Los números reales rev 1

MATEMร TICAS: TEMAS 1,2 Y 3

Realizado por: Ana Mancera Curso: 1ยบ Bach A 1 / 11

ÍNDICE 1. Tema 1 a. Los números reales b. Radicales c. Logaritmos 2. Tema 2 a. Operaciones con fracciones algebraicas 3. Tema 3 a. Sistemas de ecuaciones b. Representación gráfica de ecuaciones

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TEMA 1: LOS NÚMEROS REALES

Entre los números reales, vamos a profundizar en dos: el número pi y el phi.

Ambos tienen datos curiosos que poca gente conoce, y que a continuación veremos:

Ilustración 1: Google images

Cada año el 14 de marzo se celebra el Día de Pi, una ocasión para repasar algunas curiosidades en torno a este concepto básico de las matemáticas.

El Día de Pi es una fecha en honor de la expresión matemática Pi (3,1415926), que expresa la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro (π = L/D). Se trata de una ocurrencia del físico Larry Shaw tomando el formato de fechas norteamericano, que antepone el mes al día (3/14) y para ser más precisos y aproximar más dígitos al peculiar número, se concentra a una hora concreta, como vemos en la siguiente imagen:

Ilustración 2: elconfidencial.com

La fecha se celebra desde que en 2009 la Cámara de Representantes declaró el 14 de marzo como día nacional del peculiar número.

A continuación, vamos a ver algunas curiosidades sobre este número: Ilustración 3: elconfidencial.com

-La relación entre la circunferencia y su diámetro es un número irracional (hasta el momento se han llegado a descubrir hasta 10 billones de decimales).

- En Estados Unidos es típico preparar tartas con la forma del número ya que la pronunciación de Pi en inglés es igual que a la de pie (tarta).

- El número pi ha tenido una aparición destacada en la gran pantalla: en 1998 una película de Darren Aronofsky titulada Pi, fe en el caos.

- Ese mismo día, el 14 de marzo, nació Albert Einstein.

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Otro curioso número es el phi, el número de oro. No es nada más que una cifra: 1,61803...seguida por infinitos decimales. Sin embargo, se trata de uno de los números que más fascinación ha levantado a lo largo de la historia.

El número de oro, 'phi' o número áureo: como decimos, es un número irracional que se expresa con la siguiente fórmula:

- La divina proporción o proporción áurea: es un concepto geométrico, que se da cuando al partir un segmento en dos partes desiguales, dividiendo el total por la parte más larga obtenemos el mismo resultado que al dividir la más larga entre la más corta.

- La sucesión de Fibonacci: Se trata de una serie infinita de números naturales que empieza con un 0 y un 1 y continúa añadiendo números que son la suma de los dos anteriores, quedando con la forma siguiente: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1.597, 2.584, 4.181, 6.765, 10.946, 17.711, 28.657...

Uniendo el concepto aritmético con su representación geométrica se obtiene una de las imágenes más comúnmente asociadas al número y la razón áurea: la espiral de Fibonacci.

Ilustración 4: seyferseed.ru

La relación de esta sucesión con el número de oro podemos verla en que al dividir cada número por el anterior de la serie se obtiene una cifra cada vez más cercana a 1,61803, quedando el resultado alternativamente por debajo y por encima del número preciso, sin llegar nunca a alcanzarlo absolutamente.

Se conoce como estrella pentagonal a la que está inscrita en un pentágono regular, y también está relacionada con la proporción áurea: el segmento D que forma la diagonal del pentágono (o un lado de la estrella), al dividirlo entre un lado del pentágono C, da como resultado la proporción áurea. Esta estrella también ha sido profusamente representada, y es una de las formas de tablero de juego más antiguas que se conocen.

Ilustración 5: Google images

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RADICALES 1

đ?‘›

√đ?‘Ž = đ?‘Žđ?‘› đ?‘›

đ?‘›

đ?‘›

√đ?‘Ž ¡ √đ?‘? = √đ?‘Ž ¡ đ?‘?

đ?‘›

√đ?‘Ž √đ?‘?

đ?‘›

đ?‘Ž

đ?‘›

= √ đ?‘?

