Page 1

calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Varianta 1

1

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 001

5p 5p

1. Să se calculeze C32 + 3! .

2. Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiei log 5 ( 3 x + 4 ) = 2 .

5p

3. Să se calculeze

5p 5p

4. Se consideră funcţia f : [ 0,1] → \ , f ( x ) = − x 2 . Să se determine mulţimea valorilor funcţiei f . JJJG G G 5. Fie punctele A ( 2, −1) şi B ( −1,3 ) . Să se determine numerele reale a şi b astfel încât AB = a i + b j .

5p

6. Se consideră triunghiul ABC cu AB = 4, AC = 7 şi BC = 3 . Să se calculeze măsura unghiului B.

scM2 u

1 1 , ştiind că x1 şi x2 sunt soluţiile ecuaţiei x 2 − x − 2 = 0 . + x1 x2

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar SUBIECTUL II (30p) – Varianta 001 x1 x2 x3 1. Se consideră determinantul d = x2 x3 x1 , unde x1 , x2 , x3 ∈ \ sunt soluţiile ecuaţiei x3 − 3x + 2 = 0 .

1

x3

5p

x1

x2

a) Să se calculeze x1 + x2 + x3 .

5p

b) Să se arate că x13 + x23 + x33 = −6 . c) Să se calculeze valoarea determinantului d . 2. Pe mulţimea numerelor reale definim operaţia x D y = xy + 4 x + 4 y + 12 . a) Să se verifice că x D y = ( x + 4)( y + 4) − 4 pentru orice x, y ∈ \ . b) Să se calculeze x D (−4) , unde x este număr real. c) Ştiind că operaţia „ D ” este asociativă, să se calculeze (−2009) D (−2008) D"D 2008 D 2009 .

1

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar SUBIECTUL III (30p) – Varianta 001

5p

5p 5p 5p

1. Se consideră funcţia f : \ \ {−1} → \ , f ( x ) =

5p 5p 5p

x2 . x +1

a) Să se calculeze derivata funcţiei f. b) Să se determine intervalele de monotonie ale funcţiei f. c) Să se demonstreze că f ( x) ≤ −4 pentru orice x < −1 .

2 BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D,  xMT2, + e xprograma , x ≤ 0 M2

5p

2. Se consideră funcţia f : \ → \, f ( x ) =   x + 1, a) Să se arate că funcţia f admite primitive pe \ .

x>0

.

0

5p

b) Să se calculeze

∫ x f ( x) dx.

−1

5p

c) Să se determine volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul axei Ox a graficului funcţiei g : [ 0;1] → \, g ( x ) = f ( x ) .


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Varianta 2

222 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 002 5p 1. Se consideră funcţia f : → , f ( x ) = x − 3 . Să se determine f ( −4 ) ⋅ f ( −3 ) ⋅ … ⋅ f ( 3 ) ⋅ f ( 4 ) . 5p 2. Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiei log 2 ( x + 2 ) + log 2 x = 3 .

5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor întregi inecuaţia x 2 − 5 x + 5 ≤ 1. 5p 4. Să se demonstreze că pentru orice x ∈ \ numerele 3x − 1, 3x+1 şi 5 ⋅ 3x + 1 sunt termeni consecutivi într-o progresie aritmetică. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( 4, −8 ) şi B ( 6,3) . Să se determine coordonatele

scM2 u

vectorului OA + OB . 5p 6. Să se calculeze aria triunghiului ABC ştiind că AC = 2, m ( BAC ) = 30° şi AB = 4 .

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

2

5p 5p

5p

5p 5p 5p

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 002 a b c 1. Se consideră determinantul d = c a b , unde a, b, c ∈ b c a

.

a) Pentru a = 2 , b = 1 şi c = −1 , să se calculeze determinantul d . 1 b) Să se verifice că d = (a + b + c)((a − b) 2 + (b − c)2 + (c − a) 2 ) , oricare ar fi a, b, c ∈ 2 2x

3x

5x

c) Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 5 x

2x

3x = 0 .

3x

5x

2x

.

2. Pe mulţimea numerelor reale definim operaţia x y = 2 xy − 6 x − 6 y + 21 . a) Să se arate că x y = 2( x − 3)( y − 3) + 3 , pentru orice x, y ∈ . b) Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia x x = 11. c) Ştiind că operaţia ” ” este asociativă, să se calculeze 1 2 3 … 2009 .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

2

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 002 1. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) = e x − e − x .

f ( x ) − f (0) . x →0 x 5p b) Să se arate că funcţia f este crescătoare pe \ . 5p c) Să se calculeze S = g (0) + g (1) +- ... + g (2009), unde g : \ →M2 \, g ( x ) = f ′( x ) − f ′′( x ) . BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ Proba D, MT2, programa

5p

a) Să se calculeze lim

5p 5p

2. Se consideră funcţiile f , F : \ → \ , f ( x) = xe x şi F ( x) = ( x − 1) e x . a) Să se verifice că funcţia F este o primitivă a funcţiei f . b) Să se calculeze aria suprafeţei plane determinate de graficul funcţiei f, axa Ox şi dreptele x = 0 şi x = 1.

5p

c) Să se demonstreze că

x

∫ 1

f (t ) f ′′(t ) − ( f ′(t ) ) 2

f (t )

2

dt =

x +1 − 2, pentru orice x > 1 . x


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

3 5p 5p 5p 5p

Varianta 3

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 003 1. Să se determine al zecelea termen al şirului 1, 7, 13, 19, ... . 2. Se consideră toate numerele naturale de trei cifre scrise cu elemente din mulţimea {1, 2} . Să se calculeze probabilitatea ca, alegând un astfel de număr, acesta sa fie divizibil cu 3. 3. Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiei 2 + x = x . 4. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) = 2 x + 1. Să se calculeze f ( −2 ) + f ( −1) + f ( 0 ) + f (1) . 5. Să se determine ecuaţia dreptei care trece prin punctele A ( 2, −1) şi B (1, −2 ) .

5p

6. Să se calculeze aria triunghiului ABC, ştiind că AB = AC = 2 , m ( )A ) = 30°.

scM2 u

5p

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

3

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 003 x1 x2 1. Se consideră determinantul d = x2 x3 x3 x1

5p

a) Să se calculeze x1 + x2 + x3 .

5p 5p

b) Să se calculeze x12 + x2 2 + x32 . c) Să se calculeze determinantul d .

x3

x1 , unde x1 , x2 , x3 ∈ \ sunt soluţiile ecuaţiei x3 − 2 x = 0. x2

2. Se consideră polinoamele cu coeficienţi reali f = X 4 + aX 3 − 28 X 2 + bX + 96 , g = X 2 + 2 X − 24 şi

5p 5p

h = ( X 2 + 2 X − 24)( X 2 − 4) . a) Să se scrie forma algebrică a polinomului h . b) Să se determine a, b ∈ \ astfel încât polinoamele f şi h să fie egale.

5p

c) Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 16 x + 2 ⋅ 8 x − 28 ⋅ 4 x − 8 ⋅ 2 x + 96 = 0 .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

3

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 003

1. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → \ , f ( x) =

ln x . x

2 − ln x , pentru orice x ∈ ( 0; +∞ ) . 2 x x- Proba D, MT2, programa M2 BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ b) Să se determine intervalele de monotonie ale funcţiei f. 5p

5p

a) Să se verifice că f ' ( x ) =

5p

c) Să se demonstreze că 3

5p 5p

≤5

3

.

 e ⋅ e x , x ≤ −1 2. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) =  .  2 + x, x > −1 a) Să se arate că funcţia f admite primitive pe \ . b) Să se calculeze volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul axei Ox, a graficului funcţiei g : [ 0, 2] → \ , g ( x) = f ( x) , x ∈ [ 0,2] . 0

5p

5

c) Să se calculeze

x f ( x) dx . e −2


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Varianta 4

4

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 004

5p

1. Să se determine soluţiile întregi ale inecuaţiei ( x − 1) + x − 7 < 0 . 2

5p

2. Să se calculeze suma primilor 5 termeni ai unei progresii aritmetice ( an )n≥1 , ştiind că a1 = 1 şi a2 = 3.

5p

3. Fie funcţia f : \ → \ , f ( x ) = mx 2 − 8 x − 3, unde m este un număr real nenul. Să se determine m ştiind că valoarea maximă a funcţiei f este egală cu 5. 4. Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiei log 2 ( x + 2 ) − log 2 ( x − 5 ) = 3 . G G G G G G 5. Să se determine numărul real a ştiind că vectorii u = 2i + a j şi v = 3i + ( a − 2 ) j sunt coliniari.

5p 5p

6. Să se calculeze raza cercului circumscris triunghiului ABC , ştiind că AB = 3 şi m ( )C ) = 30°.

scM2 u

5p

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

4

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 004

 4 −6  1 0 1. În mulţimea M2 ( \ ) se consideră matricele I 2 =   şi X ( a ) = I 2 + aA , unde a ∈ \ . , A= 0 1  2 −3 

5p 5p 5p

a) Să se calculeze A3 , unde A3 = A ⋅ A ⋅ A . b) Să se verifice dacă X (a ) ⋅ X (b) = X (a + b + ab) , oricare ar fi numerele a, b∈\. c) Să se calculeze suma X (1) + X (2) + X (3) + ... + X (2009) .

{

}

ˆ 1, ˆ 2, ˆ 3, ˆ 4, ˆ 5ˆ . 2. Se consideră inelul ( ] 6 , +, ⋅) , unde ] 6 = 0,

5p

a) Să se rezolve în ] 6 ecuaţia 2ˆ x + 5ˆ = 1ˆ . 1ˆ 2ˆ 3ˆ

5p

b) Să se calculeze determinantul 2ˆ 3ˆ 3ˆ 1ˆ

5p

1ˆ în ] 6 . 2ˆ

2ˆ x + y = 4ˆ c) Să se rezolve în ] 6 sistemul de ecuaţii  .  x + 2ˆ y = 5ˆ

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

4

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 004 1. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) = x + e − x .

5p 5p

a) Să se calculeze f ′( x), x ∈ \ .

5p

a) Să se calculeze

b) Să se arate că f este descrescătoare pe ( −∞, 0 ] şi crescătoare pe [ 0, +∞ ) . BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT2, M2 funcţiei f. c) Să se determine ecuaţia asimptotei oblice către programa +∞ la graficul 5p 3 2 2. Se consideră funcţia g : \ → \ , g ( x ) = ( x + 1) − 3 x − 1 . 1

∫ g ( x)dx . 0

a

5p

b) Să se determine numărul real a > 1 astfel încât

∫ ( g ( x) − x 1

1

5p

c) Să se calculeze

∫ ( 3x 0

2

)

+ 3 ⋅ g 2009 ( x)dx .

3

) ⋅ e x dx = 6e a .


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

5

Varianta 5

5p

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 005 1. Să se determine numărul elementelor mulţimii A = { x ∈ ]

5p

2. Să se calculeze probabilitatea ca, alegând un număr din mulţimea

5p 5p

5p

{3 1, 3 2, 3 3,..., 3 30} , acesta să fie

număr raţional. 3. Fie funcţiile f : \ → \, f ( x ) = x + 3 şi g : \ → \, g ( x ) = 2 x − 1. Să se determine soluţia reală a ecuaţiei 2 f ( x) + 3g ( x) = −5 . 4. După o reducere cu 20 %, preţul unui produs este 320 de lei. Să se determine preţul produsului înainte de reducere. GG G G G G G JG 5. În reperul cartezian O, i, j se consideră vectorii u = −3i + 2 j şi v = 5i − j. Să se determine G G coordonatele vectorului 5u + 3v . 6. Fie triunghiul dreptunghic ABC şi D mijlocul ipotenuzei BC. Să se calculeze lungimea laturii AB, ştiind că AC = 6 şi AD = 5.

(

)

scM2 u

5p

x + 1 ≤ 2} .

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

68

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 005 1  x−3 1. Se consideră matricea A =  , x ∈ x − 3  1

1 0 . Se notează A2 = A ⋅ A , I 2 =  . 0 1

5p

a) Să se determine x real, ştiind că det ( A ) = 0 .

5p

b) Să se verifice egalitatea A2 = ( 2 x − 6 ) A − x 2 − 6 x + 8 ⋅ I 2 .

5p 5p 5p 5p

(

)

c) Să se determine x ∈ pentru care A2 = 2 A . 2. Pe mulţimea numerelor reale se consideră legea de compoziţie x y = xy − 2 ( x + y ) + 6. a) Să se arate că x y = ( x − 2 )( y − 2 ) + 2, oricare ar fi x, y ∈

.

b) Să se demonstreze că x 2 = 2 , oricare ar fi x ∈ . c) Ştiind că legea de compoziţie „ ” este asociativă, să se calculeze valoarea expresiei E = ( −2009 ) ( −2008 ) … ( −1) 0 1 2 … 2009 .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

5

5p 5p

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 005 1. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) = x 2009 − 2009( x − 1) − 1 . a) Să se calculeze f (0) + f ′(0) .

b) Să se scrie ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul A ( 0;1) .

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Probape D, [MT2, M2 5p 0; +∞programa c) Să se arate că funcţia f este convexă ).

5p

2. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) = x + e − x . a) Să se calculeze aria suprafeţei plane cuprinse între graficul funcţiei f, axa Ox şi dreptele de ecuaţii x = 0 şi x = 1 . − x2

1

≥ 1, pentru orice x ∈ \ , să se demonstreze că ∫ e− x dx ≥ 2

2 . 3

5p

b) Folosind faptul că x + e

5p

c) Să se determine volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul axei Ox , a graficului funcţiei g : [ 0,1] → \ , g ( x ) = f ( x ) + f ( − x ) .

2

0


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Varianta 6

6 5p

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 006

5p

2. Fie funcţiile f , g : \ → \, f ( x ) = x 2 − x + 1 şi g ( x ) = x + 4. Să se calculeze coordonatele punctelor de intersecţie a graficelor funcţiilor f şi g.

1. Să se calculeze a 2 + b 2 , ştiind că numerele a şi b au suma egală cu 4 şi produsul egal cu 3.

5p 3. Să se determine valorile reale pozitive ale numărului x, ştiind că lg x , 3 şi lg x sunt trei termeni

2

consecutivi ai unei progresii aritmetice.

{

}

5p

4. Să se calculeze probabilitatea ca, alegând un număr din mulţimea A =

5p

fie raţional. 5. Să se determine numărul real a , ştiind că dreptele 2 x − y + 3 = 0 şi ax + 2 y + 5 = 0 sunt paralele.

5p

6. Se consideră triunghiul ABC cu AB = 1, AC = 2 şi BC = 5. Să se calculeze cos B.

scM2 u

2, 3, 4,..., 10 , acesta să

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

83

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 006

5p 5p 5p

1. În reperul cartezian xOy se consideră punctele O (0,0) şi An (n, 2n ) , n ∈ ` . a) Să se demonstreze că punctele O , A1 , A2 sunt coliniare. b) Să se determine numărul de drepte care trec prin cel puţin două dintre punctele O, A0 , A1 , A2 . c) Să se calculeze aria triunghiului determinat de punctele An , An +1 , An + 2 , n ∈ ` .

5p

1 0 0 2. Se consideră mulţimea G = { Ax x ∈]} , unde matricea Ax =  0 1 0  , x ∈ ].  x 0 1   a) Să se verifice că Ax ⋅ Ay = Ax + y , unde x, y ∈ ] .

5p 5p

b) Ştiind că mulţimea G împreună cu operaţia de înmulţire a matricelor formează o structură de grup, să se determine elementul neutru al grupului ( G , ⋅) . c) Să se arate că funcţia f : ] → G , f ( x ) = Ax este morfism între grupurile ( ], + ) şi ( G , ⋅) .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

6

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 006

1. Se consideră funcţia f : [ 0, +∞ ) → \ , f ( x ) =

5p

x x +1 . + x +1 x + 2

a) Să se calculeze lim f ( x) . x →+∞

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ 1 - Proba D, 1 MT2, programa M2

5p

b) Să se verifice că f ′( x ) =

5p

c) Să se demonstreze că

5p

( x + 1) 2

+

( x + 2) 2

1 ≤ f ( x) ≤ 2, pentru orice x ∈ [ 0, +∞ ) . 2

2. Se consideră funcţia f : \ → \, f ( x ) = x 2 + e x + 1 . a) Să se arate că orice primitivă a funcţiei f este crescătoare pe \ . 1

5p

b) Să se calculeze

∫ x f ( x ) dx . 0 e

5p

, oricare ar fi x ≥ 0 .

c) Să se demonstreze că

∫ 1

f ( ln x ) x

1 dx = e + . 3


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

5p 5p

Varianta 7

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 007 1. Să se calculeze x1 + x2 + x1 x2 , ştiind că x1 şi x2 sunt soluţiile ecuaţiei x 2 − 2 x − 2 = 0.

2. Fie funcţia f : \ → \ , f ( x ) = 3 − 4 x . Să se determine soluţiile reale ale inecuaţiei f ( x ) − 1 ≥ 4 x .

5p

3. Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiei 3

5p

4. Să se calculeze log 3 27 − log 2 8 .

5p 5p

x−2

1 =   3

x

.

5. Se consideră punctele A (1, a ) , B ( 2, −1) , C ( 3, 2 ) şi D (1, −2 ) . Să se determine numărul real a , ştiind că dreptele AB şi CD sunt paralele. 6. Se consideră triunghiul ABC cu AB = 5, AC = 6 şi BC = 7. Să se calculeze cos A.

scM2 u

77

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

7

5p 5p

5p

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 007  3 4 1 2  1 0 1. Se consideră matricele A =  , B =  şi I 2 =  .  2 3 1 1  0 1 a) Să se calculeze matricea B 2 , unde B 2 = B ⋅ B .  3 −4  b) Să se verifice că A−1 =  .  −2 3 

c) Să se arate că C 4 = 64 ⋅ I 2 , unde C = B2 + A−1 şi C 4 = C ⋅ C ⋅ C ⋅ C . 2. Fie polinoamele f = X 3 + aX 2 + X + 1 şi g = X + 3 din inelul Z [ X ] . 5

5p 5p

a) Să se determine a ∈ Z 5 astfel încât polinomul f să fie divizibil cu polinomul g .  X 2 + 1)  . b) Pentru a = 1 să se arate că f = ( X + 1)(

5p

 c) Pentru a = 1 să se rezolve în inelul (Z 5 , + , ⋅) ecuaţia f ( x) = 0.

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

7

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 007

1. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) = e x + x 2 .

f ( x) − f (1) . x −1 5p b) Să se demonstreze că funcţia f- Proba nu areD,asimptotă către +∞. BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ MT2, programa M2 5p c) Să se demonstreze că funcţia f este convexă pe \ .

5p

a) Să se calculeze lim

x→1

2. Se consideră funcţia f : [1, +∞ ) → \ , f ( x) =

1 . x(1 + ln x)

e

∫ f '( x) dx .

5p

a) Să se calculeze

5p

b) Să se arate că orice primitivă a funcţiei f este crescătoare pe [1, +∞ ) .

5p

c) Să se determine numărul real a ∈ 1, e2 astfel încât aria suprafeţei plane, determinate de graficul

1

( )

3 funcţiei f, axa Ox, dreptele de ecuaţii x = a şi x = e 2 , să fie egală cu ln . 2


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

48 5p 5p 5p 5p

Varianta 8

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 008 1. Să se determine suma elementelor mulţimii A = {1,3,5,...,13} .

2. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) = 2 x + 1. Să se determine punctul care aparţine graficului funcţiei f şi are abscisa egală cu ordonata. 3. Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiei 2 x + 2 x + 3 = 36 .

5p

6. Să se calculeze sin 2 130D + cos 2 50D .

scM2 u

5p

4. Să se calculeze A44 + C44 . 5. Să se determine ecuaţia dreptei care conţine punctul A(1,1) şi este paralelă cu dreapta 4 x + 2 y + 5 = 0 .

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

8

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 008 1 1 1 0 0     1. Se consideră matricele X =  2  , Y =  2  şi I 3 =  0 1 0  . Definim matricele A = X ⋅ Y t şi  3  −3  0 0 1       B ( a ) = aA + I 3 , unde a ∈ \ şi Y t este transpusa matricei Y .

5p 5p

5p

5p 5p 5p

 1 2 −3  a) Să se arate că matricea A =  2 4 −6  .  3 6 −9    b) Să se calculeze determinantul matricei A .

1  c) Să se arate că matricea B (a ) este inversabilă, oricare ar fi a ∈ \ \   . 4 2     2. Se consideră polinoamele f , g ∈ ] 5 [ X ] , f = (3a + 3b) X + 2X + 2a + 3b şi g = 2 X 2 + 2 X + 3 a + 2 b. a) Să se determine a, b ∈ ] 5 astfel încât cele două polinoame să fie egale.  + f (1)  + f (2)  + f (4)  + f (3)  . b) Pentru a = b = 2 să se calculeze în ] suma f (0) 5

c) Pentru a = b = 2 să se rezolve în ] 5 ecuaţia f ( x) = 0 .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 008

1. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) \ {e} → \ , f (x) =

5p

a) Să se calculeze lim f ( x ) .

1 + ln x . 1 − ln x

x →1

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ -2Proba D, MT2, programa M2

5p 5p

5p

, oricare ar fi x ∈ ( 0; +∞ ) \ {e} . x (1 − ln x ) 2 c) Să se determine ecuaţia asimptotei orizontale către +∞ la graficul funcţiei f. 1 2. Se consideră funcţiile f , g : ( 0, +∞ ) → \ , f ( x ) = e x şi g ( x) = . x a) Să se determine mulţimea primitivelor funcţiei f + g .

b) Să se verifice că f ′( x ) =

2

5p

b) Să se arate că

( f 2 ( x) + g 2 ( x )) dx =

1

5p

e4 − e2 + 1 . 2

c) Folosind eventual faptul că 2ab ≤ a 2 + b 2 , pentru orice a, b ∈ \ , să se demonstreze că 2

x ∫e ⋅ 1

1 e 4 − e2 + 1 dx ≤ . 4 x


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Varianta 9

9

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 009

5p

1. Să se verifice că log3 9 − log 2 8 = log 4

5p 5p

2. Să se determine m ∈ \ astfel încât ecuaţia x 2 + 2mx + 4m = 0 să aibă soluţii reale.

1 . 4 3

5p

6. Să se calculeze aria unui paralelogram ABCD, ştiind că AB = 3, AD = 3 şi m ( )BAD ) = 120D .

5p

scM2 u

5p

3. Să se rezolve în mulţime numerelor reale ecuaţia x 2 − x − 3 = −1 . 4. O sumă de 1000 de lei a fost depusă la o bancă şi după un an s-a obţinut o dobândă de 80 de lei. Să se calculeze rata dobânzii. JJJG G G 5. Să se determine coordonatele punctului B, ştiind că A ( 3, 4 ) şi AB = i + j .

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

9

5p 5p

5p

5p 5p 5p

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 009

1 0  0 0 a b t a c  1. În mulţimea M 2( ] ) se consideră matricele A =   , A =  b d  , I 2 =  0 1  şi O2 =  0 0  . c d         a) Să se determine numerele întregi a, b, c, d astfel încât A + 2 I 2 = O2 .

b) Să se calculeze determinantul matricei B = A − At .

c) Să se arate că, dacă A + At = 2 I 2 , atunci determinantul matricei A − At este un număr divizibil cu 4.

2. Pe mulţimea numerelor reale se consideră legea de compoziţie x D y = ( x − 4 )( y − 4 ) + 4 . a) Să se determine elementul neutru al legii de compoziţie. b) Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia x D x D x = x . c) Să se determine două numere a, b ∈ _ \ ] astfel încât a D b ∈ ` .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

99

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 009

1. Se consideră funcţia f : \ → \, f ( x) = e x (ax 2 + bx + c), unde a, b, c ∈ \ .

5p

a) Pentru a = 1, b = c = 0 , să se calculeze lim f ( x) . x→+∞

5p b) Să se verifice că f ′(0) − f (0) = b . BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT2, programa M2 5p c) Să se determine a, b, c ∈ \ astfel încât f (0) = 0, f ′(0) = 1 şi f ′′(0) = 4 . 1

2. Se consideră integralele I n = ∫ 0

xn + 1 dx , pentru orice n ∈ `* . x +1

5p

a) Să se calculeze I1 .

5p

b) Folosind, eventual, faptul că x 2 ≤ x pentru orice x ∈ [ 0,1] , să se demonstreze că I 2 ≤ I1 .

5p

c) Să se demonstreze că I n +1 + I n =

1 +2ln2, pentru orice n ∈ `* . n +1


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Varianta 10

10

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 010

5p

1. Să se determine al patrulea termen al unei progresii geometrice, ştiind că raţia este egală cu

5p

termen este 27. 2. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) = 2 x − 1 . Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiei

1 şi primul 3

f 2 ( x ) + 2 f ( x ) − 3 = 0.

5p 5p

3. Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiei 4 x − 3 ⋅ 2 x + 2 = 0 . 4. Să se compare numerele a = C14 + C43 şi b = C30 + C31 + C32 + C33 . G G G G G G JG G G 5. Se consideră vectorii v = 3 i + 4 j şi u = 2 i − 3 j . Să se determine coordonatele vectorului w = 2 v − 3 u . 6. Se consideră triunghiul ABC, având aria egală cu 15. Să se calculeze sin A , ştiind că AB = 6 şi AC = 10.

scM2 u

5p 5p

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

10

5p 5p

5p

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 010  2 −6   0 0 n A ⋅ A ⋅ ... ⋅

A , oricare 1. Se consideră matricea A =   . Se notează O2 =  0 0  şi A =     1 −3  de n ori ar fi n ∈ `∗ . a) Să se calculeze determinantul matricei A. b) Să se arate că A2 + A3 = O2 .

c) Să se calculeze suma A + 2 ⋅ A2 + ... + 10 ⋅ A10 .

2. Se consideră polinoamele f , g ∈ \[ X ] , f = ( X − 1)10 + ( X − 2)10 şi g = X 2 − 3 X + 2 .

5p

a) Să se descompună polinomul g în produs de factori ireductibili în \ [ X ] .

5p 5p

b) Să se demonstreze că polinomul f nu este divizibil cu polinomul g . c) Să se determine restul împărţirii polinomului f la polinomul g .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

10

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 010

5p

 x 2 − x, x ≥ 1 . 1. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x) =  2 − x + x, x < 1 a) Să se studieze continuitatea funcţiei f în punctul x0 = 1 .

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT2, programa M2

5p

b) Să se calculeze f ′(0) + f ′(2) .

5p

c) Să se demonstreze că funcţia f este concavă pe ( −∞;1) .

2. Se consideră funcţiile f , g : \ → \, f ( x ) = 5p

e2 x + 1

şi g ( x ) =

ex a) Să se verifice că funcţia g este o primitivă a funcţiei f. 1

5p

b) Să se calculeze

∫ f ( x ) g( x) dx . 0

1

5p

c) Să se demonstreze că

∫ 0

1

f ' ( x ) g ' ( x ) dx = ∫ f ( x ) g ( x ) dx . 0

e2 x − 1 ex

.


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Varianta 11

11

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 011

5p

1. Să se calculeze C54 + A54 .

5p

1 1 1 1 2. Să se calculeze suma 1 + + 2 + 3 + 4 . 3 3 3 3 3. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) = ax + b . Să se determine numerele reale a şi b ştiind că

5p

3 f ( x ) + 2 = 3 x + 5, pentru oricare x ∈ \ .

5p

(

)

4. Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiei log3 x 2 − 2 x = log3 ( 2 x − 3) . 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A (1, 2 ) , B ( −1,1) , C ( 3,5 ) şi D ( 5, a ) , a ∈ \ . Să se determine a , ştiind că AB & CD .

5p

6. Să se calculeze raza cercului circumscris triunghiului ABC ştiind că BC = 8 şi m()A) = 45D .

scM2 u

5p

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

11

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 011

1. Se consideră matricele U = ( 0 0 ) , X = ( x

5p 5p

5p

v 9 y ) şi V =   cu v, x, y ∈ \ . 1 v 

a) Să se arate că dacă X ⋅ V = U , atunci x ⋅ (v 2 − 9) = 0 . b) Să se determine valorile reale ale numărului v pentru care determinantul matricei V este nenul.  3x + y = 0 . c) Să se determine trei soluţii distincte ale sistemului de ecuaţii  9 x + 3 y = 0

2. Pe mulţimea numerelor reale se consideră legea de compoziţie x D y = 3 x3 + y 3 − 1 .

5p 5p 5p

a) Să se demonstreze că x D ( − x ) = −1 , oricare ar fi x real. b) Să se arate că legea de compoziţie “ D ”este asociativă. c) Să se calculeze ( −4 ) D ( −3) D ... D 3 D 4 .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

11

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 011

1. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → \ , f ( x ) = 2

2

1

x

2

+

1

( x + 1) 2

.

5p

a) Să se verifice că f ' ( x ) = −

5p

b) Să se demonstreze că funcţia f este descrescătoare pe intervalul ( 0, +∞ ) .

5p

c) Să se calculeze lim x3 f ′ ( x ) .

, oricare ar fi x ∈ ( 0, ∞ ) .

3 BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ MT2, programa M2 x - Proba ( x + 1)D, 3

x →+∞

2. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → \ , f ( x) = e

5p

a) Să se calculeze ∫ ( f ( x ) − 1

ln x ) dx . x

e

5p

b) Să se verifice că

∫ 1

ln x +x . x

f ( x) dx =

e2 . 2 e n +1

5p

c) Să se arate că şirul care are termenul general I n =

∫ ( f ( x) − x ) dx, n ≥ 1 este o progresie aritmetică

en

cu raţia 1.


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

12 5p

Varianta 12

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 012 1. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) = x 2 − 25. Să se calculeze

f ( −5 ) ⋅ f ( −4 ) ⋅ ... ⋅ f ( 0 ) ⋅ ... ⋅ f ( 4 ) ⋅ f ( 5 ) .

5p

2. Să se rezolve ecuaţia Cn2 = 28, n ∈ `, n ≥ 2 . 3. Ştiind că log3 2 = a , să se verifice dacă log3 8 + log3 100 − log3 25 = 5a .

5p

4. Să se determine soluţiile reale ale inecuaţiei

5p

2x + 3

5p

≥1. x + x +1 5. Să se determine ecuaţia dreptei care conţine punctele A ( 2,3) şi B ( −3, −2 ) .

5p

6. Se consideră triunghiul ABC de arie egală cu 6, cu AB = 3 şi BC = 8. Să se calculeze sin B .

scM2 u

2

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

12

5p 5p

5p 5p 5p 5p

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 012  1 1 1 1 0 0 0 1 1     1. Se consideră matricele A =  0 1 1 , I 3 =  0 1 0  şi B =  0 0 1  . Se notează cu X ⋅ X = X 2 .  0 0 1 0 0 1 0 0 0       a) Să se verifice că A = I 3 + B . b) Să se calculeze suma A2 + B 2 .

c) Să se calculeze inversa matricei A2 . 2. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie x D y = xy + 7( x + y ) + 42 . a) Să se calculeze 2 D (− 2) . b) Să se verifice că x D y = ( x + 7)( y + 7) − 7 , oricare ar fi x, y ∈ \ . c) Ştiind că legea de compoziţie „ D ” este asociativă, să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia xDxDx = x.

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

12

5p 5p

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 012 1. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → \ , f ( x) = x − 2ln x . a) Să se calculeze f ′( x ), x ∈ ( 0, +∞ ) .

b) Să se demonstreze că funcţia f este convexă pe intervalul ( 0, +∞ ) .

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT2, programa M2 2

5p

c) Să se arate că f ( x ) ≥ ln

e , oricare ar fi x ∈ ( 0, +∞ ) . 4

2. Se consideră funcţiile f m : [ 0,1] → \ , f m ( x) = m 2 x 2 + (m 2 − m + 1) x +1, unde m ∈ \ .

∫ f1 ( x) dx .

5p

a) Să se calculeze

5p

b) Să se calculeze ∫ e x f 0 ( x) dx .

1

0 1

5p

c) Să se determine m ∈ \ * astfel încât

3

∫ f m ( x) dx = 2 . 0


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Varianta 13

1313 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 013 5p 1. Să se determine numărul tuturor submulţimilor de 2 elemente care se pot forma cu elemente din mulţimea {1, 2,3, 4,5} .

5p 2. Se consideră funcţiile f , g : \ → \ , f ( x ) = 3 x 2 − 3 x + 1 şi g ( x ) = x − 1 . Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiei f ( x) = − g ( x) .

(

)

5p 3. Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiei log 3 x 2 − 4 x + 4 = 2. 5p 4. Să se determine m ∈ \ ştiind că parabola asociată funcţiei f : \ → \ , f ( x ) = x 2 − mx + m − 1 este tangentă axei Ox . 5p 5. Să se calculeze aria triunghiului echilateral ABC ştiind că A ( −1,1) şi B ( 3, −2 ) .

scM2 u

5p 6. Să se calculeze cos x , ştiind că sin x = 4 şi x este măsura unui unghi ascuţit. 5

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

13

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 013

1 1 1. Se consideră determinantul D(a ) = 1 3

1 9 , unde a este număr real.

5p 5p

1 a a2 a) Să se calculeze determinantul D(9) . b) Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia D ( a ) = 0.

5p

c) Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia D 3x = 0 .

5p 5p 5p

( )

2. Se consideră mulţimea M = [k ; +∞) ⊂ \, k ∈ \ şi operaţia x ∗ y = xy − k ( x + y ) + k 2 + k , oricare ar fi x, y ∈ \ . a) Să se determine k ∈ \ astfel încât 2 ∗ 3 = 2 . b) Pentru k = 2 să se rezolve în M ecuaţia x ∗ x = 6 . c) Să se demonstreze că pentru orice x, y ∈ M , rezultă că x ∗ y ∈ M .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 013

1. Se consideră funcţia f : \ \ {−1} → \ , f ( x) = xe x

ex . x +1

, oricare ar fi x ∈ \ \ {−1} .

5p

a) Să se verifice că f ′( x) =

5p 5p

b) Să se determine ecuaţia asimptotei către −∞ la graficul funcţiei f . c) Să se demonstreze că f ( x) ≥ 1 , pentru orice x > −1 .

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ ( x + 1)-2Proba D, MT2, programa M2

e2

2. Pentru fiecare n ∈ ` se consideră I n =

∫ e

ln n x dx . x

5p 5p

a) Să se verifice că I 0 = 1 . b) Să se calculeze I1 .

5p

c) Folosind, eventual, faptul că 1 ≤ ln x ≤ 2 oricare ar fi x ∈  e, e2  , să se demonstreze că   1≤

2n+1 − 1 n ≤ 2 , pentru orice n ∈ ` . n +1


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Varianta 14

14

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 014

5p

1. Să se demonstreze că dacă a ∈ \∗ , atunci ecuaţia ax 2 − ( 2a + 1) x + a + 1 = 0 are două soluţii reale distincte.

5p

2. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) = x 2 − 11x + 30 . Să se calculeze f ( 0 ) ⋅ f (1) ⋅ ... ⋅ f ( 6 ) .

5p

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 x + 3 − 2 x = 28 .

5p

4. Să se efectueze A62 − 2C64 . 5. Să se calculeze lungimea segmentului determinat de punctele A(2,3) şi B(5, − 1). 6. Să se calculeze perimetrul triunghiului ABC ştiind că AB = 2, BC = 4 şi m()B ) = 60D.

scM2 u

5p 5p

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

14

5p 5p

5p 5p 5p 5p

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 014 5 0 n A ⋅ A ⋅ ... ⋅

A. 1. Se consideră matricea A =   ∈ M2 (\ ) . Se notează A =  0 1 de n ori

a) Să se calculeze A2 + A .  5n 0  n n b) Ştiind că An =   , pentru oricare n ∈ ` , n ≥ 2 , să se rezolve ecuaţia det ( A ) = 2 ⋅ 5 − 125 . 0 1  

c) Să se determine transpusa matricei B = A + A2 + ... + A2009 .

2. Se consideră polinomul f = X 4 + mX 2 + n, unde m, n ∈\. Rădăcinile polinomului sunt x1 , x2 , x3 , x4 . a) Să se determine m, n∈ \ , ştiind că polinomul f admite rădăcinile x1 = 0 şi x2 = 1. b) Să se determine m ∈ \ astfel încât rădăcinile polinomului să verifice relaţia x12 + x22 + x32 + x42 = 2 . c) Pentru m = 1 şi n = 1 să se descompună polinomul f în produs de factori ireductibili în \ [ X ].

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

14

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 014

1. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → \, f ( x) =

ln x . x

5p a) Să se calculeze f ′(e) . 5p b) Să se determine ecuaţia asimptotei orizontale spre +∞ a graficului funcţiei f . BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT2, programa M2 5p c) Să se demonstreze că xe ≤ e x , pentru orice x > 0 . 2. Se consideră funcţia f : [ −4, 4] → \, f ( x ) = 16 − x 2 . 4

5p

a) Să se calculeze

∫f

2

( x) dx .

0 5

5p

b) Să se verifice că

− 5

x dx = 0 . f ( x) m

5p

c) Să se demonstreze că 0 ≤ ∫ f ( x) dx ≤ 8 , oricare ar fi m ∈ [ 0, 2] . 0


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Varianta 15

15 5p

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 015 1. Să se determine numărul submulţimilor cu două elemente ale mulţimii {1, 2,3, 4} .

5p

1 2. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 125x = . 5 2 3. Fie funcţia f : \ → \ , f ( x ) = x + 5 x + m + 6 . Să se determine valorile reale ale lui m ştiind că

5p

f ( x ) ≥ 0 , pentru oricare x ∈ \ .

5p

6. Să se calculeze perimetrul triunghiului ABC, ştiind că AB = 5, AC = 4 şi m()A) = 60D .

scM2 u

5p

4. Să se determine numărul real x , ştiind că 2 x − 1, 4 x şi 2 x+1 + 3 sunt trei termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. JJJG JJJG JJJG 5. Să se calculeze AB + BC + CA , ştiind că A, B şi C sunt vârfurile unui triunghi.

5p

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

15

5p 5p

5p 5p 5p 5p

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 015  4 −2  1 2 1 0 1. Se consideră matricele A =   şi I 2 =  , B =  în M2 ( \ ) .  2 4  −2 1  0 1 a) Să se verifice că AB = BA . b) Să se calculeze A2 + B 2 , unde A2 = A ⋅ A şi B 2 = B ⋅ B .

c) Să se arate că C 4 = 54 ⋅ I 2 , unde C = A + B şi C 4 = C ⋅ C ⋅ C ⋅ C .

2. Se consideră polinoamele cu coeficienţi raţionali f = X 4 + aX 3 + bX 2 − 5 X + 6 şi g = X 3 + X − 2 . a) Să se determine a, b ∈_ astfel încât polinomul f să fie divizibil cu polinomul g . b) Pentru a = −3 şi b = 1 să se descompună polinomul f în produs de factori ireductibili în _[ X ] . c) Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 33x − 32 x+1 + 3x − 5 + 6 ⋅ 3− x = 0 .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

15

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 015

5p 5p

1. Se consideră funcţiile f n : \ → \ , f0 ( x) = e− x − 1 şi f n +1 ( x) = f n′ ( x), pentru orice n ∈ `. a) Să determine f1 ( x ), x ∈ \ . b) Să se determine ecuaţia asimptotei orizontale către +∞ a graficului funcţiei f 0 .

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ f 2 ( x) + x −-1Proba D, MT2, programa M2

5p

c) Să se calculeze lim

x →0

.

x2

2. Se consideră funcţia f : \ → \ , 1

5p

a) Să se verifice că

∫ 0

5p

f ( x) x2 + 1

f ( x) = e x x 2 + 1 .

dx = e − 1.

b) Să se determine aria suprafeţei plane cuprinse între graficul funcţiei g : \ → \, g ( x ) = xe− x f ( x ) , axa Ox şi dreptele de ecuaţii x = 0 şi x = 1 . 1

5p

c) Să se calculeze

−1

x 2 + 1 ⋅ f ( x ) dx .


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Varianta 16

16 5p

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 016

5p

2. Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiei log 2 ( x + 5 ) = 3.

5p

3. Să se determine o ecuaţie de gradul al II-lea ale cărei soluţii x1 şi x2 verifică relaţiile x1 + x2 = 1 şi x1 x2 = −2.

5p

1. Să se calculeze C83 − C85 .

4. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) = x 2 − 3 x + 2 . Să se calculeze f ( f ( 0 ) ) − f ( 2 ) .

