А. К. Альжанов
ҰБТ - ға дайындаламыз ІI
Астана – 2013
УДК 373.167-1 ББК 221.72 А 49 «Білім-2050» шығармашыл педагогтерінің одағы» қоғамдық бірлестігі отырысының шешімімен ұсынылған (2013 жылғы 2 тамыздағы № 5 хаттама) А 49
Альжанов А. К. ҰБТ-ға дайындаламыз: Жалпы білім беретін мектептің 11 сыныбына арналған ҰБТ-ға дайындық негізінде жасалған оқу – әдістемелік құрал./ А. К. Альжанов – Астана: ЖШС «Самғай біл», 2013. – 364 бет.
ISBN 978-601-300-183-8 Ұсынылып отырған бұл оқу құралында Қазақстан Республика Ғылым және Білім министрлігінің жалпыға бірдей міндетті оқу бағдарламасы мен ҰБТ-ға қойылатын талаптар басшылыққа алынған. Тест тапсырмаларына байланысты тақырыптар оңайдан қиынға, жеңілден күрделіге принципі сақталады. Математика курсын қамтитын ҰБТ тақырыптарына берілген сабақтар модуль бойынша топтастырылып, оқушы өзара ұқсас немесе өзара байланысты немесе келесі материалды меңгеруге негіз болатын сабақтарды топтастырылып оқытады. Модуль тақырып мазмұнын сабақтастықта өткізуге мүмкіндік береді. Сонымен бірге, оқушы білімі мен біліктілігін анықтайтын негізгі тест тапсырмаларын орындау нәтижесінде мұғалім оқушының қай тақырыпты меңгере алмай қалғанын анықтай алады және бірден оны жою – жетілдіру жолдары бойынша жекелей жұмыс жасай алады. Сондай-ақ бұл оқу құралында соңғы жылдары ұсынылатын параметрлі есептермен логикалық есептер және оларды шешу жолдарымен тәсілдері көрсетілген. Оқу құралы арнайы және жоғары оқу орнына түсушілерге, тестке өз бетінше даярлануды мақсат еткен талапкерлерге және мектеп мұғалімдеріне арналған. Ұйымдастырушысы мен үйлестірушісі – Оразова Г. Қ.
УДК 373.167-1 ББК 221.72 Ескерту: Бұл алғашқы қосымша оқу құралы болғандықтан оқу құралын пайдаланушылар тарапынан болатын сын-пікірлер мен ұсыныстарды bilim-2050@mail.ru электрондық поштасына жіберуіңізді сұраймыз. «Самғай біл» ЖШС басып шығарған «ҰБТ-ға дайындаламыз» атты оқу құралын заңсыз көшіріп алуға, басып шығаруға, таратуға тыйым салынады.
ISBN 978-601-300-183-8
© «Самғай біл» ЖШС, 2013
2
АЛҒЫ СӨЗ Математика орта мектеп пәндерінің ішінде нақты ғылымдар пәніне жататынын білеміз. Сол нақтылыққа негізделген тақырыптардың бірін толық меңгере алмай қалған жағдайда оқушыда математика бойынша мектеп бағдарламасын мүмкіндігінше меңгеруге деген қызығушылығы төмендейді. Ұсынылып отырған бұл оқу құралында Қазақстан Республика Білім және Ғылым министрлігінің ҰБТ-ға қойылатын талаптары басшылыққа алынып, тест тапсырмаларына байланысты тақырыптар оңайдан қиынға, жеңілден күрделіге принципі сақталады. 136 сағаттық күнтізбелік - тақырыптық жоспар пән мұғалімдерінің оқушымен жұмысына бағыт - бағдар бола алады. Бұл жоспар Қазақстан Республика Білім және Ғылым министрлігінің мемлекеттік жалпыға білім беру стандарты мен білім бағдарламасына сәйкес құрылған. Оқу құралының І бөліміне енгізілген тақырыптар: Санды өрнектер мен алгебралық рационал өрнектерді түрлендіру, алгебралық теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу, мәтінді есептер, арифметикалық және геометриялық прогрессия және планиметрия. Математиканың күрделі тараулары оқу құралының ІІ бөлімінде қарастырылған, ол тригонометриядан басталады. Мұндағы негізгі тақырыптар: Көрсеткіш және логарифмдік өрнектер, функция және оның қасиеттері, координаталық әдіспен векторға берілген есептер. «Қорытынды тест жинағы» деп аталатын оқу құралында осы І, ІІ бөлім бойынша алынған тақырыптық теориялық білімдерін бақылап, бағалайтын, білім деңгейін тексеретін тест тапсырмалары жинақталған. Тест материалдары осы жылдар кезеңінде шыққан ҰБТ есептерін толық қамтиды. Сондықтан бұл оқу құралы талапкерлерге нәтижелі жетістікке қол жеткізуге толық мүмкіндік береді. Оқу құралы арнайы және жоғары оқу орнына түсушілерге, тестке өз бетінше даярлануды мақсат еткен талапкерлерге және мектеп мұғалімдеріне арналған.
