INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA
Questões comentadas e resolvidas
4Operaçõesbinárias103
5Gruposesubgrupos123
5.1Grupos
5.3Gruposdeclassesderestos
5.4Gruposdepermutações
5.5Propriedades
5.6Subgrupos
5.7Exercíciosresolvidos
5.8Exercíciospropostos
6.5Gruposcíclicos
6.6Exercíciosresolvidos
6.7Exercíciospropostos
8Anéis,subanéis,anéisdeintegridade,corpos187
8.1Introdução
8.5Anéiscomutativos
8.6Anéiscomunidade
8.7Anéisdeintegridadeecorpos
9Homomorfismosdeanéis,ideais,anéis-quocientes207 9.1Homomorfismodeanéis
9.4Anéis-quocientes
9.5Exercíciosresolvidos
9.6Exercíciospropostos
CAPÍTULO1
Conjuntos
1.1NOÇÕESPRIMITIVAS
Osconceitosde conjunto,elemento e pertinência costumamseraceitossemdefinição e,porisso,sãochamados noçõesprimitivas.Anoçãomatemáticadeconjuntoquese usaépraticamenteamesmadoidiomacomum,ouseja,éomesmoqueagrupamento, classe,coleção.
Um conjunto équalquercoleçãodeobjetos.Osobjetosquecompõemacoleçãosão chamados elementos.Oselementos pertencem àsuarespectivacoleção.Convencionamos representarconjuntosporletrasmaiúsculaseseuselementosporletrasminúsculas. Umconjuntoficadeterminadoquando:
• listamostodososseuselementos.Nestecaso,usaremosvírgulasseparandocada elementoeosagruparemosentrechaves.Porexemplo, �� = {��,��,��,��,��} representaoconjuntodasvogaisdonossoalfabeto.
• indicamosalgumapropriedadequesejacaracterísticadosseuselementos.Por exemplo, �� = {�� | �� éuminteiropositivopar} (lê-se: “�� éoconjuntodosxtaisque xéuminteiropositivopar”)éoconjuntoformadopeloselementos 2, 4, 6, 8,... Asreticênciasdenotamquealistagemdoselementostemcontinuidade.
Figura1.1 Diagramarepresentandoumconjunto.
IntroduçãoàÁlgebra:questõescomentadaseresolvidas
Usaremosanotação �� ∈ �� paraindicarqueoelemento �� pertenceaoconjunto �� e �� ∉ �� emcasocontrário,ouseja,indicandoque �� nãopertencea ��.
Doisconjuntossão iguais quandotiveremosmesmoselementos.Equivalentemente, doisconjuntos �� e �� sãoconsideradosiguaisquandotodoelementode �� forelemento de �� etodoelementode �� tambémforelementode ��.Nãoimportasehárepetição deelementosenemaordememqueoselementossãolistados.Porexemplo,se �� = {1, 2, 3, 4} e �� = {4, 3, 4, 3, 1, 1, 2},entãotemosque �� = ��,ouseja,sãoconjuntosiguais.
1.2DIAGRAMASDEVENN
Éusualrepresentarosconjuntosporcurvasfechadas,semautointerseção,contendo noseuinteriorpontosquesãoosseuselementos.Elementosquenãopertencemao conjuntosãorepresentadosporpontonoexteriordacurva.Porexemplo,naFigura 1.1representamosumconjunto �� = {��,��,��,��,��} Representamostambémque �� ∉ ��,
Essaformaderepresentaçãodeconjuntoséchamada diagramadeEuler-Venn ou, simplesmente, diagramadeVenn.
1.3 CONJUNTOUNITÁRIO,CONJUNTOVAZIO,CONJUNTOUNIVERSO
Umconjuntoquecontenhaumúnicoelementoéchamado unitário.Porexemplo, �� = {�� | �� éumnúmeroparpositivoeprimo } éumconjuntounitário.
Fazemosdistinçãoentreumconjuntounitário �� = {��} eoseuúnicoelemento ��. Nestecaso,escrevemos �� ∈{��} econsideramossemsentidoigualdadesdotipo �� = {��}.
Umconjuntosemelementoséchamado conjuntovazio queérepresentadopor ∅ ou por {}.
Aoestudarmosdeterminadosconjuntos,admitimosaexistênciadeumconjunto �� aoqualpertencemtodososelementosdetodososconjuntosenvolvidos.Esseconjunto �� échamado conjuntouniverso.
Écomumasoluçãodeumproblemadependerdoconjuntouniversoutilizado.Por exemplo,seresolvermosaequação ��2 + 5�� + 6 = 0 usandocomoconjuntouniversoo dosinteirospositivos,entãodiremosqueelanãotemsolução.Noentanto,seoconjunto universodaspossíveissoluçõesfosseoconjuntodetodososinteiros,entãodiríamos queelaadmiteduassoluções, 2 e 3.
Outroexemplo:escolhamosumsegmentodereta ���� emumareta ��.Seescolhermos comoconjuntouniversoareta ��,entãoospontosqueestãoaumamesmadistânciatanto de �� quantode �� éformadoporapenasumúnicoponto:opontomédiodosegmento
Relaçõesefunções
2.1RELAÇÕES
2.1.1Produtocartesiano
Definição: Dadosdoisconjuntos �� e �� nãovazios,o produtocartesiano de �� por ��,denotadopor �� × ��,éoconjuntoformadoportodososparesordenados (��,��) nos quais �� ∈ �� e �� ∈ ��. �� × �� = {(��,��)| ��
�� e �� ∈ ��}
Exemplo: Se �� = {1, 2, 3} e �� = {4, 5},então �� × �� e �� × �� sãoosseguintesconjuntos:
• �� × �� = {(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)} • �� × �� = {(4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3)}
Observações:
• Notequeonúmerodeelementosde �� = ��( ��) = 3, ��(��) = 2 e ��( �� × ��) = ��(�� × ��) = 6 eque 6 = 3 · 2,ouseja, ��( �� × ��) = ��( ��)��(��).Essafórmulaé sempreválidaquando �� e �� foremconjuntosfinitos.
