Autómatas, gramáticas y lenguajes

Año 1, Nº 1 Febrero de 2021

AUTÓMATAS, GRAMÁTICAS Y LENGUAJES

ÍNDICE           

Lenguaje formal Importancia de la gramática y sintaxis para el lenguaje Teoría de autómatas Autómatas Tipos de autómatas Origen de los autómatas Aplicaciones de los autómatas Estados finitos de máquinas y autómatas Relaciones entre el lenguaje y los autómatas Máquina de Turing Bibliografía

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LENGUAJE FORMAL En matemáticas, lógica y ciencias computacionales, un lenguaje formal es un conjunto de palabras o cadenas de caracteres de longitud finita, formadas a partir de un alfabeto o conjunto de caracteres finito.

Informalmente, el término lenguaje formal se utiliza en varios contextos para hablar de un modo de expresión más cuidadoso y preciso que el habla cotidiana. Hasta finales de los 90, el consenso general era que un lenguaje formal, era de alguna manera la versión “límite” del uso antes mencionado; un lenguaje tan formalizado que podía ser usado en su forma escrita para describir métodos computacionales. Sin embargo, hoy en día, el punto de vista de que la naturaleza esencial de los lenguajes naturales (sin importar su grado de formalidad previamente descrito) es considerablemente diferente a la de los verdaderos lenguajes formales, gana cada vez más partidarios.

Por ejemplo, un posible alfabeto sería {a, b}, y una cadena cualquiera sobre dicho alfabeto sería ababba. Un lenguaje sobre este alfabeto que incluyese esta cadena, sería el conjunto de todas las cadenas que contienen el mismo número de símbolos a que b.

La palabra vacía, o cadena de longitud cero, es permitida y suele denotarse con ε o λ.

Mientras que el alfabeto es el conjunto finito y cada palabra tiene una longitud también finita, un lenguaje puede incluir un número infinito de palabras.

Algunos ejemplos de lenguajes formales:   

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El conjunto de todas las palabras sobre {a, b}.

El conjunto {an: n es un número primo}.

El conjunto de todos los programas sintácticamente válidos en un determinado lenguaje de programación.

El conjunto de entradas para las cuales una particular máquina de Turing se detiene.

Los lenguajes formales pueden especificarse de varias maneras, como:   

Cadenas producidas por una gramática formal.

Cadenas producidas por una expresión regular.

Cadenas aceptadas por un autómata, tal como una máquina de Turing.

Una pregunta hecha típicamente sobre un determinado lenguaje formal L es cuán difícil es decidir si incluye o no una determinada palabra v. Este tema es del dominio de la teoría de la computabilidad y de la teoría de la complejidad computacional.

En contraposición al lenguaje propio de los seres vivos y sobre todo el lenguaje humano, considerados lenguajes naturales, se denomina lenguaje formal a los lenguajes “artificiales” propios de las matemáticas o informática, los lenguajes artificiales son llamados lenguajes formales, incluyendo lenguajes de programación. Sin embargo, el lenguaje humano posee una característica que no tienen los lenguajes de programación: la diversidad.

En 1956, Noam Chomsky creó la jerarquía de Chomsky, cuya finalidad es organizar los distintos tipos de lenguaje formal.

Un lenguaje normal o natural, como el español o inglés, son la clase de lenguajes que han evolucionado con el paso del tiempo y tienen como objetivo la comunicación humana. Este tipo de lenguajes evoluciona constantemente y sus reglas gramaticales solo pueden ser explicadas, mas no determinadas, en cuanto a la estructura del lenguaje.

En cambio, un lenguaje formal está definido por reglas preestablecidas y se ajusta rigurosamente a ellas, ejemplos de este son lenguajes computacionales como C o Pascal.

Para especificar la sintaxis de un lenguaje, se utiliza la jerarquía de Chomsky, una clasificación jerárquica de diferentes tipos de gramáticas formales, los cuales generan lenguajes formales.

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Define cuatro familias de gramáticas y lenguajes, descritas a continuación: 

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Gramáticas de tipo 0 (sin restricciones): engloban todas las gramáticas formales. Estas gramáticas generan todos los lenguajes reconocibles por una máquina de Turing. Los lenguajes son conocidos como recursivamente enumerables.