3
Математика пәнінен ҰБТ-ға дайындық курсының күнтізбелік – тақырыптық жоспары 2013 – 2014 оқу жылы Қамтылған тақырыптар
1-Модуль Тригонометрия
1-Блок. Тригонометриялық өрнектер және оларды түрлендіру
Сағат саны
1-сабақ. Синусты, косинусты, тангенсті және котангенсті анықтау 2-сабақ. Синустың, косинустың, тангенстің және котангенстің қасиеттері
4
3-сабақ. Бір ғана бұрыштың тригонометриялық функцияларының арасындағы қатыстар 1-сабақ. Түбір туралы теорема 2-Блок. 2-сабақ. Арксинус. Кері 3-сабақ. Арккосинус. тригонометриялық 4-сабақ Арктангенс. функциялар 5-Сабақ. Арккотангенс. 1-Сабақ. cos t a теңдеуі. 3-Блок. 2-Сабақ. sint=aтеңдеуі. Қарапайым 3-Сабақ. tgt = атеңдеуі. тригонометриялық 4-Сабақ. Қарапайым тригонометриялық теңсіздіктерді теңдеулер мен шешу теңсіздіктерді шешу 5-Сабақ. Тригонометриялық теңдеулерді және теңдеулер жүйелерін шешу мысалдары 1- модуль бойынша тест мысалдары 1- модуль бойынша тест жалпы
4
5
3 16
2-Модуль. Көрсеткіштік, логарифмдік және дәрежелік функциялар
1-Сабақ. Иррационал көрсеткішті дәреже. 1-Блок. Көрсеткіштік функция
2-Сабақ. Көрсеткіштік функцияның қасиеттері.
5
3-Сабақ. Теңдеулер. 4-Сабақ. Теңсіздіктер және теңдеулер. 1-Сабақ. Логарифм. 2-Сабақ. Логарифмдердің негізгі қасиеттері. 2-Блок. Логарифмдер және 3-Сабақ. Логарифмдік функция олардың қасиеттері 4-Сабақ. Логарифмдік теңдеулерді және теңсіздіктерді шешу 3-Блок. 1-Сабақ Дәрежелік функция және оның туындысы. Дәрежелік функция 2-Сабақ Дәрежелік функцияның мәндерін есептеу. 2- модуль бойынша тест мысалдары 2- модуль бойынша тест
3-Модуль. Туынды және оның қолданылуы
жалпы 1-Сабақ. Функция графигіне жүргізілген жанама туралы ұғым. 2-Сабақ. Қозғалыстың лездік жылдамдығы. 1-Блок. Туынды туралы ұғым 3-Сабақ. Туынды. 4-Сабақ. Функцияның үздіксіздігі және шекке көшу туралы ұғым 1-Сабақ. Дифференциалдаудың негізгі формулалары. 2-Сабақ. Дәрежелік функцияның туындысы. 2-Блок. Туындыларды 3-Сабақ. Күрделі функция. есептеу ережелері 4-Сабақ. Күрделі функция туындысының формуласы.
