STORIA DI UN LOGO: LA SEZIONE AUREA

STORIA DI UN LOGO: LA SEZIONE AUREA Rosario Martella

«La geometria ha due grandi tesori: uno è il teorema di Pitagora; l’altro è la sezione aurea di un segmento. Il primo possiamo paragonarlo a un oggetto d’oro; il secondo possiamo definirlo un prezioso gioiello».

(Giovanni Keplero)

Accostare la Matematica alla bellezza non è semplice ed è ancora più difficile ricercare la bellezza nella Matematica: nelle formule, nei numeri, nelle dimostrazioni di teoremi. Chi si avvicina al mondo della Matematica, scopre, invece, quanto di bello ci sia in questo mondo, quanta eleganza in una dimostrazione di un teorema, quanta bellezza in un numero, quanto fascino in una formula o in un’equazione. Il senso di bellezza non è immediato e spesso il lettore non lo coglie, come accade ammirando un’opera d’arte, ascoltando la musica, contemplando la bellezza della natura, in tutte le sue forme. Quella della matematica è una bellezza “fioca”, velata dall’ordinata, sintetica e rigorosa pulizia formale del suo linguaggio.

Un esempio di ricercata bellezza nella matematica è rappresentato dal Numero Aureo o Numero Divino, che la nostra associazione ha scelto per rappresentarsi attraverso il suo logo.

Queste mie riflessioni vogliono essere una guida per un breve “viaggio” nel mondo del Numero Aureo, scoprirne la bellezza e riuscire ad apprezzarla. Una bellezza che ha trovato conferma nella scienza e nell’arte di tutte le epoche, nella morfologia di animali e di piante, nella formazione di figure geometriche (poligoni, rettangoli e poligoni regolari), che si manifestano in costruzioni di vario tipo, in mosaici e giochi.

Il Numero Aureo si rappresenta con la lettera greca ɸ (phi) ɸ = (1+√ 5) /2 = 1,6180339887, è un numero irrazionale e “abita” in un territorio fatto di relazioni e proprietà numeriche, ma anche di inattese connessioni tra la natura e le creazioni dell’uomo.

La Natura sembra concedere a ɸ un ruolo speciale. Pensiamo alla spirale disegnata dalle conchiglie di certi molluschi, ai bracci della galassia che ci accoglie (la Via Lattea), ad un girasole, all’eleganza senza pari della disposizione dei petali di una rosa, alle spirali che si formano su di un broccolo romano (espressione dei termini della successione di Fibonacci, un altro concetto matematico legato al numero ɸ), alla forma dei cristalli di Pirite che assumono forme dodecaidriche perfette.

Il numero ɸ è un numero irrazionale, nel senso che non può essere espresso come quoziente di due numeri naturali, primi tra loro. Secondo i pitagorici, ogni numero può esprimersi come rapporto di due interi. Fu Ippaso di Metaponto che, 2500 anni fa, pur essendo allievo di Pitagora, pensò che √2 non si potesse esprimere come rapporto tra due interi. Gli fu intimato di non dirlo, ma così non fu, e questo segnò la fine del gruppo dei pitagorici.

Dal punto di vista geometrico, una grandezza irrazionale, ad esempio, è la semplice diagonale di un quadrato di lato unitario, ossia √2.

Il Numero Aureo fu scoperto da Euclide, intorno al 300 a.C. La storia di tale numero è documentata in uno dei suoi libri più celebri: Elementi di Geometria (composto da XIII libri), uno dei testi più commentati e ristampati della storia, tradotto in più lingue ed utilizzato, fino ad alcuni decenni fa, come libro di geometria per l’insegnamento nelle classi medie.

Il simbolo ɸ venne attribuito al Numero Aureo in epoca assai posteriore, all’inizio del XX secolo, quando il matematico nordamericano Mark Barr propose di legare il numero a Fidia, l’artista che sovrintese alla costruzione del Partenone di Atene, prendendone così l’iniziale del nome.

IL CALCOLO DEL NUMERO ɸ Il calcolo del Numero Aureo inizia dalla seguente formulazione di Euclide: “Il tutto sta alla parte come la parte sta al rimanente” (Elementi di Geometria, VI libro) x :1 = 1: (x-1) x-1

1

A

B

x Per la proprietà fondamentale delle proporzioni, il prodotto dei medi è uguale a quello degli estremi → x2 – x – 1 = 0. La soluzione positiva dell’equazione è proprio la relazione che stiamo cercando e che chiamiamo ɸ ɸ = (1+√5) / 2 ≈ 1,618.

