Resolução da lista 1 quadriláteros

LISTA 1 - QUADRILÁTEROS 1) Nomeamos o paralelogramo de ABCD, onde: Aˆ  12x – 25º

Figura auxiliar

Bˆ  y Cˆ  7x + 32

Dˆ  y

Para o cálculo de x utilizamos a propriedade que diz: Em um paralelogramo os ângulos opostos são congruentes → Aˆ  Cˆ e Bˆ  Dˆ Fazendo Aˆ  Cˆ e substituindo, teremos: Cálculo de x 12x – 23 = 7x + 32 12x – 7x = 32 + 23 5x = 55 x=

55 → x = 11º 5

Cálculo do Aˆ

Aˆ  Cˆ → Aˆ  Cˆ  109º

Aˆ  12x – 23º

Aˆ  12. 11 – 23 Aˆ  132 – 23

Aˆ  132 – 23 Aˆ  109º

Para o cálculo de y utilizamos a propriedade que diz: Em um paralelogramo a soma dos ângulos adjacentes é igual a 180º, logo: Aˆ  Cˆ  180º .

Calculo de y

Calculo de Bˆ e Dˆ

Aˆ  Bˆ  180º

Bˆ  Dˆ → Bˆ  Dˆ = 71º

109º  y  180º y = 180 -109 y = 71º

R: Os ângulos são 71º, 71º, 109º e 109º.

PROFESSOR: LIMA

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LISTA 1 - QUADRILÁTEROS 2) Nomeamos um lado de x e o outro de y.

Figura auxiliar → Perímetro (2p) é a soma de todos os lados → 2p = 45,2 cm, logo: 2p = x + x + y + y = 45,2 2x + 2y = 45,2 2(x + y ) = 45,2 x+y=

45,2 → x + y = 22,6 cm → equação 1 2

Do enunciado temos: a diferença de dois ângulos consecutivos é igual a 11 → x – y = 11 → equação 2 Montamos um sistema com as duas equações encontradas, 1 e 2.

x + y = 22,6 x – y = 11

Resolvemos o sistema (método da adição)

x + y = 22,6

x + y = 22,6

x – y = 11

x – y = 11 2x

= 33,6 → x =

33,6 → x = 16,8 cm 2

Substituindo x em uma das equações do sistema, para encontrarmos o valor de y. x + y = 22,6 16,8 + y = 22,6 y = 22,6 – 16,8 y = 5,8 cm

R: Os lados medem 5,8 cm e 16,8cm

PROFESSOR: LIMA

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LISTA 1 - QUADRILÁTEROS 3) Plotamos os pontos P, S, Q e R no paralelogramo.

Figura auxiliar →

As diagonais de um paralelogramo se interceptam no ponto médio, ponto O, Assim: PQ  PO  OQ e SR  SO  OR

Cálculo de OR

SR  SO  OR , sendo que SO  OR e SR  17cm , efetuando as substituições, teremos:

SR  SO  OR 17  OR  OR

17  2 OR OR 

17  OR  8,5cm 2

Cálculo de PQ PQ  PO  OQ ,

sendo que

PO  OQ

e

OQ  11,5 cm ,

efetuando

as

substituições, teremos: PQ  PO  OQ PQ  OQ  OQ

PQ  2OQ PQ  2  11,5

PQ  23 cm

R: OR  8,5cm e PQ  23 cm

PROFESSOR: LIMA

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LISTA 1 - QUADRILÁTEROS 4) Nomeamos o paralelogramo de A, B, C e D. Um ângulo obtuso chamamos de x.

E um ângulo agudo de

1 . x 3

Para o cálculo de x utilizamos a propriedade que diz: Em um paralelogramo a soma dos ângulos adjacentes é igual a 180º, logo: Aˆ  Dˆ  180º .

1 Aˆ  Dˆ  180º , onde Aˆ  x e Dˆ   x , efetuando as substituições, teremos: 3 1 x   x  180º → multiplicando tudo por 3 3 1 3  x   3  x  180  3 3

3x 

3x  540 → simplificar 3 do numerador com o 3 do denominador 3

3x  x  540 4 x  540

x

540 4

x  135º , então:

Aˆ  x → Aˆ  135º

1 1 135 → Dˆ  45º Dˆ   x → Dˆ  135  3 3 3

R: Um ângulo agudo mede 45º e um ângulo obtuso mede 135º.

PROFESSOR: LIMA

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LISTA 1 - QUADRILÁTEROS 5) Nomeamos um lado de x e o outro de y.

