] . b) Să se arate că x6 + 5ˆ = ( x3 − 4)(

m Va at ri e

5p

( a + b) n + ( a − b) n ( a + b) n − ( a − b ) n yn  , unde , . x = y = n n xn  2 2 2 1 c) Să se rezolve în mulţimea M2 (\ ) ecuaţia X 3 =  . 1 2 2. Se consideră a ∈ ] 7 şi polinomul f = X6 + aX + 5ˆ ∈ ] 7 [ X ] . x b) Să se arate că ∀ n ∈ `* , An =  n  yn

5p 5p

7

c) Să se demonstreze că pentru orice a ∈ ] 7 , polinomul f este reductibil în ] 7 [ X ] .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

1

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 001

5p 5p 5p

1. Se consideră numărul real a > 0 şi funcţia f : \ → \ , f ( x) = e x − ax . a) Să se determine asimptota oblică la graficul funcţiei f către −∞ . b) Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei f. c) Să se determine a ∈ (0, ∞) , ştiind că f ( x) ≥ 1, ∀x ∈ \ .

ln x . x programa M1 BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1,

2. Se consideră funcţia f : ( 0, ∞ ) → \, f ( x) =

5p 5p 5p

a) Să se arate că funcţia F : ( 0, ∞ ) → \, F ( x) = 2 x ( ln x − 2 ) , este o primitivă a funcţiei f. b) Să se arate că orice primitivă G a funcţiei f este crescătoare pe [1,∞ ) .

c) Să se calculeze aria suprafeţei plane cuprinse între graficul funcţiei f , axa Ox şi dreptele de ecuaţii 1 x = şi x = e . . e


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Varianta 2

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 002 5p

1. Să se arate că numărul (1 − i ) este real.

5p

2. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia

5p 5p

3x − 1 x + 1 + = 3. x + 1 2x − 1 3. Să se determine inversa funcţiei bijective f : \ → (1, ∞ ) , f ( x) = e x + 1 .

4. Să se determine probabilitatea ca, alegând un număr ab din mulţimea numerelor naturale de două cifre, să avem a ≠ b . 5. Să se calculeze lungimea medianei din A a triunghiului ABC , unde A(−2, −1), B (2,0), C (0,6) . G G G G G G G G 6. Fie vectorii u = mi + 3 j şi v = ( m − 2 ) i − j . Să se determine m > 0 astfel încât vectorii u şi v să fie perpendiculari.

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p 5p

24

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar 2

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r o r . Va ( ) o n i r t u e n . www

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 002

5p

a) Să se arate că există a ∈ \ astfel încât A2 = aA.

5p

b) Să se calculeze ( A − At )2009 .

5p

c) Să se rezolve ecuaţia X 5 = A, X ∈ M 2 \ .

5p 5p 5p

sc u

 2 2 1. Se consideră matricea A∈ M2 (\ ) , A =  . 1 1

2. Pentru a, b din mulţimea M = [0, ∞) se defineşte operaţia a ∗ b = ln(ea + eb − 1) . a) Să se arate că dacă a, b ∈ M , atunci a ∗ b ∈ M . b) Să se arate că legea de compoziţie „ ∗ ” este asociativă. c) Pentru n ∈ ` , n ≥ 2 , să se determine a ∈ M astfel încât a ∗ a ∗ ... ∗ a = 2a .

m Va at ri e

de n ori a

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

2

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 002

(

)

1. Se consideră şirul ( an )n∈`* dat de a1 ∈ ( 0,1) şi an+1 = an 1 − an , ∀n ∈ `* .

5p 5p

a) Să se arate că an ∈ ( 0,1) , ∀n ∈ `* .

b) Să se demonstreze că şirul ( an )n∈`* este strict descrescător.

2 * de bnD,=MT1, a12 + programa a22 + ... + aM1 c) Să se arate că şirul (bn )n∈`* , dat n , ∀n ∈ ` , este mărginit superior de a1. BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba

5p

2. Se consideră funcţia f : \ → \, f ( x) = 5p 5p

5p

1

x + x +1 2

.

2 3  2x + 1  arctg   , x ∈ \ , este o primitivă a funcţiei f. 3  3  b) Să se calculeze aria suprafeţei delimitate de dreptele x = 0, x = 1, Ox şi graficul funcţiei g : \ → \ , g ( x) = (2 x + 1) f ( x) .

a) Să se arate că funcţia F : \ → \, F ( x) =

c) Să se calculeze lim

n

n→∞ − n

f ( x)dx , unde n ∈ `* .


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

3

Varianta 3

5p

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 003 1. Să se ordoneze crescător numerele 2,

5p

2. Să se determine valoarea minimă a funcţiei f : R → R , f ( x ) = 4 x 2 − 8 x + 1 .

5p 5p 5p

4,

4

5.

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia lg( x − 1) + lg(6 x − 5) = 2 . 4. Să se determine probabilitatea ca, alegând un număr din mulţimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie pătrat perfect. 5. Să se determine ecuaţia dreptei care trece prin punctul A(6, 4) şi este perpendiculară pe dreapta d : 2x − 3 y + 1 = 0 . 6. Ştiind că sin α =

1 , să se calculeze cos 2α . 3

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p

3

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

5p

a) Să se verifice egalitatea A2 − A = 2 I 3 .

5p

b) Să se calculeze A−1 .

5p

c) Să se arate că A2009 + A2008 = 22008 A + I 3 .

2. Se consideră cunoscut că ], ∗, D este un inel comutativ, unde x ∗ y = x + y − 3 şi x D y = x ⋅ y − 3 x − 3 y + 12 , ∀ x, y ∈ ] . a) Să se arate că elementul neutru al legii de compoziţie „ D ” este 4. b) Să se determine a, b ∈ ] astfel încât între inelele ( ], ∗, D ) şi ( ], +, ⋅ ) să existe un izomorfism de forma f : ] → ] , f ( x) = a ⋅ x + b .

m Va at ri e

5p 5p 5p

sc u

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r o r Va ( ) trino. u ( w. ) ne ww

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 003 0 1 1 1. Se consideră matricea A =  1 0 1  ∈ M3 ( \ ) .  1 1 0  

c) Să se rezolve în mulţimea ] ecuaţia  x D x D ... D x = 22009 + 3 . de 2009 ori x

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

3

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 003

5p 5p

1. Se consideră funcţia f : ( 0, ∞ ) → \, f ( x ) = 18 x 2 − ln x. a) Să se determine intervalele de monotonie ale funcţiei f. b) Să se determine a ∈ \ pentru care f ( x ) ≥ a, ∀x ∈ ( 0, ∞ ) .

5p

c) Să se determine numărul de rădăcini reale ale ecuaţiei f ( x ) = m , unde m este un parametru real.

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1

2. Se consideră funcţiile f a : \ → \, f a ( x) =

1 , unde a ∈ \ . x−a +3

5p

a) Să se arate că, pentru orice a ∈ \ , funcţia f a are primitive strict crescătoare pe \ .

5p

b) Să se calculeze

5p

c) Să se calculeze lim

∫0 f2 ( x )dx . 3

∫ f a ( x )dx . a →∞ 0 3


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

4

Varianta 4

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 004 2

1   1 − 1. Să se arate că numărul   este real. 1− i 1+ i 

5p

2. Să se arate că vârful parabolei y = x 2 + 5 x + 1 este situat în cadranul III.

5p 5p

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 9 x − 10 ⋅ 3x−1 + 1 = 0 . 4. Să se determine probabilitatea ca, alegând un număr din mulţimea numerelor naturale de trei cifre, acesta să aibă exact două cifre egale. G G G G G G 5. Să se determine a ∈ \ pentru care vectorii u = a i + (a + 1) j şi v = −(5a − 1) i + 2 j sunt perpendiculari. 6. Să se calculeze lungimea laturii BC a triunghiului ascuţitunghic ABC ştiind că AB = 6 , AC = 10 şi că aria triunghiului ABC este egală cu 15 3 .

5p 5p

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

5p 5p 5p

5p 5p

b) Să se demonstreze că det( At ⋅ A) = 0 .

c) Să se determine o matrice nenulă B ∈ M3,2 ( _ ) astfel încât AB = O2 .

2. Se ştie că (G , D ) este grup, unde G = (3, ∞) şi x D y = ( x − 3)( y − 3) + 3 . Se consideră funcţia f : (0, ∞) → G , f ( x) = x + 3 . a) Să se calculeze 4 D 5 D 6 . b) Să se demonstreze că funcţia f este un izomorfism de grupuri, de la ( (0, ∞), ⋅) la ( G , D ) .

c) Să se demonstreze că dacă H este un subgrup al lui G care conţine toate numerele naturale k ≥ 4 , atunci H conţine toate numerele raţionale q > 3 .

m Va at ri e

5p

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r o r . Va o n i r t u e n . www

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 004  −1 2 2  1. Se consideră matricea A =  .  2 2 −1 a) Să se calculeze rangul matricei A.

sc u

4

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

4

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 004

1. Se consideră funcţia f : \ \ {−1,0} → \, f ( x ) =

5p 5p

2x + 1

x 2 ( x + 1)

2

.

a) Să se determine asimptotele graficului funcţiei f. b) Să se demonstreze că funcţia f nu are puncte de extrem local.

lim ( f (1) + f-(Proba 2 ) + f D, + ... +programa f ( n ) ) ,M1 unde n ∈ `* . c) Să se calculeze 5p BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ ( 3)MT1, n2

n→∞

2. Se consideră şirul ( I n )n∈`* , I n = ∫

2

1

5p

a) Să se calculeze I1 .

5p 5p

b) Să se arate că I n ≤ 1, ∀n ∈ `* . c) Să se calculeze lim I n . n→∞

xn

xn + 1

dx, n ∈ `* .


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Varianta 5

5p 5p 5p

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 005 1 1 + . 1. Să se calculeze 1 + 2i 1 − 2i 2. Să se rezolve în ] inecuaţia x 2 − 10 x + 12 ≤ 0 . 3. Să se determine inversa funcţiei bijective f : (1, ∞ ) → ( 0, ∞ ) , f ( x) = 3 log 2 x .

5p

4. Să se determine numărul funcţiilor f : {1, 2,3, 4} → {1, 2,3, 4} cu proprietatea că f (1) = f (4) .

5p

5. Să se determine coordonatele vârfului D al paralelogramului ABCD ştiind că A(−2,9), B (7, −4), C (8, −3) .

5p

6. Triunghiul ABC are B =

π

şi lungimea razei cercului circumscris egală cu 1. Să se calculeze

3

lungimea

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

laturii AC .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

5p 5p 5p

1 1 1 1 1. Se consideră punctele A(0, 6), B (1, 4), C (−1, 8) şi matricea M =  0 1 −1 a  , unde a, b ∈ \ . 6 4 8 b   a) Să se arate că punctele A, B, C sunt coliniare. b) Să se determine rangul matricei M în cazul a = 3, b = 0 . c) Să se arate că dacă unul dintre minorii de ordin trei ai lui M , care conţin ultima coloană, este nul, atunci rang( M ) = 2. 2. Pe mulţimea ] definim legea de compoziţie x ∗ y = 5 xy + 6 x + 6 y + 6 . a) Să se arate că legea “ ∗ ” este asociativă. b) Să se determine elementele simetrizabile ale mulţimii ] în raport cu legea “ ∗ ”. x ∗ x ∗ x ∗ ... ∗ x = −1 . c) Să se rezolve ecuaţia  de 2009 ori x

m Va at ri e

5p 5p 5p

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r o r . Va o n i r t u e n . www

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 005

sc u

5

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

5

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 005

1. Se consideră funcţia f : ( 0, ∞ ) → \, f ( x ) = ln x −

5p 5p

2 ( x − 1) x +1

.

a) Să se calculeze derivata funcţiei f. b) Să se determine punctele graficului funcţiei f în care tangenta la grafic este paralelă cu dreapta de ecuaţie 9 y = 2 x .

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, 2( MT1, x − 1)programa M1

5p

c) Să se arate că, dacă x > 1 , atunci ln x ≥

. x +1 1 2. Se consideră funcţia f : ( 0, ∞ ) → \, f ( x ) = 2 şi şirul (an )n≥1 , an = f (1) + f (2) + ... + f (n). x k +1

5p

a) Să se arate că f ( k + 1) ≤ ∫

5p

b) Să se calculeze lim

5p

c) Să se arate că şirul (an )n≥1 este convergent.

k

f ( x ) dx ≤ f (k ), ∀k ∈ ( 0, ∞ ) .

∫ f ( x ) dx, n ∈ ` . n→∞ 1 n


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

6 5p 5p 5p 5p

Varianta 6

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 006 1. Să se calculeze suma tuturor numerelor naturale de două cifre care se divid cu 11. 2. Să se determine funcţia f de gradul al doilea ştiind că f (−1) = 1, f (0) = 1, f (1) = 3 . 3. Să se rezolve în mulţimea ( 0, π ) ecuaţia sin 3 x = sin x .

4. Câte numere naturale de trei cifre distincte se pot forma cu elemente ale mulţimii {2, 4,6,8} ?

5p

5. Se consideră triunghiul ABC cu vârfurile în A(1, 2) , B (2, −2) şi C (4,6) . Să se calculeze cos B .

5p

6. Să se calculeze lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC ştiind că C =

π

şi AB = 6 .

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

6

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a ( o ) i r r . Va o n i r t u e n . w w w

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 006 1 2 3 4 5  1. Se consideră permutarea σ =   ∈ S5 . 3 1 2 5 4

5p

a) Să se calculeze σ2009 .

5p

b) Să se dea exemplu de o permutare τ ∈ S5 astfel încât τσ ≠ e şi τσ

5p

c) Să se demonstreze că, pentru orice τ ∈ S5 , există p ∈ `∗ astfel încât τ p = e .

2

=e.

sc u

6

2. Se consideră a ∈ ^ , x1 , x2 , x3 ∈ ^ rădăcinile ecuaţiei x3 − 2 x 2 + 2 x − a = 0 şi determinantul x1 ∆ = x3 x2

x3 x2 . x1

a) Pentru a = 1 , să se determine x1 , x2 şi x3 . b) Să se arate că, pentru orice a ∈ \ , ecuaţia are o singură rădăcină reală. c) Să se arate că valoarea determinantului ∆ nu depinde de a.

m Va at ri e

5p 5p 5p

x2 x1 x3

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 006

6

1. Se consideră funcţia f : ( 0, ∞ ) → \, f ( x ) = e x⋅ln x .

5p

a) Să se arate că f ′ ( x ) = f ( x )(1 + ln x ) , ∀x > 0.

5p 5p

b) Să se determine valoarea minimă a funcţiei f. c) Să se arate că funcţia f este convexă pe ( 0,∞ ) .

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1

2. Se consideră, pentru fiecare n ∈ `∗ , funcţiile f n : (−1, ∞ ) → \, f n ( x) = g n ( x) = 1 − x + x 2 − x3 + ... − x 2n −1 + f n ( x) .

5p

a) Să se calculeze

1

∫0 g2 ( x)dx .

1 , ∀n ∈ `* . 0 2n + 1 1 1   1 1 1 c) Să se calculeze lim  1 − + − + ... + −  , n ∈ `. n→∞  2 3 4 2 n − 1 2n  1

5p 5p

b) Să se arate că 0 ≤ ∫ f n ( x)dx ≤

x 2n şi g n : (−1, ∞) → \ , 1+ x


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

7

Varianta 7

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 007 8+i . 7 − 4i

5p

1. Să se calculeze modulul numărului complex z =

5p

2. Să se determine valoarea maximă a funcţiei f : R → R , f ( x ) = − x 2 + 6 x − 9 .

5p

1 3. Să se rezolve în mulţimea [ 0, 2π ) ecuaţia sin x = − . 2

5p 5p

4. Să se determine n ∈ `∗ pentru care mulţimea {1, 2,..., n} are exact 120 de submulţimi cu două elemente. JJJG JJJG JJJG JJJG 5. Se ştie că, în triunghiul ABC , vectorii AB + AC şi AB − AC au acelaşi modul. Să se demonstreze că triunghiul ABC este dreptunghic. 6. Să se calculeze lungimea razei cercului înscris în triunghiul ABC care are lungimile laturilor egale cu 3, 4 şi 5.

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

1. 5p 5p 5p

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r o r . Va o n i r t u e n . www

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 007

a) b) c)

 1 2 3 4 Se consideră matricele A =  0 1 2 3  , B = ( 0 0 0 1) şi sistemul  0 0 1 2   Să se determine rangul matricei A. Să se determine mulţimea soluţiilor sistemului. Să se demonstreze că ecuaţia XA = B nu are soluţii X ∈ M1,3 ( ^ ) .

  2k 2. Se consideră mulţimea G =  A(k ) =  k  2

{

}

 x + 2 y + 3 z + 4t = 3  y + 2 z + 3t = 2 .   z + 2t = 1 

sc u

7

 2k  k ∈ ]   , şi pentru fiecare t ∈ ] notăm cu 2k  

H t = A ( kt − 1) k ∈ ] . Se admite faptul că ( G , ⋅ ) este un grup, unde „ ⋅ ” este înmulţirea matricelor.

a) Să se arate că ∀ n, p ∈ ] , A(n) ⋅ A( p ) = A(n + p + 1) . b) Să se demonstreze că, pentru orice t ∈ ] , H t este un subgrup al grupului (G , ⋅ ) . c) Să se demonstreze că grupurile (G , ⋅) şi (], + ) sunt izomorfe.

m Va at ri e

5p 5p 5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

7

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 007

1. Se consideră funcţia f : (0, ∞) → \, f ( x) = ln x şi şirul ( xn ) n∈`* , xn = 1 +

1 1 1 + + ... + − ln n, ∀n ∈ `*. 2 3 n

a) Să se determine asimptotele graficului funcţiei f. 1 1 5p b) Să se arate că, pentru orice k > 0 , < f ( k + 1) − f ( k ) < . k +1 k 2009-MATEMATICĂ Proba D, MT1, programa M1 5pBACALAUREAT c) Să se arate că şirul ( xn )n∈`* este descrescător şi are termenii pozitivi. 5p

2. Se consideră funcţiile f : ( −1, ∞ ) → \ , f ( x ) =

2x

( x + 1) ( x 2 + 1)

şi F : (−1, ∞) → \,

5p

F ( x) = a ln( x + 1) + b ln( x 2 + 1) + c arctg x , unde a, b, c sunt parametri reali. a) Să se determine a, b, c astfel încât F să fie o primitivă a funcţiei f .

5p

b) Să se calculeze

5p

c) Să se studieze monotonia funcţiei F , în cazul în care F este primitivă a funcţiei f .

1

∫0 f ( x)dx .


Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D

Varianta 8

Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

5p 5p

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 008 1. Să se rezolve în mulţimea numerelor complexe ecuaţia z 2 = −4 .

2. Se consideră funcţia f : R → R , f ( x ) = ax 2 + x + c . Ştiind că punctele A (1, 2 ) şi B ( 0,3) aparţin graficului funcţiei f , să se determine numerele reale a şi c.

5p 5p 5p

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3 7 x + 1 − x = 1 . 4. Câte numere naturale de patru cifre distincte se pot forma cu cifre din mulţimea {1,3,5,7,9} ? JJJG JJJG JJJG JJJG 5. Se consideră paralelogramul ABCD şi punctele E şi F astfel încât AE = EB , DF = 2 FE . Să se demonstreze că punctele A , F şi C sunt coliniare. 6. Fie triunghiul ABC. Să se calculeze lungimea înălţimii corespunzătoare laturii BC ştiind că AB = 13, AC = 14 şi BC = 15 .

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b ( ) ante Vari eutrino.ro n . w w w

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 008  1 −1 −1 1. Se consideră matricea A =  −1 1 −1 ∈ M3 (\ ) .  −1 −1 1  

5p

a) Să se calculeze det A .

5p

b) Să se arate că A2n =

5p

c) Să se determine A−1 .

22n − 1 22n + 2 A+ I3 , pentru orice n ∈ `∗ . 3 3

2. Se consideră a ∈ \ şi ecuaţia x3 − x + a = 0 , cu rădăcinile complexe x1 , x2 , x3 . a) Să se calculeze ( x1 + 1)( x2 + 1)( x3 + 1) . b) Să se determine x2 şi x3 ştiind că x1 = 2 . c) Să se determine a ∈ \ pentru care x1 , x2 , x3 sunt numere întregi.

m Va at ri e

5p 5p 5p

sc u

8

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

8

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 008 1. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) = x + cos x şi şirul ( xn )n∈` , x0 = 0, xn +1 = f ( xn ) , ∀ n ∈ `.

a) Să se arate că funcţia f este crescătoare pe \ . π BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ 5p b) Să se arate că 0 ≤ xn ≤ , ∀-nProba ∈ ` . D, MT1, programa M1 2 5p

5p

c) Să se arate că şirul ( xn )n≥1 este convergent la

π

2

.

π

5p

2 π 2. Se consideră şirul de numere reale ( I n )n∈` , definit de I 0 = şi I n = ∫ cos n x dx , n ∈ `* . 0 2 a) Să se calculeze I1 .

5p

b) Să se arate că şirul ( I n )n∈` este descrescător.

5p

c) Să se arate că nI n I n−1 =

π , ∀n ∈ `∗ . 2


Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Varianta 9

5p 5p

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 009 1. Să se determine numărul natural x pentru care 1 + 3 + 5 + … + x = 225 . 2. Să se determine valorile parametrului real m ştiind că graficul funcţiei f :

→ ,

f ( x ) = x 2 + mx − 2m intersectează axa Ox în două puncte situate la distanţa 3 .

(

)

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia log 2 2− x +1 + 1 = x .

5p

3 15 4. Să se arate că C17 > C17

5p

5. Fie hexagonul regulat ABCDEF de latură 4 . Să se calculeze modulul vectorului AC + BD . 91 6. Să se arate că sin 2 1 + sin 2 2 + ... + sin 2 90 = 2

5p

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

5p 5p 5p

 xA yA  1. Fie A ( x A , y A ) , B ( xB , yB ) , C ( xC , yC ) trei puncte din plan şi matricea M =  xB yB x  C yC a) Să se arate că, dacă A, B, C se află pe dreapta de ecuaţie y = 2 x , atunci det ( M ) = 0 .

1  1 ∈ M 3( \ ) . 1

b) Să se arate că, dacă triunghiul ABC este dreptunghic şi are catetele de lungime 1, atunci det M = ±1 . c) Să se arate că, dacă matricea M este inversabilă, atunci suma elementelor matricei M −1 este 1.  a b   2. Se consideră mulţimea de matrice A =   a, b ∈ ]  .  −3b a  

a) Să se arate că, dacă X ∈ A şi Y ∈ A , atunci X + Y ∈ A . b) Să se arate că, dacă X ∈ A , Y ∈ A şi XY = O2 , atunci X = O2 sau Y = O2 . c) Admitem cunoscut faptul că A este inel în raport cu adunarea şi înmulţirea matricelor. Să se determine elementele inversabile ale acestui inel.

m Va at ri e

5p 5p 5p

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r o r . Va o n ( ) i r t u e n . w w w

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 009

sc u

9

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

9

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 009 1. Se consideră funcţia f : \ → \, f ( x ) = x − sin x .

5p 5p

a) Să se arate că funcţia f este crescătoare.

b) Admitem că pentru fiecare n ∈ ` ecuaţia f ( x ) = n are o soluţie unică xn . Să se arate că şirul ( xn )n∈`* este nemărginit.

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 xn

5p

c) Să se calculeze lim

n→∞

n

, unde şirul ( xn )n≥1 a fost definit la b).

2. Fie funcţiile f , g n : [ 0,1) → \, f ( x) = 5p 5p 5p

1 xn , unde n ∈ `* . , g n ( x) = 1− x 1− x

1 a) Să se calculeze 2 ( f ( x) − g 2 ( x))dx . 0 1 1 b) Să se arate că 0 ≤ 2 g n ( x)dx ≤ n , ∀ n ∈ `* . 0 2

1 1 1   1 c) Să se arate că lim  + + + ... +  = ln 2 . 2 3 n→∞  1 ⋅ 2 2 ⋅ 2 3⋅ 2 n ⋅ 2n 


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

10 5p 5p

Varianta 10

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 010 1. Ştiind că z ∈ ^ şi că z 2 + z + 1 = 0 , să se calculeze z 4 +

1

. z4 2. Să se determine funcţia f de gradul întâi, pentru care f ( f ( x) ) = 2 f ( x ) + 1 , oricare ar fi x ∈ \ .

5p

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia lg ( x + 1) − lg 9 = 1 − lg x .

5p

4. Să se determine numărul termenilor raţionali din dezvoltarea 3 + 3 3

5p

5. Să se determine coordonatele centrului de greutate al triunghiului ABC , ştiind că A(−1,0), B (0, 2), C (2, −1) . G G G G G G 6. Să se arate că unghiul vectorilor u = 5i − 4 j şi v = 2i + 3 j este obtuz.

)

10

.

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p

(

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r o r . Va o n i r t u e n . [ ]w { ww }

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 010

1 2 3  1 2 3 1. Se consideră permutările e, α ∈ S3 , e =   , α = 3 1 2 . 1 2 3    

5p 5p 5p

5p 5p

b) Să se rezolve ecuaţia α 2009 ⋅ x = e , x ∈ S3 . c) Să se demonstreze că, oricare ar fi ordinea factorilor, produsul tuturor permutărilor din S3 este permutare impară. 2. Fie inelul ] i = a + bi a, b ∈ ] . a) Să se dea exemplu de un număr complex z astfel încât z ∉ ] [i ] şi z 2 ∈ ] [i ] .

b) Să se determine elementele inversabile ale inelului ] [i ] .

c) Să se arate că mulţimea H = {( m + n ) + ( m − n ) i m, n ∈ ]} este parte stabilă a lui ] [i ] în raport

m Va at ri e

5p

a) Să se calculeze α 3 .

sc u

10

cu înmulţirea.

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

10

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 010

(

)

1. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) = x arctg x − ln 1 + x 2 .

5p 5p 5p

a) Să se arate că funcţia f este convexă pe \ . b) Să se arate că funcţia f ' este mărginită. c) Să se demonstreze că f ( x) ≥ 0, ∀ x ∈ \ .

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ1- Proba n D, MT1, programa M1

2. Se consideră şirul ( I n )n≥1 , I n = ∫

x

2n 0 1+ x

5p 5p 5p

a) Să se calculeze I1 . 1 , ∀ n ∈ `* . n +1 c) Să se calculeze lim I n .

b) Să se arate că I n ≤

n→∞

dx, ∀n ∈ `* .


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

11 5p 5p 5p

Varianta 11

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 011 1. Să se determine a , b ∈ \ ştiind că numerele 2, a, b sunt în progresie geometrică şi 2, 17, a sunt în progresie aritmetică. 2. Să se rezolve ecuaţia f ( f ( x) ) = 0 , ştiind că f : \ → \ , f ( x) = −3 x + 2 . 3. Să se rezolve în mulţimea [ 0, 2π ) ecuaţia tg(− x) = 1 − 2 tg x.

5p

4. Să se determine numărul funcţiilor f : {0,1, 2} → {0,1, 2} care verifică relaţia f (2) = 2 . JJJG JJJG JJJG JJJG 5. Se consideră triunghiul ABC şi punctele D, E astfel încât AD = 2 DB , AE = 2 EC . Să se arate că dreptele DE şi BC sunt paralele.

5p

6. Să se calculeze lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC , dacă A =

π 4

, B=

π 6

şi AB = 6.

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

5p 5p 5p

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r o r . Va o n i r t u e n . www

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 011

sc u

11

c d  a b  −b a −d c t 1. Pentru a, b, c, d ∈ \ , se consideră matricea A =   şi matricea transpusă A . c d a b − −   b a   − d −c a) Pentru a = c = 1 şi b = d = 0 , să se calculeze det ( A) .

b) Să se arate că A ⋅ A t = α ⋅ I 4 , unde α = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 . c) Să se demonstreze că dacă A ≠ O4 , atunci A este inversabilă.

2. Se consideră a, b, c ∈ \ şi polinomul f = X 3 + aX 2 + bX + c, cu rădăcinile x1 , x2 , x3 ∈ ^ , astfel încât x1 ≤ 1, x2 ≤ 1, x3 ≤ 1.

5p

b) Să se arate că, dacă c < 0 , polinomul are cel puţin o rădăcină reală în intervalul ( 0, ∞ ) .

m Va at ri e

5p 5p

a) Să se demonstreze că a ≤ 3.

c) Să se arate că, dacă a = 1, c = −1, atunci b = −1.

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

11

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 011

1 | x| e . x+2 a) Să se studieze derivabilitatea funcţiei f în punctul x0 = 0 . b) Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei f .

1. Se consideră funcţia f : \ − {−2} → \, f ( x ) =

5p 5p 5p

c) Să se determine numărul de rădăcini reale ale ecuaţiei f ( x ) = m , unde m este un parametru real.

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1

2. Se consideră funcţiile f : \ → \, f ( x ) = sin x − x + Se admite cunoscut faptul că f ( x ) ≥ 0, ∀x ≥ 0. 1

∫0 f ( x)dx .

5p

a) Să se calculeze

5p 5p

b) Să se arate că funcţia g este strict descrescătoare. c) Să se arate că lim g ( x ) > 0,9 . x →0 x >0

1

sin t x3 şi g : ( 0,1] → \ , g ( x ) = ∫ dt . 6 t x


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

12

Varianta 12

5p

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 012 1 1 1. Să se calculeze + . 1+ i 1− i

5p

2. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia

5p

x +1 x + 2 7 + = . x+2 x+3 6 1 3. Să se rezolve în mulţimea [ 0, 2π ) ecuaţia cos 2 x = . 2 12

5p 5p

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p

 1  4. Să se determine a > 0 ştiind că termenul din mijloc al dezvoltării  3 a + 4  este egal cu 1848. a  5. Să se determine ecuaţia simetricei dreptei d : 2 x − 3 y + 1 = 0 faţă de punctul A(−3,4) . 6. Ştiind că ctg x = 3 , să se calculeze ctg 2 x .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar 12

9 0 0 2 e i t r a m 1 (c ) a b e t n a i r o r . Va o n i r t u e n . www

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 012

1 1  c b a g = aX + bX + c , cu a ≠ 0 . Fie matricele A, V ∈ M3 ^ , A =  a c b  şi V =  1 x1 b a c 1 x 2   1  a) Să se arate că det (V ) = 3( x2 − x1 ) . 2

5p 5p

5p 5p 5p

1 x2  . x22 

 g (1) g ( x1 ) g ( x2 )   b) Să se arate că A ⋅ V =  g (1) x1 g ( x1 ) x2 g ( x2 )  .  g (1) x 2 g ( x ) x 2 g ( x )  1 1 2 2   c) Să se arate că det ( A) = 0 dacă şi numai dacă a + b + c = 0 sau a = b = c . 2. Se consideră funcţia f : ] → ] , f ( x) = x 4 + 4ˆ x .

m Va at ri e

5p

sc u

1. Se consideră polinoamele f , g ∈ \ [ X ] , f = X 2 + X + 1 , cu rădăcinile complexe x1 , x2 şi

5

5

ˆ şi f (1) ˆ . a) Să se calculeze f (0) b) Să se arate că funcţia f nu este surjectivă. c) Să se descompună polinomul X 4 + 4ˆ X ∈ ] 5 [ X ] în factori ireductibili peste ] 5 .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

12

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 012

1. Se consideră funcţia f : ( 0, ∞ ) → \ , f ( x ) =

ln ( x + 1)

x 1 unde xn = f (1) + 2

5p

a) Să se arate că şirul ( xn )n≥1

5p

b) Să se calculeze lim f ( x) .

5p

c) Să se arate că funcţia f este descrescătoare.

.

1 1 f  + 2 3

1 1 f   + ... + n 3

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 x →∞

2. Se consideră funcţia f : (1, ∞ ) → \, f ( x ) = ∫ e −t t x −1dt . 1

0

5p

a) Să se calculeze f (2) .

5p

1 b) Să se demonstreze relaţia f ( x) ≤ , ∀x > 1 . x

5p

1 c) Să se demonstreze relaţia f ( x + 1) = xf ( x ) − , ∀x > 1 . e

1 f   este divergent. n


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

13

Varianta 13

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 013

5p

1. Să se arate că numărul (1 + i 3)2 + (1 − i 3) 2 este număr întreg.

5p

x + y = 4 2. Să se rezolve în \ × \ sistemul de ecuaţii  .  xy = 3

5p

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia x = 6

(

)

x − 2 −1 . 9

5p 5p

6. Triunghiul ABC are AB = 4, BC = 5 şi CA = 6 . Să se arate că m ( )B ) = 2m ( )C ) .

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p

1  4. Să se determine termenul care nu conţine pe x din dezvoltarea  x 2 +  . x  5. Să se calculeze distanţa de la punctul A(3,0) la dreapta d : 3x − 4 y + 1 = 0 .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

5p 5p 5p

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r o r . Va o n i r t u e n . { w } ww

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 013  x − y + z =1  1. Se consideră sistemul de ecuaţii  x + y + z = 3 , unde m ∈ \ . Pentru fiecare m ∈ \ , notăm cu Sm  mx + y + z = 3m  mulţimea soluţiilor reale ale sistemului. a) Să se determine m ∈ \ pentru care sistemul are soluţie unică. b) Să se arate că pentru orice m ∈ \ sistemul este compatibil.

sc u

13

c) Să se determine min x 2 + y 2 + z 2 ( x, y, z ) ∈ S1 .

 0 1  0 1 1 0 2. Se consideră matricele A =   , B =  −1 1 , I 2 =  0 1  , C = A ⋅ B şi mulţimea − 1 0      

{

}

m Va at ri e

G = X ∈ M2 ( ^ ) det ( X ) = 1 .

5p 5p

5p

a) Să se verifice că A4 = B 6 = I 2 .

b) Să se arate că ( G , ⋅ ) este un subgrup al grupului multiplicativ al matricelor inversabile de ordin doi, cu elemente numere complexe.

c) Să se demonstreze că C n ≠ I 2 , pentru orice n ∈ `∗ .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

13

5p 5p

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 013

1. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) = 3 x3 + 3 x 2 − 4, ∀x ∈ \ . a) Să se determine asimptota oblică a graficului funcţiei f spre ∞ . b) Să se arate că f 2 ( x ) f ' ( x ) = x 2 + 2 x, ∀ x ∈ \ − {−2, 1} .

5p BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba MT1, programa M1 x0 = −2. c) Să se determine derivatele laterale aleD, funcţiei f în punctul x

2. Pentru n ∈ ` se consideră funcţia Fn : ( 0, ∞ ) → \, Fn ( x ) = ∫ t n e −t dt , x > 0 . *

5p 5p 5p

a) Să se calculeze F1 ( x ) , x > 0 .

0

b) Să se determine punctele de inflexiune ale graficului funcţiei Fn . c) Să se calculeze lim F2 ( x) . x →∞


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

5p 5p 5p 5p 5p 5p

Varianta 14

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 014 1 2 3 99 . 1. Să se calculeze lg + lg + lg + ... + lg 2 3 4 100 2. Să se determine a ∈ \∗ pentru care ( a − 3) x 2 − ax − a < 0 , oricare ar fi x ∈ \ . 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3 8 − x = 3 9 − 4 x . 4. Să se determine numărul elementelor unei mulţimi ştiind că aceasta are exact 45 de submulţimi cu două elemente. 5. Să se determine ecuaţia dreptei AB ştiind că A(2,3) şi B (−5, 4) . 6. Triunghiul ABC ascuţitunghic are AC = 2 3 şi lungimea razei cercului circumscris egală cu 2. Să se determine măsura unghiului B.

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

14

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

5p 5p 5p

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r .ro Va ( u ) trin (o ) e n . w [ ] ww

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 014  a b c 1. Se consideră matricea A =  2a 2b 2c  , unde a, b, c ∈ \∗ .  3a 3b 3c    a) Să se calculeze rangul matricei A.

sc u

14

b) Să se arate că există d ∈ \ astfel încât A2 = dA . c) Să se arate că există matricele K ∈ M 3,1 \ şi L ∈ M1,3 \ astfel încât A = K ⋅ L . 2. Se consideră numărul a = 3 − i ∈ ^ şi polinomul f ∈ _ X , f = X 4 − 4 X 2 + 16 . a) Să se arate că f (a) = 0. b) Să se determine rădăcinile polinomului f. c) Să se arate că polinomul f este ireductibil în _ [ X ] .

m Va at ri e

5p 5p 5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

14

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 014

1. Pentru n ∈ `* , n ≥ 3 se consideră funcţia f n : \ → \, f n ( x ) = sin n x şi se notează cu xn abscisa  π punctului de inflexiune din intervalul  0,  , al graficului funcţiei f n .  2

5p

a) Să se arate că f n'' ( x ) = n ( n − 1) sin n− 2 x − n 2 sin n x, ∀n ∈ `∗ , n ≥ 3 şi x ∈ \ .

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ n − 1 - Proba D, MT1, programa M1

5p 5p

b) Să se arate că sin xn =

n c) Să se calculeze lim f n ( xn ) .

, n ≥ 3.

n→∞

2. Se consideră a ∈ \ şi funcţiile f , F : \ → \ , f ( x ) = 5p 5p 5p

x3 − 3x + a

, F ( x) =

x 2 + ax + 5

. ( x 2 + 1) x 2 + 1 x2 + 1 a) Să se arate că funcţia F este o primitivă a funcţiei f . b) Pentru a = 2 , să se determine aria suprafeţei plane cuprinsă între graficul functiei f, axa Ox şi dreptele x = 1 şi x = 2 .

c) Să se determine a astfel încât

2

0

∫0 F ( x)dx − ∫−2 F ( x)dx = 2 .


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

15

Varianta 15

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 015

(

)

(

)

5p

1. Să se calculeze log3 5 − 7 + log3 5 + 7 − log 3 2 .

5p

2. Să se determine funcţia de gradul al doilea al cărei grafic este tangent la axa Ox în punctul (1,0) şi trece prin punctul (0, 2) .

5p

3. Să se rezolve în mulţimea [ 0, 2π ) ecuaţia sin x + cos x = 0 .

5p

4. Câte numere naturale de patru cifre se pot forma cu elemente ale mulţimii {1,3,5,7,9} ?

5p

5. Să se determine ecuaţia dreptei care conţine punctul A(−2, 2) şi este paralelă cu dreapta determinată de punctele C (2,1) , D (−1, −3) . 5  3π  6. Fie α ∈  π ,  astfel încât cos α = − . Să se calculeze sin α . 2  13 

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

5p

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r o r . Va o n ( ) i r t u e n . w w w

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 015 a b c   1. Fie a, b, c ∈ ] şi matricea A =  c a b  . b c a   a) Să se calculeze det ( A ) .

sc u

15

b) Să se arate că dacă a + b + c ≠ 0 şi A nu este inversabilă în M 3 _ , atunci a = b = c .

5p

1  ax + by + cz = 2 x  1  c) Să se arate că sistemul de ecuaţii liniare cx + ay + bz = y admite numai soluţia x = y = z = 0 . 2  1  bx + cy + az = 2 z 

m Va at ri e

5p

2. Se consideră polinomul f ∈ \ [ X ] , f = X 4 − 5 X 2 + 5 , cu rădăcinile x1 , x2 , x3 , x4 ∈ ^ .

5p

5p 5p 15

1 1 1 1 . + + + x1 x2 x3 x4 b) Să se arate că polinomul f are toate rădăcinile reale. Educaţiei, Cercetării şi Inovării c) Să se arate că dacă gMinisterul este un polinom cu coeficienţi reali care are proprietatea că pentru orice x real Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar g ( x) ≤ f ( x) , atunci există a ∈ [−1, 1] astfel încât g = af .

a) Să se calculeze

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 015

1. Pentru fiecare n ∈ `, n ≥ 3 , se consideră funcţia f n :[0, ∞ ) → \, f n ( x) = x n − nx + 1 .

5p

a) Să se arate că f n este strict descrescătoare pe [ 0;1] şi strict crescătoare pe [1;∞ ) .

5p

b) Să se arate că ecuaţia f n ( x ) = 0, x > 0 are exact două rădăcini an ∈ (0,1) şi bn ∈ (1, ∞) .

5p

c) Să se calculeze lim an , unde an s-a definit la punctul b). n→∞

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 1

2. Se consideră şirul ( I n )n∈` , unde I 0 = ∫

1

2 0 x +1

π

5p

a) Să se arate că I 0 =

5p

b) Să se arate că I 2n =

5p

4

1

dx şi I n = ∫

xn

2 0 x +1

.

1 − I 2n −2 , ∀n ∈ `, n ≥ 2 . 2n − 1  1 1 1 n −1 1  c) Să se arate că lim  1 − + − + ... + ( −1)  = I0 . n→∞  3 5 7 2n − 1 

dx, n ∈ `* .


