An谩lise Combinat贸ria
FATORIAL
Para resolver algumas situações envolvendo Análise Combinatória, temos que recorrer a cálculos em que é necessário realizar o produto entre números naturais consecutivos.
Observe esse exemplo: Quantos números distintos com 5 algarismos podem ser formados usando as fichas:
9
7
3 1
8
Como vimos anteriormente, podemos responder a essa questão da seguinte maneira: dezena de milhar
unidade de milhar
centenas
dezenas
unidades
5
4
3
2
1
Calculando, temos: 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 números Esse tipo de cálculo surge com frequência em problemas envolvendo análise combinatória, e, para representá-lo, utilizamos fatorial, cuja notação é n! (lemos: fatorial de n).
No exemplo anterior: 5! = 120
Um pouco de história...
Christian Kramp
O francês da cidade de Strasburgo, Christian Kramp (1760 – 1820), foi quem introduziu o símbolo n!, em 1808, para representar o fatorial de um número, contornando assim dificuldades gráficas que o símbolo previamente utilizado causava. http://clubes.obmep.org.br/blog/b_c-kramp/
“
Dado um número natural n, com n > 1, definimos seu fatorial, indicando por n!, como o produto dos n números naturais consecutivos de n até 1. Utilizando o símbolos, temos: n! = n x (n – 1) x (n – 2) x ... x 3 x 2 x 1 Definimos ainda: 1! = 1e 0! = 1
Exemplos: 3! = 3 . 2 . 1 = 6 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1= 720 10! = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 3.628.800
”
Propriedade fundamental dos fatoriais: Na igualdade 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1, observamos que o produto 5 . 4 . 3 . 2 . 1 pode ser substituĂdo por 5! e, portanto: 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 => 6! = 6 . 5! 5!
Exemplos: 3! = 3 . 2! 10! = 10 . 9! 10! = 10 . 9 . 8!
Vamos praticar? 1) Calcule: a) 7! = b) 3! . 2! = c) 4! – 2! = d) 0! = 3! 2) Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das afirmações: ( ) 3! + 2! = 5! ( ) 3! . 2! = 6! ( ) 4! + 4! = 2 . 4! ( ) n! = n(n – 1)(n – 2)!, para todo n∈ℕen>2 ( ) n! = n(n – 1)(n – 2)!, para todo n ∈ ℕ*
3) Simplifique as frações: a) 6! 3! b) 5! . 8! 4! . 7! c) n! (n – 1)! d) n! (n – 2)! 4) Resolva a equação (n + 1)! = 20 (n – 1)!
Agora é a sua vez de colocar a mão na massa! Junte-se com um colega e resolvam os exercícios propostos. Bom trabalho!
Fonte: Ribeiro, Jackson
Matemática: ciência, linguagem e tecnologia São Paulo – Scipone, 2010
Paiva, Manuel Matemática: Paiva São Paulo – Moderna, 2013
Montagem: prof.ª Ana M. Leal – C.E. Manuel de Abreu – Niterói/RJ matemática – 3º ano E.M.