Esta categoría es diferente de la de los lenguajes recursivos, cuya decisión puede ser realizada por una máquina de Turing que se detenga.

Gramáticas de tipo 1 (sensibles al contexto): generan los lenguajes sensibles al contexto. Estas gramáticas

tienen reglas de la forma αAβ → αγβ con A un no terminal y α, β y γ cadenas de terminales y no terminales. Las cadenas α y β pueden ser vacías, pero γ no puede. La regla S → ε se permite si S no aparece en la parte derecha de ninguna regla. Los lenguajes descritos por estas gramáticas son exactamente todos aquellos que son reconocibles por una máquina de Turing no determinista cuya cinta de memoria está acotada por cierto número de veces sobre la longitud de entrada.

Gramáticas de tipo 2 (libres del contexto): generan los lenguajes independientes del contexto. Las reglas son de la forma A → γ con A un no terminal y γ una cadena de terminales y no terminales. Estos lenguajes son aquellos que pueden ser reconocidos por un autómata con pila.

Gramáticas de tipo 3 (regulares): generan los lenguajes regulares. Estas gramáticas se restringen a aquellas reglas que tienen en la parte izquierda un no terminal, y en la parte derecha un solo terminal, posiblemente seguido de un no terminal. La regla S → ε también está permitida si S no aparece en la parte derecha de ninguna regla. Estos lenguajes son aquellos que pueden ser aceptados por un autómata finito. Esta familia de lenguajes también puede ser obtenida por medio de expresiones regulares.

IMPORTANCIA DE LA GRAMÁTICA Y SINTAXIS PARA EL LENGUAJE El término “gramática” proviene del verbo grammatiké, que significa el arte de escribir. La gramática abarca aspectos como la fonética (sonidos del habla), la morfología (las palabras) y la sintaxis (organización y/o combinación de las palabras para formar oraciones o frases). Su importancia radica en que permite mejorar el uso del lenguaje con respecto a ortografía y fonética, ayuda a comprender mejor la estructura de las palabras, y permite organizar y combinar correctamente las palabras en la oración.

La sintaxis es una rama de la gramática que estudia los principios de ordenamiento y combinación de las palabras, así como de los conjuntos que estas forman dentro de la oración, llamados sintagmas. Estos últimos, a su vez, están dotados de un sentido específico y una función dentro de ella. La sintaxis es de vital importancia en la gramática, ya que enseña los órdenes posibles del lenguaje, es decir, señala las combinaciones permitidas y no permitidas de palabras para obtener significados reconocibles.

TEORÍA DE AUTÓMATAS La teoría de autómatas es una rama de la teoría de la computación que estudia las máquinas abstractas y los problemas que estas son capaces de resolver. Está estrechamente relacionada con la teoría del lenguaje formal debido a que los autómatas a menudo se clasifican por la clase de lenguajes formales que son capaces de reconocer.

También son de gran utilidad en la teoría de la complejidad computacional.

AUTÓMATAS Un autómata es un mecanismo de naturaleza formal (mecanismo matemático); acepta una información de entrada llamada input; la procesa, sometiéndola a transformaciones simbólicas que pueden presentarse en forma de un cálculo o computación, y genera un resultado o salida, llamado output. Así pues, definir un autómata será lo mismo que definir el proceso de transformación del input en un output, y esto equivale a definir una función cuyos argumentos son el input y cuyo valor es el output.

TIPOS DE AUTÓMATAS Existen varios tipos de autómatas. Cada uno de estos tipos se asocia a una determinada potencia computacional o su capacidad de resolución de problemas. Los autómatas pueden clasificarse de acuerdo con esa capacidad, ordenándose jerárquicamente de menor a mayor potencia computacional:     

Finitos Intermedios Con pila Linealmente acotados Máquinas de Turing

Según el tipo de proceso que ejecutan:  

Aceptadores o reconocedores Generadores o transductores

Según el tipo de causalidad:  

Determinista No determinista

Según el tipo de su almacenamiento de información:   