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

16

Varianta 16

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 016 2−i . 2+i

5p

1. Să se calculeze modulul numărului complex z =

5p

2. Să se determine a ∈ \ pentru care x 2 + ax + 2 ≥ 0, oricare ar fi numărul real x . 1 π 3. Să se rezolve în intervalul [ −1,1] ecuaţia arcsin + arcsin x = . 2 3

5p 5p

4. Să se rezolve ecuaţia Cn8 = Cn10 , n ∈ `, n ≥ 10 .

5. Să se afle măsura celui mai mare unghi al triunghiului ABC ştiind că A ( 2, −2 ) , B ( 2,3) , C ( −2,3) .

5p

3 π  6. Fie α ∈  , π  astfel încât sin α = . Să se calculeze sin 2α . 5 2 

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

5p 5p 5p

c) Să se arate că dacă A ∈ G , atunci I 2 − A + A2 ∈ G .

2. Se consideră a, b, c ∈ _ şi polinomul f = X 3 + aX 2 + bX + c . a) Să se determine a, b, c astfel încât polinomul f să aibă rădăcinile x1 = x2 = 1 şi x3 = −2 .

b) Să se arate că dacă f are rădăcina 2 , atunci f are o rădăcină raţională. c) Să se arate că dacă a, b, c ∈ ] , iar numerele f (0) şi f (1) sunt impare, atunci polinomul f nu are rădăcini întregi.

m Va at ri e

5p 5p 5p

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r o r . Va o n i r t u e n . www

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 016  a b  1. Se consideră mulţimea G =  X =   a, b ∈ \ , a > 0  .  0 1   a) Să se arate că dacă A, B ∈ G , atunci AB ∈ G . b) Să se găsească două matrice C , D ∈ G pentru care CD ≠ DC .

sc u

16

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

16

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 016

5p 5p

1  2  x sin 2 , x ∈ \ \ {0} . 1. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) =  x  0 , x=0  a) Să se arate că funcţia f este derivabilă pe \ . b) Să se calculeze lim f '( x).

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 x →∞

5p

c) Să se demonstreze că funcţia f este mărginită pe \ .

2. Pentru fiecare n ∈ `* se consideră funcţia f n :[0,1] → \, f n ( x) = (1 − x)n . 1

∫0 f 2 ( x)dx .

5p

a) Să se calculeze

5p

b) Să se arate că

5p

c) Să se calculeze lim

1

1

∫0 xf n ( x)dx = (n + 1)(n + 2) , oricare ar fi n ∈ ` 1

x

∫ f n  n  dx . n→∞ 0

.


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

17

Varianta 17

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 017

(

)

3

5p

1. Să se arate că numărul 1 + i 3

5p

2. Să se determine imaginea funcţiei f : \ → \, f ( x) = x 2 − x + 2 .

5p

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia

5p 5p

4. Să se determine probabilitatea ca, alegând un număr ab din mulţimea numerelor naturale de două cifre, să avem a + b = 4 . 5. Să se determine ecuaţia dreptei care trece prin punctul A(−1,1) şi este perpendiculară pe dreapta d : 5x − 4 y + 1 = 0 .

5p

6. Să se calculeze perimetrul triunghiului ABC ştiind că AB = 6 , B =

este întreg.

−2 x + 1 = 5 .

π

şi C =

π 6

.

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

4

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r o r . Va o ( ) n i r t u e n . www [ ]

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 017  1 3  −3 −8  1. Se consideră matricele A =   şi B =  1 3  . − 0 1    

5p

a) Să se calculeze A2 − B 2 .

5p

b) Să se calculeze det( I 2 + A + A2 + A3 + A4 ) .

5p

c) Să se arate că ecuaţia X 2 = I 2 are o infinitate de soluţii în M 2 ] .

sc u

17

2. Se consideră polinoamele f , g ∈ _ X , f = X 4 + X 3 + X 2 + X + 1 , cu rădăcinile x1 , x2 , x3 , x4 ∈ ^

c) Să se calculeze g ( x1 ) ⋅ g ( x2 ) ⋅ g ( x3 ) ⋅ g ( x4 ) .

m Va at ri e

5p 5p 5p

şi g = X 2 − 1 . a) Să se determine restul împărţirii polinomului f la polinomul g. b) Să se calculeze (1 − x1 ) ⋅ (1 − x2 ) ⋅ (1 − x3 ) ⋅ (1 − x4 ) .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

17

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 017

1. Se consideră şirul ( xn )n∈`* , unde x1 ∈ ( 0,1) şi xn+1 =

5p 5p

xn5 + 3 xn , ∀n ∈ `* . 4

a) Să se arate că xn ∈ ( 0,1) , ∀n ∈ `* .

b) Să se arate că şirul ( xn )n∈`* este convergent.

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ x 9 - Proba D, MT1, programa M1

5p

n+2

= . 16 xn 2. Se consideră o funcţie f : \ → \ , cu proprietatea că xf ( x) = sin x, ∀x ∈ \ .

c) Să se arate că lim

n→∞

π 2

∫0 x

5p

a) Să se calculeze

5p

 π b) Să se arate că funcţia f este integrabilă pe intervalul 0,  .  2

5p

c) Să se arate că

π 2 1

f ( x) dx.

f ( x ) dx ≤ cos1 .


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

18

Varianta 18

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 018

5p

1. Să se rezolve în mulţimea numerelor complexe ecuaţia x 2 − 2 x + 4 = 0 .

5p

2. Să se afle valoarea minimă a funcţiei f : \ → \ , f ( x) = x 2 − 3x + 2 .

5p

3. Să se rezolve în intervalul [ −1,1] ecuaţia arcsin x + arccos

5p 5p

4. Care este probabilitatea ca, alegând un număr k din mulţimea {0,1,2,...,7} , numărul C7k să fie prim. G G G G G G 5. Să se determine a ∈ \ pentru care vectorii u = ai + 3 j şi v = 4 i + ( a + 4 ) j sunt coliniari. JJJG JJJG JJJG 6. Să se calculeze AB ⋅ AC + BC , ştiind că A(−3,4) , B (4, −3) şi C (1, 2) .

(

)

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p

1 π = . 2 2

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r o r . Va o n i r t u e n . www

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 018  0 0 0 1. Se consideră matricea A =  1 0 0  ∈ M3 (\) .  1 1 0  

5p

a) Să se calculeze A3 .

5p

b) Să se afle rangul matricei I 3 + A + At . c) Să se determine inversa matricei I 3 + A .

5p 5p 5p

2. Se consideră a, b ∈ \ şi polinomul f = X 3 + 4aX 2 + 20 X + b , cu rădăcinile x1 , x2 , x3 ∈ ^ . a) Să se determine x1 , x2 , x3 în cazul a = 2, b = 0 . b) Să se demonstreze că ( x1 − x2 )2 + ( x1 − x3 )2 + ( x2 − x3 )2 = 8(4a 2 − 15) . c) Să se determine a, b astfel încât polinomul f să aibă o rădăcină dublă egală cu − a .

m Va at ri e

5p

sc u

18

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

18

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 018

2x + 1 şi şirul ( xn )n∈` dat de x0 = 2, xn+1 = f ( xn ), ∀n ∈ `. x+2 a) Să se determine asimptotele graficului funcţiei f. b) Să se arate că şirul ( xn )n∈` , are limita 1 .

1. Se consideră funcţia f :[0, ∞) → [0, ∞), f ( x) =

5p 5p 5p

c) Să se arate că şirul ( yn ) n∈` dat de yn = x0 + x1 + x2 + ... + xn − n, este convergent.

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1

2. Se consideră funcţiile f : \ → \, f ( x) = 1 + cos x şi F : \ → \, F ( x ) = x ∫ f ( t ) dt . x

0

π 2

∫0

5p

a) Să se calculeze

5p 5p

b) Să se arate că F este funcţie pară. c) Să se determine intervalele de monotonie ale funcţiei F .

f ( x)dx .


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

19 5p

Varianta 19

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 019 1. Să se ordoneze crescător numerele 3, 3 5, 4 8 .

5p

2. Să se determine funcţia f : \ → \ ştiind că graficul său şi graficul funcţiei g : \ → \ , g ( x) = −3 x + 3 sunt simetrice faţă de dreapta x = 1 .

5p 5p 5p

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 32 x +1 − 10 ⋅ 3x +1 + 27 = 0 . 4. Să se determine probabilitatea ca, alegând un număr din mulţimea numerelor naturale de trei cifre, acesta să aibă toate cifrele pare. 5. Să se determine ecuaţia medianei duse din vârful A al triunghiului ABC , unde A(1, 2) , B (2,3) şi C (2, −5) .

5p

6. Să se arate că ctg 2 =

ctg1 − tg1

.

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

2

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

5p 5p 5p

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r o r . Va( ) o n i r t u e n . www [ ]

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 019 x + y + z + t = 1  x − y + z + t = 0 1. Se consideră sistemul  şi A matricea sistemului. x + y − z + t = 0  x + y + z − t = 0

sc u

19

a) Să se calculeze det A . b) Să se rezolve sistemul. c) Să se determine A−1 .

2. Fie polinomul f = X 4 + 2 X 3 + aX 2 − 2 X + 1∈ \ X şi x1 , x2 , x3 , x4 ∈ ^ rădăcinile sale. a) Să se calculeze

1 1 1 1 . + + + x1 x2 x3 x4

2   1 1  b) Să se arate că f ( x ) = x 2  x −  + 2  x −  + a + 2  , ∀x ∈ \∗ . x x    c) Să se determine a ∈ \ pentru care toate rădăcinile polinomului f sunt numere reale.

m Va at ri e

5p 5p

5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

19

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 019

2+ x . 2− x a) Să se determine asimptotele graficului funcţiei f. 5p b) Să se determine punctele de inflexiune ale graficului funcţiei f. 5p 1 c) Să se calculeze lim x a f   , unde a este un număr real. 5p BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ x →∞  x  - Proba D, MT1, programa M1

1. Se consideră funcţia f : ( −2, 2 ) → \, f ( x) = ln

2. Se consideră funcţia f : \ → \, f ( x) = 5p 5p 5p

a) Să se calculeze

∫0 f ( x ) dx .

b) Să se calculeze

∫1 ( x + f ( x) − 2)

− x3 + 2 x 2 − 5 x + 8 x2 + 4

, ∀x ∈ \.

1

4

2

dx.

c) Ştiind că funcţia f este bijectivă, să se calculeze

2

∫4 5

f −1 ( x ) dx .


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

20

Varianta 20

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 020

(

)

1. Să se arate că 2 ∈ log 3 4, 5 .

5p 5p

2. Să se rezolve în mulţimea numerelor complexe ecuaţia x 2 − 2 x + 2 = 0 . 3. Să se rezolve în [0, 2π ) ecuaţia sin x + cos x = −1 .

5p 5p

4. Să se calculeze C44 + C54 + C64 . 5. Pe laturile AB şi AC ale triunghiului ABC se consideră punctele M, respectiv N astfel încât JJJJG JJJG JJJG JJJG AM = 4MB şi MN BC . Să se determine m ∈ R astfel încât CN = m AC . 6. Să se calculeze perimetrul triunghiului OAB , ştiind că O(0,0) , A(−1, 2) şi B (−2,3) .

5p

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r o r . Va ( eu o n i ) tr ( ) n . w ww

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 020

sc u

20

 ay + bx = c  1. Se consideră triunghiul ABC, cu laturile AB = c , BC = a , CA = b şi sistemul  cx + az = b .  bz + cy = a 

5p 5p 5p

 a b  2. Se consideră mulţimea G =    a, b ∈ ] 3  . b a    a) Să se determine numărul elementelor mulţimii G. b) Să se arate că AB ∈ G , pentru orice A, B ∈ G . c) Să se determine numărul matricelor din mulţimea G care au determinantul nul.

m Va at ri e

5p 5p 5p

a) Să se rezolve sistemul în cazul a = 3, b = 4, c = 5. b) Să se demonstreze că, pentru orice triunghi, sistemul are soluţie unică. c) Ştiind că soluţia sistemului este x0 , y0 , z0 , să se demonstreze că x0 , y0 , z0 ∈ −1,1 .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

20

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 020

1. Se consideră funcţia f : \ → \, f ( x ) = 2e x + 3 x 2 − 2 x + 5.

a) Să se demonstreze că funcţia f este strict crescătoare pe [ 0,∞ ) . b) Să se arate că funcţia f nu este surjectivă . 5p f '( x ) 5p lim . - Proba D, MT1, programa M1 c) Să se calculeze BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ x →∞ f ( x ) 5p

2. Se consideră funcţia f : [ 0, ∞ ) → \, f (t ) = 5p

a) Să se calculeze

5p

b) Să se arate că

1 3

∫0 (t

(1 + t )(1 + t 3 )

+ 1) f (t )dt .

3 ∫ 1 f ( t ) dt = ∫1 t f ( t ) dt , ∀x > 0. 1

x

x

5p

1

2

∫ f (t ) dt . x →∞ 1

c) Să se calculeze lim

x

x

.


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

21

Varianta 21

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 021

5p

1. Să se rezolve în mulţimea numerelor complexe ecuaţia x 2 − 8 x + 25 = 0 .

5p

2. Să se determine a ∈ \ , pentru care graficul funcţiei f : \ → \ , f ( x) = ( a + 1) x 2 + 3 ( a − 1) x + a − 1 , intersectează axa Ox în două puncte distincte.

5p 5p

x + 8 − 6 x −1 = 1.

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia C84

− C74

− C73 .

4. Să se calculeze 5. Să se determine ecuaţia perpendicularei duse din punctul A(1, 2) pe dreapta d : x + y − 1 = 0 . 1 6. Ştiind că sin x = , să se calculeze cos 2 x . 3

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p 5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r o r . Va o n i r t u e ( ) n . w w w

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 021

 ax + by + cz = b  ∗ 1. Pentru a, b, c ∈ \ , se consideră sistemul  cx + ay + bz = a , x, y , z ∈ \ .  bx + cy + az = c 

sc u

21

5p

a) Să se arate că determinantul sistemului este ∆ = (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 − ab − ac − bc). b) Să se rezolve sistemul în cazul în care este compatibil determinat.

5p

c) Ştiind că a 2 + b 2 + c 2 − ab − ac − bc = 0 , să se arate că sistemul are o infinitate de soluţii x, y, z ,

5p

astfel încât x 2 + y 2 = z − 1 .

 a b   2. Se consideră mulţimea G =   a , b, c ∈ ] 4  . 0 c   

a) Să se determine numărul elementelor mulţimii G.

5p

b) Să se dea un exemplu de matrice A ∈ G cu proprietatea că det A ≠ 0ˆ şi det A2 = 0ˆ .  1ˆ 0ˆ  c) Să se determine numărul soluţiilor ecuaţiei X 2 =  , X ∈G . ˆ ˆ 0 0

m Va at ri e

5p

5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

21

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 021

1. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x) = ( x − 1)( x − 3)( x − 5)( x − 7) .

5p

a) Să se calculeze lim

x →∞

f ( x) x4

.

1 x

lim f ( x ) . - Proba D, MT1, programa M1 b) Să se calculeze BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ

5p

x →∞

5p

c) Să se arate că ecuaţia f ′ ( x ) = 0 are exact trei rădăcini reale. 2. Se consideră funcţiile f n : \ → \, f n ( x) =

1

, n ∈ `* .

5p

n +x a) Să se calculeze aria suprafeţei cuprinse între graficul funcţiei f1 , axele de coordonate şi dreapta x = 1.

5p

b) Să se calculeze

5p

π c) Să se arate că lim n ( f n (1) + f n (2) + f n (3) + ... + f n (n) ) = . n→∞ 4

∫0 x ( f1 ( x) ) 1

2

2

2

dx .


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

22

Varianta 22

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 022

5p

1. Să se calculeze 1 + i + i 2 + ... + i10 .

5p

2. Se consideră funcţiile f , g : \ → \ , f ( x) = x 2 − 3 x + 2, g ( x) = 2 x − 1 . Să se rezolve ecuaţia ( f D g )( x) = 0 .

5p

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia lg( x + 9) + lg ( 7 x + 3) = 1 + lg( x 2 + 9) . 4. Să se rezolve inecuaţia Cn2 < 10 , n ≥ 2 , n natural. 5. Se consideră dreptele paralele de ecuaţii d1 : x − 2 y = 0 şi d 2 : 2x − 4 y − 1 = 0 . Să se calculeze distanţa dintre cele două drepte.

5p

6. Să se calculeze sin 75D + sin15D .

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p 5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

5p 5p 5p

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r o r . Va o n i r t u e n . www

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 022 x + y + z = 0  1. Fie sistemul ax + by + cz = 0 , cu a, b, c ∈ \ , distincte două câte două şi A matricea sistemului.  3 3 3 a x + b y + c z = 1 a) Să se arate că det ( A ) = ( a + b + c )( c − b )( c − a )( b − a ) .

sc u

22

b) Să se rezolve sistemul în cazul a + b + c ≠ 0 . c) Să se demonstreze că dacă a + b + c = 0 , atunci sistemul este incompatibil.

2. Se consideră şirul de numere reale (an ) n∈` , cu a0 = 0 şi an+1 = an2 + 1 , ∀ n ∈ ` şi polinomul f ∈ \[ X ] , cu f (0) = 0 şi cu proprietatea că f ( x 2 + 1) = ( f ( x))2 + 1 , ∀ x ∈ \ .

5p

a) Să se calculeze f ( 5 ) .

b) Să se arate că ∀ n ∈ ` , f ( an ) = an .

5p

c) Să se arate că f = X .

m Va at ri e

5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

22

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 022

1. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x) =

x

x +3 4

.

a) Să se calculeze f ′ ( x ) , x ∈ \ . b) Să se determine mulţimea valorilor funcţiei f. 5p 5p x − y , D, ∀xMT1, , y ∈ \programa . c) Să se arate că f ( x ) − f ( y ) ≤- Proba BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ M1 5p

5p

2. Se consideră funcţia f : \ → \, f ( x) = x3 − 3x + 2 . 3 f ( x) dx . a) Să se calculeze ∫ 2 x −1 x 2 − 13 ∫−1 f ( x) dx . 0

5p

b) Să se calculeze

5p

c) Să se determine punctele de extrem ale funcţiei g : \ → \, g ( x) = ∫

x2

0

f (t )et dt .


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

23 5p

Varianta 23

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 023 1. Să se calculeze suma primilor 20 de termeni ai progresiei aritmetice ( an )n≥1 , ştiind că a4 − a2 = 4 şi a1 + a3 + a5 + a6 = 30 .

5p

2. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia

5p

1 π 3. Să se calculeze tg  − arctg  . 2 2

5p 5p

4. Să se determine probabilitatea ca, alegând un element din mulţimea {1, 2,3,..., 40} , numărul 2n+ 2 ⋅ 6n să fie pătrat perfect. 5. Să se calculeze coordonatele centrului de greutate al triunghiului ABC , dacă A(5, −3), B(2, −1), C ( 0,9 ) . 6. Ştiind că tgα = 2 , să se calculeze sin4α .

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p

2x + 3 x − 1 . = x+2 x−2

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

9 0 0 2 e i t r a m 1 c ( ) a b e t n a i ( ) r Va ( ) eutrino.ro n . w [ ] w w( ) ( ) ( )

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 023

sc u

23

   a 5b   0 5 1. Se consideră matricea A =  a, b ∈ ^  . şi mulţimea C ( A ) =  X =    b a   1 0  

5p

a) Să se arate că ∀ X ∈ C A , XA = AX .

5p

b) Să se arate că dacă Y ∈ C A şi Y 2 = O2 , atunci Y = O2 .

5p

c) Să se arate că dacă Z ∈ C A , Z ≠ O2 şi Z are toate elementele raţionale, atunci det Z ≠ 0 . 2. Se consideră a ∈ ] 3 şi polinomul f = X 3 + 2ˆ X 2 + a ∈ ] 3 X .

5p

a) S�� se calculeze f 0ˆ + f 1ˆ + f 2ˆ .

5p 5p

b) Pentru a = 2ˆ , să se determine rădăcinile din ] 3 ale polinomului f .

m Va at ri e

c) Să se determine a ∈ ] 3 pentru care polinomul f este ireductibil în ] 3 [ X ] .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

23

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 023

1. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x) = x3 + x + 1 .

1 are o unică soluţie xn ∈ \ . n +1 1 5p , n∈` . b) Să se arate că lim xn = 1 , unde xn este soluţia reală a ecuaţiei f ( x ) = 3 + n→∞ n +1 BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 1 5p c) Să se determine lim n ( xn − 1) , unde xn este soluţia reală a ecuaţiei f ( x ) = 3 + , n∈` . n→∞ n +1 x sin t 2. Se consideră funcţia f : [ 0, ∞ ) → \ , f ( x) = ∫ dt. 0 1+ t a 1 5p dt = ln(1 + a ), ∀a > −1 . a) Să se arate că ∫ 0 1+ t 5p b) Să se arate că f ( x) < ln(1 + x), ∀x > 0 . 5p c) Să se arate că f (π) > f (2π) .

5p

a) Să se arate că, pentru orice n ∈ ` , ecuaţia f ( x ) = 3 +


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

5p 5p 5p 5p 5p 5p

Varianta 24

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 024 −1 + i 3 1 . 1. Să se calculeze z + pentru z = z 2 2. Să se determine funcţia de gradul al doilea f : \ → \ pentru care f (−1) = f (1) = 0, f (2) = 6 . 11 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia log 2 x + log 4 x + log 8 x = . 6 4. Să se demonstreze că dacă x ∈ \ şi x ≥ 1 , atunci (1 + x) 2 + (1 − x)2 ≥ 4 . 5. Să se determine ecuaţia înălţimii duse din B în triunghiul ABC , ştiind că A(0, 9) , B (2, −1) şi C (5, −3) . G G G G 6. Să se calculeze 2i + 5 j ⋅ 3i − 4 j .

(

)(

)

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

24

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

9 0 0 2 rtie ( ) ( ) 1 (m ) a c a b e t n a i r o a r . V o n i r t u e n . www

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 024

1. Se consideră o matrice A∈ M3 ( ^ ) . Se notează cu A t transpusa matricei A. 5p

a) Să se demonstreze că ∀ z ∈ ^ , ∀ X ∈ M3 ^ , det zX = z 3 det X .

5p

b) Să se demonstreze că det ( A − A t ) = 0 .

5p

c) Ştiind că A ≠ A t , să se demonstreze că rang ( A − A t ) = 2 .

5p 5p

2. Se consideră polinomul f ∈ _[ X ] , cu f = X 4 − 5 X 2 + 4 . a) Să se determine rădăcinile polinomului f. b) Să se determine polinomul h ∈ _[ X ] , pentru care h(0) = 1 şi care are ca rădăcini inversele rădăcinilor polinomului f. c) Ştiind că g este un polinom cu coeficienţi întregi, astfel încât g ( −2 ) = g ( −1) = g (1) = g ( 2 ) = 2 , să se arate că ecuaţia g ( x ) = 0 nu are soluţii întregi.

m Va at ri e

5p

sc u

24

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

24

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 024

5p 5p 5p

1. Se consideră funcţia f : \ → \, f ( x) = x − sin x . a) Să se arate că funcţia f este strict crescătoare. b) Să se arate că graficul funcţiei nu are asimptote. c) Să se arate că funcţia g : \ → \, g ( x) = 3 f ( x) este derivabilă pe \ . −x

−2 x

 e programa −e BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, M1 

5p

2. Se consideră funcţia f : [ 0, ∞ ) → \, f ( x ) =  x  1 a) Să se arate că funcţia f are primitive pe [ 0,∞ ) .

, x > 0.

, x=0

1

∫0 xf ( x) dx .

5p

b) Să se calculeze

5p

c) Folosind eventual inegalitatea e x ≥ x + 1, ∀x ∈ \, să se arate că 0 ≤ ∫ f ( t ) dt < 1, ∀x > 0. x

0


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - .informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

25

Varianta 25

5p

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 025 1. Să se calculeze (1 − i )(1 + 2i ) − 3 ( 2 − i ) .

5p

2. Să se arate că pentru oricare a ∈ \∗ , dreapta y = x + 4 intersectează parabola y = ax 2 + ( a − 2 ) x + 1 .

5p 5p

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 22 x − 3 ⋅ 2 x+1 + 8 = 0 . 4. Să se determine probabilitatea ca, alegând un număr din mulţimea {10,11,12,...,40} , suma cifrelor lui să fie divizibilă cu 3. 5. În triunghiul ABC punctele M , N , P sunt mijloacele laturilor. Fie H ortocentrul triunghiului MNP. Să se demonstreze că AH = BH = CH . π π  π π  6. Să se calculeze sin  +  + sin  −  . 6 4 6 4

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p 5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r o r . Va o n i r{ ( ) t u e n { }} . w w w { } () () ( )

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 025

5p 5p

1 2 3 1. În mulţimea S3 a permutărilor de 3 elemente se consideră permutarea σ =  . 3 1 2 a) Să se verifice că permutarea σ este pară. b) Să se determine toate permutările x ∈ S3 , astfel încât xσ = σx .

5p

5p

c) Să se rezolve ecuaţia x 2 = σ , cu x ∈ S3 .

 2 2 2. Se consideră matricea A =   şi mulţimea G = X a = I 2 + aA a ∈ \ \ − 1  −1 −1 a) Să se arate că ∀ a, b ∈ \ \ − 1 , X a X b = X ab + a + b .

.

b) Să se arate că ( G , ⋅ ) este un grup abelian, unde ,, ⋅ ” reprezintă înmulţirea matricelor. c) Să se determine t ∈ \ astfel încât X (1) X (2)... X (2009) = X (t − 1) .

m Va at ri e

5p 5p

sc u

25

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

25

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 025

1 1. Se consideră funcţia f : (0, ∞) → \, f ( x ) = ln 2 x . 2 5p a) Să se arate că funcţia este convexă pe intervalul (0, e] . b) Să se determine asimptotele graficului funcţiei. 5p ln 3 ln 4 ln 5 ln n 5p de anD, = MT1,+ programa + + ... + − f ( n ) , este descrescător. c) Să se arate că şirul (an ) n≥3 , dat BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba M1 3 4 5 n  π 2. Se consideră funcţia f :  0,  → \, f ( x ) = cos x .  2 a) Să se calculeze aria suprafeţei cuprinse între graficul funcţiei f şi axele de coordonate. 5p 5p b) Să se calculeze volumul corpului obţinut prin rotirea graficului funcţiei f în jurul axei Ox .

5p

 c) Să se calculeze lim  1 − n→∞ 

 1  f   n 

1 f  + n

2 f  + n

3 f   + ... + n

 n  f   .  n 


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

26 5p

Varianta 26

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 026 1. Fie z1 şi z2 soluţiile complexe ale ecuaţiei 2 z 2 + z + 50 = 0 . Să se calculeze z1 + z2 .

5p

2. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) = 1 − 2 x . Să se arate că funcţia f D f D f este strict descrescătoare.

5p 5p

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3x + 9 x = 2 . 4. Fie mulţimea A = {−2, − 1, 0, 1, 2} şi o funcţie bijectivă f : A → A . Să se calculeze f ( −2 ) + f ( −1) + f ( 0 ) + f (1) + f ( 2 ) .

5p

5. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele A ( −1, 3) şi B (1, − 1) . Să se determine ecuaţia mediatoarei segmentului AB . 1 π  6. Fie α ∈  , π  cu sin α = . Să se calculeze tgα . 3  2 

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

5p

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r o r . Va o n i r t u e n . www

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 026  0 −1  cos t − sin t  1. Se consideră matricele A =  , cu t ∈ \ .  şi B =  sin t 1 0 cos t     a) Să se arate că dacă matricea X ∈ M2 (\ ) verifică relaţia AX = XA , atunci există a, b ∈ \ ,

sc u

26

 a −b  astfel încât X =  .  b a

− sin nt  . cos nt 

5p

 cos nt b) Să se demonstreze că ∀ n ∈ `* , B n =   sin nt

5p

c) Să se rezolve în mulţimea M2 (\ ) ecuaţia X 2 = A .

2. Se consideră a ∈ \ şi polinomul f = 3 X 4 − 2 X 3 + X 2 + aX − 1∈ \[ X ] .

1 1 1 1 , unde x1 , x2 , x3 , x4 ∈ ^ sunt rădăcinile polinomului f . + + + x1 x2 x3 x4

a) Să se calculeze

5p 5p

b) Să se determine restul împărţirii polinomului f la ( X − 1)2 . c) Să se demonstreze că f nu are toate rădăcinile reale.

m Va at ri e

5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

26

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 026 1. Fie funcţia f : R → R, f ( x ) = arctg x − arcctg x . a) Să se determine asimptota la graficul funcţiei f spre + ∞ . 5p b) Să se arate că funcţia f este strict crescătoare pe R . 5p 5p

c) Să se arate că şirul ( xn )n≥1 , dat de xn+1 = f ( xn ) , ∀n ∈ N∗ şi x1 = 0, este convergent .

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ D, MT1, 2. Fie funcţia f : [ −1, 1] → R, f ( -x Proba x . programa M1 ) = arcsin

5p

a) Să se arate că funcţia g :[−1,1] → \, g ( x) = xf ( x) are primitive, iar acestea sunt crescătoare. 1

5p

b) Să se calculeze

5p

c) Să se arate că

2

∫0 1

f ( x) d x .

π

∫0 x f ( x) dx ≤ 4 .


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Varianta 27

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 027 5p

1. Să se calculeze modulul numărului complex z = 1 + i + i 2 + i 3 + … + i 6 .

5p

2. Să se determine valoarea maximă a funcţiei f :

5p

3. Să se rezolve în intervalul ( 0;∞ ) ecuaţia lg 2 x + 5lg x − 6 = 0 .

5p 5p

, f ( x ) = −2 x 2 + x .

4. Să se determine numărul funcţiilor f : {0,1,2,3} → {0,1,2,3} care au proprietatea f ( 0 ) = f (1) = 2 . 5. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele O ( 0, 0 ) , A (1, 2 ) şi B ( 3, 1) . Să se determine măsura unghiului AOB . 1 6. Ştiind că α ∈ şi că sin α + cos α = , să se calculeze sin 2α . 3

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

5p 5p

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b t (e ) n a i r o r . Va o n i r t u e n . ( ) www

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 027

 0 0 1 0 1. În mulţimea M'2 ( ^ ) , se consideră matricele A =   şi I 2 =  0 1  . 1 0     a) Să se determine rangul matricei A + I 2 .

sc u

27

b) Să se demonstreze că dacă X ∈ M'2 ^ astfel încât AX = XA , atunci există x, y ∈ ^ astfel  x 0 încât X =  .  y x

5p

2. Pe mulţimea \ se defineşte legea de compoziţie x ∗ y = x + y + xy . a) Să se arate că legea „ ∗ ” este asociativă. b) Fie funcţia f : \ → \, f ( x ) = x + 1 . Să se verifice relaţia f ( x ∗ y ) = f ( x ) ⋅ f ( y ) , ∀x, y ∈ \ . 1 1 1 1 c) Să se calculeze 1 ∗ ∗ ∗ ... ∗ ∗ . 2 3 2008 2009

m Va at ri e

5p 5p

c) Să se demonstreze că ecuaţia Y 2 = A nu are nicio soluţie în mulţimea M'2 ^ .

5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

27

5p 5p 5p

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 027 1. Fie funcţia f : [ −1,1] → R, f ( x ) = ( x − 1)arcsin x. a) Să se calculeze lim

f ( x)

. x2 − x b) Să se determine punctele în care funcţia f nu este derivabilă . c) Să se arate că funcţia f este convexă. x →0

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 2 3 4

2. Se consideră funcţiile f : R → R, f ( x ) = 1 + x + x + x + x şi F : \ → \ , F ( x ) = ∫ f ( t ) dt. x

0

5p 5p

a) Să se arate că funcţia F este strict crescătoare pe R . b) Să se arate că funcţia F este bijectivă .

5p

c) Să se calculeze

−1 −1 ∫0 F ( x ) d x , unde F este inversa funcţiei F a

şi a = 1 +

1 1 1 1 + + + . 2 3 4 5


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

28

Varianta 28

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 028

5p

1. Să se calculeze (1 + i ) + (1 − i ) .

5p

2. Fie funcţia f : \ → \ , f ( x ) = 6 x − 3 x 2 . Să se ordoneze crescător numerele f

5p 5p

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 x − 1 = 3 . 4. Să se determine numărul funcţiilor f : {0,1,2,3} → {0,1,2,3} care au proprietatea că f ( 0 ) este număr impar. JJJJG 2 JJJG 1 JJJG BM 1 = . Să se demonstreze că AM = AB + AC . 5. Fie triunghiul ABC şi M ∈ ( BC ) astfel încât BC 3 3 3 3 π  6. Ştiind că α ∈  , π  şi că sin α = , să se calculeze tg α . 2 5  

5p

10

( 2 ) , f ( 3 ) şi

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p

10

f ( 2) .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

5p 5p

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b t (e) n a i r o r . Va o n i r t u e n . www

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 028  1 0 1. Se consideră matricea A =  . 0 8 a) Să se rezolve ecuaţia det( A − xI 2 ) = 0 .

sc u

28

b) Să se arate că dacă matricea X ∈ M2 ^ verifică relaţia AX = XA , atunci există a, b ∈ ^ astfel  a 0 încât X =   0 b

5p

c) Să se determine numărul de soluţii ale ecuaţiei X 3 = A , X ∈ M2 (^) .

{

}

2. Se consideră mulţimea de funcţii G = f a, b : \ → \ f a , b ( x ) = ax + b, a ∈ \* , b ∈ \ . a) Să se calculeze f −1, 2 D f −1, 2 , unde „ D ” este compunerea funcţiilor.

5p

b) Să se demonstreze că ( G , D ) este un grup. c) Să se arate că grupul G conţine o infinitate de elemente de ordin 2.

m Va at ri e

5p 5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

28

5p

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 028 1. Fie funcţia f :[0,3] → R, f ( x ) = { x} (1 − { x}) , unde { x} este partea fracţionară a numărului x . a) Să se calculeze lim f ( x ) . x →1 x <1

5p b) Să se determine domeniul de continuitate al funcţiei f . 5p c) Să se determine punctele în care funcţia f nu programa este derivabilă BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, M1 . x 1 şi F : [ 0, + ∞ ) → R, F ( x ) = ∫ f (t )dt . 2. Se consideră funcţiile f : R → R, f ( x ) = 0 2 − sin x π 2

∫0 f ( x ) cos x dx .

5p

a) Să se calculeze

5p 5p

b) Să se demonstreze că funcţia F este strict crescătoare. c) Să se determine lim F ( x). x →∞


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

29

Varianta 29

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 029

5p

1. Să se demonstreze că numărul a = 7 + 4 3 + 7 − 2 3 este număr natural.

5p

2. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x) = 2 x 2 − 5 x + 2 . Să se rezolve inecuaţia f ( 2 x ) ≤ 0 .

5p 5p

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia x = 2 − x . 4. Să se calculeze probabilitatea ca, alegând o mulţime din mulţimea submulţimilor nevide ale mulţimii A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} , aceasta să aibă toate elementele impare. 5. Fie punctele A ( 2,0 ) , B (1,1) şi C ( 3, −2 ) . Să se calculeze sin C .

5p

 π 6. Ştiind că α ∈  0,  şi că tg α + ctg α = 2 , să se calculeze sin 2α .  2

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

a) Să se determine m ∈ \ pentru care det A = 0 .

b) Să se arate că pentru orice m ∈ \ sistemul este compatibil. c) Să se determine m ∈ \ ştiind că sistemul are o soluţie ( x0 , y0 , z0 ) cu z0 = 2 .

 ˆ    2. Se consideră mulţimea M2 ] 3 , submulţimea G =  X ∈ M2 ] 3 X =  a 2b   şi matricele  b a     0ˆ 0ˆ   1ˆ 0ˆ  O2 =  şi I 2 =  .  ˆ ˆ ˆ ˆ  0 0 0 1 a) Să se verifice că dacă x, y ∈ ] 3 , atunci x 2 + y 2 = 0ˆ dacă şi numai dacă x = y = 0ˆ . b) Să se arate că mulţimea H = G \{O2 } este un subgrup al grupului multiplicativ al matricelor

m Va at ri e

5p 5p 5p

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t ( ) n a i r o a r . V o n i r t u e n . www ( ) ( )

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 029 x+ y+z=0  1 1 1  1. Se consideră sistemul  mx + y + z = m − 1 , m ∈ \ şi matricea A =  m 1 1  .  1 m 2  x + my + 2 z = −1   

5p 5p

sc u

29

inversabile din M2 ( ] 3 ) .

5p

29

c) Să se rezolve ecuaţia X 2 = I 2 , X ∈ G .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 029

1. Se consideră n ∈ `* şi funcţiile fn , gn : \ →\, fn (x) =1− x + x2− x3+... − x2n−1+ x2n, gn (x) = x2n+1+1. g ′ ( x) g n ( x) a) Să se verifice că f n′ ( x) = n , ∀x ∈ \ \ {−1}. − 5p x + 1 ( x + 1)2 1 b) Să se calculeze lim f n′   . n→∞ 2 BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 5p c) Să se demonstreze că f n are exact un punct de extrem local.

5p

2. Se consideră şirul ( I n )n∈N∗ definit prin I n = ∫ 5p

a) Să se calculeze I 2 .

5p 5p

c) Să se calculeze lim I n .

1

xn

0 1 + x3

dx, ∀n ∈ N∗ .

b) Să se demonstreze că şirul ( I n )n∈N∗ este strict descrescător . n→∞


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

30 5p 5p 5p 5p

Varianta 30

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 030 1 1 1 1 1. Să se demonstreze că numărul + + +… + este natural. 1+ 2 2+ 3 3+ 4 99 + 100 2. Se consideră funcţia f : → , f ( x ) = x 2 − mx + 2 . Să se determine mulţimea valorilor parametrului real m pentru care graficul funcţiei f intersectează axa Ox în două puncte distincte. 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia log3 ( x + 1) + log 3 ( x + 3) = 1 . 4. Să se calculeze probabilitatea ca, alegând o mulţime din mulţimea submulţimilor nevide ale mulţimii A = {1, 2, 3, 4, 5} , aceasta să aibă produsul elementelor 120.

5p

5. Se consideră punctele A ( 0,2 ) , B (1, −1) şi C ( 3, 4 ) . Să se calculeze coordonatele centrului de greutate al triunghiului ABC.

5p

6. Să se demonstreze că sin

2− 2 . 2

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

π

8

=

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r o r . Va( )( )( e o )( ) n i r t u n . www

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 030

sc u

30

1. Se consideră numerele reale a, b, c , funcţia f : \ → \, f ( x) = x3 + 2 x + 3 şi determinanţii 1 A= a a3

5p 5p 5p

1 b b3

1 1 c şi B = a f (a) c3

1 b f (b)

1 c . f (c )

a) Să se arate că A = a − b b − c c − a a + b + c . b) Să se arate că A = B . c) Să se arate că, pentru orice trei puncte distincte, cu coordonate naturale, situate pe graficul funcţiei f , aria triunghiului cu vârfurile în aceste puncte este un număr natural divizibil cu 3.  −1 3  2. Se consideră matricea A =   şi mulţimea G = X ( a ) = I 2 + aA a ∈ \ .  3 −9  a) Să se arate că ∀ a, b ∈ \ , X ( a ) X ( 0 ) = X ( a ) şi X (a ) X (b) = X (a + b − 10ab).

{

m Va at ri e

5p

5p

5p

}

  1  b) Să se arate că mulţimea H =  X ( a ) a ∈ \ \    este parte stabilă a lui M2 ( \ ) în raport cu  10    înmulţirea matricelor.

c) Să se rezolve ecuaţia X 2 = I 2 , X ∈ G .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

30

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 030

1. Se consideră funcţia f : R → R, f ( x ) = x −

x3 − sin x . 6

5p

a) Să se determine lim f ( x ) .

5p

b) Să se calculeze derivata a doua a doua funcţiei f.

x →− ∞

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ 5p c) Să se demonstreze că f ( x ) ≤-0,Proba ∀x ≥ D, 0. MT1, programa M1

2. Fie funcţia f : R → R, f ( x ) =

1+ x

1 + x2

.

(

)

5p

1 a) Să se arate că funcţia F : R → R, F ( x ) = arctg x + ln x 2 + 1 este o primitivă a funcţiei f . 2

5p

b) Să se calculeze

5p

c) Să se arate că şirul ( an )n∈N∗ , definit de an = ∑

1

∫0 f ( x)dx . n

n+k

k =1 n

2

+k

2

, ∀n ∈ N∗ , este convergent .


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

5p 5p 5p 5p 5p 5p

Varianta 31

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 031 1 + 3a . 4a 2. Să se determine două numere reale care au suma 1 şi produsul −1 .