• Emumparordenado,aordemdoselementoséimportanteenãodevesermudada. Se �� ≠ ��,então (��,��) ≠ (��,��)
2.1.2Relaçãobinária
Definição: Todosubconjuntode �� × �� édenominado relaçãobinária de �� em ��,ou, simplesmente, relação de �� em �� �� ⊂ �� × �� ⇐⇒ �� érelaçãode �� em ��
IntroduçãoàÁlgebra:questõescomentadaseresolvidas
Se (��,��)∈ ��,entãodizemosque �� estárelacionadocom ��,segundo ��,edenotamos issopor ������.Poroutrolado, (��,��) ∉ �� édenotadopor �� ����.
Exemplo: Sejam �� = {1, 2, 3, 4} e �� = {7, 8, 9}.Nessecaso,oprodutocartesianode �� por �� édadopor ��×�� = {(1, 7), (1, 8), (1, 9), (2, 7), (2, 8), (2, 9), (3, 7), (3, 8), (3, 9), (
, 7), (
,
), (4, 9)}.
Osseguintessubconjuntosde �� × �� sãoexemplosderelaçõesde �� em ��:
• ��1 = ∅
• ��2 = {(1, 7), (3, 9)}
• ��3 = {(2, 7), (2, 8), (2, 9)} • ��4 = {(1, 8), (2, 7), (2, 9), (3, 8), (4, 7), (4, 8)}
2.1.3Domínioeimagem
Definição: O domínio deumarelação �� de �� em �� édenotadopor Dom(��) ou �� (��) eéformadoportodososelementosde �� paraosquaisexiste �� ∈ �� talque ������.
ouseja, Dom(��) éformadopelosprimeiroselementosdosparesordenadosdarelação.
Definição: A imagem deumarelação �� édenotadapor Im(��) eéformadapelos �� ∈ �� paraosquaisexiste �� ∈ �� talque ������ Im(��) = {�� ∈ �� |∃��
ouseja, Dom(��) éformadopelossegundoselementosdosparesordenadosdarelação.
Exemplo: Consideremos �� = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9} e �� = {2, 4, 6, 8, 10} easseguintes relações ��1 = {(0, 2), (0, 4), (3, 4), (3, 6), (3, 8), (7, 8)} ��2 = {(1, 4), (3, 6), (5, 4), (5, 6), (9, 4), (9, 6)} entãotemosque
Noçõesdearitmética eprincípiodeindução
3.1NOÇÕESDEARITMÉTICA
Definição: Dizemosqueumnúmerointeiro �� émúltiplodeoutrointeiro �� quando existir �� ∈ ℤ talque �� = ����.Nessecaso,dizemostambémque �� éumdivisorde �� e denotamosissopor �� | ��.
Porexemplo, 10 émúltiplode 5 porque 10 = 2 · 5.Éomesmoque “5 édivisorde 10” eédenotadopor 5 | 10
Arelaçãodedivisibilidadedeinteirospossuiaspropriedades:
• �� | ��, ∀�� ∈ ℤ,�� ≠ 0
• se ��,�� ∈ ℤ, ��> 0,��> 0, �� | �� e �� | ��,então �� = ��
• se �� | �� e �� | ��,então �� |(���� + ����), ∀��,�� ∈ ℤ.
3.1.1Algoritmodadivisão
Dadosinteirospositivos �� e ��,existemdoisinteirospositivos �� e �� taisque �� = ���� + ��,com 0 ⩽ ��<��.Nessecaso, �� édenominado resto dadivisãode �� por �� e �� éo quociente dadivisão.Se �� = 0,entãoadivisãode �� por �� édenominada exata. Éusualrepresentaradivisãode �� por noseguintediagrama:
Oalgoritmodadivisãotambéméconhecidocomoalgoritmoeuclidiano.
IntroduçãoàÁlgebra:questõescomentadaseresolvidas
3.1.2Máximodivisorcomum
Definição: Sejam �� e �� doisinteirospositivos.Uminteiro ��> 0 échamado máximo divisorcomum de �� e �� seasseguintespropriedadessãoverificadas:
• �� | �� e �� | ��,ouseja, �� éumdivisorcomum;
• se ��′ > 0 éoutrointeirotalque ��′ | �� e ��′ | ��,então ��′ | ��,ouseja, �� éomaior divisorcomum.
Denotamosissopor �� = mdc(��,��)
3.1.3Métododasdivisõessucessivas
Ummétodoeficienteparaencontraromáximodivisorcomumde �� e �� éconhecido comométododasdivisõessucessivaseestádescritoaseguir:
• dividimos �� por �� eobtemosquociente ��1 eresto ��1,com 0 ⩽ ��1 <��;
• dividimos �� por ��1 eobtemosquociente ��2 eresto ��2,com 0 ⩽ ��2 <��1;
• dividimos ��1 por ��2 eobtemosquociente ��3 eresto ��3,com 0 ⩽ ��3 <��2;
• . . .
• comoosrestosvãodiminuindoacadadivisão,emalgummomentoobtemosum resto ����+1 = 0.Quandoissoocorrer,encerramosoprocessodedivisõessucessivas, concluindoqueoúltimorestopositivoencontradoéomáximodivisorcomumde �� e ��,ouseja,que ���� = mdc(��,��).