5. Să se determine coordonatele punctului C, simetricul punctului A ( 5,4 ) faţă de punctul B ( −2,1) .

5p

6. Triunghiul ABC are AB = 3, AC = 4 şi BC = 5 . Să se calculeze lungimea înălţimii duse din vârful A.

scM2 u

5p

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

16

5p

5p 5p

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 016  mx + y + z = m 2 − 3  , unde m este un parametru real. 1. Se consideră sistemul  5 x − 2 y + z = −2 (m + 1) x + 2 y + 3 z = −2  1 1 m a) Să se determine m ∈ \ , ştiind că 5 −2 1 = −12 . m +1 2 3 b) Să se determine m ∈ \ astfel încât sistemul să admită soluţia (1, 2, −3) . c) Pentru m = −1 să se rezolve sistemul de ecuaţii.

2. Se consideră polinomul f = X 3 − 9 X 2 − X + 9 care are rădăcinile x1 , x2 , x3 ∈ \.

5p 5p

a) Să se determine câtul şi restul împărţirii polinomului f la X 2 − 1 .

5p

c) Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia f (3 x ) = 0.

b) Să se verifice că x13 + x23 + x33 = 9( x12 + x22 + x32 ) − 18 .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

16

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 016

5p

e x − 1, x<0 1. Se consideră funcţia f : \ → \, f ( x) =  , unde a ∈ \ . 2  x + x + a, x ≥ 0 a) Să se determine a ∈ \ astfel încât funcţia f să fie continuă în punctul x0 = 0 .

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT2, programa M2

5p 5p

 1  b) Să se determine ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul A  −1; − 1 . e   c) Să se arate că funcţia f ' este crescătoare pe ( 0;+∞ ) , oricare ar fi a ∈ \ . 3

2. Se consideră I n = ∫ 2

xn x2 − 1

dx, n ∈ `.

1 3 ln . 2 2

5p

a) Să se verifice că I 0 =

5p

b) Să se calculeze I1.

5p

c) Să se demonstreze că I n + 2 − I n =

3n +1 − 2n +1 , pentru orice n ∈ ` . n +1


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Varianta 17

17 5p

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 017 1. Să se calculeze 2 log 3 4 − 4log 3 2 .

5p 5p

2. Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiei 2 x −1 + 2 x = 12 .

5p

4. Fie funcţia f : [ 0, 2] → \ , f ( x ) = −4 x + 3 . Să se determine mulţimea valorilor funcţiei f . 5. Se consideră triunghiul echilateral ABC înscris într-un cerc de centru O. Să se arate că JJJG JJJG JJJG JG OA + OB + OC = O . 6. Să se calculeze sin135°.

5p

scM2 u

5p

3. Să se determine numărul natural n, n ≥ 1 ştiind că An1 + Cn1 = 10.

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

17

5p 5p 5p

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 017 1. În reperul cartezian xOy se consideră punctele O (0,0) şi An ( n, 2n + 1), n ∈ `. a) Să se determine ecuaţia dreptei A1 A2 . b) Să se calculeze aria triunghiului OA1 A2 . c) Să se arate că toate punctele An (n, 2n + 1), n ∈ ` sunt coliniare.

5p

 a 0   2. Se consideră mulţimea M =  A(a ) =  0 0  a 0   a) Să se verifice dacă A(a ) ⋅ A(b) = A(2ab) ,

5p 5p

a    0  a ∈ \ .  a   oricare ar fi numerele reale a şi b.

1 b) Să se arate că A   este element neutru faţă de operaţia de înmulţire a matricelor pe M . 2 c) Să se determine simetricul elementului A(1) ∈ M în raport cu operaţia de înmulţire a matricelor pe mulţimea M .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

17

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 017

1. Se consideră funcţia f : \* → \ , f ( x) =

5p

ex

x2

.

a) Să se calculeze f ′( x), x ∈ \∗ .

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT2, programa M2

5p

b) Să se demonstreze că funcţia f este descrescătoare pe ( 0, 2 ] .

5p

c) Să se arate că 2e

3

≤ 3e

2

.

2. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → \ , f ( x) = ln x − x . 2

5p

a) Să se calculeze

∫ ( x − f ( x) + ln x)

2

dx .

1

5p 5p

b) Să se demonstreze că orice primitivă F a funcţiei f este concavă pe intervalul (1, +∞) . c) Să se calculeze aria suprafeţei plane cuprinse între graficul funcţiei h : [1, e ] → \, h ( x ) = f ( x ) + x ,

axa Ox şi dreptele x = 1 şi x = e .


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

5p 5p 5p 5p 5p

5p

Varianta 18

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 018 1 1. Să se calculeze log 2 3 + log 2 . 3 2. Să se calculeze probabilitatea ca, alegând un element al mulţimii {0,1, 2,3,4,5} , acesta să verifice inegalitatea n ! < 50 .

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 x − 14 ⋅ 2− x = −5 . 4. Să se demonstreze că pentru orice număr real a, ecuaţia de gradul al doilea x 2 − ( 2sin a ) x + 1 − cos 2 a = 0 admite soluţii reale egale. JJJG JJJG 5. În reperul cartezian xOy se consideră vectorii OA ( 2, −3) şi OB (1, −2 ) . Să se determine numerele JJJG JJJG reale α şi β pentru care vectorul 3OA − 5OB are coordonatele (α , β ) . 6. Raza cercului circumscris triunghiului ABC este

3 , iar BC = 3 . Să se calculeze sin A . 2

scM2 u

18

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

18

5p 5p

5p

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 018  b   a +b 2 1. Se consideră mulţimea G =  A =   a, b ∈ ], a = 1 .  −b a − b   

1 0 0 0 a) Să se verifice dacă matricele I 2 =   şi respectiv O2 =   aparţin mulţimii G. 0 1 0 0 b  a +b b) Să se determine matricea B ∈ M2 (] ) astfel încât   = aI 2 + bB , oricare a, b ∈ ] .  −b a − b  c) Să se demonstreze că inversa oricărei matrice din G este tot o matrice din G.

2. Se consideră polinomul cu coeficienţi raţionali f = X 3 + aX 2 − 5 X + 14 şi suma S n = x1n + x2n + x3n , n ∈ ` ∗ , unde x1 , x2 , x3 sunt rădăcinile polinomului f .

5p 5p 5p

a) Să se determine numărul raţional a astfel încât polinomul f să admită rădăcina x1 = −2 . b) Pentru a = −4 să se rezolve ecuaţia f ( x) = 0 . c) Pentru a = −4 să se demonstreze egalitatea S3 + 42 = 4 S 2 + 5S1 .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

18

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 018

5p

1. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) = ( x + 1) + ( x − 1) . a) Să se verifice că f ′( x ) = 4 x , pentru orice x ∈ \ . 2

f ( x)

2

5p

b) Să se calculeze lim

5p

c) Să se determine intervalele de monotonie ale funcţiei g : \ → \, g ( x ) =

.

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT2, programa M2 x →+∞ x 2

f '( x ) f ( x)

.

2. Se consideră funcţia f : ( 0; +∞ ) → \, f ( x ) = e x + ln x . 5p

a) Ştiind că g : ( 0; +∞ ) → \ , g ( x ) = f ( x ) − ln x , să se verifice că

5p

b) Să se calculeze

e

∫ f ( x ) dx . 1

∫ xf ( x e

5p

c) Să se demonstreze că

1

2

)

2

ee + e 2 − e + 1 . dx = 2

∫ g ( x ) dx = g ( x ) + C ,

x >0.


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Varianta 19

19 5p 5p

2. Se consideră funcţia f :

5p

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia

5p

4. Să se determine numărul natural n, n ≥ 5 , ştiind că

5p

5. Să se determine numerele reale a, ştiind că lungimea segmentului determinat de punctele A ( −1, 2 ) şi

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 019 1. Să se calculeze log 6 24 − log 6 4 .

, f ( x ) = x 2 − 3 x + 2 . Să se calculeze f ( 0 ) ⋅ f (1) ⋅ … ⋅ f ( 2009 ) . x − 5 = 2.

( n − 3)! = 6. ( n − 5 )!

B ( 4 − a, 4 + a ) este egală cu 5.

6. Să se calculeze cos 2 45 + sin 2 135 .

scM2 u

5p

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

19

5p 5p

5p

5p 5p 5p

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 019

n   1 1. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A n  log 2   , log3 9n  şi Bn ( − n, 2n) , n ∈`∗ .    2   a) Să se determine ecuaţia dreptei care trece prin punctele B 1 şi B 2 .

b) Să se arate că An = Bn , oricare ar fi n ∈`∗ .

c) Să se demonstreze că pentru orice n ∈`∗ , punctul An aparţine dreptei A1 A2 .

2. În mulţimea \[ X ] se consideră polinoamele f = X 4 + X 3 + X 2 + X + 1 şi g = X 2 − X − 1 . a) Să se determine câtul şi restul împărţirii polinomului f la polinomul g . b) Să se arate că dacă y este rădăcină a polinomului g , atunci y 3 = 2 y + 1 . c) Să se demonstreze că dacă y este rădăcină a polinomului g , atunci f ( y ) nu este număr raţional.

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

19

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 019

1. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → \ , f ( x) =

5p

a) Să se calculeze f ′( x), x ∈ ( 0, +∞ ) .

ln x x2

.

5p BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ lim f ( x) . - Proba D, MT2, programa M2 b) Să se calculeze x→+∞

5p

e

5p

)

1 , pentru orice x ∈  e , +∞ . 2e 1 1 2. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → \ , f ( x ) = 2 − . ( x + 1) 2 x

c) Să se demonstreze că 0 < f ( x) ≤

a) Să se calculeze

1

∫ x  f ( x) + ( x + 1)2  dx .

5p

  b) Să se arate că orice primitivă a funcţiei f este crescătoare pe ( 0, +∞ ) .

5p

c) Să se verifice că

1

2

22

∫ f ′( x) f ( x)dx = − 81 . 1


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. Toate subiectele sunt obligatorii. • Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Varianta 20

20 5p

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 020 1. Să se calculeze log3 6 + log3 2 − log3 4 .

5p 5p

2. Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiei x 2 − x − 2 = 2. 3. Să se determine o ecuaţie de gradul al II-lea ale cărei soluţii x1 şi x2 verifică simultan relaţiile x1 + x2 = 2 şi x1 x2 = −3.

5p

4. Să se determine m ∈ \ \ {1} , ştiind că abscisa punctului de minim al graficului funcţiei f : \ → \ , f ( x ) = ( m − 1) x 2 − ( m + 2 ) x + 1 este egală cu 2.

5. Să se determine distanţa dintre punctele A ( 3, −1) şi B ( −1, 2 ) .

5p

6. Să se determine numărul real x pentru care x, x + 7 şi x + 8 sunt lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic.

scM2 u

5p

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

20

5p 5p 5p

5p 5p 5p

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 020 1. În reperul cartezian xOy se consideră punctele O (0,0) şi An ( n + 2,3n − 2) , n ∈ ` . a) Să se scrie ecuaţia dreptei determinate de punctele A1 şi A2 . b) Să se calculeze aria triunghiului OA0 A1 . c) Să se demonstreze că pentru orice n ∈ ` , n ≥ 3, punctele A1 , A2 şi An sunt coliniare. 2. Se consideră polinoamele f = 3 X 5 + 3 X 3 + 3 X + 4 ∈ ] 5 [ X ] şi g = 3 X 3 + 3 X 2 + 2 X + 3 ∈ ] 5 [ X ] .  + f (1)  . a) Să se calculeze f (0) b) Să se rezolve în mulţimea ] 5 ecuaţia f ( x) = 0 . c) Să se determine câtul împărţirii polinomului f la polinomul g .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

20

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 020

1. Se consideră funcţia f : [ 0,1] → \ , f ( x) =

ex . x+2

a) Să se calculeze f ′( x), x ∈ [ 0,1] . 5p 5p BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, M2 b) Să se arate că f este funcţie crescătoare peMT2, . [0;1]programa 5p

c) Să se demonstreze că

3 1 ≤ ≤ 2, pentru orice x ∈ [ 0,1] . e f ( x)

x

2. Se consideră funcţiile f , F : \ → \ , f ( x) = e− x şi F ( x) = ∫ f (t )dt . 0

5p 5p

a) Să se arate că F ( x) = − f ( x) + 1, pentru orice x ∈ \ . b) Să se demonstreze că funcţia h : \ → \, h( x) = F ( x) − f ( x) este concavă pe \ .

5p

c) Să se calculeze

∫ x⋅ f (x 1

0

2

) dx .


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

21 5p

Varianta 21

5p

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 021 1. Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiei x + 1 = 5 − x . 2. Se consideră funcţia f : → , f ( x ) = 2 x + 3 . Să se calculeze f (0) + f (1) + … + f (5) .

5p 5p

3. Să se determine mulţimea valorilor reale ale numărului x pentru care −4 ≤ 3 x + 2 ≤ 4 . 4. Să se calculeze distanţa dintre punctele de intersecţie ale graficului funcţiei f : → , f ( x ) = − x 2 + 2 x + 8 cu axa Ox .

5p

AB . BC 6. Să se calculeze aria triunghiului ABC, ştiind că AB = 6 , AC = 8 şi BC = 10 .

5. Dacă AB + 2CB = 0 , să se determine valoarea raportului

scM2 u

5p

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

21

5p 5p

5p

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 021  3 1 1  0 3 4 1 0 0     1. Se consideră matricele A =  0 3 1  , B =  0 0 3  , I3 =  0 1 0  şi funcţia f : M3 ( \) → M3 (\) ,  0 0 3  0 0 0 0 0 1       f ( X ) = X 2 − 3 X + I 3 , unde X 2 = X ⋅ X . a) Să se calculeze det( I 3 + B ) . b) Să se demonstreze că f ( A) = I 3 + B .

c) Să se arate că ( f ( A) ) = I 3 + 3B + 3B 2 , unde ( f ( A) ) = f ( A) ⋅ f ( A) ⋅ f ( A) . 3

3

2. Pe mulţimea numerelor întregi se definesc legile de compoziţie x ∗ y = x + y − 3 şi x D y = ( x − 3) ( y − 3) + 3.

5p 5p 5p

a) Să se rezolve în mulţimea numerelor întregi ecuaţia x D x = x ∗ x . b) Să se determine numărul întreg a care are proprietatea că x D a = 3, oricare ar fi numărul întreg x .  x ∗ ( y + 1) = 4 c) Să se rezolve sistemul de ecuaţii  , unde x, y ∈ ] .  ( x − y) D1 = 5

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

21

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 021

1. Se consideră funcţia f : \ \ {1} → \ , f ( x) = x2 − 2 x − 3

x2 + x + 2 . x −1

, pentru orice x ∈ \ \ {1} .

5p

a) Să se verifice că f ′( x) =

5p

b) Să se determine ecuaţia asimptotei oblice către +∞ la graficul funcţiei f. 1 c) Să se arate că f ( x ) − f   ≥ 8 , oricare ar fi x > 1 .  x

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ ( x −-1Proba )2 D, MT2, programa M2

5p

2. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x) = 3x + 3− x . 1

5p

a) Să se calculeze

f ( x)dx .

−1

5p 5p

b) Să se calculeze volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul axei Ox, a graficului funcţiei g : [ 0,1] → \, g ( x ) = 3− x .

c) Să se arate că orice primitivă F a funcţiei f este concavă pe ( −∞,0] şi convexă pe [ 0, +∞ ) .


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

22 5p 5p

Varianta 22

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 022 1. Să se determine numărul real x , ştiind că x − 3, 4, x + 3 sunt trei termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. 2. Să se calculeze distanţa dintre punctele de intersecţie ale graficului funcţiei f : → , f ( x ) = x 2 − 8 x + 7 cu axa Ox.

5p 5p 5p

3. Să se arate că E = 1 + 3 + 5 + … + 21 este număr natural. 4. Să se determine câte numere naturale de câte trei cifre distincte se pot forma cu elementele mulţimii {1, 2,3, 4} . 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( 2,1) şi B ( −1, 2 ) . Să se determine coordonatele

punctului C ∈ ( AB ) astfel încât

scM2 u

5p

CA =2. CB 6. În triunghiul ABC măsura unghiului C este egală cu 60° , AB = 4 şi BC = 2. Să se calculeze sin A .

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

22

5p 5p 5p

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 022  a b   2 2 1. Se consideră mulţimea G =   a, b ∈ ], a − 3b = 1 ⊂ M 2 (]) .  3b a  

1 0 0 0 a) Să se verifice că I 2 =   ∈ G şi O2 =  ∉G . 0 1 0 0 b) Să se arate că pentru orice două matrice A, B ∈ G are loc egalitatea A ⋅ B = B ⋅ A . c) Să se demonstreze că inversa oricărei matrice din G aparţine mulţimii G.

2. Se consideră polinomul f = mX 3 + 11X 2 + 7 X + m , f ∈ \ [ X ] .

5p 5p

a) Să se determine m ∈ \ astfel încât polinomul f să fie divizibil cu polinomul g = X − 1 .

5p

c) Pentru m = −9 să se calculeze suma pătratelor rădăcinilor polinomului f .

b) Să se determine m ∈ _ astfel încât f

( 2 )∈_ .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

22

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 022 1. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → \ , f ( x) = x − e ln x .

5p

a) Să se calculeze f ′( x), x ∈ ( 0, +∞ ) .

5p

b) Să se calculeze lim

f ( x)

.

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT2, programa M2 x →e f ′( x )

5p

c) Să se determine intervalele de monotonie ale funcţiei f. 1 1 . 2. Se consideră funcţia f : [ 2, +∞ ) → \ , f ( x) = + x x −1 e

5p

a) Să se calculeze

1 

∫  f ( x) − x − 1 dx . 2

5p

b) Să se arate că orice primitivă F a funcţiei f este concavă pe [ 2;+∞ ) .

5p

c) Să se determine a real, a > 2 astfel încât aria suprafeţei plane, mărginite de graficul funcţiei f, axa Ox şi dreptele de ecuaţii x = 2 şi x = a , să fie egală cu ln 3 .


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

23 5p 5p

Varianta 23

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 023

2x − 1 ≤4. 2 2. Să se determine coordonatele punctului de intersecţie a dreptei de ecuaţie y = −4 cu graficul funcţiei 1. Să se determine numărul întreg x care verifică inegalităţile 3 ≤ f : \ → \ , f ( x ) = x2 − 6x + 5 .

5p 5p 5p

3. Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiei log 2 ( x − 3) = 0 .

4. Să se determine câte numere de două cifre se pot forma cu elementele mulţimii {1, 2,3, 4} . JJJG JJJG 5. În reperul cartezian xOy se consideră vectorii OA ( 2, −1) şi OB (1, 2 ) . Să se determine coordonatele JJJJG vectorului OM , unde M este mijlocul segmentului AB . 6. Să se calculeze sin120 °.

scM2 u

5p

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

23

5p 5p 5p

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 023 1. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(7, 4), B(a, a) şi C (3, −2) unde a ∈ \ . a) Pentru a = 0 să se calculeze aria triunghiului ABC . b) Pentru a = −2 să se determine ecuaţia dreptei care trece prin punctele B şi C. c) Să se determine a ∈ \ , astfel încât punctele B, C şi M ( x, −2) sunt coliniare, pentru orice x ∈ \ .

2. Se consideră polinomul f ∈ \ [ X ] , f = X 4 + aX 3 + ( a + 3) X 2 + 6 X − 4 care are rădăcinile x1 , x2 , x3 , x4 .

5p 5p 5p

a) Să se determine a ∈\ astfel încât x1 + x2 + x3 + x4 = 3 .

b) Să se determine a ∈\ astfel încât polinomul să fie divizibil cu X − 2 . c) Pentru a = −3 să se descompună polinomul f în produs de factori ireductibili în \ [ X ] .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

23

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 023

(

)

1. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x) = x 2 − 2 x + 1 e x .

5p 5p

a) Să se calculeze f ′( x), x ∈ \ . b) Să se determine punctele de extrem ale funcţiei f.

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT2, programa M2

5p

 f ′( x)  − 1 . c) Să se calculeze lim x  x →+∞  f ( x) 

2. Se consideră funcţiile f , F : [1, +∞ ) → \ , f ( x ) = ln x + 5p

a) Să se arate că funcţia F este o primitivă a funcţiei f .

5p

b) Să se calculeze

2

∫ 1

( )

f e x dx . 2

5p

c) Să se demonstreze că

∫ 1

f ( x) F ( x ) dxt =

( 3ln 2 − 1)2 2

.

1 şi F ( x ) = ( x + 1) ln x − x + 1 . x


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

24 5p 5p 5p

Varianta 24

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 024 1. Să se calculeze suma 1 + 3 + 5 + ... + 19 .

2. Să se demonstreze că ecuaţia x 2 − 2 x + 1 + a 2 = 0 nu admite soluţii reale, oricare ar fi a ∈ \∗ . 3. Să se determine valorile reale ale lui m , ştiind că valoarea minimă a funcţiei f : \ → \ , 1 f ( x ) = x 2 − mx + m − 1 este egală cu − . 4 −2

5p 5p

1 4. Să se ordoneze crescător numerele   , 64 şi 3 8 . 4 JJJG JJJG JJJG 5. Fie ABC un triunghi echilateral înscris într-un cerc de centru O. Să se calculeze AB + AC − 3 AO . 6. Să se calculeze aria triunghiului ABC, ştiind că AB = 3 , AC = 3 şi măsura unghiului A este egală cu 120° .

scM2 u

5p

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

24

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 024  x − 2 y + 3 z = −3  1. Se consideră sistemul de ecuaţii  2 x + y + z = 4 , unde m ∈ \.  mx − y + 4 z = 1 

5p

a) Să se determine m∈\ astfel încât (2,1, −1) să fie o soluţie sistemului.

5p

1 −2 3 b) Să se rezolve ecuaţia 2 1 1 = m 2 − 3m , unde m ∈ \. m −1 4

5p

c) Pentru m = −5 să se rezolve sistemul de ecuaţii.

2. Se consideră polinomul f = X 3 − (m + 1) X 2 − 3 X + 3 , f ∈_ [ X ].

5p 5p

a) Să se determine m ∈ _ astfel încât suma rădăcinilor polinomului f să fie egală cu 1.

5p

c) Pentru m = 0 să se descompună polinomul f în factori ireductibili în _ [ X ] .

b) Să se determine m ∈ _ astfel încât polinomul f să admită rădăcina x1 = 3 .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

24

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 024

1. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → \ , f ( x) =

x4 − ln x . 4

a) Să se calculeze f ′( x), x ∈ ( 0, +∞ ) . b) Să se determine punctul de extrem al funcţiei BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT2,f. programa M2 5p 5p

5p

c) Să se demonstreze că ln x ≤

x2 − 1 , pentru orice x ∈ ( 0, +∞ ) . 4

2

2. Fie I n = ∫ x n e x dx , pentru n ∈ ` . 1

5p

a) Să se calculeze I 0 .

5p

b) Să se arate că I1 = e 2 .

5p

c) Să se demonstreze că

( n + 1) I n + I n +1 = e ( 2n +1 e − 1) , pentru orice

n∈` .


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

25 5p 5p

Varianta 25

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 025 1. Să se calculeze lg 20 + lg 3 − lg 6 .

5p

2. Să se calculeze probabilitatea ca, alegând un număr natural de două cifre, acesta să fie pătrat perfect. 3. Să se determine mulţimea soluţiilor reale ale ecuaţiei 7 − x = 1 .

5p

4. Să se determine m ∈ \ , ştiind că soluţiile x1 , x2 ale ecuaţiei x 2 − ( 2m + 1) x + 3m = 0 verifică relaţia x1 + x2 + x1 x2 = 11 .

5. Să se demonstreze că, în orice triunghi dreptunghic ABC de arie S şi ipotenuză de lungime a , este adevărată identitatea a 2 sin B sin C = 2 S .

5p

6. Să se calculeze sin170D − sin10D .

scM2 u

5p

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

25

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 025

5p

 x + y + z =1 1 1 1     1. Se consideră sistemul de ecuaţii  x + 2 y + az = 1 şi matricea A(a) = 1 2 a  ∈ M 3 (\) .   2 2 1 4 a  x + 4 y + a z = 1 a) Să se calculeze det( A(4)) .

5p

b) Să se determine a ∈ \ pentru care matricea A(a ) este inversabilă.

5p

c) Pentru a ∈ \ \ {1, 2} să se rezolve sistemul.

2. Fie polinomul f = X 3 + aX 2 − aX − 4 , f ∈ \ [ X ] .

5p

a) Să se determine a∈\ astfel încât x1 + x2 + x3 = −2 , unde x1 , x2 , x3 sunt rădăcinile reale ale

polinomului f .

5p

b) Să se determine a∈\ astfel încât polinomul f să fie divizibil cu polinomul X 2 − 2 .

5p

c) Să se determine a∈] pentru care polinomul f are o rădăcină raţională pozitivă.

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

25

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 025

1. Se consideră funcţia f : \ → \, f ( x ) = e x − x .

5p a) Să se calculeze f ′( x), x ∈ \ . 5p b) Să se demonstreze că f ( x ) ≥ 1, pentru orice x ∈ \ . BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT2, M2 −∞ laprograma graficul funcţiei f. c) Să se scrie ecuaţia asimptotei oblice către 5p 3 2 2. Se consideră funcţia f : \ → \, f ( x ) = x + mx + nx + p, unde m, n, p ∈ \ . 1

5p

a) Pentru m = 0, n = −3, p = 2 , să se calculeze

∫ f ( x)dx . 0 1

5p

b) Să se determine m, n, p ∈ \, ştiind că f ′( −1) = f ′(1) = 0 şi

−1

5p

c) Să se calculeze lim

1

x →+∞ x 4

x

∫ f (t )dt. 0

f ( x)dx = 4 .


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

26 5p 5p

Varianta 26

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 026 1. Se consideră progresia aritmetică ( an ) n ≥1 în care a3 = 5 şi a6 = 11 . Să se calculeze a9 . 2. Se consideră funcţia f : → , f ( x) = 2 + x . Să se calculeze f (1) + f (2) + … + f (20) . 2 +5

5p 5p

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 4 x + 2 = 2 x 4. Să se rezolve ecuaţia Cnn++21 = 2, unde n ∈ .

5p

5. Să se determine numărul real m pentru care vectorii v = 2i + 3 j şi w = −i + mj sunt coliniari. 6. Să se calculeze cos 30° + cos 60° + cos120° + cos150° .

scM2 u

5p

.

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

26

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 026  0 1 0 0 1 0 2 1. Se consideră matricele O2 =   , unde a, b ∈ ] . Se notează A = A ⋅ A .  , I2 =   şi A =  0 0 0 1 a b      

5p

a) Să se calculeze A2 .

5p 5p

b) Să se verifice că A2 = aI 2 + bA .

5p 5p 5p

c) Ştiind că X ∈ M2 ( ] ) şi AX = XA , să se arate că există m,n ∈ ] astfel încât X = mI 2 + nA .

2. Se consideră polinomul f = X 4 + aX 3 − X − 1 , unde a ∈ ] . a) Să se determine a ştiind că x = 1 este rădăcină a polinomului f . b) Pentru a = 1 să se determine rădăcinile reale ale polinomului f . c) Să se demonstreze că f ( x ) ≠ 0 , oricare ar fi x ∈_ \ ] .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

26

5p 5p

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 026 1. Se consideră funcţia f : \ → \, f ( x ) = e x − x − 1 . a) Să se calculeze derivata funcţiei f . b) Să se determine intervalele de monotonie ale funcţiei f . 2

5p BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ D, MT2, c) Să se arate că e x + e x ≥ x 2 + x- +Proba oriceprograma x ∈ \ . M2 2, pentru

2. Se consideră funcţiile f , g : ( 0, + ∞ ) → \, f ( x ) = 1 + ln x şi g ( x ) = x ln x .

5p

a) Să se arate că g este o primitivă a funcţiei f .

5p

b) Să se calculeze

5p

c) Să se determine aria suprafeţei plane cuprinse între graficul funcţiei g , axa Ox şi dreptele de ecuaţii x = 1 şi x = e .

e

∫ f ( x ) ⋅ g ( x ) dx . 1


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Varianta 27

27 5p

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 027 1. Să se determine elementele mulţimii A = { x ∈ `

5p

2. Se consideră ecuaţia x 2 + 3 x − 5 = 0 cu soluţiile x1 şi x2 . Să se calculeze x12 + x22 .

5p

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia

5p

4. Să se calculeze C40 − C41 + C42 − C43 + C44 . 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1,2), B(5,6) şi C( −1 ,1). Să se determine ecuaţia medianei duse din vârful C al triunghiului ABC. 6. Să se calculeze aria triunghiului MNP dacă MN = 6, NP = 4 şi m()MNP ) = 30° .

5p

x 2 − 25 = 12 .

scM2 u

5p

2 x − 1 ≤ 1} .

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

27

5p 5p

5p

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 027  1 1  1 −1 0 0 1. Se consideră matricele A =  , B=  şi O2 =  .  1 −1  1 1 0 0 a) Să se calculeze A2 , unde A2 = A ⋅ A . b) Să se verifice că AB − 2 B = O2 .

c) Să se arate că dacă X ∈ M2 ( \ ) şi A ⋅ X ⋅ B = O2 , atunci suma elementelor matricei X este egală cu zero. 2. Se consideră polinoamele f , g ∈] [ X ] , f = X 2 + 1 şi g = X + 1 şi mulţimea

{

}

2

H = a + bX + cX 2 a, b, c ∈] 2 .

5p 5p 5p

a) Să se verifice că g 2 = f . b) Să se determine câtul şi restul împărţirii polinomului f + g la polinomul f . c) Să se determine numărul elementelor mulţimii H .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

27

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 027

1. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → \ , f ( x ) =

ln x . x

a) Să se calculeze f ′ ( x ) , x ∈ ( 0; +∞ ) . 5p b) Să se determine intervalele de monotonie ale funcţiei f . M2 BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT2, programa c) Să se determine ecuaţia asimptotei orizontale la graficul funcţiei f. 5p 2. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) = x1004 + 2009 x . 5p

∫ f ( x ) dx .

5p

a) Să se determine

5p

b) Să se arate că orice primitivă a funcţiei f este funcţie crescătoare pe \ .

5p

c) Să se calculeze

1

∫ x⋅ f (x 0

2

) dx .


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

28 5p

Varianta 28

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 028 1. Să se determine cea mai mică valoare a funcţiei f : [ −2,1] → \ , f ( x ) = −3 x + 1 .

2. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) = 2 x − 1 . Să se calculeze f (1) + f ( 2 ) + ... + f ( 6 ) .

5p

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia log 2 (2 x + 5) = log 2 ( x 2 + 3 x + 3) .

5p 5p

4. Să se calculeze probabilitatea ca, alegând unul dintre numerele C42 , C52 şi C43 , acesta să fie divizibil cu 3. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(2,3), B(1,5) şi C(4,2). Să se calculeze distanţa de la punctul A la mijlocul segmentului BC.

5p

6. Se calculeze sin 60D − cos30D .

scM2 u

5p

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

28

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 028

5p 5p 5p

1 0  1 −1 1. Se consideră mulţimea M = {aI 2 + bV a,b ∈ \} , unde I 2 =   şi V =  .  1 −1 0 1 a) Să se verifice că I 2 ∈ M . b) Să se arate că dacă A ∈ M şi A este matrice inversabilă, atunci a ≠ 0 . c) Ştiind că A,B ∈ M , să se arate că AB ∈ M .

2. Pe mulţimea numerelor reale se consideră legea de compoziţie x ∗ y = xy − 5 ( x + y ) + 30.

5p 5p 5p

a) Să se demonstreze că x ∗ y = ( x − 5 )( y − 5 ) + 5 , oricare ar fi x, y ∈ \ . b) Să se determine elementul neutru al legii de compoziţie „ ∗ ”. c) Ştiind că legea de compoziţie „ ∗ ” este asociativă, să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia x ∗ x ∗ x = x .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

28

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 028

1 x  ⋅ e − 1, x ≤ 1 1. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) =  e .  ln x , x >1 5p a) Să se studieze continuitatea funcţiei f D, în MT2, punctul x0 = 1 . M2 BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba programa 5p b) Să se determine ecuaţia asimptotei către −∞ la graficul funcţiei f . 5p c) Să se arate că funcţia f este concavă pe (1, + ∞ ) . 2. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) = 5p

a) Să se determine

5p

b) Să se verifice că

∫(x

2

)

+ 1 ⋅ f ( x ) dx .

1

∫ f ( x ) dx = ln ( 2e ). 0

1

5p

c) Să se arate că

∫ f ′( x)⋅ e 0

f ( x)

dx = e(e − 1) .

x2 + 2 x + 1 x2 + 1

.


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

29 5p

Varianta 29

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 029 1. Să se calculeze C52 − A42 + 6 .

5p

2. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) = x − 3. Să se calculeze f ( −6) + f (0) + f (6) + f (12) .

5p

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia log3 ( x 2 − 1) = 1 .

5p 5p

 2 x − y = 3 4. Să se rezolve sistemul  2 , unde x ∈ \, y ∈ \ .  x + 2 x − 7 = y 5. Să se determine numerele reale m şi n pentru care punctele A(3, −1 ) şi B(1,1) se află pe dreapta de ecuaţie x + my + n = 0 .

(

)(

)

6. Să se calculeze cos150D + cos 30D sin120D − sin 60D .

scM2 u

5p

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

29

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 029 1. În mulţimea M2 ( \ ) notăm cu At transpusa matricei A .

5p

1 0 t a) Să se calculeze I 2 + ( I 2 ) , unde I 2 =  . 0 1

5p

b) Să se demonstreze că pentru orice A∈ M2 ( \ ) şi m ∈ \ are loc relaţia ( mA ) = mAt .

5p

0 0 c) Să se determine matricele A∈ M2 ( \ ) pentru care A + At = O2 , unde O2 =  . 0 0

t

(

2. Pe mulţimea numerelor reale se consideră legea de compoziţie x ∗ y = x − 2

5p 5p 5p

)( y − 2 ) +

2.

a) Să se rezolve ecuaţia x ∗ x = x , unde x ∈ \ . b) Să se demonstreze că legea de compoziţie „ ∗ ” este asociativă. c) Să se determine elementul neutru al legii de compoziţie „ ∗ ”.

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

29

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 029 1. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → \ , f ( x ) = x − ln x .

a) Să se arate că f (1) − f ′ (1) = 1 . b) Să se determine punctul de extrem al funcţiei f . 5p f ( x) − x - Proba D, MT2, programa M2 BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ 5p c) Să se calculeze lim x →+∞ x 5p

1

2. Se consideră integralele I = ∫ 0

1

ex xe x dx şi J = ∫ dx . x +1 x + 1 0

5p

a) Să se verifice că I + J = e − 1 .

5p

b) Utilizând, eventual, inegalitatea e x ≥ x + 1 , adevărată pentru orice x ∈ \ , să se arate că J ≥

5p

c) Să se demonstreze că I =

1

e−2 ex +∫ dx . 2 2 0 ( x + 1)

1 . 2


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Varianta 30

30 5p 5p

1. Să se calculeze suma 1 + 2 + 2 2 + 23 + ... + 27 . 2. Să se arate că ( x − 1)( x − 2 ) > x − 3 , oricare ar fi x ∈ \ .

5p 5p

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 x + 3 = x . 4. Să se calculeze probabilitatea ca, alegând un element n din mulţimea {1, 2,3, 4,5} , acesta să verifice

5p

inegalitatea n 2 ≤ 2 n . 5. Să se determine m ∈ \ pentru care dreptele d1 : −2 x − my + 3 = 0 şi d 2 : mx + y − 5 = 0 sunt paralele.

5p

6. Să se calculeze sin 30D − cos 45D + sin 60D .

scM2 u

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 030

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

30

5p 5p 5p 5p 5p 5p

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 030  x + ay + a 2 z = a  1. Se consideră sistemul de ecuaţii  x + by + b 2 z = b , unde a, b, c ∈ \ , sunt distincte două câte două.  2  x + cy + c z = c a) Să se rezolve sistemul pentru a = 0 , b = 1 şi c = 2 . b) Să se verifice că det ( A) = ( a − b )( b − c )( c − a ) , unde A este matricea asociată sistemului.

c) Să se demonstreze că soluţia sistemului nu depinde de numerele reale a, b şi c . 2. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie x ∗ y = x + y + m , unde m este număr real. a) Să se arate că legea de compoziţie "∗ " este asociativă. b) Să se determine m astfel încât e = −6 să fie elementul neutru al legii "∗ " .

(

) (

)

c) Să se determine m astfel încât − 3 ∗ − 2 ∗ m ∗ 3 = 3 2 .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

30

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 030

1. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) = x 2 + e x .

5p

a) Să se calculeze lim

f ( x ) − f ( 0)

. x BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba programa M2 b) Să se arate că funcţia f este convexă peD,\MT2, . 5p 5p c) Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia f ′ ( x ) − f ′′ ( x ) + f ( x ) = e x − 3 . x →0

1

2. Pentru orice număr natural n se consideră I n = ∫ x (1 + x ) dx . n

0

5p

a) Să se calculeze I1 .

5p

b) Utilizând faptul că (1 + x ) ≤ (1 + x ) I 2009 ≥ I 2008 .

5p

c) Folosind, eventual, identitatea x (1 + x ) = (1 + x )

n

n +1

, pentru orice n ∈ ` şi x ∈ [ 0,1] , să se arate că

n

x ∈ \ , să se arate că I n =

n ⋅ 2n+1 + 1 . ( n + 1)( n + 2 )

n +1

− (1 + x ) , adevărată pentru orice n ∈ ` şi n


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

31 5p 5p

Varianta 31

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 031 1. Se consideră progresia aritmetică ( an ) n≥1 în care a1 = 1 şi a5 = 13 . Să se calculeze a2009 .

2. Ecuaţia x 2 + mx + 2 = 0 are soluţiile x1 şi x2 . Să se determine valorile reale ale lui m pentru care

( x1 + x2 )2 − 2 x1 x2 = 5 . 2

−x

=4.

5p

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 x

5p

1 4. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) = m 2 − 1 x + m + 1 . Să se arate că f (1) ≥ − , oricare ar fi m ∈ \ . 4 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A( −1 , −1 ), B(2,3) şi C(3,1). Să se determine coordonatele punctului D astfel încât patrulaterul ABDC să fie paralelogram.

5p

)

6. Să se calculeze cos80D + cos100D .

scM2 u

5p

(

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

31

5p 5p 5p

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 031   b  a 1 0 1. Se consideră mulţimea M =  A ( a, b ) =   a,b ∈ \  şi matricea I 2 =  .  −b a − b  0 1   a) Să se calculeze determinantul matricei A(1,1) . b) Să se demonstreze că dacă A, B ∈M , atunci A + B ∈ M . c) Să se arate că det ( I 2 − A ( 0, b ) ) ≠ 0 , oricare ar fi b ∈ \ .

2. Se consideră inelul de polinoame Z3 [ X ] .

(

) ( X + 1 ) , să se calculeze g ( 0ˆ ) . 2

5p

a) Pentru g ∈ Z3 [ X ] , g = X + 2

5p

b) Dacă f ∈Z3 [ X ] , f = X 3 + 2 X , să se arate că f ( x ) = 0 , oricare ar fi x ∈ ] 3 .

5p

c) Să se determine toate polinoamele h ∈] 3 [ X ] , care au gradul egal cu 3 şi pentru care h 0ˆ = h 1ˆ = h 2ˆ = 0 .

( ) () ( )

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

31

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 031

1. Se consideră funcţia f : ( 0, + ∞ ) → \ , f ( x ) = x 2 ln x .

5p

a) Să se arate că f ′ ( x ) = x ( 2ln x + 1) , oricare ar fi x ∈ ( 0, + ∞ ) . f ′( x)

5p

b) Să se calculeze lim . - Proba D, MT2, programa M2 BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ x →+∞ x ln x 5p

1 , pentru orice x > 0 . 2e 2. Se consideră funcţia f : \ → \, f ( x ) = xe x .

c) Să se demonstreze că f ( x ) ≥ −

1

5p

a) Să se determine

∫ f ( x)e

−x

dx .

0 1

5p

b) Să se arate că

∫ f ′′ ( x ) dx = 2e − 1. 0 2

5p

c) Să se calculeze

∫ 1

( ) dx .

f x2 x


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Varianta 32

32 5p

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 032 1. Să se determine raţia unei progresii aritmetice ( an )n≥1 , ştiind că a10 − a2 = 16 .