Per individuare il punto S (fig 2) possiamo considerare un triangolo rettangolo, del quale x sia la base ed x/2 l’altezza

(fig. 1)

Prendendo come centro C e raggio CB, tracciamo un arco di circonferenza che interseca AC in S’.

Con centro in A e raggio AS’, tracciamo un altro arco di circonferenza che incontri AB nel punto S. Questo punto S, tale che AS = 1 = AC – CS’ = AC – CB = AC - (x/2), è il punto che cercavamo.

(fig. 2) Per avere il Numero Aureo, deve essere verificata la seguente proporzione: AB : AS = AS : SB Sostituendo i valori corrispondenti, otteniamo: x : 1 = 1 : (x - 1)

c.v.d.

LE PROPRIETÀ DEL NUMERO AUREO: 1) Essendo ɸ soluzione dell’equazione x2 – x – 1 = 0 → ɸ2 - ɸ - 1 = 0→ ɸ2 = ɸ + 1.

2) Moltiplicando ambo i membri per ɸ, otteniamo: ɸ3 = ɸ2 + ɸ ɸ4 = ɸ3 + ɸ2 ɸ5 = ɸ4 + ɸ3 -------------Quindi qualsiasi potenza di ɸ è la somma di due potenze precedenti che sono al primo membro.

3) Osserviamo che: ɸ3= ɸ2 + ɸ = ɸ + 1 + ɸ = 2ɸ + 1 ɸ4= ɸ3 +ɸ2=ɸ2+ɸ+ɸ+1=ɸ+1+ɸ+ɸ+1 quindi

ɸ4 = 3ɸ + 2 ɸ5 = 5ɸ + 3 ɸ6 = 8ɸ + 5 ɸ7 = 13ɸ+8 ɸ8 = 21ɸ+13 --------------

Notiamo che, per ottenere una qualsiasi potenza di ɸ, basta moltiplicare lo stesso Numero Aureo per un numero che sia la somma dei coefficienti delle potenze precedenti di ɸ e sommarvi un numero che è la somma dei rispettivi termini noti.

4) Calcoliamo 1/ɸ: ɸ2 = ɸ + 1 → ɸ2 - ɸ = 1 Dividiamo ambo i membri per ɸ: (ɸ2- ɸ) / ɸ = 1/ɸ → ɸ -1 = 1/ɸ 5) Immaginiamo di voler cercare il valore della successione indefinita di radici quadrate. Si nota che: ɸ = √1+√1+√1+√1+√1 +…..

IL RETTANGOLO AUREO In geometria, l’omologo del Numero Aureo è il Rettangolo Aureo, che si ottiene fissando un lato con x e l’altro con (1,6180339887 ∙ x), in modo che il rapporto tra il lato maggiore e quello minore sia pari a 1,6180339887.

Un esempio di “Rettangolo Aureo” è rappresentato dalle carte di credito.

Per costruire un Rettangolo Aureo si procede nel seguente modo: su un lato di un quadrato ABCD, consideriamo il punto medio M del lato AB. Con centro in M e raggio MC, tracciamo un arco di circonferenza che incontra il prolungamento di AB in E. Da E si traccia la perpendicolare ad AE e sia F l’intersezione con il prolungamento di DC.

Supponendo AB = 1 → AE = AM + ME =1/2 + ME, ove ME è uguale all’ipotenusa del triangolo rettangolo MBC. Per il teorema di Pitagora: ME2 = MC2 = MB2 + BC2= (1/2)2+ 12 = 5/4 ME =√ 5 / 2 → AE = 1/2 + ME = (1+√ 5) / 2 = ɸ La spirale logaritmica, che caratterizza il logo della nostra associazione, si costruisce nel seguente modo: si considera il rettangolo aureo costruito prima e da esso si sottrae un quadrato la cui lunghezza di un lato sia pari al lato minore del rettangolo; otteniamo così un secondo rettangolo aureo e così procedendo otterremo la figura seguente:

Tracciamo ora diversi archi di circonferenza con un raggio uguale al lato di ciascuno dei quadrati che abbiamo appena ottenuto e prendiamo come centro uno dei vertici di ciascuno di essi. Il disegno risultante sarà il seguente:

In realtà, la curva che abbiamo appena rappresentato non è esattamente una spirale, ma piuttosto una figura formata da archi di circonferenza uniti in modo artificiale; tuttavia si avvicina con una buona approssimazione ad una vera spirale logaritmica che è quella rappresentata qui di seguito:

LA SUCCESSIONE DI FIBONACCI In alcuni vegetali, la presenza del Numero Aureo è così impalpabile da rendere necessaria l’introduzione di un nuovo concetto matematico: la Successione di Fibonacci.

