Θεματα μαθηματικων κατευθυνσησ 2015

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ – Γ΄ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β΄) ΔΕΥΤΕΡΑ 25 ΜΑΪΟΥ 2015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)

ΘΕΜΑ Α A1.

Έστω μια συνάρτηση

f , η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό

διάστημα [α,β] . Αν η f είναι συνεχής στο [α,β] και

f(α)

f(β),

τότε να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει ένας τουλάχιστον x 0 (α,β), τέτοιος ώστε f(x 0 )

η. Μονάδες 7

A2.

Έστω μια συνάρτηση f και x 0 ένα σημείο του πεδίου ορισμού της. Πότε θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x 0 ; Μο νάδ ες 4

A3.

Έστω μια συνάρτηση f παρουσιάζει στο x 0

με πεδίο ορισμού

A . Πότε λέμε ότι η f

Α τοπικό ελάχιστο; Μο νάδ ες 4

A4.

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση , τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Αν για δύο συναρτήσεις f , g ορίζονται οι συναρτήσεις f o g και g o f, τότε ισχύει πάντοτε ότι f o g = g o f. β) Η διανυσματική ακτίνα της διαφοράς των μιγαδικών γ δi είναι η διαφορά των διανυσματικών ακτίνων τους. γ) Για κάθε x

ισχύει ότι (συν x)

ημx.

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ

α βi και

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ – Γ΄ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ δ) Έστω f μία συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα [α,β] . Αν ισχύει ότι f(x)

0 για κάθε x [α,β] και η συνάρτηση f δεν είναι παντού β

μηδέν στο διάστημα αυτό, τότε

f(x)dx

0.

α

ε) Αν lim f(x) x

x0

0 και f(x)

0 κοντά στο x 0 , τότε lim x

x0

1 f(x)

.

Μονάδες 10

ΘΕΜΑ Β Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει:

|z B1.

4 | 2 | z 1|.

Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων αυτών των μιγαδικών αριθμών z είναι κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ=2. Μονάδες 7

B2.

Έστω w

2z1 z2

2z 2 , όπου z1 , z2 δύο μιγαδικοί αριθμοί του ερωτήματος z1

Β1. Να αποδείξετε ότι: α) Ο w είναι πραγματικός και (μονάδες 4) β) - 4 w

4. (μονάδες 7) Μονάδες 11

B3.

Αν w

- 4, όπου w είναι ο μιγαδικός αριθμός του ερωτήματος Β2, να

βρείτε τη σχέση που συνδέει τους μιγαδικούς αριθμούς z1 , z2

και να

αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές τις εικόνες A(z1 ), B(z 2 ), Γ(z3 ) των μιγαδικών αριθμών z1 , z2 και z3 , με z3

2i z1, είναι ισοσκελές. Μονάδες 7

ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ

ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ – Γ΄ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Γ Δ ί νε τ αι η σ υ νά ρτ ησ η

ex

f(x)

, 1

x2

x

.

Γ1.

Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα (0, ). Μονάδες 6

Γ2.

Να αποδείξετε ότι η εξίσωση

f (e

3 x

(x

2

1))

e 5

2

έχει στο σύνολο των πραγματικών αριθμών μία ακριβώς ρίζα. Μονάδες 8 Γ3.

Να αποδείξετε ότι 4x 2x

γι α κάθ ε x

f(t)dt

2x f(4x)

0. Μονάδες 4

Γ4.

Δίνεται η συνάρτηση

g(x)

1 x

4x 2x

f(t)dt , x

0

, x

0

2

Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο [0,

).

Μονάδες 7

ΘΕΜΑ Δ Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :

f (x) e

f(0) Δ1.

f(x)

e

f(x)

για την οποία ισχύουν:

2 για κάθε x

και

n( x

1), x

0.

Να αποδείξετε ότι f(x)

x2

. Μονάδες 5

Δ2.

α) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η συν άρτηση f είναι κυρτή ή κοίλη και να προσδιορίσετε το σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f . (μονάδες 3)

ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ

ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ – Γ΄ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f , την ευθεία y x και τις ευθείες

x

0 και x

1. (μονάδες 4) Μονάδες 7

Δ3.

Να υπολογίσετε το όριο: x

lim x

e

0

f 2 (t)dt

1

0

n | f(x) | . Μονάδες 6

Δ4.

Να αποδείξετε ότι η εξίσωση:

1 3

x 2 0

f(t 2 )dt

8 3

x 3

x 2 0

f (t)dt

x 2

0

έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (2,3). Μονάδες 7

ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους) 1.

2.

3.

4.

5.

6.

Στ ο εξώ φ υλ λ ο τ ο υ τ ετ ρα δί ου να γράψε τ ε τ ο ε ξ ετ α ζόμ ε νο μ άθ η μ α. Στ ο εσώ φ υλλ ο π άνω -π ά νω να σ υ μ πλη ρώσ ετ ε τ α ατ ομ ι κά στ οι χεί α μ α θ ητ ή . Στ ην αρχ ή τω ν απ α ντ ή σε ώ ν σας να γρά ψε τ ε πά νω -πά νω τ η ν η μ ερο μ η νί α και τ ο ε ξε τ α ζό μ ε νο μά θ η μα . Να μην α ν τ ι γ ράψ ετ ε τ α θ έ μ ατ α στ ο τε τ ρά δι ο και να μη γ ράψ ετ ε πο υ θ ε νά σ τ ι ς α πα ντ ή σ ει ς σ α ς τ ο ό νο μ ά σ α ς. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση . Κ ατ ά τη ν α πο χώρη σ ή σ α ς να πα ρα δ ώσε τε μ α ζί μ ε τ ο τετ ρά δι ο και τ α φ ωτ ο α ντ ί γρα φ α . Να α πα ντ ή σ ε τε στ ο τ ετ ράδ ι ό σας σ ε ό λα τ α θ έ μα τ α μό νο μ ε μ πλε ή μό νο μ ε μ α ύ ρο στυ λό μ ε μ ε λά νι πο υ δ ε ν σ β ή νε ι . Μο λύβ ι ε πιτ ρέ πε τα ι, μό νο α ν τ ο ζη τ ά ει η ε κφ ώνη σ η , και μό νο γι α πί να κε ς, δ ι α γρά μ μα τ α κ λ π. Κ ά θ ε α πά ντ η σ η ε πι στ η μο νι κά τε κμη ριωμ έ νη ε ί να ι α ποδ εκτ ή . Δ ι ά ρ κε ια εξ έτ α σ ης: τ ρει ς (3 ) ώρε ς μ ετ ά τη δι α νο μ ή τ ων φ ωτ ο α ντ ι γρά φ ων. Χρ ό νο ς δ υ να τ ή ς α πο χώρη σ η ς: 1 0 . 0 0 π. μ . ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙ Α ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ

ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