5p

2. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) = x + 3 . Să se calculeze f ( 2 ) + f 22 + ... + f 27 .

5p 5p

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia

( )

( )

x + 1 = x −1.

4. Să se determine probabilitatea ca, alegând un element n al mulţimii {1, 2,3, 4} , acesta să verifice

5p

6. Să se verifice că în orice triunghi dreptunghic ABC , de ipotenuză BC, are loc relaţia sin 2 B + sin 2 C = 1 .

scM2 u

5p

inegalitatea n ! ≥ n 2 . 5. Să se calculeze distanţa de la punctul O(0,0) la punctul de intersecţie a dreptelor d1 : 2 x − y − 2 = 0 şi d2 : x + 3 y − 8 = 0 .

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

32

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 032 1. Se consideră punctele An ( n, n 2 ) , unde n ∈ `.

5p

a) Să se determine ecuaţia dreptei A0 A1 .

5p 5p

b) Să se calculeze aria triunghiului A0 A1 A2 .

c) Să se arate că pentru orice m, n, p ∈ ` , distincte două câte două, aria triunghiului Am An Ap este un număr natural.

(

)

2. Se consideră polinomul f = 4 X 4 + 4mX 3 + m 2 + 7 X 2 + 4mX + 4 , unde m ∈ \ .

5p 5p 5p

a) Să se determine m ∈ \ ştiind că x = 1 este rădăcină a polinomului f . b) Să se determine m ∈ \ ştiind că suma rădăcinilor polinomului f este egală cu 0. c) Pentru m = −5 să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia f ( x ) = 0 .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

32

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 032

1. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) = x −

5p

a) Să se calculeze f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) .

1

ex

.

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ f ( x ) + f '-( xProba ) D, MT2, programa M2 5p

b) Să se calculeze lim

. x c) Să se arate că funcţia f este concavă pe \ . x →∞

5p

2. Se consideră funcţiile f , g : [ 0,1] → \ , f ( x) = 1 − x , g ( x ) = 1 − x + x 2 − x 3 + ... + x 2008 − x 2009 . a) Să se determine mulţimea primitivelor funcţiei f. 5p 5p b) Să se determine volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul axei Ox, a graficului funcţiei f . 1

5p

c) Să se arate că

∫ ( x + 1) g ( x ) dx < 1 . 0


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

33 5p

Varianta 33

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 033 1. Se consideră progresia aritmetică ( an )n≥1 , în care a1 = 2 şi a2 = 4 . Să se calculeze suma primilor 10 termeni ai progresiei.

5p

2. Să se determine funcţia de gradul al doilea f : \ → \ , f ( x ) = x 2 − ( 2m + 1) x + 3, m ∈ \ , al cărei 7 . 2 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 32 x −1 = 35 − x .

grafic are abscisa vârfului egală cu

5p 5p

4. Să se calculeze A52 − P3 . 5. Să se determine numărul real m pentru care punctul A(2,3) se află pe dreapta d : 2 x − y + m = 0 . 6. Să se calculeze aria triunghiului MNP ştiind că MN = 4 , NP = 6 şi m()MNP) = 45° .

scM2 u

5p 5p

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

33

5p

5p 5p

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 033  1 a c     1. Se consideră mulţimea M =   0 1 b  a, b, c ∈ ]  .  0 0 1    

 1 2 1 1 3 1   a) Dacă A =  0 1 3  şi B =  0 1 2  , să se calculeze AB .  0 0 1 0 0 1     b) Să se demonstreze că pentru oricare X , Y ∈ M , rezultă că XY ∈ M . c) Să se demonstreze că, dacă U ∈ M şi VU = UV , pentru orice V ∈ M , atunci există p ∈ ] astfel încât

1 0 p   U = 0 1 0  . 0 0 1   

(

)

2

2. Se consideră polinomul f = X 2 − 2 X + 1 − a 2 , unde a ∈ \ .

5p 5p 5p 33

a) Ştiind că a = 0 să se determine soluţiile ecuaţiei f ( x ) = 0 .

(

)(

)

b) Să se verifice că f = X 2 − 2 X + 1 + a X 2 − 2 X + 1 − a . Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării c) SăCentrul se determine f are toate rădăcinile reale. care polinomul a ∈pentru \ pentru Naţional Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 033

1. Se consideră funcţia f : [ 0, + ∞ ) → \ , f ( x ) = 1 −

2e x

x + ex

.

2e x (1 − x ) ′ 5p a) Să se verifice că , pentru orice f x = x ∈ [ 0, + ∞) . ( ) BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT2, programa M2 2 x + ex

(

5p 5p

)

b) Să se determine ecuaţia asimptotei orizontale către +∞ la graficul funcţiei f . 1− e c) Să se arate că −1 ≤ f ( x ) ≤ , oricare ar fi x ≥ 0 . 1+ e 1

xn dx . x + 1 0

2. Pentru orice număr natural nenul n se consideră, I n = ∫ 5p

a) Să se calculeze I1 .

5p

b) Să se arate că I n +1 + I n =

5p

c) Utilizând, eventual, inegalitatea

demonstreze că

1 , oricare ar fi n ∈ `∗ . n +1

1 ≤ 2010 ⋅ I 2009 ≤ 1 . 2

xn xn ≤ ≤ x n , adevărată pentru orice x ∈ [ 0,1] şi n ∈ `∗ , să se 2 x +1


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Varianta 34

34

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 034

5p

1. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale inecuaţia ( 2 x − 1) ≤ 9 . 2

5p

2. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) = x + 1 . Să se calculeze f (0) + f (1) + f (2) + ... + f (10 ) .

5p 5p

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia log 2 ( x 2 + 4) = log 2 ( x + 4) .

5p

5. Să se determine ecuaţia dreptei care trece prin punctele A ( 2, −3) şi B ( −3, 2 ) .

5p

6. Să se determine aria unui triunghi ABC în care AB = 5, AC = 6 şi m ( )BAC ) = 60D .

scM2 u

4. Să se determine probabilitatea ca, alegând unul dintre numerele P3 , A31 şi C43 , acesta să fie divizibil cu 3.

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

34

5p 5p

5p

5p 5p 5p

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 034  a c    1 3 ∗ t 1. Se consideră mulţimea M =   a,b,c,d ∈ \  şi matricea A =   . Se notează cu X b d 2 6      transpusa matricei X . a) Să se calculeze At ⋅ A .

(

)

a c  2 t b) Să se arate că, pentru orice matrice X =   din M , are loc egalitatea det X ⋅ X = ( ad − bc ) . b d   a c  a c t c) Să se arate că, pentru orice matrice X =   ∈ M cu det X ⋅ X = 0 , are loc relaţia = . b d b d   2. Pe mulţimea numerelor reale, se consideră legea de compoziţie definită prin x D y = xy − x − y + 2 . a) Să se arate că legea “ D ” este asociativă. b) Să se arate că, pentru oricare x, y ∈ (1,+ ∞ ) , rezultă că x D y ∈ (1, + ∞ ) .

(

)

c) Să se determine a ∈ ] cu proprietatea că x D a = a , oricare ar fi x ∈ ] .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

34

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 034

1. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) = ( x 2 + 2 x + 3)e x .

5p

a) Să se calculeze f ′ ( x ) , x ∈ \ .

f ( x ) − f ( 0) BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT2, programa M2 5p b) Să se determine . lim x →0 x 5p c) Să se demonstreze că funcţia f ′ este crescătoare pe \ .

2. Se consideră funcţiile f , g : ( 0, + ∞ ) → \ , f ( x ) = x 2 + x ln x şi g ( x ) = 2 x + ln x + 1 . 5p

a) Să se arate că f este o primitivă a funcţiei g.

5p

b) Să se calculeze

e

∫ f ( x ) g ( x ) dx . 1

5p

c) Să se determine aria suprafeţei plane cuprinse între graficul funcţiei f , axa Ox şi dreptele de ecuaţii x = 1 şi x = e .


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

35 5p

Varianta 35

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 035 1. Să se calculeze log5 10 + log 5 3 − log5 6 .

5p

2. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) = 2 x + 1 . Să se calculeze f (1) + f ( 2 ) + ... + f ( 6 ) .

5p 5p

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 5 x − x = 55 x −5 . 4. După două scumpiri succesive cu 10%, respectiv cu 20%, preţul unui produs este de 660 lei. Să se determine preţul iniţial al produsului. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( 2, −1) şi B ( −2, 2 ) . Să se determine distanţa dintre punctele A şi B . 6. În triunghiul MNP se cunosc MN = 3, MP = 5 şi m()M ) = 60° . Să se calculeze lungimea laturii NP.

5p

scM2 u

5p

2

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

35

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 035

1. Fie funcţia f : M2 ( R ) → M2 ( R ) definită prin f ( A ) = A + At , unde At este transpusa matricei A.

5p

a) Să se calculeze f ( I 2 ) .

5p

b) Să se demonstreze că ( A + B ) = At + Bt , oricare ar fi A, B ∈ M2 ( R ) .

5p

0 0 c) Să se determine matricele A∈ M2 ( R ) pentru care det A = 1 şi f ( A) = O2 , unde O2 =  . 0 0

5p 5p 5p

t

2. Se consideră ecuaţia x4 − ax3 − ax + 1 = 0 cu soluţiile x1 , x2 , x3 , x4 , unde a ∈ \ . a) Să se determine a ∈ \ astfel încât x1 + x2 + x3 + x4 = 5 . b) Pentru a = 1 , să se determine soluţiile reale ale ecuaţiei. c) Să se determine valorile întregi ale lui a pentru care ecuaţia admite cel puţin o soluţie număr întreg.

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

35

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 035

1. Se consideră funcţia f : ( 0, + ∞ ) → \ , f ( x ) = x x − 3 x .

3 x −6 , pentru orice x ∈ ( 0; +∞ ) . 2 BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT2, programa 5p b) Să se determine intervalele de monotonie ale funcţiei f . M2

5p

a) Să se verifice că f ′ ( x ) =

5p

c) Să e demonstreze că −4 ≤ f ( x ) + f x 2 ≤ 0, pentru orice x ∈ ( 0;1] .

( )

2. Se consideră funcţiile f , F : \ → \ , f ( x ) = e x + 3 x 2 + 2 şi F ( x ) = e x + x3 + 2 x − 1 . a) Să se arate că funcţia F este o primitivă a funcţiei f. 5p 1

5p

b) Să se calculeze

∫ f ( x ) ⋅ F ( x ) dx . 0 1

5p

c) Să se demonstreze că

∫ ( x f ( x ) + F ( x ) ) dx = F (1) . 0


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Varianta 36

36

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 036

5p

1. Să se determine numerele reale a şi b pentru care ( a − 3) + ( b + 2 ) = 0 .

5p

2. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) = 5 − x . Să se calculeze f (0) ⋅ f (1) ⋅ f (2) ⋅ ... ⋅ f (5) .

5p

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia log3 (3x − 1) = log3 (2 x + 1) .

5p 5p

2

4. Să se demonstreze că parabola asociată funcţiei f : \ → \ , f ( x ) = x 2 − 2mx + m2 + 1 este situată deasupra axei Ox , oricare ar fi m ∈ \ . 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1,1) , B (2,3) şi C (3, m) . Să se determine numărul real m pentru care punctele A, B şi C sunt coliniare. 6. Raza cercului circumscris triunghiului ABC are lungimea de 3 şi AC = 6 . Să se calculeze sin B .

scM2 u

5p

2

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

36

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 036

 a b b    1 1 1 1 0 0      1. Se consideră mulţimea G =  b a b  a, b ∈ ]  şi matricele B = 1 1 1 şi I 3 =  0 1 0  .  b b a    1 1 1 0 0 1       

5p 5p

a) Să se verifice că B 2 = 3B , unde B 2 = B ⋅ B . b) Să se arate că mI 3 + nB ∈ G , oricare ar fi m, n ∈ ] .

5p

0 0 0 c) Să se arate că dacă A ∈ G şi A = O3 , atunci A = O3 , unde O3 =  0 0 0  şi A2 = A ⋅ A . 0 0 0   2

2. Se consideră polinomul f = X 4 − 12 X 2 + 35, f ∈ \ [ X ] .

5p

a) Să se arate că f = ( X 2 − 6 ) − 1 .

5p 5p

b) Să se demonstreze că polinomul f nu are rădăcini întregi. c) Să se descompună polinomul f în produs de factori ireductibili în R [ X ] .

2

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

36

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 036

(

)

1. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) = x 2 − 3x − 3 e x .

5p

a) Să se calculeze f ′ ( x ) , x ∈ \ . b) Să se determine ecuaţia asimptotei orizontale spre −∞ la graficul funcţiei f .

5p BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT2, programa M2 5p c) Să se arate că tangenta la graficul funcţiei f , dusă în punctul de coordonate ( −2, f (−2) ) , este paralelă cu axa Ox .  x + 2, x < 0 . 2. Se consideră funcţia f : \ → \ dată prin f ( x ) =  x e + 1, x ≥ 0 a) Să se arate că funcţia f admite primitive pe \ . 5p 1

5p

b) Să se calculeze

∫ f ( x ) dx .

−1

1

5p

c) Să se demonstreze că

∫ x f (x 0

2

) dx = 2e .


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Varianta 37

37

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 037

5p 5p

1. Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiei 2 x = 16 . 2. Se consideră funcţia f : → , f ( x ) = 2 − x . Să se calculeze f (1) ⋅ f (2) ⋅ … ⋅ f (10) .

5p

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia

5p

4. Să se calculeze probabilitatea ca, alegând un element al mulţimii {3, 4,5,6} , acesta să verifice

2

x2 − x − 2 = x − 2 .

inegalitatea n ( n − 1) ≥ 20 .

5. Să se determine coordonatele simetricului punctului A ( 2, −4 ) faţă de punctul B (1, −2 ) .

5p

6. Să se calculeze sin 2 80 + sin 2 10 .

scM2 u

5p

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

37

5p

5p 5p

5p 5p 5p

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 037

1 0 1 1. În mulţimea M3 ( Z ) se consideră matricele F =  0 1 0  şi 0 0 1   2 a) Să se determine numerele a, b şi c astfel încât A + F =  0 0 

1 a b   A =  0 1 c . 0 0 1   3 4  2 5 . 0 2  b) Să se arate că pentru a = c = 0 şi b = −1 matricea A este inversa matricei F.  1 2 3   c) Să se rezolve ecuaţia F ⋅ X =  4 5 6  , unde X ∈M3 ( Z ) . 7 8 9   2. Pe mulţimea \ se consideră legea de compoziţie x ∗ y = 2 xy − x − y + 1 .

a) Să se arate că x ∗ y = xy + (1 − x )(1 − y ) , oricare ar fi x, y ∈ \ . b) Să se arate că legea de compoziţie „ ∗ ” este asociativă. c) Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia x ∗ (1 − x ) = 0 .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

37

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 037

1. Se consideră funcţia f : [1, + ∞ ) → \ , f ( x ) =

5p

a) Să se calculeze lim f ( x ) .

x − ln x . x + ln x

x →1

2 ( ln x − 1) 5p b) Să se arate că f ′ ( x ) = , oricare ar fi programa x ∈ [1, + ∞ M2 ). BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT2, ( x + ln x )2 5p

c) Să se determine ecuaţia asimptotei către +∞ la graficul funcţiei g : [1, + ∞ ) → \ , g ( x ) =

(

)

2. Se consideră funcţiile f , g : \ → \, f ( x ) = ln x 2 + 1 şi g ( x ) = 1

5p

a) Să se verifice că

∫ f ′ ( x ) dx = ln 2 . 0

5p

b) Să se demonstreze că

5p

c) Să se calculeze

2

∫ 1

∫ g ( x ) dx = f ( x ) + C.

g ( x)

f 2 ( x)

dx .

2x x +1 2

.

f ′( x)

( f ( x ) + 1)2

.


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

38 5p 5p

Varianta 38

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 038 1. Se consideră progresia geometrică ( bn )n≥1 în care b1 = 2 şi b2 = 6 . Să se calculeze b5 .

2. Să se determine numerele reale m pentru care minimul funcţiei f : \ → \ , f ( x ) = x 2 + mx + 2 este

1 egal cu − . 4 5p 5p

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 32 x −5 = 3x

5p

5. Să se determine ecuaţia dreptei care trece prin punctul A (1,1) şi are panta egală cu 1.

5p

6. În triunghiul ABC se cunosc AB = AC = 6 şi BC = 6 3 . Să se calculeze cos B .

−8

.

= 21, n ∈ `, n ≥ 2 .

scM2 u

4. Să se rezolve ecuaţia

Cn2

2

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

38

5p 5p 5p

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 038 x + 3 y + 2z = b  1. Se consideră sistemul  x − 2 y + az = 5 , unde a,b ∈ \ .  x + y + 4z = 4 

a) Să se calculeze determinantul matricei asociate sistemului. b) Pentru a = −1 şi b = 2 să se rezolve sistemul. c) Să se determine numărul real b , ştiind că ( x0 , y0 ,z0 ) este soluţie a sistemului şi că x0 + y0 + z0 = 4 .

2. Se consideră polinoamele f = X 2 − 12 X + 35 şi g = ( X − 6 ) algebrică g = a2009 X

+ a2008 X

2009

2008

2009

+ X − 6 . Polinomul g are forma

+ ... + a1 X + a0 , cu a0 , a1 ,..., a2009 ∈ \ .

5p

a) Să se calculeze f ( 5 ) + g ( 5 ) .

5p 5p

b) Să se arate că numărul a0 + a1 + ... + a2009 este negativ. c) Să se determine restul împărţirii polinomului g la polinomul f.

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

38

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 038

x2 − 1

1. Se consideră funcţia f :

, f ( x) =

5p

a) Să se arate că f ′ ( x ) =

4x

, oricare ar fi x ∈

5p

b) Să se determine intervalele de monotonie ale funcţiei f .

5p

c) Ştiind că g :

(

)

x2 + 1

.

.

2 BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ x 2 + 1 - Proba D, MT2, programa M2

lim

1 , g ( x ) = f ( x ) + f   , să se determine  x

( ) ( )

(

)

g ( x ) + g x 2 + g x3 + … + g x 2009 + x 2010

x →0

x

2009

.

e2

2. Se consideră I n =

∫ x ln

n

x dx , pentru orice n ∈ .

e

5p 5p 5p

a) Să se calculeze I 0 . b) Să se arate că I n ≤ I n +1 , oricare ar fi n ∈ c) Să se demonstreze că are loc relaţia I n =

.

(

)−nI

e 2 e 2 ⋅ 2n − 1 2

2

n −1 ,

pentru orice n ∈

.


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

39

Varianta 39

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 039 −1

5p 5p

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 169 − x 2 = 12 . 4. Câte numere formate din 3 cifre distincte se pot forma cu elementele mulţimii A = {1, 2,3, 4} ?

5p

5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(2,4), B(1,1), C(3, −1 ). Să se calculeze lungimea medianei duse din vârful A al triunghiului ABC. 6. Să se calculeze aria unui triunghi dreptunghic care are un unghi de 60° şi ipotenuza de lungime 8.

5p

scM2 u

5p

1 1. Să se calculeze log 2 4 +   − 3 8 . 2 2. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) = 3 − 2 x . Să se calculeze f (0) + f (1) + f ( 2 ) + ... + f ( 6 ) .

5p

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

39

5p 5p 5p

5p 5p 5p

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 039  a b   1 0 1. Se consideră mulţimea M =   a, b, c ∈  şi matricea I 2 =  . b c  0 1   a) Să se arate că I 2 ∈ M . b) Ştiind că A, B ∈ M , să se arate că A + B ∈ M . c) Să se demonstreze că det ( AB − BA) ≥ 0 , oricare ar fi A, B ∈ M .

2. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie x ∗ y = − xy + 2 x + 2 y − 2 . a) Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia x ∗ 4 = 10. b) Să se determine a ∈ astfel încât x ∗ a = a ∗ x = a , oricare ar fi x ∈ . 1 2 4018 ∗ ∗… ∗ c) Ştiind că legea „ ∗ ” este asociativă, să se calculeze . 2009 2009 2009

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

39

5p

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 039 1. Se consideră funcţia f : ( 0, + ∞ ) → \ , f ( x ) = ln x − x + 1 . a) Să se calculeze f ′ ( x ) , x ∈ ( 0; +∞ ) .

5p b) Să se determine punctul de extrem al funcţiei f . 5p BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ c) Să se arate că 2 − e ≤ f ( 2 ) ≤ 0 .- Proba D, MT2, programa M2  x − 1, x ≥ 1 2. Se consideră funcţia f : \ → \, f ( x ) =  .  − x + 1, x < 1 2

5p

a) Să se calculeze

∫ f ( x ) dx . 1

5p

b) Să se determine a ∈ ( 0,1) astfel încât

a

∫ f ( x ) dx = 1 .

−a 1

5p

c) Să se calculeze

∫ x f (e 0

x

) dx .


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Varianta 40

40 5p

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 040 1. Să se formeze o ecuaţie de gradul al doilea, ştiind că aceasta are soluţiile x1 = 2 şi x2 = 3 .

5p

 x + y − 2 = 0 , unde x ∈ \, y ∈ \ . 2. Să se rezolve sistemul de ecuaţii  2  x − 2 x + y = 0

5p

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia log 5 (9 − x 2 ) = 1 .

5p

4. Să se calculeze probabilitatea ca, alegând un element n al mulţimii A = {1,2,3, 4} , acesta să verifice inegalitatea n ! < 5 .

5p

5. Să se calculeze

. cos 45D 6. Să se calculeze aria triunghiului ABC în care AB = 8, AC = 4 şi m()BAC ) = 45° .

scM2 u

5p

sin135D

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

40

5p 5p 5p

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 040  x + 4 y + 4 z = 15  1. Se consideră sistemul 3 x + ( a + 4 ) y + 5 z = 22 , unde a ∈ R .  3x + 2 y + ( 3 − a ) z = 16 

a) Pentru a = 1 să se calculeze determinantul matricei asociate sistemului. b) Să se arate că tripletul ( 7,1,1) nu poate fi soluţie a sistemului, oricare ar fi a ∈ \ . c) Să se determine soluţia ( x0 , y0 , z0 ) a sistemului pentru care y0 + z0 = 3 .

2. Pe mulţimea Z se consideră legile de compoziţie x ⊥ y = x + y + 1 , x D y = ax + by − 1 , cu a, b ∈Z şi

funcţia f ( x ) = x + 2 . f : Z → Z ,

5p 5p 5p

a) Să se demonstreze că x ⊥ ( −1) = ( −1) ⊥ x = x , oricare ar fi x ∈ Z .

b) Să se determine a, b ∈Z pentru care legea de compoziţie „ D ” este asociativă.

c) Dacă a = b = 1 să se arate că funcţia f este morfism între grupurile ( ] ,⊥ ) şi ( ] ,D ) .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

40

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 040

1. Se consideră funcţia f : ( 0, + ∞ ) → \ , f ( x ) = x 2 −

5p

a) Să se calculeze f ′ ( x ) , pentru x ∈ ( 0, + ∞ ) .

1

x2

.

5p b) Să se determine ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f înM2 punctul A (1;0 ) . BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT2, programa 5p

c) Să se calculeze lim

x →+∞

f ′( x) . x

5p

1 şi F ( x ) = x − ln x . x a) Să se arate că funcţia F este o primitivă a funcţiei f .

5p

b) Să se calculeze

2. Se consideră funcţiile f , F : ( 0, + ∞ ) → \ , f ( x ) = 1 − 2

∫ F ( x ) ⋅ f ( x ) dx . 1

5p

c) Să se determine aria suprafeţei plane cuprinse între graficul funcţiei F , axa Ox şi dreptele de ecuaţii x = 1 şi x = e .


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

5p 5p 5p 5p 5p

Varianta 41

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 041

1. Să se determine soluţiile reale ale inecuaţiei x 2 − 9 ≤ 0 .  2010  , 2  aparţine graficului funcţiei f : → , f ( x ) = 2009 x − 2008 . 2. Să se arate că punctul A   2009  3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 9 x − 4 ⋅ 3 x + 3 = 0 . 4. Să se determine numărul real x , ştiind că şirul 1, 2 x + 1, 9,13,… este progresie aritmetică. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele M(1,2) şi N(2,1). Să se determine ecuaţia dreptei MN. 6. Să se calculeze tg 2 30° + ctg 2 45° .

scM2 u

41 5p

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

41

5p 5p 5p 5p 5p 5p

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 041  x+ y+z=2  1. Se consideră sistemul  2 x + y − z = 3 , unde a ∈ \ . x − y + 2z = a 

a) Să se calculeze determinantul matricei asociate sistemului. b) Pentru a = 0 să se rezolve sistemul. c) Să se determine a ∈ \ astfel încât soluţia sistemului să verifice relaţia x = y + z .

2. Se consideră polinomul f ∈ \ [ X ] , f = X 3 − 2 X 2 + aX − 8 . a) Să se determine numărul real a astfel încât o rădăcină a polinomului f să fie egală cu 2. b) Pentru a = 4 să se determine câtul şi restul împărţirii polinomului f la polinomul g = X 2 − 2 X + 4 . c) Să se demonstreze că, dacă a ∈ ( 2, +∞ ) , atunci f nu are toate rădăcinile reale.

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

41

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 041 2x −1 . 1. Fie funcţia f : (1, + ∞ ) → \ , f ( x ) = x −1 a) Să se calculeze f ′( x), x ∈ (1; +∞ ) 5p

f ( x ) − f -( 2Proba ) = −1D,. MT2, programa M2 BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ 5p b) Să se verifice că lim

x−2 c) Să se arate că funcţia f este descrescătoare pe intervalul (1, + ∞ ) . x →2

5p

2. Se consideră funcţiile f , g : ( 0, + ∞ ) → \ , f ( x ) = 4

5p

a) Să se arate că

∫ f ( x ) dx = ln 4 + 2 . 1 4

5p

b) Să se verifice că

3

∫ g ( x ) dx = ln 4 − 4 . 1

∫ f (x e

5p

c) Să se calculeze

1

2

) ⋅ g ( x2 ) dx .

1 1+ x şi g ( x ) = ⋅ ln x . x 4


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

42 5p 5p

Varianta 42

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 042 1. Se consideră progresia aritmetică ( an ) n≥1 în care a1 = 6 şi a2 = 5 . Să se calculeze a7 . 2. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) = x 2 + 3 . Să se rezolve inecuaţia f ( x) ≤ 12 .

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 4 x − 6 ⋅ 2 x + 8 = 0 . 4. Câte numere formate din 4 cifre distincte se pot forma cu elementele mulţimii A = {1, 2,3, 4,5} ?

5p

5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A( −1 , −1 ), B(1,1) şi C(0, −2 ). Să se demonstreze că triunghiul ABC este dreptunghic în A . 6. Să se calculeze cos10° + cos 20° + cos160° + cos170° .

5p

scM2 u

5p 5p

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

42

5p

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 042 1 1  1 0 1. Se consideră matricele A =   şi I 2 =  .  1 −1 0 1 a) Să se verifice că A2 = 2 I 2 , unde A2 = A ⋅ A .

5p

b) Să se determine x real astfel încât det ( A − xI 2 ) = 0 .

5p

c) Să se demonstreze că A4 ⋅ X = X ⋅ A4 , pentru orice X ∈ M2 ( \ ) , unde A4 = A ⋅ A ⋅ A ⋅ A .

{

}

2. Se consideră mulţimea G = a + b 2 a,b ∈ ] , a 2 − 2b 2 = 1 .

5p 5p 5p

a) Să se verifice că 3 + 2 2 ∈ G . b) Să se demonstreze că x ⋅ y ∈ G, pentru oricare x, y ∈ G . c) Să se arate că orice element din mulţimea G are invers în G în raport cu înmulţirea numerelor reale.

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

42

5p 5p

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 042 1. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) = x 2010 + 2010 x . a) Să se determine f ′ ( x ) , x ∈ \ . b) Să se demonstreze că funcţia f este convexă pe \ .

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ f ′ ( x ) − f ′ (- 0Proba ) D, MT2, programa M2

5p

c) Să se calculeze lim

x →0

.

x

2. Se consideră funcţiile f , g : ( 0, + ∞ ) → \ , f ( x ) =

(

1

)

x x +1 2

şi g ( x ) =

1 . x

e

5p

a) Să se verifice că

∫ g ( x ) dx = 1 . 1

5p 5p

b) Folosind identitatea f ( x ) = g ( x ) − c) Utilizând inegalitatea f ( x ) ≤

1 2x

2

x x2 + 1

e

, adevărată pentru orice x > 0 , să se calculeze

, adevărată pentru orice x ∈ [1, e ] , să se arate că ln

∫ f ( x ) dx . 1

e +1 e +1 . ≥ 2 e 2


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Varianta 43

43

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 043

5p

x + y = 3 1. Să se determine soluţiile reale ale sistemului  . x − y =1

5p

2. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) = x + 5 . Să se calculeze f ( 2 ) + f 22 + ... + f 25 .

5p 5p

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 22 x +3 x −2 = 8 . 4. Să se calculeze probabilitatea ca, alegând un element n al mulţimii {2,3, 4,5} , acesta să verifice

5p

( )

2

inegalitatea n 2 + n > n ! . 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(2, −1 ) şi B (−2, a), a ∈ \ . Să se determine numărul real a astfel încât dreapta AB să conţină punctul O(0,0). 3 6. Să se calculeze cos x , ştiind că sin x = şi măsura unui unghi ascuţit. 5

scM2 u

5p

( )

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

43

5p 5p

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 043  a b c   0 0 0    1. Se consideră mulţimea M =  0 a d  a, b, c, d ∈ R  şi matricea O3 =  0 0 0  .  0 0 a   0 0 0      a) Să se arate că O3 ∈ M . b) Să se demonstreze că produsul a două matrice din M este o matrice din M .

5p

c) Ştiind că A∈ M şi det ( A ) = 0 , să se demonstreze că A3 = O3 , unde A3 = A ⋅ A ⋅ A .

2. Se consideră polinomul f = X 4 − X 3 + aX 2 + bX + c , unde a, b, c ∈ \ .

5p 5p

5p

a) Pentru a = c = 1 şi b = −1 să se determine câtul şi restul împărţirii polinomului f la X 2 + 1 .

b) Să se determine numerele a, b, c ştiind că restul împărţirii polinomului f la X 2 + 1 este X , iar restul împărţirii polinomului f la X − 1 este −1 . 1  c) Să se demonstreze că dacă a ∈  , + ∞  , atunci f nu are toate rădăcinile reale. 2 

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

43

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 043

1. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) =

5p

x2 − x + 1

. x2 + x + 1 a) Să se determine ecuaţia asimptotei către −∞ la graficul funcţiei f .

(

) , pentru orice x ∈ \ . 2 ( x2 + x + 1) 2 c) Să se demonstreze că oricare ar fi x ∈ \ avem ≤ f ( x ) + f ( x ) ≤ 2 . 3

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ D, MT2, programa M2 2 x 2 -−Proba 1

5p

5p

b) Să se arate că f ′ ( x ) =

4

2. Se consideră funcţia f : ( 0, + ∞ ) → \ , f ( x ) = x −

2

1 . x

e

5p

a) Să se calculeze ∫ f ( x ) dx .

5p

b) Să se arate că orice primitivă a funcţiei f este convexă pe intervalul ( 0, + ∞ ) .

5p

c) Să se demonstreze că volumele corpurilor obţinute prin rotaţia în jurul axei Ox, a graficelor 1 funcţiilor g , h : [1, e ] → \ , g ( x ) = f ( x ) şi h ( x ) = f   sunt egale.  x

1


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Varianta 44

44 5p

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 044 1. Se consideră progresia aritmetică ( an )n≥1 în care a2 = 5 şi r = 3 . Să se calculeze a8 .

5p

2. Se consideră funcţia f :

5p 5p 5p

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia log 5 (2 x + 1) = 1 . 4. Să se calculeze numărul submulţimilor cu 2 elemente ale unei mulţimi care are 6 elemente. 5. Să se determine coordonatele mijlocului segmentului AB , ştiind că A ( 5, −4 ) şi B ( −3,6 ) .

5p

6. Să se calculeze sin 2 150 + cos 2 30 .

( )

( )

, f ( x) = x + 2 . Să se calculeze suma f ( 3) + f 32 + … + f 35 .

scM2 u

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

44

5p 5p 5p

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 044 a b  0 0 t 1. Se consideră matricele O2 =   din M2 ( R ) . Se notează cu A transpusa matricei A . , A= 0 0 c d     a) Ştiind că ad = 4 şi bc = 3 , să se calculeze det ( A ) b) Să se calculeze A ⋅ At . c) Să se demonstreze că dacă suma elementelor matricei A ⋅ At este egală cu 0, atunci det ( A ) = 0.

2. Se consideră polinomul f = X 4 + 2 X 3 + aX 2 + bX + c ∈ \ [ X ] , cu rădăcinile x1 , x2 , x3 , x4 .

5p 5p 5p

a) Să se calculeze suma x1 + x2 + x3 + x4 . b) Să se determine rădăcinile polinomului f ştiind că a = −1, b = −2 şi c = 0 . c) Ştiind că rădăcinile polinomului f sunt în progresie aritmetică, să se demonstreze că b = a − 1 .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

44

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 044

1. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) = x 2 + e x .

5p

a) Să se verifice că f ′ ( 0 ) = 1 .

5p

b) Să se arate că funcţia f este convexă pe \ .

5p

c) Să se calculeze lim

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT2, programa M2 x →+∞

f ′( x) ex

.

2. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) = e x − x . 1

5p

a) Să se verifice că

3 ∫ f ( x ) dx = e − 2 . 0

1

5p

b) Să se calculeze

∫ x f ( x ) dx . 0 e2

5p

c) Să se arate că dacă F : \ → \ este o primitivă a funcţiei f , atunci

∫ e

f ( ln x ) x

dx = F ( 2 ) − F (1) .


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Varianta 45

45 5p

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 045 1. Să se determine coordonatele vârfului parabolei asociate funcţiei f : \ → \, f ( x) = x 2 + 4 x − 5.

5p

2. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x) = 3x − 4 . Să se calculeze f (1) + f ( 2 ) + ... + f (10 ) .

5p 5p

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia log 3 (10 − x) = 2 .

5p

4. Să se rezolve ecuaţia An2 = 12, n ∈ `, n ≥ 2 . 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1,2), B(5,2) şi C(3, −1 ). Să se calculeze perimetrul triunghiului ABC.

5p

6. Să se determine probabilitatea ca, alegând un element din mulţimea A = sin 30D , sin 45D , sin 60D ,

{

}

scM2 u

acesta să fie număr raţional.

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

45

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 045 a b  1 0 2 1. Se consideră matricele I 2 =   din M2 ( R ) . Se notează A = A ⋅ A .  şi A =  0 1 c d    

5p

a) Să se calculeze A2 .

5p

b) Să se verifice că A2 = ( a + d ) A − ( ad − bc ) I 2 .

5p

c) Ştiind că a + d ≠ 0 şi M ∈ M2 ( \ ) cu A2 M = MA2 , să se demonstreze că AM = MA .

2. Se consideră polinomul f ∈ \ [ X ] , f = X 3 − 2 X 2 + aX + b cu rădăcinile x1 , x2 , x3 .

5p

a) Pentru a = 1 şi b = 0 să se determine x1 , x2 , x3 .

5p

b) Ştiind că x12 + x22 + x32 = 2 , să se arate că a = 1 .

5p

c) Ştiind că f = ( X − x12 )( X − x22 )( X − x32 ) , să se determine numerele reale a şi b .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

45

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 045 1. Se consideră funcţiile f , g : \ → \ , f ( x ) = ( x − 1) e x şi g ( x ) = x e x .

a) Să se verifice că f ′ ( x ) = g ( x ) pentru orice x ∈ \ . 5p 5p b) Să se determine ecuaţia asimptotei spre −∞ la graficul funcţiei g . BACALAUREAT D, MT2, programa 5p c) Dacă I ⊂2009-MATEMATICĂ se demonstreze că funcţiaM2 \ este un interval, să- Proba g este crescătoare pe I dacă şi numai dacă funcţia f este convexă pe I . ln x 1 − ln x şi g ( x ) = . 2. Se consideră funcţiile f , g : [1, + ∞ ) → \ , f ( x ) = x x2 a) Să se arate că funcţia f este o primitivă a funcţiei g . 5p e

5p

b) Să se calculeze

∫ f ( x ) g ( x ) dx . 1

5p

c) Să se determine numărul real a ∈ (1; +∞ ) astfel încât

a

∫ f ( x ) dx = 2 . 1


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Varianta 46

46 5p

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 046 1. Se consideră progresia geometrică ( bn )n≥1 în care b1 = 1 şi b2 = 3 . Să se calculeze b4 .

5p

2. Ecuaţia x 2 − x + m = 0 are soluţiile x1 şi x2 . Să se determine numărul real m pentru care 1 1 3 + =− . x1 + 1 x2 + 1 4

5p

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia

5p

4. Să se calculeze probabilitatea ca, alegând un element n al mulţimii {1, 2,3, 4} , acesta să verifice

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar SUBIECTUL II (30p) – Varianta 046  2 −1  1 0 0 0 1. Se consideră matricele A =   , I2 =   , O2 =   şi mulţimea 0 1 0 0  4 −2 

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

5p

inegalitatea 3n > n 3 . 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(5, −1 ) şi B(3,1). Să se determine coordonatele simetricului punctului A faţă de punctul B. 6. Să se calculeze aria triunghiului MNP, ştiind că MN = 10, NP = 4 şi m()MNP ) = 60° .

scM2 u

5p

x 2 − 4 + x − 2 = 0.

46

{

}

G = M ( x, y ) M ( x, y ) = xI 2 + yA, x, y ∈ \ ⊂ M2 ( \ ) .

5p 5p

5p 5p 5p 5p

a) Să se verifice că A2 = O2 , unde A2 = A ⋅ A . b) Să se determine inversa matricei M (1,1) .

c) Să se determine matricele inversabile din mulţimea G . 2. În mulţimea R [ X ] se consideră polinomul f = X 3 + pX 2 + 1 cu rădăcinile x1 , x2 , x3 şi p ∈ \. a) Să se calculeze f ( − p ) .

b) Să se determine p ∈ \ pentru care polinomul f este divizibil cu X − 1. c) Să se calculeze în funcţie de p ∈ \ suma x14 + x24 + x34 .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 046

 x 2 − x + 1, 1. Se consideră funcţia f : ( 0; +∞ ) → \, f ( x ) =  1 + ln x,

5p

x ∈ ( 0;1) x ≥1

.

a) Să se studieze continuitatea funcţiei f în punctul x0 = 1 .

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ f ( x ) - Proba D, MT2, programa M2

5p

b) Să se calculeze lim

5p

3 c) Să se arate că f ( x ) ≥ , pentru orice x > 0 . 4

x →+∞

x

.

2. Se consideră funcţiile f , g : (1, + ∞ ) → \ , f ( x ) = x 2 + 2

5p

a) Să se verifice că

2 şi g ( x ) = x ln x . x

7

∫ f ( x ) dx = 2ln 2 + 3 . 1

2

5p

b) Să se arate că

1

5p

3

∫ g ( x ) dx = 2 ln 2 − 4 .

c) Să se arate că există x0 ∈ (1; 2 ) astfel încât f ( x0 ) > g ( x0 ) + 3 .


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

47 5p

Varianta 47

5p

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 047 1. Se consideră progresia aritmetică (an ) n≥1 în care a1 = 7 şi a7 = 37 . Să se calculeze suma primilor zece termeni ai progresiei. 2. Se consideră funcţia f : → , f ( x ) = 7 − x . Să se calculeze f (1) ⋅ f ( 2 ) ⋅ … ⋅ f ( 7 ) .

5p

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2

5p

4. Să se calculeze

− C65

= 4.

− C64 .

5. Să se determine numărul real pozitiv a astfel încât distanţa dintre punctele A ( 2, −1) şi B ( −1, a ) să fie egală cu 5. 6. Să se calculeze aria unui triunghi echilateral care are lungimea înălţimii egală cu 3 3 .

scM2 u

5p 5p

C75

x−1

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

47

5p 5p 5p

5p 5p 5p

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 047 1 0 0  2 0 0   1. Se consideră matricele I 3 =  0 1 0  şi A =  0 1 0  . 0 0 1 0 1 1     a) Să se determine matricea A2 , unde A2 = A ⋅ A .

b) Să se demonstreze că A3 = 4 A2 − 5 A + 2 I3 , unde A3 = A2 ⋅ A .

c) Să se determine numerele reale m, n, p astfel încât A−1 = mA2 + nA + pI 3 , unde A−1 este inversa matricei A. 2. Se consideră numerele reale x1 , x2 , x3 cu proprietatea că: 1 1 1 1 x1 + x2 + x3 = 2; + + = ; x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = −2 . x1 x2 x3 2 a) Să se calculeze x1 x2 x3 . b) Să se determine a, b, c ∈ \ , ştiind că ecuaţia x3 + ax 2 + bx + c = 0 are soluţiile x1 , x2 , x3 . c) Să se descompună polinomul f = X 3 − 2 X 2 − 2 X + 4 în factori ireductibili peste \ [ X ] . Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

47

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 047 1. Se consideră funcţia f : [1, + ∞ ) → \ , f ( x ) = x − 2 ln x .

