Evaluación Matemática II (PC)

MATEMÁTICA II

Duración

: 100 minutos

Práctica calificada Nº 3 2019-1

Instrucciones: Se permite el uso de calculadora, se prohíbe el uso de todo tipo de material de consulta. Todos los procedimientos se realizan en el cuadernillo cuadriculado. Únicamente está permitido el uso de lapicero azul o negro. Solo aquellos estudiantes que se queden hasta el final de la prueba, podrán retirarse con la hoja de preguntas.

1. Durante una clase de Matemática II, el profesor propuso la siguiente pregunta: "La utilidad de la empresa está representada por U (x; y; z) y siempre resultó positiva. Las variables x, y y z representan las cantidades de fabricación y venta de sus artículos A, B y C, respectivamente. Además, Ux = 100 − 6x + 4y, Uy = 380 + 4x − 10y, Uz = 242 − 2z 2. ¿Cuál será la naturaleza del punto crítico?"

Tres estudiantes del curso afirmaron lo siguiente: Iván: "No es posible afirmar nada acerca de la naturaleza del punto crítico, puesto que no se conoce la regla de correspondencia de U (x; y; z)".

Ana: "En el punto crítico, la utilidad alcanza un mínimo relativo, ya que Uxx es negativo".

Juan: "El punto crítico de la utilidad es un punto silla, puesto que el determinante de la matriz hessiana es negativa”. a. [3p] Analice sus respuestas y determine si alguno de ellos contestó correctamente. b. [2p] Con los datos del problema modele la matriz hessiana de la utilidad.

[CM] [MR]

1a) [3p] La afirmaciones son incorrectas.

Ivan (FALSO): Utilizando la matriz de Hesse, podemos reconocer la naturaleza del punto critico.

Ana (FALSO): Una de las condiciones que debe cumplirse, para que la utilidad sea mínima es Uxx sea positivo.

Juan (FALSO): Si el determinante de la matriz hessiana es negativa, no cumple la condición de ser un punto de silla.

2b) [2p] La matriz Hessiana se modela por:

⎡ −6 ⎢ 4 ⎣ 0

4 0 ⎤ −10 0 ⎥ −4z ⎦ 0

2. A continuación se presentan 6 reglas de correspondencias de funciones, de las cuales tres de ellas son funciones y las otras tres sus antiderivadas, no necesariamente en ese orden.

f (x) = 3x−4 q(x) = −4x−2 + 4Ln(x)

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g(x) = 4 − 6x−2 h(x) = 2 − x−3 p(x) = 4x−1 + 8x−3 r(x) = 4x + 6x−1 [2p] Agrupe en parejas a dichas funciones con sus respectivas antiderivadas. Justifique su [CM] respuesta.

[2p] Del listado de funciones se nota que: Una antiderivada de la función Una antiderivada de la función Una antiderivada de la función

f (x) = 3x−4 es la función h(x) = 2 − x−3 g(x) = 4 − 6x−2 es la función r(x) = 4x + 6x−1 p (x) = 4x−1 + 8x−3 es la función q(x) = −4x−2 + 4Ln(x)

3. JR S.R.L. es una dulcería dedicada a la producción y venta de mermeladas de manzana e higo.

La gerencia estima que los costos de producción de cada frasco de mermelada de manzana es de 4 soles y el de higo es de 6 soles; además las demandas mensuales (en miles de unidades) de la mermelada de manzana y higo vienen dadas por: qA = 78 − 6pA − 3pB y qB = 66 − 3pA − 6pB, respectivamente.

Donde pA y pB representan los precios unitarios de venta (en soles) de las mermeladas de manzana y higo, respectivamente. a. [2p] Modele la matriz hessiana de la utilidad, en función de los precios unitarios de venta. b. [2p] Calcule las demandas mensuales que maximizan dicha utilidad. Justifique su[MR] respuesta.