Figura auxiliar → Perímetro (2p) é a soma de todos os lados → 2p = 48 cm, logo: 2p = x + x + y + y = 48 2x + 2y = 48 2(x + y ) = 48 x+y=

48 → x + y = 24 cm → equação 1 2

Do enunciado temos: a diferença de dois ângulos consecutivos é igual a 11 → x – y = 10 → equação 2 Montamos um sistema com as duas equações encontradas, 1 e 2.

x + y = 24 x – y = 10

Resolvemos o sistema (método da adição)

x + y = 24 x – y = 10 2x

= 34 → x =

34 → x = 17 cm 2

Substituindo x em uma das equações do sistema, para encontrarmos o valor de y. x + y = 24 17 + y = 24 y = 24 – 17 y = 7 cm

R: Os lados medem 17 cm e 7 cm

PROFESSOR: LIMA

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LISTA 1 - QUADRILÁTEROS 6) ABCD é um paralelogramo AB = 2x + 1, BC = 3x + 4, CD = y – 6 e AD = y + 1.

Calcular o perímetro desse quadrilátero.

Figura auxiliar → Perímetro (2p) é a soma de todos os lados → 2p = AB + BC + CD + AD , logo: 2p = (2x – 1) + (3x + 4) +(y – 6) +(y + 1) 2p = 2x - 1 + 3x + 4 + y – 6 + y + 1 2p = 5x + 2y Para calcularmos o perímetro do paralelogramo temos que encontrar x e y, logo: Para o cálculo de x e y utilizamos a propriedade que diz: Em um paralelogramo os lados opostos são congruentes → AB  CD e BC  AD Efetuando as substituições teremos: AB  CD → 2x + 1 =y – 6 → 2x – y = - 6 – 1 → 2x – y = - 7 → equação 1.

BC  AD → 3x + 4 = y + 1 → 3x – y = 1 – 4 → 3x – y = - 3 → equação 2.

Montamos um sistema com as duas equações encontradas, 1 e 2.

2x – y = - 7 3x – y = - 3

Resolvemos o sistema (método da adição) 2x – y = - 7 → multiplicando por . (-1) 3x – y = 11

- 2x + y = + 7 3x – y = - 3 x

= 4

Substituindo x em uma das equações do sistema, para encontrarmos o valor de y 2x - y = - 7 → 2 . 4 - y = - 7 → 8 - y = - 7 → y = 8 + 7 → y = 15 Calculo do perímetro 2p = 5x + 2y → substituindo os valores de x e y, teremos: 2p = 5 . 4 + 2 . 15 → 2p = 20 + 30 → 2p = 50

R: O perímetro mede 50.

PROFESSOR: LIMA

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LISTA 1 - QUADRILÁTEROS 7) ABCD é um paralelogramo com diagonais AC e BD .

AC e BD se interceptam em M. Temos: AM = 2x + 1, CM = 3y, BM = 4x – 1 e DM = 5y + 2.

Para o cálculo de AC e BD utilizamos a propriedade que diz: As diagonais de um paralelogramo se interceptam no ponto médio, ponto M, Assim: AC  AM  CM , onde AM  CM

BD  BM  DM , onde BM  DM Efetuando as substituições teremos: AM  CM → 2x + 1 = 3y → 2x – 3y = – 1 → equação 1.

BM  DM → 4x - 1 = 5y + 2 → 4x – 5y = 3 → equação 2.

Montamos um sistema com as duas equações encontradas, 1 e 2.

2x – 3y = - 1 4x – 5y = + 3

Resolvemos o sistema (método da adição) 2x – 3y = - 1 → multiplicando por . (- 5)

-10x + 15y = + 5

4x – 5y = + 3 → multiplicando por . (3)

12x – 15y = + 9 2x = 14 → x =

14 →x=7 2

Substituindo x em uma das equações do sistema, para encontrarmos o valor de y 2x - 3y = - 1 → 2 . 7 - 3y = - 1 → 14 - 3y = - 1 → 3y = 14 + 1 → 3y = 15 → y=

15 →y=5 3

Calculo da diagonais AC  AM  CM AC  2x + 1 + 3y → substituindo os valores de x e y, teremos: AC  2 . 7 + 1 + 3 . 5 → AC  14 + 1 + 15 → AC  30 PROFESSOR: LIMA

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LISTA 1 - QUADRILÁTEROS BD  BM  DM

BD  4x - 1 + 5y + 2 → substituindo os valores de x e y, teremos: BD  4 . 7 - 1 + 5 . 5 + 2 → BD  28 - 1 + 25 + 2 → BD  54

R: A diagonal AC mede 30 e a diagonal BD mede 54.