5p

a) Să se calculeze f ′ ( x ) , x ∈ [1; +∞ ) .

5p

b) Să se demonstreze că ln

2010

1

.

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ D, MT2, programa M2 2009 - Proba 2

5p

c) Folosind faptul că 1 ≤ x ≤ x 2 ≤ 2 , oricare ar fi x ∈ 1, 2  , să se demonstreze inegalitatea x 2 − x ≤ 2ln x , pentru orice x ∈ 1, 2  . 3

2. Pentru fiecare n ∈ ` se consideră I n = ∫

xn

2 2 x −1

5p

1 3 a) Să se arate că I 0 = ln . 2 2

5p

b) Să se calculeze I1 .

5p

c) Să se demonstreze că I n + 2 − I n =

dx .

3n +1 − 2n +1 , oricare ar fi n ∈ ` . n +1


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

48 5p 5p

Varianta 48

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 048 1. Se consideră progresia aritmetică ( an )n≥1 în care a1 = 3 şi a3 = 7 . Să se calculeze suma primilor 10

termeni ai progresiei. 2. Să se determine numerele reale m pentru care punctul A( m, −1) aparţine graficului funcţiei f : \ → \ , f ( x ) = x2 − 3x + 1 .

5p

6. Triunghiul ABC are AB = 8, AC = 8 şi m()BAC ) = 30D . Să se calculeze aria triunghiului ABC.

scM2 u

5p 5p

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia log 5 (2 x + 3) = 2 . 4. Să se calculeze numărul submulţimilor cu 3 elemente ale unei mulţimi care are 5 elemente. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A( −1 , −2 ), B(1,2) şi C(2, −1 ). Să se calculeze distanţa de la punctul C la mijlocul segmentului AB.

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar SUBIECTUL II (30p) – Varianta 048 1 0 0  1 1 1   1. Se consideră matricele I 3 =  0 1 0  şi X =  0 1 1 din M3 ( R ) . Se notează X n = 

X ⋅ X ⋅ ... ⋅ X 0 0 1  0 0 1 de n ori    

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

5p

48

5p 5p 5p

pentru orice n ∈`∗ . a) Să se calculeze X 2 . b) Să se determine inversa matricei X .

c) Să se determine numărul real r astfel încât X 3 = 3 X 2 + rX + I 3 .

2. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie x D y = 2 x + y .

5p 5p 5p

a) Să se calculeze 2009 D ( −2009 ) .

b) Să se rezolve în \ ecuaţia x D x 2 = 64 . c) Să se demonstreze că, dacă ( x D y ) D z = 2 z +1 , atunci x = − y .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

48

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 048

1. Se consideră funcţia f : ( 0, + ∞ ) → \ , f ( x ) = 1

5p

a) Să se arate că f ′ ( x ) =

5p

b) Să se demonstreze că

5p

 c) Să se calculeze lim  x f ( x ) x →+∞ 

1

1 1 . − x x +1

, pentru orice x > 0 .

x2 ( x + 1) - Proba BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ D, MT2, programa M2 2

1 1 − ≥ f ( x ) , oricare ar fi x ∈ (1; +∞ ) . x x +1

3

2. Se consideră I n =

∫ 1

5p 5p 5p

1

x

n

( x2 + 1)

 1  f   .  x  dx , unde n ∈ ` .

3 −1 . 3 1 1 x = − 2 adevărată pentru orice x ≠ 0 , să se determine I1 . b) Utilizând identitatea 2 x x +1 x x +1

a) Să se verifice că I 0 + I 2 =

(

c) Să se arate că I n + I n−2 <

)

1 , oricare ar fi n ∈ ` , n ≥ 2 . n −1


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

49 5p 5p 5p 5p

Varianta 49

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 049 1. Să se calculeze suma 1 + 11 + 21 + 31 + ... + 111 .

2. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) = x 2 − 2 x + 4 . Să se determine valorile numărului real m pentru care punctul A( m, 4) aparţine graficului funcţiei f. 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 x + x +1 = 8 . 4. Să se calculeze probabilitatea ca, alegând un element n al mulţimii {1, 2,3, 4} , acesta să verifice 2

inegalitatea 2 n < n ! .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar SUBIECTUL II (30p) – Varianta 049 1 a 1. Se consideră matricele M a =   , unde a ∈ \ . 0 1

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

5p

5. În reperul cartezian xOy se consideră punctul A(m 2 , m) şi dreapta de ecuaţie d : x + y + m = 0 . Să se determine valorile reale ale lui m pentru care punctul A aparţine dreaptei d. 6. Să se calculeze aria triunghiului MNP, ştiind că MN = NP = 6 şi m()MNP ) = 120° .

scM2 u

5p

49

5p

a) Să se calculeze det ( M1 + M 2 ) .

5p

b) Să se calculeze M a2 , unde M a2 = M a ⋅ M a .

5p

c) Să se determine matricele X ∈ M2 ( \ ) pentru care M a X = XM a , oricare ar fi a ∈ \ .

2. Pe mulţimea \ se defineşte legea de compoziţie x ∗ y = 3 x3 + y 3 .

5p 5p

a) Să se calculeze x ∗ 0 . b) Să se demonstreze că legea „ ∗ ” este asociativă.

5p

c) Ştiind că x0 ∈ _ şi xn = x0 ∗ xn −1 , oricare ar fi n ∈`∗ , să se arate că x3 ∉ _ .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

49

5p

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 049 1. Se consideră funcţia f : ( 0, + ∞ ) → \ , f ( x ) = ( x − 2 ) ln x . a) Să se calculeze f ′ ( x ) , x ∈ ( 0, ∞ ) .

f ( x ) − f (1) 5p b) Să se calculeze lim . BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ x − 1 - Proba D, MT2, programa M2 x→ 1 5p c) Să se arate că funcţia f ′ este crescătoare pe ( 0, + ∞ ) .

2. Se consideră funcţiile f , g : ( 0, + ∞ ) → \ , f ( x ) = x + ln x şi g ( x ) = 5p

a) Să se arate că funcţia f este o primitivă a funcţiei g .

5p

b) Să se calculeze

4

∫ f ( x ) ⋅ g ( x ) dx . 1 4

5p

c) Să se demonstreze că

∫ g ( x ) ⋅ f ′′ ( x ) dx = −1 . 1

x +2 . 2x


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

50 5p

Varianta 50

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 050 1. Să se determine elementele mulţimii A = { x ∈ ` 3x + 2 ≥ 4 x − 1} .

2. Să se determine coordonatele punctelor de intersecţie a graficului funcţiei f : \ → \ , f ( x ) = 2 x − 3 cu axele de coordonate.

5p 5p 5p

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia x 2 − 4 = 2 . 4. Suma de 500 de lei a fost depusă la o bancă cu o rată a dobânzii de 8 %. Să se calculeze dobânda obţinută după un an. G JJJG JJJG 5. Să se determine coordonatele vectorului v = OA + OB , ştiind că A ( 2,3) şi B ( −1,5 ) .

5p

6. Să se calculeze aria unui triunghi echilateral care are perimetrul egal cu 6.

scM2 u

5p

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

50

5p 5p 5p

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 050  a b   1 0 1. Se consideră mulţimea M =   a, b, c ∈ \  şi matricea I 2 =  . c a  0 1   a) Să se arate că I 2 ∈ M . b) Ştiind că A, B ∈ M , să se arate că A + B ∈ M . c) Să se demonstreze că det ( AB − BA) ≤ 0 , oricare ar fi A, B ∈ M .

2. Se consideră mulţimea M = { f ∈ ] 3 [ X ] f = X 2 + aX + b}.

()

5p

a) Să se calculeze f 1 pentru a = b = 1 .

5p

 b) Să se determine a, b ∈ ] 3 pentru care f 0 = f 1 = 1.

5p

c) Să se determine numărul elementelor mulţimii M .

( ) ()

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

50

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 050

1 + x , x ≥ 0 . 1. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) =  x x<0  e , 5p a) Să se studieze continuitatea funcţiei f în punctul x0 = 0 . BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, −∞ MT2, M2ţiei f . 5p b) Să se determine ecuaţia asimptotei către la programa graficul func 5p c) Să se demonstreze că funcţia f este concavă pe intervalul ( 0, + ∞ ) . 2. Se consideră funcţiile f , g : \ → \ , f ( x ) = e x şi g ( x ) = x . 2

5p

a) Să se determine

5p

b) Să se calculeze

∫ f ( x ) dx .

1

∫ f ( x ) ⋅ g ( x ) dx . 0 1

5p

c) Să se verifice că

∫ 0

( )

f x50 ⋅ g 99 ( x ) dx =

e −1 . 100


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

51

Varianta 51

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 051

5p 1. Să se determine numărul real x ştiind că numerele x + 1, 2x – 3 şi x – 3 sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. 5p 2. După o reducere a preţului cu 10%, un produs costă 99 lei. Să se determine preţul produsului înainte de reducere. 5p 3. Să se calculeze C 2 − C 2007 . 2009 2009 5p 4. Să se determine funcţia de gradul al II-lea al cărei grafic conţine punctele A (1;3) , B ( 0;5) şi

scM2 u

C ( −1;11) . ABC punctele M, N, P sunt mijloacele laturilor AB, BC , respectiv AC. Să se 5p 5. În triunghiul JJJJG JJJG JJJG arate că AM + AP = AN . 6. 5p În triunghiul ABC se dau AB = BC = 3 şi AC = 3 2 . Să se determine cos A .

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

51

5p 5p 5p

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 051  1 ln a 0  1. Se consideră matricele H ( a ) =  0 1 0  , unde a > 0 . 0 0 a   a) Să se calculeze det ( H ( a ) ) , ∀a > 0.

b) Să se arate că H ( a ) ⋅ H ( b ) = H ( a ⋅ b ) , ∀a, b > 0.

c) Să se calculeze determinantul matricei H (1) + H ( 2 ) + H ( 3) + … + H ( 2008 ) .

2. Pe mulţimea G = ( 2, ∞ ) se consideră operaţia x y = xy − 2 ( x + y ) + 6 .

5p 5p 5p

a) Să se arate că x y = ( x − 2 )( y − 2 ) + 2, ∀x, y ∈ G .

b) Să se demonstreze că x y ∈ G, pentru ∀x, y ∈ G. c) Să se arate că toate elementele mulţimii G sunt simetrizabile, în raport cu legea " " .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

51

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 051

5p

2 x + 3 , x ≤ 1 . 1. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) =  ln x , x > 1 a) Să se studieze continuitatea funcţiei f în punctul x0 = 1 .

f ( x) BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT2, programa M2

5p

5p

b) Să se calculeze lim

x →+∞

x

.

( )

( ) + ... + f  e

f ex + f ex

c) Să se determine lim

2

x 2009

x 2009

x →+∞

  .

2. Se consideră funcţiile f , F : \ → \ , f ( x ) = e x + x 2 + 2 x şi F ( x ) = e x + 5p

a) Să se arate că funcţia F este o primitivă a funcţiei f .

5p

b) Să se calculeze

x3 + x2 + 1 . 3

1

∫ f ( x ) dx . 0

5p

c) Să se calculeze aria suprafeţei plane mărginite de graficul funcţiei h : [ 0,1] → \ , h ( x) =

f ( x ) − x2 − 2x ex + 1

, axa Ox şi dreptele de ecuaţii x = 0 şi x = 1 .


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Varianta 52

52

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 052 3 5p 1. Să se calculeze log 2 3 − log 2 . 2 5p 2. Să se determine coordonatele punctului de intersecţie a dreptelor de ecuaţii 2 x + y − 4 = 0 şi x+ y −3= 0 . Să se determine valorile reale ale numărului m pentru care x = 5 este soluţie a ecuaţiei 5p 3. 2 m ( x − 1) = x − 3m + 2 .

5p 4. Să se rezolve ecuaţia 4 x 2 + 6 x + 3 = x + 2 . 5p 5. Să se determine perimetrul triunghiului ABC ale cărui vârfuri sunt A ( −1;3) , B ( −2;0 ) şi C ( 0;3) . D 5p 6. Să se calculeze lungimea laturii AC a triunghiului ABC, ştiind că BC = 2 , m ( )BAC ) = 30 şi

scM2 u

m ( )ABC ) = 45D .

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

52

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 052 1. În mulţimea M2 (

)

1 1 n se consideră matricea A =   . Se notează A = A ⋅… ⋅ A , n ∈  2 2 de n ori

5p 5p

a) Să se demonstreze că A2 = 3 A . b) Să se calculeze det ( A10 ) .

5p

1 0 c) Să se determine inversa matricei B = A + I 2 , unde I 2 =  . 0 1

.

2. Pe mulţimea G = ( 0, ∞ ) \ {1} se consideră operaţia x y = x3ln y .

5p 5p 5p

a) Să se determine mulţimea soluţiilor reale ale ecuaţiei x e = 8 , unde e este baza logaritmului natural. b) Să se demonstreze că x y ∈ G , pentru ∀x, y ∈ G. c) Să se arate că operaţia „ ” este asociativă pe mulţimea G .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

52

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 052

 ax − 6 , x < 4 1. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) =  , unde a este parametru real.  x , x ≥ 4 a) Să se determine valoarea reală a lui a astfel încât funcţia f să fie continuă în punctul x0 = 4 .

5p 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT2, programa M2 5pBACALAUREAT b) Să se calculeze f ′(9) . 5p

c) Să se determine ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul A ( 9,3 ) .

x

2. Pentru oricare n ∈ ` se consideră funcţiile f n : [ 0, ∞ ) → \ , f 0 ( x ) = 1 şi f n +1 ( x ) = ∫ f n ( t ) dt . 0

5p

a) Să se determine f1 ( x ) , unde x ∈ [ 0 , ∞ ) .

5p

b) Să se demonstreze că

5p

c) Să se calculeze volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul axei Ox, a graficului funcţiei g : [ 0,1] → \ , g ( x) = f 2 ( x), x ∈ [ 0,1] .

1

∫ 0

f1 ( x ) ⋅ ln x dx =

e2 + 1 . 4


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Varianta 53

53

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 053 1 2 9 5p 1. Să se verifice că lg + lg + ... + lg = −1 . 2 3 10 2 998 5p 2. Să se calculeze C1000 − C1000 . 5p 3. 5p 4. 5.

5p

6.

scM2 u

5p

10 . 3 Să se determine m ∈ \ astfel încât x 2 − ( m − 3) x + m − 3 > 0 , pentru orice x real. Să se calculeze cosinusul unghiului A, al triunghiului ABC, ştiind că AB = 3 , AC = 5 şi BC = 6 . În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( 0; a ) , B ( −1;2 ) şi C ( 4;5) , unde a este un număr real. Să se determine valorile lui a pentru care triunghiul ABC este dreptunghic în A. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3x + 3− x =

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

53

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 053 1. În reperul cartezian xOy se consideră punctele O ( 0,0 ) şi An ( n, n + 2 ) , ∀n ∈ ` .

5p

a) Să se determine ecuaţia dreptei A 0 A1 .

5p

b) Să se demonstreze că punctele A0 , A 1, A 2 sunt coliniare.

5p

c) Să se arate că aria triunghiului OAn An +1 nu depinde de numărul natural n .

2. În inelul \ [ X ] se consideră polinomul f = x3 − x − 5 , cu rădăcinile x1 , x2 , x3 .

5p

 1 a) Să se calculeze f  −  .  2 b) Să se determine a ∈ \ pentru care restul împărţirii polinomului f la X − a este −5 .

5p

x1 c) Să se calculeze determinantul x2

x2 x3

x3 x1 .

x3

x1

x2

5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

53

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 053

5p

1. a) Să se calculeze lim

5p

3x2 − 2 x − 1

. − 4x + 1 b) Să se determine intervalele de convexitate şi intervalele de concavitate ale funcţiei f : \ → \ , x →1 3 x 2

BACALAUREAT - Proba D, MT2, programa M2 f ( x ) = x 4 − 2009-MATEMATICĂ 6 x 2 + 18 x + 12 .

5p

(

)

c) Se consideră funcţia g : ( 0, +∞ ) → \ , g ( x ) = x 2 − 1 ln x . Să se demonstreze că g ( x ) ≥ 0, oricare

ar fi x ∈ ( 0; +∞ ) .

x<0  x + 1,  2. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) =  1  x + 1 − x , x ≥ 0

5p

a) Să se demonstreze că funcţia f admite primitive pe \ .

5p

b) Să se calculeze

1

∫ f ( x ) dx . 0

5p

( )

c) Să se determine aria suprafeţei plane cuprinse între graficul funcţiei g : \ → \, g ( x ) = − x f x 2 , axa Ox şi dreptele de ecuaţii x = 1 şi x = 2 .


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Varianta 54

54 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 054 5p 1. Să se calculeze log3 5 + log3 6 − log 3 10 . 5p 2. Să se determine valoarea maximă a funcţiei f : [ −1,1] → \ , f ( x ) = −2 x + 3 . 5p 3. Să se determine valorile reale ale parametrului m ştiind că soluţiile x1 şi x2 ale ecuaţiei x 2 + ( m − 1) x + 3 = 0 verifică egalitatea x1 = 3 x2 .

5p 4. Să se calculeze Cnn+1 − C1n +1 , n ∈ ` .

scM2 u

5p 5. Să se calculeze sin10D − cos80D . 5p 6. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( 2, 2 ) şi B ( 4, 4 ) . Să se determine coordonatele mijlocului segmentului AB .

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 054  x − 2 y + 3 z = −3  1. Se consideră sistemul  2 x + y + z = 4 , unde m este un parametru real.  mx − y + 4 z = 1 

5p

5p 5p

a) Să se arate că pentru orice m număr real tripletul ( 0;3;1) este soluţie a sistemului.

b) Să se determine valorile parametrului real m pentru care sistemul admite soluţie unică. c) Pentru m ≠ 3 să se rezolve sistemul. 2. Pe mulţimea numerelor reale se consideră legea de compoziţie x ∗ y = 2 xy − 6 x − 6 y + 21 .

5p

a) Să se arate că x ∗ y = 2 ( x − 3)( y − 3) + 3 pentru orice x, y ∈ \ .

5p 5p

b) Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 5x ∗ 5x = 11 . c) Să se determine elementele simetrizabile în raport cu legea "∗ " .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

54

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 054

1. Se consideră funcţiile f , g : \ → \ , f ( x ) =

5p

a) Să se verifice că lim

g ( x ) − g ( 2)

x2 − 1

x +1 2

şi g ( x ) =

x −1 ex

.

=0.

x →2 x − 2 - Proba D, MT2, programa M2 BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ

5p 5p

b) Să se determine coordonatele punctului de extrem al funcţiei f. 1 c) Să se demonstreze că g ( x ) − f ( x ) ≤ 1 + 2 , oricare ar fi x ∈ \ . e 2x 1 2. Se consideră funcţiile f , g : [ 0; +∞ ) → \ , f ( x ) = şi g ( x ) = 1 + 2 . x +1 x +1 1

5p

a) Să se verifice că

∫ f ( x ) dx = ln 2 . 0 1

5p

b) Să se calculeze

∫ g ( x ) dx . 0

5p

c) Să se arate că există x0 ∈ ( 0;1) astfel încât f ( x0 ) < g ( x0 ) − 2 x0 .


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Varianta 55

55 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 055 5p 1. Să se compare numerele 22 şi log 32 . 2 5p 2.

Să se determine m ∈ \∗ astfel încât graficul funcţiei f : \ → \ , f ( x ) = mx 2 − x + 1 să conţină punctul A ( 2,3) .

x2 + 1 = 2 .

5p 3.

Să se determine numerele reale x pentru care este verificată egalitatea

5p 4.

Să se rezolve ecuaţia Cn2 = Cn1 + 2, n ∈ `, n ≥ 2 .

5p 5.

Să se calculeze lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC, ştiind că BC = 10 şi

5p 6.

Să se calculeze numărul sin 60D ⋅ cos150D .

scM2 u

m ( )BAC ) = 60D .

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

55

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 055

1. În mulţimea matricelor pătratice M 2( Se notează An = A ⋅… ⋅ A , n ∈

 4 −6  se consideră matricea A =  .  2 −3 

.

de n ori 2

5p

a) Să se arate că A + A = 2 A .

5p

b) Să se determine matricele X ∈ M 2(

5p

)

 x 0  , astfel încât det ( X + A ) = 2 . 0 x n ( n + 1) c) Ştiind că An = A, ∀n ∈ ∗ , să se demonstreze că A + 2 A2 + … + nAn = A, ∀n ∈ 2

), X = 

2. Se consideră polinomul f = X 3 + X 2 + mX + 1, f ∈

5p 5p 5p

[ X ] cu rădăcinile

.

x1 , x2 , x3 .

Se notează Sn = x1n + x2n + x3n , pentru n ∈ ∗ . a) Să se determine numărul real m astfel încât x1 = 2 . b) Să se arate că S3 + S2 + mS1 + 3 = 0 . c) Să se arate că pentru orice număr par m∈

polinomul f nu are rădăcini raţionale.

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

55

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 055

 3x + 1 , x ≤ 1 1. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) =  . ax + 2 , x > 1 5p a) Să se determine valoarea parametrului real a astfel încât funcţia f să fie continuă în punctul x0 = 1 . BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT2,către programa 5p b) Să se determine ecuaţia asimptotei orizontale −∞ laM2 graficul funcţiei f . 5p

c) Să se calculeze lim

x →−∞

(( f ( x ) − 1) ⋅ x ) .

1 1 . − x +1 x + 2 a) Să se determine funcţia f : [ 0, +∞ ) → \ astfel încât funcţia F să fie o primitivă pentru funcţia f .

2. Se consideră funcţia F : [ 0, +∞ ) → \ , F ( x ) = 5p 5p

b) Să se demonstreze că funcţia F este descrescătoare pe [ 0, +∞ ) . 1

5p

1 1 ≤ ∫ F ( x) dx ≤ . c) Să se demonstreze că 6 0 2


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

56

Varianta 56

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 056

(3 2)

log 2 8

5p 1.

Să se arate că numărul

5p 2.

Să se determine coordonatele punctului de intersecţie a dreptelor de ecuaţii 4 x − 6 y − 2 = 0 şi 2x + 3y − 7 = 0 . Să se determine valorile reale ale lui m ştiind că soluţiile x1 şi x2 ale ecuaţiei

5p 3.

(

)

este natural.

x 2 − m 2 + 3 x + 3 = 0 verifică egalitatea x1 + x2 + x1 x2 = 7 .

5p 4.

Să se rezolve ecuaţia

( n + 2 )! = 56, n ∈ ` . n!

Să se arate că într-un triunghi ABC dreptunghic în A are loc relaţia cos 2 B + cos 2 C = 1 5p 6. Să se calculeze aria triunghiului ABC, ştiind că AB = AC = 4 şi m ( )A ) = 60D .

scM2 u

5p 5.

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

56

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 056 2 3  1. Se consideră matricea A =  .  1 −2 

5p

a) Să se calculeze det ( A ) .

5p

b) Să se demonstreze că A3 = 7 A , unde A3 = A ⋅ A ⋅ A .

5p

c) Să se demonstreze că A ⋅ B = A , unde B = A2 − 6 I 2 şi A2 = A ⋅ A .

2. Se consideră polinoamele f , g ∈ \ [ X ] , f = X 4 + X 3 + X 2 + X + 1 şi g = X 3 + X 2 + X + 1 .

5p 5p 5p

a) Să se demonstreze că f = X ⋅ g + 1 . b) Să se determine rădăcinile reale ale polinomului g .

c) Să se calculeze f ( a ) , ştiind că a este o rădăcină a polinomului g .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

56

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 056

1. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) = e x − x − 1 .

a) Să se calculeze f ′( x), x ∈ \ . f ′( x) 5p . b) Să se calculeze lim BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT2, programa M2 x →+∞ f ′′ ( x ) 5p

5p

2009

c) Să se arate că e

+ 2010 ≤ e

2010

+ 2009 .

2. Se consideră funcţiile f , g : [ 0, +∞ ) → \ , f ( x ) =

x3 şi g ( x ) = f " ( x ) . x +1

2

5p

a) Să se calculeze

∫ ( x + 1) f ( x) dx . 0 1

∫ g ( x) dx .

5p

b) Să se calculeze

5p

c) Să se determine primitiva funcţiei g a cărei asimptotă spre +∞ este dreapta de ecuaţie y = 2 x.

0


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Varianta 57

57

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 057 5p 1. Să se determine suma primilor 6 termeni ai progresiei aritmetice ( an )n≥1 , în care a1 = 2 şi a2 = 5 . 2 5p 2. Să se determine valorile reale ale parametrului m astfel încât ecuaţia x + mx + 9 = 0 să admită două soluţii reale egale.

(

)

2 5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia log 2 x + 3 x − 10 = 3 .

scM2 u

5p 4. Să se calculeze probabilitatea ca, alegând un element din mulţimea A = {7,11,15,19,...,35} , acesta să fie divizibil cu 5. 5p 5. Să se determine ecuaţia dreptei care trece prin punctele A ( 4;0 ) şi B ( 0;2 ) . 5p 6. Să se calculeze cos B , ştiind că lungimile laturilor triunghiului ABC sunt AB = 6 , AC = 8 şi BC = 10 .

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

57

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 057

5p

 1 + 5 x −2 x  1. În M 2( \ ) se consideră matricele A ( x ) =   , x ∈ \.  10 x 1 − 4 x  a) Să se calculeze A(1) ⋅ A( −1) .

(

)

5p

b) Să se arate că ( A ( x ) ) = A ( x + 1) − 1 , pentru orice x real, unde ( A ( x ) ) = ( A ( x ) ) ⋅ ( A ( x ) ) .

5p

c) Să se determine inversa matricei A (1) .

2

2

{

2

}

2. Fie mulţimea G = a + b 3 a, b ∈ ], a 2 − 3b 2 = 1 .

5p 5p

a) Să se verifice dacă 0 şi 1 aparţin mulţimii G. b) Să se demonstreze că pentru orice x, y ∈ G avem x ⋅ y ∈ G .

5p

c) Să se arate că dacă x ∈ G , atunci

1 ∈ G. x

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

57

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 057 1. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) = e x − ex − 1 .

5p a) Să se calculeze f ′( x), x ∈ \ . b) Să se arate că funcţia f este convexă pe \ . 5p c) Să se determine coordonatele punctului dintreM2 tangenta la graficul funcţiei f în punctul 5pBACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba de D, intersecţie MT2, programa O ( 0, 0 ) şi dreapta de ecuaţie x = 1 .

5p

 x3 , x≤0 2. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) =  .  x + x , x > 0 a) Să se arate că funcţia f admite primitive pe \ . 1

5p

b) Să se calculeze

∫ f ( x ) dx.

−1

b

5p

c) Să se demonstreze că dacă

∫ a

c

f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx, unde a,b,c sunt numere reale şi funcţia F : \ → \ b

este o primitivă a funcţiei f , atunci numerele F ( a ) , F ( b ) , F ( c ) sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

58

Varianta 58

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 058

5p 1. Să se calculeze log 5 25 − log 3 9 .

5p 2. Să se determine funcţia f : \ → \, f ( x ) = ax + b al cărei grafic conţine punctele A ( 2;7 ) şi B ( −1; −2 ) . 5p 3. Să se arate că soluţiile x1 şi x2 ale ecuaţiei x 2 − x − 1 = 0 verifică relaţia x12 + x22 = x1 + x2 + 2 .

5p 4. Să se determine valorile naturale ale lui n pentru care expresia E ( n ) = 10 − 3n este bine definită. 5p 5. Să se determine lungimea medianei duse din vârful A al triunghiului ABC, ştiind că vârfurile acestuia sunt A ( 0;4 ) , B ( −2;0 ) şi C (8;0 ) .

scM2 u

5p 6. Să se calculeze lungimea laturii BC a triunghiului ABC, ştiind că m ( )A ) = 90D , m ( )B ) = 30D şi AB = 4 3 .

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

58

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 058 2 x − 5 y + 4 z = 0  1. Se consideră sistemul de ecuaţii  −3x + y + z = −1 , cu a ∈ ] . Se notează cu A matricea sistemului. 2 x − z = a 

5p 5p 5p

a) Să se calculeze determinantul matricei A . b) Pentru a = 1 să se rezolve sistemul. c) Să se determine cea mai mică valoare a numărului natural a pentru care soluţia sistemului este formată din trei numere naturale. 2. Pe \ se consideră legea de compoziţie asociativă x D y = x + y + 1 . a) Să se calculeze 2008 D 2009 .

5p 5p 5p

b) Să se rezolve în \ inecuaţia x D x 2 ≤ 3 .

{

}

c) Fie mulţimea A = n ∈ `∗ n ≥ 2 şi Cn0 D Cn1 D Cn2 = n + 6 . Să se determine numărul elementelor

mulţimii A .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

58

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 058 1. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → \ , f ( x ) = x − ln x .

a) Să se calculeze f ′( x), x ∈ ( 0, +∞ ) . b) Să se determine intervalele de monotonie ale funcţiei f . 5p 5pBACALAUREAT c) Să se demonstreze că x ≥ 1 + ln- Proba x , oricare ar fiprograma x ∈ ( 0, +∞M2 2009-MATEMATICĂ D, MT2, ). 5p

∫ (t

)

x

5p

2. a) Să se calculeze lim

x →+∞

2

+ t + 1 dt

0

x3 + 1

. 1

5p

b) Se consideră funcţia f : ( 0, + ∞ ) → \, f ( x ) =

5p

funcţiei f , care verifică relaţia F (1) = 0. c) Să se determine numărul real pozitiv a ştiind că volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul axei Ox,

x2

. Să se determine primitiva F : ( 0, + ∞ ) → \ a

a graficului funcţiei f : [ 0,1] → \ , f ( x ) = ax 2 este egal cu 5π .


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Varianta 59

59 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 059 5p 1. Să se determine valorile reale ale numărului x ştiind că numerele 5 − x ; x + 7 şi 3 x + 11 sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice. 5p 2. Să se calculeze TVA-ul pentru un produs, ştiind că preţul de vânzare al produsului este de 238 lei (procentul TVA-ului este de 19 %). 5p 3. Să se arate că log 4 + log 9 < 36 . 2 3 5p 4. Se consideră funcţia f : \ → \, f ( x ) = 3 x − 4 . Să se determine valorile lui x pentru care

scM2 u

f ( x ) + f (1) ≤ 1 . 5p 5. Să se determine lungimile catetelor unui triunghi dreptunghic, ştiind că suma acestora este 23, iar aria triunghiului este 60. 5p 6. Să se determine ecuaţia dreptei care trece prin punctul A (1, −2 ) şi are panta egală cu 2.

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

59

5p 5p 5p

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 059  −1 − 1 0  1 0 0     1. Se consideră matricele A =  1 0 0  , I 3 =  0 1 0  .  0 1 0 0 0 1     a) Să se calculeze determinantul matricei A . b) Să se calculeze A2 ştiind că A2 = A ⋅ A . c) Să se calculeze inversa matricei I 3 + A .

2. Se consideră polinomul f ∈ \ [ X ] , f = X 3 − pX 2 + qX − r , cu rădăcinile x 1 , x2 , x3 ∈ \ .

5p

a) Să se calculeze f ( 0 ) − f (1) .

5p

b) Să se calculeze expresia (1 − x1 )(1 − x2 ) (1 − x3 ) în funcţie de p, q, r .

5p

c) Să se arate că polinomul g = X 3 + X 2 + X − 1 nu are toate rădăcinile reale.

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

59

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 059

1. Se consideră funcţia f : \ \ {1} → \ , f ( x ) =

5p

a) Să se calculeze f ′( x), x ∈ \ \ {1} .

x +1 . x −1

f ( x ) − f (-−Proba 1) BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ 5p . D, MT2, programa M2 b) Să se calculeze lim x → −1 x +1 5p c) Să se determine asimptota orizontală către +∞ la graficul funcţiei f .

1

2. Pentru orice număr natural nenul n se consideră f n : [ 0,1] → \ , f n ( x ) = x n e x şi I n = ∫ f n ( x ) dx . 0 1

∫e

−x

f1 ( x ) dx =

1 . 2

5p

a) Să se verifice că

5p 5p

b) Să se calculeze I1 . c) Să se demonstreze că I n + nI n −1 = e , oricare ar fi n ∈ `, n ≥ 2 .

0


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

60

Varianta 60

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 060

5p 1. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3x + x = 9 . 5p 2. Să se determine domeniul maxim de definiţie D al funcţiei f : D → \, f ( x ) = lg ( 2 x − 3) . 5p 3. Să se determine valorile reale ale numărului m ştiind că valoarea minimă a funcţiei f : \ → \ , f ( x ) = x 2 − 2mx + 3m este egală cu 2. 2

scM2 u

2 2 1 5p 4. Să se calculeze C2009 . − C2008 − C2008 5p 5. Să se calculeze lungimea laturii AC a triunghiului ABC ştiind că AB = 10 , BC = 15 şi m ( )B ) = 60D . 5p 6. Să se determine coordonatele punctului M care aparţine dreptei AB şi este egal depărtat de punctele A (1; −1) şi B ( 5; −3) .

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

60

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 060  0 3  1 0 1. Se consideră matricele A =   , I2 =   şi mulţimea C ( A ) = X ∈ M2 ( \ ) XA = AX .  1 0 0 1 0 a a) Să se determine numerele reale a şi b astfel încât A ⋅   = I2 . b 0

{

5p 5p 5p

}

b) Să se demonstreze că A ⋅ B = A , unde B = A2 − 2 I 2 şi A2 = A ⋅ A .

 a 3b  c) Să se arate că dacă X ∈ C ( A) , atunci există a, b∈ \ astfel încât X =  . b a  x+ y . 2. Pe mulţimea G = ( −1,1) se defineşte legea de compoziţie x ∗ y = 1 + xy

4 . 5 ( x + 1)( y + 1) − ( x − 1)( y − 1)

5p

a) Să se rezolve în G ecuaţia x ∗ x =

5p

b) Să se verifice egalitatea x ∗ y =

5p

c) Să se arate că pentru oricare x, y ∈ G rezultă că x ∗ y ∈ G .

( x + 1)( y + 1) + ( x − 1)( y − 1)

, pentru oricare x, y ∈ G .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

60

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 060

5p

1. a) Să se studieze continuitatea funcţiei f :

5p

b) Să se calculeze derivata funcţiei g :

−x +1 , x < 1 , f ( x) =  în punctul x0 = 1 . 2 x − 1 , x ≥ 1

, g ( x ) = 2 x3 − 15 x 2 + 24 x − 1 .

2 BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT2, programaxM2 − a2

5p

c) Să se determine numărul real pozitiv a astfel încât lim

x →a

se consideră funcţiile f n : [1, 2 ] →

2. Pentru fiecare n ∈

x− a

, fn ( x ) =

= 32 .

1 1 1 1 + + +…+ . x x +1 x + 2 x+n

2

f0 ( x) dx.

5p

a) Să se calculeze

5p

b) Pentru n ∈ să se calculeze aria suprafeţei plane determinate de graficul funcţiei f n , axa Ox şi dreptele x = 1, x = 2 . 5 c) Ştiind că F este o primitivă a funcţiei f1 , să se arate că funcţia G : [1, 2 ] → , G ( x) = F ( x) − x este 6 crescătoare.

1

5p


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Varianta 61

61 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 061 5p 1. Să se calculeze log 6 3 + log 6 10 − log 6 5 . 5p 2. Să se determine valorile reale nenule ale lui m pentru care graficul funcţiei f : \ → \ , f ( x ) = mx 2 − ( m + 1) x + 1 este tangent axei Ox.

5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale inecuaţia ( x − 2 )( x + 1) ≤ 3 ( x + 1) . 8! 9! − este natural. 5p 4. Să se demonstreze că numărul 3! ⋅ 5! 2! ⋅ 7!

(

)

(

)

D 2 D 5p 5. Să se arate că este adevărată egalitatea sin x ⋅ cos 90 − x + cos 180 − x = 1 , oricare ar fi x

scM2 u

măsura unui unghi ascuţit. D 5p 6. Să se calculeze aria triunghiului ABC, ştiind că AB = AC = 10 şi m ( ) A ) = 30 .

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

61

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 061  4 1 1 0 1. Se consideră matricele A =   , I2 =   şi mulţimea G = X ( a ) a ∈ \ şi X ( a ) = I 2 + aA .  4 1 0 1 a) Să se verifice dacă I 2 aparţine mulţimii G.

{

5p 5p 5p

b) Să se arate că X ( a ) ⋅ X ( b ) = X ( a + b + 5ab ) , ∀a, b ∈ \ .

1  −a  inversa matricei X ( a ) este matricea X  . 5  1 + 5a  2. Se consideră polinoamele f , g ∈ ] 5 [ X ] , f = 3ˆ X 3 + 4ˆ X 2 + 3ˆ X + 2ˆ şi g = X 2 + 2ˆ X . c) Să se arate că pentru a ≠ −

() ( )

5p

a) Să se calculeze f 1ˆ ⋅ g 0ˆ .

5p

ˆ ⋅ g + 2ˆ X + 2ˆ . b) Să se verifice că f = (3ˆ X + 3) c) Să se determine numărul rădăcinilor din ] 5 ale polinomului f .

5p

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

61

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 061 1. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) = 2 x − x ln 2 .

5p

a) Să se calculeze f ′( x), x ∈ \ .

5p

b) Să se calculeze lim

f ( x ) − f ( 3)

.

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ x→3 x − 3 - Proba D, MT2, programa M2

5p 5p 5p

c) Să se determine punctul de extrem al funcţiei f . 2. a) Să se determine primitivele funcţiei f : \ → \ , f ( x ) = e x . b) Să se calculeze volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul axei Ox, a graficului funcţiei ln x g : [1, e ] → \, g ( x ) = . x 3

5p

c) Să se calculeze

1

∫ x ( x + 2) 1

dx .

}


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

62 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 062 5p 1. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia x + 2 = 3 . 5p 2. Să se determine m ∈ \ , ştiind că valoarea maximă a funcţiei f : \ → \ ,

Varianta 62

f ( x ) = − x 2 + 2 x − m + 3 este egală cu 10.

5p 3. Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiei log 7 ( 2 x + 1) = 2 . 5p 4. Să se rezolve inecuaţia 2Cn2 ≤ n + 8 , n ∈ `, n ≥ 2 .

scM2 u

5p 5. Să se determine valorile reale ale numărului a, ştiind că distanţa dintre punctele A ( 2;1) şi B ( 7; a ) este egală cu 13. 5p 6. Să se calculeze lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC, ştiind că BC = 20 şi m ( )A ) = 30D .

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

62

5p 5p 5p

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 062  x + y + 3z = 0  1. Se consideră sistemul  2 x − y + mz = 0 , cu m parametru real şi A matricea sistemului. 4 x + y + 5z = 0 

a) Să se calculeze determinantul matricei A pentru m = 1 . b) Să se determine parametrul real m ştiind că determinantul matricei sistemului este nul. c) Pentru m ≠ −1 să se rezolve sistemul.

2. Se consideră polinoamele f = X 3 + 3 X 2 + 3 X + 1, cu rădăcinile x1 , x2 , x3 ∈ \ şi

5p 5p 5p

g = X 2 − 2 X + 1 , cu rădăcinile y1 , y2 ∈ \ . a) Să se calculeze diferenţa S − S ′ , unde S = x1 + x2 + x3 şi S ′ = y1 + y2 . b) Să se determine câtul şi restul împărţirii polinomului f la g .

c) Să se calculeze produsul f ( y1 ) ⋅ f ( y2 ) .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

62

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 062

1. Se consideră funcţia f : \ \ {3} → \ , f ( x ) =

5p

a) Să se calculeze f ′ ( x ) , x ∈ \ \ {3} .

x +1 . x −3

f ( x) − f (4)- Proba D, MT2, programa M2 BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ b) Să se calculeze lim . 5p x →4 x−4 c) Să se determine ecuaţia asimptotei orizontale către +∞ la graficul funcţiei f . 5p 1 . 2. Se consideră funcţia f : [ 0, +∞ ) → \ , f ( x ) = x +1 1

∫ f ( x)dx .