Essasdivisõescostumamserrepresentadasnodiagrama:
Exemplo: Calcular mdc(105, 36).
• Dividimos 105 por 36 eobtemosquociente 2 eresto 33;
Operaçõesbinárias
Oconceitodeoperaçãoédosmaisbásicosemmatemática.Desdeosprimeiros anosdeescolaqueouvimosfalardeoperaçõesdeadição,multiplicação,divisãoetc.A formalizaçãodesseconceito,bemcomováriosexemplos,estánasseçõesaseguir.
4.1OPERAÇÕESBINÁRIAS
Uma operaçãobinária ∗ (ousimplesmenteuma operação ∗)sobreumconjunto �� ≠ ∅ éumafunçãode �� × �� em �� queassociaacadapar (��,��)∈ �� × �� umúnico elementode �� queédenotadopor �� ∗ ��.
Comutatividade
Umaoperação ∗ sobre �� é comutativa quando
IntroduçãoàÁlgebra:questõescomentadaseresolvidas
Exemplos
• Aadiçãodeinteirosécomutativa,ouseja, �� + �� = �� + ��, ∀��,�� ∈ ℤ.
• Amultiplicaçãodeinteirostambémécomutativa,ouseja, ��
• Amultiplicaçãodematrizesnãoéumaoperaçãocomutativa,istoé,existem matrizes �� e �� taisque ���� ≠ ����.
• Acomposiçãodefunçõestambémnãoéumaoperaçãocomutativa,istoé,existem funções �� e �� taisque �� ◦ �� ≠ �� ◦ �� .
Associatividade
Umaoperação ∗ sobre �� é associativa quando
Exemplos
• Aadiçãodenúmerosreaiséassociativa,ouseja, �� +(�� +��) = (�� + ��)+
• Amultiplicaçãodenúmerosreaiséassociativa,ouseja, �� ·(�� ��) = (
��)· ��, ∀��,��,�� ∈ ℝ.
• Asubtraçãodenúmerosreaisnãoéumaoperaçãoassociativa.Porexemplo, 5 (2 1) = 5 1 = 4 e (5 2)−1 = 3 1 = 2,deondetemosque 5−(2 1) ≠ (5 2)−1.
Elementoneutro
Umelemento �� ∈ �� édenominado elementoneutro paraaoperação ∗ sobre �� quando
Exemplos
• O 0 (zero)éoelementoneutrodaadiçãodeinteiros.
• O 1 (um)éoelementoneutrodamultiplicaçãodeinteiros.
• Amatrizidentidade �� × �� éoelementoneutrodaoperaçãodemultiplicaçãode matrizes �� × ��.
Gruposesubgrupos
Osgrupossãoconjuntosespeciaisquetêmgrandeimportâncianamatemática.São conjuntosqueestãoligadosaumadeterminadaoperaçãoquesatisfazváriaspropriedades: associatividade,existênciadoelementoneutroedoelementoinverso.Muitosconjuntos eoperaçõesfamiliaressãoconsideradosgrupos.Porexemplo,oconjuntodosnúmeros inteiros,oconjuntodosnúmerosreais,oconjuntosdasmatrizesdedeterminadaordem, juntocomaoperaçãodeadiçãousualdefinidaemcadaumdessesconjuntos,podemser consideradosgrupos.
5.1GRUPOS
Um grupo éumconjunto �� ≠ ∅ noqualestádefinidaumaoperação ∗ quesatisfaz àsseguintespropriedades:
∗ éassociativa,ouseja, ��
admiteelementoneutro,ouseja,
Paracadaelemento
Alémdisso,se ∗ forcomutativa,entãoogrupo �� édenominado comutativo ou abeliano
Observação. Quandoaoperação ∗ puderficarsubentendida,podemosdizersimplesmenteque “�� éumgrupo” nolugarde “(��, ∗) éumgrupo” ounolugarde “�� éumgrupo comaoperação ∗”.
Observação. Se �� forumgrupocomrelaçãoàoperação ∗,entãoeledeveserfechado comrelaçãoaessaoperação,ouseja,paraquaisquer ��,�� ∈ ��,devemostertambémque �� ∗ �� ∈ ��
Observação. Quandoaoperação ∗ foruma adição,entãodiremosque �� éum grupo aditivo;quandoforuma multiplicação,diremosqueéum grupomultiplicativo
5.2EXEMPLOS
Exemplo5.1. Consideremosoconjuntodosnúmerosinteiros ℤ comaoperaçãode adiçãodeinteiros.Temosasseguintespropriedades:
IntroduçãoàÁlgebra:questõescomentadaseresolvidas
• �� +(�� + ��) = (�� + ��)+ ��, ∀��,��,�� ∈ ℤ,ouseja,aoperaçãodeadiçãodeinteirosé associativa;
• �� + 0 = �� e 0 + �� = ��, ∀�� ∈ ℤ,ouseja,o0(zero)éoelementoneutrodaadiçãode inteiros;
• �� +(−��) = 0 e (−��)+ �� = 0, ∀�� ∈ ℤ,ouseja,todoelemento �� de ℤ possuium simétrico(inversoaditivo)queéo ��
Devidoàstrêspropriedadesanteriores,dizemosque ℤ éumgrupocomrelaçãoàadição deinteiros,queéomesmoqueafirmarque (ℤ, +) éumgrupo.
Alémdastrêspropriedadesanteriores,temostambémumaquartapropriedade,que éaseguinte:
• �� + �� = �� + ��, ∀��,�� ∈ ℤ,ouseja,aadiçãoécomutativa.