8) 2p = 64 cm

Perímetro (2p) é a soma de todos os lados → 2p = AB + BC + CD + AD , logo: 2p = (x + 7) + x + (x + 7) + x 64 = x + 7 + x + x + 7 + x 64 = 4x + 14 → 4x = 64 -14 → 4x = 50 → x =

50 → x = 12,5 cm 4

64 = 4x + 14 → 4x = 64 -14 → 4x = 50 → x =

50 → x = 12,5 cm 4

BC  AD → BC  AD = x = 12,5 cm

AB  CD → AB  CD = x + 7 = 12,5 + 7 = 19,5 cm

R: Os lados medem 12,5 cm e 19,5 cm.

9) Um lado chamaremos de x O outro lado excede o lado x em 6,5, isto é, chamaremos de x + 6,5 a) Calcule as medidas dos lados.

PROFESSOR: LIMA

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LISTA 1 - QUADRILÁTEROS Sabemos que a razão de um lado para o outro é de

7 , temos: 20

x 7 → multiplicando cruzado, teremos:  x  6,5 20

20 . x = 7 . (x + 6,5) → aplicando a distributiva no segundo termo 20x = 7x + 45,5 → 20x – 7x = 45,5 → 13x = 45,5 → x =

45,5 → x = 3,5 cm 13

Em um retângulo os lados opostos são congruentes, logo: AB  CD = x + 6,5 = 3,5 + 6,5 = 10 cm → AB  CD = 10 cm BC  AD = x = 3,5 → BC  AD = 3,5 cm

R: Os lados medem AB  CD = 10 cm e BC  AD = 3,5 cm.

b) Determine o perímetro do retângulo.

Perímetro (2p) é a soma de todos os lados → 2p = AB + BC + CD + AD , logo: 2p = 10 + 3,5 + 10 + 3,5 → 2p = 27 cm

R: O perímetro é 27 cm.

10) Chamaremos aos ângulos formados pelas diagonais x e y.

As diagonais de um retângulo se interceptam no ponto médio e são iguais, então:

O triângulo MDC é isósceles → PROFESSOR: LIMA

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LISTA 1 - QUADRILÁTEROS Em um triângulo isósceles os ângulos da base são congruente, logo:

Dˆ = Cˆ → Dˆ = 23º

Calculo de x Em todo triângulo a soma dos ângulos internos é 180º, logo:

Mˆ + Cˆ + Dˆ = 180º x + 23 + 23 = 180 → x + 46 = 180 → x = 180 – 46 → x = 134º

Calculo de y x + y = 180º → são suplementares, efetuando a substituição de x, teremos: 134 + y = 180 → y = 180 – 134 → y = 46º

R: Os ângulos formados pelas diagonais são 134º e 46º.

11) Chamaremos aos lados do retângulo de x e y, lembrando que os lados opostos, de um retângulo são congruentes, logo: AB  CD = y e BC  AD = x

O perímetro (2p) é a soma de todos os lados → 2p = AB + BC + CD + AD , logo: 2p = y + x + y + x → 192 = 2y + 2x → 192 = 2 (x + y) → x + y =

192 → 2

x + y = 96 Como as medidas dos lados estão na razão 3 para 5 e o perímetro mede 192 cm, montamos um sistema de duas equações e duas incógnitas, assim temos: Montamos um sistema com as duas equações encontradas, 1 e 2.

PROFESSOR: LIMA

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LISTA 1 - QUADRILÁTEROS x 3  → 5x = 3y → 5x – 3y = 0 y 5

x + y = 96

Resolvemos o sistema (método da adição) 5x – 3y = 0

5x – 3y = 0

x + y = 96→ multiplicando por . (3)

3x + 3y = 288 8x = 288 → x =

288 → x = 36 8

Substituindo x em uma das equações do sistema, para encontrarmos o valor de y 5x - 3y = 0 → 5 . 36 - 3y = 0 → 180 - 3y = 0 → 3y = 180 → y =

180 → y = 60 3

R: Os lados medem 36 cm e 60 cm.

Os exercícios 12 e 13 são para você fazer.

12) Num retângulo, uma diagonal forma com um dos lados um ângulo de 52º.

Calcular a medida de um dos ângulos obtusos formados pelas diagonais.

R: Um dos ângulos obtusos formados pelas diagonais mede 104º.

13) Num retângulo a medida de um lado excede a medida de um outro em 9 cm, e a 4 razão da medida de um lado para a do outro é . Calcular a área desse 7 quadrilátero. (lembrete: área do retângulo é base x altura) R: A área do retângulo é de 252 cm 2

PROFESSOR: LIMA

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