SIMULACIÓN DE PROCESOS CONTINUOS.

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN SUPERIOR UNIVERSIDAD BICENTENARIA DE ARAGUA VICERRECTORADO ACADÉMICO DECANATO DE INVESTIGACIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA EN SISTEMAS CREATEC, TÁCHIRA – EXTENSIÓN ACADÉMICA SAN CRISTÓBAL

SIMULACIÓN DE PROCESOS CONTINUOS.

Autor:

Docente:

Yusbelis Pérez.

Porras, Z. Ángel, Y de J C.I – V: 30.841.084 Unidad Curricular: Modelaje y Simulación Sección: T1 Trimestre: VII

EDITORIAL FORYUL

San Cristóbal, Noviembre de 2023

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN SUPERIOR UNIVERSIDAD BICENTENARIA DE ARAGUA VICERRECTORADO ACADÉMICO DECANATO DE INVESTIGACIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA EN SISTEMAS CREATEC, TÁCHIRA – EXTENSIÓN ACADÉMICA SAN CRISTÓBAL

SIMULACIÓN DE PROCESOS CONTINUOS.

Autor:

Docente:

Yusbelis Pérez.

Porras, Z. Ángel, Y de J C.I – V: 30.841.084 Unidad Curricular: Modelaje y Simulación Sección: T1 Trimestre: VII

TITULO ORIGINAL. SIMULACIÓN DE PROCESOS CONTINUOS. © UNIVERSIDAD BICENTENARIA DE ARAGUA. ©, ESCUELA DE INGENIERÍA DE SISTEMAS. ©, ANGEL PORRAS. NÚMERO DE REGISTRO 4.778 – 33

San Cristóbal, Noviembre de 2023

EDITORIAL FORYUL

ÍNDICE.

CONTENIDO.

N° PÁGINA.

1) Introducción…………………………………………………………………...........1 2) Simulación de Procesos Continuos…............………………………………...2 3) Método Numérico de Euler………………..…………...………………………...2 4) Método Numérico de Runge – Kutta …..………………………………..……...5 5) Método Corrector – Predictor …………………..……………………………..…6 6) Método de Adams – Multon ………………………………….…………..……….7 7) Resolución de Problemas para Sistemas Continuos…..……………………7 8) Conclusiones……………………..…………………………………………...…….8 9) Referencias Bibliográficas……………………………………………………......9

INTRODUCCIÓN.

La Simulación de Procesos Continuos es un mecanismo que sirve de gran ayuda para saber cómo se comportará una variable con el pasar del tiempo, pues su valor no es constante, además de que varia con frecuencia, su forma de operar es mediante operaciones sistemáticas que rastrean de manera continua las ejecuciones del proceso junto con el valor correspondiente para cada instanciación.

Los resultados de la simulación son calculados a través de métodos numéricos especializados en hallar los valores, la mayoría de modelos empleados para ello son el Método Numérico de Euler, Método Numérico de Runge – Kutta, Método Corrector – Predictor, Método Adams – Multon, mediante ellos se calculan todo los resultado, por lo tanto, son utilizados para la resolución de problemas para sistemas continuos.

El método numérico de Euler se basa en resolver los problemas con ecuaciones diferenciales, realizando constantes iteración hasta encontrar la solución; mientras que el método numérico de Runge – Kuttan se encargada de aproximar la ecuación pasando por varias etapas hasta encontrar la solución, el método corrector – predictor trabaja de manera explícita e implícita, por su parte el método Adams – Multon interpola los valores obtenidos del método Runge – Kutta.

N° PÁG 1.

SIMULACiÓN DE PROCESOS CONTINUOS. Son utilizados en aquellos sistemas que poseen variables las cuales varían con el pasar del tiempo, es decir, sus valores cambian de manera constante, la simulación de estos se llevan a cabo por medio de ecuaciones diferenciales ordinarias o derivadas parciales, a su vez la solución a estas ecuaciones se consigue con una variedad de modelos matemáticos especializados en la resolución de dichos procedimientos.

MÉTODO NUMÉRICO DE EULER. Es una herramienta encargada de la resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden cuyo objetivo es encontrar la solución correspondiente a través de iteraciones constantes a partir de valores iníciales conocidos siguiendo con una variedad de pasos, el valor inicial se representa con X0, mientras que los pasos con h, de igual manera los valores respectivos a la solución son calculados por la función:

Donde f es la ecuación diferencial, mientras que Y es la solución de dicha ecuación; por otra parte el valor de Yk se obtiene con el valor de la iteración anterior de Yk-1

N° PÁG 2.

El método de Euler consiste en las divisiones del intervalo [to,to+a] en N partes iguales, quedando entonces:

Si ha esto se le aplica la propia definición de derivada, se transforma en:

Llegando así a la función principal.