Porcausadessasquatropropriedadesanteriores,dizemosque (ℤ, +) éumgrupoabeliano ouumgrupocomutativo.
Exemplo5.2. Obtemosresultadosanálogossetrocarmosnoexemploanterior ℤ por ℚ, ℝ ou ℂ.Ouseja, (ℚ, +), (ℝ, +) e (ℂ, +) tambémsãogruposabelianoscomrelaçãoà adiçãodefinidosnessesconjuntos.
Notequeoconjuntodosnúmerosnaturais, ℕ,nãoéumgrupocomrelaçãoàadição porqueumnaturalpositivo �� nãopossuisimétrico �� quetambémpertençaaesse conjunto.
Exemplo5.3. Consideremosoconjuntodosracionaisnãonulos, ℚ∗,comaoperação demultiplicação.Asseguintespropriedadessãoverificadas:
Devidoaessaspropriedades,podemosafirmarque (ℚ∗ , ·) éumgrupo.Comoaseguinte propriedade
tambéméválida,temosque (ℚ∗ , ·) éumgrupoabeliano.
Notequeéprecisoqueo 0 (zero)sejaretiradodoconjuntoparapoderserválidaa segundapropriedadeanteriorporqueo 0 nãoteminversomultiplicativo.Assim, (ℚ, ·) nãoé umgrupomultiplicativo.
Homomorfismos,isomorfismos, gruposcíclicos
Nestecapítulo,introduzimosconceitosquepermitemcomparardoisgruposcom relaçãoàssuaspropriedadesemcomum.Descrevemostambémosgruposcíclicos,que sãoaquelescujoselementospodemserobtidosapartirdeumelementoespecíficodo grupo.
6.1HOMOMORFISMOSDEGRUPOS
Definição6.1. Dadosdoisgrupos (��, ∗) e (��, △) umafunção �� : �� −→ �� édenominada um homomorfismode �� em �� quando
paraquaisquer ��,�� ∈ ��
Exemplo6.1. Sejam �� = (ℝ, +) e �� = (ℝ∗ , ·).Afunçãoexponencialdebase 2 definida por �� : �� −→ ��, �� (��) = 2�� ,éumhomomorfismode �� em �� porqueparaquaisquer ��,�� ∈ �� temos
)
Exemplo6.2. Sejam �� =ℝ2 =ℝ × ℝ comaoperaçãodeadição (��,��)+(��,��) = (�� + ��,�� + ��) e �� = (ℝ, +).Consideremos �� : �� −→ ��, �� (��,��
��.Paraquaisquer �� = (��1,��1) e �� = (��2,��2) pertencentesa �� temosque
+ ��
Portanto,concluímosque �� éumhomomorfismode �� em ��.
Proposição6.1. Sejam (��, ∗) e (��, △) grupos, ���� oelementoneutrode ��, �� �� oelemento neutrode �� e �� : �� −→ �� umhomomorfismode �� em ��.Temosasseguintespropriedades:
a) �� (���� ) = �� ��
b) ∀�� ∈ ��, �� (�� 1) = [ �� (��)] 1
IntroduçãoàÁlgebra:questõescomentadaseresolvidas
c)Se �� ésubgrupode ��,então �� (��) ésubgrupode ��
Demonstração.
.Usandoa “leidocorte” em
b) Paratodo ��
temosque
etambém que �� (�� 1)△
.Logo,oinversode
(�� 1), ouseja, [ �� (��)] 1 =
c) Como ���� ∈ �� e �� (���� ) = �� �� temosque �� (��) nãoévazioporquecontémpelo menosoelemento �� �� .Sejam ��,�� ∈ �� (��);então, �� = �� (��) e �� = �� (��) com ��,�� ∈ ��.Daí, ��△�� 1 = �� (��)△[ �� (��)] 1 = �� (��)△ �� (�� 1) = �� (�� ∗ �� 1).Como ��,�� ∈ ��,temos �� ∗ �� 1 ∈ �� eassim �� (�� ∗ �� 1)∈ �� (��),deondeconcluímosque ��△�� 1 ∈ �� (��).Ficamostradodessaformaque �� (��) ésubgrupode �� □
Observação. Apartirdoitem(c)daproposiçãoanterior,usando �� = ��,concluímos quese �� : �� −→ �� éumhomomorfismodegrupos,entãoaimagem Im( �� ) = �� (��) é umsubgrupode ��
Proposição6.2. Consideremos (��, ∗), (��, △) e ( ��, ⊙) grupos.Se �� : �� −→ �� e �� : �� −→ �� sãohomomorfismosdegrupos,entãoacomposta �� ◦ �� : �� −→ �� tambéméum homomorfismodegrupos.
Demonstração. Sejam ��,�� ∈ ��.Então, (�� ◦ �� )(�� ∗ ��) = ��
��
)(��) deondeconcluímosque �� ◦ �� éumhomomorfismode �� em �� □
6.2NÚCLEODEUMHOMOMORFISMO
Definição6.2. Sejam (��, ∗) e (��, △) grupos, �� �� oelementoneutrode �� e �� : �� −→ �� umhomomorfismo.O núcleodef,denotadopor �� ( �� ) ou ker( �� ),édefinidocomosendo oconjuntodetodososelementosde �� cujaimagempelafunção �� éigualaoelemento neutrode ��
( �� ) = {�� ∈ �� | �� (��) = �� �� }
Classeslaterais,subgruposnormais, grupos-quocientes
7.1CLASSESLATERAIS
Definição7.1. Sejam �� umsubgrupodeumgrupo (��, ∗) e �� ∈ �� umelemento qualquer.A classelateralàesquerda,módulo ��,definidapor ��,denotadapor �� ∗ ��,é definidacomosendooseguintesubconjuntode ��:
Paracalcularmosumaclasselateralàesquerdadefinidapor ��,bastamultiplicarmos �� portodososelementosde ��.