1. Ştiind că log 3 2 = a , să se arate că log 16 24 =

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 22 x +1 + 2 x + 2 = 160. 4. Într-o clasă sunt 22 de elevi, dintre care 12 sunt fete. Să se determine în câte moduri se poate alege un comitet reprezentativ al clasei format din 3 fete şi 2 băieţi. 5. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele A ( 2, − 1) , B ( −1, 1) şi C (1, 3) . Să se determine ecuaţia dreptei care trece prin punctul C şi este paralelă cu dreapta AB. 6. Să se arate că sin 6 < 0 .

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

31

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a ( ) b e t n a i r ( . ) r(o ) Va ( ) eu o n i ( ) tr n . www ( ) ( )

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 031

2   1. Pentru x ∈^ se consideră matricea A( x) =  x + 1 x − 1 ∈ M2 ( ^ ) . x −1   1

2

= 2 xA( x).

5p

a) Să se verifice că

5p

b) Să se determine toate numerele complexe x pentru care A( x)

5p

c) Să se arate că ecuaţia X 2 = A 0 , X ∈ M 2 ^ nu are soluţii.

A( x)

2. Se consideră polinomul f ∈ ^[ X ] , f = X + i f = a100 X

100

+ a99 X

99

100

+ X −i

100

4

+ A( x)

2

sc u

31

= O2 .

, care are forma algebrică

+ ... + a1 X + a0 .

a) Să se calculeze a100 + a99 .

5p 5p

b) Să se determine restul împărţirii polinomului f la X 2 − 1 . c) Să se demonstreze că polinomul f are toate rădăcinile reale.

m Va at ri e

5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

31

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 031

1. Se consideră funcţia f : R → R, f ( x ) = | x 2 − x | . 5p a) Să se arate că graficul funcţiei f admite asimptotă spre − ∞ . 5p b) Să se determine domeniul de derivabilitate al funcţiei f . c) Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei f. 5p BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, 1MT1, x n programa M1 2. Se consideră şirul ( I n )n∈N∗ dat de I n = ∫ 2 dx, ∀n ∈ N∗. 0 x +1 5p a) Să se calculeze I 2 . 1 b) Să se verifice că I n+ 2 + I n = , ∀n ∈ N∗. 5p n +1 5p c) Să se calculeze lim nI n . n→∞


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică.

32 5p 5p 5p 5p 5p

5p

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Varianta 32

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 032 1 1 1 1 1. Se consideră numărul real s = 1 + + 2 + 3 + … + 2009 . Să se demonstreze că s ∈ (1; 2 ) . 2 2 2 2 2. Se consideră funcţiile f , g : → , f ( x ) = 2 x − 1 şi g ( x ) = −4 x + 1 . Să se determine coordonatele punctului de intersecţie a graficelor celor două funcţii. 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia sin x = 1 + cos 2 x . 4. Fie mulţimea A = {−2, − 1, 0, 1, 2} . Să se determine numărul funcţiilor pare f : A → A .

5. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele A ( 2, − 1) , B ( −1, 1) şi C (1, 3) . Să se determine coordonatele punctului D ştiind că patrulaterul ABCD este paralelogram. 3 x  π  6. Ştiind că x ∈  ; π  şi că sin x = , să se calculeze sin . 5 2  2 

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

• •

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r o r . Va o n i r t u e n . www( )

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 032  ax + y + z = 1  3 1. Se consideră în \ sistemul  x + ay + z = 1 , a ∈ \ .  x + y + az = a 

5p 5p 5p

a) Să se arate că determinantul matricei sistemului are valoarea (a + 2)(a − 1)2 . b) Să se rezolve sistemul în cazul în care este compatibil determinat. c) Să se rezolve sistemul în cazul a = −2 .  a 10b   | a, b ∈ _ , a 2 − 10b 2 = 1  . 2. Se consideră mulţimea G ⊂ M2 _ , G =    b a  

5p

 19 60  a) Să se verifice că A =  ∈G .  6 19  b) Să se arate că X ⋅ Y ∈ G , pentru oricare X , Y ∈ G . c) Să se demonstreze că mulţimea G este infinită.

m Va at ri e

5p 5p

sc u

32

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

32

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 032 1. Se consideră funcţia f : R → R, f ( x ) = arctg ( x + 2 ) − arctg x.

5p

a) Să se calculeze f ′ ( x ) , x ∈ R .

5p

b) Să se demonstreze că 0 < f ( x ) ≤

π , ∀x ∈ R . 2

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 ( x + 1) 2

5p

c) Să se demonstreze că funcţia g : \ → \, g ( x) = f ( x) + arctg

2. Se consideră funcţiile f : R → R, f ( x ) = 5p 5p 5p

2

este constantă.

x3 − x + arctg x şi g : R → R, g ( x ) = arctg x . 3

f '( x) dx . x 1 x b) Să se determine lim 3 ∫ f (t )dt. 0 x →∞ x c) Să se calculeze aria suprafeţei cuprinse între graficele celor două funcţii şi dreptele x = 0 şi x = 1 .

a) Să se calculeze

2

∫1


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

33

Varianta 33

5p

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 033 1. Să se arate că numărul log 4 16 + log 3 9 + 3 27 este natural.

5p

2. Să se determine valoarea minimă a funcţiei f : \ → \ , f ( x) = 3 x 2 + 4 x + 2 .

5p

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 16 x + 3 ⋅ 4 x = 4 .

5p

4. Să se calculeze probabilitatea ca, alegând un element din mulţimea

5p

fie număr raţional. 5. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele A ( 2, − 1) , B ( −1, 1) , C (1, 3) şi

{

}

n | n ∈ ` , n < 100 , acesta să

D ( a, 4 ) , unde a ∈ \. Să se determine a ∈ \ astfel încât dreptele AB şi CD să fie paralele.

6. Ştiind că x ∈ \ şi că tg x =

1 π  , să se calculeze tg  x +  . 2 3 

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

5p 5p 5p

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r o r . Va o n i ( eu) tr( ) n . w) { } ( ww

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 033 1 0 0 0 1 0   1. Se consideră matricele I 3 = 0 1 0 , B =  0 0 1  şi A = aI3 + bB + cB 2 , a, b, c ∈ \ . 0 0 1 1 0 0     a) Să se calculeze B 3 .

b) Să se calculeze B −1 . c) Să se demonstreze că ∀ a, b, c ∈ \ , a + b + c det A ≥ 0 .

sc u

33

2. Se consideră corpul ] 7 , +, ⋅ şi H = x 2 x ∈ ] 7 . ˆ ˆ 2,4} ˆ ˆ . a) Să se arate că H = {0,1,

5p

b) Să se arate că, pentru orice a ∈ ] 7 există x, y ∈ ] 7 astfel încât a = x 2 + y 2 .

5p

c) Să se arate că {x 2000 | x ∈ ] 7 } = H .

m Va at ri e

5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

33

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 033 1 1 1 1 1 1. Fie funcţia f : ( 0, + ∞ ) → \, f ( x ) = şi şirul (an ) n≥1 , an = + + + ... + , ∀n ∈ `∗. x 1 2 2 3 3 n n 5p a) Să se arate că funcţia f ′ este strict crescătoare pe intervalul ( 0, + ∞ ) . 5p 5p

1 1 1 1 < − < , ∀k ∈ N∗. 2(k + 1) k + 1- Proba 2k k M1 k D, MT1, k + 1 programa BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ c) Să se demonstreze că şirul (an )n≥1 este convergent.

b) Să se demonstreze că

2. Se consideră funcţiile f n : [ 0, + ∞ ) → R, f n ( x ) = ∫ t n arctg t dt , ∀n ∈ N∗. x

0

5p 5p 5p

x +1 x arctg x − , ∀x ≥ 0 . 2 2 π 1 b) Să arate că f n (1) ≤ ⋅ , ∀n ≥ 1 . 4 n +1 c) Să se calculeze lim nf n (1) .

a) Să se arate că f1 ( x ) =

n→∞

2


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

34

Varianta 34

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 034

5p 1. Să se calculeze modulul numărului complex z = (3 + 4i) 4 . 5p 2. Să se arate că vârful parabolei asociate funcţiei f : \ → \ , f ( x) = 2 x 2 + 2 x + 1 se găseşte pe dreapta de ecuaţie x + y = 0 . 5p 3. Să se determine numărul soluţiilor ecuaţiei sin x = sin 2 x din intervalul [0, 2π ) . 5p 4. Fie mulţimea A = {1, 2,3, 4,5} . Să se determine numărul funcţiilor bijective f : A → A , cu proprietatea că f (1) = 2 .

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p 5. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele A(2, −1) , B (−1,1) , C (1,3) şi D (a, 4) , a ∈ \ . Să se determine a ∈ \ pentru care dreptele AB şi CD sunt perpendiculare. 5p 6. Se consideră triunghiul ascuţitunghic ABC în care are loc relaţia sin B + cos B = sin C + cos C . Să se demonstreze că triunghiul ABC este isoscel.

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r o r . Va o n i r t u e n . www

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 034

 4 1. Se consideră matricele K = (1 2 3) ∈ M1,3 ( \ ) , L =  5  ∈ M 3,1 ( \ ) şi A = LK .  6  

5p 5p 5p

5p

b) Să se arate că A2 = 32 A .

c) Să se arate că rangul matricei An este 1, oricare ar fi n ∈ `∗ . 2. Pe mulţimea \ se consideră legea de compoziţie x ∗ y = axy − x − y + 6 , ∀ x, y ∈ \ , unde a este o constantă reală. 1 a) Pentru a = , să se demonstreze că legea „ ∗ ” este asociativă. 3 1 b) Să se arate că legea „ ∗ ” admite element neutru dacă şi numai dacă a = . 3

m Va at ri e

5p

a) Să se calculeze suma elementelor matricei A .

5p

sc u

34

���1 1 c) Să se arate că, dacă intervalul [ 0, 6] este parte stabilă a lui \ în raport cu legea „ ∗ ” , atunci a ∈  ,  .  6 3

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

34

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 034

1. Se consideră funcţia f : ( 0, + ∞ ) → R, f ( x ) =

1 3 1   − ln  x +  + ln  x +  şi şirul ( an )n∈N∗ , x +1 2 2  

1 1 1  + ... + − ln  n +  , ∀n ∈ N∗ . n 2 2  5p a) Să se demonstreze că funcţia - fProba este D, strict crescătoare intervalul ( 0, + ∞ ) . BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ MT1, programapeM1 an = 1 +

5p 5p

b) Să se arate că f ( x ) < 0, ∀x ∈ ( 0, +∞ ) .

c) Să se demonstreze că şirul ( an )n∈N∗ este strict descrescător .

2. Se consideră funcţiile f n : [ 0,1] → R, f n ( x ) = ∫ t n arcsin t dt , ∀n ∈ N∗ . x

0

5p 5p 5p

a) Să se calculeze derivata funcţiei f3 . 1 b) Să se calculeze f1   . 2 c) Să se determine lim f 2 ( x ) . x →1 x <1


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

35

Varianta 35

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 035

5p

1. Să se calculeze modulul numărului ( 2 + i ) + ( 2 − i ) .

5p

2. Graficul unei funcţii de gradul al doilea este o parabolă care trece prin punctele A(1, − 3), B (−1,3) , C (0,1) . Să se calculeze valoarea funcţiei în punctul x = 2 .

5p 5p

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3 ⋅ 4 x − 6 x = 2 ⋅ 9 x . 4. Se consideră mulţimea A = {0,1, 2,..., 2009} . Să se determine probabilitatea ca, alegând un element din mulţimea A, acesta să fie divizibil cu 5. 5. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele A ( 0, − 3) şi B ( 4, 0 ) . Să se calculeze distanţa de la punctul O la dreapta AB.

5p

3

6. Să se calculeze aria unui paralelogram ABCD cu AB = 6 , AD = 8 şi m ( )ADC ) = 135D .

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p

3

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

5p 5p 5p

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r o r . Va o n i r t u e n . www ( )

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 035  2  1 2 −1  1. Se consideră matricele A =  2 2 0  şi B =  1  . 5  1 4 −3      a) Să se arate că ecuaţia AX = B are o infinitate de soluţii X ∈ M3,1 ( ^ ) . b) Să se verifice că A3 = 10 A .

c) Să se determine rangul matricei A* , adjuncta matricei A. 2. Se consideră mulţimea ][ 2] = { a + b 2

a, b ∈ ]} , funcţia f : ][ 2] → ] ,

{

f (a + b 2) = a 2 − 2b 2 , ∀a, b ∈ ] şi mulţimea A = x ∈ ]  2 

5p

}

f x = −1 .

a) Să se arate că 7 + 5 2 ∈ A .

b) Să se arate că, pentru orice x, y ∈ ]  2  , f ( xy ) = f ( x ) f ( y ) . c) Să se arate că mulţimea A este infinită.

m Va at ri e

5p 5p

sc u

35

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

35

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 035 1. Se consideră funcţia f : R → R, f ( x ) = x − ln(e x + 1) . a) Să se arate că funcţia f ′ este strict descrescătoare pe R . 5p 5p

b) Să se arate că lim x a f ( x) = 0, ∀a ∈ \. x →∞

c) Să se determine asimptotele graficului funcţiei f .

5pBACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 2. Fie şirul ( I n )n∈N∗ dat de I n = ∫ (2 x − x 2 )n dx, ∀n ∈ `∗ . 2

0

5p 5p

a) Să se calculeze I1 .

5p

c) Să se arate că şirul ( I n )n∈`∗ tinde descrescător către 0.

b) Să se demonstreze că ( 2n + 1) I n = 2nI n−1 , ∀n ∈ N∗, n ≥ 2.


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

36 5p

Varianta 36

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 036 1 1 1. Se consideră numărul raţional scris sub formă de fracţie zecimală infinită = 0, a1a2 a3 ... . 7 7 Să se determine a60 .

2. Fie funcţiile f , g : \ → \ , f ( x ) = 2 − x, g ( x ) = 3 x + 2 . Să se calculeze ( f D g )( x) − ( g D f )( x).

5p

3. Să se demonstreze că funcţia f : \ → \ , f ( x ) = 3 x3 + 1 este injectivă.

5p

4. Să se calculeze probabilitatea ca, alegând un număr din mulţimea numerelor naturale de trei cifre, acesta să fie divizibil cu 50. 5. Să se determine a ∈ \ pentru care punctele A(1, −2) , B (4,1) şi C (−1, a ) sunt coliniare. 6. Fie ABC un triunghi care are AB = 3, AC = 5 şi BC = 7. Să se calculeze cos A .

5p 5p

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

5p 5p 5p

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r ( ) o r . Va o n i r t u e n . ) w ( ) } [ ]} [ ] { (w {() w ( )

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 036 a  0 0 1. Se consideră matricele O2 =   şi A =  c 0 0    a) Să se arate că a + d = 0 . b) Să se arate că matricea I 2 + A este inversabilă.

b ∈ M2 ( \ ) , cu proprietatea că A2 = O2 . d 

c) Să se arate că ecuaţia AX = O2 are o infinitate de soluţii în mulţimea M2 \ .

sc u

36

2. Se consideră polinomul f = X 4 − 2 X 2 + 9 , cu rădăcinile x1 , x2 , x3 , x4 ∈ ^ , numărul a = 2 + i şi mulţimile A = g a 5p 5p

şi B = h a

h ∈ _ X , grad h ≤ 3 .

a) Să se calculeze f a .

b) Să se calculeze | x1 | + | x2 | + | x3 | + | x4 | . c) Să se arate că A = B .

m Va at ri e

5p

g ∈_ X

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

36

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 036 x 3 +1 1. Fie funcţia f : \ \ { 3} → \, f ( x) = şi şirul (an )n≥1 definit prin a1 = 2, an+1 = f ( an ), ∀n ∈ `* . 3−x 5p a) Să se demonstreze că funcţia f este strict crescătoare pe (−∞, 3) şi pe ( 3, ∞). b) Să se determine asimptotele graficului funcţiei f . 5p 2009-MATEMATICĂ Proba MT1, programa M1 c) Să se demonstreze că şirul ( an )n∈N∗- nu esteD,convergent. 5p BACALAUREAT 2. Se consideră funcţiile f : \ → \, f ( x) = e− x şi F : \ → \, F ( x ) = ∫ f (t )dt. 2

x

1

5p

a) Să se determine punctele de inflexiune ale graficului funcţiei F .

5p

b) Să se calculeze

∫0 xf ( x) dx.

5p

c) Să se calculeze

∫0 F ( x) dx.

1

1


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

37

Varianta 37

5p

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 037 1. Să se calculeze suma 1 + 4 + 7 + ... + 100 .

5p

2. Să se determine imaginea funcţiei f : \ → \ , f ( x ) = x 2 + x + 1 .

5p

 1 3  3. Să se arate că numărul sin  arcsin  + sin  arccos  este natural. 2 2   

5p 5p

(

)

5

4. Să se determine numărul termenilor raţionali din dezvoltarea binomului 2 + 1 . JJJG JJJG JJJG 5. Fie ABCD un pătrat de latură 1. Să se calculeze lungimea vectorului AB + AC + AD . 6+ 2 . 6. Să se arate că sin105D = 4

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

5p

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r Va( ) eutrino.ro n . w w w [] ( )

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 037  a a +1 a + 2 1. Se consideră matricea A =  b b + 1 b + 2  , cu a, b ∈ \ . 1 1 a   a) Să se arate că det ( A ) = ( a − b )( a − 1) .

5p

b) Să se calculeze det A − At .

5p

c) Să se arate că rang A ≥ 2 , ∀a, b ∈ \ .

sc u

37

2. Se consideră polinomul f ∈ \ X , f = X 3 + pX 2 + qX + r , cu p, q, r ∈ 0, ∞ şi cu rădăcinile x1 , x2 , x3 ∈ ^ .

a) Să se demonstreze că f nu are rădăcini în intervalul [ 0, ∞ ) .

b) Să se calculeze x13 + x23 + x33 în funcţie de p, q şi r. c) Să se demonstreze că dacă a, b, c sunt trei numere reale astfel încât a + b + c < 0 , ab + bc + ca > 0

m Va at ri e

5p 5p 5p

şi abc < 0 , atunci a, b, c ∈ ( −∞, 0 ) .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

37

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 037 1. Se consideră funcţia f : R → R, f ( x ) = x3 − 3 x + 3arctg x . 5p a) Să se arate că funcţia f este strict crescătoare pe R . b) Să se arate că funcţia f este bijectivă . 5p f ( x) c) Să se determine a ∈ \ pentru care lim a există, este finită şi nenulă. 5p BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Probax →∞ D, MT1, x programa M1 1

2. Se consideră şirul ( I n )n≥1 dat de I n = ∫ x n e x dx, ∀n ∈ `∗. 0

5p 5p 5p

a) Să se calculeze I1. b) Să se demonstreze că şirul ( I n )n≥1 este convergent . c) Să se calculeze lim nI n . n→∞


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

38

Varianta 38

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 038 1. Să se arate că log 2 3 ∈ (1, 2 ) .

5p 5p

2. Să se determine valorile reale ale lui m pentru care x 2 + 3x + m > 0 , oricare ar fi x ∈ \ . 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia sin x + cos ( − x ) = 1 .

5p

4. Să se arate că, pentru orice număr natural n, n ≥ 3 , are loc relaţia Cn2 + Cn3 = Cn3+1 .

5p

5. Se consideră dreptele de ecuaţii d1 : 2 x + 3 y + 1 = 0 , d 2 : 3 x + y − 2 = 0 şi d3 : x + y + a = 0 . Să se determine a ∈ \ pentru care cele trei drepte sunt concurente.

5p

6. Să se calculeze perimetrul triunghiului ABC, ştiind că AB = 4, AC = 3 şi m()BAC ) = 60D .

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r o r . Va o n i r( ) t u e n . www

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 038  a 0 0  0 0 0    1. Se consideră matricea A = 1 0 0 şi mulţimea de matrice M =  b a 0  1 1 0  c b a   

5p

a) Să se calculeze A3 . b) Să se arate că dacă X ∈ M3 (^) şi AX = XA , atunci X ∈ M .

5p

c) Să se arate că ecuaţia X 2 = A nu are soluţii în M 3 ^ .

5p

sc u

38

|

  a , b, c ∈ ^  . 

2. Se consideră polinomul f = aX 4 + bX + c , cu a, b, c ∈ ] . 5p 5p

b) Să se arate că, pentru orice x, y ∈ ] , numărul f ( x ) − f ( y ) este divizibil cu x − y . c) Să se determine coeficienţii polinomului f ştiind că f (1) = 4 şi f (b) = 3 .

m Va at ri e

5p

a) Să se arate că numărul f ( 3) − f (1) este număr par.

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

38

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 038 1. Se consideră funcţia f : R → R, f ( x ) = 2 x + ln( x 2 + x + 1). 5p a) Să se demonstreze că funcţia f este strict crescătoare. b) Să se demonstreze că funcţia f este bijectivă. 5p 5p c) Să se arate că graficul funcţiei f nu are asimptotă oblică spre + ∞ .

(

)

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ M1{ x} este partea fracţionară a 2. Se consideră funcţia f : R → R-, Proba f ( x ) D, = {MT1, x} 1 −programa { x} , unde

numărului real x .

∫0 f ( x ) d x . 1

5p

a) Să se calculeze

5p

b) Să se demonstreze că funcţia f admite primitive pe R .

5p

c) Să se arate că valoarea integralei

a +1

∫a

f ( x ) d x nu depinde de numărul real a .


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

39 5p

Varianta 39

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 039 −1 + i 3 . Să se demonstreze că z 2 = z . 1. Se consideră numărul complex z = 2

5p

2. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale inecuaţia − x 2 + 4 x − 3 ≥ 0 . 1 3. Să se arate că funcţia f : (1; ∞ ) → \ , f ( x ) = x + este injectivă. x 4. Să se determine numărul funcţiilor f : {1, 2,3} → {0,1, 2,3} pentru care f (1) este număr par. JJJG JJJG 5. Fie ABC un triunghi care are AB = 2, AC = 3 şi BC = 2 2 . Să se calculeze AB ⋅ AC .

5p

6. Să se arate că sin15D =

5p 5p

6− 2 . 4

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

5p 5p 5p

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b ( r ) iante o r . Va o n i r t u e n . www { }

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 039 x + y + z = 0  1. Se consideră sistemul ax + by + cz = 0 , cu a, b, c ∈ \∗ şi A matricea sistemului. bcx + acy + abz = 0 

sc u

39

a) Să se calculeze det A .

b) Să se rezolve sistemul, în cazul în care a, b, c sunt distincte două câte două. c) Să se determine mulţimea soluţiilor sistemului, în cazul în care a = b ≠ c . 2. Se consideră mulţimea M = a + b 5 a, b ∈ ], a 2 − 5b 2 = 1 .

a) Să se arate că x = 9 + 4 5 ∈ M . b) Să se demonstreze că M este grup în raport cu înmulţirea numerelor reale. c) Să se demonstreze că mulţimea M are o infinitate de elemente.

m Va at ri e

5p 5p 5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

39

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 039 1. Se consideră funcţia f : (0, ∞) → \, f ( x) = x ln x . a) Să se studieze monotonia funcţiei f. 5p b) Să se determine asimptotele graficului funcţiei f. 5p 5p c) Să se demonstreze că orice şir ( xn )n∈` cu proprietatea x0 ∈ (0,1), xn+1 = e f ( xn ) este convergent.

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 n

2. Se consideră şirul ( I n )n∈N∗ definit prin I n = ∫

1

0

x dx, ∀n ∈ N∗ . 4x + 5

5p

a) Să se calculeze I 2 .

5p

b) Să se arate că şirul ( I n )n∈N∗ verifică relaţia 4 I n +1 + 5 I n =

5p

c) Să se determine lim nI n . n→∞

1 , ∀n ∈ N∗. n +1


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

40 5p 5p

Varianta 40

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 040 a + 2i . Să se determine a pentru care z ∈ \ . 2 + ai 2. Să se demonstreze că dreapta de ecuaţie y = 2 x + 3 intersectează parabola de ecuaţie

1. Se consideră a ∈ \ şi numărul complex z = y = x 2 − 4 x + 12 într-un singur punct.

5p 5p 5p

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 x − 1 = x . 4. Se consideră mulţimea A = {1, 2,3, 4,5,6} . Să se determine probabilitatea ca, alegând o pereche ( a, b ) din produsul cartezian A × A să avem egalitatea a + b = 6 . 5. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele M ( 2, − 1) , A (1, 2 ) şi B ( 4, 1) . JJJG JJJG Să se determine lungimea vectorului MA + MB . 6. Să se arate că sin ( a + b ) ⋅ sin ( a − b ) = sin 2 a − sin 2 b , pentru oricare a, b ∈ \ .

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

5p 5p 5p

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r o r . Va o n i r t u e n . www

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 040 1 0 0  1 3 2 1     1. Se consideră matricele I 3 = 0 1 0 , A = 3 9 6 , X =  3  , Y = (1 3 2 ) , 0 0 1  2 6 4  2       B = I 3 + A , C = I3 + aA , cu a ∈ \ . a) Să se calculeze S = A − XY . b) Să se determine a ∈ \ astfel încât BC = I 3 .

sc u

40

c) Să se arate că An+1 = 14 An , ∀n ∈ `∗ .

2. Se consideră polinomul f = X 3 − 1∈ \[ X ] şi numărul ε ∈^ \ \ , astfel încât f ( ε ) = 0 . a) Să se demonstreze că ε2 + ε + 1 = 0 .

 x+ y + z= 0  b) Să se rezolve în mulţimea numerelor complexe sistemul  x + yε + zε 2 = 0 .  2  x + yε + z ε = 0

m Va at ri e

5p 5p

5p

c) Să se arate că, dacă f divide f1 ( X 3 ) + Xf 2 ( X 3 ) + X 2 f3 ( X 3 ) , unde f1 , f 2 , f3 sunt polinoame cu coeficienţi complecşi, atunci fiecare dintre polinoamele f1 , f 2 , f3 este divizibil cu X − 1 .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

40

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 040

1. Se consideră funcţia f : R → R, f ( x ) = x 2 + 2 − x 2 + 1. 5p a) Să se demonstreze că funcţia f este strict crescătoare pe intervalul (−∞,0]. BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 b) Să se arate că graficul funcţiei f are exact două puncte de inflexiune . 5p 5p c) Să se determine ecuaţia asimptotei la graficul funcţiei f spre − ∞ . 2. Se consideră funcţiile Fn : \ → \ , Fn ( x ) = ∫ t sin n t dt , ∀n ∈ N∗. x

0

5p 5p 5p

a) Să se calculeze F1 ( π ) . b) Să se demonstreze că Fn +1 (1) < Fn (1) , ∀n ∈ N∗. c) Să se calculeze lim Fn (1) . n→∞


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

1

Varianta 41

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 041

5p

1. Să se arate că numărul 100lg 2 + 3 −27 este natural.

5p

2. Să se determine imaginea funcţiei f : \ → \ , f ( x ) =

5p 5p

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3x +1 = −3x + 8 . 4. Să se determine numărul funcţiilor f : {1, 2,3,4} → {1, 2,3, 4} care au proprietatea că f (1) + f ( 3) = 7 .

5p

x +1

.

5. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele A ( 2, − 1) şi B ( −1, 1) . Să se determine ecuaţia dreptei care trece prin originea axelor şi este paralelă cu dreapta AB. 1 6. Fie a şi b numere reale astfel încât sin a + sin b = 1 şi cos a + cos b = . Să se calculeze cos ( a − b ) . 2

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p

2x 2

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r o r . Va o n i r t u e n . www

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 041

5p 5p

 x + py + p 2 z = p3  1. Pentru p, q, r ∈ ^ , se consideră sistemul  x + qy + q 2 z = q 3 .  2 3  x + ry + r z = r a) Să se arate că determinantul sistemului este ∆ = ( p − q )( q − r )( r − p ) . b) Dacă p, q, r sunt distincte, să se rezolve sistemul. c) Să se arate că, dacă sistemul are soluţia ( −1,1,1) , atunci cel puţin două dintre numerele p, q, r sunt egale.  a b   2. Se consideră inelul ( A, +, ⋅) unde A =   a, b ∈ ] 5  .  −b a  

5p

a) Să se determine numărul elementelor mulţimii A.

m Va at ri e

5p 5p

sc u

41

5p

b) Să se rezolve în mulţimea A ecuaţia X 2 = I 2 .

c) Să se arate că ( A, +, ⋅) nu este corp.

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

41

5p 5p 5p

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 041 1. Se consideră funcţia f : ( 0, + ∞ ) → ( − ∞, 0 ) , f ( x ) = ln (1 + x ) − x .

a) Să se demonstreze că funcţia f este strict descrescătoare pe intervalul ( 0, + ∞ ) . b) Să se arate că funcţia f este surjectivă . c) Să se arate că graficul funcţiei f nu admite asimptote .

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba f : R → R, f ( x ) = arctg x. D, MT1, programa M1 2. Fie funcţia 1

∫0 f ( x) dx .

5p

a) Să se calculeze

5p

b) Să se arate că lim

5p

c) Să se calculeze lim

x

1 π f (ln t )dt = . ∫ x →∞ x 2 1 1  n→∞ n 

1 f  + n

2 f  + n

3 f   + ... + n

 n  f   .  n 


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

42 5p 5p

Varianta 42

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 042 1 1 1 1. Să se calculeze partea întreagă a numărului 1 − + 2 − 3 . 3 3 3 2  y = x − 3x + 1 . 2. Să se rezolve în \ × \ sistemul  2  y = 2 x + x + 4

1 π 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia arctg x + arcctg = . 3 2

5p

4. Să se determine numărul termenilor raţionali ai dezvoltării ( 4 5 + 1)100 .

5p

5. Să se arate că punctele A(−1, 5) , B (1,1) şi C (3, −3) sunt coliniare. 6. Să se calculeze lungimea razei cercului înscris în triunghiul care are lungimile laturilor 4, 5 şi 7.

5p

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r o r . Va o n i r t u e n [ ] . www

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 042

5p 5p

0 1 1 0 1. Se consideră matricele A, B ∈ M 2( ^ ) , cu AB − BA = A şi matricele A0 =   , B0 =  0 2  . 0 0     a) Să se determine rangul matricei A0 . b) Să se arate că A0 B0 − B0 A0 = A0 .

5p

sc u

42

c) Să se demonstreze că An B − BAn = nAn , pentru orice n ∈ `, n ≥ 2 . 2. Se consideră polinomul f ∈ \ X , f = 4 X 3 − 12 X 2 + aX + b .

5p 5p

a) Să se determine a, b ∈ \ , astfel încât polinomul f să se dividă cu polinomul X 2 − 1 .

5p

c) Să se determine a, b ∈ \ , astfel încât polinomul să aibă rădăcinile x1 , x2 , x3 în progresie

b) Să se determine a, b ∈ \ , astfel încât ecuaţia f ( x ) = 0 să aibă soluţia x = i ∈ ^ .

m Va at ri e

aritmetică şi, în plus, x12 + x22 + x32 = 11 .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

42

5p 5p 5p

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 042 1. Fie funcţia f : R → R, f ( x ) = x arctg x şi şirul ( xn )n∈N∗ definit de x1 = 1 , xn+1 = f ( xn ) , ∀n ∈ N∗. a) Să se demonstreze că funcţia f ′ este strict crescătoare pe R . b) Să se determine ecuaţia asimptotei la graficul funcţiei f spre − ∞ . c) Să se arate că şirul ( xn )n∈N∗ este convergent .

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba1 D, MT1, programa M1

2. Fie şirul ( I n )n∈N∗ , definit prin I n = ∫ ( x − x 2 ) n dx, ∀n ∈ N∗. 0

5p

a) Să se calculeze I 2 .

5p

b) Să se demonstreze că I n =

5p

c) Să se calculeze lim I n . n→∞

n I n−1 , ∀n ∈ N, n ≥ 2. 4n + 2


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - .informatică • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

43

Varianta 43

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 043 1. Să se determine valoarea de adevăr a propoziţiei: „Suma oricăror două numere iraţionale este număr iraţional.”

5p

2. Se consideră funcţia f : \ → \, f ( x) = x + 2. Să se rezolve ecuaţia f ( f ( x)) = f 2 ( x).

5p 5p

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 4 x − 2 x = 12 . 4. Fie mulţimea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} . Să se calculeze probabilitatea ca, alegând o pereche ( a, b ) din mulţimea A × A , produsul numerelor a şi b să fie impar. 5. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele A (1, 3) şi C ( −1, 1) . Să se calculeze aria pătratului de diagonală AC. 6+ 2 6. Să se arate că sin105D + sin 75D = . 2

5p 5p

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

5p 5p 5p

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r o r . Va o n i r t u e n . w) ( w )( ( ) ( ) w

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 043  a b   | a, b, c, d ∈ `  şi matricea A = 1 2  ∈ M . 1. Se consideră mulţimea M =   1 3   c d   a) Câte matrice din mulţimea M au suma elementelor egală cu 1?

sc u

43

b) Să se arate că A−1 ∉ M .

c) Să se determine toate matricele inversabile B ∈ M care au proprietatea B −1 ∈ M .

2. Se consideră ecuaţia x 4 − 8 x3 + ax 2 + 8 x + b = 0 , cu a, b ∈ \ şi cu soluţiile x1 , x2 , x3 , x4 ∈ ^ . a) Să se arate că x1 + x4

x2 + x3 + x1 x4 + x2 x3 + x1 + x4 x2 x3 + x2 + x3 x1 x4 = a − 8 .

b) Să se determine a ∈ \ astfel încât x1 + x4 = x2 + x3 . c) Să se determine a, b ∈ \ , astfel încât x1 , x2 , x3 , x4 să fie în progresie aritmetică.

m Va at ri e

5p 5p 5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

43

5p 5p 5p

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 043 1. Se consideră funcţia f : \ → \, f ( x ) = x + e− x .

a) Să se demonstreze că funcţia f este strict crescătoare pe intervalul [ 0, + ∞ ) . b) Să se arate că funcţia f admite exact un punct de extrem local.

c) Să se determine numărul de soluţii reale ale ecuaţiei f ( x ) = m, unde m este un număr real

BACALAUREAT oarecare . 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1

tg x t ctg x 1  π  π 2. Fie funcţiile f :  0,  → \, f ( x ) = ∫ g şi : 0, → , g x dt. = dt R ( )   ∫ 2 1 1 2 2 1+ t t (1 + t 2 )    

5p

π a) Să se calculeze f   . 3

5p

 π b) Să se calculeze f ′ ( x ) , x ∈  0,  .  2

5p

 π c) Să se arate că f ( x ) + g ( x ) = 0, ∀x ∈  0,  .  2


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

44

Varianta 44

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 044 1− i . 1+ i

1. Să se determine partea reală a numărului complex z =

5p

2. Să se determine valorile reale ale lui m pentru care x 2 + mx + 1 ≥ 0 , oricare ar fi x ∈ \. 1 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia arcsin 2 x = − . 2 4. Se consideră mulţimea A = {0,1, 2,3, ... ,9} . Să se determine numărul submulţimilor mulţimii A care au 5 elemente, din care exact două sunt numere pare. 5. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele B ( −1, 2 ) şi C ( 2, − 2 ) . Să se determine distanţa de la punctul O la dreapta BC. 3 π  6. Ştiind că α ∈  , π  şi sin α = , să se calculeze ctg α . 5 2 

5p 5p 5p

5p

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r Va( ) eutrino.ro ( w ) .n w w [ ]

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 044 1 0 0 0 0 0 1. Se consideră matricele A =   0 0 0 1 0 0

1 0 0 0 şi B =   0  0  1 0

5p 5p

a) Să se calculeze AB + BA . b) Să se arate că rang A + B = rang A + rang B .

5p

c) Să se demonstreze că A + B

n

0 1 1 0

0 1 1 0

0 0 . 0  0 

sc u

44

= An + B n , ∀n ∈ `∗ .

2. Se consideră polinomul f = X 4 + aX 3 + 4 X 2 + 1∈ ^ X cu rădăcinile x1 , x2 , x3 , x4 ∈ ^ . 5p

m Va at ri e

5p

a) Să se determine a ∈ ^ astfel încât polinomul f să se dividă cu X + 1 . 1 1 1 1 b) Să se arate că polinomul g = X 4 + 4 X 2 + aX + 1 are rădăcinile , , , . x1 x2 x3 x4 c) Să se arate că, pentru orice a ∈ ^ , polinomul f nu are toate rădăcinile reale.

5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

44

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 044

1. Se consideră funcţia f : R → R, f ( x ) =

ax + b

x2 + x + 1

, a, b ∈ R .

a) Să se calculeze f ′ ( x ) , ∀x ∈ R . b) Să se arate că funcţia f este strict crescătoare pe \ dacă şi numai dacă a = 2b > 0. 5p BACALAUREAT - Proba D,mulţimea MT1, programa 5p c) Pentru 2009-MATEMATICĂ a = 2 şi b = 1 , să se determine valorilorM1 funcţiei f. 5p

2. Fie funcţia f :[−1,1] → R, f ( x ) = ∫ earcsin t dt . x

0

5p

a) Să se arate că funcţia f este strict monotonă.

5p

b) Să se arate că f ( x) = ∫

5p

c) Să se determine f (1) .

arcsin x t e cos t dt , ∀x ∈ [−1,1] . 0


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

45

Varianta 45

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 045 7 . 5 2 −1

5p

1. Să se determine partea întreagă a numărului

5p

2. Fie x1 şi x2 soluţiile reale ale ecuaţiei x 2 + x − 1 = 0 . Să se arate că

x1 x2

+

x2 x1

∈] .

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 ⋅ 3x + 31− x = 7 . 4. Se consideră mulţimile A = {1, 2, 3, 4} şi B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} . Să se determine numărul funcţiilor strict crescătoare f : A → B .

5p

5. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele A (1, 3) , B ( −2, 1) şi C ( −3, − 1) . Să se calculeze lungimea înălţimii duse din vârful A în triunghiul ABC.

5p

6. Să arate că 2 ⋅ (sin 75D − sin15D ) = 2.

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p 5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

5p

9 0 0 2 } e i t r a m 1 c a b e t n a i ( ) r o r . Va o n i r t u e n . www ( )

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 045  2 0 1 0  1. Se consideră matricele A =   , B =  1 1  şi mulţimea C ( A ) = X ∈ M2 ( \ ) XA = AX . 3 2     a) Să se arate că B ∈ C ( A ) .

{

sc u

45

5p

 x 0 b) Să se arate că dacă X ∈ C A , atunci există x, y ∈ \ , astfel încât X =  .  y x

5p

c) Să se rezolve ecuaţia X + X 2 = A .

2. Se consideră mulţimea G = (−1,1) , funcţia f : G → \ , f x =

1− x şi corespondenţa 1+ x

5p 5p

x+ y , ∀ x, y ∈ G . 1 + xy a) Să se arate că această corespondenţă defineşte o lege de compoziţie pe G. b) Să se arate că ∀x, y ∈ G , f ( x ∗ y ) = f ( x) f ( y ).

5p

c) Ştiind că operaţia "∗ " este asociativă, să se calculeze

m Va at ri e

( x, y ) → x ∗ y , unde x ∗ y =

1 1 1 ∗ ∗ ... ∗ . 2 3 9

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

45

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 045

1. Se consideră funcţia f : R → R, f ( x ) =

x 2 + ax + 5 x2 + 1

, a ∈ R.

a) Să se calculeze f ′ ( x ) , ∀x ∈ R . 5p 5p b) Ştiind că a = 0 , să se determine ecuaţia asimptotei spre + ∞ la graficul funcţiei f . BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 5p c) Să se determine toate numerele reale a astfel încât funcţia f să aibă trei puncte de extrem local . 2. Fie funcţia f : [ −1, 1] → R , f ( x ) = 1 − x 2 . 1

∫−1 x

1 − x 2 dx .

5p

a) Să se calculeze

5p

b) Să se determine volumul corpului obţinut prin rotirea graficului funcţiei f în jurul axei Ox .

5p

c) Să se calculeze lim

n ∫ x f ( x) d x. n→∞ 0 1


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

46 5p

Varianta 46

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 046 1. Fie (an )n≥1 o progresie aritmetică. Ştiind că a3 + a19 = 10 , să se calculeze a6 + a16 .

5p

2. Să se determine valorile parametrului real m pentru care ecuaţia x 2 − mx + 1 − m = 0 are două rădăcini reale distincte.

5p

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia lg 2 x + lg x = 6 .

5p

4. Se consideră mulţimile A = {1, 2, 3} şi B = {1, 2, 3, 4, 5} . Să se determine numărul funcţiilor strict descrescătoare f : A → B , cu proprietatea că f ( 3) = 1 .

5p

5. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele M ( 2, − 1) , N ( −1, 1) şi P ( 0, 3) . Să se determine coordonatele punctului Q astfel încât MNPQ să fie paralelogram. 6. Să se calculeze lungimea medianei duse din A în triunghiul ABC, ştiind că AB = 2, AC = 3 şi BC = 4 .