жалпы
4
4
4 2 15
5
5
10
4-Модуль. Алғашқы функция және интеграл 5-Модуль. Стереометрия элементтері
1-Сабақ. Алғашқы функцияны анықтау 2-Сабақ. Алғашқы функциялардың жалпы түрі. 3-Сабақ. Алғашқы функцияларды табу мысалдары. 4-Сабақ. Алғашқы функцияларды табудың үш ережесі 1-Сабақ. Қисық сызықты трапецияның ауданы 2-Сабақ. Интеграл туралы ұғым. 3-Сабақ. Ньютон-Лейбниц формуласы. 2-Блок. Интеграл 4-Сабақ. Дененің көлемін есептеу. 5-Сабақ. Айнымалы күштің жұмысы. 6-Сабақ. Массалар центрі. 3-4- модуль бойынша тест мысалдары 3-4- модуль бойынша тест жалпы 1-Блок. 1-Сабақ.Кіріспе Стереометрия 2-Сабақ.Стереометрия аксиомалары аксиомалары 2-Блок. 1-Сабақ.Түзулердің параллельдігі Кеңістіктегі 2-Сабақ.Түзу мен жазықтықтың параллельдігі түзулердің және жазықтықтардың 3-Сабақ.Жазықтықтардың параллельдігі параллельдігі 1-Сабақ.Түзулер арасындағы бұрыш. Түзулердің 3-Блок. перпендикулярлығы Түзулердің және 2-Сабақ. Түзу мен жазықтықтың перпендикулярлығы жазықтықтардың 3-Сабақ.Үш перпендикуляр туралы теорема перпендикулярлығы 4-Сабақ.Жазықтықтардың перпендикулярлығы 1-Сабақ.Көпжақты бұрыштар 4-Блок. Көпжақтар 2-Сабақ.Көпжақтар 5-Блок. 1-Сабақ.Айналу денелері Айналу денелері. Стереометрияның негізгі формулалары 2-Сабақ.Стереометрияның негізгі формулалары 5- модуль бойынша тест мысалдары 5- модуль бойынша тест жалпы 1-Блок. Алғашқы функция
БАРЛЫҒЫ
4
5
2 11 2
3
4
3
2
2 16 68
5
1-Модуль. Тригонометрия 1-Блок. Тригонометриялық өрнектер және оларды түрлендіру 1-Сабақ. Синусты, косинусты, тангенсті және котангенсті анықтау х осінің бойынан координаттар басының оң жағында жатқан (1-сурет) А нүктесін белгілеп, ол арқылы центрі О нүктесінде болатын шеңбер жүргіземіз. Радиус ОА-ны бастапқы радиус деп атаймыз. Бастапқы радиусты О нүктесінен айналдыра сағат тіліне қарсы 70°-қа бұрайық. Сонда ол ОВ радиусына ауысады, яғни бұру бұрышы 70°-қа тең делінеді. Егер бастапқы радиусты О нүктесінен айналдыра сағат тілінің бағытымен 70°-қа бұрсақ, ол ОС радиусына ауысады. Бұл жағдайда бұру бұрышы -70°-қа тең делінеді. 70° және -70°-қа тең бұру бұрыштары 1-суретте стрелкамен көрсетілген. y B
700
A O
x
-700
C
1-сурет Жалпы алғанда, сағат тіліне қарсы бұру бұрышын оң деп, ал сағат тілі бағытымен бұру бұрышын теріс деп есептейді. Бұрыштың градус есебімен өлшеуіші 0-ден 180-ге дейінгі санмен өрнектелетіні геометрия курсынан белгілі. Ал бұру бұрышы градус есебімен тен -ке дейінгі кез келген санмен өрнектеледі. Мәселен, егер бастапқы радиусты сағат тіліне қарсы 180°-қа, сонан кейін тағы да 30°-қа бұрсақ, онда бұру бұрышы 210°-қа тең болады. Егер бастапқы радиус сағат тіліне қарсы толық айналым жасаса, онда бұру бұрышы 360°-қа тең болады, ал егер сол бағытпен бір жарым айналым жасаса, онда бұру бұрышы 540°-қа тең, т. с. с. 2-суретте 405° және -200° бұру бұрыштары стрелкамен көрсетілген. y
B C A O x