Definição7.2. A classelateralàdireita,módulo ��,definidapor ��,denotadapor ��,é definidacomosendooseguintesubconjuntode ��:
Observação. Seogrupo �� forabeliano(comutativo),entãoéclaroqueosconceitosde classeslateraisàesquerdaeàdireitacoincidem,ouseja, �� ∗ �� = �� ∗ ��
Exemplo7.1. Sejam �� = (ℤ6, +) eumsubgrupo �� = {0, 3}.Asclasseslateraisà esquerda,módulo ��,definidaspeloselementos 1, 2 e 3 são:
Como �� éabeliano,asclasseslateraisàdireitacoincidemcomasclassesàesquerda: �� + 1 = 1 + ��, �� + 2 = 2 + ��, �� + 3 = 3 + �� etc.
Observação. Emumgrupomultiplicativo,écomumdenotarmosasclasseslateraispor ���� ou ���� nolugarde �� · �� ou �� · ��
Nasproposiçõesaseguir,consideremos �� umgrupomultiplicativoe �� umdosseus subgrupos.
IntroduçãoàÁlgebra:questõescomentadaseresolvidas
Proposição7.1. Auniãodetodasasclasseslateraismódulo �� éiguala ��.
Demonstração. Bastaobservarqueumelementogenérico �� ∈ �� pertenceàclasse ����. Issoéverdadeporque �� contémoelementoneutro �� e,daí, �� = �� · �� ∈ ����. □
Proposição7.2. Paraquaisquer ��,�� ∈ ��, ���� = ���� se,esomentese, �� 1 · �� ∈ ��.
Demonstração. (⇒)Suponhamos ���� = ����.Como �� ∈ ����,temos �� ∈ ����.Logo,existe ℎ ∈ �� talque �� = �� · ℎ ⇒ �� 1 · �� = ℎ ∈ �� (⇐)Suponhamos �� 1 · �� ∈ ��.Logo,existe ℎ1 ∈ �� talque �� 1 · �� = ℎ1 ⇒ �� = �� · ℎ1 ⇒ �� = �� · ℎ 1 1 Daí,temosque �� ∈ ���� ⇒ �� = �� · ℎ2 = (�� · ℎ 1 1 )· ℎ2 = �� ·(
1
· ℎ2 ∈ �� )∈ ����, logo, ���� ⊂ ����.Demodoanálogo,podemosmostrarque ���� ⊂ ����,deondeconcluímos que ���� = ����. □
Proposição7.3. Se ���� e ���� sãoduasclasseslateraismódulo ��,entãoelassãoiguaisou disjuntas,ouseja, ���� = ���� ou ���� ∩ ���� = ∅.
Demonstração. • Senãoexistir �� quesejacomumàsclasses ���� e ����,então ���� ∩ ���� = ∅.
• Seexistir �� comumàsclasses ���� e ����,então �� ∈ ���� ∩ ����,edaíexistem ℎ1,ℎ2 ∈ �� taisque �� = �� · ℎ1 = �� · ℎ2 queequivalea �� 1 · �� = ℎ1 · ℎ 1 2 ∈ ��.Pelaproposição 7.2,temos ���� = ����. □
Proposição7.4. Todaclasselateral ���� temamesmaquantidadedeelementosque ��, istoé,existeumafunçãobijetorade �� em ����.
Demonstração. Seja �� : �� −→ ���� definidapor �� (ℎ) = �� · ℎ.Temosque:
• Se �� (ℎ1) = �� (ℎ2),então �� ℎ1 = �� ℎ2 ⇒ �� 1 �� ℎ1 = �� 1 �� ℎ2 ⇒ ℎ1 = ℎ2. Logo, �� éinjetora.
• Se �� ∈ ����,entãoexiste ℎ1 ∈ �� talque �� = �� ℎ1 edaí �� (ℎ1) = �� ℎ1 = ��.Logo, �� ésobrejetora.
Portanto, �� definidadomodoacimaéumafunçãobijetora. □
Observação. Demodoanálogo,tambémexisteumafunçãobijetorade �� em ����
Anéis,subanéis, anéisdeintegridade,corpos
8.1INTRODUÇÃO
Umaneléumconjuntonoqualestãodefinidasduasoperações,normalmentedenominadasdeadiçãoemultiplicação.Paraumconjuntoserumanel,aadiçãoeamultiplicaçãotêmquesatisfazerváriaspropriedades:comutatividadedaadição,associatividade daadição,existênciadeelementoneutroeelementoinversonaadição,associatividade damultiplicaçãoeumapropriedadeenvolvendoasduasoperaçõesdenominadadistributividade.Umdosexemplosmaisfamiliaresdeanéiséoconjuntodosnúmerosinteiroscomasoperaçõesdeadiçãoemultiplicaçãodeinteiros.Osanéisocorrememvárias áreasdamatemáticaesuasaplicaçõese,porcausadisso,sãoconsideradosimportantes estruturasalgébricas.