đ?‘› đ?‘š

�¡�

√ √đ?‘Ž =

√đ?‘Ž

đ?‘›

đ?‘›

√đ?‘Žđ?‘› = đ?‘Žđ?‘› = đ?‘Ž

A raĂ­z de estas propiedades, podemos resolver los siguientes ejercicios:

3

3

3

3

6

3

3

√2 ¡ √4 ¡ √8= √2 ¡ 4 ¡ 8 = √64 = √26 = 23 = 22 = 4

3

√

125

√216 √6

3

3

8

=

√8

3

√125

=√

4

√243 =

216 16 4

=

23

3

3 53

√5

= 3

= √36 =

√35

3

√23

5 4

=

√62 4 4

2 5 2 2

=6 =6 1 4

1 4

4

= 3 = 3 ¡ 3 = 3 ¡ 3 = 3 ¡ √3

TambiĂŠn podemos encontrar suma y resta de raĂ­ces:

√8 − √32 + √50 = √23 − √25 + √2 ¡ 52 = √2 ¡ 22 − √2 ¡ 22 ¡ 22 + √2 ¡ 52 = 2

4

2

22 ¡ √2 − 22 ¡ √2 + 52 ¡ √2 = 2√2 − 22 √2 + 5√2 = (2 − 4 + 5)√2 =

đ?&#x;‘√đ?&#x;?

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LOGARITMOS Los logaritmos tienen una aplicaciĂłn Ăştil en grandes campos de la ciencia y la tecnologĂ­a, mĂĄs cĂĄlculos de los que pensamos se resuelven diariamente en determinadas profesiones con logaritmos.

El uso de los logaritmos sirve hasta ahora en varias ramas y con distintas utilidades, conozcamos algunas de estas: 

En la EconomĂ­a: Los Ă­ndices de crecimiento son exponenciales, se aplica en la demanda y oferta, asĂ­ como obtener los porcentajes de los parĂĄmetros. Mientras en la banca sirve para medir el crecimiento de los depĂłsitos de acuerdo al tiempo.



En Banca: los logaritmos sirven para medir el crecimiento de los depĂłsitos a lo largo del tiempo.



En la EstadĂ­stica: Suele aplicarse en el crecimiento de la poblaciĂłn.



En la Publicidad: Cuando se realizan las estadĂ­sticas sobre la campaĂąa publicitaria que se va a lanzar, se realizan cĂĄlculos matemĂĄticos con logaritmos. Estas estadĂ­sticas definen el fracaso o ĂŠxito de la campaĂąa.



En la Medicina: Principalmente se aplica en la inmunologĂ­a, que es la rama que estudia los mecanismos fisiolĂłgicos de respuesta del organismo frente a la presencia de microorganismos, toxinas o antĂ­genos.



En la PsicologĂ­a: Se utiliza en la ley de Weber-Fechner, fenĂłmeno del estĂ­mulo y respuesta. AquĂ­ la respuesta (R) se relaciona con el estĂ­mulo (E) mediante una ecuaciĂłn donde por ejemplo E0 es el valor mĂ­nimo del estĂ­mulo que se encuentra en el sujeto.



En la BiologĂ­a: En la rama de la genĂŠtica, se utilizan logaritmos al hacer las estadĂ­sticas y las probabilidades para saber sobre lo que un hijo heredarĂĄ de sus padres.

TambiĂŠn son aplicados en el cĂĄlculo del PH: El pH (potencial de hidrĂłgeno) es una medida de acidez de una disoluciĂłn. El pH indica la concentraciĂłn de iones hidronio [H3O+] presentes en determinadas sustancias. La ecuaciĂłn consiste en estudiar el logaritmo negativo en base 10 de la actividad de los iones hidrĂłgeno. Esto es:

pH = – log10 [đ?‘Žđ??ť3 đ?‘‚ ] Se considera que p es un operador logarĂ­tmico sobre la concentraciĂłn de una soluciĂłn: p = –log[...] , tambiĂŠn se define el pOH, que mide la concentraciĂłn de iones OH−.

Por lo que se puede relacionar directamente el valor del pH con el del pOH.

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

En la GeologĂ­a: En sismologĂ­a, sirven de cĂĄlculo para calcular la intensidad de sismos o terremotos. AquĂ­ es usado en la escala de Richter, donde la intensidad de un sismo se conoce en base a los logaritmos, de la siguiente manera: La escala sismolĂłgica de Richter es una escala logarĂ­tmica que asigna un nĂşmero para cuantificar la energĂ­a liberada en un terremoto.

La sismologĂ­a mundial usa esta escala para determinar la magnitud de sismos de entre 2,0 y 6,9 grados y de 0 a 400 kilĂłmetros de profundidad.

Richter reportĂł inicialmente valores con una precisiĂłn de un cuarto de unidad, sin embargo, usĂł nĂşmeros decimales mĂĄs tarde.

M= log đ??´+ 3log(8

) − 2.92

donde:

= amplitud de las ondas en milĂ­metros, tomada directamente en el sismograma. = tiempo en segundos desde el inicio de las ondas P (Primarias) al de las ondas S (Secundarias).

M= magnitud arbitraria pero constante a terremotos que liberan la misma cantidad de energĂ­a.