2 а-сурет ОА және ОВ радиустарын қарастырайық (2 б-сурет). Бастапқы ОА радиусын ОВ радиусына ауыстыратын бұру бұрыштары шексіз көп. Егер АОВ=130° болса, оған сәйкес бұру бұрыштары 130°+360°n, мұндағы n - кез келген бүтін сан. Мысалы, n = 0,1, -1,2, -2 болғанда 130°, 490°, -230°, 850°, -590° бұру бұрыштарын аламыз. 6
y
B
O
x
2 б-сурет
бұрышқа бұрғанда бастапқы ОА радиусы ОВ радиусына ауысты дейік. ОВ радиусының қай координаттық ширекте жатқанына қарай, -ны сол ширектің бұрышы деп атайды. Егер 0°< <90° болса, - I ширектің бұрышы, егер 90°< <180° болса, - II ширектің бұрышы, егер 180°< <270° болса, - III ширектің бұрышы да, ал егер 270°< <360° болса, - IV ширектің бұрышы. бұрышқа бүтін санды айналымды қосқанда, сол ширектің бұрышы шығатыны сөзсіз. Мысалы, 430° бұрыш I ширектің бұрышы, өйткені 430°=360°+70° және 0°<70°<90°; 920° бұрыш III ширектің бұрышы, өйткені 920°=360°∙2+200° және 180°<200°<270°. 0°, ±90°, ±180°, ±270°, ±360°, ... бұрыштар ешбір ширекке де жатпайды. Геометрия курсында 0° 180° болғандағы бұрышының синусы, косинусы және тангенсі анықталған еді. Енді сол анықтамаларды кез келген бұрышы үшін жалпылаймыз. Сонымен бірге бұрышының котангенсін анықтаймыз, оны ctg деп белгілейміз. Бастапқы ОА радиусын О нүктесінен айналдыра бұрышына бұрғанда ОВ радиусына ауысады дейік (3-сурет). y
B(x;y)
A O
x
3-сурет
В нүктесі ординатасының радиус ұзындығына бұрышының синусы деп аталады. В нүктесі абсциссасының радиустың ұзындығына бұрышының косинусы деп аталады. В нүктесі ординатасының оның абсциссасына бұрышының тангенсі деп аталады. В нүктесі абсциссасының оның ординатасына бұрышының котангенсі деп аталады.
7
қатынасы қатынасы қатынасы қатынасы
Егер В нүктесінің координаттары х пен у-ке тең, ал бастапқы радиустың ұзындығы R-ге тең болса, онда x y x y sin , cos , tg , ctg . R R x y (0° 180°) бұрышының синусы, косинусы және тангенсінің мәндері -ға ғана тәуелді екендігі геометрия курсында көрсетілген болатын. Жалпы алғанда sin , cos , tg , сондай-ақ ctg тек бұрышына ғана тәуелді. Мысалы, sin -ның R-ге тәуелсіз екенін көрсетейік. ОА1 сәулесін О нүктесінен айналдыра бұрғанда (4-сурет) ОА1=R1 және ОА2=R2 радиустары ОВ1 және ОВ2 орнына келсін. В1 нүктесінің координаттарын х1 мен y1 арқылы, ал В2 нүктесінің координаттарын x2 мен у2 арқылы белгілейміз. В1 мен В2 нүктелерінен х осіне перпендикуляр түсіреміз. ОВ1С1 және ОВ2С2 тік бұрышты үшбұрыштары ұқсас. Осыдан y y B1C1 B2 C 2 , яғни 1 2 . OB1 OB1 R1 R2
В1 мен В2 нүктелері бір ғана координаттық ширекке тиісті болғандықтан, y y олардың у1 мен у2 ординаталарының таңбалары бірдей. Сондықтан 1 2 . R1 R2 В1 мен В2 нүктелері координаттар осьтерінің бірінде жатқан жағдайда да бұл теңдіктің тура болатынын ескертейік. Сонымен, кез келген бұрышы үшін y қатынасы R радиусының ұзындығына тәуелді болмайды. R y
B(x;y) O C1 C2
A1 A2
x B1 B2
4-сурет