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar SUBIECTUL II (30p) – Varianta 046 a b 1. Se consideră matricea A =   ∈ M 2( \ ) . c d

9 0 0 2 e i t r a m ( ) ac 1 b e ( n ) t a { } .ro i r a V o n i r ) ( ) t u e n . w ww ( ) ( ) ( ) ( )

5p

a) Să se demonstreze că ∀ x ∈ \ , det ( A − xI 2 ) = x 2 − ( a + d ) x + ad − bc .

5p

b) Dacă A = O2 , să se demonstreze că a + d = 0 .

5p

c) Ştiind că A2 = O2 , să se calculeze det A + 2 I 2 .

2

2. Se consideră mulţimea G =

( a , b ) ∗ ( c, d

a, b ∈ ] × ] a 2 − 3b 2 = 1 şi operaţia

sc u

46

= ac + 3bd , ad + bc .

5p 5p

a) Să se determine a ∈ ] pentru care (a,15) ∈ G .

5p

c) Să se arate că ( G , ∗ ) este grup.

b) Să se arate că, pentru orice a, b , c, d ∈ G , a, b ∗ c, d ∈ G .

m Va at ri e

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

46

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 046

1. Se consideră funcţia f : \ → \, f ( x ) =

5p 5p 5p

x −1

. ex a) Să se arate că f nu este derivabilă în punctul x0 = 1 .

b) Să se determine numărul soluţiilor reale ale ecuaţiei f ( x ) = m , unde m este un parametru real. c) Să se calculeze lim ( f (1) + f ( 2 ) + f ( 3) + ... + f ( n ) ) . n→∞

 π 2. Se consideră funcţia f :  0,  → \, f ( x ) = x 2 sin x .  2

5p

 π a) Să se arate că există numerele reale a, b, c astfel încât funcţia F :  0,  → \ ,  2

(

)

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 2

F ( x ) = ax + b cos x + cx sin x să fie o primitivă a funcţiei f. 2

π

5p

b) Să se calculeze

 1 

∫ f  2 x dx . 1

π

5p

 π c) Să se calculeze aria suprafeţei plane cuprinse între graficul funcţiei f şi graficul funcţiei g :  0,  → \ ,  2 g ( x ) = πx − x 2 .


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

47

Varianta 47

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 047

5p

1. Să se arate că numărul ( 2 + i ) + ( 2 − i ) este întreg.

5p

2. Să se determine coordonatele punctelor de intersecţie dintre dreapta de ecuaţie y = 2 x + 1 şi parabola

4

4

de ecuaţie y = x 2 + x + 1 . 5p 5p 5p

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 x + 16 + x 2 = 11 . 4. Să se determine probabilitatea ca, alegând un număr din mulţimea numerelor naturale de patru cifre, acesta să fie divizibil cu 9. 5. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele A ( −1, 1) , B (1, 3) şi C ( 3, 2 ) . Fie G centrul de greutate al triunghiului ABC. Să se determine ecuaţia dreptei OG.

(

)

6. Să se arate că 2 ⋅ cos 75D + cos15D = 6 .

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

5p 5p 5p

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r Va ( ) eutrino.ro n . w w w [ ]

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 047 1 2  1 1 1. Se consideră matricele A =   , B =  0 1 şi funcţia f : M2 ( \ ) → M2 ( \ ) , 3 4     f ( X ) = AX − XA . a) Să se determine rangul matricei A . b) Să se calculeze f ( B ) .

sc u

47

c) Să se arate că ecuaţia f X = B nu are soluţii.

2. Se consideră polinoamele f , g ∈ \ X , f = X 3 + a 2 X − a , g = aX 3 − a 2 X 2 − 1 , cu a ∈ \* şi x1 , x2 , x3 ∈ ^ rădăcinile polinomului f.

a) Să se calculeze x12 + x22 + x32 . b) Să se arate că rădăcinile polinomului g sunt inversele rădăcinilor polinomului f. c) Să se arate că polinoamele f şi g nu au rădăcini reale comune.

m Va at ri e

5p 5p 5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

47

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 047

1. Se consideră funcţia f : R \ {1, − 1} → R, f ( x ) = arctg

5p

a) Să se calculeze lim f ( x ) .

1

x −1 2

.

x →1 x >1

5p b) Să se arate că graficul funcţiei- Proba f admite asimptotă spreM1 + ∞. BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ D, MT1, programa 5p

c) Să se demonstreze că funcţia f admite un singur punct de extrem local . 1 2. Se consideră funcţia f : R → R, f ( x ) = cos x − 1 + x 2 . 2 π 2

∫ 0 f ( x ) dx .

5p

a) Să se calculeze

5p

b) Să se determine lim

5p

c) Să se demonstreze că

x →∞

1 x

2

x

∫0 f (t )dt .

∫0 cos ( x 1

2

) d x ≥ 109 .


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

48

Varianta 48

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 048

5p

1. Să se determine partea reală a numărului complex

5p

2. Se consideră funcţia f : (0, ∞) → \ , f ( x ) =

5p 5p

)

6

3+i .

1 . Să se calculeze ( f D f )( 512 ) . x 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia cos 2 x + sin x = 0. 4. Se consideră mulţimea M = {0,1, 2,3, 4,5} . Să se determine numărul tripletelor (a, b, c) cu proprietatea că a, b, c ∈ M şi a < b < c . 5. Să se calculeze distanţa dintre dreptele paralele de ecuaţii x + 2 y = 6 şi 2 x + 4 y = 11. 3

6. Paralelogramul ABCD are AB = 1, BC = 2 şi m ( )BAD ) = 60D . Să se calculeze produsul JJJG JJJG scalar AC ⋅ AD .

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p 5p

(

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

5p 5p 5p

a) Să se determine a ∈ \ pentru care determinantul sistemului este egal cu zero. b) Să se determine valorile parametrilor a, b ∈ \ pentru care sistemul este incompatibil. c) Să se arate există o infinitate de valori ale numerelor a şi b pentru care sistemul admite o soluţie ( x, y, z ) , cu x, y, z în progresie aritmetică.    cos t sin t  2. Se consideră mulţimea G =  X t =   t∈\ . − t t sin cos     a) Să se arate că X ( t ) ⋅ X ( u ) = X ( t + u ) , ∀t , u ∈ \ .

b) Să se determine t ∈ \ ştiind că X ( t ) ∈ M 2( ] ) .

m Va at ri e

5p 5p

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r o r . Va o n i r t u e n . www( )

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 048  x + 2y + z =1  1. Se consideră sistemul  2 x − y + z = 1 , unde a şi b sunt parametri reali.  7 x − y + az = b 

sc u

48

5p

c) Să se arate că mulţimea G formează grup abelian în raport cu înmulţirea matricelor.

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

48

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 048

 2x  1. Se consideră funcţia f : R → R, f ( x ) = arcsin  .  1 + x2  5p a) Să se calculeze lim f ( x ) . x →+∞

5p

b) Să se determine domeniul de derivabilitate al funcţiei f . BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 c) Să se demonstreze că funcţia f are două puncte de extrem . 5p

2. Fie funcţia f : [ 0,1] → R, f ( x ) = 1 − x 2 şi şirul ( an )n∈N∗ , an =

1

n

∑ n2

n 2 − k 2 , ∀n ∈ N∗.

k =1

1

∫0 x f ( x)dx .

5p

a) Să se calculeze

5p

b) Să se determine volumul corpului obţinut prin rotirea graficului funcţiei f în jurul axei Ox .

5p

c) Să se demonstreze că şirul ( an )n∈N∗ este convergent .


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

49

Varianta 49

5p

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 049 1. Să se arate că numărul log9 3 + log 4 3 2 este raţional.

5p

2. Se consideră funcţia f : \ → \, f ( x ) = mx 2 − 2mx + m − 1, m ∈ \∗ . Să se determine m ∈ \∗ astfel încât f ( x ) ≤ 0 , pentru orice x ∈ \ .

5p 5p

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 x + 2 x +1 + 2 x −1 = 56 . 4. Fie mulţimea A = { 1, 2, ... , 1000} . Să se calculeze probabilitatea ca, alegând un element din mulţimea

{3 n | n ∈ A} , acesta să fie număr raţional.

5p

JJJJG JJJJG 3 JJJG 1 JJJG 3 JJJG 5. Fie triunghiul ABC şi M ∈ ( BC ) astfel încât MC = − CB . Să se demonstreze că AM = AB − CA . 4 4 4  π 6. Ştiind că x ∈  0,  şi tg x = 3 , să se calculeze sin 2 x .  2

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r o r . Va o n i r t u e n . w w w ( )

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 049  x + ay = 1  1. Se consideră a ∈ \ , sistemul  y + az = a şi A matricea sa. z + x =1 

5p 5p 5p

a) Să se arate că det A ≠ 0 . b) Să se arate că soluţia sistemului este formată din trei numere în progresie geometrică. c) Să se determine inversa matricei A . 2. Se consideră pe \ legea de compoziţie dată de relaţia x ∗ y = xy − 5 x − 5 y + 30 , ∀ x, y ∈ \ şi

sc u

49

mulţimea G = 5, ∞ .

a) Să se arate că legea "∗ " are element neutru. b) Să se demonstreze că G este grup abelian în raport cu legea "∗ " .  x∗ y = z  c) Să se rezolve în grupul ( G , ∗ ) sistemul  y ∗ z = x .  z∗x = y 

m Va at ri e

5p 5p 5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

49

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 049

1. Se consideră funcţia f : [1, + ∞ ) → R, f ( x ) =

4 − 3x 2

. x3 5p a) Să se demonstreze că graficul funcţiei f admite asimptotă spre + ∞ . 5p b) Să se determine mulţimea valorilor funcţiei f . c) Să se determine domeniul de -derivabilitate al funcţiei :[2, ∞ ) → \, g ( x) = arccos f ( x) . 5p BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ Proba D, MT1, programag M1

2. Se consideră funcţiile f :[1, 2] → \, f ( x) = 5p 5p 5p

1

şi F : [1, 2] → \, F ( x ) = ln

x2 + 1 − 1 . x

x x2 + 1 a) Să se arate că funcţia F este o primitivă a funcţiei f . b) Să se calculeze volumul corpului obţinut prin rotirea graficului funcţiei f în jurul axei Ox . c) Să se calculeze aria mulţimii cuprinse între dreptele de ecuaţii x = 1 şi x = 2 , graficul funcţiei F şi axa Ox.


Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Varianta 50

5p

5p 5p 5p

5p

2. Să se arate că vârful parabolei y = x 2 + ( 2a − 1) x + a 2 , a ∈ \ , este situat pe dreapta de ecuaţie 4x + 4 y = 1 . 8 3. Să se arate că, dacă z este soluţie a ecuaţiei z 2 + 2 z + 4 = 0 , atunci z 2 − = 0 . z 4. Să se determine probabilitatea ca, alegând un număr din mulţimea {11,12,… ,50} , aceasta să fie divizibil cu 2 şi cu 5 . 5. Trapezul isoscel ABCD are bazele [ AB ] şi [CD ] şi lungimea înălţimii egală cu 4. Să se calculeze JJJG JJJG AC + BD .

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 050 1. Să se determine a ∈ astfel încât numerele 2a −1 , 2− a + 2 + 1, 2a +1 + 1 să fie în progresie aritmetică.

12  π 6. Să se calculeze tg 2α , ştiind că α ∈  0,  şi sin α = . 13  2

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r o r . Va o n i r t u ( ) e n . w ) w( w

sc u

50

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 050  a a a3  t t 1. Se consideră matricele A =  1 2  ∈ M2, 3 ( \ ) , transpusa A ∈ M3,2 (\ ) , B = AA , şi b b b 3  1 2 punctele Pk (ak , bk ) , unde k ∈ { 1, 2, 3} .

5p

a) Să se calculeze B ştiind că P1 (1, 2), P2 (2, 4), P3 (−3, −6).

5p 5p

b) Să se arate că det B ≥ 0, oricare ar fi punctele P1 , P2 , P3 .

m Va at ri e

c) Să se arate că det B = 0 dacă şi numai dacă punctele P1 , P2 , P3 sunt coliniare pe o dreaptă care trece prin originea axelor.   1ˆ a b     ˆ ˆ ˆ   2. Se consideră mulţimea M =   0 1 0  a, b ∈ ] 5  .   0ˆ 0ˆ 1ˆ       a) Să se determine numărul elementelor mulţimii M . b) Să se arate că AB ∈ M , pentru orice A, B ∈ M . c) Să se arate că ( M , ⋅) este un grup, unde „ ⋅ ” este înmulţirea matricelor.

5p 5p 5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

50

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 050

1 1. Se consideră funcţia f : R∗ → R, f ( x ) = x ⋅ sin . x 5p a) Să se calculeze lim f ( x ) . x →0

5p BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ b) Să se calculeze f ′ ( x ) , x ∈ R-∗.Proba D, MT1, programa M1 5p

c) Să se determine ecuaţia asimptotei la graficul funcţiei f către + ∞ . 2. Fie şirul ( I n )n∈N∗ , I n = ∫ (1 − x 2 ) n dx , ∀n ∈ N∗. 1

−1

5p

a) Să se calculeze I 2 .

5p

b) Să se demonstreze că I n+1 =

5p

c) Să se demonstreze că şirul ( an )n∈N∗ , definit prin an =

2n + 2 I n , ∀n ∈ N∗. 2n + 3 n

k =0

( −1)k Cnk , ∀n ∈ N∗, 2k + 1

are limita 0 .


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

51

Varianta 51

5p

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 051 1. Să se determine numărul elementelor mulţimii ( A \ B ) ∩ Z ştiind că A = ( −3;4] şi B = (1;5] .

5p

2. Să se determine coordonatele punctelor de intersecţie a dreaptei y = 2 x + 1 cu parabola y = x 2 − x + 3.

5p

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia

5p

4. Să se rezolve în mulţimea numerelor naturale inecuaţia 2 x! ≤ 2048 .

5. Să se calculeze distanţa de la punctul A (1;1) la dreapta d : 5 x + 12 y − 4 = 0 . 6. Să se calculeze tg ( a + b ) ştiind că ctg a = 2 şi ctg b = 5 .

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p 5p

x −1 + 2 − x = 1 .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r o r . Va o n i r t u e n . www

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 051

sc u

51

1 1  1. Fie şirul ( Fn )n≥0 , dat de Fn +1 = Fn + Fn −1 , ∀n ∈ `∗ , F0 = 0, F1 = 1 şi matricea A =  . 1 0 

5p 5p

a) Să se verifice relaţia A2 = A + I 2 . b) Să se arate că, dacă X ∈ M 2 (_), X ≠ O2 şi AX = XA , atunci X este inversabilă.

5p

Fn  F c) Să se arate că An =  n+1  , ∀n ≥ 1. F F n −1   n 1 2 3 4 5  1 2 3 4 5 2. Fie σ, π ∈ S5 , σ =  , π =  2 3 1 4 5 . 3 2 1 5 4     a) Să se demonstreze că σπ ≠ πσ.

5p

b) Să se determine numărul elementelor mulţimii H = πn | n ∈ `* .

m Va at ri e

5p

5p

{

{

}

}

c) Să se arate că H = πn | n ∈ `* este un subgrup al grupului ( S5 , ⋅) .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

51 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 051

1. Se consideră funcţia f : [1, ∞ ) → [1, ∞ ) , f ( x ) =

5p

x2 − x + 1 . x

a) Să se calculeze lim ( x − f ( x ) ) . x

x →∞

b) Să se arate că funcţia f este strict crescătoare. 5p BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 c) Să se arate că funcţia f este bijectivă. 5p ax + b, x < 1 2. Fie a, b ∈ \ şi funcţia F : \ → \ , F ( x ) =  2 . ln x + 1, x ≥ 1 a) Să se determine numerele reale a şi b astfel încât funcţia F să fie primitiva unei funcţii f. 5p e 1 b) Să se calculeze ∫ dx . 5p 1 x F ( x) 5p

c) Să se arate că, pentru funcţia h :[1, π] → \, h( x) = ( F ( x) − 1)sin x , are loc relaţia

π

∫1 h( x)h′′( x) dx ≤ 0.


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Varianta 52

52

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 052 1. Să se arate că funcţia f : \ → \ , f ( x) =| 4 x − 8 | −2 | 4 − 2 x | este constantă.

5p 5p 5p 5p 5p

(

)

9

4. Să se determine numărul termenilor iraţionali ai dezvoltării 3 + 1 . G G G G G G 5. Să se determine m ∈ R astfel încât vectorii u = ( m + 1) i + 8 j şi v = ( m − 1) i − 4 j să fie coliniari . 6. Triunghiul ABC are lungimile laturilor AB = 5 , BC = 7 şi AC = 8 . Să se calculeze m ( )A ) .

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p

2. Să se determine a ∈ \ pentru care parabola y = x 2 − 2 x + a − 1 şi dreapta y = 2 x + 3 au două puncte distincte comune. 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3 x − 1 + 1 = x .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r o r . Va o ( ) n i r t u e n . www

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 052

1 2 3 4 5 6 1. Se consideră permutarea σ ∈ S6 , σ =  .  2 4 5 3 6 1

sc u

52

5p

a) Să se determine σ−1 .

5p

b) Să se arate că permutările σ şi σ−1 au acelaşi număr de inversiuni.

5p

c) Să se arate că ecuaţia x 4 = σ nu are soluţii în grupul S6 , ⋅ .

5p 5p 5p

2. Fie legea de compoziţie „ D ”, definită pe \ prin x D y = xy − x − y + 2, ∀x, y ∈ \, şi funcţia f : \ → \ , f ( x) = x + 1 . a) Să se arate că (1, ∞) este parte stabilă în raport cu „ D ”. b) Să se demonstreze că f ( xy ) = f ( x) D f ( y ) pentru orice x, y ∈ \. c) Ştiind că legea „ D ” este asociativă, să se rezolve în \ ecuaţia  x D x D ... D x = 1025.

m Va at ri e

de 10 ori x

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

52

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 052

π   x sin , x ∈ ( 0,1] 1. Se consideră funcţia f : [ 0,1] → \ , f ( x ) =  . x 0, x = 0

a) Să se arate că funcţia f este continuă pe [ 0,1] . 5pBACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 5p 5p

b) Să se determine domeniul de derivabilitate al funcţiei f. π 1 1 c) Să se arate că, dacă n ∈ `* , atunci ecuaţia f ( x) = cos are cel puţin o soluţie în intervalul  , .  n +1 n  x

(

)

2. Fie funcţiile f : [ 0,1] → \ , f ( x ) = ln 1 + x 2 şi g : [ 0,1] → \ , g ( x) = x arctg x . 1

5p

a) Să se calculeze

∫0 f (

5p

b) Să se calculeze

∫0 g ( x)dx .

5p

c) Să se calculeze aria suprafeţei plane mărginită de graficele funcţiilor f şi g şi de dreptele de ecuaţii x = 0 şi x = 1 .

x )dx .

1


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

53

Varianta 53

5p

2. Să se determine imaginea intervalului [2,3] prin funcţia f : R → R , f ( x) = x 2 − 4 x + 3 .

5p 5p

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia x + 8 − x = 2 . 4. Să se determine probabilitatea ca, alegând un element al mulţimii divizorilor naturali ai numărului 56, acesta să fie divizibil cu 4. G G G G G G G G G G G G 5. Fie vectorii a = i + j , b = i − j şi u = 6i + 2 j . Să se determine p , r ∈ R astfel încât u = pa + rb . 6. Să se calculeze lungimea razei cercului circumscris unui triunghi care are lungimile laturilor 5 , 7 şi 8.

5p 5p

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 053  1 1. Să se calculeze  2009  + 3 ⋅  −  , unde [ x ] reprezintă partea întreagă a lui x şi { x} reprezintă  3 partea fracţionară a lui x.

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

5p 5p 5p

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r o r . Va o n i r t u e n . www

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 053 1. Pentru orice matrice A∈ M2 (^) , se notează C ( A) = { X ∈ M2 (^) | AX = XA} . Se consideră matricele 0 1 0 E1 =   , E2 =  1  0 0  a) Să se arate că dacă b) Să se arate că dacă

0 1 0  0 0 ,E = ,E = . 0  3  0 0  4  0 1  X , Y ∈ C ( A) , atunci X + Y ∈ C ( A). E1 , E2 ∈ C ( A) , atunci există α ∈ ^ astfel încât A = αI 2 .

sc u

53

c) Să se arate că dacă C ( A) conţine trei dintre matricele E1 , E2 , E3 , E4 , atunci o conţine şi pe a patra.

5p

c) Fie k ∈ ] cu b k = e . Să se arate că 6 divide k.

m Va at ri e

5p 5p

1 2 3 4 5  1 2 3 4 5 2. Fie a =   , b =  2 1 4 5 3  două permutări din grupul ( S5 , ⋅). 3 2 1 4 5     a) Să se rezolve în S5 ecuaţia ax = b . b) Să se determine ordinul elementului ab în grupul ( S5 , ⋅) .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

53

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 053

1. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) = x3 − 3x şi un număr real m din intervalul ( −2, ∞ ) .

5p 5p

a) Să se determine punctele de extrem ale funcţiei f.

b) Să se demonstreze că ecuaţia x3 − 3 x = m are soluţie unică în mulţimea (1, ∞ ) .

2 5p c) Să se determine numărul punctelor deD, inflexiune ale graficului BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba MT1, programa M1 funcţiei g : \ → \, g ( x) = f ( x) .

 xe x , x ≤ 0 . > sin , 0 x x 

2. Fie funcţia f : \ → \ , f ( x ) =  5p

a) Să se arate că funcţia f admite primitive pe \ .

5p

b) Să se determine primitiva F a funcţiei f care are proprietatea F ( 0 ) = −1 .

5p

c)

∫ Să se calculeze lim x →0 x >0

x 0

f (t )dt x2

.


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

5p 5p 5p 5p 5p

5p

Varianta 54

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 054 1. Să se calculeze partea întreagă a numărului ( 3 + 7 )2 . 2 x − 1 3x + 2 . 2. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale inecuaţia ≥ 1 − x 1 − 2x 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3 2 − x + x = 2 . 4. Se consideră dezvoltarea ( 3 x 2 + y ) 49 . Să se determine termenul care îi conţine pe x şi y la aceeaşi putere. JJG G G JJG G G JJG G G 5. Fie rA = 2i + j , rB = i + 3 j şi rC = 3i + 2 j vectorii de poziţie ai vârfurilor triunghiului ABC . Să se determine vectorul de poziţie al centrului de greutate a triunghiului ABC . 6. Să se calculeze lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC , ştiind că BC = 3 şi cos A =

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

54

1 . 2

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

5p 5p 5p

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r o r . Va o n i r t u e ( ) n . www

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 054  0 −1  0 1 1. Se consideră matricele A =   şi B =  −1 1 . 1 0     a) Să se verifice că AB ≠ BA .

sc u

54

b) Să se arate că A4 + B 6 = 2 I 2 .

c) Să se arate că, pentru orice n ∈ `∗ , ( AB) n ≠ I 2 . 2. Se consideră şirul Fn

n∈`

, F0 = 0 , F1 = 1, Fn+1 = Fn + Fn−1 , ∀n ≥ 1 şi polinoamele

P , Qn ∈ ][ X ] , P = X 2 − X − 1, Qn = X n − Fn X − Fn −1 , ∀n ≥ 2.

5p

a) Să se arate că polinomul X 3 − 2 X − 1 este divizibil cu P . b) Să se determine rădăcinile reale ale polinomului Q3 .

5p

c) Să se arate că, pentru orice n ≥ 2 , polinomul Qn este divizibil cu P .

m Va at ri e

5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

54

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 054

5p 5p

1. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) = e x − x . a) Să se determine punctul în care tangenta la graficul funcţiei f este paralelă cu prima bisectoare. b) Să se arate că valoarea minimă a funcţiei f este 1.

5p

c) Să se arate că funcţia g : \ → \, g ( x ) =

f ( x ) − 1 nu este derivabilă în x0 = 0 .

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1

2. Se consideră funcţiile f : (1, ∞ ) → \, f ( x) = ∫ 5p

a) Să se calculeze f ( 3) .

5p

b) Să se arate că g ' ( x ) =

5p

x

t2

2 t2

2 x2

, ∀x ∈ (1, ∞ ) . x2 − 1 c) Să se arate că g ( x ) = 2 f ( x ) , ∀x ∈ (1, ∞ ) .

−1

dt şi g : (1, ∞ ) → \, g ( x) = ∫

ln

0

x 2 −1 3

3et + 1 dt .


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

55 5p

5p

Varianta 55

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 055 1. Să se calculeze [− 8] − {−2,8} , unde [ x ] reprezintă partea întreagă a lui x şi { x} reprezintă partea fracţionară a lui x.  x 2 + y 2 = 13 2. Să se rezolve în mulţimea \ × \ sistemul  .  x + y = 5

5p 5p

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 4 x − 5 ⋅ 2 x+1 + 16 = 0 .

5p

5. Fie punctele O ( 0;0 ) , A ( 2;1) şi B ( −2;1) . Să se determine cosinusul unghiului format de vectorii JJJG JJJG OA şi OB . 6. Să se calculeze tg 2 x , ştiind că ctg x = 3.

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p

4. Să se determine x ∈N , x ≥ 2 astfel încât C x2 + Ax2 = 30 .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r o r . Va o n i r t u e n . ) w( ww

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 055 x   a −b  ∈ M 2( \ ) şi şirurile ( xn ) n∈` , ( yn )n∈` verifică  n+1  = 1. Matricea A =   b a   yn+1 

5p

a) Să se arate că xn2+1 + yn2+1 = (a 2 + b 2 )( xn2 + yn2 ) , ∀n ∈ `.

5p

b) Să se arate că, dacă a 2 + b 2 ≤ 1 , atunci şirurile ( xn )n∈` , ( yn )n∈` sunt mărginite.

5p

c) Să se arate că, dacă a = 1 şi b = 3 , atunci xn+ 6 = 64 xn , ∀n ≥ 0 .

sc u

55

x  A  n  , ∀n ∈ ` .  yn 

2. Se consideră corpul ]11 , +, ⋅ . 5p 5p

a) Să se arate că ecuaţia x 2 = 8ˆ nu are soluţii în ]11 .

5p

c) Să se arate că polinomul X 2 + X + 1ˆ este ireductibil în ]11 [ X ] .

m Va at ri e

b) Să se determine numărul polinoamelor de grad doi din ]11 [ X ] .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

55

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 055

1. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) = 3 x3 − 3 x + 2 .

5p

a) Să se calculeze lim x →1 x <1

f ( x) . x −1

b) Să se determine punctele de extrem f. 5p BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Probaale D,funcţiei MT1, programa M1 c) Să se determine domeniul de derivabilitate al funcţiei f. 5p 1 2. Fie funcţia f : (1; ∞ ) → \ , f ( x ) = . x ( x + 1)( x + 2 ) 5p 5p 5p

a) Să se determine o primitivă a funcţiei f. x x −1 , ∀x ∈ [1, ∞ ) . b) Să se demonstreze că ∫ f (t )dt ≤ 1 6 c) Să se calculeze

1

x2

∫0 1 + x6 dx .


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

56 5p 5p 5p

Varianta 56

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 056 1. Să se rezolve în mulţimea numerelor complexe ecuaţia 2 z + z = 3 + 4i . 2. Ştiind că x1 şi x2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 + 3x + 1 = 0 , să se calculeze x13 + x23 . 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 1 + 5 x − 2 ⋅ 25 x = 0 . 9

5p 5p

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p

 1  4. Se consideră dezvoltarea  a 2 + 3  , a ≠ 0 . Să se determine rangul termenului care-l conţine pe a 4 . a  G G G G G 2 G2 G G G G 5. Să se calculeze u − v ştiind că u − v = 3i + 2 j şi u + v = 2i + 3 j . 6. Să se calculeze lungimea razei cercului circumscris unui triunghi dreptunghic care are catetele de lungimi 5 şi 12.

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

5p 5p 5p

c) Să se determine elementele de ordin doi din grupul G , definit la punctul b).

m Va at ri e

5p 5p 5p

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r o r . Va o n i r t u e n . www

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 056  2 −3  1. Se consideră matricea A =   ∈ M2 (\ ) şi funcţia f : M2 ( \ ) → M2 ( \ ) , f ( X ) = AX .  1 −2  a) Să se arate că f ( A) = I 2 . b) Să se arate că f ( X + f ( X )) = X + f ( X ) , ∀X ∈ M2 (\ ). c) Să se arate că funcţia f este bijectivă. 1 0  2. Se consideră matricea A =   şi mulţimea M = { X ∈ M2 (\) | AX = XA}. 1 1  a) Să se arate că dacă X , Y ∈ M , atunci XY ∈ M . b) Să se arate că G = { X ∈ M | det X ≠ 0} este grup în raport cu înmulţirea matricelor.

sc u

56

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

56

5p 5p

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 056

2x + 5  4 1. Se consideră funcţia f : \ \  −  → \ , f ( x ) = . 3x + 4  3 a) Să se determine asimptota la graficul funcţiei f spre +∞ . b) Să determine limita şirului ( an )n≥1 , an = f (1) f (2)... f (n) .

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1

5p

c) Să se determine punctele de inflexiune ale graficului funcţiei g : \ → \ , g ( x) = f (e x ).

2. Fie funcţia f : [1, e] → \ , f ( x ) = ln x . 1

∫ 0 f (e

x

5p

a) Să se calculeze

5p

b) Să se calculeze volumul corpului obţinut prin rotirea graficului funcţiei f în jurul axei Ox .

5p

c) Să se arate că

1 x2

∫0 e

)dx . e

dx + ∫ f ( x) dx = e . 1


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

57

Varianta 57

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 057 7 + 4 3 − 3 este natural.

5p

1. Să se arate că numărul

5p

2. Să se arate că x 2 + 4 x + 5 x 2 + 2 x + 2 ≥ 1 , oricare ar fi x ∈ \.

5p

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia log 22 x + log 2 ( 4 x ) = 4 .

(

)(

)

200

5p 5p

 2  4. Să se determine termenul care nu-l conţine pe x , din dezvoltarea  3 x +  , x>0 . x  5. Se consideră dreapta d : 4 x − 8 y + 1 = 0 şi punctul A ( 2 ; 1) . Să se determine ecuaţia dreptei care trece prin punctul A şi este paralelă cu dreapta d .

6. Triunghiul ABC are AB = 2 , AC = 4 şi m ( )A ) = 60D . Să se calculeze lungimea medianei duse din A.

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

5p

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r o r . Va o n i r t u e n . www

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 057  xn   xn+1   3 4 1. Fie matricele A =   ∈ M2 (\ ) şi  y  ∈ M 2,1 (\ ), cu  y  = 2 3    n  n+1  a) Să se determine x1 , x2 , y1 şi y2 .

sc u

57

x  A  n  , ∀n ∈ ` şi x0 = 1, y0 = 0 .  yn 

5p

b) Să se arate că xn + yn 2 = (3 + 2 2 )n , ∀n ∈ `. c) Să se arate că xn+ 2 − 6 xn +1 + xn = 0, ∀n ≥ 0 .

5p

ˆ ˆ 2,3, ˆ ˆ 4,5,6} ˆ ˆ ˆ şi ] = {0, 1, 2, 3, 4, 5} . 2. Se consideră mulţimile de clase de resturi ] 7 = {0,1, 6 2 ˆ a) Să se rezolve în corpul (] , +, ⋅) ecuaţia 3ˆ x + 4ˆ = 0.

5p

b) Să se determine ordinul elementului 3ˆ în grupul ]∗7 , ⋅ .

5p

c) Să se arate că nu există niciun morfism de grupuri f : (] 6 , +) → (]*7 , ⋅) cu f 2 = 3ˆ .

7

( )

()

m Va at ri e

5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

57

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 057 1. Fie funcţia f : \ → \ , f ( x) = x 2 + 1 .

1 şi xn+1 = f ( xn ), ∀n ≥ 1 are limită . 2  xf ( x) , x ≤ 0 , g ( xD, ) =MT1, b) Să se arate că funcţia g : \ →- \ 5p  BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ Proba programa este M1 derivabilă pe \ . arctg x , x > 0

5p

a) Să se arate că şirul ( xn ) n≥1 definit prin x1 =

5p

c) Să se determine cel mai mare număr real a care are proprietatea f ( x) ≥ a + 2ln x, ∀x ∈ (0, ∞ ) . 2. Fie funcţia f : \ → \ , f ( x ) = e − x şi F o primitivă a sa. 2

1

∫0 xf ( x)dx .

5p

a) Să se calculeze

5p

b) Să se calculeze lim

5p

F ( cos x ) − F (1)

. x2 c) Să se arate că funcţia g : \ → \, g ( x) = F ( x) + f ( x) are exact un punct de extrem local. x →0


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

58

Varianta 58

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 058 1 + 4i . 4 + 7i

1. Să se calculeze partea reală a numărului complex

5p

2. Să se determine axa de simetrie a graficului funcţiei f : R → R , f ( x ) = 3 x 2 − 6 x + 1 .

5p 5p

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3x +1 + 31− x = 10 . 4. Să se determine probabilitatea ca, alegând un element al mulţimii A = {1,3,5,..., 2009} , acesta să fie multiplu de 3. 5. Se consideră dreapta d : 2x + y − 1 = 0 şi punctul A ( 3, 2 ) . Să se determine ecuaţia dreptei care trece prin punctul A şi este perpendiculară pe dreapta d . 6. Fie triunghiul ABC care are AB = AC = 5 şi BC = 6 . Să se calculeze distanţa de la centrul de greutate al triunghiului ABC la dreapta BC .

5p 5p

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

5p 5p

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 058 ax + b a b 1. Fie a, b, c, d > 0, matricea A =  .  şi funcţia f : ( 0, ∞ ) → ( 0, ∞ ) , f ( x) = c d cx + d    a bn  * Se notează An =  n  , unde n ∈ ` . c d n  n a) Să se arate că dacă det A = 0 , atunci f este funcţie constantă. b) Să se arate că, dacă det A ≠ 0, atunci funcţia f este injectivă.

5p

c) Să se arate că

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r o a )( ) r . V o ( n i r t u e n . www a x + bn , ∀n ∈ `∗ . f D f D f D ... D f x = n 

cn x + d n

sc u

58

de n ori f

5p

c) Să se arate că ecuaţia X 2 = I 2 are o infinitate de soluţii în G.

m Va at ri e

5p 5p

 1 0 0 1 2. Se consideră matricele A =   , B =  0 0  şi mulţimea G = {I 2 + aA + bB | a, b ∈ \, a ≠ −1}. 0 0     a) Să se arate că orice matrice din G este inversabilă. b) Să se arate că G este un subgrup al grupului multiplicativ al matricelor inversabile din M2 (\ ).

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

58

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 058

1. Se consideră funcţiile f : \ → \ , f ( x ) =

5p

a) Să se calculeze lim ( f ( x) g ( x) ) .

x

1 + x2

şi g : \ → \ , g ( x ) = arctg x .

x →∞

b) Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei f . BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 c) Să se arate că f ( x ) < g ( x ) , pentru orice x ∈ ( 0, ∞ ) . 5p 5p

 x − m, x ∈ [ 0,1] 2. Fie m ∈ \ şi funcţia f : [ 0, 2] → \ , f ( x) =  .  x ln x, x ∈ (1, 2]

5p

a) Să se arate că, pentru orice m ∈ \ , funcţia f este integrabilă. x

∫1 t ln t dt

5p

b) Să se calculeze lim

5p

c) Pentru m = 1 , să se demonstreze că, pentru orice t ∈ (0, 2) există a, b ∈ [0, 2], a ≠ b, astfel încât

x →1 x >1

b

x −1

.


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

59

Varianta 59

5p

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 059 1   1  1  1  1. Să se arate că numărul lg  1 −  + lg  1 −  + lg  1 −  + ... + lg  1 −  este întreg.  2  3  4  100 

5p

2. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia x − 3 + 4 − x = 1 .

5p

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia log3 x +

5p 5p

4. Să se determine probabilitatea ca, alegând un element al mulţimii A = {2, 4,6,..., 2010} , acesta să fie divizibil cu 4 , dar să nu fie divizibil cu 8. 5. Se consideră punctele A ( 2, m ) şi B ( m, −2 ) . Să se determine m ∈ R astfel încât AB = 4 .

5p

6. Să se calculeze sin 2 x ştiind că ctg x = 6.

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

1 5 = . log3 x 2

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r o r . Va o n i r t u e n . www

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 059  mx + y + z = 0  1. Se consideră sistemul  x + 3 y + 2 z = 0 , cu m ∈ \ . − x − y + 4 z = 0 

5p 5p 5p

a) Să se determine m ∈ \ pentru care matricea sistemului are determinantul nenul. b) Să se determine m ∈ \ astfel încât sistemul să admită cel puţin două soluţii. c) Să se determine m ∈ \ pentru care dreptele d1 : mx + y + 1 = 0, d 2 : x + 3 y + 2 = 0, d3 : − x − y + 4 = 0 sunt concurente.  m n   2. Se consideră mulţimea H =     | m, n ∈ ] 5 , m = ±1  .  0 1    1 1   4 0  −1 a) Să se verifice că dacă A =  şi B =      , atunci B ⋅ A = A ⋅ B .  1  0 0 1     b) Să se arate că H este un grup cu 10 elemente în raport cu înmulţirea matricelor. c) Să se determine numărul elementelor de ordinul 2 din grupul H.

m Va at ri e

5p

sc u

59

5p 5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

59

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 059

1. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) = x3 + x .

5p

f ( x) . x →∞ f ( x + 1) b) Să se demonstreze că funcţia f este inversabilă.

5p

c) Să se calculeze lim

5p

a) Să se calculeze lim

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 −1 x →∞

f

3

( x) . x

2. Se consideră funcţiile f : \ → \ , f ( x) = x 2 sin x şi F o primitivă a lui f . π

∫−π f ( x)dx.

5p

a) Să se calculeze

5p

b) Să se determine c ∈ (1,3) astfel încât

5p

c) Să se arate că funcţia F nu are limită la +∞ .

3

f ( x)

∫1 sin x dx = 2c

2

.


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

60

Varianta 60

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 060

5p

1. Să se arate că 2(1 + 3 + 32 + ... + 38 ) < 39.

5p

2. Fie x1 , x2 soluţiile ecuaţiei x 2 + 5 x − 7 = 0 . Să se arate că numărul x13 + x23 este întreg. 5 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia log5 x + log x 5 = . 2

5p 5p 5p

4. Să se determine x ∈ `, x ≥ 3 astfel încât C22x −3 = 3 .

5. Se consideră punctele A ( 2,3 ) şi B ( −3, −2 ) . Să se scrie ecuaţia mediatoarei segmentului AB . JJG JJG G G G G G G 6. Fie vectorii u şi v . Ştiind că u ⋅ v = 5 , u = 2 şi v = 3 să se calculeze cos ) u , v .

( ( ))

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r o r . Va o n i r t u e n . www { }

60

5p 5p 5p

sc u

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar SUBIECTUL II (30p) – Varianta 060  2 1 1. Se consideră matricea A =   şi funcţia f : M2 ( \ ) → M2 ( \ ) , f ( X ) = AX .  −4 −2  a) Să se calculeze f ( A). b) Să se arate că ( f D f )( X ) = O2 , ∀X ∈ M2 (\ ). c) Să se arate că f ( X ) + f (Y ) ≠ I 2 , ∀X , Y ∈ M2 (\).

2. Se consideră mulţimea P = A ∈ M2 ( \ ) | AAt = I 2 , unde At este transpusa matricei A.

5p

m Va at ri e

5p 5p

0 1 a) Să se verifice dacă matricea   aparţine mulţimii P. 1 0 b) Să se arate că înmulţirea matricelor determină pe mulţimea P o structură de grup necomutativ. c) Să se arate că, dacă A, B ∈ P, X ∈ M2 ( \) şi AX = B , atunci X ∈ P.

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 060

1. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) = x + 1 + x 2 .

5p 5p

a) Să se arate că mulţimea valorilor funcţiei f este ( 0,∞ ) .

b) Să se arate că, dacă g : \ → \, g ( x ) = ln f ( x ) , atunci ( f ( x ) − x ) ⋅ g ' ( x ) = 1, ∀x ∈ \ .

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ MT1,xprograma 5p c) Să se demonstreze că g ( x) < x- ,Proba pentruD,orice > 0 , undeM1 g este funcţia definită la punctul b).

{

2. Fie mulţimea M = f : \ → \ | f este derivabilă şi 5p 5p 5p

1

∫0 f ( x) dx = f (0) = f (1)

}.

a) Să se arate că funcţia f : \ → \ , f ( x) = 2 x3 − 3x 2 + x aparţine mulţimii M . 1 b) Să se arate că, dacă f este o funcţie polinomială de grad trei care aparţine lui M , atunci f   = f (0). 2 c) Să se arate că, pentru orice f ∈ M , ecuaţia f ′( x ) = 0 are cel puţin două soluţii în intervalul (0,1) .