De tamaño fijo De tamaño creciente De tamaño infinito

Según el tipo de información que manejan:  

Discreta Continua

Autómatas finitos (AF): también llamados máquinas de estado finito (FSM), son modelos computacionales que efectúan cómputos automáticamente sobre una entrada para producir una salida. Están conformados por un alfabeto, un conjunto de estados y un conjunto de transiciones entre dichos estados. Su funcionamiento se basa en una función de transición, la cual, a partir de un estado inicial, recibe una cadena de caracteres pertenecientes al alfabeto (entrada) y va leyendo dicha cadena mientras el autómata se desplaza de un estado a otro, para finalmente detenerse en un estado final o de aceptación, representado por la salida. Tienen como finalidad reconocer lenguajes regulares, correspondientes a los lenguajes formales más simples según la jerarquía de Chomsky.

Autómatas intermedios: son aquellos cuya potencia computacional es mayor que la de los autómatas finitos, aunque menor que la de las máquinas de Turing.

Autómatas aceptadores o reconocedores: resuelven problemas con respuesta sí/no, suele modelizarse como la identificación de dos estados finales: aceptación/rechazo.

Autómatas con pila: son modelos matemáticos de un sistema que recibe una cadena conformada por símbolos de un alfabeto y verifica si esa cadena pertenece al lenguaje que el autómata reconoce. El lenguaje que reconoce un autómata con pila pertenece al grupo de los lenguajes libres de contexto, si se clasifica por la jerarquía de Chomsky.

Autómatas generadores o transductores: construyen una respuesta específica (salida) para un problema planteado.

Autómatas linealmente acotados: son autómatas finitos que pueden usar como espacio de memoria intermedia un espacio como máximo igual al ocupado por una o más cadenas de entrada; es el mismo espacio.

También son similares a las máquinas de Turing deterministas.

Máquinas de Turing: son dispositivos que manipulan símbolos sobre una tira de cinta según una tabla de reglas. A pesar de su simplicidad, pueden ser adaptadas para simular la lógica de cualquier algoritmo computacional y son particularmente útiles en explicar las funciones de una CPU dentro de una computadora.

Autómatas deterministas: la solución del problema está unívocamente determinada por las entradas y estados internos del autómata.

Autómatas no deterministas: se diferencian de los deterministas en que la solución o respuesta de un problema no está determinada unívocamente.

ORIGEN DE LOS AUTÓMATAS Los primeros autómatas datan de la prehistoria, cuando las estatuas de algunos dioses o reyes despedían fuego de los ojos, como era el caso de una estatua de Osiris.

Otras tenían brazos mecánicos operados por los sacerdotes del templo, y otras, como la de Memon de Etiopía, emitían sonidos cuando los rayos del sol las iluminaban, infundiendo así temor y respeto a quien las contemplara. Esta finalidad religiosa de los autómatas se mantuvo hasta la Grecia clásica, en la que se fabricaron estatuas que se movían con energía hidráulica. Esos nuevos conocimientos quedaron plasmados en el primer libro sobre la figura de los robots, llamado Autómata, escrito por Herón de Alejandría (10 d. C. - 70 d. C.) donde se explica la creación de mecanismos, muchos de ellos basados en los principios de Filón o Arquímedes, realizados esencialmente como entretenimiento y que imitaban el movimiento, como el de aves que gorjeaban, volaban y bebían, estatuas que servían vino o puertas automáticas, todos producidos por el movimiento del agua, la gravedad o por sistemas de palancas.

También cabe destacar su “The Automaton Theatre”, sobre su teatro de marionetas mecánicas representando la Guerra de Toya.

Si bien Herón fue el primero en recopilar datos sobre los autómatas, otros antes de él ya habían realizado aportaciones, como es el caso de Archytas (428 a. C. - 347 a. C.), inventor del tornillo y la polea, famoso por su paloma mecánica capaz de volar gracias a vapor de aire en propulsión. O el sistema descrito por Polibio (200 a. C. - 118 a. C.) y utilizado por Nabis, tirano de Esparta, que consistía en un artilugio con forma de mujer con clavos en su pecho y brazos, y que abrazaba mortalmente a todo aquel que incumplía sus pagos. Y otros aún más antiguos, pero de difícil autenticación, como el mítico Trono de Salomón, descrito en la Biblia y otros textos árabes como un árbol de bronce con pájaros cantores, leones y grifos mecánicos además de ser móvil, pudiendo elevarse desde el suelo hasta el techo.