5p

a) Să se calculeze

5p

b) Să se calculeze volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul axei Ox, a graficului funcţiei h : [ 0, 2 ] → \,

0

h ( x ) = f ( x ).

5p

c) Să se arate că dacă, a > 0 , atunci

1 ≤ a+2

a +1

1 ∫ f ( x ) dx ≤ a + 1 . a


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Varianta 63

63 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 063 5p 1. Să se determine primul termen al unei progresii aritmetice cu raţia 4, ştiind că suma primilor doi termeni este 10. 5p 2. Să se determine valorile reale ale numărului m, ştiind că soluţiile x1 şi x2 ale ecuaţiei x 2 − mx + m + 2 = 0 verifică egalitatea 2x1 x2 = x1 + x2 . 5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia log 2 ( x + 2 ) − log 2 ( x + 1) = 1 . 5p 4. Să se determine probabilitatea ca, alegând un element al mulţimii {11,12,… , 20} , acesta să fie număr prim. 5p 5. Să se determine coordonatele simetricului punctului A faţă de punctul M, mijlocul segmentului BC, ştiind că A ( 3;0 ) , B ( 0;2 ) şi C ( 3;2 ) .

scM2 u

5p 6. Să se calculeze aria triunghiului ABC, ştiind că AC = 10 , BC = 16 şi m ( C ) = 60 .

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

63

5p 5p 5p

5p 5p 5p

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 063  −1 1 3  1 0 0   1. Se consideră matricele A =  −2 2 6  , I3 =  0 1 0  şi B = A − I 3 .  −3 3 9  0 0 1     a) Să se calculeze determinantul matricei A . b) Să se calculeze A2 − B 2 , unde A2 = A ⋅ A şi B 2 = B ⋅ B .

1 A − I3 . 9 2. Pe mulţimea numerelor reale definim legea de compoziţie x D y = xy + 3 x + 3 y + 6 . c) Să se arate că inversa matricei B este B −1 =

a) Să se arate că x D y = ( x + 3)( y + 3) − 3 , oricare ar fi x, y ∈ \ . b) Să se determine elementul neutru al legii „ D ”. c) Să se determine n ∈ `, n ≥ 2 astfel încât Cn2 D Cn2 = 13 .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

63

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 063

1. Se consideră funcţia f : [1 , + ∞ ) → \ , f ( x ) = e x +

5p

x −1 . x

a) Să se calculeze f ′( x ), x ∈ [1 , + ∞ ) .

5p . b) Să se studieze monotonia funcţiei f peD,[1MT2, BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba M2 , + ∞ )programa 5p

5p

c) Să se scrie ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul A (1 , e ) .

 x + 5 , x < −1 2. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) =  2 . 3x + 1, x ≥ −1 a) Să se demonstreze că funcţia f admite primitive. −2

5p

b) Să se calculeze

∫ f ( x ) dx.

−3

5p

c) Să se arate că, pentru orice m ∈ [ −1, ∞ ) aria suprafeţei plane determinate de graficul funcţiei f , axa

Ox şi dreptele de ecuaţii x = m şi x = m + 1 este cel puţin

5 . 4


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Varianta 64

64 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 064 5p 1. Într-o progresie geometrică, al doilea termen este 3 şi raportul dintre primul şi al patrulea 1 termen este . Să se determine primul termen al progresiei. 8 1 1 2 . + 5p 2. Ştiind că x1 şi x2 sunt soluţiile ecuaţiei x − 2009 x + 1 = 0 , să se calculeze x1 x2 5p 3. Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiei log 2 ( x 2 − x − 2) = 2 .

n n−2 5p 4. Să se rezolve inecuaţia C17 ≤ C17 , n ∈ `, n ≥ 2, n ≤ 17 . 5p 5. Să se determine coordonatele punctului de intersecţie a dreptelor de ecuaţii x + 3 y − 1 = 0 şi 3x + 2 y + 4 = 0 .

scM2 u

5p 6. Să se calculeze lungimea laturii AB a triunghiului ABC ştiind că BC = 6 , AC = 3 2 şi m ( )C ) = 45D .

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

64

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 064 1 0 0 0 2 4 1. Se consideră matricele A =   , O2 =   şi B = I 2 + A . Se notează  , I2 =   −1 −2  0 1 0 0

X n = X ⋅ X ⋅… ⋅ X . de n ori

5p 5p 5p

a) Să se verifice că A2 = 02 . b) Să se calculeze inversa matricei B . c) Să se determine x ∈ pentru care B 3 − B 2 = xA .

2. Se consideră polinomul f = X 4 − 2 X 2 + 1, cu rădăcinile x1 , x2 , x3 , x4 ∈

5p

.

5p

a) Să se arate că polinomul f este divizibil cu g = X − 1 . b) Să se calculeze produsul S ⋅ P unde S = x1 + x2 + x3 + x4 şi P = x1 ⋅ x2 ⋅ x3 ⋅ x4 .

5p

c) Să se calculeze suma T = x14 + x24 + x34 + x44 .

2

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

64

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 064

1. Se consideră funcţiile f , h : [ 0, + ∞ ) → \ , f ( x ) =

5p

a) Să se verifice că h′ ( x ) =

(

2x

)

2

x

x +1 2

şi h ( x ) = f 2 ( x ) .

, oricare ar fi x ≥ 0 .

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ x 2 +-1Proba D, MT2, programa M2

5p 5p

b) Să se determine ecuaţia asimptotei către +∞ la graficul funcţiei f .

c) Să se demonstreze că funcţia h este crescătoare pe intervalul [ 0; +∞ ) .

2. Se consideră funcţia f : [ 0, +∞ ) → \ , f ( x ) = 1

5p

a) Să se arate că

∫ ( x + 1)( x + 2 ) f ( x ) dx = 0

1 1 − + 1. x +1 x + 3

22 . 3

1

∫ f ( x ) dx .

5p

b) Să se calculeze

5p

c) Să se determine numărul real pozitiv k astfel încât aria suprafeţei plane determinate de graficul funcţiei f , axa Ox şi dreptele de ecuaţii x = 0 şi x = k să fie egală cu k + ln k .

0


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Varianta 65

65 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 065 5p 1. Să se demonstreze că numărul 3 27 − 12 + 2 3 este natural. 2 1 5p 2. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 x − 4 x = . 8 5p 3. Să se determine valorile reale ale lui m , ştiind că soluţiile x1 şi x2 ale ecuaţiei

scM2 u

x 2 − mx − m − 6 = 0 verifică relaţia 4 ( x1 + x2 ) + x1 x2 = 0 . 5p 4. Să se calculeze probabilitatea ca, alegând un număr din mulţimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie cubul unui număr natural. 5p 5. Să se calculeze aria triunghiului determinat de graficul funcţiei f : \ → \ , f ( x ) = 3x − 5 şi axele de coordonate. 5p 6. Să se calculeze sin 2 120D + cos 2 60D .

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

65

5p 5p 5p 5p 5p 5p

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 065 1. În reperul cartezian xOy se consideră dreptele AB : x + 2 y − 4 = 0 şi BC : 3 x + y − 2 = 0 . a) Să se determine coordonatele punctului B . b) Pentru A ( 4,0 ) , B ( 0, 2 ) , C (1, −1) să se scrie ecuaţia medianei triunghiului ABC , duse din vârful C . c) Pentru A ( 4,0 ) , B ( 0, 2 ) , C (1, −1) să se calculeze aria triunghiului ABC .

2. Se consideră ( ] 8 , +, ⋅) inelul claselor de resturi modulo 8. a) Să se calculeze în ] suma S = 1ˆ + 2ˆ + 3ˆ + 4ˆ + 5ˆ + 6ˆ + 7ˆ . 8

b) Să se calculeze în ] 8 produsul elementelor inversabile ale inelului. 2ˆ x + 5ˆ y = 2ˆ c) Să se rezolve în ] 8 sistemul  . 3ˆ x + 2ˆ y = 5ˆ

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

65

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 065

1. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) =

2x

1 + x2

.

a) Să se calculeze f ′ ( x ) , x ∈ \ . b) Să se determine punctele de extrem aleD,funcţiei f . 5p BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba MT2, programa M2 5p

5p

( )

c) Să se demonstreze că f ( x ) + f x3 ≥ −2 , pentru orice x ∈ \ .

2. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) = x + 2 . 1

5p

a) Să se calculeze

∫ f ( x ) dx . 0 1

x ∫ e f ( x ) dx .

5p

b) Să se calculeze

5p

c) Să se determine numărul real p astfel încât volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul axei Ox, a graficului funcţiei h : [ 0,1] → \ , h ( x ) = f ( px ) , pentru orice x ∈ [ 0 ,1] să fie minim.

0


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Varianta 66

66 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 066 5p 1. Să se arate că numerele log 2 2 , C31 şi 5 sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

scM2 u

5p 2. Să se determine punctele de intersecţie a graficului funcţiei f : \ → \ , f ( x ) = 3x +1 − 1 cu axele de coordonate. 5p 3. Să se determine m ∈ \ , ştiind că soluţiile x1 şi x2 ale ecuaţiei x 2 + 2 x + 6 m − 1 = 0 verifică relaţia x1 + x2 = x1 x2 . 5p 4. Să se calculeze 0!+ 1!+ 2!+ 3! . Să se calculeze lungimile catetelor triunghiului ABC, ştiind că m ( )A ) = 90D , m ( )B ) = 60D 5p 5. şi lungimea ipotenuzei este egală cu 8. 5p 6. Să se determine aria triunghiului cu vârfurile în punctele A ( 2;0 ) , B ( 0;4 ) şi C (1;6 ) .

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

66

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 066 x  −1 2  1. Se consideră matricele A =  , B = z  1 0

( )

y 1 0 0 0 .  , x, y, z, t ∈_ , O2 =   şi I 2 =  t 0 0 0 1

5p

a) Să se calculeze det A2 , ştiind că A2 = A ⋅ A.

5p

b) Să se determine x, y, z, t ∈ _ ştiind că A ⋅ B = I 2 .

5p

c) Ştiind că A ⋅ B = I 2 să se calculeze S = ( B −1 − A) 2 .

2. Pe mulţimea numerelor întregi definim legile de compoziţie x ∗ y = x + y − 3 şi x D y = xy − 3 ( x + y ) + 12 .

5p 5p

a) Să se rezolve în mulţimea numerelor întregi ecuaţia x D x = 12. b) Să se arate că 1 D ( 2 ∗ 3) = (1 D 2 ) ∗ (1 D 3) .

5p

( x − 3) ∗ y = 2 c) Să se rezolve sistemul  , unde x, y ∈ ] . ( x − y ) D 4 = 10

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

66

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 066

 2x + 3  x + 2 , x ≥ 0 . 1. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) =   x+ 3, x<0  2 BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT2, programa M2 5p a) Să se studieze continuitatea funcţiei f în punctul x0 = 0 . b) Să se determine ecuaţia asimptotei orizontale către +∞ la graficul funcţiei f. 5p 3  c) Să se arate că f ( x ) ∈  , 2  , oricare ar fi x ∈ [ 0; +∞ ) . 5p 2  2

5p

2. a) Să se calculeze

∫ 1

1 x + 2x 2

1

5p

b) Să se demonstreze că

∫ 0

5p

dx .

x dx ≤ 1. x +1

c) Se consideră funcţia f : ( 0; +∞ ) → \ , f ( x ) =

demonstreze că, dacă numerele

1 şi numerele reale pozitive a, b şi c. Să se x

a

b

c

1

1

1

∫ f ( x ) dx , ∫ f ( x ) dx , ∫ f ( x ) dx

sunt termeni consecutivi ai unei

progresii aritmetice, atunci numerele a , b , c sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Varianta 67

67 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 067 5p 1. Să se arate că C51 + 1 = P3 .

scM2 u

5p 2. Să se determine punctele de intersecţie a graficului funcţiei f : \ → \ , f ( x ) = x 2 − 1 cu axele de coordonate. 5p 3. Să se demonstreze că pentru orice m ∈ \ ecuaţia x 2 + mx − m 2 − 1 = 0 are două soluţii reale distincte. 5p 4. Să se determine suma primilor trei termeni ai unei progresii geometrice, ştiind că suma primilor doi termeni ai progresiei este egală cu 8, iar diferenţa dintre al doilea termen şi primul termen este egală cu 4. 5p 5. Să se calculeze lungimea laturii AC a triunghiului ABC, ştiind că m ( )B ) = 45D , m ( )C ) = 30D şi AB = 10. 5p 6. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( 5, −4 ) şi B ( 0,8 ) . Să se calculeze lungimea segmentului AM, unde M este mijlocul segmentului AB .

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

67

5p

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 067  a 2 0 0 1 0  ax + 2 y = 0 1. Se consideră sistemul  cu a ∈ \ şi A =   matricea sistemului. O2 =   , I2 =  . 4 x + y = 0  4 1 0 0 0 1 Se notează A2 = A ⋅ A . a) Pentru a = −1 să se rezolve sistemul.

5p

b) Să se verifice egalitatea A2 − ( a + 1) A + ( a − 8 ) I 2 = O2 .

5p

c) Să se determine a ∈ \ ştiind că matricea A verifică egalitatea A2 = 9 I 2 .

5p 5p

2. Pe mulţimea numerelor întregi se defineşte legea de compoziţie x D y = x + y + 11 . a) Să se arate că legea de compoziţie „ D ” este asociativă. x D x D ... D x = 1. b) Să se rezolve în mulţimea numerelor întregi ecuaţia  de 6 ori x

5p

c) Să se demonstreze că ( ], D ) este grup comutativ.

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

67

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 067 1. Se consideră funcţiile f , g : \ → \, f ( x ) = x 3 − 3 x 2 + 4 şi g ( x ) = x3 − 5 x 2 + 8 x − 4 .

5p

a) Să se calculeze f ′( x) − g ′( x), x ∈ \ .

5p

b) Să se calculeze lim

5p

c) Să se demonstreze că f ( x ) ≥ 0 , oricare ar fi x ∈ ( 0 , + ∞ ) .

f ( x)

.

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT2, programa M2 x→2 g ( x )

5p

x −1 şi F ( x ) = e x + x − ln x . x a) Să se demonstreze că funcţia F este o primitivă pentru funcţia f .

5p

b) Să se calculeze

2. Se consideră funcţiile f , F : ( 0 , ∞ ) → \, f ( x ) = e x + 2

∫ x ( F ( x ) − x + ln x ) dx . 1

5p

c) Să se determine parametrul real m astfel încât aria suprafeţei plane cuprinse între graficul funcţiei f ,

axa Ox şi dreptele de ecuaţii x = 1 şi x = e să fie egală cu em − 2 .


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Varianta 68

68 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 068 5p 1. Să se determine mulţimea valorilor reale ale lui x pentru care −4 < 3x + 2 < 4 . 5p 2. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3 x + 4 = 2 x . 5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3x + 2 ⋅ 3x+1 = 7 . 5p 4. Să se determine cât la sută din a + b reprezintă numărul a, ştiind că a este egal cu 25% din b. 5p 5. Să se calculeze lungimile catetelor unui triunghi dreptunghic, ştiind că aria acestuia este 18, iar măsura unui unghi este egală cu 45D .

scM2 u

5p 6. Să se demonstreze că expresia ( sin x + cos x )2 − 2sin x ⋅ cos x este constantă, pentru oricare număr real x.

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

68

5p 5p 5p 5p 5p 5p

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 068 1  x−3 1. Se consideră matricele A =   cu x ∈ x − 3  1

1 0 şi I 2 =   . Se notează A = A ⋅ A . 0 1 a) Să se determine numărul real x pentru care det ( A ) = 0 .

(

)

b) Să se verifice egalitatea A2 = ( 2 x − 6 ) A − x 2 − 6 x + 8 ⋅ I 2 .

c) Să se determine numărul real x pentru care A2 = 2 A . 2. Pe mulţimea numerelor reale se consideră legea de compoziţie x y = xy − 2 ( x + y ) + 6. a) Să se arate că x y = ( x − 2 )( y − 2 ) + 2, ∀x, y ∈

.

b) Să se demonstreze că x 2 = 2 oricare ar fi x ∈ . c) Ştiind că legea de compoziţie „ ” este asociativă, să se calculeze valoarea expresiei E = ( −2009 ) ( −2008 ) … ( −2 ) ( −1) 0 1 2 … 2008 2009 .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

68

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 068 1. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) = x 3 + 3 x .

a) Să se calculeze f ′ ( x ) , x ∈ \. b) Să se arate că funcţia f este crescătoare pe \ . 5p f ( x) BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT2, programa M2 . c) Să se calculeze lim 5p x → −∞ x 3  x +1 , x ∈ ( −∞ , 1]  2. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) =  x − 2 . ln x − 2, x ∈ (1 , + ∞ )  5p

5p

a) Să se demonstreze că funcţia f admite primitive pe \ .

5p

b) Să se calculeze ∫ ( x − 2) f ( x)dx .

1

0

x

5p

c) Să se calculeze lim

x →+∞

1 ( f ( t ) + 2 ) dt . x ∫1


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Varianta 69

69

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 069 5p 1. Să se calculeze C62 − C64 . 5p 2. Să se determine valorile reale ale lui x pentru care x ( x − 1) ≤ x + 15 . 5p 3. Să se determine valorile reale ale numărului m astfel încât graficul funcţiei f :

,

f ( x ) = x − ( m − 1) x − m să fie tangent axei Ox. 2

2 3 4 9 + log3 + log 3 + … + log3 este natural. 1 2 3 8 5p 5. Să se calculeze sin10 − cos80 . 5p 6. Să se demonstreze că patrulaterul MNPQ cu vârfurile M ( 2;0 ) , N ( 6;4 ) , P ( 4;6 ) şi Q ( 0; 2 ) este dreptunghi.

scM2 u

5p 4. Să se arate că numărul A = log 3

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

69

5p 5p 5p

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 069 1  x  a −1 1  1. Se consideră matricele A =   , a ∈ \ , X =   cu x, y ∈ \ şi B =   . 2  y  4  a a) Să se determine a ∈ \ astfel încât det ( A ) = 0 .  2 −1  b) Pentru a = 3 să se verifice că A−1 =  .  −3 2  c) Pentru a = 3 să se rezolve ecuaţia matricială A ⋅ X = B .

2. Pe mulţimea G = ( −1,1) se consideră legea de compoziţie x ∗ y =

x+ y . 1 + xy

1 1 ∗ . 2 2

5p

a) Să se calculeze

5p

b) Fie funcţia f : ( −1,1) → ( 0, ∞ ) , f ( x ) =

5p

oricare x, y ∈ G . c) Să se demonstreze că legea "∗ " este asociativă.

1− x . Să se verifice că f ( x ∗ y ) = f ( x ) ⋅ f ( y ) , pentru 1+ x

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

69

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 069

1. Se consideră funcţia f : ( 0, + ∞ ) → \ , f ( x ) = ln x +

5p

a) Să se calculeze f ′( x), x ∈ ( 0; +∞ ) .

x2 . 2

5p f ( x ) − f (1- )Proba D, MT2, programa M2 BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ b) Să se calculeze lim . x →1 x −1 c) Să se determine intervalele de convexitate şi intervalele de concavitate ale funcţiei f . 5p 2. Se consideră funcţia f : [ 0, +∞ ) → \ , f ( x ) = (1 + x ) , n ∈ ]∗ . n

2

5p

a) Pentru n = 2 să se calculeze

∫ f ( x ) dx . 1

5p

b) Pentru n = −1 să se determine a ∈ [ 0; +∞ ) astfel încât

a

∫ f ( x ) dx = 0 . 0

1

5p

c) Să se calculeze

∫ 0

f ′( x) f ( x ) dx.


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

70

Varianta 70

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 070

5p 1. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale inecuaţia x 2 − 5 x + 6 ≤ 0 . 5p 2. Să se determine m ∈ \ astfel încât minimul funcţiei f : \ → \, f ( x ) = x 2 − mx + m să fie egal cu 1. 5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia log 2 x 2 = 2 . 5p 4. Să se calculeze C42 + C43 .

5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A (1;1) , B ( −1;0 ) şi C ( 3; −4 ) . Să se

determine lungimea segmentului AM , unde M este mijlocul lui ( BC ) .

(

)

1 . 2

scM2 u

5p 6. Să se determine cos 180D − x , ştiind că x este măsura unui unghi ascuţit şi cos x =

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

70

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 070 a a a   1. Se consideră matricea A =  a 0 0  , unde a ∈ \ . Se notează a 0 0  

5p

a) Pentru a = 1 să se calculeze matricea A2 .

5p

b) Să se calculeze det A2 , a ∈ \ .

5p

c) Să se demonstreze că A2 ≠ I 3 , pentru orice a ∈ \ .

A2 = A⋅ A.

( )

2. Pe mulţimea numerelor reale definim legile de compoziţie x ∗ y = xy − 2 x − 2 y + 6 şi x D y = xy − 3 ( x + y ) + 12 .

( x ∗ 2 ) − ( 3 D x ) = −1, ∀ x ∈ \.

5p

a) Să se verifice că

5p

b) Ştiind că e1 este elementul neutru în raport cu legea de compoziţie „ ∗ ” şi e2 este elementul neutru în

raport cu legea de compoziţie „ D ”, să se calculeze ( e1 ∗ e2 ) + ( e1 D e2 ) .

c) Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) = ax + 1. Să se determine a ∈ \ astfel încât

5p

f ( x ∗ y ) = f ( x ) D f ( y ) , oricare x, y ∈ \ .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

70

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 070 1. Se consideră funcţia f : ( 0, + ∞ ) → \ , f ( x ) = x + x .

5p

a) Să se calculeze f ′( x ), x ∈ ( 0, + ∞ ) .

5p

b) Să se arate că funcţia f este crescătoare pe

( 0, + ∞ ) .

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT2, programa 5p c) Să se determine coordonatele punctului graficului funcţiei M2 f , în care tangenta la grafic

are panta egală cu

3 . 2

2. Se consideră funcţia f : [ 0; +∞ ) → \ , f ( x ) =

∫ ( x + 1)( x + 2 ) f ( x ) dx = x

2

1 1 . + x +1 x + 2

+ 3x + C , x ≥ 0 .

5p

a) Să se verifice că

5p

b) Să se calculeze

5p

c) Să se calculeze volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul axei Ox, a graficului funcţiei 1 . h : [ 0 , 1] → \ , h ( x ) = f ( x ) − f ( x + 1) − x +1

1

∫ f ( x ) dx . 0


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Varianta 71

71

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 071 5p 1. Să se verifice că C51 + C53 + C55 = 24 . 5p 2. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 x ⋅ 3x = 36 .

2 2 5p 3. Să se arate că soluţiile x1 şi x2 ale ecuaţiei x − 2mx + m − 1 = 0 verifică relaţia x1 x2 − ( x1 + x2 ) + 2 ≥ 0 , pentru orice m ∈ \ .

(

)

5p 4. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia log5 x 2 + 2 x − 3 = 1 . Dacă punctul M este mijlocul segmentului BC , să 5p 5. Triunghiul ABC are centrul de greutate G.JJJG JJJG se determine numărul real a astfel încât AG = a ⋅ MA .

scM2 u

5p 6. Să se calculeze aria paralelogramului ABCD , ştiind că AB = 8, BC = 10 şi m ( )BCD ) = 150D .

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

71

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 071  x y 1 1. Se consideră matricea M =  1 2 1 cu x şi y numere reale. În reperul cartezian xOy se consideră  0 3 1  

punctele A (1, 2 ) , B ( 0,3) , O ( 0,0 ) şi Cn ( n + 1, 2 − n ) cu n ∈ `∗ .

5p 5p 5p

5p

5p 5p

a) Să se calculeze determinantul matricei M . b) Să se arate că punctele A, B şi C2 sunt coliniare. c) Să se determine numărul natural nenul n astfel încât aria triunghiului AOCn să fie minimă.

2. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie x ⊥ y = ( x − 3)( y − 3) + 3 . 1  ∗ + 3  = 4 oricare ar fi x ∈ \ . x  b) Să se arate că legea „ ⊥ ” are elementul neutru e = 4 . c) Să se determine elementele simetrizabile ale mulţimii \ în raport cu legea „ ⊥ ”.

a) Să se arate că

( x + 3 ) ⊥ 

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

71

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 071 1. Pentru orice n ∈ ` se consideră funcţiile f n : ( 0, ∞ ) → \ , f 0 ( x ) = ln x şi f n ( x ) = f n′−1 ( x ) .

5p 5p

a) Să se determine funcţia f1 . b) Să se determine ecuaţia asimptotei către +∞ la graficul funcţiei f 2 . 1 BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT2, programa M2 5p c) Să se arate că f 0 ( x ) ≤ − 1 , oricare ar fi x ∈ ( 0, + ∞ ) . f1 ( x ) 2. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) =

2x

1 + x2

.

e −1

5p

a) Să se calculeze

∫ f ( x ) dx . 0

5p

b) Să se demonstreze că orice primitivă a funcţiei f este funcţie crescătoare pe intervalul ( 0 , + ∞ ) . 1

5p

c) Să se demonstreze că

∫ 0

f ( x ) dx +

2

∫ 1

3

4

2

3

f ( x ) dx > ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx .


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

72

Varianta 72

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 072 −3

5p 1. Să se calculeze  1  − log5 25 . 2 2 5p 2. Să se arate că vârful parabolei asociate funcţiei f : \ → \ , f ( x ) = x − 2 x + 2 are cooordonatele egale. 5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3 x3 + x + 1 = x .

5p 4. Să se calculeze probabilitatea ca, alegând un număr din mulţimea A = {1, 2,3, 4,...,91} , acesta să fie divizibil cu 13. 5p 5. Să se calculeze cosinusul unghiului ascuţit format de diagonalele dreptunghiului ABCD, ştiind că AB = 16 şi BC = 12 .

scM2 u

5p 6. Să se calculeze sin 2 30D + cos 2 60D .

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

72

5p 5p

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 072  2 x − 3 y + 4 z = −5  1. Se consideră sistemul  x + 2 y + α z = 0 unde α ,β ∈ 5 x − 4 y + 7 z = β 

, A este matricea sistemului şi

 2 −3 4 −5    B =  1 2 α 0  . Notăm cu S (α , β ) suma elementelor matricei B.  5 −4 7 β    a) Să se calculeze S ( 0,0 ) .

b) Să se determine numerele reale α şi β astfel încât determinantul matricei A să fie nul şi

S (α , β ) = −2 .

5p

c) Pentru α = 0 şi β = 0 să se rezolve sistemul.

2. În mulţimea polinoamelor

[X ]

se consideră polinoamele f = X 3 + mX 2 + nX + 6 şi

g(X ) = X2 − X −2 .

5p 5p 5p

72

a) Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia x2 − x − 2 = 0 . b) Să se determine m, n∈ astfel încât polinomul f să se dividă cu polinomul g . c) Pentru m = −4 şi n = 1 să se Ministerul calculeze produsul P =Cercetării f ( 0 ) ⋅ f (1)şi⋅ … ⋅ f ( 2008 ) ⋅ f ( 2009 ) . Educaţiei, Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 072

1. Se consideră funcţia f : \∗ → \ , f ( x ) = x3 +

5p

3 . x

a) Să se calculeze f ′( x), x ∈ \∗ .

f ( x ) − f (1-)Proba D, MT2, programa M2 BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ 5p b) Să se calculeze lim . x →1 x −1 c) Să se determine intervalele de monotonie ale funcţiei f . 5p

5p

2. Se consideră funcţia f : [ 0, 1] → \ , f ( x ) = x 2 − x 2 . a) Să se calculeze volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul axei Ox, a graficului funcţiei f . 1

5p

b) Să se calculeze

f ( x) dx .

0 x

∫ f (t )dt 5p

c) Să se calculeze lim

x →0

0

x2

.


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Varianta 73

73 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 073 5p 1. Să se calculeze al cincilea termen al unei progresii aritmetice, ştiind că primul termen al progresiei este 7 şi al doilea termen este 9. 5p 2. Să se rezolve ecuaţia C 2 = 6, n ∈ `, n ≥ 2 . n

{

}

5p 3. Să se arate că mulţimea x ∈ \ x 2 − ( 2m + 1) x + m2 + m = 0 are două elemente, oricare ar fi m ∈ \ .

scM2 u

5p 4. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia lg ( x + 4 ) + lg ( 2 x + 3) = lg (1 − 2 x ) . JJJG JJJG 5p 5. Să se arate că dacă AB = 2 AC , atunci punctul C este mijlocul segmentului AB. 5p 6. 3 Să se determine lungimile catetelor AB şi AC ale triunghiului dreptunghic ABC , ştiind că sin B = şi 5 BC = 15 .

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

73

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 073 a b c 1. Se consideră determinantul ∆ = c a b cu a , b, c ∈ \ . b c a

5p

a) Ştiind că a = −1, b = 0 şi c = 1 , să se calculeze determinantul ∆ .

5p

b) Să se arate că ∆ = ( a + b + c ) a 2 + b 2 + c 2 − ab − ac − bc , ∀a, b, c ∈ \ .

5p

(

2x

1

c) Să se rezolve ecuaţia 1

2

x

1

1

)

1

1 = 0, x ∈ \ .

2x

2. Pe mulţimea ] a numerelor întregi se consideră legile de compoziţie x ∗ y = x + y + 3, x D y = ax + y − 3 , cu a ∈ ] şi funcţia f : ] → ], f ( x ) = x + 6 .

5p 5p 5p

a) Să se calculeze (1 ∗ 2 ) ∗ ( 0 D 3) . b) Să se determine numărul întreg a pentru care legea de compoziţie "D " este asociativă. c) Pentru a = 1 să se arate că funcţia f este morfism între grupurile ( ],∗) şi ( ], D ) . Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

73

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 073

 x2 + 3 , x ≤1  2  x +1 , unde a ∈ \ . 1. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) =   2x + a , x > 1  x 2 + 2 BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ Probaîncât D, MT2, 5p a) Să se determine numărul real a -astfel funcţprograma ia f să fieM2 continuă în punctul x0 = 1 . b) Să se determine ecuaţia asimptotei orizontale către −∞ la graficului funcţiei f . 5p 5p c) Să se determine numărul real a astfel încât panta tangentei la grafic în punctul ( 2; f ( 2 ) ) să fie egală cu 1. 2. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) = e x . 2

1

5p

a) Să se verifice că

∫f(

)

x dx = e − 1 .

0 1

5p

b) Să se calculeze

∫ x f ( x ) dx . 0 1

5p

c) Să se demonstreze că 1 ≤ ∫ f ( x ) dx ≤ e . 0


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Varianta 74

74

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 074 5p 1. Să se calculeze C85 − C83 .

5p 2. Să se determine raţia progresiei geometrice ( bn )n≥1 , ştiind că b1 = 3 şi b2 − b1 = 3 . 5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia log 2 x + 1 = 1 .

 x1 + x2 = 11  5p 4. Să se formeze o ecuaţie de gradul al doilea, ale cărei soluţii x1 şi x2 verifică relaţiile  1 1 11 .  x + x = 30 2  1 5p

5. Să se determine ecuaţia dreptei care conţine punctul A ( 2;5) şi este paralelă cu dreapta de ecuaţie x+ y−2=0

scM2 u

5p 6. Să se calculeze aria dreptunghiului ABCD, ştiind că AC = 10 şi m ( )BAC ) = 30D .

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

74

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 074

0 1 0 0 1. În mulţimea M2 ( \ ) se consideră matricele A =   şi O2 =  . 0 0 0 0

5p

a) Să se calculeze det( A2 ) , unde A2 = A ⋅ A .

5p

a b b) Să se arate că dacă X ∈ M2 ( \ ) şi XA = AX , atunci există a, b∈ \ , astfel încât X =  . 0 a

5p

c) Să se arate că dacă Y ∈ M2 ( \ ) , atunci ecuaţia Y 2 = A nu are soluţie în M 2( \ ) .

2. Se consideră inelul ( ] 6 , +, ⋅) .

5p

a) Să se calculeze numărul elementelor inversabile în raport cu înmulţirea din inelul ( ] 6 , +, ⋅) .

5p

b) Se consideră S suma soluţiilor ecuaţiei 2ˆ x + 1ˆ = 5ˆ şi P produsul soluţiilor ecuaţiei x2 = x , unde x ∈ ] 6 . Să se calculeze S + P.

5p

c) Să se calculeze probabilitatea ca alegând un element din inelul ( ] 6 , +, ⋅) , acesta să fie soluţie a

ecuaţiei x3 = 0ˆ .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

74

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 074

1. Se consideră funcţiile f , h : \ \ {1, 2} → \ , f ( x ) = ( x − 1)( x − 2 ) şi h ( x ) =

f '( x ) f ( x)

.

1 1 . + x −1 x − 2 BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT2, programa M2 5p b) Să se demonstreze că funcţia h este descrescătoare pe ( −∞;1) .

5p

a) Să se arate că h ( x ) =

5p

c) Să se arate că ( f ' ( x ) ) ≥ f ( x ) ⋅ f '' ( x ) , pentru orice x ∈ \ \ {1; 2} . 2

2. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) = x 2009 + x + 1 . 5p

a) Să se calculeze volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul axei Ox, a graficului funcţiei h : [1 , 3] → \ , h ( x ) = f ( x ) − x 2009 − 1 .

5p

b) Să se determine primitiva F : \ → \ a funcţiei f , care verifică condiţia F (0) = 1. x

5p

∫ f ( t ) dt c) Să se calculeze lim

x →+∞

0

x 2010

.


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Varianta 75

75 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 075 5p 1. Să se determine numărul real x, ştiind că şirul 1, x, x + 2, 7,... este progresie aritmetică. 5p 2. Să se determine coordonatele punctelor de intersecţie a graficelor f , g : \ → \, f ( x ) = x 2 − 3 x − 1 şi g ( x ) = x + 4 . 3

3 2 5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia x + x − x − 2 = x . 5p 4. O persoană a depus la o bancă 1500 de lei. Ce sumă a primit persoana după un an, ştiind că rata dobânzii a fost de 8 %? Fie echilateral MNP înscris într-un cerc de centru O. Să se demonstreze că 5p 5. JJJJGtriunghiul JJJG JJJG G OM + ON + OP = 0 .

scM2 u

5p 6. Să se calculeze aria paralelogramului ABCD în care AB = 6 3 , AD = 4 şi m ( )DAB ) = 150D .

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

75

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 075  4 −7  1. Se consideră matricea A =   ∈ M2 ( \ ) .  2 −4 

5p

a) Să se calculeze A2 , unde A2 = A ⋅ A.

5p

b) Să se demonstreze că ( A + I 2 )

5p

c) Să se determine numerele reale x pentru care det x 2 A = x 2 det ( A ) .

5p 5p 5p

2. Pe \ se consideră legea de compoziţie x ∗ y = xy + 3x + ay + b, a, b ∈ \ . a) Să se determine a ∈ \ astfel încât legea „ ∗ ” să fie comutativă. b) Să se arate că pentru a = 3 şi b = 6 legea „ ∗ ” admite element neutru. c) Să se determine a şi b astfel încât (−3) ∗ x = −3, pentru orice x ∈ \ .

−1

1 0 = A − I 2 , unde I 2 =  . 0 1

( )

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

75

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 075

 1 , x≤0  . 1. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) =  x 2 + 1  −2 x + 1, x > 0 

5p a) Să se studieze continuitatea funcţiei f D, în MT2, punctul x0 = 0 .M2 BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba programa 5p b) Să se demonstreze că funcţia f este crescătoare pe intervalul ( −∞,0 ) . 5p

1  c) Să se determine ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul A  −1,  . 2  1 . 2. Pentru fiecare n ∈ ` * se consideră funcţia f n : \ → \ , f n ( x ) = n 2 x +1

(

e

5p

a) Să se verifice că

∫ f1 (

)

)

x − 1 dx = 1 .

1

5p

b) Să se determine primitiva G a funcţiei g : \ → \, g ( x ) =

5p

c) Să se calculeze

1

∫ x ⋅ f n ( x ) dx, unde n ∈ `, n ≥ 2 . 0

1 13 , care verifică relaţia G (1) = . f2 ( x ) 15


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Varianta 76

76 5p

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 076 1. Să se arate că numerele 1, log3 9 şi 3 64 sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.

5p

2. Se consideră funcţia f :

5p

x2 + 2x − 3 = 2 3 . 5 4. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 x + 2− x = . 2 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(3,0) şi B (5, −2) . Să se determine coordonatele mijlocului segmentului AB.

5p 5p

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia

6. Să se calculeze sin 2 135 + cos 2 45 .

scM2 u

5p

→ , f ( x ) = 2 − x . Să se calculeze f (1) ⋅ f ( 2 ) ⋅ … ⋅ f ( 6 ) .

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

76

5p 5p 5p

5p 5p 5p

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 076  1 − a −1   x − ay − z = 0    1. Se consideră sistemul  x + 4 y − 2 z = 16 , unde a ∈ \ şi matricea sistemului A = 1 4 −2  .  x − 2 y + 2 z = −6  1 −2 2     a) Să se determine valorile reale ale lui a astfel încât matricea A să fie inversabilă. b) Să se calculeze A2 , unde A2 = A ⋅ A . c) Să se rezolve sistemul pentru a = 1. 2. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie x D y = xy + 4 x + 4 y + 12 . a) Să se arate că x D ( y D z ) = ( x D y ) D z , oricare ar fi x, y, z ∈ \ . b) Să se demonstreze că x D (−4) D y = −4 , oricare ar fi x, y ∈ \ . c) Să se calculeze 1 D (−2) D 3 D (−4) D 5 D (−6).

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

76

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 076

1. Se consideră funcţia f : ( 0, + \ ) → \, f ( x ) =

x −1 x

.

x +1 , pentru orice x ∈ ( 0; +∞ ) . 2 x x- Proba D, MT2, programa M2 BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ 5p b) Să se arate că 2009 2011 ≤ 2010 2010 .

5p

5p

5p

a) Să se verifice că f ′ ( x ) =

c) Să se arate că funcţia f nu are asimptotă către +∞ . 2  x + x − 2, x < 1 . 2. Se consideră funcţia f : \ → \, f ( x ) =  ( x + 1) ln x, x ≥ 1 a) Să se arate că funcţia f admite primitive pe \ . 1

7

∫ f ( x ) dx = − 6 .

5p

b) Să se verifice că

5p

c) Să se calculeze volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul axei Ox, a graficului funcţiei f ( x) h : [1; e] → \, h ( x ) = . x +1

0


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Varianta 77

77 5p

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 077 1. Să se verifice că log 2 5 + log 2 12 − log 2 30 = 1 .

5p

2. Să se arate că, oricare ar fi m ∈ \ , parabola asociată funcţiei f : \ → \, f ( x ) = x 2 − mx + m 2 + 1 este situată deasupra axei Ox .

5p

3. Să se determine numărul real a , ştiind că numerele 2a , 4a + 1 şi 2a+ 2 sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

5p 5p

4. Să se rezolve în mulţimea numerelor naturale ecuaţia C1n +1 = n 2 − 1 . JJJJG JJJG JJJJG JJJG 5. Să se demonstreze că în patrulaterul MNPQ are loc relaţia MN + PQ = MQ + PN . 6. Să se arate că, pentru orice unghi ascuţit x, este adevărată egalitatea

5p

(

)

(

)

scM2 u

sin x ⋅ cos 90D − x + cos 2 180D − x = 1 .

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

77

5p 5p 5p

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 077 1. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(2,1), B (1, 2) şi Cn ( n, −n ) , cu n ∈ ] . a) Să se scrie ecuaţia dreptei C4 C2 .

b) Să se arate că oricare ar fi n ∈ ]∗ punctele O, Cn , Cn +1 , sunt coliniare. c) Să se calculeze aria triunghiului ABC3 .

 2009 x  2. Se consideră matricele Ax =  0  0 

5p

0 0  1 0  , cu x ∈ \ şi mulţimea G = { Ax x ∈ \} ⊂ M3 (\) . x 1  1 0 0   a) Să se verifice că I 3 ∈ G , unde I 3 =  0 1 0  . 0 0 1  

5p

b) Să se demonstreze că Ax ⋅ Ay = Ax + y , oricare ar fi x, y ∈ \

5p

c) Să se arate că G = { Ax x ∈ \} este grup în raport cu înmulţirea matricelor .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

77

5p

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 077 1. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → R , f ( x ) = ( x − 3 ) ln x . a) Să se calculeze f ′ ( x ) , x ∈ ( 0, +∞ ) .

f ( x) − f (1) . x →1 x − 1 - Proba D, MT2, programa M2 BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ 5p c) Să se demonstreze că funcţia f este convexă pe ( 0, +∞ ) .

