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GEOGEBRA Y LOS NÚMEROS COMPLEJOS

Realizado por: Ana Mancera


ÍNDICE 1. Introducción a. ¿Qué es GeoGebra? b. ¿Qué puedo hacer con GeoGebra? 2. Ejercicios: Paso a paso 3. Bibliografía y enlaces de interés para aprender a usar GeoGebra


1. Introducción GeoGebra es un Programa Dinámico para la Enseñanza y Aprendizaje de las Matemáticas para educación en todos sus niveles. Combina dinámicamente, geometría, álgebra, análisis y estadística en un único conjunto tan sencillo a nivel operativo como potente. Ofrece representaciones diversas de los objetos desde cada una de sus posibles perspectivas: vistas gráficas, algebraicas, estadísticas y de organización en tablas y planillas, y hojas de datos dinámicamente vinculadas. Geogebra es en su origen la tesis de Markus Hohenwarter, con el objeto de crear una calculadora de uso libre para trabajar el Álgebra y la Geometría. Fue un proyecto que se inició en el 2001 en un curso de Matemática en la Universidad de Salzburgo (Austria). Actualmente, Geogebra continúa su desarrollo en la Universidad de Boca Raton, Florida Atlantic University (USA). Pero no tenemos que olvidar que GeoGebra está diseñado con mentalidad colaborativa.

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Además de la gratuidad y la facilidad de aprendizaje, la característica más destacable de GeoGebra es la doble percepción de los objetos, ya que cada objeto tiene dos representaciones, una en la Vista Gráfica (Geometría) y otra en la Vista Algebraica (ÁlGebra). De esta forma, se establece una permanente conexión entre los símbolos algebraicos y las gráficas geométricas. Incorpora su propia Hoja de Cálculo, un sistema de distribución de los objetos por capas y la posibilidad de animar manual o automáticamente los objetos. Permite abordar la geometría y otros aspectos de las matemáticas, a través de la experimentación y la manipulación de distintos elementos, Ilustración 1: https://sites.google.com facilitando la realización de construcciones para deducir resultados y propiedades a partir de la observación directa. Es gratuito y de código abierto (GNU GPL). Está disponible en español, incluido el manual de ayuda. Presenta foros en varios idiomas, el castellano entre ellos. Ofrece una wiki en donde compartir las propias realizaciones con los demás. Usa la multiplataforma de Java, lo que garantiza su portabilidad a sistemas de Windows, Linux, Solaris o MacOS X.


2. Ejercicios: Paso a paso 1. Calcula √−đ?&#x;? y resuelve la ecuaciĂłn: đ?’™đ?&#x;? + đ?&#x;? = đ?&#x;Ž Para hacer la √−1 escribimos lo siguiente: sqrt(-1) Y automĂĄticamente nos aparece la respuesta, como vemos en la siguiente imagen:

Y nos aparece dibujado grĂĄficamente en el punto (1,1), ya que GeoGebra ha detectado que estamos trabajando con nĂşmeros complejos y ha transformado la recta real en otra recta en la que poder trabajar con complejos.

IlustraciĂłn 2: GeoGebra

Para resolver la ecuaciĂłn, escribimos x ^ 2 + 1 = 0 y presionamos el botĂłn “resuelveâ€?. Una vez hecho esto, no nos da ninguna soluciĂłn y esto se debe a que el programa sobreentiende que queremos trabajar con nĂşmeros reales y, como sabemos, esta ecuciĂłn no tiene soluciones reales. Por eso, debemos utilizar el comando SolucionesC[], que nos perite hacer operaciones con nĂşmeros complejos. Una vez escrito SolucionesC[x^2+1=0], obtenemos la soluciĂłn:

IlustraciĂłn 3: GeoGebra


2. Resuelve la ecuaciĂłn (y factoriza): đ?’™đ?&#x;‘ − đ?&#x;–đ?’™đ?&#x;? + đ?&#x;?đ?&#x;—đ?’™ − đ?&#x;“đ?&#x;? = đ?&#x;Ž

Si queremos resolver la ecuaciĂłn, repetiremos el proceso de antes y escribiremos SolucionesC[x^38x^2+29x-52=0], de modo que nos da las tres soluciones: una real y dos complejas conjugadas. IlustraciĂłn 4: GeoGebra

Para factorizar, lo primero que debemos hacer es escribir la ecuaciĂłn del modo x^3-8x^2+29x-52. A continuaciĂłn, presionamos el botĂłn “factorizaâ€? de arriba y nos aparece lo que vemos en la imagen de al lado. Como decĂ­amos antes, si no advertimos de alguna IlustraciĂłn 5: GeoGebra manera que queremos trabajar con nĂşmeros complejos, GeoGebra interpretarĂĄ que vamos a jugar con reales, y es por eso que al factorizar esta ecuaciĂłn deja una parte de segundo grado sin simplificar. Si le indicamos que queremos complejos, podrĂĄ obtener al completo la factorizaciĂłn. Para ello, utilizamos FactorC[]:

IlustraciĂłn 6: GeoGebra Online


3. Dados đ?’› = đ?&#x;’ + đ?&#x;“đ?’Š y đ?’˜ = −đ?&#x;? + đ?&#x;”đ?’Š realiza varias operaciones con ellos. Para este ejercicio, debemos establecer el valor de ambos nĂşmeros de la siguiente manera: a:=4+5i w:=-2+6i Una vez hecho esto, ya podremos hacer cualquier tipo de operaciĂłn con ellos (sumar, restar, multiplicar, elevar a potencias,‌). AsĂ­ se observa en la imagen:

IlustraciĂłn 7: GeoGebra

4. Pasa a forma polar el nĂşmero z. Calcula el mĂłdulo y el argumento por separado. Para pasar un nĂşmero complejo en forma binĂłmica a polar, utilizamos el comando Apolar[], y escribimos entre los corchetes el nĂşmero z que queramos transformar. En la soluciĂłn, nos aparece el mĂłdulo y el argumento separados por un punto y coma. Si queremos calcularlos por separados, escribimos abs(z) para obtener el mĂłdulo y arg(z) para obtener el argumento, que viene dado en radianes por defecto.

IlustraciĂłn 8: GeoGebra


5. Dado el nĂşmero complejo đ?&#x;“đ?&#x;‘đ?&#x;ŽÂş calcula su parte real e imaginaria.

IlustraciĂłn 9: GeoGebra

Para pasar rĂĄpidamente el nĂşmero complejo escrito en forma polar a binĂłmica, utilizaremos el comando Acomplejo[], escribiendo el nĂşmero en cuestiĂłn entre los corchetes, como se ve en la imagen de al lado. Para ello, se debe escribir el mĂłdulo el argumentos separados por un punto y coma. TambiĂŠn hay que tener en cuenta que si ponemos el argumento sin unidad, GeoGebra lo toma como rad por defecto, asĂ­ que, en este caso, debemos escribir el sĂ­mbolo del grado.

Si queremos calcular la parte real y la parte imaginaria del nĂşmero resultante en binĂłmica, simplemente hemos de escribir real(a) e imaginaria(a), siendo a el nĂşmero. En este caso, no hace falta volver a escribirlo, ya que el programa ha memorizado a con el valor del nĂşmero.

6. Utiliza la fĂłrmula de Euler para pasar a forma polar. Otra manera de transformar nĂşmeros en forma polar a forma binĂłmica es utilizando la fĂłrmula de Euler, que consiste en multiplicar el mĂłdulo del nĂşmero complejo en cuestiĂłn por una exponencial compleja, en la que se multiplica i por el argumento (en este caso, especificando que se trata de grados y no de radianes). Para practicar esta nueva fĂłrmula, vamos a utilizar el nĂşmero complejo a de antes: Aunque nos lo escribe de manera distinta, el nĂşmero es el mismo de antes:

IlustraciĂłn 10: GeoGebra

7. Calcula el conjugado del nĂşmero anterior y pĂĄsalo a forma polar.

Conjugado(a) serĂĄ el nuevo comando utilizado, siendo a el nĂşmero del ejercicio anterior, es decir, 530Âş pasado a forma binĂłmica. Una vez obtenido el conjugado, vemos que solamente ha cambiado el signo de la parte imaginaria.


A partir de aquĂ­, si queremos calcular, por ejemplo, su mĂłdulo, seguiremos el proceso del ejercicio 4: Arg(w). El nuevo argumento es -30Âş, es decir, el argumento de a con signo negativo. Esto se debe a que, realmente, hacer el conjugado de un nĂşmero es reflejar el eje x geomĂŠtricamente, hacer una simetrĂ­a axial respecto del eje de las abscisas.

IlustraciĂłn 11: GeoGebra IlustraciĂłn 12: Google Images

8. Calcula distintas raĂ­ces de đ?&#x;‘ + đ?&#x;”đ?’Š Al igual que en el primer ejercicio, para hacer raĂ­ces cuadradas utilizamos el comando sqrt(), poniendo entre parĂŠntesis el nĂşmero dado. Para calcularlo de otra manera, ponemos raĂ­zn(), poniendo el nĂşmero y, separado por una coma, el Ă­ndice de la raĂ­z cuadrada (vamos a poner como ejemplo una raĂ­z cĂşbica). SĂłlo nos da una soluciĂłn, las otras tres se conseguirĂ­an sumando 120Âş a la soluciĂłn obtenida. IlustraciĂłn 13: GeoGebra

3. BibliografĂ­a y enlaces de interĂŠs para aprender a usar GeoGebra https://wiki.geogebra.org/es/N%C3%BAmeros_complejos https://www.geogebra.org/m/k7kQBPSy

Geogebra y los números complejos  
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