APLICACIONES DE LOS AUTÓMATAS Las primeras aplicaciones de los autómatas programables se dieron en la industria automotriz para sustituir los complejos equipos basados en relés. Sin embargo, la reducción de tamaño y de costos han permitido la utilización de los autómatas en todos los sectores de la industria. Otras aplicaciones de los autómatas se encuentran en:

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Lingüística computacional: 

Compilador: programa informático que traduce un programa escrito en un lenguaje de programación a otro lenguaje de programación, generando un programa equivalente que la máquina pueda interpretar. Usualmente el segundo lenguaje es código máquina, aunque también puede ser simplemente texto. Este proceso de traducción se denomina compilación.

Desarrollo de redes neuronales artificiales: las redes de neuronas artificiales (RNA, ANN1 en inglés) son un paradigma de aprendizaje y procesamiento automático inspirado en el funcionamiento del sistema nervioso de los animales. Consiste en un sistema de interconexión de neuronas en una red que colabora para producir un estímulo de salida.

En la industria: 

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Automóvil: cadenas de montaje, soldadura, cabinas de pintura, etc.

Máquinas/herramientas: tornos, fresadoras, taladradoras, etc.

Plantas químicas y petroquímicas: control de procesos (dosificación, mezcla, pesaje, etc.).

Baños electrolíticos, oleoductos, refinado, tratamiento de aguas residuales, etc.

Metalurgia: control de hornos, laminado, fundición, soldadura, forja, grúas, entre otros.

Alimentación: envasado, empaquetado, embotellado, almacenaje, llenado de botellas, etc.

Papeleras y madereras: control de

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procesos, serradoras, producción de conglomerados y de laminados, etc.

Producción de energía: centrales eléctricas, turbinas, transporte de combustible, energía solar, etc.

Tráfico: regulación y control del tráfico, ferrocarriles, líneas de metro, etc.

Domótica: iluminación, temperatura ambiente, sistemas antirrobo, comodidad y bienestar en el hogar, etc.

Fabricación de neumáticos: control de calderas, sistemas de refrigeración, prensas que vulcanizan los neumáticos.

Control de las máquinas para el armado de las cubiertas, extrusoras de goma.

Control de las máquinas para mezclar goma.

ESTADOS FINITOS DE MÁQUINAS Y AUTÓMATAS Una máquina de estado finito (FSM, Finite State Machine) o autómata finito, es una abstracción computacional que describe el comportamiento de un sistema reactivo mediante un número determinado de estados y un número determinado de transiciones entre dichos estados. Las transiciones de un estado a otro se generan en respuesta a eventos de entrada externos e internos; a su vez estas transiciones y/o subsecuentes estados pueden generar otros eventos de salida. Esta dependencia de las acciones del sistema a los eventos de entrada hace que las máquinas de estado finito (MEF) sean una herramienta adecuada para diseñar sistemas reactivos y la programación conducida por eventos (Event Driven Programming), como es el caso de la mayoría de sistemas embebidos basados en microcontroladores o microprocesadores. Las MEF se describen gráficamente mediante los llamados diagramas de estado finito (DEF), o también, diagramas de transición de estados, los cuales se encargan de representar los diferentes estados de una MEF y todas las transiciones posibles entre los estados.

Las MEF no son diagramas de flujo y no deben confundirse con estos últimos. En una MEF las acciones se asocian con las flechas (transiciones), mientras que en un diagrama de flujo las acciones se asocian a los vértices de la flecha o a los bloques de proceso.

Cuando una MEF está en uno de sus estados, se encuentra “en reposo” a la espera de un evento, mientras que en un diagrama de flujo el sistema se encuentra activo realizando una tarea.