Entonces, la proyección de este modelo matemático comienza con la participación del intervalo para luego hallar los valores de Y0, Y1, … Yk-1, esto con derivadas, para posteriormente calcular el restos de los valores necesarios de manera progresiva tomando como base los k anteriores.

N° PÁG 3.

MÉTODOS NUMÉRICOS DE RUNGE – KUTTA .

Son conocidos como métodos numéricos lineales donde se emplean todos los métodos hasta encontrar la solución, por lo que es necesario conocer todos los valores del paso anterior para poder seguir con el procedimiento.

Estos métodos se clasifican en: - Método de Runge – Kutta de Primer Orden.

- Método de Runge – Kutta de Segundo Orden.

- Método de Runge – Kutta de Tercer Orden.

- Método de Runge – Kutta de Cuarto Orden.

La primera aproximación sucede en el primer método por medio de: Luego, se obtiene la ecuación: Aproximando a K con la obtención de: Recurriendo a la Serie de Taylor para hallar la función principal.

N° PÁG 4.

MÉTODOS NUMÉRICOS DE RUNGE – KUTTA .

Quedando el método de segundo orden definido por:

Los pasos anteriores se reiteran para los métodos de orden superior, se tienen entonces:

Método de Tercer Orden:

Método de Cuarto Orden:

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MÉTODO PREDICTOR – CORRECTOR .

Se comprende de la combinación de un método explicito con uno implícito, en donde el primero predice una acción mediante una función definida la cual en base a los valores anteriores de la derivada permite anticipar los puntos extrapolares en la iteraciones futuras de la misma función, por otra parte el implícito la corrige, a través de un proceso de ajustación de la aproximación realizada por la predicción, logrando interpolar los valores correctos correspondientes a las iteraciones posteriores.

Fórmulas del Método Predictor:

Fórmulas del Método Corrector:

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MÉTODO DE ADAMS – MOULTON .

Es un método implícito cuyos valores iniciales son obtenidos con el método de Runge – Kutta, posteriormente se inician la aproximación de valores interpolizando los mismo de manera definida.

Luego, se sustituye un Polinomio en la ecuación, para luego integrarlo.

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS PARA SISTEMAS CONTINUOS. Mediante la implementación de los métodos numéricos se resuelven los problemas presentados en los sistemas continuos, estos modelan de manera dinámica el análisis de las variables en un tiempo continuo, además que presentan la información de manera gráfica junto con diagramas estructurados por bloqueas compuestos de las ecuaciones algebraicas correspondientes que plasman de manera exacta el comportamiento de la variable con el transcurrir de los eventos.

N° PÁG 7.

CONCLUSIÓN.

Para resolver problemas de simulación de procesos continuos se recurre a ciertas herramientas matemáticas expertas en el tema, algunas de estas técnicas son el Método Numérico de Euler, el Método Numérico de Runge – Kutta, el Método Predictor – Corrector, Método Adams – Multon, estos se encargan de encontrar la solución basándose en variables cuyos valores correspondiente cambian según el paso del tiempo.

El método numérico de Euler, consiste en realizar divisiones de intervalos en N partes iguales, trabajando de la mano con ecuaciones diferencias hasta llegar a la función principal, calculando los valores que sean necesarios para obtener la solución, por su parte, el método numérico de Runge – Kutta se fracciona en distintos niveles ordenados, pudiendo ser de primer, segundo, tercer y cuarto orden respectivamente, en donde se realizan inmensidad de aproximaciones hasta tener un resultado preciso.

Ahora bien, el método predictor – corrector se basa en distintas fórmulas que son explícitas e implícitas, su objetivo principal es predecir una función que posteriormente será corregida por medio de iteraciones en donde se interpola los valores específicos, mientras que el método Adams – Multon trabaja de la mano con el método de Runge – Kutta, pues este último le proporciona un valor inicial, el cual se procede a interpolar y aproximar para luego ser sustituido por un polinomio en la función.

N° PÁG 8.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS. Álvarez, L. (2010). Métodos Numéricos. Disponible en: https://matema.ujaen.es/jnavas/web_modelos/pdf_mmb08_09/metodos %20numericos.pdf Consultado: Noviembre 06, 2023.

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Pérez, L. (2014). Método Numérico de Runge – Kutta.

Disponible en: https://esimecuanalisisnumerico.wordpress.com/2014/05/06/metodonumerico-de-runge-kutta/ Consultado: Noviembre 06, 2023.

Sánchez, K. (2023). Método Numérico de Runge – Kutta.

Disponible en: https://www.mathstools.com/section/main/Metodos_de_Runge_Kutta? lang=es#google_vignette Consultado: Noviembre 06, 2023.

Vivas,

M.

(2014).

Método

de

Euler.

DisponibleN° PÁG en: 9.