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

61

Varianta 61

5p

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 061 1. Să se determine numărul real x ştiind că numerele x + 1, 1 − x şi 4 sunt în progresie aritmetică.

5p

2. Să se determine punctele de intersecţie a parabolei y = x 2 + 5 x − 6 cu axele de coordonate.

5p 5p

5p

3. Să se rezolve în mulţimea [ 0, 2π ] ecuaţia 2sin x + 1 = 0 .

4. Fie mulţimea M = {1, 2,3, 4,5,6} . Să se determine probabilitatea ca, alegând una dintre submulţimile mulţimii M , aceasta să aibă 2 elemente. JJG G G JJG G G JJG G G 5. Punctele A , B şi G au vectorii de poziţie rA = 4i + 7 j , rB = 2i − j , rG = 4i + 4 j . Să se determine vectorul de poziţie a punctului C astfel încât punctul G să fie centrul de greutate al triunghiului ABC . G G G G G G π 6. Fie vectorii u şi v . Dacă u = 1 , v = 2 şi măsura unghiului vectorilor u şi v este , să se calculeze 3 G G G G 2u + v ⋅ 2v − u .

(

)(

)

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r o r . Va o n i r t u e n . w { } ww ( )

5p

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 061   1 a b     1. Se consideră mulţimea G =  M a,b | M a,b = 0 1 0 , a, b ∈ \  ⊂ M3 ( \ ) . 0 0 1     a) Să se arate că M a ,b ⋅ M c,d = M a + c,b+ d , ∀ a, b, c, d ∈ \.

5p

b) Să se arate că orice matrice din G este inversabilă.

5p

c) Să se calculeze, în funcţie de a şi b , rangul matricei M a ,b − M at ,b ( M at ,b este transpusa lui M a,b ).

sc u

61

2. Se consideră un grup K , ⋅ , unde K = e, a, b, c , e este elementul neutru şi a 2 = b 2 = c 2 = e . 5p 5p

m Va at ri e

5p

a) Să se rezolve în grupul K ecuaţia x3 = e . b) Să se arate că ab = c. c) Să se arate că grupul ( K , ⋅) nu este izomorf cu grupul ( ] 4 , + ) .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

61

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 061

 ln x , x ≠1  1. Fie funcţia f : ( 0, ∞ ) → \ , f ( x ) =  x − 1 . 1, x =1 a) Să se demonstreze că funcţia f este continuă. 5p f ( x) − 1 - Proba D, MT1, programa M1 BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ b) Să se calculeze lim . 5p x →1 x − 1 c) Să se arate că funcţia f este strict descrescătoare. 5p

5p

2. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x) = ln(1 + sin 2 x) . a) Să se arate că orice primitivă a funcţiei f este crescătoare pe \ . π

∫0 f ( x) cos x dx .

5p

b) Să se calculeze

5p

c) Să se calculeze derivata funcţiei g : ( −1,1) → \ , g ( x ) = ∫π

arcsin x

4

f (t ) dt.


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Varianta 62

5p

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 062 1. Să se determine x > 0 ştiind că numerele x , 6 şi x − 5 sunt în progresie geometrică .

(

)

5p

2. Se consideră funcţia f : R → R , f ( x ) = x 2 + x − 2 . Să se calculeze f 2 ⋅ ( f ( −1) ) .

5p

π π   3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia cos  2 x +  = cos  x −  . 2 2  

5p

4. Să se arate că ( n !) divide ( 2n )! , pentru oricare n natural.

5p

2

5. Se consideră punctele A ( 3, 2 ) şi B ( 6,5 ) . Să se determine coordonatele punctelor M şi N ştiind

că acestea împart segmentul [ AB ] în trei segmente congruente, iar ordinea punctelor este A, M , N , B .

6. Să se determine numerele naturale a pentru care numerele a, a + 1 şi a + 2 sunt lungimile laturilor unui triunghi obtuzunghic.

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

5p 5p 5p

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r o r . Va o n i r t u e n . www

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 062 a b 2 1. Fie matricea A =   ∈ M2 ( \ ) cu proprietatea că A = 2 A . c d    3 1 2 a) Să se arate că matricea B =   verifică relaţia B = 2 B . − − 3 1   b) Să se arate că, dacă a + d ≠ 2 , atunci A = O2 sau A = 2 I 2 .

sc u

62

c) Să se arate că, dacă a + d = 2 , atunci det ( A ) = 0 .

2. Se consideră polinoamele f , g ∈ _[ X ] , f = X 4 − 1 , g = X 6 − 1 . 5p 5p

b) Să se determine numărul soluţiilor complexe distincte ale ecuaţiei f ( x ) g ( x ) = 0 . c) Să se descompună polinomul f în factori ireductibili în _ [ X ] .

m Va at ri e

5p

a) Să se arate că un cel mai mare divizor comun al polinoamelor f şi g este X 2 − 1.

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

62

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 062

1. Pentru fiecare număr natural nenul n se consideră funcţia f n : (0, ∞) → \ , f n ( x ) = x n + ln x.

5p 5p

a) Să se arate că funcţia f 2 este strict crescătoare pe intervalul ( 0,∞ ) .

b) Să se arate că, pentru orice n ∈ `∗ , ecuaţia f n ( x) = 0 are exact o rădăcină reală, situată în intervalul 1 BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 ,1 . e  3 1  − c) Să se calculeze lim  5p . x →1  f 2 ( x ) − 1 x − 1 

( )

5p

 x3 , x ∈ ( −∞,0] 2. Fie funcţia f : \ → \ , f ( x ) =  . 1 + sin x, x ∈ ( 0, ∞ ) a) Să se arate că funcţia f este integrabilă pe intervalul [−2π , 2π ] . π

∫−1 f ( x) dx .

5p

b) Să se calculeze

5p

c) Să se arate că , pentru orice n ∈ `* ,

∫0

f n ( x)dx ≤ 2n π .


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

63

Varianta 63

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 063 4n , este crescător. n+3

5p

1. Să se arate că şirul ( an )n∈` , de termen general an =

5p

2. Să se determine coordonatele punctelor de intersecţie a parabolelor y = x 2 + x + 1 şi y = − x 2 − 2 x + 6.

5p

π π   3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia sin  x −  = sin  3x +  . 4 4   

5p

4. Suma coeficienţilor binomiali ai dezvoltării 2 x 2 − 5 y

5p

de rang patru. 5. Să se determine m ∈ R astfel încât dreptele d1: mx + 3 y + 2 = 0 şi d 2 : 2x + y − 8 = 0 să fie concurente. JJJG JJJG 6. Fie ABCD un patrulater. Să se arate că dacă AC ⋅ BD = 0 , atunci AB 2 + CD 2 = AD 2 + BC 2 .

)

n

este egală cu 32. Să se determine termenul

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p

(

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r o r . V( a) o n i r t u e n . [ ] [ ] www

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 063

{

}

{

}

1. Se consideră mulţimile P = S ∈ M2 (\) | S t = S şi Q = A ∈ M2 ( \ ) | At = − A .

sc u

63

5p

1 3  0 2 a) Să se arate că   ∈ P şi  −2 0  ∈ Q . 3 1     b) Să se arate că, dacă A, B ∈ Q , atunci AB ∈ P .

5p

c) Să se arate că det X ≥ 0 , oricare ar fi X ∈ Q .

5p 5p

2. Se consideră polinoamele f = X 3 + 2 X 2 + 3 X + 45 ∈ ] X şi fˆ = X 3 + X + 1ˆ ∈ ] 2 X . a) Să se arate că rădăcinile din ^ ale polinomului f nu sunt toate reale. b) Să se arate că polinomul fˆ nu are rădăcini în ] .

5p

c) Să se demonstreze că polinomul f nu poate fi scris ca produs de două polinoame neconstante, cu coeficienţi întregi.

m Va at ri e

5p

2

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

63

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 063

 x, x ∈ _ . 1. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) =  3  x , x ∈ \ \ _

5p

a) Să arate că

f ( x ) ≤ x , ∀x ∈ [ −1,1] .

b) Să arate că2009-MATEMATICĂ funcţia f este continuă în origine. 5p BACALAUREAT - Proba D, MT1, programa M1 c) Să se arate că funcţia f nu este derivabilă în origine. 5p axe x − x , x ≤ 0 2. Se consideră a, b ∈ \ şi funcţia f : \ → \ , f ( x) =  .  x cos x + b, x > 0 a) Să se determine a şi b ştiind că funcţia f este primitivă pe \ a unei funcţii. 5p 5p

b) Ştiind că a = 0 şi b = 0 , să se calculeze

5p

c) Să se arate că, dacă b = 0 , atunci lim

π

∫−1 f ( x)dx .

π n

∫ x n→∞ 0

f ( x)dx = −∞ .


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

64

Varianta 64

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 064

5p

1. Să se arate că şirul ( an )n ≥1 , de termen general an = n 2 − n , este strict monoton.

5p

2. Se consideră funcţiile f : R → R şi g : R → R definite prin f ( x ) = x 2 + 2 x + 1 şi g ( x ) = x − 2009 . Să se demonstreze că, pentru orice x ∈ \,

( f D g ) ( x) ≥ 0.

5p

π  π  3. Să se rezolve în ( 0, π ) ecuaţia tg  x +  = tg  − x  . 3  2 

5p

4. Să se determine x ∈N , x ≥ 3 ştiind că C xx −1 + C xx−−13 ≤ 9 .

5. Să se determine m ∈ R ştiind că dreptele d1 : mx + ( m + 2 ) y − 1 = 0 şi d 2 : ( m +2 ) x + 4my − 8 = 0 sunt

5p

paralele. 6. Fie ABC un triunghi cu tg A = 2, tg B = 3. Să se determine măsura unghiului C.

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

5p 5p 5p 5p 5p

b) Să se arate că dacă X ∈ M şi det X = 0 , atunci X = O2 . c) Să se arate că An ∈ M , ∀n ∈ `*.

2. Se consideră polinomul f = X 5 − X 4 + 3 X 3 − X 2 − 2 ∈ ^[ X ]. a) Să se determine o rădăcină întreagă a polinomului f.

b) Să se calculeze x12 + x22 + ... + x52 , unde x1 , x2 ,..., x5 sunt rădăcinile polinomului f . c) Să se arate că f are o singură rădăcină reală.

m Va at ri e

5p

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b ( t )e n a i r o r . Va o n i r t u e n . www

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 064  x 3 y    2 3 | x, y ∈ ]  şi matricea A =  1. Fie mulţimea M =  .   1 2  y x   a) Să se arate că dacă Y ∈ M2 (]) şi AY = YA, atunci Y ∈ M .

sc u

64

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

64

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 064

5p

 2 1. Se consideră funcţia f : ( −∞, −2 ) ∪ ( 0, ∞ ) → \, f ( x ) = ln  1 +  . x  a) Să se arate că funcţia f este concavă pe intervalul (−∞ , −2) .

5p , a = f (1) +programa b) Să calculeze limita şirului ( an- )Proba f ( 2 ) + ...M1 + f ( n ) − ln BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ n≥1 nD, MT1, 5p

2 ′ c) Să se arate că există un punct c ∈ (1, 2) astfel încât (c − 1) f (c) + f (c) = f (2) .

2. Fie funcţia f : [ 0,1] → \, f ( x ) = 5p

a) Să se calculeze

5p

b) Să se arate că

5p

n ( n + 1)

1 + x4

.

1

∫0 xf ( x)dx .

π

c) Să se calculeze

1

4

1

≤ ∫ f ( x) dx ≤ 1 . 0

1

∫0

f ( x ) f ′′( x) − ( f ' ( x ) )

( f ( x ) )2

2

dx .

.


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

65

Varianta 65

5p

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 065 1. Să se determine primul termen al progresiei aritmetice a1 , a2 ,13,17,... .

5p

2. Să se arate că funcţia f : R → R , f ( x ) = x3 + 2sin x este impară.

5p

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3sin x + 3 cos x = 0 . 4. Să se determine probabilitatea ca, alegând un număr din mulţimea numerelor naturale de trei cifre, acesta să aibă suma cifelor egală cu 2. 5. Să se determine m ∈ R ştiind că dreptele d1: mx + 3 y − 2 = 0 şi d 2 : 12x + 2 y + 1 = 0 sunt perpendiculare.

5p

6. Ştiind că tg

α 2

=

1 , să se calculeze sin α . 3

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p 5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r o r . Va o n i r t u e n . www

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 065  ax + y + z = 4  1. Se consideră sistemul  x + 2 y + 3 z = 6 , cu a, b ∈ \ . 3 x − y − 2 z = b

5p 5p 5p

a) Să se determine a, b pentru care sistemul are soluţia (1, 1, 1). b) Să se determine a, b astfel încât sistemul să fie incompatibil. c) Să se arate că pentru orice a ∈ ] există b ∈ ] astfel încât sistemul să admită soluţii cu toate componentele numere întregi.  a 0 0       2. Se consideră mulţimea de matrice A =  0 a 0  | a, b, c ∈ ] 2  .  b c a      a) Să se determine numărul elementelor mulţimii A .

m Va at ri e

5p 5p 5p

sc u

65

b) Să se arate că, pentru orice X ∈ A , X 2 = I3 sau X 2 = O3 .

c) Să se determine numărul matricelor X din mulţimea A care au proprietatea X 2 = O3 .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

65

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 065

5p 5p

1. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) = x + e x . a) Să se arate că funcţia f este bijectivă. b) Să se arate că f ( x ) ≥ 2 x + 1, ∀x ∈ \ .

5p

c) Să se demonstreze că, dacă f ( x ) ≥ mx + 1, ∀x ∈ \ , atunci m = 2 .

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1

2. Fie funcţia f : \ → \, f ( x ) = sin 3 x cos x şi F o primitivă a funcţiei f pe \ .

5p

a) Să arate că există c ∈ \ astfel încât 4 F ( x) = sin 4 x + c .

5p

π b) Să se calculeze aria subgraficului restricţiei funcţiei f la intervalul 0,  .  2 

5p

c) Să se arate că

π

∫0 f

2 n +1

( x)dx = 0 , pentru orice n ∈ ` .


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

66

Varianta 66

5p

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 066 1. Să se calculeze ( 2 + i )( 3 − 2i ) − (1 − 2i )( 2 − i ) .

5p

2. Să se arate că

5p

numărului a. 3. Să se rezolve în [ 0, 2π ] ecuaţia

5p

4. Să se calculeze

5p

5. Se consideră punctele A ( 2,3) , B ( 4,n ) , C ( 2, 2 ) şi D ( m,5 ) . Să se determine m, n ∈ R astfel încât patrulaterul ABCD să fie paralelogram .

5p

6. Să se calculeze cos 2 x , ştiind că tg x = 4 .

1 este o perioadă a funcţiei f : R → R , f ( x) = {3x} , unde {a} este partea fracţionară a 3

C10 20

.

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

9 C20

3 sin x − cos x = 1 .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r o r . Va o n i r t u e n . www

5p

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 066 1. Fie dreptele d1 : x + 2 y = 3, d 2 : 3x − 4 y = −1, d3 : 4 x + 3 y = m , unde m ∈ \ . a) Să se determine m astfel încât dreptele să fie concurente. b) Să se demonstreze că există o infinitate de valori ale lui m pentru care vârfurile triunghiului determinat de cele trei drepte au toate coordonatele întregi. c) Să se calculeze valorile lui m pentru care triunghiul determinat de cele trei drepte are aria 1.

5p 5p 5p

2. Fie polinomul f = 2 X 3 − aX 2 − aX + 2 , cu a ∈ \ şi cu rădăcinile complexe x1 , x2 , x3 . a) Să se calculeze f (−1) . b) Să se determine a pentru care polinomul are trei rădăcini reale. c) Să se determine a astfel încât | x1 | + | x2 | + | x3 |= 3.

m Va at ri e

5p 5p

sc u

66

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 066

1. Se consideră funcţia f : \ → \, f ( x ) = l− 1 − x 2 .

a) Să se calculeze derivata funcţiei f pe intervalul (−1,1) . 5p b) Să se determine ecuaţia asimptotei spre +∞ la graficul funcţiei f. 5p 5p \, gD, ( xMT1, ) = x −2programa f ( x) esteM1 mărginită. c) Să se arate că funcţia g : (0, ∞)- → BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ Proba

2. Fie funcţia f :[0,1] → [1,3], f ( x) = x 4 + x 2 + 1 . Se admite că funcţia f are inversa g . 5p

3 4

a) Să se calculeze

∫ 0

1

5p

b) Să se arate că

∫ 0

5p

2t + 1 dt . f ( t) 3

f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx = 3 . 1

c) Să se demonstreze că, dacă α ∈ [1,3] , atunci are loc inegalitatea

1

∫ 0

α

f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx ≥ α . 1


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

67

Varianta 67

5p

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 067 1. Să se determine primul termen al progresiei geometrice cu termeni pozitivi b1 , 6, b3 , 24, ... .

5p

2. Să se determine m ∈ R astfel încât funcţia f : R → R , f ( x) = (3 − m 2 ) x + 3 , să fie strict crescătoare.

5p

3. Să se calculeze sin

5p

5p

2π 3π 4π + sin + sin . 3 3 3 3 4. Se consideră mulţimea M a tuturor funcţiilor definite pe A = {1, 2,3} cu valori în B = {5,6,7} . Să se calculeze probabilitatea ca, alegând o funcţie din mulţimea M, aceasta să fie injectivă . 5. Se consideră punctul G, centrul de greutate al triunghiului ABC. Prin punctul G se duce paralela la AB JJJG JJJG care intersectează dreapta BC în punctul P. Să se determine m ∈ R astfel încât GP = m AB . 1 6. Să se calculeze cos2α , ştiind că cos α = . 3 + sin

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p

π

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

5p 5p

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r o r . ( ) Va o n i r t u e n . www

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 067 1 1 1   x + y + z = 1 1. Fie sistemul  x + my + z = 1 , cu m ∈ \ şi matricea A = 1 m 1  . 1 m m   x + my + mz = −2   a) Să se calculeze det ( A ) . b) Să se arate că rang A ≠ 2 , oricare ar fi m ∈ \ .

sc u

67

5p

c) Să se determine valorile întregi ale lui m ≠ 1 , pentru care sistemul are soluţie cu componente întregi. 1 2 3 4  1 2 3 4  1 2 3 4  2. Fie permutările α =   , β =  3 1 4 2  , γ =  4 3 1 2  , elemente ale grupului ( S 4 , ⋅). 2 3 4 1       a) Să se verifice că γ este soluţie a ecuaţiei αx = xβ.

5p

b) Să se arate că α 4 = β 4 .

5p

c) Să se determine o soluţie a ecuaţiei xβ 3 = α 3 x în S4 .

m Va at ri e

5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

67

5p

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 067 1. Se consideră mulţimea de funcţii M = { f : [ −1,1] → \ f este de două ori derivabilă şi f ( 0 ) = 0, f ' ( 0 ) = 1} .

a) Să se arate că funcţia u : [ −1,1] → \, u ( x ) = e x sin x aparţine mulţimii M.

1 x

b) Să se arate că , dacă f ∈ M şi f ( x ) ��� 0, ∀x ∈ [ −1,1] \ {0} , atunci lim (1 + f ( x) ) = e .

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 5p

x →0

5p

c) Să demonstreze că, dacă f ∈ M şi n ∈ `* , atunci lim

x →0

2. Fie funcţiile f : [0,1] → \, f ( x ) = 5p

a) Să se arate că g ( x) = ln(1 + x) .

5p

b) Să se calculeze

5p

1 c) Să se demonstreze că f   + n

1

∫0 f

2

1

f ( x) − x n

x

n

n +1

=

nf ′′(0) . 2

1+ x

şi g : [ 0, ∞ ) → \, g ( x ) = ∫ f (t )dt .

2 f  + n

3 n f   + ... f   ≤ n ln 2, ∀n ∈ `* . n n

x

0

( x) g ( x)dx .


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

5p 5p 5p 5p 5p

5p

Varianta 68

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 068 25 25 1. Să se arate că numărul + este întreg. 4 + 3i 4 − 3i 2. Să se determine m ∈ R astfel încât funcţia f : R → R , f ( x) = (m 2 − 2) x − 3 să fie strict descrescătoare. 1 π x = . 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia arctg + arctg 3 3 3 4. Să se determine probabilitatea ca alegând un număr din mulţimea numerelor naturale pare de două cifre , acesta să fie divizibil cu 4. 5. Pe laturile AB şi AC ale triunghiului ABC se consideră punctele M şi respectiv N astfel încât JJJG 3 JJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJG AM = 3MB şi AN = AC . Să se demonstreze că vectorii MN şi BC sunt coliniari. 4 11π 6. Să se calculeze sin . 12

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

68

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

9 0 0 2 e i t r a m 1 ( a ) c b e t n a i r o r . Va o n i r t u e n . www

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 068

sc u

68

1. Se consideră matricele A∈ M3 (\ ) şi B = A + At , unde At este transpusa matricei A . a) Să se arate că B t = B . b) Să se demonstreze că, dacă B = 2 I 2 , atunci det A ≥ 1 .

5p

c) Să se demonstreze că, dacă x, y ∈ ^ şi matricea xA + yAt este inversabilă, atunci x + y ≠ 0.

5p 5p

2. Se consideră ecuaţia x3 + px + q = 0 , p, q ∈ \ , şi x1 , x2 , x3 soluţiile complexe ale acesteia. a) Ştiind că p = 1 şi q = 0 , să se determine x1 , x2 , x3 . b) Să se determine p şi q ştiind că x1 = 1 + i .

5p

c) Să se arate că 12( x17 + x27 + x37 ) = 7( x13 + x23 + x33 )( x12 + x22 + x32 ) 2 .

m Va at ri e

5p 5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

68

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 068

1. Se consideră funcţia f : ( 0, ∞ ) → \ , f ( x ) =

5p 5p

a) Să se calculeze f ′ ( x ) , x ∈ ( 0, ∞ ) .

1 2x + 1 . + ln x +1 2x + 3

b) Să arate că f ( x ) < 0, ∀x ∈ ( 0, ∞ ) .

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1

5p

c) Să demonstreze că şirul ( xn )n≥1 , xn = 1 +

2. Fie funcţia f : \ → \, f ( x ) = ∫ e t dt . x

2

0

5p 5p

a) Să se arate că funcţia f este impară. b) Să se arate că lim f ( x) = ∞ .

5p

c) Să se arate că

x →∞

1

∫0 f ( x)dx ≤ e − 2 .

1 1 1  + ... + − ln  n +  este strict descrescător. n 2 2 


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

69 5p 5p 5p 5p

Varianta 69

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 069 z + 7i 1. Să se determine z ∈C ştiind că =6. z 2. Fie funcţia f : \ → \ , f ( x ) = 2 x + 1 . Să se calculeze f (1) + f ( 2 ) + f ( 3) + ... + f ( 50 ) .

3. Se consideră funcţia f : N → N , f ( x ) = 3 x + 1 . Să se demonstreze că funcţia f este neinversabilă. 4. Să se calculeze probabilitatea ca, alegând o cifră din mulţimea {0,1,2,...,9} , aceasta să verifice inegalitatea ( x + 1)! − x ! ≤ 100 .

5p

5. Să se arate că dreptele de ecuaţii d1 : 2x − y + 1 = 0 şi d 2 : 2x + y − 1 = 0 sunt simetrice faţă de axa Oy. 7π 6. Să se calculeze cos . 12

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r o r . Va o n i r t u e n . www

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 069 1 1 0 1. Fie matricea A =  0 0 1 ∈ M3 (\ ).  0 1 0  

5p

a) Să se verifice relaţia A3 − A = A2 − I 3 .

5p

b) Să se arate că An − An−2 = A2 − I3 , ∀n ∈ `, n ≥ 3.

5p

c) Să se arate că, pentru orice n ∈ `* , suma elementelor matricei An este n + 3.

5p 5p

2. Pentru fiecare n ∈ `∗ se defineşte polinomul Pn = X n − 1∈ ^[ X ] . a) Să se determine rădăcinile complexe ale polinomului P4 . b) Să se descompună polinomul P3 în factori ireductibili în ^ [ X ] . c) Să se descompună polinomul P6 în factori ireductibili în \ [ X ] .

m Va at ri e

5p

sc u

69

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

69

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 069

5p

33 2 x . 2 a) Să se studieze derivabilitatea funcţiei f în origine.

5p

b) Să arate că, pentru orice k ∈ ( 0, ∞ ) , există c ∈ ( k , k + 1) astfel încât f ( k + 1) − f ( k ) =

1. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) =

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1

5p

c) Să se demonstreze că şirul ( an )n≥1 , an = 2. Fie funcţia f : ( −1, ∞ ) → \, f ( x ) = x −

1 . c

3

1 1 1 + 3 + ... + 3 − f (n) , este strict descrescător. n 1 2

3

x 2 x3 + − ln (1 + x ) . 2 3

1

∫0 f ( x)dx .

5p

a) Să se calculeze

5p

b) Să se calculeze lim

5p

c) Să se arate, folosind eventual funcţia f, că

x →0

F ( x) x

5

, unde funcţia F : [ 0, ∞ ) → \ , F ( x) = ∫ f (t )dt , x ∈ [ 0, +∞ ) . x

0

1

5

∫0 ln(1 + x)dx ≤ 12 .


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Varianta 70

70

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 070

5p

1. Să se calculeze (1 + i ) .

5p

2. Se consideră funcţia f : R∗ → R , f ( x ) =

5p

3. Să se arate că funcţia f : R → R , f ( x ) = log 2 3x + 1 este injectivă .

5p

4. Să se calculeze A53 − 6C53 .

5p

5. Să se determine m ∈ R ştiind că distanţa de la punctul A ( m, m + 1) la dreapta d : 3 x − 4 y − 1 = 0 este 1.

5p

6. Să se calculeze cos 75D − cos15D .

20

1 . Să se calculeze suma x S = f ( f ( −10 ) ) + f ( f ( −9 ) ) + ... + f ( f ( −1) ) + f ( f (1) ) + ... + f ( f ( 9 ) ) + f ( f (10 ) ) .

)

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

(

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r Va ( ) eu[ trin] [ o.r] o[ ] n . w w w

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 070 1. Pentru orice două matrice A, B ∈ M2 (\ ) se defineşte matricea [ A, B] = AB − BA.

5p 5p

a) Pentru A∈ M2 (\ ) , să se calculeze [ A, A2 ] .

5p

c) Să se arate că, pentru orice A, B, C ∈ M2 (\ ) , A,[ B, C ] + B,[C , A] + C ,[ A, B] = O2 .

sc u

70

b) Să se arate că, pentru orice A ∈ M2 (\ ) , [ A, A* ] = O2 , unde A* este adjuncta matricei A. 2. Se consideră intervalul H = 0,1 .

ab defineşte o lege de compoziţie pe H . ab + (1 − a )(1 − b)

5p

a) Să se arate că relaţia a D b =

5p

b) Să se arate că funcţia f : ( 0, +∞ ) → ( 0,1) , f ( x ) =

x are proprietatea f ( xy ) = f ( x) D f ( y ), ∀x, y > 0, x +1

m Va at ri e

unde legea "D " este definită la punctul a). c) Ştiind că legea "D " definită la punctul a) este asociativă, să se rezolve în mulţimea ( H , D ) ecuaţia

5p

1 xDxDx = . 2

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

70

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 070

1. Se defineşte funcţia f 0 : \ → \, f 0 ( x) = e2 x şi, pentru fiecare n ∈ `* , se defineşte funcţia f n : \ → \ prin f n ( x) = f n′−1 ( x) .

a) Să se arate că f3 ( x) = 8e2 x , ∀x ∈ \ . BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 b) Să determine asimptotele graficului funcţiei f n . 5p 5p

5p

5p

c) Să se calculeze lim

f1 ( a ) + f 2 ( a ) + ... + f n−1 ( a ) fn ( a )

n→∞

, unde a este un număr real.

 x ln 2 x , x ≠ 0 2. Fie funcţia f : [ 0, ∞ ) → \, f ( x ) =  .  0 , x = 0 a) Să se arate că funcţia f este integrabilă pe intervalul [ 0,1] . 1

5p

b) Să se calculeze

∫0 f ( x)dx .

5p

c) Să se calculeze

∫1 f  x  dx .

e

1


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

71

Varianta 71

5p

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 071 1. Să se calculeze log 7 2009 − log 7 287 − 1 .

5p

2. Se consideră funcţia f : R∗ → R , f ( x ) = x 2 −

5p

3. Să se arate că valoarea maximă a funcţiei f : \ → R , f ( x ) = 3 − x 4 este f ( 0 ) .

5p

4. Să se determine n ∈ N , n ≥ 2 , astfel încât 3C1n + 2Cn2 = 8 .

5p

x2

. Să se arate că funcţia f este pară.

JJJJG JJJG JJJJG 2 JJJG 5. Se consideră triunghiul ABC şi punctele A ', B ', C ' astfel încât A′C = 2 BA′, B′C = AC , 5 JJJG JJJJG C ′A = 3BC ′ . Să se arate că dreptele AA′, BB ′ şi CC ′ sunt concurente.

6. Să se determine ecuaţia medianei corespunzătoare laturii BC a triunghiului ABC , ştiind că A(2, 2) şi ecuaţiile medianelor duse din B şi C sunt 2 x + y − 2 = 0 , respectiv x − y + 2 = 0 .

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p

1

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r o r . Va o n i r t u e n . www

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 071

2 1 0 0 1 2 1 0 0 1 2 1 1. Se consideră determinantul de ordin n ≥ 2, Dn = %% 0 0 ... ... 0 0 ... ... 0 0 ... ...

5p

2 1 0 a) Să se calculeze D3 = 1 2 1 . 0 1 2

5p 5p

b) Să se verifice că Dn = 2 Dn −1 − Dn−2 , ∀n ≥ 4. c) Să se arate că Dn = n + 1, ∀n ≥ 2.

... ... ... % ... ... ...

0 0 0 0 0 0

.

1 0 2 1 1 2

sc u

71

5p

b) Să se arate că dacă un grup G are proprietatea ( p ) , atunci ( xy )2 = x 2 y 2 , ∀x, y ∈ G .

5p

c) Să se arate că orice grup care are proprietatea ( p ) este comutativ.

71

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 071

m Va at ri e 5p

2. Un grup (G , ⋅) , cu elementul neutru e, are proprietatea ( p ) dacă x 2 = e , ∀x ∈ G . a) Să se verifice că mulţimea ] 2 × ] 2 , împreună cu legea de compoziţie dată de (a, b) ⋅ (c, d ) = ( a + c, b + d ), ∀a, b, c, d ∈ ] 2 este un grup care are proprietatea ( p ).

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

1. Se consideră funcţia f : ( 0, ∞ ) → \ , f ( x ) = x − ln (1 + x ) .

5p 5p 5p

a) Să se calculeze f ′ ( x ) , x ∈ ( 0, ∞ ) .

b) Să arate că f ( x ) > 0, ∀x ∈ ( 0, ∞ ) .

c) Să se calculeze lim f ( x ) . - Proba D, MT1, programa M1 BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ x →∞ 2. Se consideră funcţia F : \ → \, F ( x ) = ∫ t x dt . 2

1

5p

a) Să se verifice că 1 + ( x + 1) F ( x) = 2

5p

b) Să se calculeze lim F ( x) .

5p

c) Să se arate că există o funcţie continuă f : (−1, ∞) → \ , astfel încât F ( x ) = 1 + ∫ f ( y )dy, ∀x ∈ (−1, ∞) .

x +1

, ∀x ∈ \ .

x →−1

x

0


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

72

Varianta 72

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 072 100

5p

π π  1. Să se arate că numărul  cos + i sin  4 4 

5p

2. Se consideră funcţia f : R∗ → R , f ( x ) = x3 −

5p

3. Să se determine imaginea funcţiei f :[1, 4] → \, f ( x) = x 2 − x.

5p

0 2 2009 4. Să se calculeze C2009 ⋅ 52009 − C12009 ⋅ 52008 ⋅ 4 + C2009 ⋅ 52007 ⋅ 42 − ... − C2009 ⋅ 42009 .

este real. 1 . Să se arate că funcţia f este impară. x

5. Se consideră punctul A (1, 2 ) şi dreapta de ecuaţie d : 4 x − 2 y + 5 = 0 . Să se determine ecuaţia perpendicularei duse din punctul A pe dreapta d .

5p

6. Să se calculeze sin 75D ⋅ cos15D .

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r o r . Va o n i r ( ) t u e n . www

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 072  1 1 1 1. Se consideră matricea A =  1 1 1 ∈ M3 (\ ).  1 1 1  

5p

a) Să se rezolve ecuaţia det( I 3 + xA2 ) = 0, x ∈ \ .

5p

b) Să se determine o matrice B ∈ M3 (\ ) cu proprietatea B 2 = A.

5p

c) Să se arate că ∀C ∈ M 3 (\), ∀x ∈ \, det(C + xA)det(C − xA) ≤ det C

5p

2. Se consideră polinomul p = X 3 − X + m cu m ∈ \ şi cu rădăcinile x1 , x2 , x3 ∈ ^. a) Ştiind că m = −6 , să se determine x1 , x2 , x3 .

5p

2

.

b) Să se calculeze x14 + x24 + x34 . c) Să se determine m ∈ \ pentru care polinomul p are toate rădăcinile întregi.

m Va at ri e

5p

sc u

72

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

72

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 072

x2 + x + 1 . x +1 a) Să se determine ecuaţia asimptotei spre +∞ la graficul funcţiei f. b) Să se calculeze f ′ ( x ) , x ∈ \ \ {−1} .

1. Se consideră funcţia f : \ \ {−1} → \ , f ( x ) =

5p 5p

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ D, MT1,pe programa M1−∞, −1 . c) Să se demonstreze că funcţia -f Proba este concavă intervalul 5p ( )

2. Pentru orice n ∈ `* se consideră funcţia f n : \ → \, f n ( x) =| sin nx | şi numărul I n = ∫ π

∫0 f2 ( x ) dx .

5p

a) Să se calculeze

5p

b) Să se arate că I n ≤ ln 2 .

5p

c) Să se arate că I n ≥

2 1 1 1  + + ... +  . π  n +1 n + 2 2n 

2π π

f n ( x) dx . x


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

73

Varianta 73

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 073 1. Să se calculeze 5 − 12i − 12 + 5i .

5p

2. Se consideră funcţia f : R → R , f ( x ) = x 2 − x 4 . Să se calculeze ( f D f D f D f )(1) .

5p

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 x + 4 x = 20 .

5p

4. Să se determine probabilitatea ca, alegând un element al mulţimii A = {0,5,10,..., 2010} , acesta să fie divizibil cu 25 . 5. Se consideră un triunghi ABC, cu lungimile laturilor AB = c, AC = b şi un punct D astfel încât JJJG JJJG JJJG AD = b AB + c AC. Să se arate că semidreapta [AD este bisectoarea unghiului BAC . 1 π  6. Fie α ∈  , π  astfel încât cos 2α = . Să se calculeze cosα . 2 2 

5p

5p

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

5p 5p 5p

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r o r . Va o n i r t u e n . www

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 073 a b 1. Fie matricea M =   ∈ M 2 (\) . Se asociază fiecărui punct A( x, y ) punctul AM ( x ', y ') , unde c d  x '   a b  x   y '  =  c d  y  .      a) Ştiind că a = 1, b = 2, c = 3, d = 4 şi că A(−1,1) , să se determine coordonatele punctului AM . b) Ştiind că a = 1, b = 2, c = 2, d = 4 , să se arate că toate punctele AM se află pe dreapta y = 2 x. c) Fie A, B, C trei puncte în plan. Dacă se notează cu S şi S M ariile triunghiurilor ABC , respectiv AM BM CM , atunci S M = S ⋅ | det M | .

sc u

73

5p

c) Să se rezolve ecuaţia X 2 = X , cu X ∈ A .

m Va at ri e 5p 5p

 a b c    ˆ   2. Se consideră mulţimea A =  0 a d  | a, b, c, d ∈ ] 2  .  0ˆ 0ˆ a      a) Să se determine numărul elementelor mulţimii A. b) Să se arate că mulţimea A este parte stabilă în raport cu înmulţirea matricelor din M 3( ] 2 ) .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

7

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 073

1. Fie a ∈ \ şi funcţia f : {−1,1} → \ , f ( x ) =

5p

x2 + x + a x2 − 1

.

a) Să se calculeze lim f ( x) x . x →∞

b) Să se determine valoarea numărului ştiind 3 este punct 5p BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - ProbaaD, MT1,căprograma M1 de extrem local al funcţiei f. c) Să se determine valoarea numărului a ştiind că graficul funcţiei f are exact o asimptotă verticală. 5p 2. Se consideră funcţia f 0 : \ → \, f0 ( x) = 1 şi, pentru orice n ∈ `* , se defineşte funcţia f n : \ → \ , x

f n ( x) = ∫ f n−1 (t ) dt . 0

5p 5p 5p

a) Să se arate că f12 ( x) = 2 f 2 ( x), ∀x ∈ \ . xf n ( x) + 1 . b) Să se calculeze lim x →∞ f n +1 ( x ) + 2 c) Să se calculeze volumul corpului obţinut prin rotirea graficului funcţiei g :[0, π] → [0, π] , g ( x) = f1 ( x)sin x în jurul axei Ox .


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

5p 5p 5p 5p 5p 5p

Varianta 74

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 074 1. Să se rezolve în mulţimea numerelor complexe ecuaţia z 2 + 3z + 4 = 0 . 2. Se consideră funcţia f : ( 0, ∞ ) → R , f ( x ) = x − 2m + 2 . Să se determine m ∈ \ astfel încât graficul funcţiei f să nu intersecteze axa Ox. 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 − x + 3 x − 2 = 0 . 4. Să se arate că Caa+b = Cab+b , pentru oricare a, b ∈ `∗ .

5. Să se determine m ∈ \ astfel încât punctele A ( 3, 3) , B ( 2, 4 ) şi C ( 2m, 1 − m ) să fie coliniare. 1 π  6. Fie α ∈  , π  astfel încât cos 2α = − . Să se calculeze sinα . 2 2 

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

74

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

5p 5p

b) Să se verifice relaţia A( A2 + 6 I 3 ) = O3 .

5p

c) Să se arate că det( I 3 + xA2 ) ≥ 0, ∀x ∈ \ .

5p 5p 5p

2. a) b) c)

sc u

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r o r . Va o n i r t u e n . www

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 074  0 1 −1 1. Se consideră matricea A =  −1 0 2  .  1 −2 0    a) Să se calculeze det A .

Se consideră a, b ∈ ] şi polinomul p = X 3 + aX 2 + X + b , cu rădăcinile x1 , x2 , x3 ∈ ^. Ştiind că a = b = 1 , să se afle rădăcinile polinomului p. Să se determine a şi b , ştiind că polinomul p are rădăcina dublă 1. În cazul b = 1 , să se determine valorile lui a pentru care polinomul p are o rădăcină raţională.

m Va at ri e

74

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

74

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 074

2+ x . 2− x a) Să se determine ecuaţiile asimptotelor la graficul funcţiei f. 5p b) Să se studieze monotonia funcţiei f . 5p 1 BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ c) Să se calculeze lim xf   . - Proba D, MT1, programa M1 5p x →∞ x

1. Se consideră funcţia f : ( −2,2 ) → \ , f ( x ) = ln

2

2 t 2 1 2 ex  2. Fie funcţia f : \ → \ , f ( t ) = ∫  − e x  dx şi numerele A = ∫ 2 dx , B = ∫ dx . 1 x 1 x 1 x 

5p 5p

e 4 − e2 , ∀t ∈ \ . 2 b) Să se arate că f ( 2 B − t ) = f ( 2 B + t ) , ∀t ∈ \ .

a) Să se arate că f ( t ) = At 2 − 2 Bt +

2

5p

x 2  2 1   2 e  c) Să se demonstreze că  ∫ dx  ≤  ∫ e 2 x dx   ∫ 2 dx  . 1 1 1 x  x    


Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Varianta 75

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 075 5p 5p

1 şi c = −2 . 16 2. Să se determine valorile parametrului real m ştiind că parabola asociată funcţiei f : \ → \ ,

1. Să se ordoneze crescător numerele a = − 3 27, b = log 2

f ( x ) = x 2 + mx − 2m se află situată deasupra axei Ox .

(

)

x2 + x − 2 = 1 .

5p

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia log 2

5p

4. Se consideră dreptele paralele d1 , d 2 şi punctele distincte A, B, C ∈ d1 , M , N , P, Q ∈ d 2 . Să se determine numărul triunghiurilor care au toate vârfurile în mulţimea celor şapte puncte date. 5. Să se determine coordonatele simetricului punctului A ( −3; 2 ) faţă de mijlocul segmentului [ BC ] ,

5p

5p

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

unde B (1; −4 ) şi C ( −5, −1) .