En la AstronomĂ­a: Para determinar la magnitud estelar de una estrella o planeta se usan cĂĄlculos de carĂĄcter logarĂ­tmico para determinar la brillantez y magnitud. Al establecer la luminosidad visible de una estrella, se opera con tablas de logaritmos en base 2.5.



En la MĂşsica: El pentagrama, por extraĂąo que parezca, es una escala logarĂ­tmica ya que la altura del sonido es proporcional a la del nĂşmero de frecuencia, ademĂĄs ayuda a medir los grados de tonalidad ya que se pueden representar por el logaritmo en base 2.

Vamos a resolver algunos ejercicios con logaritmos:

Sabiendo que đ??Ľđ??¨đ?? đ?&#x;?đ?&#x;Ž = đ?&#x;?, đ?&#x;‘đ?&#x;Žđ?&#x;? , calcula đ??Ľđ??¨đ?? đ?&#x;“đ?&#x;Ž + đ??Ľđ??¨đ?? đ?&#x;? − đ??Ľđ??¨đ?? đ?&#x;“. log 50 + log 2 − log 5 = log (

50 ¡ 2 100 = log 20 = đ?&#x;?, đ?&#x;‘đ?&#x;Žđ?&#x;? ) = log 5 5

Resuelve: đ??Ľđ??¨đ?? đ?&#x;‘√đ?&#x;“ đ?&#x;Ž, đ?&#x;?

log 3√5 0,2 = log

1 53

−3 1 = log 1 5−1 = log 1 5 3 = −đ?&#x;‘ 5 53 53

Resuelve: đ??Ľđ??¨đ?? đ?&#x;–(đ?’™ − đ?&#x;?đ?&#x;“) = đ??Ľđ??¨đ?? đ?&#x;– đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž đ?‘Ľ − 25 = 100 đ?‘Ľ = đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;“ 7 / 11

TEMA 2: OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS đ?’™ đ?&#x;?

−

đ?&#x;? đ?&#x;?đ?’™đ?&#x;? −đ?&#x;“đ?&#x;Ž

đ?‘Ľ(đ?‘Ľ+5)(đ?‘Ľâˆ’5) 2(đ?‘Ľ+5)(đ?‘Ľâˆ’5) đ?‘Ľ 3 −25đ?‘Ľ 2(đ?‘Ľ+5)(đ?‘Ľâˆ’5)

+ −

−

đ?&#x;‘

đ?‘Ľ

1

2

2(đ?‘Ľ 2 −25)

= −

đ?’™âˆ’đ?&#x;“

1 2(đ?‘Ľ+5)(đ?‘Ľâˆ’5) 1

2(đ?‘Ľ+5)(đ?‘Ľâˆ’5)

+

+

+

3¡2(đ?‘Ľ+5) 2(đ?‘Ľ+5)(đ?‘Ľâˆ’5) 6đ?‘Ľ+30

2(đ?‘Ľ+5)(đ?‘Ľâˆ’5)

3

đ?‘Ľ

đ?‘Ľâˆ’5

1

3

= 2 − 2(đ?‘Ľ+5)(đ?‘Ľâˆ’5) + đ?‘Ľâˆ’5 =

= =

đ?‘Ľ 3 −25đ?‘Ľ+6đ?‘Ľâˆ’1+30 2(đ?‘Ľ+5)(đ?‘Ľâˆ’5)

=

đ?’™đ?&#x;‘ −đ?&#x;?đ?&#x;—đ?’™âˆ’đ?&#x;?đ?&#x;— đ?&#x;?(đ?’™+đ?&#x;“)(đ?’™âˆ’đ?&#x;“)

đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? − + = đ?’™đ?&#x;? + đ?&#x;•đ?’™ + đ?&#x;?đ?&#x;? đ?’™đ?&#x;? − đ?&#x;— đ?’™ + đ?&#x;’

Hacemos la ecuaciĂłn de segundo grado que hay en el primer denominador:

đ?‘Ľ=

−7Âąâˆš(−7)2 −4¡1¡12 2¡1

=

−7Âąâˆš49−48 2¡1

=

−7Âą1 2

+

⇒ �1 =

−7+1

−

−7−1

⇒ �2 =

2 2

=

−6

=

−8

2 2

= −3 = −4

Y continuamos, descomponiendo el primer denominador en binomios a raĂ­z de los resultados obtenidos en la ecuaciĂłn, y expresando el segundo denominador de la misma manera, teniendo en cuenta que se trata de una identidad notable:

1 1 1 − + = (đ?‘Ľ + 3)(đ?‘Ľ + 4) (đ?‘Ľ + 3)(đ?‘Ľ − 3) đ?‘Ľ + 4 (đ?‘Ľ + 3)(đ?‘Ľ − 3) đ?‘Ľâˆ’3 đ?‘Ľ+4 − + = (đ?‘Ľ + 4)(đ?‘Ľ + 3)(đ?‘Ľ − 3) (đ?‘Ľ + 4)(đ?‘Ľ + 3)(đ?‘Ľ − 3) (đ?‘Ľ + 4)(đ?‘Ľ + 3)(đ?‘Ľ − 3) (đ?‘Ľ + 4)(đ?‘Ľ − 4) đ?‘Ľ − 3 − đ?‘Ľ − 4 + đ?‘Ľ2 − 9 đ?‘Ľ 2 − 16 = = = (đ?‘Ľ + 4)(đ?‘Ľ + 3)(đ?‘Ľ − 3) (đ?‘Ľ + 4)(đ?‘Ľ + 3)(đ?‘Ľ − 3) (đ?‘Ľ + 4)(đ?‘Ľ + 3)(đ?‘Ľ − 3) đ?‘Ľâˆ’4 đ?’™âˆ’đ?&#x;’ = đ?&#x;? (đ?‘Ľ + 3)(đ?‘Ľ − 3) đ?’™ − đ?&#x;—

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TEMA 3: SISTEMAS 2ÂŞ đ??ˇđ?‘’đ?‘“.đ??żđ?‘œđ?‘” đ?‘Ľ đ?‘Ľ đ?‘Ľ? √đ?‘Ľ − 1 = đ?‘Ś + 2 đ??ˇđ?‘’đ?‘ đ?‘?đ?‘’đ?‘—đ?‘œ → log ( ) = 1 → 101 = → đ?‘Ľ = 10đ?‘Ś { đ?‘Ś đ?‘Ś log đ?‘Ľ − log đ?‘Ś = 1

Ahora, por sustituciĂłn, sacamos el valor de y: 2

(√10đ?‘Ś − 1) = (đ?‘Ś + 2)2 10đ?‘Ś − 1 = đ?‘Ś 2 + 4 + 4đ?‘Ś 0 = đ?‘Ś 2 − 6đ?‘Ś + 5

đ?‘Ś=

6Âąâˆš(−6)2 −4¡1¡5 2¡1

=

6Âąâˆš36−20 2

=

6Âąâˆš16 2

=

+

6Âą4

⇒ �1 =

2

−

⇒ �2 =

Si � = 5, � = 10 ¡ 5 = 50 Si � = 1, � = 10 ¡ 1 = 10

đ?‘†đ?‘‚đ??żđ?‘ˆđ??śđ??źĂ“đ?‘ 1

→

đ?‘†đ?‘‚đ??żđ?‘ˆđ??śđ??źĂ“đ?‘ 2

→

6+4 2 6−4 2

=

10 2

=5

2

=2=1

đ?‘Ľ1 = 50, đ?‘Ś1 = 5 đ?‘Ľ1 = 10, đ?‘Ś1 = 1

REPRESENTACIĂ“N GRĂ FICA DE ECUACIONES

Al representar algunas ecuaciones, resultan formas curiosas. Veamos la imagen del margen:

A continuaciĂłn, para comprobar todas las ecuaciones, daremos valores a las x de todas ellas, obteniendo las y:

IlustraciĂłn 6: matematicascercanas.com

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Ecuación 1: L

x 0,25 0,5 1 2 4

Ecuación 2: O

y 4 2 1 0,5 0,25

x

2 1 0 -1 -2

√5 2√2 3 2√2 √5

2 1 0 -1 -2

Ecuación 3: V

x

y

Ecuación 4: E

y 4 2 0 2 4

x 0 -2 -4 -6 -8

y -3 -0,104 -0209 -0,313 -0,417

Como vemos, los resultados coinciden con lo obtenido en los gráficos. Así, vemos cómo se forman las letras de la palabra LOVE.

Otros gráficos, realizados con ecuaciones más complejas, dan lugar a figuras como las siguientes:

Ilustración 8: fayerwayer.com Ilustración 7: Google images

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BIBLIOGRAFĂ?A Tema 1: https://www.elconfidencial.com/tecnologia/2014-03-14/diez-curiosidadesmatematicas-en-torno-al-numero-pi_102285/ http://es.engadget.com/2016/03/14/9-cosas-no-sabias-numero-pi/ https://www.elconfidencial.com/tecnologia/2014-10-14/treinta-cosas-queno-sabias-sobre-el-numero-aureo_231903/ https://www.vitutor.com/di/re/b_3.html

Tema 3: https://www.fayerwayer.com/2013/04/los-mas-increibles-dibujosrealizados-con-ecuaciones-parametricas-en-wolframalpha/ https://matematicascercanas.com/2014/09/16/all-you-need-is-love/

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