Ventajas: son intuitivas y fáciles de entender, abstraen convenientemente detalles secundarios innecesarios para el análisis del sistema a un alto nivel y se enfocan en aspectos clave del mismo, aportan un componente visual que facilita el análisis y diseño del sistema, son universalmente aplicables, suelen usarse en sistemas de transmisión de datos y el uso de protocolos de comunicación, etc.

Desventajas: no son aplicables a todos los problemas de diseño, no funcionan bien en sistemas con cientos o miles de estados, la adición de funcionalidad es un poco inflexible, son planas por naturaleza en el sentido de no poseer estructura definida ni permitir una jerarquización de los componentes que minimice la repetición innecesaria de otros estados, etc.

RELACIONES ENTRE EL LENGUAJE Y AUTÓMATAS En 1956, Noam Chomsky clasificó las gramáticas en cuatro tipos de lenguajes y esta clasificación es conocida como la jerarquía de Chomsky, en la cual cada lenguaje es descrito por el tipo de gramática generado. Estos lenguajes sirven de base para clasificar lenguajes de programación. Esos cuatro tipos de lenguajes son: recursivamente enumerables, sensibles al contexto, libres de contexto y regulares, pudiendo también ser identificados respectivamente como lenguajes de tipo 0, 1, 2 y 3.

Existe una correspondencia exacta entre cada uno de estos tipos de lenguajes y particulares arquitecturas de máquinas, es decir, por cada lenguaje de tipo T hay una arquitectura de máquina A que reconoce el lenguaje de tipo T y por cada arquitectura A hay un tipo T tal que todos los lenguajes reconocidos por A son de tipo T. Esta correspondencia se muestra en la tabla de la derecha.

Además de la tabla, también hay un diagrama de Venn donde se muestra la relación entre los conjuntos que representan los lenguajes.

Tipo 0 1

2 3

Lenguaje

Tipo de máquina Recursivamente Máquina de enumerable Turing Sensible al Autómata contexto linealmente acotado Libre de Autómata de contexto pila Regular Autómata finito y expresiones regulares

La relación entre los lenguajes se describe así: sobre un alfabeto dado, el conjunto de los lenguajes recursivamente enumerables contiene propiamente al conjunto de los lenguajes recursivos, que contiene propiamente al conjunto de los lenguajes sensibles al contexto, que a su vez contiene propiamente a los lenguajes regulares.

MĂ QUINA DE TURING La mĂĄquina de Turing, presentada por Alan Turing en 1936 en On computable numbers, with an application to the Entscheidungsproblems, es el modelo matemĂĄtico de un dispositivo que se comporta como un autĂłmata finito y dispone de una cinta de longitud infinita en la que se pueden leer, escribir o borrar sĂ­mbolos. Existen otras versiones con varias cintas, deterministas o no, etc., pero todas son equivalentes con respecto a los lenguajes que aceptan.

Uno de los teoremas mĂĄs importantes sobre las mĂĄquinas de Turing es que pueden simular el comportamiento de una computadora (almacenamiento y unidad de control). De manera que, si un problema no puede ser resuelto por una de estas mĂĄquinas, entonces tampoco puede ser resuelto por una computadora, lo cual resultarĂĄ en un problema indecidible (NP).

La notaciĂłn de las mĂĄquinas de Turing es sencilla y exacta, por ello es mĂĄs cĂłmodo trabajar con ellas a la hora de estudiar cuĂĄles problemas son decidibles (P) y cuĂĄles indecidibles (NP).

Aunque la relación de inclusión entre P y NP estå por demostrarse, se sabe que P ⊆ NP. Ademås, los lenguajes aceptados por los autómatas finitos pueden ser aceptados tambiÊn por alguna måquina de Turing.

Se denomina mĂĄquina de Turing (MT) al conjunto đ?‘€ = (đ?‘„, đ?›´, đ?‘‡, đ?›ż, đ?‘ž0 , đ??ľ, đ??š), donde:     

 

Q es el conjunto finito de estados, denotados por q0, q1, q2, ... ÎŁ es el alfabeto (conjunto finito de sĂ­mbolos de entrada).

T es el conjunto de sĂ­mbolos de cinta.

El alfabeto es un subconjunto de T. q0 es el estado inicial (el estado en el que se encuentra inicialmente la MT).