6. Să se calculeze aria triunghiului ABC în care AM = BC = 4 , unde M este mijlocul lui ( BC ) , iar m ( )AMC ) = 150D .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r o r . Va o n i u ( t) r e n . www

5p

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 075  1 1 1  2 −1 −1 x 1 1. Se consideră matricele A =  −1 2 −1 , B =  1 1 1 şi M x = A + 2 B, cu x ∈ \* .  1 1 1  −1 −1 2  3 3x     a) Să se calculeze produsul AB .

5p

b) Să se arate că M x M y = M xy , ∀x, y ∈ \* .

5p

c) Să se arate că, pentru orice x real nenul, det M x ≠ 0 .

sc u

75

2. Se consideră polinomul p = X 4 − aX 3 − aX + 1, cu a ∈ \ şi cu rădăcinile x1 , x2 , x3 , x4 ∈ ^ . 1 1 1 1 + + + . x1 x2 x3 x4

a) Să se verifice că x1 + x2 + x3 + x4 =

5p

b) Să se arate că polinomul p nu este divizibil cu X 2 − 1 pentru nicio valoare a lui a. 1 c) Să se arate că dacă a = , atunci toate rădăcinile polinomului p au modulul 1. 2

m Va at ri e

5p

5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

75

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 075

5p

1. Se consideră α ∈ \, α > 1 şi funcţia f : (−1, ∞) → \ , f ( x) = (1 + x)α − α x . a) Să se studieze monotonia funcţiei f.

5p

b) Să se demonstreze că (1 + x ) > 1 + αx, ∀x ∈ ( −1, ∞ ) \ {0} , ∀α ∈ (1, ∞ ) .

α

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ 5p c) Să se demonstreze că 2 f ( x + -yProba ) ≤ f (2D,x)MT1, + f (2programa y ), ∀x, y ∈M1 [0, ∞ ) . x . 2. Fie funcţia f : ( −1, ∞ ) → \ , f ( x ) = 1+ x 1

5p

a) Să se calculeze

∫0 f ( x)dx .

5p

b) Să se calculeze

∫1 f

5p

c) Să se arate că şirul (an )n≥1 , dat de an = f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n) − ∫ f ( x) dx , este convergent.

3

2

( x)[ x]dx , unde [ x] reprezintă partea întreagă a numărului real x . n

0


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

76

Varianta 76

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 076

{

}

3 − 2 2 aparţine mulţimii a + b 2 | a, b ∈ Z .

5p

1. Să se verifice dacă numărul

5p

2. Se consideră ecuaţia x 2 − 3 x + 1 = 0 , cu rădăcinile x1 şi x2 . Să se arate că x12 + x22 ∈ `.

5p

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia arctg 3 + arctg x =

5p 5p

2

.

4. Să se arate că oricare ar fi n natural, n ≥ 1 , are loc egalitatea C2nn = 2 ⋅ C2nn−1 . G G G G G G G G 5. Se consideră vectorii u = i − j şi v = 2i + 4 j . Să se calculeze modulul vectorului u + v . 3 α π  6. Fie α ∈  , π  , astfel încât sin α = . Să se calculeze tg . 5 2 2 

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p

π

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r Va ( ) eutrino.ro n . w w w ( )

5p

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 076 1 + a 2 ab ac    1. Se consideră matricea A =  ba 1 + b 2 bc  , cu a, b, c ∈ \ şi A* adjuncta sa.  ca cb 1 + c 2    a) Să se calculeze determinantul matricei A.

5p

b) Să se verifice că det( A* ) = det A .

5p

c) Să se arate că matricea A − I 3 are rangul cel mult 1 .

sc u

76

2

2. Fie ( G ,·) un grup. Pentru fiecare element a ∈ G se defineşte funcţia f a : G → G , f a x = ax, ∀ x ∈ G. 5p 5p

c) Fie F ( G ) = { f a : G → G | a ∈ G}. Să se arate că F ( G ) împreună cu operaţia de compunere a funcţiilor formează un grup.

m Va at ri e

5p

a) Să se arate că f a este bijectivă, pentru orice a ∈ G. b) Să se arate că f a D fb = f ab , ∀a, b ∈ G .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

76

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 076

1. Se consideră funcţia f : ( 0, ∞ ) → \ , f ( x) = x + ln x .

5p 5p

a) Să se arate că graficul funcţiei f nu admite asimptotă spre +∞ . 1  b) Să se arate că ecuaţia f ( x ) = 0 are o soluţie unică x0 ∈  ,1 . e 

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ -x Proba D, MT1, programa M1

5p

c) Să se demonstreze că lim

x → x0

xe − 1 = f ' ( x0 ) , unde x0 este numărul definit la punctul b). x − x0

2. Se consideră şirul ( I n )n≥1 , definit prin I n = ∫ 5p 5p 5p

1 ln 0

a) Să se determine I1 . b) Să se arate că şirul I n este strict descrescător.

( x + 1) dx , oricare ar fi n ∈ ` . n

x +1

c) Să se arate că lim I n = 0 (se consideră cunoscut faptul că ln (1 + t ) ≤ t , ∀t ∈ ( −1, ∞ ) . n→∞


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

77

Varianta 77

5p

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 077 1. Se consideră progresia aritmetică ( an )n≥1 de raţie 2 şi cu a3 + a4 = 8 . Să se determine a1 .

5p

2. Fie f : \ → \, f ( x) = 1 + x. Să se calculeze f (−1) + f (−2) + f (−3) + ... + f (−10).

5p

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 4 x − 2 x = 56.

5p

4. Să se calculeze A43 − A32 − C42 .

5p

JJJG JJJJG 5. Fie ABC un triunghi şi G centrul său de greutate. Se consideră punctul M definit prin MB = −2MC . Să se arate că dreptele GM şi AC sunt paralele. 3  π 6. Fie α ∈  0,  , astfel încât sin α = . Să se calculeze tgα . 4  2

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r o r . Va o n i r( ) t u e n . w w w ( )

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 077  x − y − mz = 1  1. Se consideră sistemul mx + y + mz = 1 − m , m ∈ \.  mx + 3 y + 3z = −1 

sc u

77

5p a) Să se calculeze determinatul matricei sistemului. 5p b) Să se arate că, pentru orice m ∈ \, matricea sistemului are rangul cel puţin egal cu 2. 5p c) Să se determine m ∈ \ pentru care sistemul este incompatibil. 2. Se consideră α > 0 un număr real şi mulţimea Gα = α, ∞ . Pe R se defineşte legea de compoziţie x ∗ y = 3 xy − 6 x + y + 7α.

5p a) Să se arate că pentru α = 2, cuplul ( G2 , ∗) este grup abelian.

(

)

5p b) Să se arate că grupurile G , ∗ şi \* ,· sunt izomorfe, prin funcţia f : G → \* , f ( x) = 3 x − 6 . ( 2 ) + + 2

m Va at ri e

5p c) Să se arate că, pentru orice α ≥ 2 , mulţimea Gα este parte stabilă a lui R în raport cu operaţia „ ∗ ”.

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

77

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 077

1. Se consideră o funcţie f : \ → \ , astfel încât xf ( x) = e x − 1, ∀x ∈ \ . 5p a) Să se determine ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă x = 1 , situat pe graficul funcţiei f. 5p b) Să se arate că funcţia f este continuă în x = 0 dacă şi numai dacă f (0) = 1 . BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ Proba D, MT1, M1 ea este derivabilă pe \ . 5p c) Să se arate că dacă funcţia f -este continuă în programa x = 0 , atunci 2. Se consideră şirul ( I n )n≥1 , I n = ∫ (( x − 1)(2 − x))n dx. 2

1

5p 5p 5p

a) Să se calculeze I1 . b) Să se arate că 2(2n + 1) I n = nI n−1 , oricare ar fi n ∈ ` , n ≥ 2 . c) Să se calculeze lim I n . n→∞


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

78

Varianta 78

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 078

5p

1. Să se calculeze 10lg 7 − 3 343.

5p 5p

2. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale inecuaţia 2 x 2 − 3 x + 1 ≤ 0.

5p 5p

(

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p

3. Să se arate că funcţia f : \ → \, f ( x) = log3 2 x − x este injectivă. 4. Să se calculeze numărul diagonalelor unui poligon convex cu 8 laturi. JJJG JJJG JJJG 2 JJJG JJJG 5. Fie ABCD un paralelogram şi P un punct astfel ca BP = 2 PD. Să se arate că BP = BA + BC . 3 π  π π 6. Fie a, b ∈  − ,  , astfel încât a + b = . Să se arate că tg a tg b + tg a + tgb = 1. 4  2 2

)

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t ( ) n a i r o a r . V o n i r t u e n . w ww

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 078  2 x − 3 y + 4 z − 5t = −1  1. Se consideră sistemul  x + 9 y + mz + t = 3 , m, n, p ∈ \. 5 x − 6 y + 10 z + nt = p 

sc u

V 78

5p

a) Să se determine p astfel încât sistemul să admită o soluţie x0 , y0 , z0 , t0 cu z0 = t0 = 0.

5p 5p

b) Să se arate că, pentru orice m, n ∈ \ , rangul matricei sistemului este mai mare sau egal cu 2. c) Să se determine m, n, p ∈ \ pentru care sistemul este compatibil, iar matricea sistemului are rangul 2. m  2. Fie mulţimea Q 0 =  | m, n ∈ Z, m şi n sunt impare  şi G = Q0 × Z . Pe G se defineşte legea de n  compoziţie ( q1 , k1 ) ∗ ( q2 , k2 ) = ( q1q2 , k1 + k2 ) , ∀ q1 , q2 ∈ Q0 , ∀ k1 , k2 ∈ Z.

5p

a) Să se arate că ( G , ∗) este grup abelian.

b) Să se calculeze (1,1) ∗ (1, 2 ) ∗ ... ∗ (1,10 ) .

5p

c) Să se arate că funcţia f : G → _∗ , f

m Va at ri e 5p

( ( q, k ) ) = q ⋅ 2 k

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

78

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 078

5p 5p 5p

1. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x) = 3 x3 − 3 x + 2 . a) Să se arate că graficul funcţiei f admite asimptotă spre +∞ b) Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei f. c) Să se calculeze lim x(2arctg f ( x) − π).

x →∞ BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1

2. Fie funcţia f : \ → \, f ( x) = π

1 . 3 + cos x

∫03 f ( x )dx .

5p

a) Să se calculeze

5p

b) Să se demonstreze că orice primitivă a funcţiei f este strict crescătoare.

5p

c) Să se calculeze lim x→∞

1 x2

x

∫ f (t )dt . 0

( )

este un izomorfism între grupurile ( G , ∗) şi _∗ ,· .


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

79 5p 5p 5p 5p

Varianta 79

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 079 3  1. Să se arate că  −∞,  ∩ ( log 2 3, ∞ ) = ∅. 2  2. Se consideră funcţia f : \ → \, f ( x) = x 2 − 4 x + 3. Să se determine abscisele punctelor de intersecţie a graficului funcţiei f cu axa Ox. 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia x + 1 − x = 1. 4. Să se determine n ∈ ` , n ≥ 3 , astfel încât Cn3 să dividă Cn3+1 .

5. Fie punctele A (1, 2 ) , B ( −1,3) şi C ( 0, 4 ) . Să se calculeze lungimea înălţimii duse din vârful A al triunghiului ABC.

5p

6. Fie x ∈ \ , astfel încât tg 2 x = 6. Să se calculeze cos 2 x.

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r o r . Va o n i r) t u e n ( . w w w { } [ )

5p 5p

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 079 x + my + 2z = 1  1. Se consideră sistemul  x + ( 2m − 1) y + 3z = 1 , m ∈ \. x + my + ( m − 3) z = 2m − 1  a) Să se determine m ∈ \ pentru care sistemul are soluţie unică. b) Să se determine m ∈ \ pentru care sistemul este compatibil nedeterminat.

5p

c) Pentru m = 1 să se determine soluţiile reale x0 , y0 , z0 ale sistemului pentru care 2 x02 − y02 + 3z02 = 14.

sc u

79

5p

2. Pe mulţimea G = 0,1 se defineşte legea de compoziţie x ∗ y = x + y , unde {a} este partea fracţionară a numărului real a. 2 3 a) Să se calculeze ∗ . 3 4 b) Să se arate că ( G , ∗) este grup abelian.

5p

c) Să se rezolve ecuaţia x ∗ x ∗ x =

m Va at ri e

5p

1 , x ∈G . 2

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

79

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 079

5p

1. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x) = e3 x + 2 x + 1 . a) Să se scrie ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă x = 0 , situat pe graficul funcţiei f. b) Să se arate că funcţia f este inversabilă.

5p 5p BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ programa c) Să se calculeze lim ( f (−1) + -f Proba ( −2) + D, f (MT1, −3) + ... + f (− n)M1 + n2 ) . n→∞

an

2. Se consideră şirul (an )n≥0 definit prin a0 = 1 şi an+1 = ∫ sin πx dx . 0

5p 5p 5p

a) Să se calculeze a1 . b) Să se arate că şirul (an )n≥0 este convergent. c) Să se calculeze lim an . n→∞


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

80 5p

Varianta 80

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 080

(

)(

) (

)

1. Să se calculeze (1 − i ) 1 − i 2 1 − i 3 ... 1 − i 2009 .

5p

2. Se consideră funcţiile f : \ → \, f ( x) = 1 − x şi g : \ → \, g ( x) = 2 x − 1. Să se arate că funcţia f D g este descrescătoare.

5p

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale inecuaţia 2 − x 2 ≥ 1. 4. Să se calculeze numărul funcţiilor injective f : {1,2,3} → {1, 2,3, 4,5} cu proprietatea că f (1) ≠ 1 .

5p

3

5p

5. Să se determine ecuaţia dreptei care trece prin punctul P ( 4, −1) şi este paralelă cu dreapta x − 2 y + 1 = 0.

5p

6. Fie x ∈ \ astfel încât sin x =

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

1 + cos x. Să se calculeze sin 2 x. 2

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

5p 5p 5p

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r o r . Va o n i { utr( ) ( ) } e n . w ww ( )

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 080 1 2 3 4 5 n 1. Fie permutarea σ =  n ∈ `∗ .  ∈ S5 şi mulţimea A = σ 2 3 4 5 1 a) Să se determine numărul inversiunilor lui σ . b) Să se determine numărul elementelor mulţimii A.

{

}

c) Fie τ ∈ S5 astfel încât τσ 2 = σ 2τ . Să se arate că τσ = στ .

sc u

80

2. Fie f : \ → \ o funcţie şi mulţimea H = T ∈ \ | f x + T = f x , ∀ x ∈ \ . a) Să se arate că, dacă T ∈ H , atunci −T ∈ H . b) Să se demonstreze că H este subgrup al grupului \, + .

5p

c) Să se determine mulţimea H pentru funcţia f : \ → \, f ( x ) = { x} .

m Va at ri e

5p 5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

80

5p 5p

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 080

1. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x) = x 2 + 1 . a) Să se studieze monotonia funcţiei f.

b) Să se arate că ( x 2 + 1) f ′′( x) + xf ′( x) = x 2 + 1 , pentru orice x ∈ \ . 5p c) Să se arate că graficul funcţiei f admite asimptotă spre −∞ . BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 2. Se consideră şirul ( I n )n≥1 , I n = ∫

1

nx n

0 xn

+1

dx .

5p

a) Să se calculeze I1 .

5p

b) Să se arate că I n = ln 2 − ∫ ln(1 + x n )dx, ∀n ∈ `* .

5p

c) Să se calculeze lim I n .

1

0

n→∞


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

81 5p

Varianta 81

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 081 1. Să se calculeze partea întreagă a numărului log 2 500.

5p

2. Se consideră ecuaţia x 2 − 2 x + m = 0, m ∈ \, care are rădăcinile reale x1 şi x2 . Ştiind că x1 − x2 = 1, să se determine m.

5p 5p

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3 1 − x = 1 + x .

5p

0 2 4 16 + C16 + C16 + ... + C16 . 4. Să se calculeze C16 5. Să se determine a ∈ \ ştiind că dreptele x + y = 1 şi 3x − ay = 2 sunt paralele.

5p

6. Fie a, b ∈ \ , astfel încât a + b =

π

. Să se arate că sin 2a + sin 2b = 2cos ( a − b ) .

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

2

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

5p 5p 5p

5p

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r o r . Va o n i r t u e n . www

1 1  m   2 1 . M =  1− m  2m + 1 2m + 1 1    a) Să se calculeze det ( M ) .

b) Să se arate că punctele A, B, C sunt coliniare, oricare ar fi m ∈ \ . 15 c) Să se arate că aria triunghiului ABC este mai mare sau egală cu . 32  a b   2. Fie mulţimea de matrice A =   a, b ∈ ] 5  .  −b a  

a) Să se dea un exemplu de matrice nenulă din mulţimea A care are determinantul 0ˆ .  2ˆ 1ˆ   0ˆ 0ˆ  b) Să se arate că există o matrice nenulă M ∈ A astfel încât  ⋅M =  .  −1ˆ 2ˆ   0ˆ 0ˆ      ˆ ˆ  2 1 c) Să se rezolve ecuaţia X 2 =  .  −1ˆ 2ˆ   

m Va at ri e

5p

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 081 1. Fie m ∈ \ şi punctele A ( m,1) , B (1 − m, 2 ) , C ( 2m + 1, 2m + 1) . Se consideră matricea

5p

sc u

81

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

81

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 081

1 x

1. Se consideră funcţia f : \ → \, f ( x) = ( x − 1)e . 5p a) Să se scrie ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă x = 1 , situat pe graficul funcţiei f. BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 b) Să se arate că funcţia admite două puncte de extrem. 5p 5p c) Să se determine ecuaţia asimptotei la graficul funcţiei f spre +∞ . *

2. Se consideră funcţia f :[0; ∞) → \, f ( x ) = ∫ t 3 t 2 + 1 dt . x

0

5p 5p

a) Să se arate că funcţia f este strict crescătoare. b) Să se calculeze f (1) .

5p

c) Să se calculeze lim

x →∞

f ( x) x5

.


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

82

Varianta 82

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 082

5p

1. Să se verifice că numărul 1 + i este rădăcină a ecuaţiei z 4 + 4 = 0.

5p

2. Să se arate că vârful parabolei asociate funcţiei f : \ → \ , f ( x ) = x 2 − 4 x + 9 se află pe dreapta de ecuaţie x + y = 7 .

5p

3. Fie f : {1,2,3} → {4,5,6} o funcţie injectivă. Să se arate că f (1) + f ( 2 ) + f ( 3) = 15. 4. Să se calculeze probabilitatea ca, alegând un număr din mulţimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă ambele cifre impare. JJJG JJJG 5. Se consideră punctele A (1,0 ) , B ( 2,3) şi C ( −1, 4 ) . Să se calculeze AB ⋅ AC.

5p 5p

1 6. Fie a ∈ \ , astfel încât sin a = . Să se calculeze sin 3a. 4

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r o r . Va o n i r t e (u ) n . www

82

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 082

5p 5p 5p

c) Să se rezolve sistemul, ştiind că a ≠ b şi că 1,1,1 este soluţie a sistemului.

sc u

 x + ay + ( b + c ) z = 0  1. Se consideră sistemul de ecuaţii liniare cu coeficienţi reali  x + by + ( c + a ) z = 0 .  x + cy + a + b z = 0 ( )  a) Să se calculeze determinantul matricei sistemului. b) Să se arate că, pentru orice a, b, c ∈ \. , sistemul admite soluţii nenule.

5p

b) Să se arate că (G ,·) este grup abelian.

m Va at ri e

5p

 x iy   x , y ∈ \, x 2 + y 2 ≠ 0  . 2. Se consideră mulţimea G =    iy x   a) Să se demonstreze că G este parte stabilă în raport cu înmulţirea matricelor din M2 ( ^ ) .

5p

( )

 x iy  c) Să se arate că funcţia f : ^∗ , ⋅ → ( G , ⋅) cu f ( x + iy ) =   , ∀x, y ∈ \ este izomorfism de  iy x  grupuri.

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

82

5p 5p

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 082 1. Se consideră şirul (an )n≥0 , definit prin a0 = 3 , an+1 = 2 + an , ∀n ∈ ` .

a) Să se arate că (an )n≥0 este strict crescător. b) Să se arate că şirul (an )n≥0 este convergent. a − an +1 5p . c) Să se calculeze lim n + 2 BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ n→∞ an +1 − an- Proba D, MT1, programa M1

5p 5p 5p

x (sin t + cos t )sin t  π dt . 2. Fie funcţia f :  0,  → ( 0, ∞ ) , f ( x) = ∫ 0  2 cos 2 t π a) Să se calculeze f   . 4 b) Să se arate că funcţia f este strict crescătoare. f ( x) c) Să se calculze lim 2 . x →0 x

x>0


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

83

Varianta 83

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 083 3

(

)

5p

1. Să se arate că numărul

5p

2. Să se determine valorile reale ale lui m ştiind că x 2 + 3x + m ≥ 0, oricare ar fi x ∈ \.

3 aparţine intervalului

2, log 2 5 .

5p

6. Să se arate că tg1D ⋅ tg 2D ⋅ tg 3D ⋅ ... ⋅ tg89D = 1 .

5p

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p

π  π  3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia sin  x +  + cos  − x  = 1 . 6  3  4. Într-o urnă sunt 49 de bile, inscripţionate cu numerele de la 1 la 49. Să se calculeze probabilitatea ca, extrăgând o bilă din urnă, aceasta să aibă scris pe ea un pătrat perfect. G G G G G G 5. Să se determine m ∈ \ ştiind că vectorii u = 2i − 3 j şi v = mi + 4 j sunt perpendiculari.

5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

5p 5p 5p

b) Să se arate că pentru m ∈{0,1} sistemul este incompatibil.

c) Să se arate că dacă ( x0 , y0 , z0 ) ∈ \ 3 este soluţie a sistemului, atunci x0 − y0 + 2009 ⋅ z0 = 1 .  a −b  ˆ ˆ 2. Se consideră mulţimile H = {a 2 | a ∈ Z 7 } şi G =   | a, b ∈ Z7 , a ≠ 0 sau b ≠ 0  . b a    a) Să se determine elementele mulţimii H. ˆ Să se arate că x = y = 0. ˆ b) Fie x, y ∈ H astfel încât x + y = 0. c) Să se arate că G este grup abelian în raport cu operaţia de înmulţire a matricelor.

m Va at ri e

5p 5p 5p

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r o r . Va o n i r t u e n . www

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 083  x − y+ z =1  1. Fie sistemul de ecuaţii liniare  x + (m 2 − m − 1) y + (m + 1)z = 2 , unde m ∈ \.  2 2 x + (m − m − 2) y + 2(m + 1) z = 3 a) Să se demonstreze că sistemul are soluţie unică dacă şi numai dacă m ∈ \ \ {0,1}.

sc u

83

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

83

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 083

x +1 . x −1 5p a) Să se arate că dreapta de ecuaţie x = 1 este asimptotă verticală la graficul funcţiei f . b) Să se arate că graficul funcţiei f admite asimptotă spre +∞ . 5p c) Să se studieze derivabilitatea funcţiei f. 5p BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 π 1 2. Se consideră funcţiile f n :  0,  → \, f n ( x) = , n ∈ `* . n n 2   cos x + sin x

1. Se consideră funcţia f : \ \ {1} → \, f ( x) = x

π 2 0

1 dx . f1 ( x)

5p

a) Să se calculeze

5p

π 2 b) Să se arate că, dacă F este o primitivă a funcţiei f 4 , atunci F ′′( x) = ( f 4 ( x) ) sin 4 x, ∀x ∈ 0,  .  2

5p

c) Să se arate că

π 2 sin 3 x f ( x ) dx 1 0

π

= ∫ 2 cos3 x f1 ( x)dx = 0

π −1 . 4


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

84

Varianta 84

5p

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 084 1. Fie z ∈ ^. Să se arate că dacă 2 z + 3 z ∈ \, atunci z ∈ \.

5p

2. Să se determine funcţia de gradul al doilea al cărei grafic conţine punctele ( 0,4 ) , (1, −2 ) şi ( −1,1) .

5p

3. Se se arate că funcţia f : ( 0, ∞ ) → (1,3) , f ( x ) =

5p

4. Să se determine numerele naturale n , n ≥ 5 , astfel încât Cn3 = Cn5 . JJJG JJJG JJJG JJJG G 5. Se consideră punctele A, B, C , D astfel încât AB = CD. Să se arate că AC + DB = 0. 6. Fie a, b ∈ \ , astfel încât a − b = π . Să se arate că are loc relaţia cos a ⋅ cos b ≤ 0.

5p

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p

x+3 este bijectivă. x +1

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r o r . Va o n i r t u e n . www

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 084

 x + 2 y − 3z = 3  1. Se consideră sistemul de ecuaţii liniare 2 x − y + z = m , unde m, n ∈ \.  nx + y − 2 z = 4 

sc u

84

5p 5p

a) Să se determine m şi n pentru care sistemul admite soluţia x0 = 2, y0 = 2, z0 = 1 . b) Să se determine n ∈ \ pentru care sistemul are soluţie unică. c) Să se determine m şi n pentru care sistemul este compatibil nedeterminat.  1ˆ a b      2. Se consideră mulţimea G =  0ˆ 1ˆ 0ˆ  a, b ∈ Z3  .  0ˆ 0ˆ 1ˆ      a) Să se determine numărul de elemente ale mulţimii G. b) Să se arate că G este grup în raport cu operaţia de înmulţire a matricelor din M3 (Z3 ) .

5p

c) Să se arate că X 3 = I 3 , oricare ar fi X ∈ G .

m Va at ri e

5p 5p 5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

84

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 084

1. Se consideră funcţia f : \* → \, f ( x) =

ex . x

5p a) Să se studieze monotonia funcţiei f . 5p b) Să se determine asimptotele graficului funcţiei f . 5p BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ programa M1 . c) Să se calculeze lim n 2 ( f ( n ) -−Proba f ( n +D, 1) )MT1, n→∞

x

2. Se consideră funcţia f : \ → \, f ( x) = ∫ e−t (t 2 − 3t + 2)dt . 0

5p 5p

a) Să se arate că f (1) > 0 . b) Să se arate că funcţia f admite două puncte de extrem.

5p

c) Să se calculeze lim

x →0

f ( x) + f (− x) x2

.


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

5p 5p 5p 5p 5p 5p

Varianta 85

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 085

(

)

1. Fie z ∈ ^. Să se arate că numărul i z − z este real. 2. Să se determine m ∈ \ pentru care parabola asociată funcţiei f : \ → \ , f ( x ) = x 2 + ( m + 1) x + m este tangentă la axa Ox. 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia x + 1 = 5 − x . 4. Câţi termeni ai dezvoltării (1 + 2 ) sunt divizibili cu 14? 7

JJJG JJJG 5. Fie ABC un triunghi echilateral de arie 3. Să se calculeze AB ⋅ AC. 3π . Să se arate că sin 2a − sin 2b = 0. 6. Fie a, b ∈ \ , astfel încât a + b = 2

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

85

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b ( ) iante o r . Var o n i r t u e n . ww w )

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 085

 2x + y + z = 0  1. Fie A matricea coeficienţilor sistemului  3 x − y + mz = 0 , unde m ∈ \. − x + 2 y + z = 0 

5p 5p 5p

a) Să se calculeze det A .

b) Să se determine m ∈ \ astfel încât sistemul să admită soluţii nenule. z02 + y02 + x02

c) Să se arate că, dacă m = 0 , atunci expresia

2. Se consideră a, b ∈ \ şi polinomul f = X 4 − 4 X 3 + 6 X 2 + aX + b , care are rădăcinile complexe x1 , x2 , x3 , x4 . a) Să se determine a şi b ştiind că f are rădăcina i.

m Va at ri e 5p 5p

este constantă, pentru orice soluţie

z02 − y02 − x02

nenulă ( x0 , y0 , z0 a sistemului.

5p

sc u

V 85

b) Să se calculeze ( x1 − 1) + ( x2 − 1) + ( x3 − 1) + ( x4 − 1) . c) Să se determine valorile reale ale numerelor a şi b ştiind că toate rădăcinile polinomului f sunt reale. 2

2

2

2

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

85

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 085

5p 5p

1. Se consideră funcţia f : \* → \, f ( x) = e x . a) Să se determine asimptotele la graficul funcţiei f . b) Să se determine punctele de inflexiune ale graficului funcţiei f.

1

c) Să se calculeze lim x 2 ( f ( x +-1Proba . ) − f ( xD,) )MT1, BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ programa M1 5p x →∞ π

2. Fie şirul ( I n )n≥1 definit prin I n = ∫ 4 tg 2n tdt , n ∈ `* . 0

5p 5p 5p

a) Să se calculeze I1 . 1 , pentru orice n ∈ `∗ . 2n + 1 c) Să se arate că şirul ( I n )n≥1 este convergent la 0.

b) Să se arate că I n+1 + I n =


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

86

Varianta 86

5p

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 086 1 + 3i 1 − 3i 1. Să se arate că numărul este real. + 1 − 3i 1 + 3i

5p

2. Numere reale a şi b au suma 5 şi produsul 2. Să se calculeze valoarea sumei

5p

π π   3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia sin  x +  = cos  x −  . 3 6  

5p

4. Câte elemente ale mulţimii A = x x = C 7k , k ∈ `, k ≤ 7 sunt divizibile cu 7?

{

a b + . b a

}

JJJG JJJG JJJG 5. Fie ABCD un dreptunghi cu AB = 3 şi AD = 6. Să se calculeze modulul vectorului AB + AC + AD .

5p

6. Să se calculeze suma cos1D + cos 2D + cos3D + ... + cos179D .

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar SUBIECTUL II (30p) – Varianta 086  x + ay + ( a + b ) z = a + b  1. Se consideră sistemul  x + a 2 y + (a 2 + b 2 ) z = a 2 + b 2 , unde a, b ∈ \ .  3 3 3 3 3  x + a y + (a + b ) z = a + b

5p 5p 5p

a) Să se calculeze determinantul matricei sistemului. b) Să se determine a, b ∈ \ astfel încât sistemul să fie compatibil determinat. c) Să se arate că, pentru orice valori rele ale parametrilor a şi b sistemul are soluţie. 2. Se consideră polinomul f = 2ˆ X + 1ˆ ∈ ] 4 X .

5p 5p

a) Să se determine gradul polinomului f 2 .

b) Să se arate că polinomul f este element inversabil al inelului ( ] 4 [ X ] , +, ⋅) .

c) Să se determine toate polinoamele g ∈ ] 4 [ X ] de gradul 1 cu proprietatea că g 2 = 1ˆ .

m Va at ri e

5p

sc u

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r o r . Va o n i r t u e n . www [ ]

86

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

86

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 086

1. Se consideră funcţia f : \ − {−1} → \, f ( x) =

x3 − 1

. x3 + 1 5p a) Să se scrie ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă x = 0 , situat pe graficul funcţiei f. 5p b) Să se determine asimptotele graficului f . BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D,funcţiei MT1, programa M1 n2

5p

3  c) Să se calculeze lim  f (2) f (3)... f (n)  . n→∞  2  π

2. Se consideră şirul ( I n )n≥1 , I n = ∫ 2 sin n x dx . 0

5p 5p

a) Să se calculeze I 2 . b) Să se arate că nI n = (n − 1) I n− 2 , ∀n ≥ 3 .

5p

c) Să se calculeze lim

π

3 sin n n→∞ 0

xdx .


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Varianta 87

5p

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 087 1. Fie z ∈ ^ o rădăcină de ordin 3 a unităţii, diferită de 1. Să se calculeze 1 + z + z 2 .

5p

2. Să se determine soluţiile întregi ale inecuaţiei x 2 + x − 6 ≤ 0 .

5p 5p 5p

3. Fie funcţia f : (1, ∞ ) → ( 2, ∞ ) , f ( x ) = x 2 + 1 . Să se arate că funcţia f este bijectivă. 4. Câte numere naturale de la 1 la 100 sunt divizibile cu 6 şi cu 8? JJG G G JJG G G 5. Să se determine a ∈ \ pentru care vectorii v 1 = ai + ( a + 1) j şi v 2 = 3i + 5 j sunt coliniari. 6. Triunghiul ABC are laturile AB = 3 , BC = 5 şi AC = 7 . Să se calculeze lungimea razei cercului înscris în triunghiul ABC.

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b ( ) nte i Var a ( ) eutrino.ro n . w w } w() {

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 087 1. Fie matricea A∈ M3 ( \ ) , care are toate elementele egale cu 1.

sc u

V 87 5p

a) Să se demonstreze că A2 = 3 A.

5p

b) Să se calculeze det I 3 + A3 .

5p

c) Să se demonstreze că dacă B ∈ M3 \ este o matrice cu proprietatea AB = BA, atunci suma elementelor de pe fiecare linie şi de pe fiecare coloană ale lui B este aceeaşi. 1 3 2. Fie ε = − + i şi _ ε = a + bε a, b ∈ _ . 2 2

5p

a) Să se arate că ε 2 ∈ _ ( ε ) .

5p

b) Să se demonstreze că inversul oricărui element nenul din _ ( ε ) aparţine mulţimii _ ( ε ) .

5p

c) Să se arate că mulţimea M = a 2 − ab + b 2 a, b ∈ ] este parte stabilă a lui ] în raport cu înmulţirea.

m Va at ri e

{

}

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

87

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 087

(

)

1. Se consideră funcţia f : \ → \, f ( x) = ln x + 1 + x 2 .

5p 5p

a) Să se arate că funcţia f este strict crescătoare.

b) Să se studieze convergenţa şirului ( xn )n≥1 definit prin x1 = 1 şi xn+1 = f ( xn ) , ∀n ∈ `∗ .

5p c) Să se demonstreze că f ( x + 1-) − f ( x )D, ≤ 1, ∀x ∈ \. BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ Proba MT1, programa M1 2. Se consideră funcţiile f , g : ( 0,3) → \, f ( x ) = 5p 5p 5p

a) Să se calculeze b) Să se arate că

∫1 ( 3 − x ) f ( x )dx . e

∫1 f ( x )dx = ∫1 g ( x )dx . 2

2

c) Să se arate că lim ∫ f ( x ) dx = +∞ . 1

t 20 t

ln ( 3 − x ) ln x şi g ( x ) = , ∀x ∈ ( 0,3) . 3− x x


Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Varianta 88

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 088 5p

1. Să se ordoneze crescător numerele a = lg 2 − lg 20 , b = C32 − C42 şi c = − 3 4 4 .

5p

2. Să se determine a ∈ \ ştiind că distanţa de la vârful parabolei de ecuaţie y = x 2 + 2 x + a la axa Ox este egală cu 1.

5p

3. Numerele reale x şi y verifică egalitatea arctg x + arctg y =

5p

2 3 4. Să se arate că numărul An , n ∈ `, n ≥ 3 este divizibil cu 3.

. Să se arate că x ⋅ y = 1 .

5. Punctele E , F , G , H sunt mijloacele laturilor [ BC ] , [ DA] , [ AB ] , respectiv [CD ] ale patrulaterului JJJG JJJG JJG ABCD . Să se demonstreze că EF + HG = CA . 3  3π  6. Să se calculeze tg x , ştiind că x ∈  , π  şi sin 2 x = − . 4 5  

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p 5p

π

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar SUBIECTUL II (30p) – Varianta 088 1 −1  2   1. Fie m ∈ \ şi A =  −1 m −1 ∈ M3 ( \ ) .  3m + 4 1 0    5p a) Să se calculeze det ( A ) . 5p b) Să se determine m ∈ \ astfel încât matrice A să fie inversabilă. 5p c) Să se determine m ∈ \ astfel încât A−1 = A∗ .

sc u

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r o r . Va o n i r t u e n . w( w) w

88

2. Se consideră corpul ] 3 , +, ⋅ şi polinoamele f , g ∈ ] 3 , f = X 3 − X , g = X 3 + 2ˆ X + 2ˆ . 5p a) Să se determine rădăcinile din ] 3 ale polinomului f. 5p b) Să se arate că polinomul g este ireductibil în ] 3 [ X ] .

m Va at ri e

5p c) Să se determine toate polinoamele h ∈ ] 3 [ X ] de gradul trei, astfel încât h ( x ) = g ( x ) , oricare ar fi x ∈ ] 3 .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

88

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 088 1. Se consideră funcţia f : \ → \, f ( x) = arctg x . 5p a) Să se scrie ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă x = 1 , situat pe graficul funcţiei f. x − f ( x) 5p b) Să se calculeze lim . 3 x →0 x BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 5p c) Să se arate că funcţia g : \ → \, g ( x) = ( x − 1) f ( x) admite exact un punct de extrem. 1

2. Se consideră şirul ( I n )n≥1 , I n = ∫ x n sin x dx . 0

5p 5p

a) Să se calculeze I1 .

5p

c) Să se demonstreze că I 2n + 2n ( 2n − 1) I 2 n− 2 = 2n sin1 − cos1, ∀n ≥ 2 .

b) Să se arate că şirul ( I n )n≥1 este convergent.


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

89

Varianta 89

5p

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 089 1. Să se determine numerele complexe z care verifică relaţia z + 3 i = 6 ⋅ z .

5p

2. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 1 − 2 x = x + 4 .

5p

3. Să se determine imaginea funcţiei f : \ → \ , f ( x ) =

5p

x

. 1 + 4 x2 4. Să se determine numărul funcţiilor strict monotone f : {1,2,3} → {5,6,7,8} .

5p

5. Să se demonstreze că pentru orice punct M din planul paralelogramului ABCD are loc egalitatea JJJG JJJJG JJJG JJJJG MA + MC = MB + MD .

5p

6. Fie a şi b numere reale, astfel încât a + b =

π

. Să se arate că sin 2a − sin 2b − sin ( a − b ) = 0 .

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

3

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r o r . Va o n i r t u e n . www [ ]

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 089

5p 5p

 x1 − x2 = a  , unde a, b ∈ \. 1. Se consideră sistemul de ecuaţii liniare  x3 − x4 = b x + x + x + x = 1 3 4  1 2 a) Să se arate că, pentru orice valori ale lui a şi b, sistemul este compatibil. b) Să se determine a, b ∈ \ astfel încât sistemul să admită o soluţie ( x1 , x2 , x3 , x4 ) cu proprietatea că

5p

x1 , x2 , x3 , x4 şi x1 + x2 sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. c) Să se demonstreze că, dacă sistemul are o soluţie cu toate componentele strict pozitive, atunci a + b< 1.

sc u

89

2. Fie polinomul f = X 3 − 3 X 2 + 5 X + 1∈ \ X şi x1 , x2 , x3 ∈ ^ rădăcinile sale. a) Să se calculeze (1 − x1 )(1 − x2 ) (1 − x3 ) .

5p

b) Să se arate că polinomul f nu are nicio rădăcină întreagă.

m Va at ri e

5p 5p

c) Să se calculeze x12 x2 + x12 x3 + x22 x1 + x22 x3 + x32 x1 + x32 x2 .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

89

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 089

 1 1. Pentru fiecare a > 0 se consideră funcţia f a : (0; ∞) → \, f a ( x ) = ( x + a ) ln  1 +  . x  5p ′ a) Să se calculeze f a ( x), x > 0 . 5p b) Să se determine a astfel încât funcţia f a să fie convexă. 5p c) Să se arate că graficul funcţiei- Proba f a admite asimptotă spre M1 +∞ . BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ D, MT1, programa

2. Se consideră şirul ( I n )n≥1 , I n = ∫

π 2 cos n x 0

dx .

5p 5p

a) Să se calculeze I 2 .

5p

c) Să se demonstreze că şirul ( I n )n≥1 este convergent.

b) Să se arate că nI n = ( n − 1) I n− 2 , ∀n ≥ 3 .


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

90 5p

Varianta 90

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 090 1. Se consideră progresia aritmetică ( an )n≥1 cu raţia 3. Ştiind că suma primilor 10 termeni ai progresiei este 150, să se determine a1.

5p

2. Să se determine toate perechile (a, b) de numere reale pentru care a 2 + b 2 = a + b = 2 .

5p

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia lg x + lg ( 9 − 2 x ) = 1.

5p 5p

4. Să se determine probabilitatea ca, alegând un număr din mulţimea {1, 2,3,...,100} , acesta să nu fie divizibil cu 7. 5. Se consideră punctele A ( 0, 2 ) , B (1, −1) şi C ( 5,1) . Să se determine ecuaţia dreptei duse din vârful A, perpendiculară pe dreapta BC. 2π 4π 6π 8π 6. Să se arate că 1 + cos + cos + cos + cos = 0. 5 5 5 5

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

5p 5p 5p

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r Va { eu}trino{.ro } n . w w w

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 090 1. Fie M mulţimea matricelor de ordin 3 cu elemente reale având proprietatea că suma elementelor fiecărei linii este 0. a) Să se arate că, dacă A, B ∈ M , atunci A + B ∈ M . b) Să se arate că orice matrice din M este neinversabilă.

sc u

90

5p

b) Să se arate că ]  2  ∩ ]  3  = ] .

