Διαγωνισμα μεχρι αντιστροφες

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ΄ Λυκείου ΔΕΥΤΕΡΑ 19 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2015 ΘΕΜΑ Α A1. Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα, σ’ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της ; (Μ.8) Α2. Πότε μια συνάρτηση f : A  R λέγεται 1-1 ; (Μ.7) Α3. Να χαρακτηρίσετε ως Σωστή(Σ) ή Λανθασμένη(Λ) καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις. α) Αν f, g, h είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η h (g f), τότε ορίζεται και η (h g) f και ισχύει h (g f) = (h g) f. β) Αν μια συνάρτηση είναι f είναι 1-1 , σ’ ένα διάστημα Δ τότε είναι γνησίως μονότονη στο διάστημα αυτό. γ) Αν υπάρχει η αντίστροφη της f : A  R , τότε f (f 1 (x))  x , x  A . δ) Αν f, g είναι δύο συναρτήσεις µε πεδίο ορισμού R κ αι ορίζονται οι συνθέσεις f o g και g o f, τότε αυτές οι συνθέσεις είναι υποχρεωτικά ίσες. ε) Οι γραφικές παραστάσεις C και C’ των συναρτήσεων f και f 1 είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y=x που διχοτομεί τις γωνίες xOy και x’Oy’ . (Μ.10)

ΘΕΜΑ B Έστω οι συναρτήσεις f (x)  1  ln x και g(x) 

ex ex  1

Β1.Να δείξετε ότι η συνάρτηση g γράφεται g(x)  1 

1 και να βρείτε e 1 x

την μονοτονία της. (Μ.6) Β2. Να δείξετε ότι ορίζεται η συνάρτηση g 1 και να την βρείτε. (Μ.4) Β3. Να βρείτε τη συνάρτηση g 1 f . (Μ.7) Β4. Να λύσετε την ανίσωση g 1 (f (x))  0 .(Μ.8) ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση f (x)  ln(1  ex )  x . Γ1.Να βρείτε το πεδίο ορισμού τη ς f . (Μ.3) Γ2. Να δείξετε ότι f (x)  ln(1  e x ) . (Μ.8) Γ3. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία . (Μ.4)

f 

Γ4. Nα λύσετε την ανίσωση: e

1 f (x)   ln 2 

 1  e1 . (Μ.10)

ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση f (x) 

1 . x ln x

Δ1. Να βρεί τε το πεδίο ορισμού της f. (Μ.4) Δ2. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία στο διάστημα (1,  ). (Μ.6) Δ3. Για κάθε α, β  (1,+) με α  β να αποδείξετε ότι αα  ββ . (Μ.8)

(x 4  2) x 2  1 . (Μ.7) Δ4. Να λύσετε την εξίσωση : (x 2  4) x 4 4

2

ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