1ο ΔΙΑΓΩΝΙΜΑ ΠΡΟΟΜΟΙΩΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΩΝ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ ΘΕΜΑ Α Α. Πότε μια ςυνάρτηςη f λέγεται κυρτή ςε ένα διάςτημα Δ Β. Πότε η ευθεία y=λx+β λέγεται αςύμπτωτη τησ Cf ςτο +∞
( 4 μονάδεσ ) ( 4 μονάδεσ )
Γ. Έςτω μια ςυνάρτηςη f οριςμένη ςε ένα διάςτημα Δ . Αν f ςυνεχήσ ςτο Δ και f ′ x) >0 για κάθε εςωτερικό ςημείο x του Δ τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνηςίωσ αύξουςα ςε όλο το διάςτημα Δ. ( 7 μονάδεσ ) Δ. Να χαρακτηρίςετε ωσ ωςτή ) ή ωσ Λανθαςμένη Λ) καθεμία από τισ παρακάτω προτάςεισ : 10 μονάδεσ ) α) Κάθε ςυνάρτηςη που είναι 1-1 ςτο πεδίο οριςμού τησ, είναι γνηςίωσ μονότονη 1 β) Αν lim f x) = 0 και f(x) > 0 κοντά ςτο x0 , τότε lim = +∞ x→x 0 f(x)
x→x 0
γ) Μια ςυνεχήσ ςυνάρτηςη f διατηρεί πρόςημο ςε καθένα από τα διαςτήματα ςτα οποία οι διαδοχικέσ ρίζεσ τησ f χωρίζουν το πεδίο οριςμού τησ. δ) Αν μια ςυνάρτηςη f είναι γνηςίωσ φθίνουςα και ςυνεχήσ ςε ένα ανοικτό διάςτημα α , β) , τότε το ςύνολο τιμών τησ ςτο διάςτημα αυτό είναι το Α ,Β) όπου A = lim+f x) , B = lim− f(x) x→α
x→β
ε) Για κάθε ςυνάρτηςη f , παραγωγίςιμη ςε ένα διάςτημα Δ , ιςχύει
β ′ f (x)dx α
= f(x)
β α