Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
60
Varianta 60
SUBIECTUL I (30p) – Varianta 060
5p
1. Să se arate că 2(1 + 3 + 32 + ... + 38 ) < 39.
5p
2. Fie x1 , x2 soluţiile ecuaţiei x 2 + 5 x − 7 = 0 . Să se arate că numărul x13 + x23 este întreg. 5 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia log5 x + log x 5 = . 2
5p 5p 5p
4. Să se determine x ∈ `, x ≥ 3 astfel încât C22x −3 = 3 .
5. Se consideră punctele A ( 2,3 ) şi B ( −3, −2 ) . Să se scrie ecuaţia mediatoarei segmentului AB . JJG JJG G G G G G G 6. Fie vectorii u şi v . Ştiind că u ⋅ v = 5 , u = 2 şi v = 3 să se calculeze cos ) u , v .
( ( ))
a Pr w nte of ww B . O .n A C e vi u 2 di tr 0 u in 09 Bă o.r , M o de 1
5p
9 0 0 2 e i t r a m 1 c a b e t n a i r o r . Va o n i r t u e n . www { }
60
5p 5p 5p
sc u
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar SUBIECTUL II (30p) – Varianta 060 2 1 1. Se consideră matricea A = şi funcţia f : M2 ( \ ) → M2 ( \ ) , f ( X ) = AX . −4 −2 a) Să se calculeze f ( A). b) Să se arate că ( f D f )( X ) = O2 , ∀X ∈ M2 (\ ). c) Să se arate că f ( X ) + f (Y ) ≠ I 2 , ∀X , Y ∈ M2 (\).
2. Se consideră mulţimea P = A ∈ M2 ( \ ) | AAt = I 2 , unde At este transpusa matricei A.
5p
m Va at ri e
5p 5p
0 1 a) Să se verifice dacă matricea aparţine mulţimii P. 1 0 b) Să se arate că înmulţirea matricelor determină pe mulţimea P o structură de grup necomutativ. c) Să se arate că, dacă A, B ∈ P, X ∈ M2 ( \) şi AX = B , atunci X ∈ P.
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
SUBIECTUL III (30p) – Varianta 060
1. Se consideră funcţia f : \ → \ , f ( x ) = x + 1 + x 2 .
5p 5p
a) Să se arate că mulţimea valorilor funcţiei f este ( 0,∞ ) .
b) Să se arate că, dacă g : \ → \, g ( x ) = ln f ( x ) , atunci ( f ( x ) − x ) ⋅ g ' ( x ) = 1, ∀x ∈ \ .
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ MT1,xprograma 5p c) Să se demonstreze că g ( x) < x- ,Proba pentruD,orice > 0 , undeM1 g este funcţia definită la punctul b).
{
2. Fie mulţimea M = f : \ → \ | f este derivabilă şi 5p 5p 5p
1
∫0 f ( x) dx = f (0) = f (1)
}.
a) Să se arate că funcţia f : \ → \ , f ( x) = 2 x3 − 3x 2 + x aparţine mulţimii M . 1 b) Să se arate că, dacă f este o funcţie polinomială de grad trei care aparţine lui M , atunci f = f (0). 2 c) Să se arate că, pentru orice f ∈ M , ecuaţia f ′( x ) = 0 are cel puţin două soluţii în intervalul (0,1) .