Evaluación Matemática II

MATEMÁTICA II - FC

Duración

PRÁCTICA CALIFICADA Nº3 2018-02

: 100 minutos

Instrucciones: Se permite el uso de calculadora, se prohíbe el uso de todo tipo de material de consulta. Todos los procedimientos se realizan en el cuadernillo cuadriculado. Únicamente está permitido el uso de lapicero azul o negro. Solo aquellos estudiantes que se queden hasta el final de la prueba, podrán retirarse con la hoja de preguntas.

1.

2x −10 representa a la matriz hessiana de la función de dos variables H ( x ; y) = [ ] f −10 3y (x; y). A partir de lo mencionado, dos estudiantes afirman lo siguiente: Esteban: "En un punto crítico la función f alcanza un máximo relativo, puesto que el determinante de la matriz Hessiana en dicho punto es positivo".

José: "Si el punto (5; 4) es el único punto crítico de la función f , entonces f alcanzará un máximo relativo, puesto que el determinante de la matriz hessiana es 20".

[3p] ¿Está de acuerdo con las afirmaciones de Esteban y José? Justifique.

[CM]

Esteban: Falso Si f alcanza un máximo debe cumplir H1 < 0 y H2 > 0 Ya que si H1 > 2 y H1 > 0 sería condición de f mínimo.

José: Falso

(5; 4) Entonces [ 10 −10 H1 = 10 > 0 H2 = 20 > 0 f alcanza un mínimo.

−10 ] 12

2. A continuación, se propone un problema de optimización de una función f de dos variables (x; y) sujeta a la restricción ϕ(x; y) = 0, con los siguientes datos: La función de Lagrange está definida por L = f + λϕ El determinante de la matriz hessiana orlada de L, es: Δ(λ; x; y) (−8; 2; 5) y (12; 9; 4) son puntos críticos de L.

= λ 2 − 4x y

Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones. Justifique su respuesta. a. [1p] (2; 5) es un mínimo relativo de f sujeto a la restricción ϕ(x; y) b. [1p] (12; 9; 4) es un punto de silla, puesto que Δ(12; 9; 4) = 0

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=0

[CM] [CM]

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a. Falso: Es un máximo relativo. b. Falso: El criterio no afirma nada.

λ

x

y

Δ = λ2 − 4 x y

-8 12

2 9

5 4

24 0

3. Una compañía fabricante de televisores plasma, tiene la siguiente función de producción:

P (L; K ) = 240L1/4K 3/4

Donde la variable P representa el número de unidades producidas con L unidades de mano de obra y K unidades de capital invertido. Si cada unidad de mano de obra le cuesta a la compañía 60 soles mientras que cada unidad de capital le cuesta 100 soles. a. [1p] Modele la función de Lagrange que permita minimizar la inversión de la compañía cuando la producción de televisores sea constante e igual a 7 200.

[MR] b. [2p] Si el fabricante solo cuenta con 10 800 soles, determine la matriz hessiana orlada que permita optimizar la producción.

[MR] 1

3

P = 240L 4 K 4 C = 60L + 100k 1

a.

3

L1 = 60L + 100K + λ(240L 4 K 4 − 7200) 1 3 b. L2 = 240L 4 K 4 + λ( 60L + 100K − 10800)

60 100 ⎡ 0 7 3 − −3 −1 H=⎢ ⎢ 60 −45L 4 K 4 45L 4 K 4 3 1 1 5 ⎣ 100 45L− 4 K − 4 −45L 4 K − 4 L2x = 60L + 100k − 10800 3

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

3

L2L = 60L− 4 K 4 + 60λ 1

1

L2K = 180L 4 K − 4 + 100λ

4. JR S.A. es una empresa se dedica a la comercialización de yogures de fresa y de durazno. El departamento de producción, estima que los costos por cada frasco de yogur son: 2 soles por frasco de fresa y 3 soles por el de durazno. Considere que qA y qB representan las demandas mensuales de los yogures de fresa y durazno respectivamente, cada uno a los siguientes precios unitarios: pA = 10 − 0, 002qA + 0, 001qB y pB = 13 + 0, 001qA − 0, 004qB, respectivamente. a. [2p] Modele las condiciones que permitan calcular las cantidades que maximizan la función de utilidad de la empresa.

[MR] b. [3p] Calcule los precios que maximizan la utilidad de la empresa. Justifique su respuesta e indique el método usado.