8.2DEFINIÇÃOEEXEMPLOS
Definição8.1. Consideremosumconjunto �� ≠ ∅ noqualestãodefinidasduasoperações:umaadição(+)eumamultiplicação(·).Dizemosque ( ��, +, ·) éumanel (ousimplesmenteque �� éumanel)quandoforemverificadasasseguintespropriedades:
• �� éumgrupoabelianocomrelaçãoàadição,istoé:
Existe 0 ∈ �� talque �� + 0 = ��
�� ∈ ��
Paratodo �� ∈ ��,existe (−��)∈ �� talque �� +(−��) = 0
• Amultiplicaçãoéassociativa,istoé: ∀��,��,��, (�� ��)· �� = �� ·(�� ��)
• Amultiplicaçãoédistributivacomrelaçãoàadição,ouseja, ∀��,��,�� ∈ ��, �� ·(�� + ��) = �� · �� + �� · �� e (�� + ��)· �� = �� · �� + �� · ��
Exemplo8.1. Oconjuntodosnúmerosinteiros ℤ éumanelcomrelaçãoàsoperações deadiçãoemultiplicaçãodeinteirosusuais.Tambémsãoanéisosseguintes: (ℚ, +, ·), (ℝ, +, ·) e (ℂ, +, ·).Essessãoconsideradososexemplosclássicosdeanéis.
IntroduçãoàÁlgebra:questõescomentadaseresolvidas
Exemplo8.2. Seja �� uminteiropositivoqualquer.Oconjuntodosmúltiplosde ��, denotadopor ��ℤ,éoconjunto ��ℤ= {���� | �� ∈ ℤ}.Comoasomaouoprodutodedois múltiplosde �� dácomoresultadoummúltiplode ��,temosqueoconjunto ��ℤ éfechado comrelaçãoaessasoperações.Éimediatoobservarqueasseispropriedadesdadefinição deanelseverificampara ��ℤ.Logo, (��ℤ, +, ·) éumanelparatodo ��> 0 inteiro.
Exemplo8.3. Dado �� uminteiropositivo,oconjuntodasclassesderestosmódulo ��, ℤ�� = {0, 1, ··· , �� 1}, éumanelcomrelaçãoàsoperaçõesdeadiçãoemultiplicação definidasdaseguinteforma: ��
Exemplo8.4. Dado ��> 1 uminteiro,oconjunto ����×�� (ℤ) dasmatrizesquadradas �� × �� comelementosem ℤ éumanelcomrelaçãoàadiçãoeàmultiplicaçãodematrizesdefinidasdeformausual.Tambémsãoanéisosseguintesconjuntosdematrizes: ( ����×�� (ℚ), +, ·), ( ����×��
Exemplo8.5. Dadosdoisanéis �� e ��,oprodutocartesiano �� × �� tambéméumanel seforemdefinidasneleasseguintesoperações:
• Adiçãoem �� × ��: (��1,��1)+(��2,��2) = (��1 + ��2,��1 + ��2) • Multiplicaçãoem �� × ��: (��1,��1)·(��2,��2) = (��1 · ��2,��1 · ��2)
Oanelassimconstruídoédenominado produtodireto de �� por ��.Porexemplo,quando �� = �� =ℤ,entãooprodutodiretoéoanel ℤ × ℤ.Ozerode ℤ × ℤ éo �� = (0, 0),o inversoaditivodeumelemento (��,��)∈ ℤ × ℤ éoelemento (−��, ��). Considerando agoraoselementosparticulares �� = (−1, 2) e �� = (4, 5) de ℤ × ℤ,temososseguintes exemplosdeoperaçõescomesseselementos: �� + �� = (−1 + 4, 2 + 5) = (3, 7) e �� · �� = (−1 · 4, 2 · 5) = (−4, 10)
Exemplo8.6. Consideremosoconjuntodetodasasfunçõesde ℤ em ℤ,denotadopor ℤℤ: �� =ℤℤ = { �� | �� : ℤ −→ ℤ} noqualasoma �� + �� eoproduto �� �� deduasfunções ��,�� ∈ �� quaisquersãodefinidos daseguinteforma:
• �� + �� : ℤ −→ ℤ, ( �� + ��)(��) = �� (��)+ ��(��)
• �� · �� : ℤ −→ ℤ, ( �� · ��)(��) = �� (��)· ��(��)
Aadiçãoeamultiplicaçãodefunçõesassimdefinidassatisfazemàsseguintespropriedades:
Homomorfismosdeanéis,ideais, anéis-quocientes
9.1HOMOMORFISMODEANÉIS
Definição9.1. Umafunção �� : �� −→ �� deumanel �� emumanel �� édenominada homomorfismodeanéis quandoforemverificadasasseguintespropriedades: • ∀��,�� ∈ ��, �� (�� + ��) = �� (��)+ �� (��); • ∀��,�� ∈ ��, �� (�� · ��) = �� (��)· �� (��)
Exemplo9.1. Sejam �� =ℝ, �� =ℝ× ℝ (produtodireto)eafunção �� : �� −→ �� definida por �� (��) = (0,��).Se ��,�� ∈ ℝ,então �� (�� + ��) = (0,�� + ��) = (0,��)+(0,��) = �� (��)+ �� (��), etambém �� (�� ��) = (0,�� ��) = (0,��)·(0,��) = �� (��)· �� (��).Logo, �� éumhomomorfismo doanel �� noanel ��.