5p

5p 5p

b) Să se calculeze lim

2. Se consideră funcţiile F , f : R → R , F ( x ) = x ⋅ e x şi f ( x ) = ( x + 1) e x . a) Să se verifice că funcţia F este o primitivă a funcţiei f . b) Să se determine aria suprafeţei plane cuprinse între graficul funcţiei F, axa Ox şi dreptele de ecuaţii x = 0 şi x = 1 . 1

5p

c) Să se calculeze

∫ 0

F ( x) − f ( x) ex + 1

dx .


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

78

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 078

5p

1. Să se calculeze

Varianta 78

2 + C41

5p

. A31 2. Să se determine x ∈ , ştiind că numerele x − 1, x + 1 şi 2 x − 1 sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

5p

3. Se consideră funcţia f :

x

5p

1 → , f ( x ) =   . Să se calculeze f ( 0 ) + f (1) + … + f ( 4 ) . 2 4. Să se determine valoarea parametrului real m , ştiind că soluţiile x1 şi x2 ale ecuaţiei

x 2 − ( m − 1) x − m = 0 verifică relaţia x1 + x2 = 2 ( x1 x2 + 4 ) .

5. Să se determine ecuaţia dreptei care trece prin punctele A ( 2,1) şi B (1, −2 ) .

5p

6. Să se demonstreze că într-un triunghi dreptunghic ABC , cu m( A) = 90 , are loc relaţia

scM2 u

5p

AD 2 = AB ⋅ AC ⋅ sin B sin C , unde D este piciorul înălţimii duse din vârful A .

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

78

5p 5p

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 078

 a b   1. Se consideră mulţimea matricelor G =   a , b ∈ ] .  b a   a) Pentru A, B ∈ G, să se demonstreze că A + B ∈ G .

b) Să se arate că matricea C ∈ G , obţinută pentru a = 5 şi b = 3 , verifică relaţia C 2 = 10C − 16 I 2 ,

1 0 . 0 1

unde C 2 = C ⋅ C şi I 2 = 

5p

c) Pentru a , b ∈ ` să se determine o matrice D ∈ G care are proprietatea că det ( D ) = 2008 .

2. Se consideră polinomul f ∈ \ [ X ] , f ( X ) = ( X + 1)

5p 5p 5p

2009

− ( X − 1)

2009

care are forma algebrică

f = a2009 X 2009 + a2008 X 2008 + ... + a1 X + a0 . a) Să se determine a0 . b) Să se arate că f (1) + f ( −1) este număr întreg par. c) Să se determine numărul rădăcinilor reale ale polinomului f .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

787 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 078 78 x2 1. Se consideră funcţia f : R → R , f ( x ) = 2 . x +1 2x 5p = 0 pentru orice x ∈ R . a) Să se verifice că f ′ ( x ) − 2 BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT2, programa M2 x2 + 1

(

)

5p

b) Să se determine ecuaţia asimptotei către +∞ la graficul funcţiei f.

5p

c) Să se arate că f

( 3 2008 ) ≤ f ( 3 2009 ) .

2. Se consideră funcţiile f , g : [ 0,1] → R , f ( x ) = 2 x şi g ( x ) = x ⋅ e x . 5p 5p

a) Să se determine ∫ f ( x ) dx . b) Să se determine aria suprafeţei plane cuprinse între graficul funcţiei g , axa Ox şi dreptele de ecuaţii x = 0 şi x = 1 . x

∫ f (t )dt 5p

c) Să se calculeze lim

x →0

0

x

.


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

79 5p 5p

Varianta 79

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 079 log 5 18 − log5 2 . 1. Să se calculeze log5 3 2. Se consideră funcţiile f , g , h : \ → \ , f ( x) = x + 1, g ( x) = 2 x + 2, h( x) = 3 x + 3 . Să se determine numărul real a astfel încât a ( f ( x ) + h ( x ) ) = g ( x ) , oricare ar fi x ∈ \ .

5p 5p 5p

4x . 8 2x 4. Să se determine câte numere naturale de 4 cifre distincte se pot forma cu elementele mulţimii {1, 2,3, 4} .

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia

1

=

5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(2,0) şi B (m 2 − 1, 0) , cu m ∈ \ . Să se determine valorile reale ale lui m astfel încât punctul C (5,0) să fie mijlocul segmentului AB. JJJG JJJG JJJG 6. Se consideră patrulaterul ABCD în care DC + BC = AC . Să se demonstreze că ABCD este paralelogram.

scM2 u

5p

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

79

5p 5p 5p

5p 5p 5p

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 079  2 1 5 4 0 0 1 0 1. Se consideră matricele A =  , B =  , O2 =   şi I 2 =   în M2 ( \ ) . 0 0 0 1  −1 2  3 1 a) Să se calculeze A ⋅ B. b) Să se rezolve ecuaţia matricială A ⋅ X = B , unde X ∈ M2 ( \ ) .

c) Să se demonstreze că matricea A verifică egalitatea A2 − 4 A + 5 I 2 = O2 , unde A2 = A ⋅ A . 2. Pe mulţimea numerelor reale se consideră legea de compoziţie x D y = x + y − 14 . a) Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia x D x = 2 . b) Să se demonstreze că legea "D " este asociativă. c) Să se demonstreze că ( \, D ) este grup comutativ.

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

79

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 079 1. Se consideră funcţia f : R → R , f ( x ) = 2 x + 3 x .

a) Să se calculeze f ′ ( x ) , x ∈ \ . 5p b) Să se determine asimptota spre −∞ a funcţiei f . BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, c) Să se arate că funcţia f este convexă peMT2, \ . programa M2 5p 5p

2. Pentru fiecare n ∈ ` * se consideră funcţiile f n : [ 0,1] → R , f n ( x ) =

xn . x +1

1 2

∫ ( x + 1) ⋅ f2 ( x ) dx .

5p

a) Să se calculeze

5p

b) Să se determine aria suprafeţei plane cuprinse între graficul funcţiei f1 , axa Ox şi dreptele de ecuaţii x = 0 şi x = 1 .

5p

c) Să se arate că

1

1

∫ f 2009 ( x ) dx ≤ ln 2 . 0


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

80 5p 5p

5p

Varianta 80

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 080 2! + 3! 1. Să se calculeze . C81

2. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x) = −2 x + 3 . Să se arate că numerele f (1), f ( 0 ) şi f ( −3) sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.  x + y = 3 , unde x, y ∈ \ . 3. Să se rezolve sistemul  2  x + x = y 4. Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiei log5 ( 3 x + 1) = 1 + log 5 ( x − 1) .

5p

5. În reperul cartezian xOy se consideră punctul N , simetricul punctului M (−2,3) faţă de punctul O . Să se calculeze lungimea segmentului MN . 6. Fie triunghiul ascuţitunghic ABC . Să se determine măsura unghiului A , ştiind că BC = 6 şi raza cercului circumscris triunghiului are lungimea egală cu 2 3 .

5p

scM2 u

5p

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

80

5p 5p 5p

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 080 1 1 a 1. Se consideră determinantul D ( a ) = 1 a 1 , unde a este un număr real. a 1 1 a) Să se calculeze valoarea determinantului pentru a = −1 .

b) Să se demonstreze că D ( a ) = − ( a − 1) ( a + 2 ) , pentru orice a număr real. 2

c) Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia D ( a ) = −4 .

2. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie x D y = xy − 10 ( x + y ) + 110.

5p

a) Să se verifice că x D y = ( x − 10 )( y − 10 ) + 10 , oricare ar fi x,y ∈ \ .

5p

1 b) Să se calculeze C101 D C20 .

5p

c) Să se rezolve ecuaţia x D ( x − 1) = 10 , unde x ∈ \ .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

80

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 080

1. Se consideră funcţia f : R \ {1} → R , f ( x ) = x + 1 +

x2 − 2 x

1 . x −1

5p

a) Să se verifice că f ′ ( x ) =

5p 5p

b) Să se determine ecuaţia asimptotei oblice către +∞ la graficul funcţiei f. c) Să se demonstreze că f ( x ) ≥ 4 , pentru orice x ∈ (1; +∞ ) .

pentru orice x ∈ R \ {1} .

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ ( x − 1-) Proba D, MT2, programa M2 2

2. Pentru fiecare n ∈ ` se consideră funcţiile f n : R → R , f n ( x ) =

∫ f0 ( x ) dx ,

ex enx + 1

.

x∈R .

5p

a) Să se calculeze

5p

b) Să se determine aria suprafeţei plane cuprinse între graficul funcţiei f1 , axa Ox şi dreptele de ecuaţii x = 0 şi x = 1 .

5p

c) Să se arate că

1

1

0

0

∫ f n+1 ( x ) dx ≤ ∫ f n ( x ) dx, pentru orice n ∈ N .


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

81 5p 5p 5p 5p 5p

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 081 1 1. Să se calculeze log 2 − 3 −8 . 4 2. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale inecuaţia ( 2 x − 1)( x + 1) ≤ − x + 11 .

Varianta 81

3. Se consideră funcţia f : \ → \, f ( x ) = − x 2 + 4 x + 6. Să se arate că f ( x ) ≤ f ( 2 ) , oricare ar fi x ∈ \. 4. După două ieftiniri succesive cu 10 %, respectiv 25 %, preţul unui produs este 540 lei. Să se determine preţul produsului înainte de cele două ieftiniri. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctul M (2, m ) , unde m este un număr real. Să se determine

numerele reale m pentru care OM = 5 . 6. Să se determine lungimea laturii BC a triunghiului ABC , ştiind că AC = 6, AB = 4 şi m ( )BAC ) = 60D .

scM2 u

5p

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

7

5p 5p 5p

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 081 1 1 1   1. Fie matricea A(k ) =  −2 xk xk2  , cu k ∈ {0,1, 2} . x0 = 1 şi x1 , x2 sunt soluţiile ecuaţiei   2  −2 xk xk 

x2 + x − 2 = 0, x1 < x2 . a) Să se calculeze determinantul matricei A(0) . b) Să se determine matricea A(1) + A(2) .

c) Să se calculeze suma elementelor matricei A(k ) , pentru fiecare k ∈ {0,1, 2} .

2. Pe mulţimea G = ( 0, ∞ ) \ {1} se consideră operaţia x D y = x 2ln y .

5p 5p 5p

a) Să se calculeze 3 D e , unde e este baza logaritmului natural. b) Să se demonstreze că x D y ∈ G , pentru orice x, y ∈ G . c) Să se arate că operaţia "D " este asociativă pe mulţimea G.

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

81

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 081

1. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → R , f ( x ) = 2 x − 33 x .

1 1 − , pentru orice x > 0 . 3 x x2 BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT2, programa M2 5p b) Să se determine ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul A (1; −1) .

5p

a) Să se verifice că f ′ ( x ) =

5p

c) Să se arate că f ( x ) ≥ −1 , pentru orice x > 0 .

2. Se consideră funcţia f a : R → R , f a ( x ) = ax + 1 , unde a ∈ R . 5p

a) Să se determine a ∈ R astfel încât funcţia F : R → R , F ( x ) = x 2 + x + 1 să fie o primitivă a funcţiei f a .

5p

b) Să se calculeze ∫ e x f1 ( x ) dx .

1

0 1

5p

c) Să se demonstreze că

1 2 ∫ fa ( x ) dx ≥ 4 0

pentru orice a ∈ R .


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

5p 5p

5p 5p 5p 5p

Varianta 82

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 082 3 1. Să se calculeze 3 9 − 3 . 3

2. Ecuaţia x 2 + ax − a − 1 = 0 , cu a ∈ \ are soluţiile x1 şi x2 . Să se arate că expresia x1 + x2 − x1 x2 nu depinde de a. 2x 3 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia x = . 2 3 JJJG JJJG JJJG JJJG 4. Ştiind că vectorul AB are lungimea egală cu 12 şi AC = 2CB , să se determine lungimea vectorului CB . 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( −1, −1) , B ( 0 ,1) ,C (1,1) şi D ( 2 ,3) . Să se demonstreze că dreptele AB şi CD sunt paralele. 6. Ştiind că sin 80D − cos80D = a , să se calculeze sin100D + cos100D − a .

scM2 u

82

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

82

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 082

1 x ab

1. Se consideră determinantul D ( a; b; x ) = 1 a bx , unde a, b şi x sunt numere reale. 1 b ax

5p 5p 5p

a) Să se calculeze D (1;1;0 ) .

b) Să se demonstreze că D ( a; b; x ) nu depinde de numărul real x .

c) Să se rezolve ecuaţia D ( a; b; x ) = 0 , unde a şi b sunt numere reale pozitive.

2. Se consideră polinoamele f , g ∈ \ [ X ] , f = X 3 − 3 X + a şi g ( x) = X 2 − 3 X + 2 , unde a ∈ \ .

5p 5p 5p

a) Pentru a = 2 să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia f ( x) = g ( x) . b) Să se determine rădăcinile polinomului f, ştiind că are o rădăcină dublă pozitivă.  3− 5  c) Pentru a = 2 să se rezolve ecuaţia e f ( x ) = g   .  2 

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

82

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 082 1. Se consideră funcţia f : ( 0; +∞ ) → R , f ( x ) = ( x − 3) x .

3x − 3 , pentru orice x > 0 . 2 x 5p b) Să se determine ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în M2 punctul A (1; −2 ) . BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT2, programa

5p

a) Să se verifice că f ′ ( x ) =

5p

c) Să se demonstreze că x +

2 ≥ 3 pentru orice x > 0 . x

n

2. Pentru fiecare n ∈ ` * se consideră funcţiile f n : [ 0,1] → R , f n ( x ) = e x . 5p

a) Să se determine

∫ f1 ( x ) dx . 1

∫ x ⋅ f1 ( x ) dx .

5p

b) Să se calculeze

5p

c) Să se calculeze volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul axei Ox, a graficului funcţiei g : [ 0,1] → R , g ( x ) = x ⋅ f 3 ( x ) .

0


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

83

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 083

5p 5p

1. Să se calculeze 2C31 − A32 .

5p 5p

Varianta 83

2. Să se arate că log 2 14 + log 2 3 − log 2 6 = log 2 7 . x + 1 = x2 − x − 2 .

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia

4. Să se arate că soluţiile x1 şi x2 ale ecuaţiei x 2 − ( m + 1) x + m = 0 , m ∈ \ , verifică relaţia x1 + x2 − x1 x2 = 1 .

5. Să se determine aria triunghiului ABC , în care AB = 4, AC = 6 şi m ( )BAC ) = 45D .

5p

6. Să se calculeze sin135D + tg45D − cos 45D .

scM2 u

5p

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

83

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 083

5p

 1 x 2x2 + 2x    4x  . 1. Se consideră funcţia f : \ → M3 ( \ ) , f ( x ) =  0 1 0 0  1   a) Să se calculeze f ( 0 ) + f (1) .

5p

5p

1 0 0 b) Să se arate că f (1) ⋅ f ( −1) = I 3 unde I 3 =  0 1 0  . 0 0 1   c) Să se demonstreze că f ( x + y ) = f ( x ) ⋅ f ( y ) , oricare ar fi x, y ∈ \ .

{

}

ˆ 1, ˆ 2, ˆ 3, ˆ 4, ˆ 5ˆ . 2. Se consideră inelul ( ] 6 , +, ⋅) , unde ] 6 = 0,

5p

a) Să se rezolve ecuaţia 2ˆ x + 5ˆ = 1ˆ , pentru x ∈ ] 6 . 1ˆ 2ˆ 3ˆ

5p

b) Să se calculeze determinantul 2ˆ 3ˆ 3ˆ 1ˆ

1ˆ în ] 6 . 2ˆ

83

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării = 4ˆ 2ˆ x + y şi Centrul Naţional pentru Curriculum Evaluare Învăţământul Preuniversitar c) Să se rezolve sistemul de ecuaţii  , unde x,îny ∈ ]6 . ˆ ˆ x + y = 2 5  SUBIECTUL III (30p) – Varianta 083

5p

1 1. Se consideră funcţia f : R → R , f ( x ) = 3 x −   . 2 a) Să se calculeze f ′ ( x ) , unde x ∈ R .

5p

x

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT2, programa M2 f ( x) − f (0)

5p 5p

5p

b) Să se calculeze lim

. x c) Să se demonstreze că funcţia f este crescătoare pe R . 1 2. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → R , f ( x ) = x + . x a) Să se determine ∫ f ( x ) dx , unde x > 0 . x →0

5p

b) Să se calculeze volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul axei Ox, a graficului funcţiei g : [1, 2] → \ , definită prin g ( x ) = f ( x ) , x ∈ [1, 2 ] .

5p

c) Să se calculeze

e

∫ f ( x ) ln x dx . 1


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Varianta 84

84

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 084

5p

1. Să se compare numerele a = 2 şi b =

5p

2. Să se demonstreze că parabola asociată funcţiei f : \ → \, f ( x) = x 2 − 4 x + 4 este tangentă axei Ox .

5p 5p

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3 x ⋅ 5 x = 15 . 4. Să se calculeze TVA-ul pentru un produs, ştiind că preţul de vânzare al produsului este 357 lei, (procentul TVA-ului este 19 %). 5. Se consideră dreptunghiul ABCD care are AB = 8 şi BC = 6 . Să se calculeze cosinusul unghiului ascuţit format de diagonalele dreptunghiului. JJJG JJJG JJJG JJJG 6. Se consideră pătratul ABCD de centru O . Să se calculeze OA + OB + OC + OD .

5p

scM2 u

5p

1 . 3+ 2

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

84

5p 5p 5p

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 084 1 1 0 0 1 0 1 0 0     1. Se consideră matricele A =  0 1 1  , B =  0 0 1  şi I 3 =  0 1 0  . 0 0 1 0 0 0 0 0 1       a) Să se arate că A = B + I 3 .

b) Să se demonstreze că matricea A este inversabilă şi să se determine A−1 .

c) Să se determine numărul real a astfel încât det ( X ( a ) ) = ( 2a − 1) , unde X ( a ) = I 3 + aA. 3

2. Pe mulţimea numerelor reale

5p 5p 5p

se consideră legea de compoziţie x ∗ y = xy − x − y + 2 .

a) Să se demonstreze că x ∗ y = ( x − 1)( y − 1) + 1, oricare ar fi x, y ∈ b) Să se demonstreze că legea "∗ " este asociativă. 1 2 2009 c) Să se calculeze ∗ ∗… ∗ . 2 2 2

.

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

84

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 084

1. Se consideră funcţia f : R → R , f ( x ) =

5p

a) Să se verifice că f ′ ( x ) =

− x 2 + 3x − 2

x2 − x + 1 ex

.

, pentru orice x ∈ R .

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ e- xProba D, MT2, programa M2

5p 5p

b) Să se determine ecuaţia asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcţiei f . 1 c) Să se arate că f ( x ) ≥ pentru orice x ≤ 2 . e 2. Se consideră funcţia f : [ 0,1] → R , f ( x ) = x + 2 . 2 ∫ f ( x ) dx .

5p

a) Să se determine

5p

b) Să se determine aria suprafeţei plane cuprinse între graficul funcţiei f , axa Ox şi dreptele de ecuaţii x = 0 şi x = 1 .

5p

c) Folosind, eventual, faptul că

1

x + 2 ≤ 3 pentru orice x ∈ [ 0,1] , să se arate că ∫ x 2009 f ( x ) dx ≤ 0

3 . 2010


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

5p 5p 5p 5p 5p

Varianta 85

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 085 1. Să se determine al patrulea termen al unei progresii geometrice care are primul termen egal cu 16 şi 1 raţia . 2  x + y = −6 2. Să se rezolve sistemul de ecuaţii  , unde x, y ∈ \ .  xy = 8 1

= 4. 2x 4. Se consideră mulţimea A = {1,2,3}. Să se determine probabilitatea ca, alegând un număr de două cifre format cu elementele mulţimii A , acesta să aibă cifrele egale. JJJG JJJG JJJG 5. Se consideră paralelogramul ABCD . Să se demonstreze că AC + BD = 2 AD . 4 6. Să se calculeze sin 180D − x , ştiind că sin x = . 5

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia

(

)

scM2 u

85 5p

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

85

5p 5p 5p

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 085  x + ay + 2 z = 1 a 2  1    1. Se consideră sistemul  x + ( 2a − 1) y + 3 z = 1 , unde a ∈ \ şi matricea sistemului A =  1 2a − 1 3 .  x + ay + ( a − 3) z = 1 1 a a − 3    a) Să se arate că det ( A ) = a 2 − 6 a + 5 .

b) Să se rezolve ecuaţia det ( A ) = 0 . c) Pentru a = 0 să se rezolve sistemul în mulţimea numerelor reale. 2. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie asociativă x ∗ y = xy − 6 x − 6 y + 42 .

5p

a) Să se arate că x ∗ y = ( x − 6 )( y − 6 ) + 6, oricare ar fi x, y ∈ \ .

5p 5p

b) Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia x ∗ x ∗ x ∗ x = x . c) Să se calculeze 1 ∗ 2 ∗ 3 ∗ ... ∗ 2009 .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

85

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 085

1. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → R , f ( x ) = x2 − 1

x2 + 1 . x

5p

a) Să se verifice că f ′ ( x ) =

5p 5p

b) Să se determine ecuaţia asimptotei oblice la graficul funcţiei f. c) Să se arate că funcţia f este convexă pe (0, +∞) .

, pentru orice x > 0 .

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ x 2 - Proba D, MT2, programa M2

2. Se consideră funcţiile f , g : [ 0,1] → R , f ( x ) = e x şi g ( x ) = e x + e − x . 5p 5p

a) Să se determine ∫ f ( x ) dx .

b) Să se determine aria suprafeţei plane cuprinse între graficul funcţiei h : [ 0,1] → R , definită prin h ( x ) = x f ( x ) , axa Ox şi dreptele de ecuaţii x = 0 şi x = 1 .

5p

c) Să se calculeze volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul axei Ox, a graficului funcţiei g.


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

86

Varianta 86

5p

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 086 x + y = 5 1. Să se rezolve sistemul de ecuaţii  , unde x, y ∈ \ .  xy = 6

5p

2. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x) = 5− x . Să se calculeze f ( −1) + f ( 0 ) + 5 f (1) .

5p 5p

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia (3 + 2 2) x = (1 + 2)2 .

5p

5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( 2,1) şi B ( 4, −3) . Să se determine coordonatele punctului M, mijlocul segmentului AB . 1 6. Să se calculeze cos 180D − x , ştiind că cos x = . 3

(

)

scM2 u

5p

4. Să se determine numărul submulţimilor cu două elemente ale mulţimii A = {1, 2,3, 4,5,6} .

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

86

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 086  0 1 1 0 2 2 1. Fie matricele A =   , I2 =   şi mulţimea G = X ∈ M2 ( \ ) X = − I 2 , unde X = X ⋅ X . − 1 0 0 1     a) Să se verifice că A ∈ G .

{

5p

}

2

5p 5p

5p 5p 5p

1 1  b) Să se demonstreze că  ( X + I 2 )  = X , oricare ar fi X ∈ G . 2 2  c) Să se demonstreze că orice matrice pătratică de ordinul al doilea cu elemente numere reale pentru care  x y avem A ⋅ X = X ⋅ A este de forma X =   , unde x, y ∈ \ . −y x 

2. Se consideră polinomul f = X 4 + aX 3 + bX + c, cu a, b, c ∈ \ . a) Pentru c = 501 să se demonstreze că f (1) + f (−1) = 1004. b) Pentru a = −2, b = 2 şi c = −1 să se determine rădăcinile reale ale polinomului f . c) Să se demonstreze că nu există valori reale ale coeficienţilor a, b, c astfel încât polinomul f să se

dividă cu polinomul g = X 3 − X .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

86

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 086

1. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → R , f ( x ) =

5p

a) Să se verifice că f ′ ( x ) =

1 − ln x x2

ln x . x

, pentru orice x > 0 .

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT2, programa M2

5p 5p

5p 5p 5p

 1 b) Să se determine ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul A  e,  .  e x c) Să se arate că ln x ≤ , pentru orice x > 0 . e 2. Se consideră funcţia f : [ 0,1] → \, f ( x ) = 1 − x . a) Să se determine mulţimea primitivelor funcţiei f. b) Să se calculeze volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul axei Ox, a graficului funcţiei f.

c) Folosind, eventual, faptul că

x ≥ x, pentru orice x ∈ [ 0,1] , să se arate că

1

∫f 0

2009

( x ) dx ≤

1 . 2010


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Varianta 87

87 5p

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 087 1. Să se determine termenul al patrulea al unei progresii aritmetice, ştiind că primul termen este 2 şi raţia este 3.

5p 5p

2. Să se determine m ∈ \ astfel încât ecuaţia x 2 − x + m = 0 să admită soluţii de semne contrare.

5p

4. Să se rezolve ecuaţia C1n + An2 = 4, n ∈ `, n ≥ 2 .

5p

5. Să se determine aria unui triunghi ABC , ştiind că AB = AC = 2 şi m ( )A ) = 30D .

5p

6. Să se calculeze 2sin 2 135D .

(

)

scM2 u

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia log 2 x 2 − x − 2 − log 2 (2 x − 4) = 1 .

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

87

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 087  2 2 1 0 2 1. Se consideră matricele A =   , I2 =   şi mulţimea G = X ∈ M2 ( \ ) X = X , unde − − 1 1 0 1     X2 = X ⋅X . a) Să se verifice că A ∈ G .

{

5p 5p

b) Să se calculeze det ( A3 − 2 A2 + A ) , unde A3 = A ⋅ A ⋅ A .

5p

c) Să se demonstreze că ( 2X − I 2 ) = I 2 , oricare ar fi X ∈ G .

}

2

2. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie x ∗ y = xy − 2009 ( x + y ) + 2009 + 2009 .

(

)( y −

)

5p

a) Să se arate că x ∗ y = x − 2009

5p 5p

b) Să se determine elementul neutru al legii de compoziţie „ ∗ ”. c) Ştiind că legea de compoziţie „ ∗ ” este asociativă, să se calculeze

(−

) (

)

2009 ∗ − 2008 ∗ ... ∗ 0 ∗ ... ∗

(

2009 + 2009 , oricare ar fi x, y ∈ \ .

) (

2008 ∗

)

2009 .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

87

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 087

(

)

1. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) = x 2 + 2 x + 1 ⋅ e x .

a) Să se verifice că f ′ ( x ) = ( x + 1)( x + 3 ) ⋅ e x , oricare ar fi x ∈ \ . b) Să se determine ecuaţia asimptotei către −∞ la graficul funcţiei f . BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT2, programa M2 8 5p c) Să se demonstreze că f ( −2 ) + f ( −4 ) ≤ 3 . e  x 2 − 3x + 2, x ≤ 1 . 2. Se consideră funcţia f : \ → \, f ( x ) =  x >1 ln x, a) Să se arate că funcţia f admite primitive. 5p 5p b) Să se demonstreze că orice primitivă a funcţiei f este convexă pe (1; +∞ ) . 5p 5p

e

5p

c) Să se calculeze

∫ f ( x ) dx . 0


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Varianta 88

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 088 1. Să se determine raţia unei progresii aritmetice în care primul termen este 10 şi al patrulea termen este 19. 2. Să se determine valoarea minimă a funcţiei f : [ −2,1] → \, f ( x ) = − x + 1 .

5p 5p 5p

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia lg 2 x − 3lg x + 2 = 0 . 4. Să se determine preţul iniţial al unui produs care, după o scumpire cu 15 %, costă 460 lei. JJJG G G 5. Să se determine coordonatele punctului M, mijlocul segmentului AB, ştiind că OA = 3 i + 4 j şi JJJG G G OB = 7 i + 2 j .

5p

6. Să se calculeze sin100D + cos100D − sin 80D + cos80D .

scM2 u

88 5p 5p

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

88

5p 5p 5p

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 088  2 x + ay + z = 0 2 a  1. Se consideră sistemul  x + y + z = 0 , unde a este număr real şi matricea sistemului A =  1 1  1 −1  x − y + 2z = 0  

1 1. 2 

a) Pentru a = 0 să se calculeze A2 , unde A2 = A ⋅ A . b) Să se determine valorile reale ale numărului a pentru care matricea A este inversabilă. c) Pentru a ∈ \ \ {4} să se rezolve sistemul în mulţimea numerelor reale.

2. Pe mulţimea numerelor întregi se consideră legile de compoziţie x ∗ y = px + y + 2 , cu p ∈ ] , x D y = x + y − 2 şi funcţia f : ] → ] , f ( x ) = 3x + q , cu q ∈ ] .

5p 5p

a) Să se determine numărul real p astfel încât legea de compoziţie "∗ " să fie comutativă.

5p

c) Pentru p = 1 să se determine numărul întreg q astfel încât funcţia f să fie morfism între grupurile ( ],∗)

b) Pentru p = 1 să se rezolve în mulţimea numerelor întregi ecuaţia ( x ∗ x ) D ( x ∗ x ) = x 2 + 2 . şi ( ], D ) .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

88

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 088 1. Se consideră funcţia f : R → R , f ( x ) = x 3 − 3 x + 1 .

a) Să se calculeze f ′ (1) . b) Să se determine intervalele de convexitate şi intervalele de concavitate ale funcţiei f . 5p 5p ≤ 2MT2, . programa M2 c) Să se arate că f ( x ) ≤ 3 , pentru- orice BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ ProbaxD, 5p

2. Se consideră funcţiile f , F : ( 0; +∞ ) → R , f ( x ) = 1 −

1

2

şi F ( x ) = x +

1 . x

5p 5p

x a) Să se verifice că funcţia F este o primitivă a funcţiei f . b) Să se calculeze aria suprafeţei plane cuprinse între graficul funcţiei f , axa Ox şi dreptele de ecuaţii x = 1 şi x = 2 .

5p

c) Să se calculeze

e

∫ F ( x ) ⋅ ln x dx . 1


profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Varianta 89

89 5p

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 089

5p

2. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale inecuaţia ( x 2 − 1)( x + 1) ≥ 0 .

5p

3. Să se arate că produsul soluţiilor reale ale ecuaţiei mx 2 − 2009 x − m = 0 este constant, oricare ar fi m ∈

5p 5p

= 8, n ∈ . 4. Să se rezolve ecuaţia 5. Se consideră paralelogramul ABCD şi punctul O , intersecţia diagonalelor. Să se demonstreze că AO + DO = DC .

5p

6. Să se calculeze lg tg40D ⋅ lg tg41D ⋅ …⋅ lg tg45D .

1. Să se calculeze suma 1 + 2 + 22 + … + 26 .

Cn0

) (

)

(

)

scM2 u

(

+ Cn1

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

89

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 089  1 0 0  1 0 0  1 0 0       1. Se consideră matricele A =  0 3 0  , B =  2 3 0  , I3 =  0 1 0  .  0 0 5  3 7 5 0 0 1       Pentru X ∈ M3 (\) se notează X 3 = X ⋅ X ⋅ X .

5p 5p

a) Să se determine A−1. b) Să se rezolve ecuaţia matricială A3 ⋅ X = I 3 , unde X ∈ M3 ( \ ) .

5p

c) Să se calculeze ( B − A ) . 3

2. Pe mulţimea numerelor întregi se defineşte legea de compoziţie x ∗ y = 3xy + 7 x + 7 y + 14 .

5p 5p 5p

a) Să se determine elementul neutru al legii " ∗ " . b) Să se rezolve mulţimea numerelor întregi inecuaţia x ∗ x ≤ −1 . c) Să se demonstreze că legea de compoziţie " ∗ " este asociativă.

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

89

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 089

1. Fie funcţia f : R → R , f ( x ) = 2 x 3 − 3 x 2 + 1 .

a) Să se calculeze f ′ (1) . b) Să se determine intervalele de concavitate şi intervalele de convexitate ale funcţiei f. 5p BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT2, 1 programa M2 c) Să se arate că f ( x ) ≥ 0 , pentru orice x ≥ − . 5p 2 2. Se consideră funcţiile f , g : [ 0,1] → R , f ( x ) = e x şi g ( x ) = e1− x . 5p

5p 5p

a) Să se determine mulţimea primitivelor funcţiei f. b) Să se determine aria suprafeţei plane cuprinse între graficul funcţiei h : [ 0,1] → R , h ( x ) = x ⋅ f ( x ) , axa Ox şi dreptele de ecuaţii x = 0 şi x = 1 . 1 2

5p

c) Să se arate că

∫ ( g ( x ) − f ( x ) ) dx ≥ 0 . 0

.


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Varianta 90

90 5p

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 090 1. Să se calculeze suma S = 1 + 5 + 9 + ... + 25 .

5p

2. Să se determine mulţimea A = x ∈ ] x 2 + x − 2 < 0 .

5p 5p 5p

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3x +1 ⋅ 2 x = 108 . 4. Să se determine câte numere de trei cifre se pot scrie folosind doar elemente din mulţimea {1, 2} . JJJG JJJG G 5. Fie punctele distincte A, B, C , D , nu toate coliniare. Ştiind că AB + CD = 0 , să se demonstreze că patrulaterul ABCD este paralelogram. 6. Să se calculeze sin A în triunghiul ABC , ştiind că BC = 10 , iar lungimea razei cercului circumscris triunghiului este egală cu 10.

}

scM2 u

5p

{

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

90

5p 5p 5p 5p 5p 5p

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 090  x+ y+z=0 1   1. Se consideră sistemul  ax + 2 y + 4 z = 0 , cu a ∈ \ şi matricea sistemului A =  a  2  2  a x + 4 y + 16 z = 0 a a) Pentru a = 1 să se calculeze determinantul matricei A .

1  2 4 .  4 16 

1

b) Să se determine mulţimea valorilor reale ale numărului a pentru care det ( A) ≠ 0 . c) Să se rezolve sistemul pentru a ∈ \ \ {2; 4} .

2. Se consideră polinomul f = X 4 + aX 3 + bX + c, cu a, b, c ∈ \ . a) Să se determine numărul real c ştiind că f (1) + f (−1) = 2009 . b) Să se determine numerele reale a, b, c ştiind că f (0) = f (1) = −2 şi că una dintre rădăcinile polinomului este x = 2 . c) Pentru a = −2, b = 1 şi c = −2 să se determine rădăcinile reale ale polinomului f .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

90

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 090

1. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → R , f ( x ) = 2 x − ln x .

5p

a) Să se verifice că f ′ ( x ) =

x −1 , pentru orice x > 0 . x

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT2, programa 5p b) Să se determine ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în M2 punctul

5p

A (1; 2 ) .

c) Să se arate că 2 x ≥ 2 + ln x , pentru orice x > 0 .

2. Pentru fiecare n ∈ ` * se consideră funcţiile f n : [ 0,1] → R , f n ( x ) = x n + (1 − x ) . n

5p

a) Să se determine mulţimea primitivelor funcţiei f 2 .

5p

b) Să se calculeze aria suprafeţei plane cuprinse între graficul funcţiei g : [ 0,1] → R , g ( x ) = e x ⋅ f 2 ( x ) , axa Ox şi dreptele de ecuaţii x = 0 şi x = 1 . 1

5p

c) Să se arate că

∫ 0

1

f n ( x ) dx ≥ ∫ f n+1 ( x ) dx , pentru orice n ∈ N∗ . 0


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

91 5p 5p

2. Se consideră funcţia f :

5p

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia log 2 3 x = 1 .

Varianta 91

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 091 1. Să se determine numărul elementelor mulţimii A = {1, 4,7,… , 40} . →

, f ( x) = 2 x. Să se calculeze f ( −3) ⋅ f ( −2) ⋅ ... ⋅ f (3) .

5p

4. Să se determine câte numere de trei cifre distincte se pot forma cu ajutorul cifrelor din mulţimea {1, 2,3} .

5p 5p

5. Să se determine a, b ∈

, ştiind că punctele A(a, b) şi B(a − 1, 4) aparţin dreptei de ecuaţie x + y − 5 = 0 .

scM2 u

6. Să se calculeze produsul (cos1 − cos9 ) ⋅ (cos 2 − cos8 ) ⋅ ... ⋅ (cos9 − cos1 ) .

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

91

5p 5p 5p

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 091  1 2 −3    1. Fie matricea A =  1 2 −3  . Pentru a ∈ \ fixat, definim matricea B = aA + I 3 .  1 2 −3    a) Să se calculeze A2 , unde A2 = A ⋅ A . b) Să se demonstreze că 2B − B 2 = I 3 .

c) Să se determine B −1. 2. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie prin x D y = 3 xy + 3x + 3 y + 2 .

5p

a) Să se verifice că x D y = 3 ( x + 1)( y + 1) − 1 , oricare ar fi x, y ∈ \ .

5p

b) Să se determine numărul real x pentru care x 2 − 5 D 6 = −1.

5p

c) Să se determine două numere a, b∈_ \ ] , astfel încât a D b ∈ `.

(

)

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

91

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 091

1. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → R , f ( x ) = x 2 − x − ln x .

5p

a) Să se calculeze f ′ ( x ) , x ∈ ( 0, +∞ ) .

5p

b) Să se arate că funcţia f este convexă pe ( 0, +∞ ) .

5p

c) Să se arate că f ( x) ≥ 0, oricare ar fi x > 0 .

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT2, programa M2

2. Pentru fiecare n ∈ ` * se consideră funcţiile f n : [ 0, 2] → R , f n ( x ) = ( 2 − x ) . n

∫ f1 ( x ) dx , unde

x ∈ [ 0, 2 ] .

5p

a) Să se determine

5p

b) Să se calculeze aria suprafeţei plane cuprinse între graficul funcţiei g : [ 0, 2 ] → \, g ( x ) = f1 ( x ) ⋅ e x ,

5p

axa Ox şi dreptele de ecuaţii x = 0 şi x = 2 . c) Să se calculeze volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul axei Ox, a graficului funcţiei f 5 .


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Varianta 92

92 5p

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 092 1. Să se calculeze produsul primilor trei termeni ai unei progresii geometrice, care are primul termen şi raţia egală cu − 2 .

5p

2. Se consideră funcţiile f , g : \ → \, f ( x) = 4 x 2 − 4 x + 1, g ( x) = 2 x − 1 . Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia f ( x) + 2 g ( x) = −1 .

5p

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 32 x + 2 ⋅ 3x − 3 = 0 .

5p 5p

4. Să se calculeze 3!− C42 .

5p

6. Să se demonstreze că, dacă triunghiul ABC este dreptunghic în A , atunci are loc relaţia AB + AC sin B + cos B = . BC

scM2 u

5. Să se calculeze distanţa de la punctul A ( −6,8 ) la originea reperului cartezian xOy .

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

92

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 092 1 0 0 0 0 a   1. Se consideră matricele A =  0 a 0  , unde a ∈ \ , I 3 =  0 1 0  şi mulţimea 0 0 1 a 0 0    

{

}

G = X ∈ M 3 ( \ ) AX = XA .

5p

a) Să se calculeze det ( A ) .

5p

b) Să se demonstreze că A2 X = XA2 , oricare ar fi X ∈ M 3 ( \ ) , unde A2 = A ⋅ A .

5p

c) Să se arate că dacă a, b ∈\, atunci matricea aI 3 + bA ∈ G .

(

2. Se consideră polinomul f = 1 + X + X 2

5p 5p 5p

)

1004

+ X 2009 , cu forma algebrică

f = a0 + a1 X + a2 X 2 + ... + a2009 X 2009 . a) Să se calculeze f (−1) . b) Să se arate că a0 + a1 + a2 + ... + a2009 este un număr întreg par.

c) Să se determine restul împărţirii polinomului f la polinomul X 2 − 1 .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

92

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 092

1. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → R , f ( x ) = e x ( x − 1)

ex . x

5p

a) Să se verifice că f ′ ( x ) =

5p 5p

b) Să se determine asimptota verticală la graficul funcţiei f.

, pentru orice x > 0 .