5p

c) Să se demonstreze că nu există morfisme de inele de la ]  2  la ]  3  .

m Va at ri e

5p

c) Să se demonstreze că, dacă A ∈ M , atunci A2 ∈ M . 2. Se consideră inelele ]  2  = a + b 2 a, b ∈ ] şi ]  3  = a + b 3 a, b ∈ ] . a) Să se arate că, dacă x ∈ \ şi x 2 = 3 + 2 2 , atunci x ∈ ]  2  .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

90

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 090

1. Se consideră funcţiile f n : ( 0; ∞ ) → \, f n ( x ) = x n + ln x, n ∈ `* .

5p

a) Să se determine asimptotele graficului funcţiei f1 .

5p

b) Să se demonstreze că funcţiile g n : (0, ∞) → \, g n ( x) = f n ( x) + f n

( 1x ) sunt convexe.

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ D, MT1, programa 5p c) Admitem că ecuaţia f n ( x) = 2-nProba are soluţia unică xn . Să M1 se arate că şirul ( xn ) n≥1 converge la 2 .

2. Fie a ∈ [0,1] şi I n = ∫

tn dt , n ∈ `* . 0 t +1 a

5p

a) Să se calculeze I 2 .

5p

b) Să se demonstreze că I n + I n−1 =

5p

c) Să se arate că lim I n = 0 . n→∞

an , ∀n ≥ 2 . n


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

91

Varianta 91

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 091

(

2 −1+ i

(

))

2 +1

2

5p

1. Să se calculeze modulul numărului complex z =

5p

2. Să se determine numerele reale x şi y ştiind că x + 2 y = 1 şi x 2 − 6 y 2 = 1.

5p

3. Să se arate că funcţia f : \ → \, f ( x ) = x 2 + x + 1 nu este injectivă.

5p

3 − C93 . 4. Să se calculeze C10

.

JJJG JJJG JJJG JJJG 5. Fie ABCD un paralelogram. Ştiind că vectorii AB + AD şi AB − AD au acelaşi modul, să se arate că ABCD este dreptunghi.

5p

6. Să se arate că sin 40D ⋅ sin140D = cos 2 130D .

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r o Va ( u) trino.r e n . w ww

5p

a) Să se determine x ∈ \ ştiind că A2 = 5 A .

5p

b) Pentru x = 2 să se calculeze A2009 .

5p

c) Să se determine x ∈ \ pentru care rang A + At = 1 .

5p

2. Fie a, b, c ∈ \ şi polinomul f = 2 X 4 + 2(a − 1) X 3 + (a 2 + 3) X 2 + bX + c . a) Să se determine a, b, c , ştiind că a = b = c , iar restul împărţirii lui f la X + 1 este 10.

5p 5p

b) Ştiind că x1 , x2 , x3 , x4 ∈ ^ sunt rădăcinile lui f, să se calculeze x12 + x22 + x32 + x42 . c) Să se determine a, b, c ∈ \ şi rădăcinile polinomului f în cazul în care f are toate rădăcinile reale.

sc u

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 091  1 2 1. Se consideră matricea A =   , unde x ∈ \ .  x 4

m Va at ri e

91

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

91

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 091

2 x3

1. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x) =

5p 5p

. x2 + 1 a) Să se arate că graficul funcţiei f admite asimptotă spre +∞ . b) Să se arate că funcţia f este inversabilă. 1

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 x x

5p

c) Să se calculeze lim ( f (e )) . x →∞

2. Fie funcţiile F , f : \ → \ , f ( x ) = esin

2

x

x

, F ( x) = ∫ f (t )dt . 0

5p

a) Să se demonstreze că funcţia F este strict crescătoare.

5p

b) Să se calculeze

5p

c) Să se calculeze lim

π

∫02 cos 2xF ( x )dx . F ( x) . x →0 x


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

5p 5p 5p 5p 5p

5p

Varianta 92

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 092 1. Numerele reale pozitive a,b,c,d sunt în progresie geometrică. Ştiind că d − a = 7 şi c − b = 2 , să se determine raţia progresiei. 2. Să se determine valorile reale nenule ale lui m ştiind că mx 2 + x − 2 ≤ 0 , oricare ar fi x ∈ \. π 1  3. Să se rezolve în intervalul (0,5) ecuaţia sin  2 x +  = − . 6 2  0 2 4 6 8 4. Să se determine numărul n = C10 − C10 + C10 − C10 + C10 . G G G G G G 5. Să se determine a ∈ \ pentru care vectorii u = ( a − 1) i − ( 2a + 2 ) j şi v = ( a + 1) i − j sunt perpendiculari. 1  3π  6. Fie α ∈  π ,  astfel încât cos α = − . Să se calculeze sin 2α . 2  3 

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

92

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r o r . Va o n i r t u e n . [ ] www

5p 5p

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 092  1 1 t t 1. Fie matricea A =   şi mulţimea G = { X ∈ M2 ( \ ) | AXA = O2 } , unde A este transpusa  −1 −1 matricei A. a) Să se arate că dacă X , Y ∈ G , atunci X + Y ∈ G. b) Să se arate că, dacă X ∈ G , atunci suma elementelor lui X este egală cu 0.

5p

c) Să se arate că dacă X ∈ G şi det X = 0 , atunci X n ∈ G pentru orice n ∈ `*.

sc u

92

2. Se consideră polinomul f = X 4 − 6 X 3 + 18 X 2 − 30 X + 25 ∈ ^ X . a) Să se arate că polinomul f se divide cu X 2 − 2 X + 5 . b) Să se arate că polinomul f nu are nicio rădăcină reală. c) Să se arate că rădăcinile polinomului f au acelaşi modul.

m Va at ri e

5p 5p 5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

92

5p 5p

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 092 1. Se consideră funcţia f : (1; ∞ ) → \, f ( x ) = ln ( ln x ) .

a) Să se determine ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă x = e , situat pe graficul funcţiei f. b) Să se demonstreze că funcţia f este concavă.

f ( x + 1) −- Proba f ( x) D, MT1, programa M1 BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ . c) Să se calculeze lim 5p x →∞

f ′( x)

2. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x) = 5p

a) Să se calculeze

π 2

cos x

1 + sin 2 x

.

f ( x) dx .

0

5p

 π b) Să se arate că orice primitivă a funcţiei f este strict crescătoare pe intervalul 0;  .  2

5p

c) Să se calculeze

∫0

xf ( x)dx .


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

93

Varianta 93

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 093

5p 5p

1. Să se calculeze modulele rădăcinilor complexe ale ecuaţiei z 2 + 2 z + 4 = 0. 2. Să se determine funcţiile de gradul întâi f : \ → \ , care sunt strict crescătoare şi îndeplinesc condiţia f ( f ( x)) = 4 x + 3 , oricare ar fi x ∈ \ .

5p 5p

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 = 12 . 4. Care este probabilitatea ca, alegând un număr din mulţimea numerelor naturale de la 1 la 1000, acesta să fie cub perfect? 5. Se consideră punctele A (1, 2 ) şi B ( 3,4 ) . Să se calculeze distanţa de la originea axelor la dreapta AB.

5p

x+1 +4 2

6. Să se determine α ∈ ( 0, 2π ) astfel ca tg α = sin α .

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p

x

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar SUBIECTUL II (30p) – Varianta 093  1 0 1. Se consideră matricea A =   ∈ M2 ( \ ) . 2 1

5p

a) Să se calculeze A3 .

5p

b) Să se determine A ⋅ At

5p

c) Să se rezolve ecuaţia X 2 = A, X ∈ M2 \ .

−1

.

sc u

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r ( ) o r . Va o n i (e ) utr n . [ ] www

93

2. Fie a, b ∈ \ şi polinomul f = X 30 − 3 X 20 + aX 10 + 3 X 5 + aX + b ∈ \ X . a) Să se arate că restul împărţirii polinomului f la X + 1 nu depinde de a .

5p

b) Să se determine a şi b astfel încât restul împărţirii polinomului f la X 2 − X să fie X .

5p

c) Să se determine a şi b astfel încât polinomul f să fie divizibil cu ( X − 1)2 .

m Va at ri e

5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

93

5p 5p 5p

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 093

1. Pentru fiecare t ∈ \ , se consideră funcţia ft : \ → \ , ft ( x) = x3 + t 2 x . a) Să se calculeze ft′( x), x ∈ \ . b) Să se arate că fiecare funcţie ft este inversabilă.

c) Să se arate că funcţia g : \ → \, g ( t ) = ft −1 (1) este continuă în punctul 0.

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 x

2. Fie funcţia f : \ → \, f ( x) = ∫ (t 2 + 1) | t | dt . 0

5p 5p 5p

a) Să se calculeze f (1) . b) Să se arate că f este funcţie impară. f ( x + 1) − f ( x) c) Să se calculeze lim . x →∞ x2 x


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

94

Varianta 94

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 094

5p

 (1 − 2i )( 3i − 1)  1. Să se calculeze   . 5  

5p

2. Să se arate că funcţia f : ( −1,1) → \, f ( x) = ln

5p

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 5 x + 5 − x = 2.

5p

4. Care este probabilitatea ca, alegând un număr din mulţimea numerelor naturale de trei cifre, prima sa cifră să fie număr prim? JJJG JJJJG 5. Fie ABC un triunghi şi O centrul cercului circumscris lui. Ştiind că BO = OC , să se arate că triunghiul ABC este dreptunghic. 6. Fie α ∈ \ , astfel încât sin α + cos α = 1. Să se calculeze tg 2α .

4

5p

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p

1− x este impară. 1+ x

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

5p 5p

5p

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r o r . Va o n i r t u e n . www

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 094 a a −b ∗ b 1. Fie a, b, c ∈ \ şi matricea A =  0 0 0  a) Să se arate că A este matrice inversabilă.  a n a n − bn  bn b) Să se demonstreze că An =  0  0 0  c) Să se calculeze A−1 .

a − b b−c. c 

an − bn   b n − c n  , oricare ar fi n ∈ `∗ . cn  

(

sc u

94

)

2. Fie f ∈ \ [ X ] un polinom astfel încât f X 2 + 3 X + 1 = f 2 ( X ) + 3 f ( X ) + 1 şi f ( 0 ) = 0. a) Să se determine f (−1). b) Să se determine restul împărţirii polinomului f la X − 5. c) Să se demonstreze că f = X .

m Va at ri e

5p 5p 5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

94

5p 5p 5p

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 094

1. Se consideră funcţiile f n :[0; ∞ ) → \, f n ( x) = x n +1 − (n + 2) x + n, n ∈ `* . a) Să se arate că graficele funcţiilor f n nu admit asimptotă spre +∞ .

b) Să se arate că, pentru oricare n ∈ `∗ , f n are exact un punct de extrem xn . 2

c) Să se calculeze lim xnn , unde- Proba xn esteD,definit la punctul b). BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ MT1, programa M1 n→∞

2. Se consideră şirul ( I n )n≥1 , I n = ∫

1

x 2n

0 1 + x2

5p

a) Să se calculeze I1 .

5p

b) Să se arate că I n+1 + I n =

5p

c) Să se calculeze lim I n . n→∞

dx .

1 , ∀n ≥ 1 . 2n + 1


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

95

Varianta 95

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 095 10 . 2 −1

5p

1. Să se calculeze partea întreagă a numărului

5p

2. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia x +

5p

3. Să se studieze monotonia funcţiei f : ( 0, ∞ ) → \, f ( x ) = 2009 x + log 2009 x . 4. Care este probabilitatea ca, alegând un număr din mulţimea numerelor naturale de trei cifre, produsul cifrelor sale să fie impar? G G G G G G 5. Să se demonstreze că vectorii u = 3i + a j şi v = ( a + 1) i + a j nu pot fi perpendiculari pentru nicio valoare reală a numărului a.

5p 5p

6. Să se arate că sin x + sin 3 x + sin 5 x = (1 + 2 cos 2 x ) ⋅ sin 3x, oricare ar fi x ∈ \.

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p

1 = 1. 1+ x

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

5p 5p 5p

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b t n (e ) a i r o r . Va o n i r t u e n . www

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 095

sc u

95

1. Se consideră n ∈ `* şi matricea An ∈ Mn (\) , care are elementele de pe diagonala principală egale cu 2 şi restul elementelor egale cu 1. a) Să se calculeze det ( 2A2 ) . b) Să se determine x ∈ \ pentru care det A3 + xI 3 = 0 .

c) Să se arate că A4 are inversă, aceasta având elementele de pe diagonala principală egale cu

4 şi restul 5

1 elementelor egale cu − . 5

2. Fie a, b, c ∈ \ şi polinomul f = X 3 − aX 2 + bX − c ∈ \ [ X ] cu rădăcinile x1 , x2 , x3 ∈ ^. a) Să se determine a, b, c pentru care x1 = 2 şi x2 = 1 + i .

5p

b) Să se arate că resturile împărţirii polinomul f la ( X − 1)2 şi la ( X − 2) 2 nu pot fi egale, pentru nicio valoare a parametrilor a, b, c. c) Să se arate că, dacă toate rădăcinile polinomului f sunt reale şi a, b, c sunt strict pozitive, atunci x1 , x2 , x3 sunt strict pozitive.

m Va at ri e

5p

5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

95

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 095

1 . 1. Fie funcţiile f : \ → \, f ( x) = arctg x şi g : \ → \, g ( x) = f ( x + 1) − f ( x) − f    1 + x + x2  5p a) Să se arate că graficul funcţiei f admite asimptotă spre +∞ . 5p b) Să se arate că g ( x) = 0, ∀x ∈ \ . 1 1 1 1   BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ MT1, programa M1 5p c) Să se calculeze +D, + arctg + ... + arctg lim  arctg - Proba arctg . 2 2 2 n→∞  1+1+1 1+ 2 + 2 1+ 3 + 3 1 + n + n2 

2. Se consideră şirul ( I n )n≥1 , I n = ∫ e− x x n dx . 1

0

5p

a) Să se calculeze I1 .

5p

b) Să se arate că I n = nI n −1 −

5p

c) Să se calculeze lim I n. n→∞

1 , pentru orice n ≥ 2 . e


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

96

Varianta 96

5p

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 096 1. Fie a,b,c numere naturale nenule în progresie geometrică. Ştiind că a + b + c este un număr par, să se arate că numerele a,b,c sunt pare.

5p

2. Fie funcţia f : \ → \, f ( x ) = x 2 + 3 x + 2. Să se arate că f ( a ) + f ( a + 1) ≥ 0, oricare ar fi a ∈ \.

5p 5p

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale inecuaţia log 2 x + log 4 x > 3 .

5p

1 6. Fie ABC un triunghi cu sin A = , sin B = 1 şi BC = 4. Să se calculeze aria triunghiului ABC. 2

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p

4. Să se determine numerele naturale n, n ≥ 2 , pentru care C1n + Cn2 = 120 . G G G G G G 5. Să se arate că unghiul vectorilor u = 2i − a j şi v = i + j este obtuz dacă şi numai dacă a > 2.

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n ( ) ( ) a i r o r . Va( ) o ( ) utrin e n . w [ ] ww

5p

a) Să se verifice că A2 − tr ( A) ⋅ A + (det A) ⋅ I 2 = 02 .

5p

b) Să se demonstreze că, dacă tr A = 0, atunci A2 B = BA2 , pentru orice matrice B ∈ M2 \ .

5p

c) Să se arate că dacă tr A ≠ 0 , B ∈ M2 \ şi A2 B = BA2 , atunci AB = BA .

5p 5p 5p

2. Fie a, b ∈ \ şi polinomul f = X 4 − 6 X 3 + 13 X 2 + aX + b ∈ \ X . a) Să se calculeze suma pătratelor celor 4 rădăcini complexe ale polinomului f. b) Să se determine a, b astfel încât polinomul f să fie divizibil cu ( X − 1)( X − 3). c) Să se determine a, b astfel încât polinomul f să aibă două rădăcini duble.

sc u

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 096 a b 1. Pentru orice matrice A =   ∈ M2 ( \ ) se notează tr ( A ) = a + d . c d

m Va at ri e

96

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

96

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 096

1. Fie mulţimea A = \ \ {1, 2,3,...,2009} şi funcţia f : A → \, f ( x) =

5p 5p

1 1 1 1 + + + ... + . x −1 x − 2 x − 3 x − 2009

a) Să se determine asimptotele graficului funcţiei f .

b) Ştiind că a ∈ \∗ , să se determine numărul soluţiilor reale ale ecuaţiei f ( x) = a . 5p c) Să se determine numărul punctelor deD, inflexiune ale graficului BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba MT1, programa M1 funcţiei f . x

2. Fie funcţia f : \ → \, f ( x) = ∫ e−t dt . 2

0

5p 5p 5p

a) Să se arate că funcţia f este strict crescătoare. b) Să se arate că funcţia f este concavă pe intervalul [0, ∞) . c) Să se arate că şirul ( f (n))n≥1 este convergent.


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

97

Varianta 97

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 097 3

5p

1. Să se ordoneze crescător numerele 3!,

5p

2. Să se arate că x 2 + 3xy + 4 y 2 ≥ 0, oricare ar fi x, y ∈ \ . 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia sin 2 x = cos x .

5p

5p

4. Să se calculeze A53 − 4C62 .

JJJG JJJG 5. În sistemul de coordonate xOy se consideră punctele A,B,C astfel încât A (1,3) , B ( 2,5 ) şi AC = 2 AB. Să se determine coordonatele punctului C. 3 6. Fie ABC un triunghi care are BC = 8 şi cos A = . Să se calculeze lungimea razei cercului circumscris 5 triunghiului ABC.

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p 5p

100, log 2 32 .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar SUBIECTUL II (30p) – Varianta 097 a b 1. Fie A =   ∈ M2 ( \ ) . c d

5p

a) Să se arate că det A ⋅ At ≥ 0 .

5p

b) Să se arate că, dacă A ⋅ At = At ⋅ A , atunci a − d b − c = 0 .

5p

c) Să se demonstreze că, dacă A − At

5p

2. Se consideră corpul ] 7 , +, ⋅ . a) Să se rezolve în ] ecuaţia 2ˆ x = 3ˆ .

5p

= A − At , atunci b − c ∈ 0,1 .

7

b) Să se arate că polinomul p = 2ˆ X 2 + 4ˆ ∈ ] 7 [ X ] nu are rădăcini în ] 7 . c) Să se demonstreze că funcţia f : ] 7 → ] 7 , f ( x ) = 2ˆ x este un automorfism al grupului ( ] 7 , + ) .

m Va at ri e

5p

2009

sc u

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a ( ) b e t n a i r ( )( ) o.ro Va n i tr { } (w.n ) eu w( w )

97

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

97

5p 5p

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 097

1. Se consideră funcţia f : \ → \, f ( x) = arctg x . a) Să se arate că funcţia f este concavă pe intervalul [0, ∞) . b) Să se calculeze lim x 2 ( f ( x + 1) − f ( x) ) . x →∞

3

x D, MT1, programa M1 BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba

5p

c) Să se rezolve inecuaţia f ( x) < x −

2. Fie funcţia f : \ → \, f ( x) = 1

∫0 x(1 + x

2

, x∈\ .

3

1

(1 + x 2 ) 2

.

5p

a) Să se calculeze

5p

b) Să se arate că funcţia F : \ → \, F ( x) = ∫ t 4 f (t )dt este strict crescătoare.

5p

c) Să se arate că, pentru orice a ∈ \ , are loc relaţia

) f ( x)dx . x

0

a

∫1

f ( x)dx <

1 . 4


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

98

Varianta 98

5p

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 098 1. Fie z ∈ ^ astfel încât z + 2 z = 3 + i. Să se calculeze modulul numărului z .

5p

2. Să se dea un exemplu de ecuaţie de gradul al doilea cu coeficienţi întregi care are o soluţie egală cu

5p

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia log x 2 + log

5p

4. Să se determine numărul submulţimilor cu trei elemente ale mulţimii {1, 2,3, 4,5} care conţin cel puţin un număr par. 5. Fie G centrul de greutate al triunghiului ABC. Să se determine a, b ∈ \ astfel încât să aibă loc egalitatea JJJG JJJG JJJG aGA + bGB = GC . 3 π  6. Ştiind că a ∈  , π  şi sin a = , să se calculeze tg a. 2 5  

5p

2=9.

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p

x

3.

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r Va ( o.r)o n i r t u e n . www ( )

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 098  mx + y − z = 1  1. Fie sistemul de ecuaţii liniare  x + y − z = 2 , unde m ∈ \. − x + y + z = 0 

5p

a) Să se determine m ∈ \ astfel încât matricea sistemului să aibă rangul 2.

5p

b) Să se determine m ∈ \ astfel încât sistemul să aibă soluţii x0 , y0 , z0 ∈ \3 care verifică relaţia x0 + y0 + z0 = 4.

5p

sc u

98

c) Să se determine m ∈ ] astfel încât sistemul să aibă o soluţie unică x0 , y0 , z0 ∈ ]3 . 2. Fie p ∈ \ şi polinomul f = X 4 − 4 X + p ∈ \ [ X ].

a) Să se determine p astfel încât polinomul f să fie divizibil cu X + 1 . b) Să se determine p astfel încât polinomul f să aibă o rădăcină reală dublă. c) Să se arate că, pentru orice p ∈ \ , polinomul f nu are toate rădăcinile reale.

m Va at ri e

5p 5p 5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

98

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 098

5p 5p 5p

1. Pentru fiecare n ∈ `, n ≥ 2 se defineşte funcţia f n :[0, ∞ ) → \, f n ( x) = x n − nx − 1 . a) Să se arate că, pentru orice n ∈ `, n ≥ 2 , funcţia f n este convexă. b) Să se arate că, pentru orice n ∈ `, n ≥ 2 , ecuaţia f n ( x) = 0 are soluţie unică. c) Să se calculeze lim xn , unde xn este unica soluţie a ecuaţiei f n ( x) = 0 .

n→∞ BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1

2. Fie funcţiile f , g : \ → \, f ( x) =

ex

1+ e

x

, g ( x) = ∫

x

−x

f (t ) cos tdt .

1

∫0 f ( x)dx .

5p

a) Să se calculeze

5p

b) Să se studieze monotonia funcţiei g pe intervalul [ 0, π ] .

5p

π c) Să se calculeze g   . 2


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

99

Varianta 99

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 099 1 . 3− 2

5p

1. Să se calculeze partea întreagă a numărului

5p

2. Fie f o funcţie de gradul întâi. Să se arate că funcţia f D f este strict crescătoare.

5p

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3x + 9 x =

5p 5p

5. Se consideră punctele M (1, 2 ) , N ( 2,5 ) şi P ( 3, m ) , m ∈ \. Să se determine valorile reale ale lui m JJJJG JJJG astfel încât MN ⋅ MP = 5. 6. Să se determine cel mai mare element al mulţimii {cos 1,cos 2, cos 3}.

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

5p

4 . 9 4. Câte funcţii f : {1, 2,3,...,10} → {0,1} au proprietatea că f (1) + f ( 2 ) + f ( 3) + ... + f (10 ) = 2 ?

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t ( ) n a i r o Va ( ) rino.r t u e n { } . w w w

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 099 a b  1 1 t 1. Fie matricele A =   ∈ M2 (\ ) , B =  1 1 ∈ M2 (\ ) şi funcţia f : \ → \, f ( x) = det( AA + xB ) . c d    

5p 5p

a) Să se calculeze AAt . b) Să se arate că f 0 ≥ 0 .

5p

c) Să se arate că există m, n ∈ \ astfel încât f x = mx + n , pentru oricare x ∈ \ .

sc u

99

2. Se consideră mulţimea de numere complexe G = cos qπ + i sin qπ q ∈ _ .

5p

1 3 +i ∈G . 2 2 b) Să se arate că G este parte stabilă a lui ^ în raport cu înmulţirea numerelor complexe.

5p

c) Să se arate că polinomul f = X 6 − 1∈ ^ [ X ] are toate rădăcinile în G.

a) Să se arate că

m Va at ri e

5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

99

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 099

5p

1. Se consideră funcţia f : \ → \, f ( x) = 3 x3 + 3x 2 + 2 x + 1 − 3 x3 − x + 1 . a) Să se scrie ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă x = 0 , situat pe graficul funcţiei f. b) Să se arate că graficul funcţiei admite asimptotă spre +∞ .

5p

n

+ ... D, + fMT1, (n)  programa M1 BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ Proba  f (1) + f-(2)

5p

c) Să se calculeze lim  n→∞ 

n

 .  x

2. Se consideră funcţiile f n : (0, ∞) → \, f n ( x) = ∫ 1 t n ln t dt , n ∈ `∗ . e

5p 5p 5p

a) Să se calculeze f1 (e) . b) Să se arate că funcţiile f n sunt descrescătoare pe intervalul (0,1) . c) Să se calculeze lim f n (1) . n→∞


Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

100

Varianta 100

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 100

{

}

6 + 4 2 ∈ a + b 2 | a, b ∈ Z .

5p 1. Să se arate că

5p 2. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 1 + x = 1 − x. 5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia

6

x2 − 2 x + 1 = 3 3 − x .

a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1

1 2 10 5p 4. Să se arate că 11 divide numărul C11 + C11 + ... + C11 . 5p 5. Fie ABC un triunghi şi G centrul său de greutate. Ştiind că A (1,1) , B ( 5, 2 ) şi G ( 3, 4 ) , să se calculeze coordonatele punctului C. 5p 6. Fie a ∈ \ cu tg a = 2 . Să se calculeze sin a . 5

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

5p

a) Să se demonstreze că ( I 2 + A)2 = I 2 + A.

5p

b) Să se demonstreze că mulţimea { An | n ∈ `*} este finită.

5p

c) Să se rezolve ecuaţia X 3 = A, X ∈ M2 \ .

sc u

9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r o r . Va o n i ( ) utr e n . w ww () ( )

100 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 100  3 −2  1. Fie matricea A =  .  6 −4 

2. Fie n ∈ `, n ≥ 3, a0 , a1 ,..., an ∈ ] şi polinomul f = an X n + an −1 X n−1 + ... + a1 X + a0 . 5p 5p

a) Să se arate că f 1 + f −1 este număr par.

5p

c) Să se arate că polinomul g = X 3 − X + 3a + 1 , a ∈ ] , nu poate fi descompus în produs de două polinoame neconstante, cu coeficienţi întregi.

m Va at ri e

b) Să se arate că, dacă f (2) şi f (3) sunt numere impare, atunci polinomul f nu are nicio rădăcină întreagă.

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

100 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 100 5p 5p

1. Se consideră funcţia f : \ → \, f ( x) = e x + x3 − x 2 + x . a) Să se arate că funcţia f este strict crescătoare. b) Să se arate că funcţia f este inversabilă.

f −1( x) c) Să se calculeze . lim BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ x →∞ ln x - Proba D, MT1, programa M1

5p

1

xn

0

x 2 + 3x + 2

2. Se consideră şirul ( I n )n≥1 , I n = ∫ 5p

a) Să se calculeze I1 .

5p

b) Să se arate că I n+ 2 + 3I n+1 + 2 I n =

5p

c) Să se calculeze lim nI n . n→∞

dx .

1 , ∀n ∈ `* . n +1


di

.O vi

of

Pr u

cu

de s

 

 

 

 


di

.O vi

of

Pr u

cu

de s

 

 

 


di

.O vi

of

Pr u

cu

de s


di

.O vi

of

Pr u

cu

de s

 

 


Ministerul EducaŃiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului Centrul NaŃional de Evaluare şi Examinare

EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2011 Proba E. c) Probă scrisă la MATEMATICĂ

MODEL

Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaŃională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

1. CalculaŃi modulul numărului complex z = 1 − i 3 .

5p

2. DeterminaŃi mulŃimea valorilor funcŃiei f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2 + x + 1 .

5p

3. Ştiind că doi termeni ai unei progresii geometrice sunt b3 = 6 şi b5 = 24 , determinaŃi termenul b7 .

5p

4. DeterminaŃi x > 0 , ştiind că log a x = 2log a 3 − 3log a 2 , unde a > 0, a ≠ 1 .

5p

5. ScrieŃi ecuaŃia dreptei care conŃine punctul A ( 3, 2 ) şi este perpendiculară pe dreapta d : x + 2 y + 5 = 0 .

2 2 π  , calculaŃi cos x . 6. Ştiind că x ∈  , π  şi sin x = 3 2  SUBIECTUL al II-lea

(30 de puncte)

5p

de

sc u

5p

 1 −2 x 4 x 2  1. Fie matricea A ( x ) =  0 1 −4 x  din mulŃimea M 3( ℝ ) . 0 0 1   

5p

a) CalculaŃi ( A ( 2 ) − A ( 0 ) )

5p

b) ArătaŃi că A ( x ) ⋅ A ( y ) = A ( x + y ) , oricare ar fi x, y ∈ ℝ .

5p

c) DemonstraŃi că matricea A ( x ) este inversabilă şi calculaŃi inversa matricei A ( x ) .

u

.

di

2010

.O vi

2. Pe mulŃimea G = ( 0,1) se defineşte legea de compoziŃie asociativă x ∗ y =

xy . 2 xy − x − y + 1

1 este elementul neutru al legii „ ∗ ”. 2 5p b) ArătaŃi că orice element din mulŃimea G este simetrizabil în raport cu legea „ ∗ ”. 1 5p c) DemonstraŃi că funcŃia f : G → ℝ ∗+ , f ( x ) = − 1 este un izomorfism de la grupul ( G, ∗) la grupul ℝ ∗+ , ⋅ . x SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

a) VerificaŃi dacă e =

(

of

5p

1. Fie funcŃia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = ( x − 2 )( x − 3)( x − 4 )( x − 5 ) + 1 . a) CalculaŃi f ' ( 5 ) .

5p

 f ( n + 1) − 1  b) CalculaŃi lim   . n→+∞  f ( n) −1 

5p

c) ArătaŃi că ecuaŃia f ' ( x ) = 0 are exact trei soluŃii reale distincte.

Pr 5p

n

1

2. Fie şirul ( I n )n≥0 , I n = ∫ 0

( x2 + x + 1)

n

−x

x2 + 1

dx .

5p a) CalculaŃi I 0 . 5p b) VerificaŃi dacă I − I ∈ ℚ . 2 0 5p c) ArătaŃi că I 4n+1 ∈ ℚ , oricare ar fi n ∈ ℕ . Probă scrisă la Matematică 6

)


Ministerul EducaŃiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului Centrul NaŃional de Evaluare şi Examinare

Examenul de bacalaureat 2011 Proba E. c) Proba scrisă la MATEMATICĂ Varianta 2 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaŃională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I

1. CalculaŃi raŃia progresiei geometrice ( bn ) n≥1 , cu termeni pozitivi, dacă b1 + b2 = 6 şi

cu

5p

(30 de puncte)

b3 + b4 = 24 .

5p

2. DeterminaŃi a ∈ ℝ pentru care funcŃia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = (1 − a 2 ) x + 4 este constantă.

5p

3 2 3. RezolvaŃi în mulŃimea numerelor reale inecuaŃia   <   . 2 3

5p

4. DeterminaŃi numărul termenilor raŃionali ai dezvoltării 1 + 2

5p

5. CalculaŃi distanŃa de la punctul A ( 2, 2 ) la dreapta determinată de punctele B (1,0 ) şi C ( 0,1) .   6. Triunghiul ABC are măsura unghiului A de 60  , AB = 4 şi AC = 5 . CalculaŃi AB ⋅ AC .

(

SUBIECTUL al II-lea

{

)

10

.

5p

x

de s

x

(30 de puncte)

}

2

1. Se consideră mulŃimea H = A ∈ M 2 (ℝ) A = A .

di

u

1 2 5p a) ArătaŃi că  ∈ H . 0 0 5p b) DemonstraŃi că, dacă A ∈ H , atunci An ∈ H , pentru orice număr natural nenul n . 5p c) ArătaŃi că mulŃimea H este infinită.

.O vi

2. Se consideră polinomul f = ( X + i )10 + ( X − i )10 , având forma algebrică f = a10 X 10 + a9 X 9 + ... + a1 X + a0 , unde a0 , a1 ,..., a10 ∈ ℂ .

5p a) DeterminaŃi restul împărŃirii polinomului f la X − i . 5p b) ArătaŃi că toŃi coeficienŃii polinomului f sunt numere reale. 5p c) DemonstraŃi că toate rădăcinile polinomului f sunt numere reale. SUBIECTUL al III-lea Ciupala

(30 de puncte)

of

1. Se consideră funcŃia f : ℝ → ℝ, f ( x ) = x5 − 5 x + 4 .

5p a) CalculaŃi lim

f ( x ) − f ( 2)

. x−2 5p b) ArătaŃi că graficul funcŃiei f are un punct de inflexiune. 5p c) ArătaŃi că, pentru orice m ∈ ( 0,8 ) , ecuaŃia f ( x ) = m are exact trei soluŃii reale distincte.

Pr

x →2

2. Se consideră funcŃia g : ℝ → ℝ, g ( x ) = e − x . 1

5p a) CalculaŃi

∫0 g ( x) dx .

5p b) CalculaŃi

∫0 x

1 5

g ( x3 ) dx . n

3 5p c) DemonstraŃi că şirul ( I n )n≥1 definit prin I n = ∫1 g ( x ) dx este convergent.

Probă scrisă la Matematică Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaŃională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. 1

Varianta 2


Ministerul EducaŃiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului Centrul NaŃional de Evaluare şi Examinare

Examenul de bacalaureat 2011 Proba E. c) Proba scrisă la MATEMATICĂ Varianta 5 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaŃională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

5p 1. ArătaŃi că

(

(30 de puncte)

)

2, 5 ∩ ℤ = {2} .

cu

SUBIECTUL I

5p 2. DeterminaŃi valorile reale ale lui m pentru care dreapta x = 2 este axa de simetrie a parabolei

π 1  5p 3. RezolvaŃi în mulŃimea [ 0, 2π ) ecuaŃia sin  x −  = . 6 2  5p 4. DeterminaŃi n ∈ ℕ, n ≥ 2 , pentru care C n2 + An2 = 18 .

de s

y = x 2 + mx + 4 .

5p 5. DeterminaŃi a ∈ ℝ pentru care dreptele d 1 : ax + y + 2011 = 0 şi d 2 : x − 2 y = 0 sunt paralele. 5p 6. Fie x un număr real care verifică egalitatea tg x + ctg x = 2 . ArătaŃi că sin 2 x = 1 . (30 de puncte)

1 x x   1. Se consideră matricea A( x ) =  0 1 2 x  , unde x ∈ ℝ . 0 0 1    5p a) ArătaŃi că A( x ) ⋅ A( y ) = A( x + y ) , oricare ar fi x, y ∈ ℝ .

u

2

SUBIECTUL al II-lea

di

5p b) ArătaŃi că ( A( x) − A( y ) )2011 = O3 , pentru orice x, y ∈ ℝ . 5p c) DeterminaŃi inversa matricei A ( x ) , unde x ∈ ℝ .

.O vi

2. Se consideră α ∈ ℂ şi polinomul f = X 3 + (1 − α) X 2 + (α − 2)iX + α + (α − 2)i ∈ ℂ[ X ] . 5p a) ArătaŃi că polinomul f are rădăcina −1 . 5p b) ArătaŃi că, dacă p, q sunt numere complexe şi polinomul g = X 2 + pX + q ∈ ℂ[ X ] are două rădăcini distincte, complex conjugate, atunci p şi q sunt numere reale şi p 2 < 4q .

5p c) DeterminaŃi α ∈ ℂ pentru care polinomul f are două rădăcini distincte, complex conjugate. (30 de puncte)

of

SUBIECTUL al III-lea 1. Se consideră funcŃia f : (1, +∞) → ℝ, f ( x) = ln( x + 1) − ln( x − 1) .

Pr

5p a) ArătaŃi că funcŃia f este strict descrescătoare pe (1, +∞ ) . 5p b) DeterminaŃi asimptotele graficului funcŃiei f. 5p c) CalculaŃi lim xf ( x ) . x →+∞

2. Se consideră funcŃia f :[1, 2] → ℝ, f ( x ) = x 2 − 3 x + 2 .

5p a) CalculaŃi

∫ 1 f ( x ) dx . 4

5p b) CalculaŃi aria suprafeŃei determinate de graficul funcŃiei g :[1;2] → ℝ, g ( x) = 2

f ( x) şi de axa Ox. x

2

n n −1 5p c) ArătaŃi că (4n + 2) ∫1 f ( x)dx + n ∫1 f ( x)dx = 0 .

Probă scrisă la Matematică Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaŃională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. 1

Varianta 5


di

.O vi

of

Pr u

cu

de s


Ministerul EducaŃiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului Centrul NaŃional de Evaluare şi Examinare

Examenul de bacalaureat 2012 Proba E. c) Proba scrisă la MATEMATICĂ Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaŃională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

5p 1. DeterminaŃi numărul elementelor mulŃimii A = { x ∈ ℤ | x + 1|≤ 24} .

5p 3. RezolvaŃi, în mulŃimea numerelor reale, ecuaŃia 3 1 + 7 x = 1 + x .

sc u

5p 2. DeterminaŃi coordonatele punctelor de intersecŃie a dreptei y = 2 x − 1 cu parabola y = 2 x 2 − 3 x + 1 .

1  π 5p 6. Ştiind că x ∈  0,  şi cos 2 x = , calculaŃi sin x . 3  2

5p 5p

u

di

5p

(30 de puncte)

 x + my + m2 z = 0  1. Se consideră sistemul de ecuaŃii mx + m2 y + z = 0 , unde m ∈ ℝ . m 2 x + y + mz = 0  a) DeterminaŃi valorile lui m pentru care determinantul matricei sistemului este nul. b) ArătaŃi că, pentru nicio valoare a lui m , sistemul nu are o soluŃie ( x0 , y0 , z0 ) cu x0 , y0 , z0 numere reale strict pozitive. c) ArătaŃi că rangul matricei sistemului este diferit de 2, oricare ar fi m ∈ ℝ . 1 2. Pe mulŃimea ℝ se defineşte legea de compoziŃie x ∗ y = ( x + y − xy + 1) . 2 a) VerificaŃi dacă legea de compoziŃie ,,* ,, este asociativă. b) ArătaŃi că legea de compoziŃie ,,* ,, admite element neutru.

.O vi

5p 5p

SUBIECTUL al II-lea

de

5p 4. Se consideră mulŃimea A = {1, 2,… ,10} . DeterminaŃi numărul de submulŃimi cu 3 elemente ale mulŃimii A, submulŃimi care conŃin exact 2 numere impare. 5p 5. DeterminaŃi ecuaŃia mediatoarei segmentului [ AB ] , unde A (1, −2 ) şi B ( 3, 4 ) .

of

5p c) RezolvaŃi ecuaŃia x ∗ x ∗ x = 3 . SUBIECTUL al III-lea

(30 de puncte)

1. Se consideră funcŃia f : ℝ → ℝ, f ( x ) = x3 − 3x + 2 .

Pr

5p a) CalculaŃi lim

x →+∞

f ( x)

f (− x)

.

5p b) DemonstraŃi că funcŃia f este descrescătoare pe intervalul [ −1,1] . 5p c) DeterminaŃi m ∈ ℝ pentru care ecuaŃia f ( x ) = m are trei soluŃii reale distincte. 1

2. Se consideră şirul ( I n )n≥1 , I n = ∫ (1 − x 2 ) dx . n

0

5p a) CalculaŃi I 2 . 5p b) DemonstraŃi că şirul ( I n ) este convergent. n≥1 5p c) DemonstraŃi că ( 2n + 1) I n = 2nI n−1 , pentru orice n ≥ 2 . Probă scrisă la Matematică Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaŃională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. 1

Model


Ministerul Educaţiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Examenul de bacalaureat 2012 Proba E.c) Proba scrisă la MATEMATICĂ Varianta 3 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.

SUBIECTUL I

5p 5p

u

5p

2. Se notează cu x1 , x2 soluţiile ecuaţiei x 2 − 3 x + a = 0 , unde a este un număr real. Determinaţi a pentru care x1 + x2 + x1 x2 = 5 .