B es un elemento de ÎŁ (el sĂ­mbolo en blanco). Se encuentra en todas las casillas de la cinta sin un sĂ­mbolo de entrada.

F es el conjunto de estados finales. δ es la función de transiciones.

La expresiĂłn đ?›ż(đ?‘ž, đ?‘‹) = (đ?‘?, đ?‘Œ, đ??ˇ) indica que en el estado q, si la cabeza de la MT seĂąala al sĂ­mbolo de cinta X, entonces la MT escribe el sĂ­mbolo de Y en la casilla actual, es decir, cambia X por Y, y mueve la cabeza una casilla hacia D (D puede ser derecha, R; o izquierda, L) y pasa al estado p. La cinta de la MT estĂĄ formada por infinitas casillas. La palabra de entrada (concatenaciĂłn de sĂ­mbolos del alfabeto) estĂĄ escrita en casillas consecutivas de la cinta y la cabeza seĂąala al primer sĂ­mbolo de la palabra. Todas las demĂĄs casillas adyacentes contienen el sĂ­mbolo en blanco.

El lenguaje de una mĂĄquina de Turing

Se llama lenguaje recursivamente enumerable (RE) a los lenguajes que pueden ser aceptados por una mĂĄquina de Turing.

đ?‘€ = (đ?‘„, đ?›´, đ?‘‡, đ?›ż, đ?‘ž0 , đ??ľ, đ??š) es ∗

∗

∗

đ??ż(đ?‘€) ≔ {đ?‘¤ ∈ đ?›´ : đ?‘ž0 đ?‘¤ ⊢ đ?›źđ?‘?đ?›˝, đ?‘? ∈ đ??š, đ?›ź, đ?›˝ ∈ đ?‘‡ } Es decir, las w de ÎŁ* tales que la mĂĄquina de Turing alcanza un estado de aceptaciĂłn.

Sea L el lenguaje de una måquina de Turing M, es decir, L = L(M) y, ademås:  

si w es una palabra de L, entonces M se para y alcanza un estado de aceptaciĂłn si w no es una palabra de L, entonces M se para, pero no alcanza un estado de aceptaciĂłn

entonces se dice que L es un lenguaje recursivo.

Teorema 1: todo lenguaje aceptado por una mĂĄquina de Turing de varias cintas es recursivamente enumerable.

Teorema 2: sea L = L(M) el lenguaje que acepta una mĂĄquina de Turing no determinista M, entonces existe una mĂĄquina de Turing determinista N que acepta dicho lenguaje, es decir, L(M) = L(N).

Teorema 3: sea L el lenguaje aceptado por una mĂĄquina de Turing, entonces existe algĂşn autĂłmata de dos pilas que acepta L. Teorema 4: todo lenguaje recursivamente enumerable es aceptado por alguna mĂĄquina de tres contadores.

Teorema 5: todo lenguaje recursivamente enumerable es aceptado por alguna mĂĄquina de dos contadores.

BIBLIOGRAFĂ?A https://es.slideshare.net/rochy-23/modulo-automatasylenguajesformales https://vhlblog.vistahigherlearning.com/la-importancia-de-la-gramatica.html https://concepto.de/sintaxis/ https://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_aut%C3%B3matas https://es.slideshare.net/PedroRoman10/teoria-de-automatas-54289587 https://webs.ucm.es/info/pslogica/automatas.pdf https://es.wikipedia.org/wiki/Aut%C3%B3mata_con_pila https://es.wikipedia.org/wiki/Aut%C3%B3mata_linealmente_acotado https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A1quina_de_Turing https://es.wikipedia.org/wiki/Aut%C3%B3mata_(mec%C3%A1nico) https://www.goconqr.com/es/mindmap/3684210/aplicaciones-automatas http://tecbolivia.com/index.php/articulos-y-tutoriales-microcontroladores/13-introduccion-a-lasmaquinas-de-estado-finito https://www.monografias.com/trabajos16/automatas-y-gramaticas/automatas-y-gramaticas.shtml https://www.matesfacil.com/automatas-lenguajes/Maquina-Turing.html