o. ro
Fie mulţimea A = {t ∈ [ a, t0 ) / f ( s ) ≥ f ( t0 ) , ∀s ∈ [t , t0 ]}. Din relaţia (1)
O aplicaţie a unei relaţii metrice într-un patrulater oarecare
rezultă că [α , t0 ) ⊂ A, deci A ≠ ∅. În plus A ⊂ [ a, b ] şi atunci există inf ( A ) = α 0 ∈ . Cum f este continuă, se obţine că f (α 0 ) ≥ f ( t0 )
( 2 ) , deci α 0 ∈ A. Vom arăta că α 0 = a. Presupunem prin absurd că a < α 0 . Fie
( tn )n ⊂ ( a, α 0 )
un şir crescător cu
lim tn = α 0 . Cum
n →∞
că f este continuă se obţine că f (α 0 ) = lim f ( yn ) ≤ f ( t0 ) n→∞
( 3) .
Din
relaţiile ( 2 ) şi ( 3) rezultă că f (α 0 ) = f ( t0 ) .
Conform ipotezei, α 0 este un punct de extrem local. Atunci există
γ ∈ [ a,α 0 ) cu f ( t ) ≥ f (α 0 ) = f ( t0 ) , ∀t ∈ (γ ,α 0 ) , şi deci ( γ ,α 0 ) ⊂ A, în
contradicţie cu definiţia lui α 0 . Aşadar α 0 = a. Repetând acelaşi
raţionament se arată că f ( t ) ≥ f ( t0 ) , ∀t ∈ [t0 , b ]. Aşadar t0 este punct de
minim global al lui f . Să presupunem acum că f nu este constantă pe Atunci există u , v ∈ ( a, b ) cu f ( u ) < f ( v ) . Atunci u este de
minim global, iar v este de maxim global. Dacă x ∈ ( a, b ) este de minim
local atunci f ( x ) = f ( u ) , iar dacă x este de maxim local atunci f ( x) = f (v),
deci
f ( x ) ∈ { f ( u ) , f ( v )} , ∀x ∈ ( a, b ) .
Dar
f
este
Bibliografie
w .n
continuă şi atunci f este constantă pe ( a, b ) , deci şi pe [ a, b ].
1. M. Burtea, G. Burtea, Manual de Matematică M1, clasa a XI-a, Editura Carminis, Piteşti, 2004. 2. C. Mortici, 600 de probleme, Editura Gil, Zalău, 2001. , Editura 3. M. Megan, A.Sasu, B. Sasu, Calcul diferenţial în Universităţii de Vest, Timişoara, 2001. 4. Colecţia Gazeta Matematică.
w
Marina Constantinescu, profesoară Şc.Gen. C. Săvoiu, Tg-Jiu, Mircea Constantinescu, profesor C.N.E.T, Tg-Jiu
25
(
4MN 2 = AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA2 − AC 2 + BD 2
)
Propoziţia 2. Dacă G este centrul de greutate al unui triunghi ABC şi P un punct oarecare al planului atunci
eu
( a, b ) .
tri n
tn ∉ A, ∀n, rezultă că există yn ∈ ( tn ,α 0 ) cu f ( yn ) < f ( t0 ) . Ţinând cont
Scopul prezentei note matematice este semnalarea unei inegalităţi într-un patrulater, inegalitate care oferă o evaluare (aproximare) pentru suma pătratelor laturilor, respectiv suma pătratelor diagonalelor unui patrulater oarecare folosind distanţele de la fiecare vârf al patrulaterului până la centrul de greutate al triunghiului determinat de celelalte trei vârfuri ale patrulaterului. Voi prezenta mai întâi fără demonstraţie câteva relaţii metrice într-un patrulater, relaţii care vor fundamenta principalul rezultat al prezentei note matematice. Propoziţia 1. Dacă M şi N sunt respectiv mijloacele diagonalelor şi AC [ ] [ BD ] ale unui patrulater oarecare atunci:
(
) (
9 PG 2 = 3 PA2 + PB 2 + PC 2 − AB 2 + BC 2 + AC 2
)
Ca o consecinţă a Propoziţiei 1 amintim următorul rezultat: Propoziţia 3. Într-un patrulater oarecare suma pătratelor laturilor este mai mare sau egală decât suma pătratelor diagonalelor. Egalitatea are loc dacă MN = 0 , adică patrulaterul este paralelogram.
Propoziţia 4. Dacă A1 A2 A3 A4 este un patrulater oarecare şi dacă notăm: A1 A2 = l1 , A2 A3 = l2 , A3 A4 = l3 , A4 A1 = l4 , A1 A3 = d1 , A2 A4 = d 2 , şi dacă Gi este centrul de greutate al triughiului determinat de vârfurile al 4
căror indice e diferit de i, atunci:
∑ li2 + d12 + d22 = i =1
9 4 ∑ Ai Gi2 4 i =1
Demonstraţie: Se aplică Propoziţia 2 pe rând vârfului Ai , i = 1, 4 şi triunghiului determinat de celelalte trei vârfuri obţinând:
26