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Matrizes

Definição Mat Fis

Qui

7

5

6

Maria 9

4

5

João

Denomina-se matriz m x n a uma tabela formada por m . n elementos dispostos em m LINHAS e n COLUNAS.

7 5 6  A =  9 4 5

PROF.: LIMA


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Notação

Dada uma matriz A denotaremos cada elemento da matriz A por aij onde i é o número da linha e j é o número da coluna desse elemento.

A=

Observação: As linhas são numeradas de cima para baixo e as colunas da esquerda para a direita. PROF.: LIMA


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Representação de Matrizes

A representação de matrizes é feita de três formas diferentes:

PROF.: LIMA


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Tipos de Matrizes

Matriz Linha Toda matriz que possui só uma linha.

A = (1

3

7)

Matriz Coluna É formada por uma única coluna.

PROF.: LIMA


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Tipos de Matrizes

Matriz Nula Possui todos os elementos iguais a zero.

0 0 0  0=  0 0 0  Matriz Quadrada Possui todos os elementos iguais a zero.

 2 − 1   4 0 

PROF.: LIMA


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Tipos de Matrizes

Diagonal Principal Diagonal de uma matriz quadrada formada pelos elementos aij, sendo i = j.

Diagonal Secundรกria Diagonal de uma matriz quadrada formada pelos elementos aij, sendo i + j = n + 1. PROF.: LIMA


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Tipos de Matrizes

Matriz Diagonal É a matriz quadrada na qual todos os elementos que não pertencem a diagonal principal são iguais a zero.

Toda matriz quadrada nula é matriz diagonal PROF.: LIMA


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Tipos de Matrizes

Matriz Identidade ou Matriz Unidade É a matriz quadrada em que os elementos da diagonal principal são todos iguais a 1 e os demais elementos são iguais a zero.

Obs: A matriz identidade é o elemento neutro da multiplicação ou seja: A . I = I . A = A PROF.: LIMA


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Tipos de Matrizes

Matriz Oposta ( - A) É matriz obtida invertendo-se o sinal de cada elemento de uma matriz dada.

PROF.: LIMA


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Tipos de Matrizes

Matriz Transposta Dada uma matriz A do tipo m x n chama-se transposta de A, a matriz At obtida a partir de A, onde as linhas de A serão as colunas de At e vice-versa

5 3 4 A=  1 0 2

5 1    t A = 3 0 4 2

Observe que A é uma matriz do tipo 2 x 3, enquanto que At é do tipo 3 x 2. Observe também que todo elemento aij de A será o elemento aji de At . PROF.: LIMA


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Operações com Matrizes

Igualdade de Matrizes Dadas duas matrizes A e B do mesmo tipo, dizemos que A = B se e somente se os seus elementos são respectivamente iguais.

A = B <=> aij = bij

PROF.: LIMA


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Operações com Matrizes

Adição Para adicionarmos duas matrizes A e B basta que elas sejam do mesmo tipo. Isto é, elas devem ter o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas. Define-se a adição A + B = C como sendo formada pelos elementos aij + bij = cij

PROF.: LIMA


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Operações com Matrizes

Subtração Para subtrairmos duas matrizes A e B basta que elas sejam do mesmo tipo. Isto é, elas devem ter o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas. Define-se a subtração A - B = C como sendo formada pelos elementos aij - bij = cij

PROF.: LIMA


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Operações com Matrizes

Multiplicação Dada duas matrizes A do tipo m x n e B do tipo n x p, chama-se produto da matriz A pela matriz B que se indica C = A . B a matriz m x p definida por Cij = ai1 . b1j + ai2 . b2j + ai3 . b3j + ... + ain . bnj Observações: 1. O produto de duas matrizes existe se e somente se o número de colunas da matriz A for igual ao número de linhas da matriz B.

2. Se as matrizes A e B são do tipo m x n e n x p respectivamente, LIMA então o produto C = A . B existe e é umaPROF.: matriz do tipo m x p.


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Operações com Matrizes

Multiplicação

PROF.: LIMA


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Operações com Matrizes

Multiplicação (continuação)

PROF.: LIMA


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Operações com Matrizes

Multiplicação (outra explicação)

PROF.: LIMA


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Lei de formação de uma matriz

PROF.: LIMA


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Lei de formação de uma matriz

PROF.: LIMA


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Lei de formação de uma matriz

PROF.: LIMA


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Lei de formação de uma matriz

Após efetuar a multiplicação sua matriz terá o número de linhas da primeira matriz e o número de colunas da segunda. No caso de duas matrizes quadradas, o resultado também será uma matriz quadrada.

PROF.: LIMA


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Lei de formação de uma matriz

Dada a matriz A = (aij) 3x2 e B = (bij) 2x2 efetue o produto A x B.

2  A = 1  4

3 3  0 e B =  2  5 

2.3 +3.2 C = A.B =  1 . 3 + 0 . 2   4.3 +5.2

1 4  2.1 +3.4 12 3 1.1 +0.4  =   4.1 +5.4   22 PROF.: LIMA

14  1  24 


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Observações

 O produto de duas matrizes não é comutativo, mas há casos em que A . B = B . A e quando isso acontece dizemos que A e B se comutam.

 Quando A . B for diferente de B . A temos que (A + B)2 = A2 + A . B + B . A + B2

 Quando A e B se comutam temos (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 PROF.: LIMA


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Lei de formação de uma matriz

Dada a matriz A = (aij) 3x2 tal que:

 a11 A= a21

a12 a22

aij = i − 2 j se i = j  bij = 3i + j se i ≠ j

a13   a23 

1 − 2.1 3.1 + 2 3.1 + 3 − 1 5 6 A= =   3.2 + 1 2 − 2.2 3.2 + 3  7 − 2 9 PROF.: LIMA


Matrizes Quantas matrizes existem de ordem 2 com elementos de números naturais tais que:

Exercício Resolvido

6 5 X +X =  5 8 t

Solução:

a b  a c  t Chamaremos de X =  eX =   c d  b d   a b   a c   6 5 Substituíndo temos  + =     c d   b d  5 8  2 a b + c   6 5 b + c 2d  = 5 8    

PROF.: LIMA


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Operações com matrizes

Produto de número por uma Matriz O produto de um número por uma matriz m x n resulta uma matriz m x n formada pelos produtos do número dado por cada um dos elementos da matriz dada.

=

= PROF.: LIMA


Matrizes Matriz Inversa (A-1) Seja A uma matriz quadrada. Dizemos que A é matriz inversível se existir uma matriz B tal que A . B = B . A = I.

−1

A. A = I n Dada a matriz A = elas são inversas.

e matriz B =

, verifique se

. Multiplicar as duas matrizes se o produto encontrado for uma matriz identidade de ordem dois, elas serão inversas entre si. PROF.: LIMA


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