[EC] a) [2p] tenemos:

I (pA ; pB ) = (78 − 6pA − 3pB )pA + (66 − 3pA − 6pB )pB C (pA ; pB ) = 4(78 − 6pA − 3pB ) + 6(66 − 3pA − 6pB )luego la utilidad es U (pA ; pB ) = 120pA − 6pA pB − 6p2A + 114pB − 6p2B − 708 de donde ∂U ∂pA

= 120 − 6pB − 12pA

∂U ∂pB

= 114 − 12pB − 6pA

luego 120 − 6pB

− 12pA = 0 114 − 12pB − 6pA = 0 b) [2p] Luego de resolver el sistema de ecuaciones tenemos:

pA = 7 y pB = 6 Ahora por el criterio de la segunda derivada tenemos que −12 −6 luego H (x : y) = [ ] det(H (7, 6)) = 108y como fxx (7; 6) = −12 entonces U (7; 6) es un máximo −6 −12

relativo y como es el único punto crítico entonces es el máximo absoluto. por tanto se requieren producir 7000 frascos de mermelada de manzana y 6000 frascos de mermelada de higo.

4. Una fábrica de laptops tiene dos plantas de producción A y B. La gerencia ha determinado que el costo total de fabricación (en soles) está definido por:

C( 1;

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2)

=4

+

1 2

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+2

+ 800

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C (q1 ; q2 ) = 4q12 + q1 q2 + 2q22 + 800 Donde q1 y q2 son las cantidades producidas en las plantas A y B, respectivamente. a. [1p] Si la fábrica tuviera un pedido de 400 laptops, modele la función de Lagrange que permita obtener el costo mínimo.

[MR] b. [2p] A partir del ítem anterior (a), calcule las cantidades de laptops que se deben fabricar en cada planta de modo que el costo total sea mínimo. Justifique.

[EC] c. [2p] Suponga que para el próximo mes la empresa cuenta con 303 400 soles para afrontar los costos, ¿cuál será la máxima cantidad de laptops que la fábrica podría producir?

[EC] a) [1p]Tenemos que:

F (x, y, λ) = 4x2 + xy + 2y 2 + 800 + λ(x + y − 400) de donde

Fx = 8x + y + λ Fy = x + 4y + λ Fλ = x + y − 400 b) [2p] de

8x + y + λ = 0 x + 4y + λ = 0 x + y − 400 = 0 Resolviendo el sistema de ecuaciones

x = 120 , y = 280 y λ = −1240 Hallando la matriz Hessiana

⎡ 0 1 1⎤ H = ⎢ 1 8 1 ⎥ de donde det(H ) = −10 por lo tanto debe fabricar 120 y 280 latpos en la planta A y B ⎣ 1 1 4⎦ respectivamente.

c) [2p] El modelo que cumple es: L = ( x + y) + λ( 4x2 + xy + 2y 2 Ly = 1 + λ(x + 4y), Lλ 4x2 + xy + 2y 2 + 800 − 303400

+ 800)Luego:Lx = 1 + λ(8x + y),

x = 132, 55, y = 309, 29 La cantidad máximas para producir es aproximadamente 442 Laptops.

5. JH SRL es una compañía que elabora y exporta galletas de vainilla, chocolate y miel. Los precios por caja de cada tipo de galleta son x, y, z soles, respectivamente. El departamento de producción ha determinado que la utilidad total U , expresada en dólares, se define por:

U (x; y; z) = 1200 + 16y + 27x + xy − y 2 − 2x2 + 48z − z 3

a. [3p] Determine los precios de cada caja de galletas a fin de que la utilidad sea máxima.

Justifique su respuesta.

[EC] b. [1p] Calcule la utilidad máxima.

[EC] a) [3p] Hallando los puntos críticos

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∂U ∂x ∂U ∂y

= y − 4x + 27

∂U ∂z

= 48 − 3z 2 como z > 0 luego el único punto critico será:

= x − 2y + 16

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x = 10, y = 13 y z = 4.

Por el criterio de la segunda derivada

⎡ −4 1 H (x; y, z) = ⎢ 1 −2 ⎣ 0 0

0 ⎤ 0 ⎥ −6z ⎦

⎡ −4 1 −4 1 = fxx (10; 13; 4) = −4, H2 = det([ ]) = 7y H3 = det(⎢ 1 −2 1 −2 ⎣ 0 0 entonces U ( 10; 13; 4) es un máximo relativo.

Como H1

0 ⎤ 0 ⎥) = −148, −24 ⎦

b) [1p] Evaluando la Utilidad en el punto critico resulta

U (10; 13; 4) = 1460dolares

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