In questo modo, l’antico Numero Aureo, così geometrico, s’imparentò con alcune frazioni nate da una successione aritmetica. L’artefice di questa unione fu un grande matematico del medioevo, Fibonacci.

Il vero nome di Fibonacci è Leonardo Pisano (1170-1250); Fibonacci è un patronimico, che significa “figlio di Bonacci”.

Fibonacci fu autore di opere di geometria, algebra e teorie dei numeri; nel 1202 pubblicò il Liber abaci (Libro dell’abaco), nel quale descrive la sua successione: 1,1,2,3,5,8,13, 21,34,55,89,144,233, 377, 610, …..

In forma sintetica (per ricorrenza) la successione è definita dalla legge: a1 =1, a2 = 1, an = an-1 + an-2

con n > 2

dividendo ogni numero per il suo precedente ci si avvicina sempre di più a ɸ.

Una relazione fra la Successione di Fibonacci e il Numero Aureo è la seguente: ɸn = an ɸ + an-1

Il termine generale an della successione di Fibonacci, definito per ricorrenza, venne dimostrato nel 1843 dal matematico e astronomo francese Jacque Philippe Marie Binet (1786-1856): an = (1/√5) (-1) n+1 ɸ n + (1 / ɸ n) Se facciamo riferimento al girasole, si nota che i semi descrivono spirali concentriche in senso orario ed antiorario; se si contano le une e le altre, risultano due numeri apparentemente anonimi: 21 e 34 che abbiamo incontrato nella successione; se provassimo con girasoli di varie dimensioni troveremmo sempre una coppia di numeri della Successione di Fibonacci.

LA TERNA PITAGORICA, LA SUCCESSIONE DI FIBONACCI E IL NUMERO AUREO Una terna pitagorica è un insieme di tre numeri interi (a, b, c) che soddisfa la condizione: a2 = b2 + c2 ove b e c sono i cateti di un triangolo rettangolo ed a l’ipotenusa.

Vediamo come sia possibile trovare terne pitagoriche grazie alla successione di Fibonacci.

Scegliamo quattro termini consecutivi qualsiasi della suddetta successione come, ad esempio: 2,3,5 e 8.

1) Notiamo che il prodotto dei due estremi: 2۰8 = 16.

2) Il doppio del prodotto dei due centrali: 2۰(3۰5) = 30.

3) La somma dei quadrati dei due centrali 32 + 52 = 34.

E’ immediato notare che questi tre numeri (34,30,16) formano una terna pitagorica, infatti: 162 + 302 = 342 Questo risultato lo si ottiene qualsiasi siano i quattro termini consecutivi della successione di Fibonacci.

E’, per i matematici, una sorta di “Trinità”: Teorema di Pitagora, Successione di Fibonacci e Numero Aureo mirabilmente legate tra loro.

I POLIEDRI E IL NUMERO AUREO Un poliedro convesso è una figura solida nello spazio. Indicando con F il numero delle facce, con S il numero degli spigoli e V quello dei vertici risulta che: F+V=S+2 Un poliedro è regolare quando tutte le sue facce sono poligoni regolari uguali e in ogni vertice insiste lo stesso numero di spigoli. Ad esempio: F

S

V

Tetraedro

4

6

4

Cubo

6

12

8

Ottaedro

8

12

6

Dodecaedro

12

30

20

Icosaedro

20

30

12

Nella Grecia classica, ognuno di questi corpi veniva associato ad uno degli elementi naturali. Il cubo rappresentava la Terra; il tetraedro, il fuoco; l’ottaedro, l’aria; l’icosaedro, l’acqua e il dodecaedro era il simbolo del Cosmo, dell’Universo, preso nella sua totalità.

Non tutti i poliedri hanno la stessa relazione con ɸ. Quelli che più si avvicinano al Numero Aureo, sono il dodecaedro e il suo duale, l’icosaedro. Il numero ɸ appare nelle espressioni dell’area e del volume di entrambe i poliedri. Considerando spigoli che abbiano lunghezza 1, risulta che: AREA DEL DODECAEDRO = 15ɸ / (√3-ɸ) VOLUME DEL DODECAEDRO = 5ɸ2 / (6-2ɸ) VOLUME DELL’ICOSAEDRO = 5ɸ2 / 6

IL NUMERO AUREO: BELLEZZA E PERFEZIONE NELL’ARTE “Perché un oggetto sia considerato bello dal punto di vista della sua forma, deve avere tra la parte maggiore e quella minore lo stesso rapporto che passa tra la maggiore e il tutto” (Gustav Theodor Fechner, 1801-1887). Questa è esattamente la definizione del rapporto aureo.