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ x 2- Proba D, MT2, programa M2

5p 5p

c) Să se demonstreze că e x ≥ ex, pentru orice x > 0 . 2 2. Fie funcţia f : [1, 2 ] → R , f ( x ) = x + . x a) Să se determine mulţimea primitivelor funcţiei f. b) Să se calculeze volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul axei Ox, a graficului funcţiei f. 2

5p

c) Să se calculeze

∫ f ( x ) ⋅ ln x dx . 1

2


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Varianta 93

93 5p

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 093 1. Se consideră funcţia f : \ → \, f ( x) = x 2 − 3 x + 2. Să se calculeze produsul f (−2) ⋅ f (−1) ⋅ f (0) ⋅ f (1) ⋅ f (2) .

5p

2. Să se determine m ∈ \ astfel încât minimul funcţiei f : \ → \, f ( x) = x 2 + mx + 2 să fie egal cu −2 .

5p

3. Să se rezolve ecuaţia 2log 2 x = 4 . ( n + 2 )! = n2 + 5, n ∈ ` . 4. Să se rezolve ecuaţia C1n + 2 + ( n + 1)!

5p 5p

5. Ştiind că punctele B şi C sunt simetricele punctului A(2,3) faţă de axele Ox, respectiv Oy, să se calculeze lungimea segmentului BC. 1 6. Să se calculeze lungimea laturii BC a triunghiului ABC , ştiind că sin A = şi că lungimea razei 2 cercului circumscris triunghiului este egală cu 4.

scM2 u

5p

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

93

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 093

5p

 4 2 1 0 0 0 1. În mulţimea M2 ( \ ) se consideră matricele A =   , I2 =   şi O2 =  .  2 4 0 1 0 0 a) Să se calculeze det( A2 ) , unde A2 = A ⋅ A .

5p 5p

 14 13  3 2 b) Să se demonstreze că A3 = 23   , unde A = A ⋅ A . 13 14   c) Să se demonstreze că matricea A verifică egalitatea A2 − 8 A + 12 I 2 = O2 . 2. Se consideră polinomul f ∈ ] [ X ] , f = X 3 +  2a + 1 X + a + 4

(

6

)

5p

a) Să se demonstreze că b3 = b, oricare ar fi b ∈ ] 6 .

5p

b) Să se determine a ∈ ] 6 , ştiind că f  2 = 0.

5p

c) Pentru a =  2 să se rezolve ecuaţia f ( x ) = 0ˆ , x ∈ ] 6 .

()

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

93

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 093

(

)

1. Se consideră funcţia f : R → R , f ( x ) = x2 + 1 e x − 1 .

5p

a) Să se verifice că f ′ ( x ) = ( x + 1) ⋅ e x , pentru orice x ∈ R . 2

5p b) Să se determine ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în M2 punctul O ( 0;0 ) . BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT2, programa c) Să se determine ecuaţia asimptotei către −∞ la graficul funcţiei f. 5p 2. Pentru fiecare n ∈ ` * se consideră funcţiile f n : [ 0,1] → R , f n ( x ) =

∫ f1 ( x ) ⋅

xn

x +1

.

x + 1 dx .

5p

a) Să se determine

5p

b) Să se calculeze volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul axei Ox, a graficului funcţiei f1 .

5p

c) Folosind, eventual, faptul că

x + 1 ≥ 1 , oricare ar fi x ∈ [ 0;1] , să se arate că

1

1

∫ f 2009 ( x ) ≤ 2010 . 0


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

94 5p 5p

Varianta 94

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 094 1. Se consideră numărul a = log 2 3 . Să se arate că log 2 18 = 2a + 1 . 2. Să se determine funcţia f : \ → \, f ( x) = ax + b , cu a şi b numere reale, pentru care f (1) + f (2) + f (3) = 6a + 2b şi f ( 4 ) = 8 .

5p 5p 5p 5p

3. Să se determine coordonatele punctelor de intersecţie cu axele de coordonate a graficului funcţiei f : \ → \, f ( x) = 2 x +3 − 2 . 4. Preţul unui produs este de 5400 lei. Cu ce procent trebuie ieftinit preţul produsului pentru ca acesta să coste 4860 lei? 5. Se consideră dreptele distincte d1 : ax + 2 y = 2 şi d 2 : 8 x + ay = 4 . Să se determine valorile parametrului real a astfel încât dreptele d1 şi d 2 să fie paralele.

6. Să se calculeze lungimea medianei duse din vârful A al triunghiului ABC ştiind că A ( 2,3) , B ( 2,0 ) şi

scM2 u

C ( 0, 2 ) .

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

94

5p

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 094 1 0  x 1 2 1. Se consideră matricele Ax =   , x real şi I 2 =   . Se notează Ax = Ax ⋅ Ax . 1 x 0 1     a) Să se determine valorile reale ale numărului x pentru care det ( Ax ) = 0.

5p

b) Sa se determine numărul real x astfel încât Ax2 = I 2 .

5p

c) Să se demonstreze că Ax2 = 2 xAx + (1 − x 2 ) ⋅ I 2 .

2. Se consideră inelul de polinoame ] 3 [ X ] .

5p

a) Să se determine a, b ∈ ] 3 , ştiind că polinomul f ∈ ] 3 [ X ] , f = X 2 + a X + b are rădăcinile  1 şi  2.

5p

2X 2 +  2 X + 1 la b) Să se determine câtul şi restul împărţirii polinomului f ∈ ] 3 [ X ] , f = X 3 + 

1. polinomul g ∈ ] 3 [ X ] , g = X + 

5p

(

)

()

c) Să se demonstreze că dacă f ∈ ] 3 [ X ] , f = a3 + 2ˆ a X 2 + 2ˆ aX + 1ˆ , atunci f 1ˆ = 2ˆ a + 1ˆ .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

94

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 094

1. Se consideră funcţia f : R → R , f ( x ) = x ⋅ e x .

5p

a) Să se verifice că f ′ ( x ) = ( x + 1) ⋅ e x , pentru orice x ∈ R .

b) Să se determine intervalele de convexitate şi intervalele de concavitate ale funcţiei f. 5p BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT2, programa M2 c) Să se determine ecuaţia asimptotei orizontale către −∞ la graficul funcţiei f. 5p 2. Pentru fiecare n ∈ ` * se consideră funcţiile f n : [ 0,1] → R , f n ( x ) =

5p

a) Să se determine

5p

b) Să se calculeze

xn + x + 2 . x +1

∫ x ⋅ f1 ( x ) dx . 1

∫ f2 ( x ) dx . 0

5p

c) Să se arate că aria suprafeţei plane, cuprinse între graficul funcţiei f 2008 şi axa Ox şi dreptele x = 0 şi x = 1 , este mai mică sau egală cu 2.


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

5p 5p 5p 5p 5p

Varianta 95

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 095 1. Să se demonstreze că (1 + 2) 2 + (1 − 2)2 este un număr natural.

2. Se consideră funcţia f : \ → \, f ( x) = x 2 − 4 x + 3 . Să se demonstreze că f ( x ) ≥ −1 , oricare ar fi numărul real x .  2 x + 2 y = 16 3. Să se rezolve sistemul  , unde x, y ∈ \ .  xy = 12

n! = (n − 2)!, n ∈ `, n ≥ 2 . 12 5. Se consideră reperul cartezian xOy şi punctele A(1, −1) şi B (3,5) . Să se determine coordonatele JJJG JJJG JJJG punctului C din plan astfel încât OA + OB = OC . 6. Să se calculeze cos A în triunghiul ABC , ştiind că AB = 2, BC = 3 şi AC = 4 .

4. Să se rezolve ecuaţia

scM2 u

95 5p

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

95

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 095

 4 −2 −2   − 2 −2 −2      1. În mulţimea M3 ( \ ) se consideră matricele A =  −2 4 −2  , B =  −2 −2 −2  şi C = A + B.  −2 −2 4   − 2 −2 −2     

5p 5p

Se notează cu X 2 = X ⋅ X a) Să se efectueze produsul A ⋅ B . b) Să se calculeze det ( A ) ⋅ det ( B ) .

5p

c) Să se demonstreze că A2 − B 2 = 6 ( A + B ) .

2. Pe mulţimea mulţimea numerelor întregi se definesc legile de compoziţie x ∗ y = x + y + 2 şi x D y = xy + 2 x + 2 y + 2 .

5p 5p 5p

a) Să se demonstreze că x D y = ( x + 2 )( y + 2 ) − 2 , pentru orice x, y ∈ \

b) Să se determine simetricul elementului x = −3 în raport cu legea de compoziţie "D " .  x 2 ∗ y 2 = 7 c) Să se rezolve sistemul  , unde x, y ∈ ` . 2 2  x D y = 16

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

95

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 095

1. Se consideră funcţia f : (1, +∞ ) → R , f ( x ) =

5p

a) Să se verifice că f ′ ( x ) =

x2 − 2 x

x2 . x −1

, pentru orice x > 1 .

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ ( x − 1-)2Proba D, MT2, programa M2

5p 5p

b) Să se determine ecuaţia asimptotei oblice către +∞ la graficul funcţiei f. c) Să se arate că f

( 3 2 ) ≥ f ( 3 3) .

2. Se consideră funcţiile f , g : [ 0,1] → R , f ( x ) = 1 − x şi g ( x ) = 1 − x .

∫ f ( x ) dx .

5p

a) Să se determine

5p

b) Să se calculeze aria suprafeţei plane cuprinse între graficul funcţiei g , axa Ox şi dreptele de ecuaţii x = 0 şi x = 1 .

5p

c) Să se calculeze

1

∫ f ( x ) ⋅ ln x dx . 1 e


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Varianta 96

96 5p

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 096 1. Să se determine numărul real x ştiind că numerele x − 1, 2 x − 2 şi x + 3 sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

5p

2. Să se determine numărul real m astfel încât soluţiile ecuaţiei x 2 − mx − 1 = 0 să fie numere reale opuse.

5p

1 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia   = 2 x−2. 2

5p

9 − C98 . 4. Să se calculeze C10

x

5p

5. Să se determine numărul real m pentru care punctele A ( 2, 4 ) , B ( 3,3) şi C ( m,5 ) sunt coliniare.

5p

6. Se consideră triunghiul dreptunghic ABC , cu m()A) = 90D şi cos B =

scM2 u

3 . Să se calculeze sin C . 5

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

96

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 096

5p

1.

a) Să se calculeze determinantul

2009 − 1

−1

2009 + 1

1

5p

x1 − x2

b) Să se calculeze valoarea determinantului

.

x2 , unde x1 şi x2 sunt soluţiile ecuaţiei x1

x 2 − 4 x + 2 = 0.

0  −1 1 0     c) Fie matricele A =  −1 0 0  şi O3 =  0  0 0 0 0   

5p

2.

5p 5p 5p

0 0  0 0  . Să se arate că A3 + A2 + A = O3 , unde 0 0 

A2 = A ⋅ A şi A3 = A2 ⋅ A . Pe mulţimea numerelor reale se consideră legea de compoziţie x D y = 2 xy − 8 x − 8 y + 36.

a) Să se demonstreze că x D y = 2 ( x − 4 )( y − 4 ) + 4, oricare ar fi x, y ∈ \. .

b) Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia x D x = 36 . c) Ştiind că operaţia „ D ” este asociativă, să se calculeze 1 D 2 D 3 D ... D 2009 . Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

96

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 096

1. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → \, f ( x ) = a) Să se verifice că f ′ ( x ) =

ln x . x

1 − ln x

, pentru orice x > 0 . x2 b) Să se determine ecuaţia asimptotei orizontale către +∞ la graficul funcţiei f. 5p BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT2, programa M2 5p c) Să se arate că f ( 2008 ) ≥ f ( 2009 ) .

5p

2. Se consideră funcţia f : [ 0,1] → \, f ( x ) = x .

∫ f ( x ) dx .

5p

a) Să se determine

5p

b) Să se determine aria suprafeţei plane cuprinse între graficul funcţiei g : [ 0,1] → \ , g ( x ) =

5p

axa Ox şi dreptele de ecuaţii x = 0 şi x = 1 . c) Să se calculeze volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul axei Ox, a graficului funcţiei x

h : [ 0,1] → \, h ( x ) = e 2 ⋅ f ( x ) , unde x ∈ [ 0,1] .

f 2 ( x) x2 + 1

,


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Varianta 97

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 097 1. Să se determine numărul real x ştiind că numerele x − 1, x + 1 şi 2 x + 5 sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

5p

2. Să se determine parametrul real m astfel încât soluţiile reale ale ecuaţiei x 2 − 3 x + m = 0 să fie inverse una alteia.

5p 5p 5p

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia lg 2 x − 4 lg x + 3 = 0 . 4. După o reducere a preţului cu 15 % un produs costă 680 lei. Să se calculeze preţul iniţial al produsului. 5. Să se determine m ∈ \ pentru care distanţa dintre punctele A ( 2, m ) şi B ( −m, −2 ) este egală cu 4 2 .

5p

6. Ştiind că triunghiul ABC are BC = 10,AC = 5 şi AB = 5 3 , să se calculeze cos A .

scM2 u

97 5p

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

97

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 097 0 0 1 1 0 0     1. Se consideră matricele X =  1 0 0  , I 3 =  0 1 0  şi mulţimea G = X n n ∈ {1, 2,3} , unde  0 1 0 0 0 1    

{

X n = X ⋅ X ⋅… ⋅ X , n ∈

}

.

de n ori

5p

a) Să se verifice că X 3 = I 3 .

5p

b) Să se calculeze det I 3 + X + X 2 .

5p

c) Să se demonstreze că, dacă Y ∈ G , atunci Y −1 ∈ G .

(

)

{

}

2. Se consideră mulţimea G = a + b 3 a, b ∈ , a 2 − 3b 2 = 1 .

5p 5p 5p 97

a) Să se verifice că 2 + 3 ∈ G . b) Să se arate că, în raport cu înmulţirea numerelor reale, orice element din mulţimea G are invers în G. c) Să se demonstreze cMinisterul ă x ⋅ y ∈ G ,Educaţiei, pentru oriceCercetării x, y ∈ G . şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 097

1. Se consideră funcţia f : R → R , f ( x ) = 2x2 − 2

x2 − x + 1

x2 + x + 1

.

5p

a) Să se verifice că f ′ ( x ) =

5p 5p

b) Să se determine ecuaţia asimptotei orizontale către +∞ la graficul funcţiei f.

(

)

‚ pentru orice x ∈ R .

2 BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ x 2 +-xProba + 1 D, MT2, programa M2

c) Să se arate că f

( 3 2009 ) ≤ f ( 3 2010 ) .

2. Fie funcţia f : [1, e ] → \, f ( x ) = ln x .

∫ f ′ ( x ) dx .

5p

a) Să se determine

5p

b) Să se calculeze aria suprafeţei plane cuprinse între graficul funcţiei f , axa Ox şi dreptele de ecuaţii x = 1 şi x = e .

5p

c) Să se arate că ∫ e x f ( x ) dx ≤ ee − e .

e

1


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

98 5p 5p 5p 5p 5p 5p

Varianta 98

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 098 1. Să se arate că log 3 24 = 1 + 3a , unde a = log3 2 . 2. Se consideră funcţiile f , g : \ → \ , f ( x) = ax + b, g ( x) = bx + a , unde a şi b sunt numere reale. Să se arate că dacă f (−1) = g (−1) , atunci f = g .

1 . 4 4. Să se determine numărul natural nenul n astfel încât numărul submulţimilor cu două elemente ale unei mulţimi cu n elemente să fie egal cu 6. 5. Să se determine ecuaţia dreptei care trece prin punctul A(3,0) şi intersectează axa Oy în punctul de ordonată 4. 6. Să se determine lungimea înălţimii duse din vârful O al triunghiului MON , unde M ( 4,0 ) , N ( 0,3) şi 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 4 x−1 =

scM2 u

O ( 0,0 ) .

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

98

5p 5p

5p

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 098  2 −1 −1   −1 −1 −1 1 0 0     1. Se consideră matricele A =  −1 2 −1 , B =  −1 −1 −1 şi I 3 =  0 1 0  . Se notează X 2 = X ⋅ X . 0 0 1  −1 −1 2   −1 −1 −1       a) Să se calculeze AB . b) Să se demonstreze că ( A + B)2 = ( A − B) 2 = A2 + B 2 . c) Să se calculeze inversa matricei ( A − B ) . 2

2. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie x ∗ y = 3 xy + 3 x + 3 y + 2 .

5p 5p 5p

a) Să se demonstreze că x ∗ y = 3 ( x + 1) ( y + 1) − 1, oricare ar fi x, y ∈ \ .

(

)

b) Să se determine numerele reale pentru care x 2 − 2 ∗ 5 = −1. c) Ştiind că legea de compoziţie este asociativă, să se calculeze (−2009) ∗ (−2008) ∗ ... ∗ (−1) ∗ 0 ∗ 1 ∗ ... ∗ 2008 ∗ 2009 .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

98

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 098

1. Se consideră funcţia f : (1, +∞ ) → R , f ( x ) =

ex ( x − 2)

ex . x −1

5p

a) Să se verifice că f ′ ( x ) =

5p

b) Să se determine ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul A 2; e 2 .

5p

c) Să se demonstreze că f ( x ) ≥ e2 , pentru orice x > 1 .

, pentru orice x > 1 .

2 BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ D, MT2, programa M2 ( x − -1)Proba

(

)

2. Pentru fiecare n∈` * se consideră funcţiile f n : [1, 4 ] → \ , f n ( x ) = x n + 4 x . 4

5p

a) Să se verifice că

∫ f1 ( x ) dx = 1 4

x+2

14 5 . 3

5p

b) Să se calculeze

5p

c) Să se determine volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul axei Ox , a graficului funcţiei 1 . g : [1, 4 ] → \ , g ( x ) = f2 ( x )

1

f 22 ( x )

dx.


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

99 5p

Varianta 99

SUBIECTUL I (30p) – Varianta 099 1. Să se determine mulţimea A = { x ∈ ` | 2 x + 1 ≥ 3 x − 1} .

5p

2. Se consideră funcţia f : (0, +∞ ) → \ , f ( x ) = log 2 x . Să se calculeze f (1) + f (4) − f (2) .

5p 5p

3. Să se determine m ∈ \∗ astfel încât soluţiile reale ale ecuaţiei x 2 − 3 x + m = 0 să aibă semne opuse. 4. Să se determine probabilitatea ca, alegând un element n din mulţimea {2,3, 4,5} , acesta să verifice egalitatea 2n = n 2 . 5. Să se determine valorile reale ale lui m astfel încât punctele A(1,3), B (2,5) şi C (3, m) să fie coliniare.

5p 5p

6. Să se determine coordonatele punctului B ştiind că punctul C ( 3,5 ) este mijlocul segmentului AB ,

scM2 u

unde A ( 2, 4 ) .

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

99 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 099  2 2 1 0  x y 1. Se consideră matricele A =   , I2 =  , B =   cu x, y ∈ \ .  0 2  0 1 0 6 5p a) Să se determine numărul real x astfel încât A ⋅ B = B ⋅ A. 5p b) Să se verifice că A2 = 4( A − I ) , unde A2 = A ⋅ A . 2

5p

c) Să se determine numărul real a astfel încât A3 − aA2 + 4 A = O2 , unde A3 = A ⋅ A ⋅ A .

2. Pe mulţimea numerelor reale definim legile de compoziţie x D y = x + y + 3 şi x ∗ y = xy − 3 ( x + y ) + 12.

5p 5p 5p

a) Să se verifice că x ∗ y = ( x − 3)( y − 3) + 3, oricare ar fi x, y ∈ \ .

b) Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( x D ( x + 1)) + ( x ∗ ( x + 1)) = 11.  x D ( y − 1) = 0 c) Să se rezolve sistemul de ecuaţii  , cu x, y ∈ \ . ( x + 1) ∗ y = x ∗ ( y + 1)

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

99

SUBIECTUL III (30p) – Varianta 099 1. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → R , f ( x ) = x + 2 − 33 x .

5p

a) Să se verifice că f ′ ( x ) = 1 −

5p

c) Să se arate că

1

, pentru orice x > 0 . x2 BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT2, programa 5p b) Să se determine ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f înM2 punctul A (1;0 ) . 3

x+2 3 ≥ x , pentru orice x > 0 . 3

2. Se consideră funcţia f : [ 0,1] → \, f ( x ) =

x3 . x +1

1

∫ ( x + 1) ⋅ f ( x ) dx .

5p

a) Să se calculeze

5p

b) Să se calculeze aria suprafeţei plane cuprinse între graficul funcţiei f , axa Ox şi dreptele de ecuaţii x = 0 şi x = 1 .

0

5p

c) Folosind faptul că 1 ≤ ( x + 1) ≤ 4 pentru orice x ∈ [ 0,1] , să se arate că volumul corpului obţinut prin 2

π π rotaţia în jurul axei Ox , a graficului funcţiei f , este un număr din intervalul  ,  .  28 7 


calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Varianta 100

100 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 100 5p 1. Să se determine produsul primilor trei termeni ai unei progresii geometrice ştiind că primul termen este egal cu 1 şi raţia este egală cu −2 . 5p 2. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → \, f ( x) = 2 x + log3 x . Să se calculeze f (1) + f ( 3) .

5p 3. Să se determine coordonatele vârfului parabolei asociate funcţiei f : \ → \, f ( x ) = 4 x 2 − 12 x + 9 .

scM2 u

5p 4. Să se calculeze C 0 + C1 − 2 A1 . 5 5 5 5p 5. În reperul cartezian xOy , se consideră punctele A(3, 2) , B (2,3) şi M mijlocul segmentului AB . Să se determine lungimea segmentului OM . 5p 6. Să se calculeze raza cercului circumscris triunghiului ABC, ştiind că BC = 4 şi măsura unghiului A este de 30 D .

V P w rAR w o IA w f. N .n O T eu v E tri id B noiuAC .ro B 2 ăd00 9 e,

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

100 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 100

5p 5p 5p

4 8 1 0 1. În mulţimea M2 ( \ ) se consideră matricele A =   , I2 =   şi X ( a ) = I 2 + aA , unde a ∈ \ .  2 4 0 1 a) Să se demonstreze că A2 = 8 A , unde A2 = A ⋅ A . b) Să se calculeze det X ( a ) .

c) Să se demonstreze că X ( a ) ⋅ X ( b ) = X ( a + b + 8ab ) , oricare ar fi a, b∈ \ .

(

2. Se consideră polinomul f = 1 + X + X 3

5p 5p 5p

)

670

− X 2010 ∈] [ X ] cu forma algebrică

f = a2009 X 2009 + ... + a1 X + a0 . a) Să se calculeze f (1) + f (−1) . b) Să se arate că suma a0 + a1 + a2 + ... + a2009 este un număr par. c) Să se determine restul împărţirii polinomului f la X 2 − 1 .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

100 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 100

1. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → R , f ( x ) = x2 − 1

x2 + 1 . x

5p

a) Să se verifice că f ′ ( x ) =

5p 5p

b) Să se determine ecuaţia asimptotei oblice către +∞ la graficul funcţiei f. c) Să se arate că funcţia f este convexă pe ( 0, +∞ ) .

, pentru orice x > 0 .

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ x 2 - Proba D, MT2, programa M2

(

)

2. Pentru fiecare n ∈ ` se consideră funcţiile f n : [ 0,1] → R , f n ( x ) = x n+1 + 1 ⋅ e x .

∫ f0 ( x ) ⋅ e

−x

5p

a) Să se determine

5p

b) Să se determine aria suprafeţei plane cuprinse între graficul funcţiei f1 , axa Ox şi dreptele de ecuaţii x = 0 şi x = 1 .

5p

c) Să se arate că

1

∫ 0

dx .

1

1

0

0

f 2008 ( x ) dx + ∫ f 2010 ( x ) dx ≥ 2 ∫ f 2009 ( x ) dx .


Pr

of

.O vi

di

u

de s

cu

MODEL BAC 2010 SPECIALIZAREA ŞTIINŢE ALE NATURII, TEHNOLOGIC

 


u

vi di

.O

of

Pr Bă

u

sc

de


di

.O vi

of

Pr u

cu

de s


Ministerul EducaŃiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului Centrul NaŃional de Evaluare şi Examinare

EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2010 Probă scrisă la matematică - Proba E c) Varianta 9 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinŃe ale naturii. Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale.

• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

5p

2. DeterminaŃi coordonatele vârfului parabolei asociate funcŃiei f : ℝ → ℝ, f ( x ) = x 2 − 2 x + 3 .

5p

5p

3. RezolvaŃi în mulŃimea numerelor reale ecuaŃia 2 − 3x −1 = 1 . 4. DeterminaŃi câte numere de trei cifre distincte se pot forma cu elementele mulŃimii {1, 2,3,4} .          5. Se consideră vectorii v1 = 2i − j şi v2 = i + 3 j . DeterminaŃi coordonatele vectorului w = 2v1 − v2 .

5p

6. Un triunghi dreptunghic are catetele AB = 3, AC = 4 . DeterminaŃi lungimea înălŃimii duse din A.

2

de

5p

SUBIECTUL al II-lea

a) CalculaŃi A2 − A . b) DeterminaŃi inversa matricei A.  2010 2010  c) RezolvaŃi ecuaŃia A ⋅ X =   , X ∈ M2 ( ℝ ) .  2009 2010 

u

5p

(30 de puncte)

1 1  1. Se consideră matricea A =  . 1 0 

5p 5p

sc u

5p

1 1. CalculaŃi log 2 + 3 27 . 8

( ) ()

di

2. Se consideră polinoamele f , g ∈ ℤ 3 [ X ] , f = X 2 + X , g = X 2 + 2ˆ X + a , cu a ∈ ℤ 3 . a) CalculaŃi f 0ˆ + f 1ˆ .

5p

b) DeterminaŃi rădăcinile polinomului f . c) DemonstraŃi că f 0ˆ + f 1ˆ + f 2ˆ = g 0ˆ + g 1ˆ + g 2ˆ , pentru oricare a ∈ ℤ 3 .

5p

.O vi

5p

( ) () ( ) ( ) () ( )

SUBIECTUL al III-lea

(30 de puncte)

1. Se consideră funcŃia f : ℝ → ℝ, f ( x ) = x ⋅ e . 2

5p

b) DemonstraŃi că funcŃia f este descrescătoare pe intervalul [ −2,0] .

( )

c) DemonstraŃi că 0 ≤ f ( x ) + f x

Pr

5p

a) CalculaŃi f ' ( x ) .

of

5p

2

e2 + 1 ≤ , oricare ar fi x ∈ [ −1,0] . e

2. Se consideră funcŃia f : ℝ∗ → ℝ, f ( x ) = x + 3

5p

x

a) CalculaŃi

1 . x

1

∫  f ( x ) − x  dx . 1

5p

b) DeterminaŃi volumul corpului obŃinut prin rotaŃia în jurul axei Ox a graficului funcŃiei g : [1, 2] → ℝ, g ( x ) = f ( x ) . e

5p

c) CalculaŃi

∫ f ( x ) ⋅ ln x dx . 1

Probă scrisă la matematică

1

Varianta 9

Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinŃe ale naturii. Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale.


Ministerul EducaŃiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului Centrul NaŃional de Evaluare şi Examinare

EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2010 Probă scrisă la matematică - Proba E c) Varianta 10 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinŃe ale naturii. Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale.

• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Se consideră o progresie aritmetică ( an ) în care a şi a . CalculaŃi suma primilor şapte termeni = 5 = 11 3 5 n≥1 ai progresiei. 2. Se consideră funcŃiile f , g : ℝ → ℝ, f ( x ) = 2 x − 1, g ( x ) = x + 3. DeterminaŃi coordonatele punctului de intersecŃie a graficelor funcŃiilor f şi g.

5p

3. RezolvaŃi în mulŃimea numerelor reale ecuaŃia 3 x 2 − 1 = 2 . 4. CalculaŃi a ⋅ b ştiind că a + b = 150 şi numărul a reprezintă 25% din numărul b.

6. CalculaŃi cos x , ştiind că sin x =

1  π şi x ∈  0,  . 3  2

(30 de puncte) m mx y 1 0 + = −1       1. Pentru m ∈ ℝ se consideră matricea A =  1 1 1  şi sistemul de ecuaŃii  x + y + z = 3 , unde  x + y + mz = 0  1 1 m    x, y , z ∈ ℝ . a) CalculaŃi determinantul matricei A. b) RezolvaŃi sistemul pentru m = 0 . c) VerificaŃi dacă sistemul este incompatibil pentru m = 1 . 2. Pe mulŃimea numerelor reale se consideră legea de compoziŃie x ∗ y = ( x − 4 )( y − 4 ) + 4 .

.O vi

di

u

SUBIECTUL al II-lea

5p 5p 5p

)

de

5p

(

5. DeterminaŃi m ∈ ℝ pentru care punctele A ( 2,3) , B ( 4,5 ) şi C m + 1, m 2 sunt coliniare.

5p 5p

sc u

5p

5p 5p

a) DemonstraŃi că legea „ ∗ ” este asociativă. b) DemonstraŃi că x ∗ y ∈ ( 4, +∞ ) , oricare ar fi x, y ∈ ( 4, +∞ ) .

5p

c) CalculaŃi 1 ∗ 2 ∗ 3 ∗ ... ∗ 2010 .

SUBIECTUL al III-lea

a) CalculaŃi f ' ( x ) .

2 . x

Pr

5p

of

1. Se consideră funcŃia f : ℝ∗ → ℝ, f ( x ) = x 2 +

(30 de puncte)

5p 5p

5p

b) ScrieŃi ecuaŃia tangentei la graficul funcŃiei f în punctul A ( 2,5 ) . c) DeterminaŃi ecuaŃia asimptotei verticale la graficul funcŃiei f. ln x 2. Se consideră funcŃiile f , g : ( 0, +∞ ) → ℝ, f ( x ) = şi g ( x ) = 2 x ( ln x − 2 ) . x a) DemonstraŃi că funcŃia g este o primitivă a funcŃiei f. 4

5p

b) CalculaŃi

∫ f ( x ) dx . 1

e2

5p

c) CalculaŃi

∫2

g( x)

⋅ f ( x ) dx .

1

Probă scrisă la matematică

1

Varianta 10

Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinŃe ale naturii. Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale.


Ministerul EducaŃiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului Centrul NaŃional de Evaluare şi Examinare

EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2011 Proba E. c) Probă scrisă la MATEMATICĂ

Model

Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinŃele naturii. Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale. • Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

5p 5p 5p

g : ℝ → ℝ, g ( x ) = x 2 − 2 x + 3 .

3. RezolvaŃi în mulŃimea numerelor reale ecuaŃia 2 − 2 − x = x . P 4. CalculaŃi 2 5 2 . C5 + A6

de

5p

(30 de puncte) x +1 < 1. 1. DeterminaŃi numerele întregi x care verifică relaŃia −1 ≤ 3 2. DeterminaŃi coordonatele punctului de intersecŃie a graficelor funcŃiilor f : ℝ → ℝ , f ( x ) = 2 x − 1 şi

sc u

SUBIECTUL I

5. În sistemul de coordonate xOy se consideră punctele A ( 2,3) şi B ( −1,0 ) . ScrieŃi ecuaŃia dreptei AB.

5p

6. CalculaŃi perimetrul triunghiului MNP ştiind că MN = 2, MP = 3 şi m ( ∢NMP ) = 120.

5p

di

5p

b) CalculaŃi A2 − 2 A + I 2 .

c) DeterminaŃi matricele X ∈ M2 ( ℝ ) cu proprietatea X 2 = A .

.O vi

5p 5p

1 2 1. Se consideră matricea A =  . 0 1 a) CalculaŃi determinantul matricei A.

(30 de puncte)

u

SUBIECTUL al II-lea

2. Pe mulŃimea ℝ se defineşte legea de compoziŃie x ∗ y = xy − 3 x − 3 y + 12 . 5p

a) DemonstraŃi că x ∗ y = ( x − 3)( y − 3) + 3, oricare ar fi x, y ∈ ℝ.

5p

b) RezolvaŃi în mulŃimea numerelor reale ecuaŃia x ∗ x = 19 .

5p

c) Ştiind că legea "∗ " este asociativă, calculaŃi 3 1 ∗ 3 2 ∗ ... ∗ 3 2011.

of

SUBIECTUL al III-lea

(30 de puncte)

x

1. Se consideră funcŃia f : ℝ → ℝ, f ( x) = e − x . a) DemonstraŃi că f ′ ( x ) − f ( x ) = x − 1, oricare ar fi x ∈ ℝ .

Pr

5p 5p

b) ScrieŃi ecuaŃia tangentei la graficul funcŃiei f în punctul de abscisă x = 0 , situat pe graficul funcŃiei f.

5p

c) DeterminaŃi ecuaŃia asimptotei oblice la graficul funcŃiei f spre −∞ . 2. Se consideră funcŃia f : ( 0, +∞) → ℝ, f ( x ) =

1 1 + . x x +1

e

5p 5p 5p

1   a) CalculaŃi ∫  f ( x ) −  dx . x + 1   1 b) CalculaŃi aria suprafeŃei determinate de graficul funcŃiei f, axa Ox şi dreptele de ecuaŃie x = 1 şi x = 2 .

c) CalculaŃi volumul corpului obŃinut prin rotaŃia în jurul axei Ox a graficului funcŃiei g : [1, 2] → ℝ, g ( x ) = f ( x ).

Probă scrisă la Matematică 6


Ministerul EducaŃiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului Centrul NaŃional de Evaluare şi Examinare

Examenul de bacalaureat 2011 Proba E. c) Proba scrisă la MATEMATICĂ Varianta 2 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinŃele naturii. Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

5p 5p

2. DeterminaŃi soluŃiile întregi ale inecuaŃiei 2 x 2 − x − 3 ≤ 0 . 3. RezolvaŃi în mulŃimea numerelor reale ecuaŃia log3 ( x + 2 ) − log3 ( x − 4 ) = 1 .

4. După o scumpire cu 5%, preŃul unui produs creşte cu 12 lei. CalculaŃi preŃul produsului înainte de scumpire. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A (1, 4 ) şi B ( 5,0 ) . DeterminaŃi ecuaŃia mediatoarei segmentului [ AB] .

de s

5p 5p 5p

(30 de puncte)

cu

SUBIECTUL I 5p 1. Într-o progresie aritmetică ( an )n≥1 se cunosc a2 = 6 şi a3 = 5 . CalculaŃi a6 .

6. CalculaŃi raza cercului circumscris triunghiului ABC, ştiind că BC = 9 şi m ( ∢BAC ) = 120 .

SUBIECTUL al II-lea

(30 de puncte)

1 1 1 1. Se consideră determinantul D ( x, y ) = 1 x y , unde x, y ∈ ℤ . 1 x +1 y +1

a) CalculaŃi D ( −1,1) .

5p

b) DeterminaŃi x ∈ ℤ pentru care D ( x, 2010 ) = 1 .

5p

c) DemonstraŃi că D ( x, y ) ⋅ D ( x, − y ) = D x 2 , y 2 , oricare ar fi x, y ∈ ℤ .

u

5p

)

di

(

2. Pe mulŃimea numerelor reale se defineşte legea de compoziŃie x ∗ y = 2 xy − 6 x − 6 y + 21 . a) ArătaŃi că x ∗ y = 2 ( x − 3)( y − 3) + 3 , oricare ar fi x, y ∈ ℝ .

.O vi

5p 5p 5p

b) ArătaŃi că legea „ ∗ ” este asociativă. c) CalculaŃi 1 ∗ 2 ∗ ... ∗ 2011 .

SUBIECTUL al III-lea

(30 de puncte)

1. Se consideră funcŃia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x3 + x 2 + x + 3x . a) CalculaŃi f ′ ( 0 ) .

5p

b) ArătaŃi că funcŃia f este crescătoare pe ℝ .

5p

c) ArătaŃi că a 3 + a 2 + a − b3 − b 2 − b ≤ 3b − 3a , oricare ar fi numerele reale a , b cu a ≤ b .

Pr

of

5p

2. Pentru fiecare număr natural nenul n se consideră funcŃia f n : [0, 1] → ℝ , f n ( x ) = x n e x . 1

5p

a) CalculaŃi

∫ 0 1

5p

b) CalculaŃi

f1 ( x ) ex

dx .

∫ f1 ( x ) dx . 0 1

5p

c) ArătaŃi că

∫ fn ( x 0

2

) dx ≥ 2n1+ 1 , pentru orice n ∈ ℕ , n ≥ 1 .

Probă scrisă la Matematică Varianta 2 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinŃele naturii. Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale. 1


di

.O vi

of

Pr u

cu

de s


di

.O vi

of

Pr u

cu

de s


Ministerul EducaŃiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului Centrul NaŃional de Evaluare şi Examinare

Examenul de bacalaureat 2011 Proba E. c) Proba scrisă la MATEMATICĂ Varianta 10 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinŃele naturii. Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I 5p 1. CalculaŃi log 7 3 + 2 + log 7 3 − 2 . 5p

)

(

)

cu

(

(30 de puncte)

2. Se consideră funcŃia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2 + ax + b . DeterminaŃi numerele reale a şi b pentru care

5p

6. DeterminaŃi lungimea laturii unui triunghi echilateral, care are aria egală cu 4 3 .

SUBIECTUL al II-lea

(

n

n

1. Se consideră punctele An 2 , 3 5p 5p

5p

3. RezolvaŃi, în mulŃimea numerelor reale, ecuaŃia 3 x +3x+1 = 36 . 4. CalculaŃi probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr din mulŃimea {10,11,12,… ,99} , acesta să fie divizibil cu 4. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele M ( 2, −1) şi N ( −1,3) . DeterminaŃi coordonatele   vectorului OM + ON .

a) ScrieŃi ecuaŃia dreptei A0 A1 .

) , unde n ∈ ℕ .

(30 de puncte)

u

5p 5p

de s

graficul funcŃiei f conŃine punctele A ( 2,3) şi B ( −1,0 ) .

5p

c) ArătaŃi că mulŃimea H = {2k + 1 k ∈ ℤ} este parte stabilă a lui ℝ în raport cu legea de compoziŃie „”.

.O vi

5p

di

5p 5p

b) DemonstraŃi că punctele A1 , A2 , A3 nu sunt coliniare. c) DeterminaŃi numărul natural n pentru care aria triunghiului An An +1 An + 2 este egală cu 216 . 1 2. Pe mulŃimea ℝ se defineşte legea de compoziŃie asociativǎ x  y = ( x y − x − y + 3) . 2 a) VerificaŃi dacă elementul neutru al legii „  ” este e = 3 . b) DeterminaŃi simetricul elementului 2 în raport cu legea „  ”.

SUBIECTUL al III-lea

(30 de puncte)

of

1. Se consideră funcŃia f : ( 0, + ∞ ) → ℝ , f ( x ) = ln x + e x . a) ArătaŃi că xf ′( x ) = 1 + xe x , pentru orice x ∈ ( 0, +∞ ) .

5p

b) DeterminaŃi ecuaŃia tangentei la graficul funcŃiei f în punctul A(1, e) .

Pr

5p

f (x) . x

5p

c) CalculaŃi lim

5p

2. Se consideră funcŃia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = 3 x 2 + 2 x + 1 . a) CalculaŃi aria suprafeŃei cuprinse între graficul funcŃiei f, axa Ox şi dreptele de ecuaŃii x = 0 şi x = 1 . 1  b) ArătaŃi că orice primitivă a funcŃiei f este concavă pe intervalul  −∞, −  . 3 

5p

x→ + ∞

a

5p

c) DemonstraŃi că, oricare ar fi a ≥ 2 , are loc inegalitatea

∫ f ( x)dx ≥ 3a

2

+2.

0

Probă scrisă la Matematică Varianta 10 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinŃele naturii. Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale. 1


Ministerul EducaŃiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului Centrul NaŃional de Evaluare şi Examinare

Examenul de bacalaureat 2012 Proba E. c) Proba scrisă la MATEMATICĂ Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinŃele naturii. Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Într-o progresie aritmetică ( an )n≥1 se cunosc a1 = 5 şi r = 2 . CalculaŃi suma primilor 5 termeni ai progresiei. 2. DeterminaŃi numărul real m pentru care ecuaŃia x 2 − ( m + 1) x + m = 0 are soluŃii reale egale.

5p

3. DeterminaŃi coordonatele punctelor de intersecŃie a graficului funcŃiei f : ℝ → ℝ, f ( x ) = 2 x +1 − 1 cu axele Ox şi respectiv Oy.

5p

4. CalculaŃi 2C42 − 3 A41 .

sc u

5p

      5. Se consideră vectorii v1 = 2i + a j şi v2 = ( a + 3) i + 2 j , unde a ∈ ℝ . DeterminaŃi numărul a > 0   pentru care vectorii v1 şi v2 sunt coliniari. 5p 6. Aria triunghiului MNP este egală cu 16, iar MN = NP = 8 . CalculaŃi sin N . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

de

5p

1. În reperul cartezian xOy se consideră punctele An ( n − 1, n + 2 ) , n ∈ ℕ∗ . 5p

a) DeterminaŃi ecuaŃia dreptei A1 A2 .