[EC] qA : # de yogures de fresas qB : # de yogures de duraznos U = PA qA + PB qB − C uA qA − C uB qB

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U = (8 − 0, 002qA + 0, 001qB )qA + (10 + 0, 001qA − 0, 004qB )qB Condición punto crítico

Uq = 0 { A U qB = 0 8 − 0, 004qA + 0, 002qB = 0 { 10 + 0, 002qA − 0, 008qB = 0 qA = 3 000 qB = 2 000 PA = 10 − 0, 002(3 000) + 0, 001(2000)) = 6 PB = 13 + 0, 001(3 000) − 0, 004(2 000) = 8

qA

qB

3 000

2000

U 4 ∗ 3 000 + 5 ∗ 2 000 = 22 000

H1

H2

(−1 )

(+)

−0, 004 0, 002 [ ] 0, 002 −0, 008 Máx U = 22 000 soles

5. FINNE S.A es una empresa que fabrica y vende 2 tipos de escritorios A y B. La utilidad de la empresa está dada por:

U (x; y) = 120x − 2x2 + 180y − y 2 + xy − 300 Donde x e y representan las cantidades de escritorios del tipo A y B respectivamente. a. [2p] Calcule la máxima utilidad de la empresa. Justifique su respuesta.

[EC] b. [2p] Suponiendo que los costos unitarios de producción de los escritorios del tipo A y B son 80 y 120 soles, respectivamente; la empresa ha dispuesto S/ 6 400 soles para la producción diaria. Calcule los valores de x e y que maximicen la función utilidad. Justifique su respuesta.

[EC]

x: # de escritorio tipo A y: # de escritorio tipo B U = 120x − 2x2 + 180y − y 2 + xy − 300 (**)

x = 60 U x = 120 − 4x + y = 0 } U y = 180 − 2y + x = 0 y = 120

x 60

y

120

U 14 100

H1 -

H2 +

−4 1 = −4 H=[ ] H1 1 −2 H2 = +7 U máx. = 14 100 soles (*)

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Costo: Cost:

80x + 120y = 6 400 L = 120x − 2x2 + 180y − y 2 + xy − 300 + λ(80x + 120y − 6 400) Lλ Lx Ly

= 80x + 120y − 6 400 = 0 ⎪ ⎫ x = 20 = 120 − 4x + y + 80λ = 0 ⎬ y = 40 ⎭ ⎪ = 180 − 2y + x + 120λ = 0 λ = −1

x 20

y 40

λ −1

U 7 700 (Máx)

80 120 ⎤ ⎡ 0 ¯¯¯¯¯ ) = 89 600 H̄ H̄ H = ⎢ 80 −4 1 ⎥ = det(H ⎣ 120 1 −2 ⎦ ¯¯¯¯¯

6. JR&JC es una compañía que se dedica a la comercialización de blusas, polos y casacas para damas, cuyas cantidades producidas (en cientos de unidades) son x, y y z, respectivamente. El Departamento de Finanzas ha estimado que la utilidad total U está definida por:

U (x; y; z) = 140x + 200y + 300z − 3x2 − 5y 2 − z 3 + 4xy [3p] Calcule la cantidad de blusas, polos y casacas que la compañía debe producir y vender para obtener la máxima utilidad. Justifique su respuesta.

[EC]

x: # de cientos de blusas y: # de cientos de polos z: # de cientos de casacas U = 140x + 200y + 300z − 3x2 − 5y 2 − z 3 + 4xy Ux = 140 − 6x + 4y = 0 x = 50 } Uy = 200 − 10y + 4x = 0 y = 40 U z = 300 − 3z 2 = 0 → z = −10 o z = 10

x 50

y 40

z 10

U 0 , 500

H1

H2

-

+

4 0 ⎤ ⎡ −6 ⎡ −6 = H = ⎢ 4 −10 H ( 50 , 40 , 10 ) ⎥ ⎢ 4 0 ⎣ 0 ⎦ ⎣ 0 0 −6z H1 = −6 H2 = +44 H3 = −60(44) = −2640

H3 -

4 0 ⎤ −10 0 ⎥ −6z ⎦ 0

U máx =9 500 Respuesta:

x = 50 cientos de blusas = 5 000 blusas. x = 40 cientos de polos = 4 000 polos. x = 10 cientos de casacas = 1 000 casacas.

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