12ο Tεστ Kυρτότητα-Μελέτη και Γραφική Παράσταση Συνάρτησης

12ο ΣΕ΢Σ ΚΤΡΣΟΣΗΣΑ – ΓΡΑΥΙΚΗ ΠΑΡΑ΢ΣΑ΢Η ΢ΤΝΑΡΣΗ΢Η΢

1) Να μελετήςετε τισ παρακάτω ςυναρτήςεισ ωσ προσ την κυρτότητα και τα ςημεία καμπήσ : α) f x) = ln3 x β) f x) = x 2 + 1)ex

5) Δίνεται παραγωγίςιμη ςυνάρτηςη

2) Να μελετήςετε και να κάνετε την

f ∶ ℝ → ℝ με ef(x) + f x) = x + 1, ∀ x ∈ ℝ α) Να αποδείξετε ότι f(0)=0 β) Να βρείτε την εφαπτομένη τησ Cf ςτο ςημείο τησ Μ 0 , f(0)) γ) Να μελετήςετε την f ωσ προσ την μονοτονία και την κυρτότητα

γραφική παράςταςη τησ ςυνάρτηςησ

δ) Να αποδείξετε ότι xf ′ (x) ≤ f(x) ≤

f x) = ln x + 1) − x +

x2

ε) Να αποδείξετε ότι υπάρχει

2

ξ ∈ 0 , 2) ∶ 2f ξ) = (ξ − 1) eξ

3) Δίνεται η ςυνάρτηςη

f x) = x − ln ex + 1) α) Να μελετηθεί η f ωσ προσ την κυρτότητα β) Να βρείτε την εξίςωςη τησ εφαπτομένησ τησ Cf ςτο ςημείο Μ 0 , f(0)) γ) Να δείξετε ότι 2ln

e x +1 2

≥ x , ∀x ∈ ℝ

4) Δίνεται η παραγωγίςιμη ςυνάρτηςη f : (0 , +∞) → ℝ για την οποία ιςχύει : f 1) = e, x ∙ f ′ x) + f x) = x ∙ f x) , x > 0 α) Να αποδείξετε ότι f x) =

ex x

β) Να βρείτε την εξίςωςη τησ εφαπτομένησ τησ Cf η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων γ) Να μελετηθεί η f ωσ προσ την κυρτότητα δ) Να αποδείξετε ότι 6 ln 6

+

7

14

3

< ln 14 + ln 3 ln 7

ΚΑΛΗ ΔΙΑ΢ΚΕΔΑ΢Η ΝΙΚΟ΢ Κ. ΡΑΠΣΗ΢

x

2