Definição9.2. O núcleo deumhomomorfismo �� : �� −→ ��,denotadopor �� ( �� ) oupor ker( �� ),édefinidocomosendooconjuntodetodososelementosde �� cujaimagempela �� éigualaozerodoanel ��: �� ( �� ) = {�� ∈ �� | �� (��) = 0�� }
Exemplo9.2. Aindacomrelaçãoaoexemplo9.1,vamosdeterminaroseunúcleo. Suponhamos �� ∈ �� ( �� ).Então,peladefiniçãodenúcleo,f(a)=(0,0)=zerodoanel �� Como �� (��) = (0,��),temosque (0,��) = (0, 0),deonderesultaque �� = 0.Assim,o núcleode �� éoconjunto �� ( �� ) = {0}
Seja �� : �� −→ �� umhomomorfismodeanéis.Asseguintespropriedadespodemser verificadas:
• �� (0��) = 0�� onde 0�� representaozerodoanel �� e 0�� éozerode ��;
• �� (−��) = �� (��), ∀�� ∈ ��;
• �� (�� ��) = �� (��)− �� (��), ∀��,�� ∈ ��;
• �� éumafunçãoinjetorase,esomentese, �� ( �� ) = {0��};
IntroduçãoàÁlgebra:questõescomentadaseresolvidas
• se �� éumsubanelde ��,então �� (��) éumsubanelde ��.
Lembrandoque, �� e �� sendoanéis,temosque ( ��, +) e (��, +) sãogruposeaspropriedadescitadasacimasãoidênticasàsqueforammostradasnasproposições6.1e6.3.
Proposição9.1. Seja �� : �� −→ �� umhomomorfismodeanéisquesejaumafunção sobrejetora.Então:
• Se �� possuirunidade 1��,entãoomesmoacontececomBeaunidadede �� é 1�� = �� (1��).
• Se �� temunidadee �� éinvertível(comrelaçãoàmultiplicação),então �� (��) também éinvertívele �� (�� 1) = [ �� (��)] 1
Demonstração. Seja �� umelementoqualquerde ��.Como �� ésobrejetora, �� = �� (��) para algum �� ∈ �� edaí �� · �� (1��) = �� (��)· �� (1��)
(�� · 1��) =
(��) = ��.Demodoanálogo semostraque �� (1��)· �� = ��.Assim, �� (1��) éaunidadede ��,ouseja, �� (1��) = 1��
Seja �� 1 oinversode �� ∈ ��.Temosque �� · �� 1 = 1�� ⇒ �� (��)· �� (�� 1) = �� (1��) = 1��. Analogamente,temostambémque �� (�� 1)· �� (��) = 1��.Logo, �� (�� 1) éoinversode �� (��),istoé, �� (�� 1) = [ �� (��)] 1 □
9.2ISOMORFISMO
Definição9.3. Um isomorfismo deumanel �� emumanel �� éumafunção �� : �� −→ ��.queéumhomomorfismoebijetora.
Observações. • Seexistirumisomorfismodeanéis �� : �� −→ ��,então �� 1 : �� −→ �� tambéméumisomorfismo.
• Quandoexistirumisomorfismode �� em ��,entãodiremosque �� e �� são isomorfos edenotamosissopor �� ≃ ��.
• Se �� e �� foremanéisisomorfos,entãoelestêmasmesmaspropriedades,adiferença entreelesébasicamenteosnomesdoselementos.
Exemplo9.3. Sendo �� umanelqualquer,entãooanel ��×{0} éisomorfoa ��.Nestecaso, adiferençaentreeleséapenasdeumasegundacoordenadanulaquetemcadaelemento de �� ×{0}.Paraverificarque �� e �� ×{0} sãoisomorfos,bastaconsiderarmosuma função �� : �� −→ �� ×{0} definidapor �� (��) = (��, 0).Temosasseguintespropriedades arespeitode �� :
Polinômios
Seja �� umanel.Uma sequênciadeelementosem �� éumafunção �� : ℕ −→ ��.que costumaserrepresentadanaforma �� = (��0,��1,��2, ···) ou,deformamaissimplificada, �� = (���� ).
Nesseformato,estamosrepresentando �� (��) por �� �� ,paratodo �� ∈ ℕ.Oelemento �� �� ∈ �� édenominadoo ��-ésimotermo dasequência.
Exemplos
• �� = (−3, 0, 1,��, 5, 6, 10, √3, √3, 5, ···) éumasequênciadeelementosem ℝ.
• �� = (1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 0, 0, ··· , 0, 0, ···) éumasequênciadeelementosem ℤ5
Definição
Consideremosduassequências �� = (���� ) e �� = (���� ).
• Igualdade: Dizemosque �� = �� quando ���� = ���� paratodo �� ∈ ℕ.
• Adição: A soma de �� com �� éumasequência ℎ = (���� ) talque ���� = ���� + ���� para todo �� ∈ ℕ.
• Multiplicação: O produto de �� por �� éumasequência �� = (���� ) talque ���� =
paratodo
Observação
Oprodutodassequências �� = (���� ) e �� = (���� ) éumasequência ℎ = (���� ) cujos termossão:
IntroduçãoàÁlgebra:questõescomentadaseresolvidas
Definição
Emumanel ��,umasequência (��1,��2,��3, ···) com ���� ∈ �� paratodo �� ∈ ℕ é denominada polinômiosobre �� quandoexistirumíndice �� ∈ ℕ talque �� �� = 0 para todo ��>��.Oconjuntodetodosospolinômioscomcoeficientesnoanel �� édenotado por ��[��].
Observação
Umasequênciaqueéumpolinômiotemtodososseustermosnulosapartirdecerta ordem.Porisso,umpolinômiotambémédenominado sequênciaquasenula.Os termosdeumpolinômiotambémsãochamadosde coeficientes.
Exemplo
�� = (5, 6, 9, 3, 0, 0, ··· , 0, ···),onde �� �� = 0 se ��> 3 éumpolinômiosobreoanel ℤ.
10.1GRAUDEUMPOLINÔMIO
Consideremos �� = (���� ) umpolinômionãonulo.O graude �� éomaioríndicedos termosnãonulosde �� ,ouseja,édefinidocomosendoiguala �� se ���� ≠ 0 e �� �� = 0 para todo ��>��.Nestecaso,otermo ���� édenominado coeficientedominantede �� .O polinômionulo �� = (0, 0, 0, ··· , 0, ···) nãotemgraudefinido.