L’influenza della sezione aurea e le sue varie manifestazioni si trovano già nella Grecia classica, ma la storia dei suoi rapporti con l’Arte comincia con il Rinascimento e con l’inizio di una rigorosa teorizzazione dell’atto creativo.

Il matematico Luca Pacioli (1455-1517), insieme a Leonardo da Vinci (1452-1519) fu il maggiore responsabile dell’ingresso del Numero Aureo nell’orbita della bellezza e dell’arte. Il suo libro De divina proportione (scritto alla fine del 1498) fissa le proporzioni che bisogna seguire per raggiungere la bellezza perfetta, esposta in forma di riflessioni sulla geometria, e rappresenta un’opera destinata ad influenzare i lavori di artisti, architetti, matematici e filosofi, che avrebbero scritto alcune tra le pagine più importanti della storia della cultura occidentale.

I disegni e i manoscritti di Leonardo da Vinci sono riuniti in dieci Codici (conservati in diversi musei europei), che rappresentano, per i matematici, una sorta di “Dieci Comandamenti” dell’Arte e della Scienza. L’uomo Ideale o Vitruviano (1490), proporzionato in base a ɸ, è attualmente conservato nella Galleria dell’Accademia di Venezia. Seguendo l’ideale rinascimentale, l’uomo Ideale o Vitruviano pone l’uomo al centro dell’Universo ed è icona di una forma mentis, che unisce sensibilità artistica e scientifica; mostra le proporzioni ideali del corpo umano, mettendolo in relazione con la geometria e inscrivendolo in un quadrato e in un cerchio. Il rapporto tra il lato del quadrato e il raggio del cerchio è aureo ed è proprio ɸ.

La figura segue le raccomandazioni del romano Vitruvio (Marcus Vitruvius Pollio), architetto del tempo di Giulio Cesare vissuto nel I secolo a.C. Vitruvio spiega le proporzioni della figura umana basandosi su criteri semplici. Sostiene che l’altezza è uguale all’apertura delle braccia e che un uomo sdraiato, allargando braccia e gambe, descrive un cerchio. Molti artisti hanno cercato di raffigurare in un’unica illustrazione queste tre forme: la figura umana, il quadrato e il cerchio, ma non sempre con buoni risultati. Leonardo, invece, trovò una soluzione originale ed elegante, basata sul fatto che il quadrato e la circonferenza avessero centri differenti.

I genitali sono il centro del quadrato, mentre l’ombelico è il centro della circonferenza.

In questo modo la geometria, grazie alla proporzione aurea, univa tecnica e bellezza.

Nel Rinascimento, lo sviluppo della prospettiva e la ricerca di una bellezza data dalle proporzioni ideali, fecero in modo che gli interessi di scienziati e artisti si sovrapponessero e la geometria diventò, così, una nuova regola anche per i pittori (“La prospettiva è briglia e timone della pittura”, Leonardo da Vinci).

E’ possibile osservare la presenza di figure auree, in particolare del rettangolo, negli elementi della composizione de L’ultima cena di Leonardo da Vinci.

Anche il ritratto de La Gioconda racchiude il fascino della sezione aurea: il volto di Monna Lisa si articola in una successione di vari rettangoli aurei.

La presenza di ɸ si osserva anche ne La nascita di Venere di Sandro Botticelli: il corpo della dea rispetta la proporzione aurea, generando un’immagine di commovente bellezza.

Scoprire le figure geometriche sottese a queste opere costituisce una seducente sfida per l’osservatore: la bellezza è ideale se il rapporto di proporzionalità è il Numero Aureo, ɸ.

Il Numero Aureo è antico e venerabile, ma non deve essere considerato un pezzo da museo o una qualsiasi anticaglia da chiudere nel baule dei ricordi; è un numero che ancora oggi si sviluppa in numerose manifestazioni, in modo sempre nuovo e imprevedibile, e che si congiunge perfettamente con i settori matematici oggi all’avanguardia.

Qui si conclude il nostro “viaggio”, con la speranza che sia stata più simile all’esperienza del viaggiatore, che si prende il tempo necessario per fermarsi quando il paesaggio lo merita, che a quella di un turista, cui interessa solo la destinazione.