3. Se notează cu g inversa funcţiei bijective f : ( 0, +∞ ) → ( 4, +∞ ) , f ( x ) = 2 x + 3 . Determinaţi g ( 5 ) . 4. Se consideră mulţimea A = {1, 2,3, 4,5} . Determinaţi probabilitatea ca, alegând la întâmplare una dintre submulţimile lui A , aceasta să conţină exact trei elemente.

sc

5p

1. Calculaţi partea reală a numărului complex (1 + 2i ) .

5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A (1,3) şi B ( 7,12 ) . Determinaţi coordonatele punctului

1 M , ştiind că AM = AB . 3 5p 6. Determinaţi x ∈  0, π  , ştiind că sin x + 2cos x = 3 . cos x  2

de

5p

(30 de puncte) 2

SUBIECTUL al II-lea

(30 de puncte)

5p 5p 5p

vi di

u

 1 1 1   1. Se notează cu D (a, b, c) determinatul matricei A ( a, b, c ) = 2a 2b 2c  ∈ M 3( ℝ ) .    3a 2 3b 2 3c 2    a) Calculaţi D (0,1, −1) . b) Determinaţi numerele reale x pentru care matricea A(0,1, x) are rangul egal cu 2. c) Arătaţi că dacă a, b, c sunt lungimile laturilor unui triunghi şi D(a, b, c) = 0 , atunci triunghiul este isoscel. 2. Se consideră inelul ( ℤ , +, ⋅) şi funcţia f : ℤ → ℤ , f ( x) = x3 + 2ɵ x 2 + 4ɵ x + 3ɵ . 5

.O

5

5

5p

b) Descompuneţi în factori ireductibili peste ℤ 5 polinomul P = X 3 + 2ɵ X 2 + 4ɵ X + 3ɵ ∈ ℤ 5 [ X ] .

5p

c) Arătaţi că funcţia f nu este surjectivă.

of

5p

ɵ + f (3) ɵ . a) Calculaţi f (1)

SUBIECTUL al III-lea

(30 de puncte)

Pr

1. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x) =

x+9 x2 + 3

.

5p

3 − 9x , pentru orice număr real x. x2 + 3 b) Determinaţi asimptota spre +∞ la graficul funcţiei f.

5p

c) Determinaţi imaginea funcţiei f.

5p

a) Arătaţi că f '( x) x 2 + 3 =

2. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ )→ ℝ, f ( x) = ln x . 5p

a) Arătaţi că funcţia F : ( 0, +∞ ) → ℝ , F ( x ) = x ln x − x este o primitivă a funcţiei f.

5p

b) Calculaţi aria suprafeţei plane delimitate de graficul funcţiei f, axa Ox şi dreptele de ecuaţii x = 1 şi x = e .

5p

c) Arătaţi că ( p + 1) ∫ f p (t )dt + ∫ f

x

x

1

1

p +1

(t )dt = xf

p +1

( x) , pentru orice x ≥ 1 şi orice p > 0 .

Probă scrisă la Matematică Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică

Varianta 3


Ministerul Educaţiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Examenul de bacalaureat 2012 Proba E.c) Proba scrisă la MATEMATICĂ Varianta 5 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.

SUBIECTUL I 5p

(30 de puncte)

1. Calculaţi modulul numărului complex (1 + i )2 .

3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale inecuaţia 2 x+1 ≤ 4 . 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând la întâmplare una dintre submulţimile cu trei elemente ale mulţimii A = {1,2,3,4,5} , elementele submulţimii alese să fie termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

sc

5p 5p

u

5p 2. Determinaţi coordonatele punctelor de intersecţie a graficelor funcţiilor f : ℝ → ℝ , f ( x) = x 2 + 2 x şi g : ℝ → ℝ , g ( x) = − x − 2 .

a) Calculaţi determinantul matricei sistemului. b) Determinaţi valorile reale ale lui m pentru care sistemul are soluţie unică. c) În cazul m = 2 , determinaţi soluţia ( x0 , y0 , z0 ) a sistemului pentru care x0 > 0 şi x02 + y02 + z0 2 = 3 .

u

5p 5p 5p

de

5p 5. Se consideră vectorii u = i − 2 j şi v = ai − j . Determinaţi numărul real a pentru care u ⋅ v = 3 . 5p 6. Calculaţi cosinusul unghiului A al triunghiului ABC în care AB = 4 , AC = 5 şi BC = 7 . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 2 x + y + 3z = 0  1. Se consideră sistemul  x + 2 y + 3 z = 0 , unde m ∈ ℝ .  x + y + mz = 0

{

}

b) Admitem că ( G , ⋅) este grup comutativ având elementul neutru X (0) . Determinaţi inversul elementului X ( p ) în acest grup.

.O

5p

vi di

5p

 3 −2  2. Se consideră matricea A =   ∈ M 2( ℝ ) şi mulţimea G = X ( p ) = I 2 + pA p ∈ ℝ \ {−1} .  3 −2  a) Arătaţi că X ( p) ⋅ X (q) ∈ G , pentru orice X ( p), X (q) ∈ G .

5p c) Rezolvaţi ecuaţia ( X ( p ))3 = I 2 + 7 A , unde X ( p) ∈ G . SUBIECTUL al III-lea

(30 de puncte)

1. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x3 − 12 x . a) Arătaţi că funcţia este crescătoare pe intervalul [2, +∞) .

5p

b) Calculaţi lim

5p

c) Determinaţi mulţimea numerelor reale a pentru care ecuaţia f ( x ) = a are trei soluţii reale distincte.

Pr

of

5p

x →+∞

ex . f ( x)

5p

2x + 3 . x+2 a) Arătaţi că orice primitivă a lui f este strict crescătoare pe (−1, +∞) .

5p

b) Calculaţi

2. Se consideră funcţia f : ( −1, +∞) → ℝ, f ( x) = 1

f ( x)

∫ x + 1 dx . 0

2x

5p

c) Calculaţi lim

x →+∞

f (t ) dt

x

x

.

Probă scrisă la Matematică Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică

Varianta 5


Ministerul Educaţiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Examenul de bacalaureat 2012 Proba E.c) Proba scrisă la MATEMATICĂ Varianta 7 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

{

}

1. Determinaţi numărul real m ştiind că mulţimile A = {2} şi B = x ∈ ℝ | x 2 + mx + 4 = 0 sunt egale.

5p

2. Determinaţi coordonatele vârfului parabolei asociate funcţiei f : ℝ → ℝ , f ( x) = x 2 − 3x + 2 .

5p 5p

3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale inecuaţia 3log3 x < 1 . 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând la întâmplare unul dintre numerele naturale de 2 cifre, acesta să fie format doar din cifre impare.

5p

5. Determinaţi numărul real a pentru care vectorii u = 3i + a j şi v = ai + ( 2a − 3) j sunt coliniari.

de

sc

u

5p

5p 6. Calculaţi raza cercului circumscris triunghiului ABC , ştiind că AB = AC = 5 şi BC = 6 . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

5p

1 0 0  cos x 0 i sin x    1. În M3 ( ℂ ) se consideră matricele I 3 = 0 1 0 şi A ( x ) =  0 1 0  , unde x ∈ ℝ . 0 0 1  i sin x 0 cos x     

a) Calculaţi det ( A (π ) ) .

b) Arătaţi că A ( x ) ⋅ A ( y ) = A ( x + y ) pentru orice x, y ∈ ℝ .

5p

c) Determinaţi numerele reale x pentru care ( A ( x ) )

u

5p

= I3 .

vi di

2012

2. Pe mulţimea G = ( 0,1) se defineşte legea de compoziţie asociativă x y =

xy . 2 xy − x − y + 1

1 este elementul neutru al legii de compoziţie „ ”. 2 5p b) Arătaţi că orice element din mulţimea G este simetrizabil în raport cu legea de compoziţie „ ”. 1 5p c) Demonstraţi că f : G → ℝ ∗+ , f ( x ) = − 1 este un izomorfism de la grupul ( G, ) la grupul ℝ ∗+ , ⋅ . x SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

a) Arătaţi că e =

of

.O

5p

Pr

1. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = 5p a) Calculaţi lim

x →+∞

(

)

e x + e− x . 2

x . f ( x)

5p

b) Demonstraţi că funcţia f este convexă pe ℝ .

5p

c) Arătaţi că funcţia g : ( 0, +∞ ) → ℝ , g ( x ) = f

( x ) este strict crescătoare pe ( 0, +∞ ) . π 1

2

0

0

2. Pentru fiecare număr natural nenul n se consideră numerele I n = ∫ x n ⋅ 1 − x 2 dx şi J n = ∫ sin n x dx . 5p a) Calculaţi J1 . 5p b) Calculaţi I1 . 5p c) Demonstraţi că J 2n − J 2n + 2 = I 2n pentru orice număr natural nenul n. Probă scrisă la Matematică Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică

Varianta 7


Ministerul Educaţiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Examenul de bacalaureat 2012 Proba E.c) Proba scrisă la MATEMATICĂ Varianta 9 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.

SUBIECTUL I

(

)

7 + 3 + log 2

(

(30 de puncte)

)

7 − 3 =2.

1. Arătaţi că log 2

5p

2. Calculaţi distanţa dintre punctele de intersecţie a graficului funcţiei f : ℝ → ℝ , f ( x) = x 2 + 5 x + 4 cu axa Ox .

5p

3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3x + 3x+1 = 4 .

sc

u

5p

20

5p

de

5p

6. Determinaţi măsura unghiului C al triunghiului ABC , ştiind că BC = 2 , AB = 2 şi măsura unghiului BAC este egală cu 45° .

5p

 1  4. Determinaţi rangul termenului care conţine x în dezvoltarea binomului  x +  , x >0. x  5. Determinaţi ecuaţia dreptei care trece prin punctul A(3,3) şi este paralelă cu dreapta d de ecuaţie 3x + 2 y − 1 = 0 . 14

SUBIECTUL al II-lea

(30 de puncte)

u

 − x + ay + ( 2a + 4 ) z = 1  1. Se consideră sistemul de ecuaţii ( a + 2 ) x + ay + ( a + 1) z = 1 , unde a ∈ ℝ . ( a + 1) x + ( 2a − 1) y + 3z = 2 

vi di

5p a) Arătaţi că determinantul matricei sistemului este egal cu 3a 3 + 9a 2 − 3a − 9 . 5p b) Determinaţi valorile reale ale lui a pentru care sistemul este compatibil determinat. 5p c) Pentru a = −2 , rezolvaţi sistemul. ˆ f ∈ℤ [X ]. 2. Se consideră polinomul f = X 8 + 4ˆ X 4 + 3, 5

5p a) Arătaţi că a = a , pentru orice a ∈ ℤ 5 .

.O

5

5p b) Arătaţi că polinomul f este reductibil peste ℤ 5 . 5p c) Arătaţi că polinomul f nu are rădăcini în ℤ 5 . (30 de puncte)

of

SUBIECTUL al III-lea

Pr

1. Se consideră funcţia f : ℝ → ( 0, +∞ ) , f ( x ) = x + x 2 + 1 . f ( x) −1

5p

a) Calculaţi lim

5p 5p

c) Demonstraţi că, pentru orice număr real m > 0 , ecuaţia f ( x ) = m are o soluţie unică în ℝ .

. x b) Determinaţi ecuaţia asimptotei oblice spre +∞ la graficul funcţiei f . x →0

1

2

2. Pentru fiecare număr natural nenul p, se consideră numărul I p = ∫ x p e x dx . 0

5p 5p 5p

a) Calculaţi I1 .

b) Arătaţi că 2 I p + ( p − 1) I p − 2 = e , pentru orice p ≥ 3 . 22 n2  12 1  n2 2 2 c) Calculaţi lim 2 e + 2e n + ... + ne n  n→+∞ n  

 .  

Probă scrisă la Matematică Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică

Varianta 9


Ministerul EducaŃiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului Centrul NaŃional de Evaluare şi Examinare

Examenul de bacalaureat naŃional 2013 Proba E. c) Matematică M_mate-info Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaŃională, profilul militar, specializarea matematică-informatică • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

(

)

2

5p

1. ArătaŃi că numărul n =

5p

2. DeterminaŃi valorile reale ale lui m pentru care graficul funcŃiei f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2 + mx + 4 intersectează axa Ox în două puncte distincte.

5p

5p

sc u

5p

3. RezolvaŃi în mulŃimea numerelor reale ecuaŃia log 2 ( 2 − x 2 ) = log 2 x .

4. CalculaŃi probabilitatea ca, alegând la întâmplare una dintre submulŃimile mulŃimii A = {1, 2,3, 4,5,6,7} , aceasta să aibă cel mult un element.       5. Se consideră punctele A, B şi C astfel încât AB = i + 6 j şi BC = 4i + 6 j . DeterminaŃi lungimea segmentului [ AC ] . 6. Se consideră numerele reale a şi b astfel încât a + b =

3

. ArătaŃi că 2cos b = cos a + 3 sin a . (30 de puncte)

u

 x 1 2 1. Se notează cu D( x, y ) determinantul matricei A ( x, y ) =  2 x 1  ∈ M 3( ℝ ) . 1 y x   a) CalculaŃi D(−1, 2) . b) DeterminaŃi numărul real q pentru care matricea A(2, q ) are rangul egal cu 2.

c) ArătaŃi că există cel puŃin o pereche ( x, y ) de numere reale, cu x ≠ y , pentru care D( x, y ) = D( y , x) .

di

5p 5p 5p

π

SUBIECTUL al II-lea

de

5p

5 − 1 + 2 5 este natural.

2. Se notează cu x1 , x2 , x3 rădăcinile din ℂ ale polinomului f = X 3 + X − m , unde m este un număr real. a) DeterminaŃi m astfel încât restul împărŃirii polinomului f ( X ) la X − 1 să fie egal cu 8.

5p

b) ArătaŃi că numărul x12 + x22 + x32 este întreg, pentru orice m ∈ ℝ .

.O vi

5p

c) În cazul m = 2 determinaŃi patru numere întregi a, b, c, d , cu 1 1 1 g = aX 3 + bX 2 + cX + d să aibă rădăcinile , , . x1 x2 x3 SUBIECTUL al III-lea

of

5p

a > 0 , astfel încât polinomul

(30 de puncte)

x

1. Se consideră funcŃia f : ℝ → ℝ , f ( x) = e − x .

Pr

5p a) CalculaŃi f '(0) .

5p b) ArătaŃi că, pentru fiecare număr natural n ≥ 2 , ecuaŃia f ( x) = n are exact o soluŃie în intervalul ( 0, +∞ ) . 5p c) Fie xn unica soluŃie din intervalul ( 0, +∞ ) a ecuaŃiei f ( x) = n , unde n este număr natural, n ≥ 2 . ArătaŃi că lim xn = +∞ . n→+∞

2. Se consideră funcŃia f : ℝ → ℝ, f ( x) = cos x şi se notează cu S suprafaŃa plană delimitată de graficul π funcŃiei f, axa Ox şi dreptele de ecuaŃii x = 0 şi x = . 2 5p a) CalculaŃi aria suprafeŃei S. 5p b) CalculaŃi volumul corpului obŃinut prin rotaŃia suprafeŃei S în jurul axei Ox. 2π

5p

c) DemonstraŃi că

∫ 0

f n (kx) dx =

f n ( x) dx , pentru orice numere naturale n, k ≥ 1 .

0

Probă scrisă la matematică M_mate-info Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaŃională, profilul militar, specializarea matematică-informatică

Model


INSPECTORATUL ŞCOLAR  JUDEȚEAN CARAŞ‐SEVERIN 

 

 

 

 

  VARIANTA 1

SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2013 Matematică M_mate-info SUBIECTUL I

(30 de puncte)

1. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) = mx + 2 . Să se determine m ∈ \ astfel încât graficul funcţiei f să nu intersecteze axa Ox 2. Calculaţi 5log5 2 + 27 log8 2 . x+2

< 3− x .

cu

⎛1⎞ 3. Rezolvaţi inecuaţia ⎜ ⎟ ⎝3⎠

cifre din mulţimea {1,3,5, 7,9} ?

G

G

de s

4. Câte numere de patru cifre, nu neapărat distincte, de forma abcd unde b = a + 2 se pot forma cu 5. Determinaţi tangenta unghiului dintre vectorii u (1,1), v (1, 0) . 6. Comparaţi sin 8 cu sin 9 SUBIECTUL al II-lea

(30 de puncte)

⎧2 x + 3 y − z = 5 ⎪ 1. Se considerǎ sistemul de ecuaţii ⎨4 x − y + 2 z = 8 . ⎪ ⎩mx + y + z = 6

a) Pentru m = 1 , calculaţi rang A unde A este matricea sistemului.

u

b) Arǎtaţi cǎ existǎ B ∈ M 3 (\ ) cu rangB < rangA, ∀m ∈ \ .

di

c) Arătaţi că nu există m ∈ \ pentru care sistemul are o infinitate de soluţii.

⎧ ⎫ ⎫ ⎛a b⎞ ⎛a b⎞ ⎟ a, b ∈ \ ⎬ . ⎟ a, b ∈ ] ⎬ şi G = ⎨ X (a, b) = ⎜ ⎝ 0 1⎠ ⎝ 0 1⎠ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ a) Arǎtaţi cǎ oricare ar fi A, B ∈ M produsul A ⋅ B ∈ M . ⎧

.O vi

2. Se considerǎ M = ⎨ X (a, b) = ⎜

b) Studiaţi dacǎ existǎ A, B ∈ G \ M astfel încât A ⋅ B ∈ M . c) Găsiţi toate matricile X (a, b) ∈ M pentru care X −1 ( a, b) ∈ M SUBIECTUL al III-lea

of

1. Se considerǎ funcţiile f , g : (0, ∞) → \ definite prin f ( x) = ln

Pr

a) Sǎ se arate cǎ g ( x) =

(30 de puncte)

x ; g ( x) = f '( x) . x +1

1 1 − . x x +1

b) Sǎ se studieze monotonia funcţiei g .

c) Sǎ se arate cǎ existǎ cn ∈ (n; n + 1) astfel încât g (cn ) = f (n + 1) − f (n) . 3

2. Fie f : \ → \, f ( x) = e − x şi I n = a) Calculaţi

1

0

x2 f ( x)dx .

b) Arǎtaţi cǎ I n ≤ 1, ∀x ∈ \ . c) Arǎtaţi cǎ (n + 1) I n =

1 + 3I n + 3 . e

1

0

xn f ( x)dx, n ≥ 3 .


INSPECTORATUL ŞCOLAR  JUDEȚEAN CARAŞ‐SEVERIN 

 

 

 

 

  VARIANTA 2

SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2013 Matematică M_mate-info SUBIECTUL I

(30 de puncte)

1. Să se ordoneze descrescător numerele 2.

3,

3

4

5,

8.

Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) = 2 x + mx + 1 . Găsiţi valorile reale ale parametrului m 2

cu

astfel încât vârful parabolei să fie în cadranul IV. 3. Rezolvaţi în numere reale ecuaţia: 16 x + 3 ⋅ 4 x = 4 4. Calculaţi C72 + C73 + C74 + C75 + C76

JJJG JJJG

se determine lungimea vectorului MA + MB .

⎛ ⎝

π⎞

π⎞ ⎛ ⎟ = cos ⎜ 2 x + ⎟ 6⎠ 3⎠ ⎝

6. Rezolvaţi în intervalul [ −2π , 0 ) ecuaţia sin ⎜ x +

de s

5. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele M ( 2, −1) , A (1, 2 ) şi B ( 4,1) . Să

SUBIECTUL al II-lea

(30 de puncte)

a) Să se verifice că A2 = 10 A. .

u

⎛3 2 1⎞ ⎛1 0 0⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 1. Se consideră matricele A= ⎜ 6 4 2 ⎟ , I 3 = ⎜ 0 1 0 ⎟ si B = I 3 + A . ⎜9 6 3⎟ ⎜0 0 1⎟ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ⎛1⎞ ⎟A ⎝ 11 ⎠ c) Să se găseasca trei matrici U ,V ,W ∈ M 3 (C ) de rang 1, astfel încât B = U + V + W .

.O vi

di

b) Să se arate că matricea B este inversabilă şi inversa sa este matricea B −1 = I 3 − ⎜

2. Pe mulţimea \ se defineşte legea de compoziţie x ∗ y = x + y + xy . a) Să se arate că legea "∗ " este asociativă. b) Fie funcţia f : \ → \ , f ( x ) = x + 1 . Să se verifice relaţia f ( x ∗ y ) = f ( x) f ( y ) , ∀x, y ∈ \

1 1 2 3

c) Să se calculeze 1∗ ∗ ∗ ... ∗

1 . 2013

of

SUBIECTUL al III-lea

1. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) = sin x . Notăm prin f

(30 de puncte) (n)

( x ) , derivata de ordinul n a

Pr

funcţiei f, în punctul x.

a) Arătaţi că

π⎞ ⎛ f ( n ) ( x ) = sin ⎜ x + k ⎟ 2⎠ ⎝

b) Câte puncte de maxim local are funcţia f în intervalul [ −π ,11π ] ?

c) Care este lungimea maximă a unui interval inclus în [ 0, 2π ] pe care funcţia f este convexă? x 1 şi F : \ → \, F ( x) = ∫ f (t )dt. 0 3 + cos x a) Să se verifice că f ( x + 2π ) = f ( x), ∀x ∈ \. b) Să se arate că orice primitivă a funcţiei f este strict crescătoare pe \ .

2. Fie f : \ → \, f ( x) =

c) Să se calculeze lim F ( x) x →∞


INSPECTORATUL ŞCOLAR  JUDEȚEAN CARAŞ‐SEVERIN 

 

 

 

 

  VARIANTA 3

SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2013 Matematică M_mate-info SUBIECTUL I

(30 de puncte)

1. Să se determine imaginea intervalului [ −1,3] prin funcţia f : \ → \ , f ( x ) = x 2 − 4 x + 3 . 2. Să se dea un exemplu de ecuaţie de gradul al doilea cu coeficienţi raţionali care să aibă o rădăcină egală cu 1 − 3 . 3. Gǎsiţi punctele de intersecţie dintre graficul funcţiei f : \ → \, f ( x) = x 2 − 2 şi a doua bisectoare.

(

2+35

)

200

.

cu

4. Să se determine numărul termenilor raţionali din dezvoltarea binomului

6. Fie a şi b numere reale, astfel încât a + b =

π 3

de s

JJJG JJJG JJJG JJJG 5. Se ştie că în triunghiul ABC vectorii AB − CA şi AB − AC au acelaşi modul. Să se demonstreze că triunghiul ABC este dreptunghic. . Să se arate că sin ( a − b ) = sin 2a − sin 2b .

SUBIECTUL al II-lea

(30 de puncte)

⎛1 0 0⎞ ⎜ ⎟ 1. În mulţimea M 3 ( ^ ) se consideră matricea A = ⎜ 0 2 0 ⎟. ⎜ 0 0 3⎟ ⎝ ⎠

.O vi

di

u

⎛a 0 0⎞ ⎟ ⎜ a) Să se arate că dacă Y ∈ M 3 ( ^ ) şi YA = AY , atunci există a, b, c ∈ ^ cu Y = ⎜0 b 0⎟. ⎜ 0 0 c⎟ ⎠ ⎝ n ⎛a 0 0⎞ ⎛ a 0 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ n b) Fie Z = 0 b 0 cu a, b, c ∈ ^ . Să se arate că Z = ⎜ 0 b n 0 ⎟ , ∀n ∈ `* ⎜ ⎟ ⎜0 0 c⎟ ⎜ 0 0 cn ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2013 c) Să se determine numărul de soluţii X ∈ M 3 ( ^ ) ale ecuaţiei X =A

{

}

2. Se consideră mulţimea de funcţii G = f a ,b : \ → \ f a ,b ( x ) = ax + b, a ∈ \∗ , b ∈ \ . a) Să se calculeze f −1,2 D f −1,2 .

b) Să se demonstreze că ( G , D ) este grup, unde "D " este compunerea funcţiilor.

of

c) Să se calculeze f1,1 D f1,1 D ... D f1,1 .



de 2008 ori f1,1

(30 de puncte)

Pr

SUBIECTUL al III-lea

1 1 ⎛ 3⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 5⎞ ⎛ 2 ⎞ −ln⎜ x + ⎟ +ln⎜ x + ⎟ . − ln ⎜ x + ⎟ + ln ⎜ x + ⎟ , g(x) = x +1 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ x +1 ⎝ 3⎠ ⎝ 3 ⎠ a) Să se calculeze f ′(x) şi g ′( x), x > 0 . b) Să se verifice că f '( x ) > 0, ∀x > 0 şi g '( x ) < 0, ∀x > 0

1. Fie funcţiile f , g : (0, ∞) → \ şi f (x) =

c) Arătaţi că f ( x ) < 0 < g ( x ) , ∀x > 0 x

2. Fie f n : \ → \ definite prin f 0 ( x ) = e x şi f n+1 ( x) = ∫ f n (t ) dt ,∀n ∈ `, ∀x ∈ \ 0

a) Să se verifice f1 ( x) = e − 1, ∀x ∈ \ b) Să se calculeze f 2 ( x) x

c) Să se arate că 0 < f n ( x) ≤ e x ⋅

xn , ∀n ∈ `, ∀x > 0. n!


Ministerul Educaţiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului Inspectoratul Scolar Judeţean Timiş Simularea Examenului de Bacalaureat 2013 Proba E. c) Proba scrisă la MATEMATICĂ Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică.

SUBIECTUL I

5p

(30 de puncte)

2013 π π⎞ ⎛ 1. Să se calculeze modulul numărului ⎜ cos + i sin ⎟ . 4 4⎠ ⎝ 2. Se consideră funcţia f : R → R f (x ) = x 2 + x + 1 . Să se determine imaginea funcţiei f.

de s

5p

cu

Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

5p

3. Să se rezolve ecuaţia log 2 x + log8 x = 8.

5p

4. Să se determine numărul termenilor raţionali din dezvoltarea ⎛⎜1 + 3 3 ⎞⎟ ⎝ ⎠

5p

5. Să se determine m ∈ R ştiind că vectorii u = 5 i − 2 j şi v = m i + 4 j sunt perpendiculari.

5p

6. Fie x ∈ R astfel încât cos x =

.

1 + sin x . Să se calculeze sin 2 x. 4

(30 de puncte) ⎛ 4 −6 ⎞ ⎛1 0⎞ ⎟⎟, I 2 = ⎜⎜ ⎟⎟ , precum şi mulţimea H = {X(a ) | a ∈ R , X(a ) = I 2 + aA}. 1. În M 2 (R ) se consideră matricele A = ⎜⎜ ⎝ 2 − 3⎠ ⎝0 1⎠ a) Să se arate că I 2 ∈ H.

u

SUBIECTUL al II-lea

b) Să se arate că X(a ) ⋅ X(b) = X(a + b + ab) , pentru orice X(a ), X(b) ∈ H.

di

5p  5p 5p 

36

c) Să se arate că X(1) ⋅ X(2) ⋅ ... ⋅ X(2013) = X(2014 !−1).

2. Se consideră cunoscut că ( Z,∗,D) este un inel comutativ unde x ∗ y = x + y − 3 şi x D y = xy − 3x − 3y + 12 , x, y ∈ Z. a) Determinaţi elementul neutru al legii de compoziţie "D". b) Determinaţi a, b ∈ Z astfel încât între inelele ( Z,∗,D) şi ( Z,+,⋅) să existe un izomorfism de forma f : Z → Z , f ( x ) = ax + b.

.O vi

5p  5p  5p 

2013 + 3 c) Rezolvaţi în Z ecuaţia xD x D ... D x = 2 de 2 013 ori SUBIECTUL al III-lea

f (x ) .  b) Calculaţi lim x →0 x 5

c) Să se demonstreze inegalitatea

Pr

5p 

of

5p  5p   

(30 de puncte)

x 2 x3 x 4 1. Se consideră funcţia f : R → R , f (x ) = e x − 1 − x − − − .   4! 2! 3! a) Calculaţi f ' ( x ) . 

f ( x ) ≥ 0 , ∀x ≥ 0.  

π 4 2. Se consideră şirul (I n ) n ≥1, I n = ∫ x n cos 2xdx.   0

5p  5p 

a) Să se calculeze I1 .  b) Să se arate că şirul (I n ) n ≥1 este monoton descrescător. 

5p

c) Arătaţi că şirul (I n ) n ≥1 este convergent şi determinaţi limita sa.   

Probă scrisă la matematică Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică.

1   


Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Examenul de bacalaureat naţional 2013 Proba E. c) Matematică M_mate-info Varianta 3 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.

SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Determinaţi numărul real x pentru care numerele 1 , 2 x + 2 şi 7 sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. 5p 2. Calculaţi distanţa dintre punctele de intersecţie cu axa Ox a graficului funcţiei f : ℝ → ℝ ,

5p

sc

x2 + 4 = x + 2 .

4. Determinaţi câte numere naturale impare ab se pot forma, ştiind că a, b ∈ {2,3, 4,5} și a ≠ b . 5. În dreptunghiul ABCD , cu AB = 8 şi BC = 6 , se consideră vectorul v = AB + AO + AD , unde {O} = AC ∩ BD . Calculaţi lungimea vectorului v .

de

5p 5p

3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia

3 . 5 (30 de puncte)

6. Calculaţi sinusul unghiului A al triunghiului ABC în care AB = 6, BC = 10 şi sin C =

5p

u

f ( x) = x 2 − 4 x + 3 .

SUBIECTUL al II-lea

5p a) Calculați det ( A ( 0 ) ) .

u

a 1 1 1. Pentru fiecare număr real a se consideră matricea A ( a ) =  1 a 1  . 1 1 a  

5p b) Determinaţi valorile reale ale lui a pentru care 5 A ( a ) − ( A ( a ) ) = 4 I3 .

vi di

2

5p c) Determinaţi inversa matricei A ( 2 ) .

2. Se consideră polinomul f = X 3 − mX 2 + 3 X − 1 , unde m este număr real.

.O

5p a) Calculați f ( 2 ) − f ( −2 ) . 5p b) Determinaţi restul împărţirii lui f la X + 2 , ştiind că restul împărţirii polinomului f la X − 2 este egal cu 9.

of

5p c) Determinaţi numerele reale m pentru care x13 + x23 + x33 = 3 , unde x1 , x2 , x3 sunt rădăcinile polinomului f . SUBIECTUL al III-lea

(30 de puncte)

Pr

1− x 1. Se consideră funcţia f : ( −1,1) → ℝ , f ( x) = ln . 1+ x 5p a) Calculați f ′ ( x ) , x ∈ (−1,1) .

5p b) Verificaţi dacă funcţia f este descrescătoare pe intervalul ( −1,1) . 5p c) Determinaţi punctele de inflexiune a funcţiei f . 2

2. Pentru fiecare număr natural n se consideră numărul I n = ∫ x n e x dx . 1

5p a) Calculaţi I 0 . 5p b) Arătaţi că I1 = e2 . 5p c) Demonstraţi că I n+1 + ( n + 1) I n = 2n+1 e2 − e , pentru orice număr natural n . Probă scrisă la matematică M_mate-info Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică

Varianta 3


Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Examenul de bacalaureat naţional 2013 Proba E. c) Matematică M_mate-info Varianta 2 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

5p 1. Arătaţi că numărul a = 3 ( 3 − 2i ) + 2 ( 5 + 3i ) este real.

5p 2. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = 4 x − 1 . Calculaţi f (1) + f ( 2 ) + ... + f (10 ) .

sc

u

5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia log 2 ( 2 x ) = log 2 (1 + x) . 5p 4. După o scumpire cu 10% preţul unui produs este 2200 de lei. Calculaţi preţul produsului înainte de scumpire. 5p 5. Determinaţi numărul real a pentru care vectorii u = i + 4 j şi v = 2i + ( a + 1) j sunt coliniari.

de

3sin x + cos x  π =4. 5p 6. Determinaţi x ∈  0,  , ştiind că sin x  2

SUBIECTUL al II-lea 1

1

1

(30 de puncte)

1. Se consideră determinantul D ( a, b ) = a a 2 1 , unde a şi b sunt numere reale. b b2 1

5p a) Arătaţi că D ( 2,3) = 2 .

5p b) Verificaţi dacă D ( a, b ) = ( a − 1)( b − 1)( b − a ) , pentru orice numere reale a şi b .

u

(

)

vi di

5p c) În reperul cartezian xOy se consideră punctele Pn n, n 2 , unde n este un număr natural nenul. Determinaţi numărul natural n , n ≥ 3 , pentru care aria triunghiului P1 P2 Pn este egală cu 1.

.O

2. Se consideră x1 , x2 , x3 rădăcinile complexe ale polinomului f = X 3 − 4 X 2 + 3 X − m , unde m este număr real. 5p a) Pentru m = 4 , arătaţi că f ( 4 ) = 8 . 5p b) Determinaţi numărul real m pentru care rădăcinile polinomului f verifică relaţia x1 + x2 = x3 . 5p c) Dacă x13 + x23 + x33 = 7( x1 + x2 + x3 ) , arătaţi că f se divide cu X − 3 .

of

SUBIECTUL al III-lea

1. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x) = cos x +

x2 . 2

Pr

5p a) Calculați f ′ ( x ) , x ∈ ℝ .

(30 de puncte)

5p b) Determinaţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă x0 = 0 , situat pe graficul funcției f . 5p c) Demonstraţi că f ( x) ≥ 1 , pentru orice x ∈ ℝ . 1

2. Pentru fiecare număr natural nenul n se consideră numărul I n = ∫ x n e x dx . 0

5p a) Calculaţi I1 . 5p b) Arătaţi că I n+1 + ( n + 1) I n = e , pentru orice număr natural nenul n . 5p c) Arătaţi că 1 ≤ ( n + 1) I n ≤ e , pentru orice număr natural nenul n .

Probă scrisă la matematică M_mate-info Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică

Varianta 2


Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Examenul de bacalaureat naţional 2013 Proba E. c) Matematică M_mate-info Varianta 6 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

5p 1. Arătaţi că numărul n =

(

)

2

3 − 1 + 2 3 este natural.

5p 2. Determinaţi coordonatele punctului de intersecţie a graficelor funcţiilor f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x + 1 şi g : ℝ → ℝ , g ( x) = 2x − 1 .

5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 26− x = 2 x . 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr din mulțimea numerelor naturale de trei cifre, suma cifrelor acestuia să fie egală cu 2. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1,3) şi B (3,1) . Determinaţi ecuaţia mediatoarei segmentului AB . 5p 6. Calculaţi raza cercului circumscris triunghiului ABC dreptunghic în A, ştiind că BC = 8 . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)  1 x 1   1. Pentru fiecare număr real x se consideră matricea A ( x ) =  1 −1 1 .  x −1 1  

de

sc

u

2

5p a) Calculați A ( 0 ) ⋅ A (1) .

u

5p b) Arătaţi că det ( A ( x ) ) = x 2 − 1 , pentru orice număr real x .

vi di

5p c) Determinaţi numerele întregi x pentru care inversa matricei A ( x ) are elementele numere întregi. 2. Pe mulţimea numerelor reale se definește legea de compoziţie asociativă dată de x y = x2 y 2 + x2 + y 2 .

5p a) Calculaţi 2 3 .

( x + 1)( y + 1) − 1 , pentru orice x şi y numere reale. 2

2

.O

5p b) Arătaţi că x y =

5p c) Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia x x x = x . SUBIECTUL al III-lea 1. Se consideră funcţiile f : ℝ → ℝ , f ( x) = e

x

(30 de puncte)

şi g : ℝ → ℝ , g ( x) = x + 2 x + 2 . 2

of

5p a) Calculaţi g ' ( 2 ) . 5p b) Arătaţi că lim

x →0

2 f ( x) − g ( x) 3

=

1 . 6

Pr

2x 5p c) Demonstraţi că 2 f ( x ) ≥ g ( x ) , pentru orice x ∈ [ 0, +∞ ) .

2. Se consideră funcţiile f : ( −2, +∞) → ℝ , f ( x ) = x + 2 +

F ( x) =

1 și F : ( −2, + ∞ ) → ℝ , x+2

x2 + 2 x + ln( x + 2) . 2 1

5p a) Calculați

∫ ( x + 2 ) f ( x ) dx . 0

5p b) Verificaţi dacă funcția F este o primitivă a funcţiei f . 0

5p c) Calculaţi

∫ F ( x) f ( x)dx .

−1

Probă scrisă la matematică M_mate-info Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică

Varianta 6


Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Examenul de bacalaureat naţional 2013 Proba E. c) Matematică M_mate-info Varianta 9 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.

SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Determinaţi raţia progresiei geometrice ( bn ) cu termeni reali, ştiind că b1 = 1 şi b4 = 27 . n≥1 5p 2. Determinaţi coordonatele vârfului parabolei asociate funcţiei f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2 − 6 x + 8 .

de

sc

u

5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3x + 2 = 91− x . 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie pătrat perfect. 5p 5. Se consideră punctele A, B şi C astfel încât AB = 4i − 3 j şi BC = 2i − 5 j . Determinaţi lungimea vectorului AC . 4 5p 6. Calculaţi sinusul unghiului A al triunghiului ABC în care AB = 4, BC = 5 şi sin C = . 5 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1 1 1 1. Pentru fiecare număr real m se consideră matricea A ( m ) =  m 0 0  . m 0 m   5p a) Calculaţi det ( A (1) ) .

u

 −1 1 0    5p b) Determinaţi numerele reale m știind că A(m) ⋅ A(−m) =  1 1 1  .  0 1 0  

.O

vi di

2 3 5p c) Arătaţi că det ( A (1) + A ( 2 ) + ... + A (101) ) = −51 ⋅ 101 . 2. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie asociativă dată de x y = xy − 4 x − 4 y + 20 . 5p a) Calculaţi 3 4 . 5p b) Arătaţi că x y = ( x − 4 )( y − 4 ) + 4 , pentru orice numere reale x şi y .

5p c) Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia x x ... x = 5 . x de 2013 ori

SUBIECTUL al III-lea

(30 de puncte)

of

1. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → ℝ , f ( x) =

Pr

x − 1) e x ( f '( x) =

5p a) Arătaţi că

(

x + ex

)

2

e

x

x + ex

.

, pentru orice x ∈ ( 0, +∞ ) .

5p b) Determinaţi ecuaţia asimptotei spre +∞ la graficul funcţiei f . e , pentru orice x ∈ ( 0, +∞ ) . 5p c) Demonstrați că f ( x) ≥ e +1 1

2. Pentru fiecare număr natural n se consideră numărul I n = ∫ xe− nx dx . 2

0

5p a) Calculați I 0 . 5p b) Arătaţi că I n+1 ≤ I n , pentru orice număr natural n . 5p c) Demonstraţi că I n =

1  1 1− n  2n  e

  , pentru orice număr natural nenul n . 

Probă scrisă la matematică M_mate-info Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică

Varianta 9


Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Examenul de bacalaureat naţional 2014 Proba E. c) Matematică M_mate-info Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

5p 1. Determinaţi numerele reale a şi b, ştiind că a + ib este conjugatul numărului complex z =

1+ i . 1− i

(

cu

5p 2. Determinaţi coordonatele vârfului parabolei asociate funcţiei f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2 + 4 x − 12 .

)

2 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia log3 x − 4 = log3 ( 6 x − 12 ) .

SUBIECTUL al II-lea

de s

5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr din mulţimea numerelor naturale de trei cifre, acesta să fie divizibil cu 100.       5p 5. Se consideră punctele A , B şi C astfel încât AB = 4i − 3 j şi BC = 2i − 5 j . Determinaţi lungimea    vectorului AB + AC + BC . π 7π . 5p 6. Calculaţi lungimea laturii AC a triunghiului ABC , ştiind că BC = 8 , A = şi C = 4 12 (30 de puncte)

u

x 1 2  1. Pentru fiecare număr real x se consideră matricea A ( x ) =  2 1 1  .    1 0 −x    a) Arătaţi că , pentru orice număr real . A ( x ) + A ( − x ) = 2 A (0) x 5p  0 c) Arătaţi că există o infinitate de matrice X ∈ M3,1 ( ℝ ) care verifică relaţia A (1) ⋅ X =  0  .    0  

.O vi

5p

di

5p b) Determinaţi numărul real x pentru care det ( A ( x ) ) = 0 .

2. Se consideră polinomul f = X 3 + mX 2 + mX + 1 , unde m este un număr real. 5p a) Calculaţi f ( −1) .

of

5p b) Determinaţi numărul real m ştiind că x12 + x22 + x32 = −1 , unde x1 , x2 , x3 sunt rădăcinile complexe ale polinomului f . 5p c) Determinaţi valorile reale ale lui m pentru care toate rădăcinile polinomului f sunt reale. (30 de puncte)

Pr

SUBIECTUL al III-lea

1. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x) = x 2 + x + 1 .

5p a) Calculaţi f '( x ) , x ∈ ℝ . 5p b) Determinaţi ecuaţia asimptotei spre +∞ la graficul funcţiei f . 5p c) Determinaţi intervalele de monotonie ale funcţiei f . 1

2. Pentru fiecare număr natural nenul n se consideră numărul I n = ∫ (1 − x ) e x dx . n

0

5p a) Calculaţi I1 . 5p b) Arătaţi că I n +1 = ( n + 1) I n − 1 , pentru orice număr natural nenul n . 1 1  5p c) Demonstraţi că I n = n ! e − 1 − − ... −  , pentru orice număr natural nenul n . 1! n!   Probă scrisă la matematică M_mate-info Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică

Model


Bac m1,123 teste, 2009 2013 prof ovidiu badescu