sin және cos өрнектері -ның кез келген мәндерінде анықталған, y х өйткені кез келген бұру бұрышы үшін және бөлшектерінің сәйкес мәндерін R R табуға болады. tg өрнегінің ±90°, ±270°, ±450°, ... бұрылу бұрыштарынан кез y келген -да мағынасы болады, өйткені бұл бұрыштар үшін бөлшегінің х х мағынасы болмайды. ctg өрнегі үшін бөлшегінің мағынасы болмайтын 0°, у ±180°, ±360°, ... алынбайды. 8
-ның әрбір мүмкін мәніне sin , cos , tg және ctg -ның мәні сәйкес келеді. Сондықтан синус, косинус, тангенс, және котангенс бұрышының функциясы болып табылады. Оларды тригонометриялық функциялар деп атайды. Синус пен косинустың мәндер облысы [-1; 1] аралығы, ал тангенс пен котангенстің мәндер облысы барлық нақты сандар жиыны болып табылады. Тригонометриялық функцияларды есептеуге мысалдарын келтірейік. 1-мысал. Сызбаның көмегімен sin 110 0 , сos110 0 , tg110 0 және ctg110 0 өрнектерінің жуық мәндерін табайық. Центрі координаттар басында, ал радиусы ОА=R=3 шеңбер сызайық (5-сурет). y
B
A O
1
2
3
x
5-сурет ОА радиусын 110°-қа бұрып, ОВ радиусын шығарып аламыз. В нүктесінің х пен у координаттарын сурет бойынша табамыз: x 1,05 , y 2,80 . Осыдан y 2,80 x 1,05 sin 110 0 0,93 , cos 110 0 0,35 , R 3 R 3 y 2,80 x 1,05 tg110 0 2,7 , ctg110 0 0,38 . x 1,05 y 2,80 Кестеде геометрия курсынан белгілі 0°, 30°, 45°, 60° және 90° бұрыштардың синусы, косинусы және тангенсінің мәндері келтірілген. Өрнектің мағынасы болмайтын жағдайында сызықша қойылған.
0°
30°
45°
60°
90°
sin
0
1 2
2 2
3 2
1
cos
1
3 2
2 2
1 2
0
tg
0
3 3
1
3
-
ctg
-
3
1
3 3
0
9
Котангенстің мәнін сол бұрыштың тангенсінің мәнінен шығарып алуға болады, өйткені бұрыштың котангенсі осы бұрыштың тангенсіне кері сан болып 1 1 0 3 табылады. Сондықтан, мысалы, ctg 30 0 tg 30 3
3 2-мысал. 180° және 270° бұрыштардың синусын, косинусын, тангенсін және котангенсін табайық. О нүктесінен айналдыра 180°-қа бұрғанда (6-сурет) ОА=R=1 радиусы ОВ радиусына, ал 270°-қа бұрғанда ОС радиусына ауысады. y
A
B O
x
C
6-сурет В нүктесінің координаттары х=-1 және у=0 болғандықтан, 0 1 0 sin 180 0 0 , cos 180 0 1 , tg180 0 0. 1 1 1 С нүктесінің координаттары х=0 және у=-1 болғандықтан: 1 0 0 sin 270 0 1 , cos 270 0 0 , сtg 270 0 0. 1 1 1 ctg180 0 және tg 270 0 өрнегінің мағынасы болмайтынын ескертейік. 2-Сабақ. Синустың, косинустың, тангенстің және котангенстің қасиеттері Тригонометриялық функциялардың кейбір қасиеттерін қарастырайық. Ең алдымен синустың, косинустың, тангенстің және котангенстің таңбасы әр ширекте қандай болатынын анықтайық. R-ге тең ОА радиусын бұрышқа бұрғанда А нүктесі координаттары х және у болатын В нүктесіне ауысты дейік. y болғандықтан, sin -ның таңбасы у-тің таңбасына тәуелді sin R болады. I және II ширектерде у>0, ал III және IV ширектерде у<0. Олай болса, егер - I немесе II ширектің бұрышы болса, онда sin 0 және егер - II немесе IV ширектің бұрышы болса, онда sin 0 болады. x соs таңбасы х-тің таңбасына тәуелді, өйткені cos . I және IV R ширектерде х>0, ал II және III ширектерде х<0 болады. Сондықтан, егер - I немесе IV ширектің бұрышы болса, онда cos 0 , егер - II немесе III ширектің бұрышы болса, онда cos 0 .
10