UNIDAD 3 Funciones y gráficas 3.7 Operaciones con funciones 1 3.7 Operaciones con funciones OBJETIVOS Efectuar operaciones de suma, resta, producto y división de funciones. Obtener el dominio de la función resultante de una operación entre dos funciones. Calcular la función compuesta de dos funciones y obtener su dominio. Resolver problemas en los cuales se obtiene una función compuesta. Muchas funciones pueden ser obtenidas a partir de otras funciones, por ejemplo la función 3 ()6 hxxx es la resta de las funciones 3() fxx y ()6 gxx . Las operaciones más frecuentes entre funciones son: la suma fg , la resta fg , el producto fg y la división / fg . La definición de estas operaciones se presenta en la tabla siguiente Operaciones con funciones Para todos los valores de x, para los cuales ()fx y ()gx están definidas; se definen las operaciones entre ellas de la forma siguiente Suma: ()()()() fgxfxgx Diferencia: ()()()() fgxfxgx Producto: ()()()() fgxfxgx Cociente: () (),()0 () ffxxgx ggx El dominio de las funciones fg , fg y fg está formado por todos los números reales que se encuentran en la intersección de los dominios de las funciones f y g El dominio de la función / fg está formado por la intersección de los dominios de f y g, excepto aquellos números reales en donde ()0gx Ejemplo 1: Operaciones con funciones Si 2 ()24fxx y ()63gxx , calcule a. ()(3) fg b. ()(1) fg c. (3)f g Solución a. 2 ()(3)(3)(3)2(3)46(3)3141529 fgfg Otra forma en que se puede realizar el cálculo anterior consiste en obtener la suma en forma general y luego evaluarla para 3x 22 ()()()()2463267 fgxfxgxxxxx
UNIDAD 3 Funciones y gráficas 3.7 Operaciones con funciones 2 Entonces 2 ()(3)2(3)6(3)71818729 fg b. 232 ()()()()(24)(63)1262412 fgxfxgxxxxxx Entonces 32 ()(1)12(1)6(1)24(1)12126241218 fg c. 2() ()24 ()63 ffx x x ggxx Entonces: 2 2(3)4 (3)184142 6(3)3183213 f g Ejemplo 2: Operaciones con funciones Dadas las funciones ()3 4fxx x y () 4 x gx x , a. Calcule ()() fgx , ()() fgx , ()() fgx , ()f x g b. El dominio de ,, fgfgfg c. El dominio de f/g. Solución a. 233(4)(4) ()()48 44(4)(4)(4)(4) xxxx fgxxxxx xxxxxx 233(4)(4) ()()216 44(4)(4)(4)(4) xxxx fgxxxxx xxxxxx 2(3)() ()()3344(4)(4)(4)(4) xx fgxxxx xxxxxx ()()3(3)(4)3(4) 44(4)()4fgxxxxxx xxxxx b. Para calcular el dominio de las funciones resultantes primero debemos obtener el dominio de las funciones f y g. El dominio de f está formado por todos los números reales excepto 4x ya que hace cero el denominador es decir que Dominio de f : (,4)(4,) De forma similar se obtiene que el dominio de g es: (,4)(4,) El dominio de , y fgfgfg es la intersección de los dominios de f y g , es decir todos los números reales excepto 4x y 4x . En forma de intervalo (,4)(4,4)(4,)
c. El dominio de la función f/g es la intersección de los dominios de f y g excepto los números para los cuales ()0gx . Como ()0 4 x gx x cuando 0x , se tiene que el dominio de f/g son todos los números reales exceptuando 4x , 0x y 4x . En forma de intervalo (,4)(4,0)(0,4)(4,)
