)
pentru care det ( A − I 2 ) = 2 şi
XII.188 Calculaţi:
det ( A + I 2 ) = 4. Calculaţi det A şi det( A − 2 I 2 ) . Prof. Gheorghe Andrei, Constanţa
)
xn . n →∞ n Cristian Zanfir, elev, Caransebeş
x1 = 1, xn +1 = 1 + n ⋅ xn , ∀n ≥ 1. C al c ul aţi lim
funcţiei f :
∗
∗
→ , f ( x) =
+ ,b ∈
. Studiaţi existenţa limitei în origine a
x ⎡b ⎤ , unde [t ] reprezintă partea întreagă a ⋅ a ⎢⎣ x ⎥⎦
numărului real t.
f :I →
Olimpiadă Iaşi
Clasa a XII-a
XII.186 Determinaţi
∫
w .n
⎛ π⎞ XII.185 Arătaţi că, pentru orice x ∈ ⎜ 0, ⎟ , este adevărată inegalitatea: ⎝ 2⎠ 3x > 4 − cos x . sin x Prof. Mircea Iucu, Reşiţa sin 2 x + sin 2 x + 1 e − x + sin 2 x + 1
+
∗
Probleme alese
(se primesc soluţii până în data de 4 februarie 2011, de la orice elev, indiferent de clasă; fiecare dintre aceste probleme se punctează de la 0 la 25 de puncte şi se adună la punctajul obţinut pentru soluţiile celorlalte probleme)
A.1 Se consideră o mulţime finită de puncte în plan cu proprietatea că orice dreaptă determinată de două puncte mai conţine cel puţin un punct. Arătaţi că toate punctele sunt coliniare. ( Sylvester, 1893) A.2 Dacă p este un număr prim, p > 3 , iar n =
w
XII.187 Se consideră un grup multiplicativ G, având ordinul 2n. Stabiliţi paritatea numărului natural nenul n, ştiind că numărul elementelor de ordinul 2 din grupul G este egal cu n. Olimpiadă Călăraşi
4 p −1 , arătaţi că n divide 3
2n − 2 .
( Paul Erdös ) A.3 Determinaţi perechile ( x, y ) de numere întregi pentru care egalitatea
1 + x + x 2 + x3 = y 2 este adevărată.
dx.
Olimpiadă Buzău
49
I ⊂ , cu 0 ∈ I , şi o funcţie 1 astfel încât f (0) = 1 , iar este o primitivă a lui f. f Prof. Ovidiu Pop, Satu Mare
XII.189 Determinaţi un interval
eu
XI.189 Se consideră a ∈
Prof.Steluţa şi Mihai Monea, Deva
⎛ 1 5⎞ ştiind că A5 = ⎜ ⎟. ⎝ 0 1⎠ Olimpiadă Olt
XI.188 Se co nsid eră şirul ( xn )n≥1 d efinit prin
∫ ( x cos x + sin x ) ln x dx .
tri n
XI.187 Determinaţi matricea A∈ M2 (
o. ro
A∈ M2 (
XI.186 Se consideră
(H. Brocard, 1875) A.4 Dacă diferenţa cuburilor a două numere naturale consecutive este pătratul unui număr natural, atunci acel număr este suma pătratelor a două numere consecutive. (R. Lyness, 1948)
50