Formule riguardanti la retta e alcune coniche in un piano cartesiano Per determinare analiticamente la posizione di una circonferenza rispetto ad una retta r qualunque, occorre risolvere un sistema di 2° costituito dall'equazione della circonferenza e l'equazione della retta e poi studiare il discriminante dell'equazione risolvente il sistema e cioè: 2 x 2 y 2a xb yc=0 ⇒ x 2 m x p a xb m x p c=0 ⇒ y=m x p y=m x p
{ { m x 2 m p x p a xb m xb pc=0 ⇒ 1m x 2 m pb ma x p b pc=0 {xy=m { y=m x p x p 2
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L'equazione: 1m2 x 2 2 m pb ma x p2b pc=0 è chiamata equazione risolvente il sistema e, come scritto sopra, ne dobbiamo studiare il discriminante. Ponendo: α= 1m2 , β= 2 m pb ma e γ= p 2b pc , l'equazione si trasforma ed assume la seguente semplice (e nota) forma: α x 2β x γ=0 il cui discriminante è: =β2−4 α⋅γ . Possono capitare tre casi (a seconda del segno di ) ed esattamente: – ∆ > 0. Allora esistono due intersezioni x 1 , x 2 distinte x1 ≠x 2 e la retta è secante e i punti di intersezione sono: S1≡ x1 , m x1 p e S2≡ x 2 , m x 2 p – ∆ = 0. Allora esistono due intersezioni x 1 , x 2 coincidenti x1 =x 2 e la retta è tangente e il punto di tangenza è: T≡ x 1 , m x 1 p – ∆ < 0. Allora NON esistono intersezioni reali e la retta è esterna. Nel caso della parabola si procede in maniera del tutto analoga.
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