Composición de funciones La composición de funciones es otra operación entre funciones para obtener nuevas funciones a partir de dos funciones dadas. El proceso consiste en tomar los elementos del rango de una función como el dominio de otra función. La composición de funciones se define en el siguiente cuadro Composición de funciones
UNIDAD 3 Funciones y gráficas 3.7 Operaciones con funciones 3
Dadas dos funciones f y g, la función compuesta gf se define como ()()() gfxgfx El dominio de la función gf está formado por toda x en el dominio de f tal que su imagen ()fx esté en el dominio de la función g. Ejemplo 3: Composición de funciones Si 2 ()9fxx y ()4 gxx , calcule a. ()() fgx y calcule su dominio. b. ()() gfx y calcule su dominio. c. ()(6) fg , de dos formas. Método 1: evaluando (6)g y sustituyendo este resultado en ()fx , método 2: calculando (()fgx y luego sustituyendo 6x . d. ()(5) gf , por los dos métodos descritos en el inciso anterior. Solución a. Para calcular la función compuesta se tiene 2 ()()()4(4)9495 fgxfgx fxx xx El dominio de ésta función está formado por todos los valores de x en el dominio de la función g tales que ()gx está en dominio de f. El dominio de la función g se encuentra resolviendo la desigualdad 40 x 404 x x Por lo que el dominio de g es (,4]. El dominio de la función f se determina resolviendo la desigualdad 2 90x , que tiene como solución (,3][3,) El dominio de la función compuesta está formado entonces por todos los números en (,4] tales que ()4 gxx está en (,3][3,) . Como 4 x es siempre mayor o igual a cero, es necesario obtener los valores de x tales que 43 x y que estén en el intervalo (,4]. Resolviendo la desigualdad se tiene
UNIDAD 3 Funciones y gráficas 3.7 Operaciones con funciones 4 43 49 5 5 x x x x Como todos los números en el intervalo (,5] están en (,4], se tiene que el dominio de la función compuesta es (,5] b. Al calcular ()() gfx se tiene 22 ()()() 949 gfxgfx gxx El dominio de la función compuesta está dado por los elementos en el dominio de f, tales que ()fx está en el dominio de g. Del inciso anterior se tiene que el dominio de f es (,3][3,) y el dominio de g es (,4]. El dominio de ()() gfx está formado entonces por todos los números x en (,3][3,) tales que 2 ()9fxx esté en el intervalo (,4], es decir 2 2 2 94 916 25 x x x Los valores de x que cumplen ésta última desigualdad están en el intervalo 5,5 El dominio de la función compuesta es entonces [5,3][3,5] . c. Método 1: 2 ()(6)(6)4(6)10(10)91 ()(6)1 fgfgff fg Método 2: Como ()()5 fgxx ()(6)5(6)11 fg d. Método 1: 2 ()(5)(5)(5)9(4)440 gfgfgg Método 2: Como 2 ()()49 gfxx 2 ()(5)4(5)9416440 gf
38 40 L hd Al
para
anterior
Ejemplo 4: Composición de funciones
L
Un equilibrista comienza a bajar sobre la cuerda inclinada desde el punto más alto a una velocidad de 1.5 pies por segundo, como se muestra en la figura. Exprese la altura h del equilibrista sobre el suelo como función del tiempo.