5p

b) DemonstraŃi că punctele Am , An , Ap sunt coliniare, oricare ar fi m, n, p ∈ ℕ∗ .

5p

c) Pentru fiecare p ∈ ℕ∗ notăm M p = n ∈ ℕ∗ An Ap ≤ 2 . DeterminaŃi elementele mulŃimii M 2011 .

}

u

{

a) Pentru m = 4 determinaŃi câtul şi restul împărŃirii polinomului f la X − 3 . b) DeterminaŃi m ∈ ℝ pentru care polinomul f este divizibil cu X − 1 .

.O vi

5p 5p

di

2. Se consideră polinomul f = X 3 + ( m − 3) X 2 − 17 X + ( 2m + 7 ) , cu m ∈ ℝ .

5p c) RezolvaŃi în mulŃimea numerelor reale ecuaŃia 27 x + 9 x − 17 ⋅ 3x + 15 = 0 . SUBIECTUL al III-lea

(30 de puncte)

a) DemonstraŃi că funcŃia f este continuă în punctul x0 = 0 .

Pr

5p

of

 −4 , x≤0  1. Se consideră funcŃia f : ℝ → ℝ , f ( x ) =  x 2 + 1 .  x−4, x >0  f ( x)

5p

b) CalculaŃi lim

5p

c) DeterminaŃi ecuaŃia tangentei la graficul funcŃiei f în punctul A ( −1, − 2 ) .

x →4 16 − x 2

.

2. Se consideră funcŃiile f m : ℝ → ℝ , f m ( x ) = 3m 2 x 2 + 6mx + 9 , unde m ∈ ℝ . 5p 5p

a) DeterminaŃi mulŃimea primitivelor funcŃiei f 0 . b) CalculaŃi aria suprafeŃei cuprinse între graficul funcŃiei f1 , axa Ox şi dreptele de ecuaŃii x = 0 şi x =1.

5p

c) CalculaŃi

2

∫ 1

f2 ( x ) − 9 x

⋅ e x dx .

Probă scrisă la Matematică Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinŃele naturii. Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale. 1


Ministerul Educaţiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Examenul de bacalaureat 2012 Proba E.c) Proba scrisă la MATEMATICĂ Varianta 5 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţele naturii Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.

SUBIECTUL I

5p

= 0,75 .

2 <0. x−3 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia x + 2 = x + 2 . 4. La o bancă a fost depusă într-un depozit suma de 900 lei cu o dobândă de p% pe an. Calculaţi p, ştiind că, după un an, în depozit suma este de 1008 lei. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele O ( 0,0 ) şi A ( 2,3) . Determinaţi coordonatele punctului B ,

2. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale inecuaţia

u

5p 5p

+2

sc

5p

1. Arătaţi că 2

−2

ştiind că A este mijlocul segmentului ( OB ) .

sin x + 4cos x =5. cos x

5p 6. Determinaţi măsura x a unui unghi ascuţit, ştiind că

de

5p

(30 de puncte) −1

SUBIECTUL al II-lea

(30 de puncte)

1 0 0    1. Se consideră matricele H ( x ) =  0 1 ln x  , cu x ∈ ( 0, +∞ ) . 0 0 1   

5p

u

5p

a) Arătaţi că det ( H ( x ) ) = 1 , pentru orice x ∈ ( 0, +∞ ) .

b) Determinaţi numărul real a, a > 0 , astfel încât H ( x ) ⋅ H ( a ) = H ( x ) , pentru orice x > 0 .

vi di

5p

c) Calculaţi determinantul matricei H (1) + H ( 2 ) + … + H ( 2012 ) .

2. În ℝ [ X ] se consideră polinomul f = X 3 + 3 X 2 − 3 X − 1 , cu rădăcinile x1 , x2 , x3 . a) Arătaţi că polinomul f se divide cu X − 1 .

5p

c) Verificaţi dacă ( 2 − x1 )( 2 − x2 ) ( 2 − x3 ) = 13 .

.O

5p 5p

b) Calculaţi x12 + x22 + x32 .

a) Arătaţi că lim

x →4

Pr

5p

(30 de puncte)

of

SUBIECTUL al III-lea 1. Se consideră funcţia f : ( 0, + ∞ ) → ℝ , f ( x) = x − ln x . f ( x) − f (4) =0. x−4

5p

b) Demonstraţi că funcţia f este crescătoare pe intervalul ( 4, + ∞ ) .

5p

c) Determinaţi ecuaţia asimptotei verticale la graficul funcţiei f . 2. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = xe x .

5p

a) Arătaţi că funcţia F : ℝ → ℝ , F ( x ) = xe x − e x + 2012 este o primitivă a funcţiei f .

5p

b) Calculaţi

e

∫ f ( ln x ) dx . 1

5p

c) Determinaţi volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul axei Ox a graficului funcţiei g : [1, 2] → ℝ , g ( x) =

f ( x) x

.

Probă scrisă la Matematică Varianta 5 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţele naturii Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale


Ministerul Educaţiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Examenul de bacalaureat 2012 Proba E.c) Proba scrisă la MATEMATICĂ Varianta 7 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţele naturii Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.

SUBIECTUL I 5p 1. Într-o progresie aritmetică ( an ) se cunosc a4 = 7 şi a9 = 22 . Calculaţi a14 . n ≥1 5p

2. Determinaţi coordonatele punctului de intersecţie a graficelor funcţiilor f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x − 3 şi

sc

5p

1 . 4 4. Determinaţi câte numere naturale de 3 cifre distincte se pot forma cu elementele mulţimii M = {0,1, 2,3} .

3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 23− x =

5. Într-un reper cartezian xOy se consideră punctele A (1, 2 ) şi B ( 3,0 ) . Determinaţi coordonatele simetricului punctului A faţă de punctul B.

de

5p

u

g : ℝ → ℝ , g ( x) = 5 − x .

5p

(30 de puncte)

6. Calculaţi lungimea laturii BC a triunghiului ABC , ştiind că AB = 6 , AC = 5 şi m ( ∢BAC ) = 60 . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) x + y − 2z = 0  1. Se consideră sistemul de ecuaţii  x − y + z = 1 , unde a ∈ ℝ .  x + y + az = 2  5p a) Calculaţi determinantul matricei asociate sistemului. 5p b) Determinaţi valorile reale ale lui a pentru care matricea asociată sistemului este inversabilă. 5p c) Pentru a = 0 , rezolvaţi sistemul de ecuaţii. 2. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie asociativă x ∗ y = x + y − 1 . 5p a) Arătaţi că x ∗ 1 = x , pentru orice x ∈ ℝ . 5p b) Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia x ∗ x ∗ x = 4 .

vi di

u

5p

b) Arătaţi că funcţia f este descrescătoare pe ( 0, +∞ ) .

Pr

5p 5p

(30 de puncte)

of

.O

5p c) Determinaţi numărul natural n, n ≥ 2 , pentru care C1n ∗ Cn2 = 14 . SUBIECTUL al III-lea x +1 1. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → ℝ, f ( x) = x . e f '( x ) x pentru orice x ∈ ( 0, +∞ ) . =− 5p a) Arătaţi că f ( x) x +1

c) Determinaţi ecuaţia asimptotei oblice la graficul funcţiei g : ( 0, +∞ ) → ℝ , g ( x ) =

e2 x ⋅ f 2 ( x ) x

.

2. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2012 + x 2011 + x 2 + x .

5p

a) Determinaţi primitiva F : ℝ → ℝ a funcţiei f, care verifică relaţia F ( 0 ) = 1 . 1

5p

b) Calculaţi

f ( x)

∫ x + 1 dx . 0

5p

c) Calculaţi volumul corpului obţinut prin rotaţia, în jurul axei Ox, a graficului funcţiei g : [1, 2] → ℝ, g ( x ) = f ( x ) − x 2012 − x 2011 .

Probă scrisă la Matematică Varianta 7 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţele naturii Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale


Ministerul Educaţiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Examenul de bacalaureat 2012 Proba E.c) Proba scrisă la MATEMATICĂ Varianta 9 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţele naturii Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.

f ( x ) = x2 − 2 x + m − 3 .

sc

5p 5p

3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia log 2 ( x + 1) − log 2 ( x + 3) = −1 .

4. Determinaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulţimea {1, 2,3,...,30} , acesta să fie divizibil cu 7.

5. În reperul cartezian xOy se consideră punctul A ( 4, − 1) . Determinaţi coordonatele punctului B, ştiind că O

de

5p

u

SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Se consideră numărul a = log 3 2 . Arătaţi că log 3 6 = 1 + a . 5p 2. Determinaţi numărul real m , ştiind că punctul A(0,1) aparţine graficului funcţiei f : ℝ → ℝ ,

este mijlocul segmentului ( AB ) .

5p 6. Calculaţi cosinusul unghiului A al triunghiului ABC, ştiind că AB = 5 , AC = 6 şi BC = 7 . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) x + y + z = 1  1. Se consideră sistemul 2 x + ay + 3 z = 1 , unde a ∈ ℝ şi se notează cu A matricea sistemului.  2 4 x + a y + 9 z = 1

u

a) Arătaţi că det A = −a 2 + 5a − 6 . b) Determinaţi valorile reale ale numărului a pentru care matricea A este inversabilă. c) Pentru a = 1 , rezolvaţi sistemul.

vi di

5p 5p 5p

2. În ℤ 5 [ X ] se consideră polinomul f = mX 5 + nX , cu m, n ∈ ℤ 5 .

()

a) Determinaţi n ∈ ℤ 5 pentru care f 1ɵ = m .

5p

b) Pentru m = 1ɵ şi n = 4ɵ , determinaţi rădăcinile din ℤ 5 ale polinomului f .

5p

c) Arătaţi că, dacă f 1ɵ = f 2ɵ , atunci f 3ɵ = f 4ɵ .

.O

5p

() ( )

() ()

SUBIECTUL al III-lea

a) Calculaţi f ' ( x ) , x ∈ ℝ \ {−1} .

Pr

5p

of

1. Se consideră funcţia f : ℝ \ {−1} → ℝ , f ( x) =

5p

b) Calculaţi lim

(30 de puncte) x − x −1 . x +1 2

f ( x ) ⋅ ln x

5p

. x2 − x − 1 c) Determinaţi ecuaţia asimptotei oblice spre +∞ la graficul funcţiei f. 2. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → ℝ , f ( x) = e x ⋅ x + 1 .

5p

a) Determinaţi primitivele funcţiei g : ( 0, +∞ ) → ℝ , g ( x ) =

x →+∞

2

5p

b) Calculaţi

f ( x)

x +1

.

x + 1 ⋅ f ( x ) dx .

1

5p

c) Calculaţi aria suprafeţei determinate de graficul funcţiei h : ( 0, +∞ ) → ℝ , h ( x ) = e− x ⋅ f ( x ) , axa Ox şi dreptele de ecuaţii x = 2 şi x = 3 .

Probă scrisă la Matematică Varianta 9 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţele naturii Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale


Ministerul EducaŃiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului Centrul NaŃional de Evaluare şi Examinare

Examenul de bacalaureat naŃional 2013 Proba E. c) Matematică M_şt-nat Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinŃe ale naturii • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

1. CalculaŃi produsul primilor trei termeni ai progresiei aritmetice (an )n≥1 , ştiind că a1 = 2 şi a2 = 1 .

5p 5p

2. DeterminaŃi valorile reale ale lui m pentru care x 2 − 2 x − m > 0 , oricare ar fi x ∈ ℝ . 3. RezolvaŃi în mulŃimea numerelor reale ecuaŃia log 2 x + log 2 ( x − 1) = log 2 12 . 4. CalculaŃi probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr natural de trei cifre, produsul cifrelor acestuia să fie egal cu 3.       π 5. CalculaŃi a ⋅ b , ştiind că | a |= 2 , | b |= 3 şi unghiul vectorilor a şi b are măsura . 3 6. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A (1,3) , B ( 0,1) şi C ( 3,1) . DeterminaŃi coordonatele ortocentrului triunghiului ABC .

5p 5p

de

5p

sc u

5p

SUBIECTUL al II-lea

 0 0 1   1. Pentru n număr natural se consideră matricea A =  2n + 1 n 1 .  2  2  2n + 1 n 1  a) CalculaŃi suma elementelor matricei A . b) DeterminaŃi numerele naturale n pentru care matricea A are determinantul diferit de zero. c) În reperul cartezian xOy se consideră punctele O ( 0,0 ) şi An ( 2n + 1, n ) , n ∈ ℕ, n ≥ 2 . DeterminaŃi

u

5p 5p 5p

(30 de puncte)

di

valorile numărului natural n , n ≥ 2 pentru care aria triunghiului OAn An2 este egală cu n 2 − 3 .

5p

c) Pentru a = −1 rezolvaŃi în mulŃimea numerelor reale ecuaŃia 4 x  2 x = 1 .

.O vi

5p 5p

2. Pe mulŃimea numerelor reale se consideră legea de compoziŃie x  y = x + ay + 1 , unde a ∈ ℝ . a) Pentru a = 1 calculaŃi 2011  2012 . b) DeterminaŃi numărul real a pentru care legea de compoziŃie „  ” este asociativă.

SUBIECTUL al III-lea 1. Se consideră funcŃia f : ( 0, + ∞ ) → ℝ , f ( x) = x + ln x . f ( x) − f (2) 3 = . x−2 2

5p

a) ArătaŃi că lim

5p

b) DeterminaŃi ecuaŃia tangentei la graficul funcŃiei f în punctul de abscisă x = 1 .

5p

c) DemonstraŃi că funcŃia f este concavă pe ( 0, + ∞ ) .

Pr

of

x →2

(30 de puncte)

2. Pentru fiecare număr natural nenul n se consideră funcŃia f n : ℝ → ℝ , f n ( x ) = ( x + n ) e x . 1

∫ f1 ( x ) dx .

5p

a) CalculaŃi

5p

b) ArătaŃi că funcŃia f 2011 este o primitivă a funcŃiei f 2012 .

0

1

5p c) DemonstraŃi că

∫ fn ( x ) dx ≥ 0

9n + 5 , pentru orice număr natural nenul n , folosind eventual 6

x

inegalitatea e ≥ x + 1 , adevărată pentru orice x ∈ ℝ .

Probă scrisă la matematică M_şt-nat Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinŃe ale naturii

Model


INSPECTORATUL ŞCOLAR  JUDEȚEAN CARAŞ‐SEVERIN 

VARIANTA 1 SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2013 Matematică M_ŞTIINŢE ALE NATURII SUBIECTUL I

(30 de puncte)

1. Calculaţi log 4 0, 25.

2x + 3y = 5 .

cu

2. Gǎsiţi punctele de intersecţie dintre graficul funcţiei f : \ → \, f ( x ) = 4 x − 1 şi dreapta de ecuaţie

x+2 ≤ −1 . 4− x 4. Determinaţi probabilitatea ca o funcţie din cele definite pe {1; 2} cu valori în {1; 2;3} sǎ fie strict

de s

3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor întregi urmǎtoarea inecuaţie

crescǎtoare. 5. În reperul cartezian xOy se considerǎ punctele A(1; 4); B ( m;1) . Determinaţi parametrul m astfel

SUBIECTUL al II-lea

(30 de puncte)

⎛3 4 2 ⎞ ⎜ ⎟ şi matricea A = ⎜ 2 1 3 ⎟ . ⎜ 5 7 2a ⎟ ⎝ ⎠

di

u

⎧3 x + 4 y + 2 z = 3 ⎪ 1. Fie sistemul : ⎨2 x + y + 3 z = −3 ⎪5 x + 7 y + 2az = 3 ⎩

încât panta dreptei AB sǎ fie 4. 6. În sistemul de coordonate xOy se considerǎ punctele A(4;0), B (0; 2), C (1;1) , calculaţi sin B .

.O vi

a) Calculaţi determinantul matricei A . b) Aflati valorile parametrului real a , pentru care matricea nu este inversabilă. c) Ştiind că a = 3 aflaţi x, y, z . 4x + 4 y 2. Se considerǎ M = ( −2, 2 ) şi legea x ∗ y = , ∀x, y ∈ \, xy ≠ −4 care este asociativǎ. 4 + xy a) Calculaţi ( −2) *1 . b) Determinaţi elementul neutru. c) Arǎtaţi cǎ pentru orice x, y ∈ M avem cǎ x * y ∈ M .

of

SUBIECTUL al III-lea

1. Se considerǎ funcţia f : ( −1, ∞ ) → \ definitǎ prin f ( x) = ln(1 + x ) − 2 x .

Pr

a) Calculaţi f '(0) . b) Sǎ se studieze monotonia funcţiei f . c) Sǎ se arate cǎ ln 2 (1 + x ) − 2 x ≤ 1, ( ∀ ) x > −1 .

2. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) = x 2 − 3x + 2 . 0

a) Să se calculeze

∫ ( x − 1)dx .

b) Să se calculeze

−1 0

−1

f ( x) dx . x−2

c) Să se calculeze aria dintre graficul lui f, axa Ox şi dreptele x = 1, x = 2 .

(30 de puncte)


INSPECTORATUL ŞCOLAR  JUDEȚEAN CARAŞ‐SEVERIN 

VARIANTA 2

SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2013 Matematică M_ŞTIINŢE ALE NATURII SUBIECTUL I

(30 de puncte)

1. Se consideră progresia aritmetică de raţie 2 cu a3 + a4 = 8 . Să se determine a1 . 2 2. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) = x − 4 x + 9 . Să se arate că vâtrful parabolei asociate

funcţiei f se află pe dreapta x + y = 7 . 3 97 . 4. Să se calculeze C100 − C100

JG

G

JJG

G

G

cu

3. Să se rezolve în \ ecuaţia lg x + lg ( 9 − 2 x ) = 1 .

G

5. Se consideră vectorii v1 = ai + ( a + 1) j şi v2 = 3i + 5 j cu a ∈ \ . Să se determine valorile lui a

JJG

de s

JG

pentru care vectorii v1 şi v2 sunt coliniari.

⎛ ⎝

6. Fie a ∈ ⎜ 0,

π⎞

a 4 ⎟ , astfel încât sin a = . Să se calculeze tg 2 5 2⎠

SUBIECTUL al II-lea

(30 de puncte)

u

⎛ 1 −1 −1⎞ ⎜ ⎟ 1. Se consideră matricea A = ⎜ −1 1 −1⎟ ∈ M 3 ( \ ) . ⎜ −1 −1 1 ⎟ ⎝ ⎠ a. Să se calculeze det ( A) .

di

b. Să se demonstreze că A2 − A − 2 I 3 = O3 .

.O vi

c. Să se determine A−1 2. Se consideră a ∈ \ şi ecuaţia x 3 − x + a = 0 cu rădăcinile complexe x1 , x2 , x3 . a) Să se rezolve ecuaţia dacă a = −6 b) Să se calculeze x1 x2 x3

c) Să se determine valorile lui a pentru care x1 , x2 , x3 sunt numere întregi. SUBIECTUL al III-lea

of

1. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) =

Pr

a. Să se calculeze lim f ( x ) .

(30 de puncte)

x . x +3 4

x →∞

b. Să se calculeze f ' ( x ) , x ∈ \ .

c. Să se determine mulţimea valorilor lui f .

nx n + ( n − 1) 2. Se consideră şirul ( I n )n ≥1 , I n = ∫ dx, n ∈ `* . n +1 x n nx + ( n − 1) n n − 1 a) Arătaţi că = + n +1 x n +1 x x b)Să se calculeze I1 . c) Să se calculeze I 2 .


INSPECTORATUL ŞCOLAR  JUDEȚEAN CARAŞ‐SEVERIN 

VARIANTA 3

SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2013 Matematică M_ŞTIINŢE ALE NATURII SUBIECTUL I

(30 de puncte)

1. Să se calculeze patrea întreagă a numărului log 2 500 . 2. Să se afle valorile reale ale lui m ştiind că x 2 + 3 x + m ≥ 0 , oricare ar fi x ∈ \ 3. Să se rezolve în \ ecuaţia

x +1 = 5 − x

termeni ai progresiei.

G

G

cu

4. Dacă ( an ) n∈N este o progresie aritmetică pentru care a1 = 3 şi r = 2 , să se calculeze suma pimilor 5

G

5. Să se determine valorile reale ale lui a pentru care vectorii u = ( a − 1) i − ( 2a + 2 ) j şi

de s

G G G v = ( a + 1) i − j sunt perpendiculari.

3 ⎛π ⎞ , π ⎟ şi că sin a = , să se calculeze tga . 5 ⎝2 ⎠

6. Ştiind că a ∈ ⎜

(30 de puncte)

SUBIECTUL al II-lea

⎛ x + 1 x 2 − 1⎞ ⎟ ∈ M 2 (^) . x −1 ⎠ ⎝ 1

1. Pentru x ∈ ^ se consideră matricea A ( x ) = ⎜

b. Să se calculeze det A (1)

)

2

= 2 xA ( x ) .

di

(

c. Să se verifice că A ( x )

u

a. Să se calculeze A (1) ⋅ A ( 2 )

2. Se consideră polinoamele f , g ∈ _ [ X ] , f = X 3 + X 2 + X + 1 , cu rădăcinile x1 , x2 , x3 , x4 ∈ ^ şi

.O vi

g = X2 −4.

a. Să se calculeze f ( −1)

b. Să se determine restul împărţirii polinomului f la polinomul g . c. Să se calculeze ( x1 − 1)( x2 − 1)( x3 − 1) .

of

SUBIECTUL al III-lea

1. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) =

(30 de puncte)

x2 − x .

Pr

a. Să se calculeze lim f ( x ) x →∞

b. Să se arate că graficul funcţiei f admite o asimptotă spre −∞ . c. Să se calculeze f ' ( x )

2. Se consideră şirul ( I n )n∈`∗ , dat de I n =

1

0

xn dx, ∀n ∈ `∗ . x2 + 1

a) Să se calculeze I 2 .

1 , ∀n ∈ `∗ . n +1 c) Să se studieze monotonia lui I n .

b) Să se verifice că I n + 2 + I n =


di

.O vi

of

Pr u

cu

de s


MODEL PENTRU SIMULAREA PROBEI DE MATEMATICĂ DIN CADRUL EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2013 LA NIVELUL MUNICIPIULUI BUCUREŞTI 01 FEBRUARIE 2013 SUBIECT M2-ştiinţe ale naturii pentru filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii • •

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvări cu soluţii complete.

SUBIECTUL I (30p)

1 5 + 32 . 27

1. Calculaţi log 3

5p

2. Se consideră funcţia f :{−1,0,1} → R, f ( x) = − x + 1 . Determinaţi mulţimea G f = {( x, f ( x)) | x ∈ {−1,0,1}} .

5p

3. Se consideră progresia aritmetică ( an )n ≥1 în care a3 = 11 şi a7 = 27 . Determinaţi a9 .

5p

4. Arătaţi că numărul

5p

5. Pe axa OX se consideră punctele A(2;0) şi B( m2 ;0) , unde m este un număr real. Determinaţi valorile lui m pentru care punctul C (9;0) este mijlocul segmentului AB .

5p

6. Calculaţi sin 75D − cos15D .

de s

cu

5p

2012! este natural. (1006!) 2

SUBIECTUL II (30p)

(

)

di

u

⎛a 2 2⎞ ⎜ ⎟ 1. Se consideră matricea M ( a ) = ⎜ 2 a 2 ⎟ , unde a ∈ R . Se notează D ( a ) determinantul matricei ⎜2 2 a⎟ ⎝ ⎠ M (a) . 5p

a) Calculaţi M (1) ;

5p

b) Calculaţi valoarea determinantului D ( a ) pentru a = −2 ;

5p

c) Rezolvaţi în R inecuaţia D ( a ) ≤ 0 .

5p 5p

2. Pe R se consideră legea de compoziţie x ∗ y = − xy + 2 x + 2 y − 2 . a) Rezolvaţi în R ecuaţia x ∗ 4 = 0 . b) Demonstraţi că x ∗ y = − ( x − 2 )( y − 2 ) + 2 , oricare x, y ∈ \ .

5p

c) Ştiind că legea de compoziţie „∗” este asociativă, rezolvaţi în R , ecuaţia x ∗ x ∗ x = x .

of

.O vi

2

Pr

SUBIECTUL III (30p) 2012 + 2012 x + 2012 . 1. Se consideră funcţia f : R → R, f ( x ) = x

5p 5p 5p

a) Calculaţi f ′( x) . b) Demonstraţi că funcţia f este convexă pe R . c) Scrieţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă x = 0 . x x 2. Se consideră funcţiile f , F : R → R, f ( x ) = ( x − 2 ) e şi F ( x ) = ( x − a ) e + 2e , a ∈ R .

5p

a) Determinaţi valoarea constantei a pentru care funcţia F este o primitivă a funcţiei f ; 1

5p

b) Calculaţi

∫ f ( x)dx ; 0

5p

c) Pentru a = 3 , calculaţi lim x →1

F ( x) . x −1


Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Examenul de bacalaureat naţional 2013 Proba E. c) Matematică M_şt-nat Varianta 2 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

5p 1. Arătaţi că numărul x = 2 (1 + i ) − 2i este real.

5p 2. Calculaţi f (1) ⋅ f ( 2 ) ⋅ ... ⋅ f ( 5 ) pentru funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x − 2 .

sc

u

5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia x 2 + 1 = x + 1 . 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, produsul cifrelor acestuia să fie egal cu 5. 5p 5. Se consideră punctele A, B şi C astfel încât AB = 2i + 2 j şi BC = 2i + j . Calculați lungimea vectorului AC .

de

x π  5p 6. Se consideră E ( x ) = sin x + cos , unde x este număr real. Calculați E   . 2 3

u

1 2 1. Se consideră matricea A =  . 3 5 5p a) Calculaţi det A . 5p b) Arătaţi că A2 − 6 A = I 2 . 5p c) Determinaţi inversa matricei B = A − 6 I 2 .

(30 de puncte)

SUBIECTUL al II-lea

vi di

2. Pe ℝ se defineşte legea de compoziţie asociativă dată de x ∗ y = x 2 + y 2 + 4 . 5p a) Calculaţi 2 ∗ 2 . 5p b) Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia x ∗ x = 12 . 5p c) Arătaţi că numărul 1 ∗ 1 ∗ ⋯ ∗ 1 este întreg.

.O

1 de 8 ori

SUBIECTUL al III-lea

(30 de puncte)

(

)

1. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x) = e x x 2 − 6 x + 9 .

(

) f ( x ) + f '' ( x ) = 2 ( f ' ( x ) + e ) , pentru orice x ∈ ℝ .

of

x 2 5p a) Arătaţi că f ' ( x ) = e x − 4 x + 3 , pentru orice x ∈ ℝ .

Pr

5p b) Verificaţi dacă

x

5p c) Determinaţi punctele de extrem ale funcţiei f . 2. Se consideră funcţia f : ( −1, +∞ ) → ℝ , f ( x) =

x . x +1

1

5p a) Calculaţi

5p b) Arătaţi că

∫ ( x + 1) f ( x ) dx . 0 1

1

0

0

2 3 ∫ x f ( x ) dx + ∫ x f ( x ) dx =

1 . 4

5p c) Determinaţi volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul axei Ox a graficului funcţiei h : [ 0,1] → ℝ , h ( x ) = f ( x ) . Probă scrisă la matematică M_şt-nat Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii

Varianta 2


Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Examenul de bacalaureat naţional 2013 Proba E. c) Matematică M_şt-nat Varianta 3 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.

SUBIECTUL I 5p 1. Arătaţi că numărul 2

(

(30 de puncte)

)

7 + 1 − 28 este natural.

5p 2. Calculaţi f (1) + f (2) + ... + f (10) pentru funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = 2 x − 1 .

sc

u

5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 4 x+1 = 16 . 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând la întâmplare un element din mulţimea A = {1, 2,3,...,15} , acesta să fie multiplu de 7. 5p 5. Se consideră punctele A, B şi C astfel încât AB = 2i + j şi BC = i − j . Calculați lungimea 3sin x − 2cos x  π =1. 5p 6. Determinaţi x ∈  0,  ştiind că cos x  2 SUBIECTUL al II-lea

de

vectorului AC .

(30 de puncte)

1 x x 1. Pentru fiecare număr real x se consideră matricea A ( x ) =  x 1 x  .  x x 1  

5p a) Calculaţi det ( A ( 2 ) ) .

5p b) Arătaţi că A (1) ⋅ A ( 2 ) = 5 A (1) .

u

5p c) Determinaţi numerele reale x pentru care det ( A ( x ) ) = 0 .

vi di

2. Se consideră polinomul f = X 3 − 2 X 2 − 2 X + m , unde m este număr real. 5p a) Pentru m = 3 , calculaţi f (1) . 5p b) Determinaţi numărul real m ştiind că restul împărţirii polinomului f la X − 2 este egal cu 2.

.O

5p c) Pentru m = 4 , arătaţi că

1 1 1 + +  = 1 , unde x1 , x2 , x3 sunt rădăcinile  x1 x2 x3 

( x1 + x2 + x3 ) 

(30 de puncte)

of

polinomului f . SUBIECTUL al III-lea 1. Se consideră funcţia f : ( 0, + ∞ ) → ℝ, f ( x) = x ln x .

Pr

5p a) Calculați f ′ ( x ) , x ∈ (0, +∞) . 5p b) Calculaţi lim

f ( x)

. x2 5p c) Demonstrați că funcția f este convexă pe intervalul (0, +∞) . x →+∞

2. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x) = 1

5p a) Arătaţi că

1

x +1 2

.

1

∫ x f ( x ) dx = 2 ln 2 .

0 1

5p b) Calculaţi

∫ x f ' ( x ) dx . 0

5p c) Determinaţi volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul axei Ox a graficului funcţiei 1 h : [ 0,1] → ℝ , h ( x ) = . f ( x) Probă scrisă la matematică M_şt-nat Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii

Varianta 3


Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Examenul de bacalaureat naţional 2013 Proba E. c) Matematică M_şt-nat Varianta 4 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

5p 1. Arătaţi că numărul x = 3 (1 − i ) + 3i este real.

u

5p 2. Calculaţi distanţa dintre punctele de intersecţie a graficului funcţiei f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2 − 3 x + 2 cu axa Ox .

de

sc

5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 22 x+3 = 8 . 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând la întâmplare un element din mulţimea A = {1,2,3,..., 20} , acesta să fie divizibil cu 4. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(−2,3), B(3,0) şi C (2,5) . Calculaţi lungimea medianei din B a triunghiului ABC . 5p 6. Determinaţi lungimea laturii AC a triunghiului ABC , ştiind că BC = 4, B =

SUBIECTUL al II-lea

π

6

şi C =

π 3

(30 de puncte)

u

 x 1− x  1. Pentru fiecare număr real x se consideră matricea M ( x ) =  . x  1 − x 5p a) Calculați det ( M ( 2 ) ) .

5p b) Verificaţi dacă M ( x ) ⋅ M ( y ) = M ( 2 xy − x − y + 1) , pentru orice numere reale x şi y .

vi di

5p c) Determinaţi numărul real a astfel încât M ( a ) ⋅ M ( x ) = M ( a ) , pentru orice număr real x . 2. Pe ℝ se defineşte legea de compoziţie asociativă dată de x y = xy + 2 x + 2 y + 2 .

.O

5p a) Calculaţi 0 ( −2 ) . 5p b) Arătaţi că x y = ( x + 2)( y + 2) − 2 , pentru orice numere reale x şi y . 5p c) Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia x x x = 6 . SUBIECTUL al III-lea

of

1. Se consideră funcţia f : (1, + ∞ ) → ℝ , f ( x) =

Pr

5p a) Arătaţi că f ' ( x ) =

x ( x − 2)

( x − 1)2

(30 de puncte) x2 − 2 x + 2 . x −1

, pentru orice x ∈ (1, +∞ ) .

5p b) Determinaţi punctele de extrem ale funcţiei f . 5p c) Determinaţi ecuaţia asimptotei oblice spre +∞ la graficul funcţiei f . 2. Se consideră funcţia f : ( 0, + ∞ ) → ℝ , f ( x ) = x x . 2

5p a) Calculaţi

∫ 1

f ( x) x

dx .

2 2 x x este o primitivă a funcţiei f . 5 5p c) Calculaţi aria suprafeţei plane delimitate de graficul funcţiei f , axa O x şi dreptele de ecuaţie x = 1 şi x = 4 .

5p b) Arătaţi că funcţia F : ( 0, + ∞ ) → ℝ , F ( x) =

Probă scrisă la matematică M_şt-nat Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii

Varianta 4


Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Examenul de bacalaureat naţional 2013 Proba E. c) Matematică M_şt-nat Varianta 6 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.

SUBIECTUL I 8 −2

5p 1. Arătaţi că numărul

)

2 − 3 este natural.

f )( 0 ) pentru funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = 3 x + 1 .

(

)

2 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia log 2 x + 1 = log 2 5 .

u

5p 2. Calculaţi ( f

(

(30 de puncte)

sc

5p 4. După o ieftinire cu 20% preţul unui produs scade cu 200 de lei. Calculaţi preţul produsului după ieftinire. 5p 5. Determinaţi numărul real a pentru care vectorii u = ( a − 1) i + 4 j şi v = 2i − 4 j sunt opuşi.

de

5p 6. Calculaţi lungimea medianei din A în triunghiul dreptunghic ABC cu ipotenuza BC = 10 . SUBIECTUL al II-lea

(30 de puncte)

x − y + 2z = a  1. Se consideră sistemul de ecuații liniare 2 x − y = 0 , unde a este un număr real. y − z =1 

u

5p a) Determinați numărul real a știind că ( x, y , z ) = (1, 2,1) este soluție a sistemului. 5p b) Calculați determinantul matricei sistemului. 5p c) Rezolvați sistemul pentru a = −2 . 2. Se consideră polinomul f = X 3 − X + a , unde a este număr întreg.

vi di

5p a) Pentru a = −2 , calculaţi f ( 2 ) .

5p b) Arătaţi că x12 + x22 + x32 = 2 , unde x1 , x2 , x3 sunt rădăcinile polinomului f . 5p c) Arătaţi că, dacă polinomul f are o rădăcină întreagă, atunci a este multiplu de 6.

.O

SUBIECTUL al III-lea

1. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → ℝ , f ( x) = x−2 x2

2 + ln x . x

, pentru orice x ∈ ( 0, +∞ ) .

of

5p a) Arătaţi că f '( x) =

(30 de puncte)

5p b) Determinaţi punctele de extrem ale funcţiei f .

Pr

5p c) Arătaţi că funcţia f este convexă pe intervalul ( 0, 4 ) . 2. Se consideră funcţia f : (1, +∞) → ℝ , f ( x ) = 4

5p a) Arătaţi că

x −1

.

5

∫ ( x − 1) f ( x ) dx = ln 3 .

2 3

5p b) Calculaţi

1 2

∫(x 2

3

)

− 1 f ( x ) dx .

5p c) Arătaţi că aria suprafeţei delimitate de graficul funcţiei f , axa Ox şi dreptele de ecuaţie x = 2 şi 1 3 x = 3 , este egală cu ln . 2 2 Probă scrisă la matematică M_şt-nat Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii

Varianta 6


Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Examenul de bacalaureat naţional 2013 Proba E. c) Matematică M_şt-nat Varianta 9 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

5p 1. Arătaţi că numărul a = 3 ( 2 + 5i ) − 5 (1 + 3i ) este real. 5p 2. Determinaţi coordonatele punctului de intersecţie cu axa Ox a graficului funcţiei f : ℝ → ℝ ,

(

)

u

f ( x ) = x 2 + 10 x + 25 .

sc

5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia log5 x 2 + x + 1 = log5 ( x + 2) .

5p 4. După o ieftinire cu 10% preţul unui produs este 90 de lei. Calculaţi preţul produsului înainte de ieftinire.

de

5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră dreapta h de ecuație y = x − 1 şi punctul A ( 2, 2 ) . Determinaţi ecuaţia dreptei d care trece prin A şi este paralelă cu h . 5p 6. Calculaţi cosinusul unghiului A al triunghiului ABC în care AB = 5 , AC = 6 şi BC = 7 .

SUBIECTUL al II-lea

(30 de puncte)

u

1 1 0   1. Pentru fiecare număr real x se consideră matricea A ( x ) =  x 1 1  .  1 −1 1    5p a) Arătaţi că A ( 2 ) + A ( 6 ) = 2 A ( 4 ) .

vi di

5p b) Determinaţi numărul real x pentru care det ( A ( x ) ) = 0 . 5p c) Determinați inversa matricei A ( 2 ) .

.O

2. Se consideră x1 , x2 și x3 rădăcinile complexe ale polinomului f = X 3 + X 2 + mX + m , unde m este un număr real. 5p a) Arătați că f este divizibil cu X + 1 , pentru orice număr real m . 5p b) Determinați numărul real m pentru care x12 + x22 + x32 = 11 . 5p c) Determinați valorile reale ale lui m știind că x1 = x2 = x3 . (30 de puncte)

of

SUBIECTUL al III-lea

1. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → ℝ , f ( x) = x − ln x .

Pr

5p a) Calculați f ' ( x ) , x ∈ ( 0, +∞ ) . 5p b) Determinaţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă x0 = 1 , situat pe graficul funcției f . 5p c) Demonstraţi că x ≥ ln x + 1 , pentru orice x ∈ ( 0, +∞ ) .

2. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x( x + 1)( x − 1) . 3

5p a) Arătaţi că

f ( x)

7

∫ x( x − 1) dx = 2 . 2

5p b) Determinaţi primitiva F : ℝ → ℝ a funcţiei f ştiind că F (1) = −1 . e

5p c) Arătaţi că

∫ 2

f ( x ) ln x x2 − 1

dx =

e2 − 2ln 2 + 1 . 4

Probă scrisă la matematică M_şt-nat Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii

Varianta 9


Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Examenul de bacalaureat naţional 2014 Proba E. c) Matematică M_şt-nat Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii  Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.  Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.

SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Determinaţi raţia progresiei geometrice  bn n1 cu termeni reali, ştiind că b2  1 şi b5  8 . 5p 2. Calculaţi  f

f  0  pentru funcţia f :

, f  x   x2  2 x  7 .

5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2log5  x  3  log5  x  1 .

de

(30 de puncte)

  5p 6. Rezolvaţi în mulţimea  0,  ecuaţia 2sin x  1  0 .  2 SUBIECTUL al II-lea 1 0 1 0 1. Se consideră matricele A    şi B   0 5  . 0 4     5p a) Arătaţi că A  B  B  A . 5p b) Verificaţi dacă det  A  B   det A  det B .

sc u

5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr din mulţimea A  1,2,3,...,50 , acesta să fie număr divizibil cu 11. 5p 5. Determinaţi numărul real a pentru care vectorii v  2i   a  1 j şi u  i  2 j sunt coliniari.

di

u

 a 0 2 5p c) Determinaţi numărul matricelor X    pentru care X  A , unde a şi b sunt numere reale. 0 b   2. Se consideră x1 , x2 , x3 rădăcinile complexe ale polinomului f  X 3  X  a , unde a este număr real. 5p a) Pentru a  2 , arătaţi că f 1  0 .

.O vi

5p b) Determinaţi numărul real a , ştiind că  2  x1  2  x2   2  x3   2 . 5p c) Pentru a  0 , determinaţi un polinom de grad trei, având coeficienţii reali, care are rădăcinile 1 1 1 şi . , x1 x2 x3 SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcţia f :  0,    , f ( x)  ln( x  1)  ln x .

of

5p a) Calculaţi f ( x) , x   0,   .

5p b) Arătaţi că funcţia f este descrescătoare.

Pr

xf ( x) . 5p c) Calculaţi xlim 

2. Se consideră funcţia f :  2,   

, f  x 

x . x2

1

5p a) Calculaţi  ( x  2) f ( x)dx . 0 2014

5p b) Arătaţi că

  f  x   ( x  2) f '( x)  dx  1 .

2013

5p c) Determinaţi volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul axei Ox a graficului funcţiei x g : 1,2  , g ( x)  . f  x Probă scrisă la matematică M_şt-nat Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii

Model

Bac m2, 2009 2013, 126 variante ovidiu badescu  
Bac m2, 2009 2013, 126 variante ovidiu badescu  
Advertisement