Notação: Ograudeumpolinômio �� édenotadopor ���� oupor ���� ( �� ).
Exemplos
• Otermonãonulode �� = (5, 2, 1, 8, 0, 0, ··· , 0, ···)∈ ℤ[��] quetemomaior índiceéo ��3 = 8;logo,ograude �� é3,ouseja, ���� = 3.
• Otermonãonulode �� = (2, 0, 0, 3, 1, 0, 0, ··· , 0, ···)∈ ℤ5 [��] quetemomaior índiceéo ��4 = 1;logo, ���� = 4.
• Emumanel ��,se �� ∈ ��,entãoopolinômiodotipo �� = (��, 0, 0, 0, ··· , 0, ···) é umpolinômiodegrau0eédenominado polinômioconstante em ��[��].
Exercíciosderevisão
Nestecapítulo,apresentamosumapequenalistadeexercíciosdosmaisdiversos temasquesãoúteisparasefazerumarevisãorápidadosassuntos.
R181) Seja ⊗ aoperaçãosobre ℝ definidapor �� ⊗ �� = �� + �� + ����.Verifiqueseessaoperaçãoécomutativa,seéassociativaesetemelementoneutro.
Solução:
• Paraquaisquer ��,�� ∈ ℝ, �� ⊗ �� = �� + �� + ���� = �� + �� + ���� = �� ⊗ ��.Logo,aoperação ⊗ écomutativa.
• Paraquaisquer ��,��,�� ∈ ℝ,temos:
�� ⊗ ��)⊗ �� = (�� + ��
)⊗ ��
+ �� +
)+ �� +(�� + �� +
)��
+ �� + �� +
+ ���� + ���� + ������. Logo, �� ⊗(�� ⊗ ��) = (�� ⊗ ��)⊗ ��,deondeconcluímosque ⊗ éassociativa.
• 0 ⊗ �� = �� ⊗ 0 = �� + 0 + �� · 0 = ��, ∀�� ∈ ℝ.Logo,o 0 (zero)éoelementoneutroda operação.
R182) Consideremosoconjuntodosnúmerosreais ℝ comaoperaçãodefinidapor �� ∗ �� = 3 √︁��3 + ��3.Mostreque �� = (ℝ, ∗) éumgrupoabeliano.
Solução:
ℝ.Logo, ∗ écomutativa.
IntroduçãoàÁlgebra:questõescomentadaseresolvidas
• Sejam ��,��,�� ∈ ℝ trêselementosgenéricos.
Logo, �� ∗(�� ∗ ��) = (�� ∗ ��)∗ ��,ouseja,aoperação ∗ éassociativa. •
• Dado �� ∈ ℝ, �� = �� étalque ��∗�� = ��
,logo, 0 (zero)éoelementoneutro.
+(−��
3 √0 = 0 = elementoneutro.Logo, �� éoelementoinversode �� Osquatroitensanterioresdemonstramque (��, ∗) éumgrupoabeliano.
R183) Verifiquese �� ésubgrupode �� nosseguintescasos:
a) �� = (ℝ ℚ, +), �� = (ℝ, +)
b) �� = ({2��
c) ��
Solução:
a) Oconjunto �� éoconjuntodosnúmerosirracionais.Dadosdoisirracionais,por exemplo, �� = 2 √3
Logo,oconjuntodosirracionaisnãoéfechadoparaaadiçãodenúmerosreaise, consequentemente,nãoformamumsubgrupode ℝ
b) Escolhendo �� = �� = �� =
c) Escolhendo ��
taisque
Testesdemúltiplaescolha
Nestecapítulo,apresentamostestesdotipoobjetivosedemúltiplaescolha.São apresentadasváriasalternativasA,B,C,...entreasquaisapenasumadevesercorreta.
12.1CONJUNTOS,RELAÇÕESEFUNÇÕES
T1) Se �� e �� sãoconjuntosquaisquerdeumuniverso ��,entãoésempreverdadeiroque
a) ( �� ∩ ∁�� ��)∪(�� ∩ ∁�� ��) = ∅
b)
c) �� ∩(��
d) ��
T2) Se �� e �� sãoconjuntosfinitoscom �� e �� elementos,respectivamente,entãopodemosdefinirquantasfunçõesde �� em ��?
a) 2�� + 2��
b) 2����
c) �� + ��
d) ����
e) ��
T3) Consideremos �� e �� asfunçõesde ℝ em ℝ definidaspor
Osvalores �� (0) e ��(2) sãorespectivamenteiguaisa
a) 1 e 5
b) 11 e 19
c) 17 e 23
d) 10 e 99
e) 37 e 22
f) 25 e 49
Ainversade
T5) Calcule
Neste livro, apresentamos um resumo da teoria e uma significativa quantidade de exercícios resolvidos a respeito dos assuntos: conjuntos, relações, funções, noções de aritmética, princípio de indução, congruências, critérios de divisibilidade, relações de equivalência, operações binárias, grupos, subgrupos, homomorfismos, isomorfismos, classes laterais, grupos-quocientes, anéis, subanéis, corpos, ideais, anéis-quocientes, polinômios e equações polinomiais.
São apresentados também exercícios de revisão, exercícios propostos e testes do tipo múltipla escolha, todos com respostas.
É dedicado a alunos dos cursos de licenciatura ou bacharelado em Matemática, Física, Química, Engenharia Elétrica e área de Telecomunicações.