Solución Sea d la distancia recorrida por el equilibrista en el tiempo t, medida desde el punto de partida. Por la fórmula del movimiento rectilíneo se tiene que ()1.5 dtvtt Por el teorema de Pitágoras Por semejanza de triángulos se puede obtener una ecuación que relaciona la altura h con la distancia d como se muestra en la figura siguiente despejar h y sustituir el valor de se tiene en la expresión se tiene una fórmula h como función
22 503839442986L
38(40) 3840 4038 403840298638 2986 ()4098619 986 dhL dLhL hLLd hLdd L hdd Sustituyendo 1.5 dt
del tiempo
UNIDAD 3 Funciones y gráficas 3.7 Operaciones con funciones 5
UNIDAD 3 Funciones y gráficas 3.7 Operaciones con funciones 6 ()4098619(1.5) 986 ()4028.5 986 htt htt Ejercicios de la sección 3.7 En los ejercicios 1 a 10 encuentre ()() fgx , ()() fgx , ()() fgx , fg y el dominio de cada una de ellas 1. 2 ()215,()3 fxxxgxx 2. 22 ()241,()34 fxxxgxxx 3. ()3,()2 fxxgxx 4. ()4,()21 fxxgxx 5. ()24,()24 fxxgxx 6. ()36,()63 fxxgxx 7. 2 ()42,()3 fxxgxxx 8. 2 ()4,()2 fxxgxx 9. (),()132 x fxgx xx 10. 2 (),()1 3 x fxgxx x Si 2 ()32 fxxx y ()24gxx , en los ejercicios 11 a 15, evalúe las siguientes operaciones con dichas funciones 11. ()(5) fg 12. ()(3) fg 13. ()2 5fg 14. ()1 2fg 15. 3() 2gf Si 2 ()22 fxxx y ()2gx x , en los ejercicios 11 a 15, evalúe las siguientes operaciones condichasfunciones 16. ()(2) fg 17. ()(1) fg 18. ()(0) fg 19. ()2 fg 20. ()2 gf En los ejercicios 21 a 30 calcule gf y su dominio, fg ysudominio 21. 2 ()11,()23 fxxxgxx 22. 3 ()8,()1 fxxgxx 23. ()35,()4 1fxxgx x 24. ()4,()1 fxxgx x 25 1 (),()23 fxgxx xx 26. 2 (),()11 5fxgx xx 27. ()5,()3 fxxgxx 28. 2 ()4,()1 fxxgxx 29. 33 ()8,()8 fxxgxx 30. (),()14 26fxgxxx xx En los ejercicios 31 a 40 se da una función ()()() Hxgfx Encuentre las fórmulas para ()fx y ()gx . (Puede haber varias respuestas). 31. 4()(4)Hxx 32. 2()4 Hxx 33. 2()5(4)Hx x 34. 2 ()4Hxx 35. 13() 34 Hxx x
43. Un equilibrista sube por una cuerda inclinada del ejemplo 4 a una rapidez constante de3pies por segundo. a. Exprese la distancia recorrida por el equilibristaentérminos del tiempo. b. Exprese la altura a la que se encuentre el equilibristaentérminos del tiempo.
a. Exprese el volumen del agua en términos de t. b. Exprese el volumen de agua en términos del radiodela superficie da agua r c. Exprese el radio de la superficie del agua en términosde t. d. Exprese el área de la superficie del agua en términosde t e. Calcule el área de la superficie del agua a los 3 minutos. Un globo está sujeto a una cuerda a una polea en suelo localizada a una distancia de 8 metros de un punto abajo del globo.
44. Un tanque para agua tiene la forma de un cono circular rectoinvertido 16 piesde altura y 8 pies de radio en la parte superior. Ad depósito está ingresando agua a razón de 2 piescúbicosporminuto.
UNIDAD 3 Funciones y gráficas 3.7 Operaciones con funciones 7 Si 2 ()4fxx , () gxx y ()1 2 hx x en los ejercicios 36 a 40, evalúe las siguientes operaciones con dichas funciones y encuentre su dominio 36. ()() hgfx 37. ()() hfgx 38. ()() fghx 39. ()() fhgx 40. ()() hghx 41. El lado de un cubo aumenta a una rapidez de 0.5 metrosporminuto. a. Exprese el lado del cubo en términos del tiempo t. b. Exprese la longitud de la diagonal mayor del cubo enfuncióndeltiempo. c. Exprese el volumen del cubo en función del tiempo. 42. Un globo asciende verticalmente a una rapidezconstante de 1.5metrosporsegundo. a. Exprese la altura del globo en términos del tiempo t. b. Exprese la longitud de la cuerda en términos deltiempo. c. Calcule la longitud de la cuerda cuando el globo estáa 30metrosdealtura.