4C Omvendt proporsjonalitet

Vennegjengen leier en hytte med 12 sengeplasser til én ukes vinterferie. Det koster 18 000 kr å leie hytta, og hytteleia skal deles på antall personer som blir med på turen.

Hvis tre blir med på turen, må hver betale 18000 3 kr 6000kr .

Hvis seks blir med på turen, må hver betale 18000 6 kr 3000kr .

Hvis tolv blir med på turen, må hver betale 18000 12

kr 1500kr . En dobling av antall personer som blir med på turen, fører til en halvering av beløpet hver enkelt må betale. Vi sier at beløpet hver enkelt må betale, er omvendt proporsjonalt med antall deltakere på turen. Lar vi y kr være det beløpet hver enkelt må betale når x personer deltar på turen, får vi: 12000 x

Når y og x er omvendt proporsjonale, kan vi skrive y

y der k er et fast tall. Vurderingseksemplar k x

E K S E M P E L 1 0 Elevrådet planlegger skolefest. De leier et lokale som maksimalt kan ta 100 personer. Det koster 5000 kr å leie lokalet. Hva er leia per elev hvis det deltar 40 elever? Vil leia per elev og antall elever være omvendt proporsjonale størrelser?

Leia per elev = leiebeløpet antallelever 5000 40 125

Hvis det deltar 40 elever, er leia per elev 125 kr.

Vi lar y kr være leia per elev hvis det deltar x elever. Det gir

5000

y Leia per elev og antall elever er altså omvendt proporsjonale størrelser. Leia per elev for å dekke leieprisen for lokalet i eksemplet ovenfor er gitt ved formelen y x 5000 . Nedenfor ser du grafen til denne formelen. y kr 500 400 300 200 100 x antall elever 10 20 30 40 50 60 70 Hvis 50 elever deltar, ser du av grafen at leia blir 100 kr per elev. Hvis vi multipliserer begge sider i formelen y

x Vurderingseksemplar 5000 med x, får vi x y⋅ = 5000.

Produktet av x og y er altså konstant.

I eksemplet med elevrådet som skulle arrangere fest, er konstanten lik leiebeløpet. x

Når to størrelser x og y varierer slik at produktet x y holder seg konstant, er x og y omvendt proporsjonale størrelser.

S N A K K

Hvilke situasjoner fra dagliglivet er eksempler på omvendt proporsjonalitet? Kan du finne tre eksempler?

4.38

Sidrah betaler 450 kr for et månedskort på bussen. a En måned kjører hun 20 turer. Hva blir prisen per tur? b Forklar hvorfor prisen per tur er omvendt proporsjonal med antall turer.

4.39

Maria betaler 460 kr for et dagskort i en alpinbakke. Da kan hun kjøre så mange turer hun vil. Hvor mange turer må hun minst kjøre for at prisen per tur skal bli lavere enn 60 kr? 4.40 Ole Magnus har medlemskap i et treningsstudio. Tabellen viser hva prisen per trening, y kr, blir når han trener x ganger per måned. x (ganger) 4 6 9 12 y (kr) 135 90 60 45 Vurderingseksemplar a Bruk tabellen til å vise at y er omvendt proporsjonal med x. b Hva koster medlemskapet per måned?

500

400

300

200

100 y kr

x antall timer

4.41

Astrid klipper plenene i borettslaget. Hun får en fast sum hver gang hun klipper. Figuren viser hvordan timelønna, y kr, avhenger av antall timer, x, hun bruker på jobben.

Hvor mye tjener Astrid per gang?

R Ø D E O P P G AV E R

4.42

Noen venner spleiser på en gave til Silviu. Antall som spleiser 3 4 5 8 Gaven koster 1200 kr. a Skriv av og fyll ut tabellen. Pris per person i kr b Hvis x personer spleiser, må hver person betale K kroner. Finn en formel for K.

4.43

Vennegjengen skal leie hytte i sommerferien. Antall deltakere 3 6 Prisen per person er omvendt proporsjonal med antall deltakere. Skriv av tabellen. Gjør nødvendige utregninger og fyll inn de tallene som mangler.

4.44

Kjøper du månedskort på ByBussen, kan du kjøre så mange turer du vil. Magnus har satt opp tabellen til høyre som viser hva prisen per tur blir. Hva vil prisen per tur bli hvis Magnus en måned kjører 21 turer? Rund av svaret til nærmeste 50-øre.

4.45

Lorenzo tar på seg en jobb som han får 2100 kr for. a Finn en formel for timelønna K kr hvis han bruker t timer på jobben. b Lorenzo synes timelønna bør ligge i området 200−240 kr. Hvor lang tid kan han bruke på jobben?

4.46

Det er en sammenheng mellom tykkelsen på isolasjonen i vegger og varmetapet. For en type isolasjon viser tabellen sammenhengen mellom tykkelsen x cm av isolasjonen og det månedlige varmetapet y i kWh/måned. Er varmetapet omvendt proporsjonalt med tykkelsen av isolasjonen?

4.47

Fotballaget leier en hytte for 16 000 kr. La x være antall deltakere. To av deltakerne skal betale halvparten av hva de andre betaler. Hvis de andre betaler y kr, betaler altså hver av de to

B L Å O P P G AV E R

Pris per deltaker i kr 2000 1500 Antall turer 9 12 24 40 Pris per tur i kr 60 45 22,50 13,50Vurderingseksemplar x (cm) 15 20 25 30 y (kWh/måned) 260 195 156 130

Sett opp en formel for y uttrykt ved x. Er y og x omvendt proporsjonale? y 2 kr.